三招绝杀“函数自变量取值范围”

函数定义域的取值范围口诀
确定函数定义域的口诀如下：
1. 函数定义域是函数自变量的取值范围，其实际意义是：自变量取每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应。

因此，定义域的取值范围是由函数的解析式和实际问题的要求共同确定的。

2. 分式函数的分母不能为0，偶次根式函数的被开方数必须大于等于0，零指数幂的底数不能为0，负整数指数幂的底数不能为负数。

3. 函数解析式有意义的情况包括：一元二次函数二次项系数大于0，分式分母不为0等。

在实际应用中，根据问题的实际情况确定自变量的取值范围即可。

希望以上信息对您有帮助。

如需更多信息，建议查阅数学相关书籍或咨询数学教师。

函数自变量取值范围函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素，一直是中考的热点问题之一，下面举例谈谈这类问题的常见类型和解法供供同学们学习时参考。

一、教法点拨：1.在一般的函数关系式中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含偶次方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数或负整数指数：底数≠0.（5）解析式是上述几种形式组合而成时，应首先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出它们的公共部分；2. 实际问题中自变量的取值范围：（1）注意自变量自身表示的意义；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。

3. 几何图形中函数自变量的取值范围：（1）使函数式有意义；（2）考虑几何图形的构成条件及运动范围。

注意记清各种情况，判断哪一类型，准确计算即可。

二、题型分类：题型一：函数关系式中自变量取值范围1.解析式是整式时, 函数自变量取值范围是全体实数。

（原创题）①y = x2-3 ；②y = 2x -1；③ y =-3x .2.解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数。

①（2018哈尔滨）函数y= 中，自变量x的取值范围是_________。

②(2018武汉）若分式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）[来源:学科网ZXXK] A．x＞－2B．x＜－2C．x＝－2D．x≠－2③(2017哈尔滨)函数Y= 中，自变量X取值范围是____________。

④（2018•宿迁）函数y= 中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0B．x＜1C．x＞1D．x≠13.解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数。

①(2018北京市）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是。

②(2018湖北十堰）函数的自变量x的取值范围是。

二次函数速记口诀二次方程零换y，二次函数便出现。

全体实数定义域，图像叫做抛物线。

抛物线有对称轴，两边单调正相反。

A定开口及大小，线轴交点叫顶点。

顶点非高即最低。

上低下高很显眼。

如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。

列表描点后连线，平移规律记心间。

左加右减括号内，号外上加下要减。

二次方程零换y，就得到二次函数。

图像叫做抛物线，定义域全体实数。

A定开口及大小，开口向上是正数。

绝对值大开口小，开口向下A负数。

抛物线有对称轴，增减特性可看图。

线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。

如果要画抛物线，描点平移两条路。

提取配方定顶点，平移描点皆成图。

列表描点后连线，三点大致定全图。

若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。

二次函数与几何方法分为：二次函数与线段及角、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、面积等问题)重要思想：①分类讨论→代表性题型：动态几何问题，存在性讨论问题;②转化思想(待定系数)→代表性题型：面积问题，二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离等; ③最短路径→代表性题型：利用二次函数的对称性求三角形的周长最小时点的坐标;④尺规作图→代表性题型：二次函数中求出直角三角形与等腰三角形时点的坐标，采用直角三角板与圆规进行尺规作图分析;⑤极端值思想→代表性题型：动态几何问题，动态函数问题;⑥数形结合思想→代表性题型：函数与几何综合题。

二次函数的常见考法(1)考查一些带约束条件的二次函数最值;(2)结合二次函数考查一些创新问题二次函数的实际应用在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中，有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值。

那么解决这类问题的一般步骤是：第一步：设自变量;第二步：建立函数解析式;第三步：确定自变量取值范围;第四步：根据顶点坐标公式或配方法求出最值(在自变量的取值范围内)。

高中数学干货：必背的48条秒杀型公式和学习方法除了课本上的常规公式之外，掌握一些必备的秒杀型公式能够帮你在考试的时候节省大量的时间，这次的分享就是48条爆强的秒杀公式，直接往下看！1、适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=（x-1）/（x+1），其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。

x为分离比，必须大于1。

注上述公式适合一切圆锥曲线。

如果焦点内分（指的是焦点在所截线段上），用该公式；如果外分（焦点在所截线段延长线上），右边为（x+1）/（x-1），其他不变。

2、函数的周期性问题（记忆三个）：（1）若f（x）=-f（x+k），则T=2k；（2）若f（x）=m/（x+k）（m不为0），则T=2k；（3）若f（x）=f（x+k）+f（x-k），则T=6k。

