例３已知直线ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ 中的口，ｂ，ｃ是取自集合｛－３，－２，一１，０，１，２， ３｝中的３个不同的元素。并且该直线 的倾斜角为锐角。那么这样的直线 的条数是一 思索 对Ｃ＝０与ｃ≠０进行分类． 破解设倾斜角为０．则ｔａｎ０＝ 一¨一＞０．不妨设０＞０．则ｂ＜０．若ｃ：０． ｂ 则ａＳ；三种取法，ｂ有三种取法，排除 两个重复的情况（３ｘ一３ｙ＝０，２ｘ一２ｙ＝０ 与ｘ－ｙ＝０ 同一直线），故这样的直 线有３￣３＂２＝７条．若Ｃ≠０，则ａ有三种 取法，ｂ有三种取法，Ｃ有四种取法， 且其中任两条直线均不相同，故这 样的直线有３ｘ３ｘ４＝３６条．从而，符合 要求的直线有４３条． 蛳》例４在正五边形ＡＢＣＤＥ １．若从１，２，３，…，９这９个整数 中同时取４个不同的数，其和为偶 数，则不同的取法共有（ ） Ａ．６０种 Ｂ．６３种 Ｃ．６５种 Ｄ．６６种 ２．将字母ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｅ，ｅ排成三 行两列，要求每行的字母互不相同， 每列的字母也互不相同，则不同的 排列方法共有（ ） Ａ．１２种 Ｂ．１８种 Ｃ．２４种 Ｄ．３６种 ３．现有１６张不同的卡片，其中 红色、黄色、蓝色、绿色卡片各４张． 从中任取３张，要求这３张卡片不能 是同一种颜色．且红色卡片至多１ 张，不同取法的种数为——． Ａ．２３２ Ｂ．２５２ Ｃ．４７２ Ｄ．４８４ ４，如图１。用四种不同颜色给图 中的Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ六个点涂色，要 求每个点涂一种颜色，且图中每条 线段的两个端点涂不同颜色，则不 中，若把顶点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ染上红、 黄、绿三种颜色中的一种。相邻顶点 的颜色不同，则不同的染色方法有 ——种． 思索本题可先将５个顶点分 为三组．再给三组顶点染色． 破解第一步，将５个顶点分为 三组：其中两组有２个顶点，一组有１ 个顶点，即“２＋２＋１”模型，共有Ｃ 种分 法．第二步，为三组顶点染色有Ａ ６ 种方法．根据分步计数原理得：共有 染色方法５ｘ６＝３０种． 例５用１，２，３，４，５，６组成 六位数（没有重复数字），要求任何 相邻两个数字的奇偶性不同，且１和 ２相邻．这样的六位数的个数是 ．． －－－－—－－－－ 思索 一方面此题有相邻元 素，所以首先考虑捆绑法，其次有不 ………… ……… 同的涂色方法共有 图１ 参考答案 １．从１，２，３，…，９这９个整数中 同时取４个不同的数，其和为偶数的 取法分为三类：第一类是取四个奇 数，即Ｑ＝５种方法：第二类是取两个 奇数，两个偶数，即Ｃ￣Ｃ］＝６０种方法； 第三类是取四个偶数，即Ｃ４＝１，故有 ５＋６０＋１＝６６种方法．故选Ｄ． ２．先排第一列有Ａ３＿６种，再排 第二列，当第一歹一ｌ确定时，第二列有 两种方法，如图２．所以共有６￣２＝１２ 种．选Ａ． 完全相邻元素需要考虑插空法：另 一方面考虑到此题元素总数不多． 因此也可以利用两个计数原理解决． 破解法１：可以分三步来做这 件事：①先将３，５排列，共有Ａ｛种排 法；②再将４，６插空排列，共有２Ａ；种 排法；③将１，２放到３，５，４，６形成的 空中，共有ｃ；种排法；由分步计数原 理得共有Ａ；・２ ・Ｑ＝４０种． 法２：写出六位数的号位如下： 匝 若１在①或⑥号位，２在②或⑤号 位，方法数各４种，若１在②、③、④、 ⑤号位，２的选择有２种，方法数各８ 种．所以六位数的个数是４＋４＋８＋８＋ ８＋８＝４０种． 点评两个计数原理的混合应 用是学习的难点．注意分类讨论思 想的不重不漏原则． ］ Ｔ■ 卜———’＿＿——＿＿１ ｒＩ———十—— Ｉ Ｉ ！ Ｉ ｌ ｌ 兰 Ｉ ｛ ｃ ｉ ａ Ｉ Ｉ ｃ ｛ ｂ ｌ 图２・ ３．若没有红色卡片，则需从黄、 蓝、绿三色卡片中选３张，若都不同 色则有Ｃ１ｘＣ４￣ｘＣＸ＝６４种，若２色相同， 则有ｃ １４４；若红色卡片有１张， 则剩余２张若不同色，有Ｃ４１ｘ ３２ｘ乙４１× ｃ ＝ｌ９２种，如同色则有Ｃ４１ ＬＪ２ ２＝７２种， 所以共有６４＋１４４＋１９２＋７２＝４７２种． ４．按所用颜色分两类． 第一类：三色涂完．必然两两同 色，即ＡＣ，ＢＥ，ＤＦ或ＡＦ，ＢＤ，ＣＥ，有 ２￣ｄ－－－４８种．第二类：四色涂完．Ａ．Ｄ。Ｅ 肯定不同色，有 种涂法，再从Ｂ，Ｆ， Ｃ中选一位置涂第四色有三种．若所 选是日，则Ｆ，Ｃ＆．Ｚ－种涂法，所以 ・ｃ；・ ３＝２１６种，故共有４８＋２１６＝２６４种．
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分类加法计数原理与分步乘法计数原理
作者：廖军
来源：《数学金刊·高考版》2014年第02期
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是学习概率统计的基础，在高考中占有特殊的地位，大多以选择题和填空题的形式出现，有时与概率统计知识综合出现在解答题中，主要考查基础知识、基本运算与思维能力，难度不大，多为送分题.
重点难点
重点：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的问题.
难点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别.
