自变量函数

函数自变量取值范围函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素，一直是中考的热点问题之一，下面举例谈谈这类问题的常见类型和解法供供同学们学习时参考。

一、教法点拨：1.在一般的函数关系式中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含偶次方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数或负整数指数：底数≠0.（5）解析式是上述几种形式组合而成时，应首先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出它们的公共部分；2. 实际问题中自变量的取值范围：（1）注意自变量自身表示的意义；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。

3. 几何图形中函数自变量的取值范围：（1）使函数式有意义；（2）考虑几何图形的构成条件及运动范围。

注意记清各种情况，判断哪一类型，准确计算即可。

二、题型分类：题型一：函数关系式中自变量取值范围1.解析式是整式时, 函数自变量取值范围是全体实数。

（原创题）①y = x2-3 ；②y = 2x -1；③ y =-3x .2.解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数。

①（2018哈尔滨）函数y= 中，自变量x的取值范围是_________。

②(2018武汉）若分式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）[来源:学科网ZXXK] A．x＞－2B．x＜－2C．x＝－2D．x≠－2③(2017哈尔滨)函数Y= 中，自变量X取值范围是____________。

④（2018•宿迁）函数y= 中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0B．x＜1C．x＞1D．x≠13.解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数。

①(2018北京市）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是。

②(2018湖北十堰）函数的自变量x的取值范围是。

y 180 2x
y
x 等腰三角形两底角相等。
（ 3 ） 如 图 ， 等 腰 直 角 △ ABC 的 直 角 边 长 与 正 方 形 MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上， 开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A 点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．
我们可以由自变量结合函数本身求出因变量，此时这个因变量的值称为该自变量
函数值 对应的
；同时，我们也可以由因变量结合函数本身求出自变量的值！
例1 求下列函数中自变量x的取值范围：
（1） y＝3x－1； （2） y＝2x2＋7；
（3）
y=
x
1
2
；
（4） y＝ x 2 ．
解：（1）中x取任意实数，3x－1都有意义 .
(2)中x 取任意实数， 2x2＋7都有意义 .
（3）中，x≠－2时，函数有意义．
（4）中x≥2时，函数有意义．
试一试: 求下列函数自变量的取值范围
⑴ y= x2 x 1 ⑵ y= 3 x
⑶ y= 1
⑷ y= x 2
x2
x ⑸ y=(x1)0 ⑹ y=
说明:四种基本类型的函数自变量取值范围
x 1 29
1 整式-----一切实数
2 分式-----分母不为零
偶次根式 (被开方数≥0) 3 根式-----
奇次根式 (被开方数为一切实数 ) 4 零指数-----底数≠0
练习：一
P33习题中第4题 P31练习第3题
练习二：P32第2题
2.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变 量的取值范围：
函数值及自变量的取值范围
1、理解函数值的概念，并会求 某个自变量所对应的函数值；

03
累积分布函数
累积分布函数
一、定义 又叫分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布。其表达式为：
a
b S=a ×b
累积分布函数
二、累积分布函数图形
累积分布函数
三、累积分布函数的特点 1.有界性
2.单调性 如果x1＜x2，则Fx(x1)＜ Fx(x2) 3.右连续性
概率密度函数
四、解读概率密度函数
当取值数量无限增大时，直方图外形无线趋近于概率分布图， 直方图和概率分布图相同点：1.外形相似；2.x轴为随机变量取值范围；3.研究自变量对应的应变量无意义。 直方图和概率密度函数不同点： 1.直方图x轴上数据数值可以不全覆盖；2.概率分布图x轴上数据为连续性数据，需全覆盖； 3.直方图图纵坐标为频数，当取值数量增大或分组组距越小时，纵轴覆盖数据范围越大； 4.概率分布图纵坐标分布图为密度，一般最大值不超过1。
概率密度函数
概率密度函数
概率只能小于等于1，而概率密度可以大于1，连续性随机变量在某点的概率为零，概率密度≠概率。 单纯的讲概率密度没有实际的意义，它能反映数据分布的一种趋势，必须有确定的有界区间为前提。可以把概 率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生 的概率，所有面积的和为1。 所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。 区间[a，b]上的概率可由概率密度函数在该区间上求积分得到。
概率密度函数和累积分布函数
CONTENTS
目 录
1 函数相关概念 2 概率密度函数
3 累积分布函数
01
函数相关概念
函数相关概念
一、函数三要素 1.自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。 2.因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相 对应。 3.函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的 函数值。