注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。

c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。

3、关于对称问题（无数人搞不懂的问题）总结如下：（1）若在R上（下同）满足：f（a+x）=f（b-x）恒成立，对称轴为x=（a+b）/2；（2）函数y=f（a+x）与y=f（b-x）的图像关于x=（b-a）/2对称；（3）若f（a+x）+f（a-x）=2b，则f（x）图像关于（a，b）中心对称4、函数奇偶性：（1）对于属于R上的奇函数有f（0）=0；（2）对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项（3）奇偶性作用不大，一般用于选择填空5、数列爆强定律：（1）等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7（13和7为下角标）；（2）等差数列中：S（n）、S（2n）-S（n）、S（3n）-S（2n）成等差（3）等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S（n+m）=S（m）+q2mS （n）可以迅速求q6、数列的终极利器，特征根方程。

三招确定“函数自变量取值范围”一、问题提出：一个函数关系式的自变量取值是有一定范围的，自变量取值范围必须使关系式或题中条件有意义。

那么如何才能准确地确定自变量的取值范围呢?下面介绍三种方法:第一招: 必须使含自变量的代数式有意义.⑴解析式是整式时,自变量取值范围是全体实数.例如:指出下列各函数的自变量取值范围:①y = x 2-1 ；②y = 3x -2； ③ y =-5x .解:这三个函数式中,右边的式子都是含自变量x 的整式，所以它们的自变量取值范围是全体实数。

⑵解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数.例如: 确定下列函数的自变量取值范围:①y= 2x -； ②y=21x + ； ③ y = 211x - 解：这三个函数式中，右边的式子都是含自变量x 的分式，所以分母不为零时，函数有意义。

所以①中的x ≠0；②中的x ≠-1；③中的x ≠1且x ≠-1⑶解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数.例如：确定下列函数的自变量取值范围:①②； ③；④；⑤解：① x ≥2； ②x ≥-1；③ 全体实数 ；④010x ≥⎧⎪≠ 即 x ≥0且x ≠1；⑤ 全体实数 ⑷含有零指数、负整指数幂的函数,自变量的取值范围是使底数不为零的实数.例如：确定下列函数的自变量取值范围:① y= ()02x -； ②y= )31-解： ①x-2≠0， x ≠2 ;②1010x +≥⎧⎪≠ 即x ≥-1且x ≠0 第二招:必须使实际问题有意义.例如：一辆汽车的油箱中有汽油40升，该车每千米油耗为0.4升，请写出油箱剩余油量Q （升）与行驶路程s （千米）之间的函数关系式，并确定自变量取值范围。

解：Q = 40 -0.4s ∵4000Q s ≥≥⎧⎨≥⎩ ∴40400.400s s ≥-≥⎧⎨≥⎩ ∴0≤s ≤10∴自变量取值范围为0≤s ≤10第三招:必须使图形存在.例1：A 、B 、C 、D 四个人做游戏，A 、B 、C 三人站在三个不同的点上构成一个三角形，且∠BAC=40°， D 在△ABC 内部移动，但不能超越△ABC 。

