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如何确定函数自变量的取值范围确定函数自变量的取值范围历来是中考的热点问题之一，考题中多以填空、选择形式出现，现在将常见的几种类型及解法归纳如下，以供同学们参考。
一、 自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义。
1、函数关系式是一个含有自变量的整式或奇次根式时，自变量的取值范围是全体实数。
例1、函数y=15-x 21的自变量取值范围是 。
解析：由于15-x 21是整式，所以x 的取值范围是全体实数。
2、当函数关系式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数。
例2、（07哈尔滨）函数34x y x -=-的自变量x 的取值范围是 。
解析：43--x x 是分式，由分母x-4≠0得x≠4,所以x 的取值范围是x≠4。
3、当函数关系式是偶次根式时，自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数。
例3、（07武汉）在函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ）A 、x≥－1B 、x≠1C 、x≥1D 、x≤1解析：此函数关系式是二次根式，由被开方数为非负数可知，x-1≥0，所以x≥1。
故选C 。
4、当函数关系式中，自变量同时含在分式、二次根式中时，函数自变量的取值范围是它们的公共解，即建立不等式组，取它们的公共解。
例4、（07芜湖）函数y =中自变量x 的取值范围是（ ） A 、 x ≥1- B 、 x ≠3 C 、 x ≥1-且x ≠3 D 、 1x <-解析：自变量x 同时含在分式、二次根式中，所以x 的取值范围是它们的公共解。
列不等式组得⎩⎨⎧≠-≥+0301x x 解得x≥－１且x≠3。
故选C 。
二、 自变量的取值必须使实际问题有意义。
当函数关系式表示实际问题或几何问题时，自变量的取值范围既要使函数表达式有意义，也要同时使实际问题及几何问题有意义。
例5、已知等腰三角形的面积为20cm 2，设它的底边长为x （cm ），则底边上的高y （cm ）关于x 的函数关系式为 ，自变量的取值范围是： 。
函数自变量取值范围函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素，一直是中考的热点问题之一，下面举例谈谈这类问题的常见类型和解法供供同学们学习时参考。
一、教法点拨：1.在一般的函数关系式中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含偶次方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数或负整数指数：底数≠0.（5）解析式是上述几种形式组合而成时，应首先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出它们的公共部分；2. 实际问题中自变量的取值范围：（1）注意自变量自身表示的意义；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。
3. 几何图形中函数自变量的取值范围：（1）使函数式有意义；（2）考虑几何图形的构成条件及运动范围。
注意记清各种情况，判断哪一类型，准确计算即可。
二、题型分类：题型一：函数关系式中自变量取值范围1.解析式是整式时, 函数自变量取值范围是全体实数。
（原创题）①y = x2-3 ；②y = 2x -1；③ y =-3x .2.解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数。
①（2018哈尔滨）函数y= 中，自变量x的取值范围是_________。
②(2018武汉）若分式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）[来源:学科网ZXXK] A．x＞－2B．x＜－2C．x＝－2D．x≠－2③(2017哈尔滨)函数Y= 中，自变量X取值范围是____________。
④（2018•宿迁）函数y= 中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0B．x＜1C．x＞1D．x≠13.解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数。
①(2018北京市）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是。
②(2018湖北十堰）函数的自变量x的取值范围是。
一次函数自变量的取值范围
一次函数自变量的取值范围：
1、实数取值：实数取值是指一次函数自变量x可以取任意实数值，例如，x可以取1.2,2.3,3.4……乃至无穷大，这是其中最常见的取值形式。
2、自然数取值：自然数取值指一次函数自变量x可以取自然数值，例如，x可以取1,2,3,4…..，在有的一次函数中，要求函数的取值就是自
然数，这样的取值范围也是可以的。
3、整数取值：整数取值指一次函数自变量x可以取整数值，也就是正
整数、负整数、0。
例如，x可以取-5，-4，-3……0……5等取值，也
就是所有的整数形式。
4、正整数取值：正整数取值指一次函数自变量取值仅限于大于0的整数，例如，x可以取1,2,3……，这样的取值范围是有效可行的。