自变量与函数◆自变量与函数（因变量）的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说________是自变量，________是________的函数。

如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

（当自变量的值为a时，函数值为b）◆函数的解析式：像y=10x，s=40t这样，表示函数与自变量之间关系的式子，叫做__________________（函数关系式或函数表达式）。

知识运用：请指出之前三个问题中的自变量、函数（因变量）。

（1）“票房收入问题”中y=10x，自变量是________，________是________的函数。

（2）“行程问题”中s=40t，自变量是________，________是________的函数。

（3）“气温变化问题”中，自变量是________，________是________的函数。

◆函数的表示方法（3种）：上述三个问题——“票房收入问题”、“行程问题”、“气温变化问题”分别运用了表示函数的三种方法，分别是________________、________________、________________。

例1-1 写出下列问题的函数关系式，并找出自变量和自变量的函数。

（1）某市的自来水价为5元／吨，记某户月用水量为x吨，月应交水费为y元。

（2）改变正方形的边长a，正方形的面积s随之改变。

（3）秀水村的耕地面积是5000m2，该村人均占有耕地面积y（单位：m2）随该村人数n的变化而变化。

（4）池中有水10升，每小时漏水0.5升，池中的水量v（单位：升）随时间t（单位：h）的变化而变化。

例1-2 一个三角形的底边为5，高h可以任意伸缩，三角形的面积s也随之发生了变化。

（1）面积随高h变化的关系式s =________；其中常量是________，变量是________；________是自变量，________是________的函数。