求函数自变量的取值范围方法总结函数自变量的取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围.求自变量的取值范围一般从两个方面考虑:（1）使函数关系式有意义;（2）符合客观实际.确定自变量的取值范围的方法:（1）如果函数关系式的右边是关于自变量的整式,则自变量的取值范围是全体实数.例如函数1-=x y ,自变量x 的取值范围是全体实数.（2）如果函数关系式的右边是分式,则自变量的取值范围是使分母不等于零的所有实数.例如函数12-=x y ,自变量x 的取值范围是1≠x . （3）如果函数关系式的右边包含二次根号,则自变量的取值范围是使被开方数为非负数.例如函数2-=x y ,自变量x 的取值范围是x ≥2.（4）如果函数关系式是有具体问题建立的,则自变量的取值范围不但要使函数关系式有意义,还要符合实际意义.例如函数2x y =,自变量x 的取值范围是全体实数,如果x 表示正方形的边长,y 表示正方形的面积,则自变量x 的取值范围就变成了0>x （边长不能为负数）.（5）有些函数自变量的取值范围是以上情况的综合,需进行多方面的考虑. 例如函数21-=x y ,自变量x 应满足两个条件:一是满足分母不等于零,二是保证被开方数为非负数,所以得到关于自变量的不等式组⎩⎨⎧≥-≠-0202x x ,求得自变量x 的取值范围是2>x .例1. 求函数131-+-=x x y 中的自变量x 的取值范围.分析:本题中,自变量x 的取值范围应同时满足分母()3-x 不等于零和被开方数()1-x 为非负数.解:⎩⎨⎧≥-≠-0103x x 解这个不等式组得:x ≥1且3≠x .∴自变量x 的取值范围是x ≥1且3≠x .习题1. 函数xx y 2+=的自变量x 的取值范围是__________. 习题2. 函数413-+-=x x y 中自变量x 的取值范围是__________. 习题3. 在函数x xy -=1中, 自变量x 的取值范围是__________.习题4. 下列函数中,自变量的取值范围是2>x 的是 【 】（A ）2-=x y （B ）21-=x y （C ）12-=x y （D ）121-=x y习题5. 函数21--=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 习题6. 下列函数中,自变量的取值范围错误的是 【 】（A ）2-=x y （x ≥2） （B ）11+=x y （1-≠x ） （C ）22x y =（x 取全体实数） （D ）31+=x y （x ≥3-） 习题7. 在函数24-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________.例 2. 已知等腰三角形的周长为20,求底边长y 与腰长x 的函数关系式及自变量的取值范围.分析:本题为易错题,考虑问题不全面导致自变量的取值范围不完整.解决本题要注意两个问题:（1） 边长不能为负数;（2）三角形三边之间的关系.解:由题意得:202=+y x∴y 与x 之间的函数关系式为x y 220-=∵⎪⎩⎪⎨⎧->+>->x x x x x 22002200∴自变量x 的取值范围是105<<x .习题8. 已知等腰三角形的周长为12 cm,底边长y （cm ）是腰长x （cm ）的函数.（1）写出这个函数关系式;（2）求自变量x 的取值范围.专题 自变量的取值范围受哪些因素的影响求函数自变量的取值范围是学习数学的难点,也是历年来中考的热点,那么,如何确定自变量的取值范围呢?一般情况下,可以遵循以下原则:如果函数解析式是整式,则自变量的取值范围是全体实数（整式型）习题9. 函数12+=x y 中,自变量x 的取值范围是__________.分析:因为函数解析式的右边12+x 是整式,所以自变量x 的取值范围是全体实数.习题10. 函数122-+=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________.如果函数解析式含有分式,则自变量的取值范围是使分母不等于零的实数（分式型）习题11. 在函数11-=x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 分析:因为11-x 是分式,所以要求分母不等于零,即01≠-x . 习题12. 函数52-=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 如果函数解析式中含有二次根式,则自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数 习题13. 函数3-=x y 中自变量x 的取值范围是__________.分析:因为3-x 为被开方式,要求被开方式为非负数,所以3-x ≥0,解得x ≥3. 习题14. 函数1+-=x y 中,自变量x 的取值范围是__________.如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则自变量的取值范围是使底数不等于零的实数（指数型）习题15. 函数()221+-=-x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 分析:因为函数解析式中含有负整指数幂,所以要求底数02≠-x ,即2≠x . 实际上,()221+-=-x y ,即221+-=x y . 习题16. 函数()202-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 如果函数解析式兼有上述两种或两种以上的结构特点,则先按上述方法分别求出它们的取值范围,再求它们的公共部分（综合型）习题17. 函数()023---=x x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 习题18. 函数31--=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 习题19. 函数24-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 自变量的取值范围必须符合客观实际,必须使实际问题有意义（如边长不能为负、人数不能为小数等）例3. 某小汽车的油箱可装汽油30升,原装有油10升,现加x 升汽油,如果油价为5元/升,求油箱内汽油的总价y （元）与x （升）之间的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围.分析:本题先求出函数关系式,再由关系式和实际意义确定自变量的取值范围.解:由题意得:()y=x5+10∴50=xy5+∵油箱原有油10升,油箱容量为30升∴自变量x的取值范围是0≤x≤20.（也可以是x0≤20）<习题20. 某台拖拉机油箱中有油60升,工作时每小时耗油6升.（1）求出拖拉机油箱中的剩余油量Q（升）与工作时间t（小时）之间的函数关系式;（2）求出自变量t的取值范围;（3）当拖拉机工作3小时后,油箱中还剩多少升油?。

三角函数-秒杀技巧-最值问题三角函数是高中数学中的一个重要章节，也是考试中的一个难点和重要知识点。

在三角函数中，最为常见的就是求解最值问题，即给定一些函数的定义域，要求确定该函数的最大值或最小值。

下面将详细介绍三角函数的求解最值问题的秒杀技巧。

首先，我们先来回顾一下三角函数的基本性质。

三角函数是代数函数的一种，其定义域是实数集，值域是[-1,1]。

在解决三角函数最值问题时，我们还需要利用到单位圆、周期性、奇偶性等特点。

其次，我们要了解最值问题的一般思路。

对于求解最大值问题，一般是先找到函数的极值点，在极值点中找到最大值。

而求解最小值问题，则是先找到函数的不可求之点，然后求取其他点的最小值。

在找到极值点和不可求之点之后，可以通过画函数图像、用导数等方法求解最值。

接下来，我们将详细介绍三角函数最值问题的秒杀技巧。

1. 利用单位圆：单位圆是一个半径为1的圆，它的圆心为原点O(0,0)。

对于三角函数来说，单位圆的图像非常重要。

利用单位圆的图像，我们可以快速判断三角函数的最大值和最小值。

例如对于正弦函数sin(x)，它的最大值是1，最小值是-1；对于余弦函数cos(x)，它的最大值也是1，最小值也是-1、通过记忆这些最大值和最小值，我们可以快速判断一个三角函数的最值问题。