方法突破
（1）正确使用两个原理，注意两者的区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成了.
（2）使用两个原理时，要注意以下问题：①分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；②分步要做到“步骤完整”，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
点评 两个计数原理的混合应用是学习的难点，注意分类讨论思想的不重不漏原则.
高中数学选修2-3第一章第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第一课时 和田地区第二中学：粟登科
第 1 页 高中数学选修2-3
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第一课时说课稿（课前说课）
和田地区第二中学：粟登科
一．教学背景分析：
1.教材分析
“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”（以下简称“两个计数原理”）是人教A版高中数学课标教材选修2-3“第一章计数原理”第1.1节的内容，教学需要安排4个课时，本节课为第1课时。
两个计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，是处理计数问题的两种基本思想方法，也是在日常生活中被经常使用的思想方法，是推导排列数、组合数计算公式的依据，其基本思想方法贯穿本章内容的始终。
因此，本节课的主要任务是在学生已有的认知基础上引导学生总结得出两个计数原理，并正确理解“完成一件事”的含义；根据实际问题的特征，正确区分“分类”或“分步”。
2.学情分析：
两个计数原理从本质上看，是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算，而且学生有运用两个计数原理解决实际问题的经验，会用列举法解决最简单的计数问题；同时在学习和生活中，学生已经习惯性地使用“分类”和“分步”的方法来思考和解决问题，这些都是学生学习两个计数原理的认知基础．但是学生缺少更深层次的归纳、理解和运用。同时对于数学概念有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解。本节课通过实例结合生活经验，让学生改变对数学概念课的认识。
3.教学目标分析：两个计数原理虽简单朴素，易学好懂，但如何让学生借助已有的实践活动经验，抽象概括出两个计数原理，并领悟其中重要的数学思想方法，实现认知的飞跃．为此，确定本节课的目标。
知识与技能：通过典型丰富的实例来帮助学生经历两个计数原理的抽象概括的发现过程，完成归纳提炼两个计数原理，体会从特殊到一般的思维过程，提升学生抽象概括能力。
过程与方法：根据问题情境，学生能描述“完成一件事”的具体含义，说出“分类”与“分步”的区别，体验数学概念产生的基础。重视思维方式的形成，板演不作为本节课的重点。
§1.1. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、课前准备
复习1：什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？它们在使用时的主要区别是什么？
复习2：现有高二年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组.⑴ 选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？⑵ 每组选1名组长，有多少种不同的选法？
二、新课导学
探究任务一：两个原理的应用
问题：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z, 后两个要求用数字1～9.问最多可以给多少个程序命名？
新知：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，正确选择是分类还是分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务.
反思：在实际问题中，一个问题可能同时使用两个原理，有时还可能多次使用同一原理.
典型例题
例1 核糖核酸（RNA）分子是生物细胞中发现的化学成分.一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4种不同的碱基，分别是A,C,G,U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意位置上的碱基与其他位置的碱基无关.假设有一类RNA分子有100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？
变式：电子元件很容易实现电路的通与断，电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或两个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：
⑴ 一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
⑵ 计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