函数自变量的取值范围问题二、方法剖析与提炼例1．在下列函数关系式中，自变量x 的取值范围分别是什么？ ⑴23-=x y ； ⑵121-=x y ； ⑶43-=x y ； ⑷xx y 32+=； ⑸0)3(-=x y【解答】⑴x 的取值范围为任意实数；⑵分母012≠-x ∴21≠x ∴x 的取值范围为21≠x ；⑶043≥-x ∴34≥x ∴x 的取值范围为34≥x ；⑷⎩⎨⎧≠≥+0302x x ∴2-≥x 且0≠x ∴x 的取值范围为：2-≥x 且0≠x ⑸x -3≠0 ∴x ≠3，x 的取值范围为x ≠3．【解析】⑴为整式形式：函数关系式是一个含有自变量的整式时，自变量的取值范围是全体实数．⑵分式型：当函数关系式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数．⑶偶次根式：当函数关系式是偶次根式时，自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数．含算术平方根：被开方数043≥-x ． ⑷复合型：当函数关系式中，自变量同时含在分式、二次根式中时，函数自变量的取值范围是它们的公共解，即建立不等式组，取它们的公共解．⑸0指数型：当函数关系式中，自变量同时含在0指数下的底数中时，自变量取值范围是使底数为非零的实数．即底数x -3≠0 ．【解法】解这类题目，首先搞清楚函数式属于“整式型”、“分式型”、“偶次根式”、“0指数型”、“复合型”当中哪一个类型，自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义即可．【解释】这种解题策略可以推广到其他问题，如： 求31+x 中x 的取值范围．解：右边的代数式属于奇次根式型，自变量的取值范围是全体实数． 例2．某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表：设租用甲种车x 辆，租车费用为y 元，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．【解答】⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x 辆，则租用乙种车辆（6－x ）辆．y =400x +280（6-x ）=120x +1680∴y 与x 的函数关系式为：y =120x +1680⑵∵⎩⎨⎧≤+≥-+23001680120240)6(3045x x x ， ∴⎩⎨⎧≤≥54x x ， ∴自变量x 的取值范围是：4≤x ≤5【解析】（1）租车费用y =甲种车辆总费用+乙种车辆总费用．（2）函数关系式同时也表示实际问题时，自变量的取值范围要同时使实际问题有意义．自变量x 需满足以下两个条件： 一是，甲、乙两车的座位总数≥师生总数240名；二是，费用≤2300元，还要考虑到实际背景下的x 为整数．【解法】关注问题中所有的限制条件，多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．【解释】做此题前首先要先从乘车人数的角度考虑应总共租多少辆汽车．因为题目已知总共6名教师，而且要求每辆车上至少有一名教师．所以，最多租用6辆车．同时，也不能少于6辆车否则座位数少于师生总数，不能接送所有的师生．由此可知共租用6辆车子． 例3．一个正方形的边长为5cm ，它的边长减少x cm 后得到的新正方形的周长为y cm ，写了y 与x 的关系式，并指出自变量的取值范围．【解答】解：由题意得，y 与x 的函数关系式为y =4（5-x ）=20-4x ；自变量x 应满足⎩⎨⎧≥>-005x x 解得0≤x ＜5，所以自变量的取值范围是0≤x ＜5．【解析】正方形的周长=边长×4，即y =4（5-x ）；自变量的范围同时满足两个条件：一是，正方形的边长是正数；二是，边长减少的x 应取非负数．【解法】关注问题中所有的限制条件，多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．【解释】函数关系式表示实际问题时，自变量的取值范围要同时使实图1际问题有意义．例4．若等腰三角形的周长为20cm ，请写出底边长y 与腰长x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．【解答】y =20-2x∵⎪⎩⎪⎨⎧>+>≥y x x y x 00，∴⎪⎩⎪⎨⎧->>-≥x x x x 220202200，∴⎪⎩⎪⎨⎧><≥5100x x x ，∴自变量x 的取值范围是5＜x ＜10．【解析】自变量的范围同时满足两个条件：一是，x 表示等腰三角形腰长，要求x ≥0；二是，等腰三角形底边长y ＞0；三是，三角形中“两边之和大于第三边”，即2x ＞y ．最后综合自变量x 的取值范围．【解法】自变量x 的取值要满足多个条件，根据条件列出不等式得到不同情况和答案，之后取交集．【解释】别忘记解答的最后要写出各个情况的交集． 例5．如图1，在边长为2的正方形ABCD 的一边BC 上，一点P 从B 点运动到C 点，设BP =x ，四边形APCD 的面积为y ．（1）写出y 与x 的函数关系式及x 的取值范围；（2）说明是否存在点P ，使四边形APCD 的面积为1.5．【解答】（1）x y -=4，x 的取值范围是40≤≤x ．（2）令5.1=y ，得x -=45.1， ∴5.2=x∴存在点P 使四边形APCD 的面积为1.5．【解析】（1）ABP ABCD APCD S S S ∆-=正方形四边形，其中取值范围要考虑让P 从B 点运动到C 点过程中，x 由小变大．特别的，当P 在B 处，0=x ．（2）求出的x 的值要符合x 的取值范围．【解法】几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围．【解释】求实际问题中的自变量取值范围时，如果用运动观点研究，动点必须在一定的轨道上运动，而且要时刻兼顾到图形其它的部分的变化．三、能力训练与拓展1．函数y =15-x 21的自变量取值范围是 ．2．函数34x y x -=-的自变量x 的取值范围是 ． 3．在函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ）．A 、x ≥－1B 、x ≠1C 、x ≥1D 、x ≤14．函数3y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1- B ．x ≠3 C ．x ≥1-且x ≠3 D ． 1x <-5．已知等腰三角形的面积为20cm 2，设它的底边长为x （cm ），则底边上的高y （cm ）关于x 的函数关系式为 ，自变量的取值范围是： ．6．汽车由北京驶往相距850千米的沈阳．它的平均速度为80千米/时．求汽车距沈阳的路程S (千米)与行驶时间t(小时)的函数关系式，写出自变量的取值范围．7.如图2，在矩形ABCD中，边CD上有一动点P(异于C、D)，设DP＝x，AD＝a，AB＝b，△APD和△QCP面积之和为y，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．8．如图3，OM⊥ON，AB＝a，点A、B分别在ON、OM上滑动．设OB＝x，△OAB面积为y，写出y与x的函数关系及x的取值范围．9.如图4，△ABC中，AC＝4，AB＝5，D是AC边上点，E是AB边上点，∠ADE＝∠B，设AD＝x，AE＝y，写出y与x之间函数关系式及x的取值范围．10.用长6米铝合金条制成如图形状的矩形窗框， 问长和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？1．全体实数【解析】由于15-x 21是整式，所以x 的取值范围是全体实数． 2．x ≠4【解析】43--x x 是分式，由分母x -4≠0得x ≠4,所以x 的取值范围是x ≠4． 3．C【解析】此函数关系式是二次根式，由被开方数为非负数可知，x -1≥0，所以x ≥1．故选C ．4．Ｃ。