2. 利用周期性：三角函数都是周期函数，即在定义域内存在一个正整数n，使得f(x + 2πn) = f(x)。

由于周期性的存在，三角函数的最值问题可以转化为在一个周期内求解。

例如对于正弦函数sin(x)，它的周期是2π，因此在0到2π之间寻找最值即可；对于余弦函数cos(x)，它的周期也是2π。

3. 利用奇偶性：三角函数中的正弦函数和正割函数是奇函数，余弦函数、余割函数和正切函数是偶函数。

利用奇偶性，我们可以快速判断三角函数的最值问题。

例如对于正弦函数sin(x)，它的最大值一定在定义域的中点取到；对于余弦函数cos(x)，它的最小值一定在定义域的中点取到。

怎样确定自变量的取值范围函数自变量的取值范围是使函数解析式有意义的自变量的所有可能取值，它是一个函数被确定的重要因素。

求函数自变量的取值范围通常有以下六种方法：一、当函数解析是整式时，自变量的取值范围是一切实数。

例1.求下列函数中自变量x的取值范围：（1）；（2）；（3）分析：以上函数解析式，都是关于自变量x的整式，故自变量x的取值范围都是全体实数。

二.当函数解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的一切实数。

例2.函数中，自变量x的取值范围是________。

分析：要使函数有意义，必须保证：，故应填。

三、当函数解析式是二次根式时，被开方数为一切非负实数。

例3.函数中，自变量x的取值范围是________。

分析：要使函数有意义，必须保证：，解得，故应填。

四.当零次幂或负整数次幂的底数中含有自变量时，该底数不为零。

例4.函数中，自变量x的取值范围是_______。

分析：要使函数有意义，必须保证：，故应填且五、由函数值的变化范围确定自变量的取值范围。

例5.拖拉机的油箱里有油54升，使用时平均每小时耗油6升，求油箱中剩下的油y（升）与使用时间t（小时）之间的函数关系式及自变量t的取值范围。

解：y与t之间的函数关系式是，即易知，从而有即，解得所以自变量t的取值范围是。

六、在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义例6.等腰三角形的周长为20，腰长为x，底边长为y。

求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围。

解：y与x之间的函数关系式是，即如下图，因为三条线段构成三角形的条件是“其中任意两边之和大于第三边”，于是有，解得所以自变量x的取值范围是。

【方法技巧】如何确定函数自变量的取值范围为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围．函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题．初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为以下三种类型：一、函数关系式中自变量的取值范围在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；⑵函数关系式为分式形式：分母≠0；⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；⑷函数关系式含0指数：底数≠0．例1．在下列函数关系式中，自变量x的取值范围分别是什么？⑴y=2x-5；⑵y=；⑶y=；⑷y=；⑸y=（x-3）0解析：⑴为整式形式：x的取值范围为任意实数；⑵为分式形式：分母2x 1≠0∴x≠－∴x的取值范围为x≠－；⑶含算术平方根：被开方数3x-4≥0∴x≥∴x的取值范围为x≥；⑷既含分母、又含算术平方根，故∴x≥－2且x≠0x的取值范围为：x≥－2且x≠0⑸含0指数，底数x-3≠0∴x≠3，x的取值范围为x≠3．二、实际问题中自变量的取值范围．在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量等不能为负数．⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．例2、某学校在2300元的限额内，租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动，每量汽车上至少有一名教师．甲、乙两车载客量和租金如下表：甲种车辆甲种车辆45 30载客量（单位：人/辆）租金（单位：元）400 280设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．解析：⑴由题设条件可知共需租车6辆，租用甲种车x辆，则租用乙种车辆（6－x）辆．y=400x 280（6-x）=120x 1680∴y与x的函数关系式为：y=120x 1680⑵自变量x需满足以下两个条件：240名师生有车坐：45x 30（6-x）≥240∴x≥4费用不超过2300元：120x 1680≤2300∴x≤5∴自变量x的取值范围是：4≤x≤5三、几何图形中函数自变量的取值范围几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围．特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”．例3．若等腰三角形的周长为20cm，请写出底边长y与腰长x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．解析：底边长y与腰长x的函数关系式为：y=20-2x①x表示等腰三角形腰长：x≥0②三角形中“两边之和大于第三边”：2x＞y 即2x＞20-2x ∴x ＞5③等腰三角形底边长y＞0，20-2x＞0，∴x＜10∴自变量x的取值范围是：5＜x＜10。