5、偶数取值：偶数取值指一次函数自变量只能取偶数值，例如，x可
以取2,4,6……，该取值范围有可能在特定的一次函数中使用。
6、比特数取值：比特数取值指一次函数自变量x取值仅限于2的次幂
形式，即1,2,4,8,16……按照8位二进制来取相应的值，在数字信号处理等方面有着重要的应用。
一、自变量的取值范围的确定方法
①当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；
②当解析式是分数的形式时，自变量的取值范围是使分母不为零的所有实数；
③当解析式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
④当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
二、变量及函数的定义
函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个自变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
变量：
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。
（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量：函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量(函数)：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。
三、变量的关系：
1.在具体情境中，感受两个变量之间的关系，就是一个变量随着另一个变量的变化情况，例如随着一个变量的变化，有的变量是呈匀速变化的，有的变量是呈不匀速变化的；
2.进而发现实际情景中的变量及其相互关系，并确定其中的自变量和因变量，会用运动变化的基本观点观察事物。
也就是说，在两个有相依关系的变量中，其中一个是自变量，另一个是因变量；
3.自变量和因变量之间的变化关系可以用表格来刻画，也可以用图象来描述，并能对未来的趋势加以预测。
四、函数自变量的取值范围的确定方法：
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数自变量的取值范围．。
函数自变量的取值范围
函数自变量的取值范围：
①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；
②函数y的取值范围也是任意非零实数。
取值范围怎么求
函数的自变量x的取值范围指的就是函数的定义域，用初中的说法就是使得函数的式子有意义的x的范围。
（1）解析式为整式的，自变量可取任意实数；
（2）解析式是分式的，自变量应取母不为0的实数；
（3）解析式是二次根式或偶次根式的，自变量取被开方数不小于0的实数等；
（4）对于函数解析式复杂的复合函数，应全面考虑，使其解析式中各式都有意义。
如y=1/x+根（3x-1），其取值为x≥1/3.2，对于有实际意义的函数，应当根据实际意义确定其自变量的取值范围。
有限区间
(1)开区间例如:{x|a<x<b}=(a,b)
(2)闭区间例如:{x|a≤x≤b}=[a,b]
(3)半开半闭区间例如:{x|a<x≤b}=(a,b]
{x|a≤x<b}=[a,b)
b-a成为区间长度。
有限区间在数学几何上的意义表现为：一条有限长度的线段。
如何确定函数自变量的取值范围湖北省黄石市下陆中学宋毓彬为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围．函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题．初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为以下三种类型：一、函数关系式中自变量的取值范围在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；⑵函数关系式为分式形式：分母≠0；⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；⑷函数关系式含0指数：底数≠0．例1．在下列函数关系式中，自变量x的取值范围分别是什么？⑴y=2x-5；⑵y=；⑶y=；⑷y=；⑸y=（x-3）0解析：⑴为整式形式：x的取值范围为任意实数；⑵为分式形式：分母2x+1≠0∴x≠－∴x的取值范围为x≠－；⑶含算术平方根：被开方数3x-4≥0 ∴x≥∴x的取值范围为x≥；⑷既含分母、又含算术平方根，故∴x≥－2且x≠0x的取值范围为：x≥－2且x≠0⑸含0指数，底数x-3≠0 ∴x≠3，x的取值范围为x≠3．二、实际问题中自变量的取值范围．在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数．⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．例2、某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表：甲种车辆甲种车辆载客量（单位：人/辆）45 30租金（单位：元）400 280设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．