怎样求自变量的取值范围
1.整式： 取全体实数 2.分式： 取使分母不为0的值
3.偶次根式：取使“被开方数≥0”的值 4.奇次根式： 取全体实数
取使每一个式子有意义的值 5.对于混合式：
求出下列函数中自变量的取值范围
（ 1）
(2)
-1 y=(x+6)
0 y=(x-3)
怎样求自变量的取值范围
1.整式： 取全体实数 2.分式： 取使分母不为0的值
解(1)y=x (0＜x＜2)
（2）当BE＝1.75cm时 x＝2-1.75 ＝0.25
A
xH
O
E
B
2
D
∴y=x=0.25
F
C

3、一辆汽车的油箱中现有汽油50升，如果不再加 油，那么油箱中的油量y（升）随行驶里程x（公 里）的增加而减少，平均耗油量为0.1升/公里。 （1）写出表示y与x的函数关系的式子。
图象法
用图象来表示两个变量之间的关系；
列表法
用表格的方法来表示两个变量之间的关系；
s＝60t；
解析式法
用代数表达式来表示两个变量之间的关系等. （用解析法表示关系时，还要注意自变量的取值范围）
填写如图所示的加法表，然后把所有填 有10的格子涂黑，看看你能发现什么? 解 如图,能发现涂黑的格子成一条直线． 如果把这些涂黑的 格子横向的加数用 x表示，纵向的加 数用y 表示，试写 出y与x 的函数关 系式． 函数关系式：
1 2 y x 2
x Y x
1.在上面所出现的各个函数中，自变量的取 值有限制吗？如果有，写出它的取值范围。 探索 1
y 10 x
(x取1到9的
y
y 180 2 x

三角函数中的自变量和因变量
在三角函数中，自变量通常是一个角度或弧度，而因变量是与该角度或弧度相关的三角函数值。

具体来说，对于常见的三角函数，如正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan），自变量是一个角度或弧度$\theta$，而因变量分别是$\sin\theta$、$\cos\theta$和$\tan\theta$。

以正弦函数为例，$\sin\theta$表示对于给定的角度$\theta$，其对应的正弦值。

$\theta$是自变量，它可以是一个具体的角度值，如$30^{\circ}$，也可以是一个弧度值，如$\frac{\pi}{6}$。

而$\sin\theta$是因变量，它是根据$\theta$计算得到的正弦函数值。

同样地，对于余弦函数和正切函数，自变量$\theta$分别对应于$\cos\theta$和$\tan\theta$。

在三角函数的应用中，通过给定自变量$\theta$的值，可以计算出相应的因变量$\sin\theta$、$\cos\theta$或$\tan\theta$的值。

这些值在数学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用，用于解决与角度相关的问题，如几何图形的计算、波动现象的描述等。

总之，在三角函数中，自变量是角度或弧度，而因变量是相应的三角函数值，通过自变量和三角函数的定义式，可以计算出因变量的值。

函数自变量取值范围相关知识：函数自变量的取值范围必须也只要同时考虑以下几点：1.整式函数自变量的取值范围是全体实数．2.分式函数自变量的取值范围是使分母≠0的实数．3.二次根式a 函数自变量的取值范围是使被开方数≥0（即a ≥0）的实数。

当以上情况同时存在时，先按各情况取值，然后组成不等式组。

4.若涉及实际问题的函数，除满足上述要求外还要使实际问题有意义．一、1. 函数4y x 中自变量x 的取值范围是（ ）A ．x≥0 B.x≥4 C.x≤4 D.x＞42. 函数5Y =-中自变量x 的取值范围是____ 3．函数y=2x 1-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≠一2 B ．x ≠2 C. x <2 D ．x >2 4. 使函数1x y x =+有意义的取值范围是（ ） A.1x ≠- B. 1x ≠ C. x ≠1且x ≠0 D.1x ≠- 且x ≠05. 函数y =中，自变量x 的取值范围___________.6. 函数12-+=x x y 中自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥-2 B ．x ≥-2且x ≠1 C．x ≠1 D．x ≥-2或x ≠17. 函数32+-=x x y 中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥2且x≠－3 B ．x≥2 C ．x ＞2 D ．x≥2且x≠0二、求出下列函数中自变量x 的取值范围1．52+-=x x y 2．324-=x x y 3．32+=x y 4．12-=x x y5．x y 21-=6．23++=x x y 7．10+=x x y 8．|2|23-+=x x y9．x+-=2-3xy23。