函数做题秘籍一、函数做题秘籍函数这玩意儿啊，就像个小怪兽，有时候真的很让人头疼，但只要掌握了一些小妙招，就能轻松把它拿下啦。

对于函数的定义域，这就像是小怪兽的活动范围，要特别小心哦。

像分式函数，分母可不能为零，不然这小怪兽就会变得很奇怪啦。

比如说y = 1/x，x就不能等于0。

函数的值域呢，就好比小怪兽能达到的高度或者说力量的范围。

对于一些简单的函数，像一次函数y = kx + b（k≠0），如果k > 0，那它的值域就是全体实数；要是k < 0，也是全体实数。

但像二次函数y = ax²+ bx + c（a≠0），它的值域就有点复杂啦。

如果a > 0，它有最小值，最小值就是(4ac - b²)/4a；如果 a < 0，就有最大值，最大值也是(4ac - b²)/4a。

函数的单调性就像是小怪兽的脾气。

增函数就像小怪兽在兴奋的时候，越来越强大。

比如说y = x²在x > 0的时候就是增函数，随着x的增大，y的值也越来越大。

减函数呢，就像小怪兽在疲倦的时候，越来越弱，像y = -x就是减函数，x越大，y越小。

函数的奇偶性也很有趣。

奇函数就像小怪兽有两面性，f(-x)= -f(x)，像y = x³就是奇函数，你把x换成 -x，y就变成 -y了。

偶函数就像小怪兽很对称，f(-x)=f(x)，y = x²就是偶函数。

在做函数题的时候，一定要多画图。

画图就像给小怪兽拍照片，能让我们更清楚地看到它的样子。

比如画二次函数的图，先找到对称轴x = -b/2a，再找到顶点坐标((-b/2a), (4ac - b²)/4a)，然后再找几个特殊点，这样函数的图就出来了。

还有，做函数题要善于用一些特殊值。

就像在黑暗中找到小怪兽的弱点一样。

比如判断函数的性质，你可以先代入0，1， -1这些特殊值看看。

函数的变换也很重要哦。

像平移变换，y = f(x)向上平移a个单位就变成y = f(x)+a，向下平移就是y = f(x)-a；向左平移b个单位就变成y = f(x + b)，向右平移就是y = f(x - b)。

判断函数的技巧判断函数是数学中重要的概念之一，它在数学中有着广泛的应用。

在数学中，判断函数的技巧可以帮助我们更好地理解函数的特性和性质，从而应用于解决实际问题。

在本文中，我将介绍一些判断函数的技巧，并给出一些实例来说明。

以下是一些判断函数的技巧：1. 定义域和值域判断：一个函数的定义域是指函数的自变量可以取哪些值，值域是指函数的因变量可以取哪些值。

判断函数的定义域和值域需要注意函数的特性和限制条件。

有时候我们需要确定函数的定义域和值域，以便更好地理解函数的行为和性质。

例如，考虑函数f(x) = √(9-x^2)，我们需要找到x的限制条件，以确定函数的定义域。

由于根号内的表达式不能为负数，所以9-x^2 >= 0。

解这个不等式，我们得到-3 <= x <= 3。

因此，函数的定义域是闭区间[-3, 3]。

2. 对称性判断：对称性是判断函数性质的重要指标之一。

在数学中，常见的对称性有奇偶对称和周期性。

- 奇偶对称：如果对于任意的x，函数f(x) = f(-x)，则函数具有奇称性。

如果对于任意的x，函数f(x) = -f(-x)，则函数具有偶对称性。

例如，考虑函数f(x) = x^3。

我们有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。

因此，函数f(x)是一个奇函数。

- 周期性：如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x) = f(x+T)，则函数具有周期性。