解析：⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x辆，则租用乙种车辆（6－x）辆．y=400x+280（6-x）=120x+1680∴y与x的函数关系式为：y=120x+1680⑵自变量x需满足以下两个条件：240名师生有车坐：45x+30（6-x）≥240 ∴x≥4费用不超过2300元：120x+1680≤2300 ∴x≤5∴自变量x的取值范围是：4≤x≤5三、几何图形中函数自变量的取值范围几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围．特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”．例3．若等腰三角形的周长为20cm，请写出底边长y与腰长x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．解析：底边长y与腰长x的函数关系式为：y=20-2x①x表示等腰三角形腰长：x≥0②三角形中“两边之和大于第三边”：2x＞y 即2x＞20-2x ∴x＞5③等腰三角形底边长y＞0，20-2x＞0，∴x＜10∴自变量x的取值范围是：5＜x＜10作者简介：宋毓彬，男，43岁，中学数学高级教师．在《中学数学教学参考》、《数哩天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》等报刊发表教学辅导类文章40多篇．主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究．。
变量取值范围问题变量取值范围问题是代数学的核心内容之一，是各类考试的热点，也是学生学习中的难点之一；本文试图以中学数学各章节所涉及到的各种类型的变量取值范围问题为线索，勾画出这类问题的总体轮廓，并阐述分析问题的思路、解决问题的方法。
一、函数中的变量取值范围问题1．函数的定义域具体函数的定义域即使函数在实数集内有意义的自变量的取值范围，通过解不等式（组）求得，这里不作更多阐释。
对于抽象的复合函数定义域，首先要清楚复合函数y =))((x g f 的定义域是指“x ”的取值范围，而不是“)(x g ”的取值范围，“外层”函数)(x f 的定义域才是“)(x g ”的取值范围。
例1：已知函数f(x 2-3)=lg 622-x x , (1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；(3)求f(x)的反函数; (4)若f[)(x φ]=lgx,求)3(φ的值。
分析：不等式0622>-x x 的解集是复合函数y =f(x 2-3)的定义域，而不是函数y =f(x)的定义域。
令)(x g = x 2-3， 则)(x g ≥-3 ①，又))((x g f =3)(3)(lg -+x g x g ， 得)(x g ＞3或)(x g ＜-3 ② 由①②可得)(x g 的取值范围，即函数y =f(x)的定义域。
解：（1）∵f(x 2-3)=lg 3)3(3)3(22--+-x x ,∴f(x)=lg 33-+x x ,又由0622>-x x 得x 2-3>3,∴ f(x)的定义域为（3，+∞）。
（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴ f(x)为非奇非偶函数。
（3）由y=lg ,33-+x x 得x=110)110(3-+y y , x>3,解得y>0, ∴f -1(x)=)0(110)110(3>-+x x x (4) ∵f[)3(φ]=lg 3lg 3)3(3)3(=-+φφ,∴33)3(3)3(=-+φφ，解得φ(3)=6。
函数自变量的取值范围六种类型吉林松花江中学奥培中心 王永会（132013）函数解析式中，自变量的取值范围（即自变量取何值时，函数有意义）是函数的重要组成部分，在解函数的有关问题时，都不能忽视自变量的取值范围。
现总结初中函数自变量取值范围类型供读者参考。
一、 整式型：函数的解析式是整式，自变量的取值范围是全体实数。
例1：求函数y=16-2x 中x 是取值范围。
解： x 取值范围是全体实数。
二、分式型：函数的解析式是分式，由分式的分母不为零确定自变量的取值范围例2：求3212--+=x x x y 中x 取值范围。
解：x 2-2x-3≠0即（x+1）(x-3)310≠-≠∴≠x x 且注意本题不能约去x+1三、二次根式型：函数解析式是二次根式，由每个二次根式子的根被开方数为非负数而确定自变量的取值范围。
例3：求y=x 43-的取值范围。
解：由3-4x 0≥得x 43≤. 四、零指数式型：函数解析式是零指数式，由底不为零确定自变量的取值范围。
例4：求y=(x-2)0中的x 取值范围。
解：由x-20≠得x 2≠的全体实数。
五、复合型：函数解析式是由上述四种类型的复合。
求自变量取值范围时要思考全面。
不要“顾此失彼”。
例5：求函数自变量的取值范围。
21)2(0----=x x x y 解：由题意知⎪⎩⎪⎨⎧≠--≥-≠-0210102x x x 即 x ≥1且 x ≠2和x ≠5.六、实际意义型：函数解析式是表示实际意义的量，因此，它不仅要求解析式有意义，还要符合实际意义。
例6：从含盐的20%的100千克的盐水中，把水蒸发掉x 千克后盐水是浓度为y ，试写出y 与x 的函数关系式及自变量x 取值范围。
解：依题意，得y(100-x)=100⨯20%,即y=x-10020 由水最多有80千克 所以800≤≤x 。