求一次函数自变量取值的方法1 函数自变量取值范围的确定在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．在解答与函数有关的问题时，常常要求出函数的自变量x 的取值范围，下面我们来介绍这一类问题的解法．经典例题在函数32--=x x y 中，求自变量x 的取值范围． 解题策略2x -分子中的二次根式被开方数必须为非负数，而且分母不为0．即自变量x 为下面不等式组的解：20,30.x x -≥⎧⎨-≠⎩ 解这个不等式组便可求得自变量x 的取值范围是x ≥2，且x ≠3．画龙点睛求函数自变量的取值范围，要注意以下几点：1． 若函数的解析式是整式，自变量的取值范围是全体实数；2． 若函数的解析式是分式，自变量的取值范围是使分母不等于0的一切实数；3． 若函数的解析式是二次根式，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的一切实数；4． 若函数的解析式含有以上几类式子时，则应分别求出各自的取值范围，再求出它们的公共部分．举一反三1．下列函数中，自变量x 的取值范围是x >2的函数是（ ）．（A ）2-=x y（B ）12-=x y （C ）21-=x y （D ）121-=x y2．求函数2||1--=x x y 中自变量x 的取值范围． 3．求函数1||y x =-x 的取值范围． 融会贯通4．若函数25(2)34kx y k x k+=++-自变量x 的取值范围是一切实数，求实数k 的取值范围．参考答案1．C ．在四个选择分支A 、B 、C 、D 中，它们的自变量x 的取值范围依次是x ≥2，x ≥12，x >2，x >12．故选C ．2．由不等式组10,||20,x x -≥⎧⎨-≠⎩解得x ≤1， 且x ≠-2．3．由不等式1-|x |>0，得|x |<1，于是-1<x <1．4．要使函数自变量x 的取值范围是一切实数，就必须使分母不等于0．(1)当k =0时，分母等于3；(2)当k >0时，k (x +2)2≥0，要使分母不等于0，就应有3-4k >0，k <34，于是有0<k <34；(3)当k <0时，k (x +2)2≤0，要使分母不等于0，就应有3-4k <0，于是有k >34，这与k <0矛盾．综上所述，k 的取值范围是0≤k <34．。

自变量和函数自变量和函数自变量和函数是数学中非常重要的概念。

在数学中，我们经常需要对一些特定的变量进行研究和分析，这些变量被称为自变量。

而函数则是将一个或多个自变量映射到一个或多个输出值的规则或过程。

在本文中，我们将详细讨论自变量和函数的概念、性质以及如何构建和使用它们。

一、自变量1.1 自变量的定义在数学中，自变量指的是独立于其他因素而可以改变的变量。

通俗地说，就是我们想要探究的事物或者现象中可以改变的因素。

例如，在研究人体健康问题时，我们可能会考虑年龄、性别、饮食习惯等因素。

其中，年龄就是一个自变量，因为它可以被改变，并且可能会对人体健康产生影响。

1.2 自变量的分类根据不同的研究对象和目标，自变量可以被分为多种类型。

下面列举几种常见的分类方式：（1）离散型和连续型：离散型自变量只能取有限个值或者可数个值；而连续型自变量则可以取任意实数值。

（2）定量型和定性型：定量型自变量可以用数字或者数量来描述，例如身高、体重等；而定性型自变量则只能用类别或者标签来描述，例如性别、颜色等。

（3）因果型和相关型：因果型自变量是研究对象的原因或者影响因素，例如药物剂量、教育程度等；而相关型自变量则是与研究对象有关联但不一定具有因果关系的因素，例如气温、天气等。