例如，考虑函数f(x) = sin(x)。

我们有f(x+2π) = sin(x+2π) = sin(x) = f(x)，其中2π是sin函数的周期。

因此，函数f(x)是一个周期函数。

3. 导数和微分判断：导数和微分是研究函数变化率和函数曲线性质的重要工具。

通过求导或微分，我们可以判断函数的增减性、极值点和凹凸性。

- 增减性：如果函数在某个区间上的导数恒为正（负），则函数在该区间上是递增（递减）的。

例如，考虑函数f(x) = x^2。

1. 函数的定义域（m 为自变量）①m10≠⇒m ②m ⇒m 0≥ ③m 0=mm0≠⇒m ④R m m n ∈⇒-12（n 是正整数）⑤02≥⇒m m n（n 是正整数） ⑥log a m ⇒m ＞0⑦log m b ⇒m ＞0且m 1≠ ⑧ma log 1⇒m ＞0且m 1≠ ⑨m a ⇒m R ∈⑩函数)(m f 的定义域是[]b a , ⇒ 函数)(n f 的定义域也是[]b a , （函数f （ ）小括号里面的任何代数式整体的地位都相同） 函数定义域的秒杀秘诀：（整体法分析） 在高考中或者平时的考试中求函数的定义域， 往往是以x 的代数式出现的，上面10个秘诀就是把x 的代数式形式看成一个整体m1. 函数=)(x f 11+x 的定义域是_____________（秒杀秘诀①）解：1+=x m ⇒-≠⇒1x 正确答案是()()+∞-⋃-∞-,11, 2. 函数=)(x f 2log 12-x 的定义域为_________（秒杀秘诀⑧）解：x >0, log 22-x 0≠,0>⇒x 且x 4≠⇒正确答案是()()+∞⋃,44,03. 函数)(x f =0)1(12-+-x x 的定义域是___________（秒杀秘诀⑤与③）解：12-x 01,0≠-≥x 1,21≠≥⇒x x ⇒正确答案是()+∞⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡,11,214. 函数=)(x f 25-x 的定义域是___________（秒杀秘诀④）解：由秒杀秘诀④2-⇒x 为任何实数R ⇒R x ∈ 正确答案是()+∞∞-,5. 函数)1(+x f 的定义域为[]3,2-，则)12(-=x f y 的定义域是________ （秒杀秘诀⑩）解：41132≤+=≤-⇒≤≤-x m x 12-=⇒x n 与m 的范围相同2505204121≤≤⇒≤≤⇒≤-≤-⇒x x x ⇒正确答案是⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,0学生心得与体会：xyOxyO2.1 二 次 函 数1.c bx ax x f y ++==2)(（a 的符号决定了二次函数的开口方向） （1）0>a(2)0<a学生心得与体会：xyOxy Oxy O2.二次函数的三种解析式 （1）交点式))(()(21x x x x a x f --=秒杀秘诀1：已知)(x f 与x 轴的交点2,1x x 与a，用交点式求二次函数的解析式（2）顶点式k h x a x f +-=2)()(秒杀秘诀2：已知)(x f 的顶点（k h ,）与a ，用顶点式求二次函数的解析式（3）一般式c bx ax x f ++=2)(秒杀秘诀3：已知)(x f 上的三个点的坐标 ，用一般式求二次函数的解析式xyO2. 二次函数的对称轴与二次函数的单调性 （1）对称轴是ab x 2-=学生心得与体会：xyO二 次 函 数3. 二次函数的单调性对称轴（1）看图发现二次函数的总增区间是二次函数单调递增的全集集合=A=A秒杀秘诀4：若题目告诉二次函数在集合B 对应的区间单调递增 ，则集合B 必定是全集集合A 的子集即B A ⊆ （集合思想，也叫子集思想）（2）看图发现二次函数的总减区间是二次函数单调递减的全集集合=Aab x 2-=c bx ax x f ++=2)(⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,xyOxyO秒杀秘诀5：若题目告诉二次函数在集合B 对应的区间单调递减 ，则集合B 必定是全集集合A 的子集即B A ⊆ （集合思想，也叫子集思想）4. 二次函数的值域（1）当自变量R x ∈时，c bx ax x f ++=2)(c ab a a b x a +⨯-+=2224)2(⇒①0>a 时 aa acb a ac b a b x a c a b a b x a x f 44444)2(4)2()(22222∆-=--≥--+=+-+=此时)(x f 有最小值 （判别式ac b 42-=∆）②0<a 时 aa acb a ac b a b x a c a b a b x a x f 44444)2(4)2()(22222∆-=--≤--+=+-+=此时)(x f 有最大值 （判别式ac b 42-=∆）这样在推导理解之后更好记忆由右图数形结合发现0>a 时，)(x f 有最小值a4-∆ a4-∆ 由右图数形结合发现0<a 时，)(x f 有最大值xyO秒杀秘诀6：（2）当自变量x 不是任何实数R 时， 二次函数)(x f 的值域要通过数形结合的方法分析5. 二次函数的恒成立问题与存在性问题 （1）二次函数的恒成立问题①二次函数0)(≥x f 对R x ∈恒成立⇒（易错点）秒杀秘诀7：是或0)(=x 的“p 或q ”形式的复合命题当0=∆时p: 0)(>x f 是真命题, q ：0)(=x f 是真命题，0)(≥x f 是真命题 当0<∆时p: 0)(>x f 是真命题, q ：0)(=x f 是假命题，0)(≥x f 是真命题⇒所以最后取并集 0≤∆xy O当R x ∈时，不管0>a 还是0<a ，二次函数)(x f 的最小值或者最大值都是a4-∆（ac b 42-=∆） 由右图分析开口向上⇒0>a⇒判别式0≤∆0=∆ 0<∆xyOx y O （秒杀秘诀7与秒杀秘诀8容易混淆，下面是我的注解）易错点：c bx ax x f ++=2)(的值域是[)+∞,0（秒杀秘诀8）解：)(x f 值域是[)+∞,0就是)(x f 的值取遍0和所有的正数 由左图分析⇒ 0,0=∆>a主要区别：秒杀秘诀7. 0)(≥x f 是一种“p 或q ”形式的复合命题秒杀秘诀8. )(x f 值域是[)+∞,0就是)(x f 的值取遍0和所有的正数 所以秒杀秘诀7与秒杀秘诀8是截然不同的②二次函数0)(>x f 对R x ∈恒成立⇒秒杀秘诀9：由右图分析开口向上⇒0>a)(x f 与x 轴没有交点，⇒判别式0<∆xyOxyOxy O③c bx ax x f ++=2)(的值域是(]0,∞-（秒杀秘诀10）解：)(x f 值域是(]0,∞-就是)(x f 的值取遍0和所有的负数 由左图分析⇒ 0,0=∆<a④ 二次函数0)(≤x f 对R x ∈恒成立⇒秒杀秘诀11⑤已知d 为常数，)(x f 为二次函数，)(x f d的定义域为全体实数R ⇒ 二次函数0)(≠x f 对R x ∈恒成立⇒ 秒杀秘诀12：由右图分析开口向下⇒0<a⇒判别式0≤∆)(x f 与x 轴没有交点，⇒判别式0<∆0=∆0<∆xy OxyO（2）： 二次函数的存在性问题也叫二次函数的有解问题① 已知二次函数)(x f ，0>a ，0)(<x f 有解⇒ 秒杀秘诀13：②已知二次函数)(x f ，0<a ，0)(>x f 有解⇒ 秒杀秘诀14：由右图分析)(x f 与x 轴有2个交点，⇒判别式0>∆由右图分析)(x f 与x 轴有2个交点，⇒判别式0>∆x y O二 次 函 数 经 典 例 题1.已知c bx x x f ++=2)(，0)2()1(==f f ,求)(x f 的解析式（秒杀秘诀1）解： 由交点式⇒23)2)(1()(2+-=--=x x x x x f 2,3=-=⇒c b⇒23)(2+-=x x x f2.已知c mx x x f +-=2)(2，)(x f 在()+∞,1单调递增，则m 的取值范围是_______ （秒杀秘诀4）解：由题意)(x f ⇒的总增区间是()+∞,m ⇒()+∞,1⊆()+∞,m 1≤⇒m ⇒正确答案是(]1,∞-3. .已知c mx x x f +-=2)(2，)(x f 在()2,∞-单调递减，则m 的取值范围是_______ （秒杀秘诀5）解：由题意)(x f ⇒的总减区间是()m ,∞-⇒()2,∞-⊆()m ,∞- 2≥⇒m ⇒正确答案是[)+∞,24. 12)(2+-=mx mx x f 的值域是[)+∞,0，求m 的值（秒杀秘诀8）解：)(x f 值域是[)+∞,0就是)(x f 的值取遍0和所有的正数 由左图分析⇒0,0=∆>m 10442=⇒=-=∆⇒m m m 或0=m （舍去） 1=⇒m ⇒正确答案是1=m此题是易错题：第8页和第9页有注解区别秒杀秘诀7与秒杀秘诀8xyOxyO5. 12)(2+-=mx mx x f 0≥恒成立，求m 的取值范围（秒杀秘诀7）解：①当0=m 时，1)(=x f 0>恒成立0=⇒m 符合 ②当0≠m 时，)(x f 为二次函数，由右图分析⇒ 0,0≤∆>m 100442≤<⇒≤-=∆⇒m m m 由①②可以⇒10≤≤m ⇒正确答案是[]1,0 6. =)(x g mmx x ++21的定义域为全体实数R ，求m 的取值范围 (秒杀秘诀11)解：由题意02≠++⇒m mx x 对全体实数R 恒成立即=)(x f m mx x ++2与x 轴没有交点0)4(42<-=-=∆⇒m m m m40<<⇒m ⇒正确答案是()4,07. 若存在实数x 使m mx x x f +-=2)(0<，求m 的取值范围 （秒杀秘诀12）解：由题意及右图0)4(42>-=-=∆⇒m m m m 0<⇒m 或4>m ⇒正确答案是()()+∞⋃∞-,40,xy OxyO3. 指 数 运 算 及 指 数 函 数1. 指数运算① n m n m a a a +=⨯ ② mn n m a a =)( ③ n n n b a b a =⨯)( ④ n n aa 1=- ⑤ na 1)(=a n⑥ ==nm nm a a 1)()(m na2. 指数函数x a x f =)( )1,0(≠>a a （1） 1>a ①图像如右图②定义域：R x ∈③单调性：在定义域R x ∈单调递增 ④值域：()+∞,0⑤易错点：当0<x 时由图1)(0<<⇒x f （秒杀秘诀1） （2） 10<<a①图像如右图②定义域：R x ∈③单调性：在定义域R x ∈单调递减④值域：()+∞,0 ⑤易错点：当0>x 时由图1)(0<<⇒x f3. 指数函数的复合性（复合函数）)()(x h a x f =， )(x h 的增区间是A ，)(x h 的减区间是B（秒杀秘诀2）（1）1>a )(x f ⇒的增区间是A ， )(x f 的减区间是B（秒杀秘诀3）（2）10<<a )(x f ⇒的增区间是B ， )(x f 的减区间是A4. 指数函数的单调性（秒杀秘诀4） （1） 1>a )(x f ⇒在R 上单调递增⇒2121)()(x x x f x f >⇔> 此时)0(1)(f x f =>⇒ 0>x （ 1一般都写成)0(f 的形式）（秒杀秘诀5） （2）10<<a )(x f ⇒在R 上单调递减⇒2121)()(x x x f x f <⇔> 此时)0(1)(f x f =>⇒ 0<x （ 1一般都写成)0(f 的形式）学生心得与体会：1. 若关于x 的方程15+=m x 有负根，则m 的取值范围是___________ 解：（秒杀秘诀1）由题意0<⇒x 150<<⇒x 01110<<-⇒<+<⇒m m ⇒正确答案是()0,1-2. 