1.3 自变量的作用自变量在数学中扮演着非常重要的角色。

它们不仅是构建函数的基础，还可以帮助我们理解和解释各种现象和问题。

在函数中，自变量通常被看作是输入值。

通过对输入值进行不同的操作和计算，我们可以得到对应的输出值。

这样一来，我们就可以通过改变自变量来探究函数的性质和特点。

同时，在研究各种现象和问题时，我们也经常需要对自变量进行分析。

通过观察不同自变量之间的关系和作用，我们可以更深入地了解问题本身，并提出更有效的解决方案。

二、函数2.1 函数的定义在数学中，函数指的是将一个或多个自变量映射到一个或多个输出值的规则或过程。

通俗地说，就是通过一些数学操作和计算，将输入值转换为输出值的过程。

教学设计上蔡县党店镇一中：安钧凯17.1 变量与函数（2）函数自变量的取值范围17.1变量与函数（2）函数自变量的取值范围设计思路介绍《变量与函数》是八年级数学下册17章第一节的内容。

函数是研究运动变化的重要数学模型，它源自生活，又服务于生活。

函数有着广泛的应用，初中阶段对函数的认识也是逐步加深的，因此，本节课的学习效果如何将直接影响学生的后续学习。

《函数自变量的取值范围》是本节课的重点内容之一，我把它单独安排一个课时来学习。

在教学设计上，我主要是以四个活动为载体：1、情境活动：使学生感到容易---我能学。

2、探究归纳：提出问题，引起学生求知欲---我要学。

利用情境活动中的三个问题的解析式提出”自变量的取值有限制吗’这一问题，从而勾起学生求知的欲望-----我想学，调动学生的主动性。

3、实践应用：结合所学知识应用到实践中---我学会。

这一活动中我设计了两个例题，其中例1是针对单纯解析式中的函数自变量取值范围，例2是在实际应用中的自变量取值范围。

每个题目都让学生分组完成，尽量照顾到每位同学的态度，使每个人都参与其中，都能发表自己的见解。

4、交流反思：引导学生回顾在活动中的得失，以提高自己---我会学。

根据实践活动的应用，引导学生反省自己在活动中的得失，以弥补不足之处，同时锻炼归纳总结的能力，以便更好的形成知识体系。

在活动的设计上，我注重了活动的目的性、活动的层次性、活动的思维性以及活动的可操作性，和学生的所有交流都是在自然进行的。

在整个教学过程中，始终注重的是学生的参与意识；注重学生对待学习的态度是否积极；注重引导学生从数学的角度去思考问题，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。

我在课堂上，尽量留给学生更多的空间，让学生有更多的展示自己的机会，让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中，充分调动他们的非智力因素，特别是内在动机，让他们以强烈的求知欲和饱满的热情来学习新知识，在老师和同学的鼓励与欣赏中认识自我，找到自信，体验成功的乐趣，从而树立起学好数学的信心。

日常生活和自然界中函数的事例很多，你能举一个吗？
1．请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量 和函数： (1) y =3000-300x (2) y=x (3) S= πr2
解：(1)常量是3000，－300；变量是x，y；自变量是 x；y是x的函数。 (2)常量是1；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。 (3)常量是π；变量是r，s；自变量是r；s是r的函数。
2、根据所给的 条件，写出y与x的函数关系式：
1、y 比 x的 1 少2。
3
2、y 是 x的 倒数的4倍。
1 y x2 3 4 y x
3、矩形的周长是18 cm ,它的长是 ycm，宽是x cm。
y 9 x
4、等腰三角形的顶角度数y与底角x的关系。
Y=180º -2x
思考题： 填表并回答问题：
例： 一个三角形的底边为5，高h可以任意伸缩，三角 5 形的面积也随之发生了变化. h 解:（1）面积s随高h变化的关系式s = ， 2 5 h 其中常量是 2 ，变量是 h和s ， 是自变 量， s 是 h 的函数； 7.5 （2）当h=3时，面积s=______， 25 ； （3）当h=10时，面积s=______
㈡.自变量、函数、函数值：
指出前面三个问题中的自变量与函数. 1.“票房收入问题”中y=10x，对于x的每一个值，y都有 唯一 的值与之对应，所以 x 是自变量，y是x的函数. 唯一 2.“行程问题”中s=60t，对于t的每一个值，s都有 t s t 的值与之对应，所以 是自变量， 是 的函数. 3.“气温变化问题”，对于时间t的每一个值，气温T都 有唯一的值与之对应，所以 t 是自变量， T 是 t 的函数.
在上面的问题反映了不同事物的变化过 程，其中有些量（例如售出票数x，票房收入 y；时间t，路程s……）的值按照某种规律变 化，有些量的值始终不变（例如电影票的单 价10元……）。

函数自变量取值范围的确定策略金山初级中学 庄士忠 201508函数是初中数学一个十分重要的内容，为保证函数式有意义或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。

函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型：（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。

一、 函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数：底数≠0。

典型例题：例1：函数y=x 1-的自变量x 的取值范围在数轴上可表示为【 】A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出y=x 1-的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。

根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使y=x 1-在实数范围内有意义，必须x 10-≥ x 1⇒≥。

故在数轴上表示为：。

故选D 。

例2：函数y =1x 2- 中自变量x 取值范围是【 】A ．x =2 B ．x ≠2 C ．x ＞2 D ．x ＜2 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使1x 2-在实数范围内有意义，必须x 20x 2-≠⇒≠。

故选B 。

例3：函数2y=x+2中自变量x 的取值范围是【 】A ．x ＞﹣2 B ．x ≥2 C ．x ≠﹣2 D ．x ≥﹣2【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使2x+2在实数范围内有意义，必须x+20x 2x >2x+20x 2≥≥-⎧⎧⇒⇒-⎨⎨≠≠-⎩⎩。

求下列各函数的自变量x的取值范围。
（1） y 8x2 3x（4）y 1 4x
（2） y 4 2x 6

（5）y
3x 5 x6
3
y （3） x 2
函数自变量取值范围的条件：
（1）分母不等于0；【1（a≠ 0】
a
（2）开偶数次方中的被开方数必须大
于等于0。【 a（a≥0】
求下面的函数自变量的取值范围：
y 3x 5
y 2 x 1
y 5 x 6 y x 1
想想下面这几道题——
y x2 x3
y x2 x3
y 1 x6
y x 1 x 3
y x4 5x
y x9 x 10
y 5 3x x3 x2
（1）分母不等于0；【 1（a≠ 0】
a
（2）开偶数次方中的被开方数必须大
于等于0。【 a（a≥0】
求下列函数的自变量x的取值范围：
y 1 (x≠0) x
y 1 (x≠-1) x 1
y x (x≥0) y 4x 5
(x为一切实数）
y x2
(x≥2)
y3 x2
(x为一切实数）
习题讲解课
对应两个变量x，y，对应x的每一
个确定的值，y都有唯一确定值与其对
应，那么x是自变量,y是x的函数。(y也
叫因变量)
(1) y=2x+1
(2) y x2 1
(3) y 4x2 8 (4) y2 4x2 8 (5) y x 5
x8
确定函数自变量取值范围的条件：
； https:///gpxipan/ 洗盘 ；
一の一次就把她KO出局了.“呵呵,是谁我们不清楚,总之有段时间她一出门就碰到

自变量和函数1. 什么是自变量和函数1.1 自变量的定义自变量是指在数学和统计学中，独立变量或输入变量，是一个可以自由取值而不受其他变量影响的变量。

自变量的取值不依赖于其他变量的变化。

1.2 函数的定义函数是指将一个集合的元素与另一个集合的元素建立对应关系的规则。

函数可以看作是自变量到函数值的变换规则，它接受自变量作为输入，并返回与之对应的函数值。

2. 自变量和函数的关系2.1 自变量作为函数的输入在函数中，自变量被视为输入，它决定了函数的行为和输出。

自变量的取值范围和取值方式对函数的结果具有重要影响。

2.2 自变量的取值范围和函数的定义域函数的定义域取决于自变量的取值范围。

自变量通常有一个特定的取值范围，也可以是整个实数集合。

函数的定义域是使得函数有定义的所有自变量的取值。

2.3 自变量对函数的影响自变量的变化会对函数的输出产生影响。

不同的自变量取值可能导致不同的函数值，这反映了函数的多样性和灵活性。

3. 自变量的分类3.1 离散自变量离散自变量是指取值有限或无限但可数的自变量。

这种自变量通常以整数或某些特定元素为取值。

3.2 连续自变量连续自变量是指取值可以是任意实数的自变量。

这种自变量可以取无限个取值，并且取值之间可以是连续的。

4. 函数的分类4.1 线性函数线性函数是指自变量的一次函数。

线性函数的特点是函数图像是一条直线。

4.2 幂函数幂函数是指自变量的幂次方函数。

幂函数的特点是自变量和函数值之间的关系是乘方关系。

4.3 指数函数指数函数是指以自然对数为基底的幂次函数。

指数函数的特点是函数图像呈现指数增长或指数衰减的形态。

4.4 对数函数对数函数是指以某个正实数为底的指数函数的反函数。

对数函数的特点是函数图像呈现对数增长或对数衰减的形态。

5. 自变量和函数在实际问题中的应用5.1 函数模型自变量和函数在实际问题中常常用于建立数学模型。

通过将实际问题抽象为自变量和函数的关系，可以用数学方法分析问题并解决问题。

自变量和因变量关系的函数求值与绘图一、函数的概念1.函数的定义：函数是一种数学关系，其中一个变量（自变量）的每一个值都唯一对应另一个变量（因变量）的值。

2.函数的表示方法：解析式、表格、图象等。

二、函数的性质1.单调性：函数在某个区间内，如果随着自变量的增加，因变量也随之增加，则称该函数在该区间内单调递增；如果随着自变量的增加，因变量却减少，则称该函数在该区间内单调递减。

2.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

3.周期性：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x+T)=f(x)，其中T是一个常数，则称f(x)为周期函数。

三、函数的求值1.解析式求值：根据函数的解析式，将自变量的值代入，计算得到因变量的值。

2.表格求值：根据函数的表格，查找自变量的值对应的因变量的值。

3.图象求值：根据函数的图象，通过观察图象与坐标轴的交点，得到自变量的值对应的因变量的值。

四、函数的绘图1.解析式绘图：根据函数的解析式，利用描点法或图象平移法，绘制出函数的图象。

2.表格绘图：根据函数的表格，将自变量和因变量的值对应起来，绘制出函数的图象。

3.图象变换：根据函数的图象，通过平移、缩放、翻转等变换，得到所需函数的图象。

五、自变量和因变量的关系1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系，可以用一次函数或反比例函数表示。

2.非线性关系：自变量和因变量之间存在非线性关系，可以用二次函数、指数函数、对数函数等表示。

六、函数的应用1.实际问题建模：将实际问题转化为函数问题，建立函数模型，求解函数的值或绘制函数的图象。

2.函数优化：利用函数的性质，寻找函数的最值或极值，解决实际问题中的最优化问题。

3.选择题：判断下列函数的单调性、奇偶性、周期性。

a)y=2x+1b)y=-x^2c)y=|x|d)y=sin(x)4.填空题：根据下列函数的解析式，求出函数的值。

函数自变量的取值范围六种类型吉林松花江中学奥培中心 王永会（132013）函数解析式中，自变量的取值范围（即自变量取何值时，函数有意义）是函数的重要组成部分，在解函数的有关问题时，都不能忽视自变量的取值范围。

现总结初中函数自变量取值范围类型供读者参考。

一、 整式型：函数的解析式是整式，自变量的取值范围是全体实数。

例1：求函数y=16-2x 中x 是取值范围。

解： x 取值范围是全体实数。

二、分式型：函数的解析式是分式，由分式的分母不为零确定自变量的取值范围例2：求3212--+=x x x y 中x 取值范围。

解：x 2-2x-3≠0即（x+1）(x-3)310≠-≠∴≠x x 且注意本题不能约去x+1三、二次根式型：函数解析式是二次根式，由每个二次根式子的根被开方数为非负数而确定自变量的取值范围。

例3：求y=x 43-的取值范围。

解：由3-4x 0≥得x 43≤. 四、零指数式型：函数解析式是零指数式，由底不为零确定自变量的取值范围。

例4：求y=(x-2)0中的x 取值范围。

解：由x-20≠得x 2≠的全体实数。

五、复合型：函数解析式是由上述四种类型的复合。

求自变量取值范围时要思考全面。

不要“顾此失彼”。

例5：求函数自变量的取值范围。

21)2(0----=x x x y 解：由题意知⎪⎩⎪⎨⎧≠--≥-≠-0210102x x x 即 x ≥1且 x ≠2和x ≠5.六、实际意义型：函数解析式是表示实际意义的量，因此，它不仅要求解析式有意义，还要符合实际意义。

例6：从含盐的20%的100千克的盐水中，把水蒸发掉x 千克后盐水是浓度为y ，试写出y 与x 的函数关系式及自变量x 取值范围。

解：依题意，得y(100-x)=100⨯20%,即y=x-10020 由水最多有80千克 所以800≤≤x 。