当0>x 时，函数x a x f )23()(-=1>恒成立，求a 的取值范围 解：x a x f )23()(-=1>=0),0()()0()23(0>>⇒=-x f x f f a （秒杀秘诀4）⇒x a x f )23()(-=是增函数1123>⇒>-⇒a a⇒正确答案：a 的取值范围是()+∞,13. 求函数xx x f 22)31()(-=的单调区间解：（秒杀秘诀3）131<=a ，令)(x h =x x 22-=1)1(2--x⇒)(x h 的增区间是()+∞,1， )(x h 的减区间是()1,∞-)(x f ⇒的增区间是()1,∞-，)(x f 的减区间是()+∞,1学生心得与体会：4. 对数运算及对数函数1. 对数运算),(21t t a N a M == （1）11log log t a M t a a ==（2）N a Na =log证明： N a aat t a Na a ===22log log（3）)(log log log MN N M a a a =+证明: 左边=2121log log t t a a t at a +=+, 右边=212121log )(log t t aa a t t a tt a +==⨯+，⇒左边=右边⇒原命题成立（4）)(log log log NMN M a a a =-证明: 左边=2121log log t t a a t at a -=-, 右边=212121log )(log t t a aa t t a t t a -==-，⇒左边=右边 ⇒原命题成立（5）)(log log R x M x M a xa ∈=证明: 左边=111log )(log xt a a xt ax t a ==, 右边=11log xt a x ta =，⇒左边=右边⇒原命题成立换 底 公 式),(21tt a N a M ==（6）a MM b b a log log log =证明: 左边=11log t a t a=, 令右边x =⇒ 11log log log log log t x a a M a a x M x aMt x x b b b b b =⇒==⇒==⇒=右边=左边1t =⇒原命题成立（秒杀秘诀1）应用①当10=b 时⇒===NMa M a M Mb b a lg lg log log log log log 1010（秒杀秘诀2）应用②当e b =时⇒===NM a M a M M b b a lg lg log log log log log 1010N MM a lg lg log =NMM a ln ln log =（秘诀秘诀3）应用③（互为倒数）⇒=⨯=⨯1lg lg lg lg log log baa b a b b a（秒杀秘诀4）应用④ ⇒===N mn a m N n a N N a m nna mlog lg lg lg lg log1. =⨯4log 9log 32________解：=⨯4log 9log 32=⨯23222log 3log 4142log 3log 2232=⨯=⨯⨯⨯⇒正确答案是42.=+10log 21009log 33_______ 解：=+10log 21009log 33233310log 100log 9log +-=2100log 100log 233=+-1log log =⨯a b b a⇒=N mnN a n a m log logxyOxy OxyO2. 对 数 函 数 图 象 x x f a log )(= （1,0≠>a a ） （1） 0>a ①定义域：()+∞,0 ②值域： ()+∞∞-,③单调性：在定义域：()+∞,0 上单调递增 ④ 图象：右图⑤ 易错点： 当10<<x 时由图0)(<⇒x f ，0)1(=f （2） 10<<a ①定义域：()+∞,0 ②值域： ()+∞∞-,③单调性：在定义域：()+∞,0 上单调递减 ④ 图象：右图⑤ 易错点： 当10<<x 时由图0)(>⇒x f ，0)1(=f （秒杀秘诀5）：x x f a log )(= （偶函数） 1>a① 图象：右图② 定义域：()),0(0,+∞⋃∞-③值域： ()+∞∞-,④单调性：在定义域：()+∞,0 上单调递增，在()0,∞-上单调递减 ⑤奇偶性：偶函数，图象关于Y 轴对称xy OxyO（秒杀秘诀6）：x x f a log )(= （偶函数） 10<<a ③ 图象：右图④ 定义域：()),0(0,+∞⋃∞- ③值域： ()+∞∞-,④单调性：在定义域：()+∞,0 上单调递减，在()0,∞-上单调递增 ⑤奇偶性：偶函数，图象关于Y 轴对称（秒杀秘诀7）x x f a log )(= （1>a 的图象与10<<a 的图象几乎差不多）⑤ 图象：右图⑥ 定义域：),0(+∞ ③值域： [)+∞,0④单调性：在定义域：()1,0 上单调递减，在()+∞,1上单调递增 ⑤重要结论：若))(()(n m n f m f ≠=1=⇒mn证明：设b y ==))(()(n m n f m f ≠=⇒直线b y =与)(x f 有两个交点， 两个交点的横坐标分别是n m ,由图发现n m ,中必有一个大于1，另外一个小于1大于0， 不妨设1,10><<n m 0log ,0log ><⇒n m a a,log log )(,log log )(n n n f m m m f a a a a ==-==⇒)()(n f m f =n m a a log log =-⇒0)(log 0log log =⇒=+⇒mn n m a a a 1=⇒mn学生心得与体会：对数函数的复合性（复合函数）)(log )(x h x f a =， )(x h 的单调增区间是A ，)(x h 的单调减区间是B（秒杀秘诀8）（1）1>a )(x f ⇒的单调增区间是A ， )(x f 的单调减区间是B （秒杀秘诀9）（2）10<<a )(x f ⇒的单调增区间是B ， )(x f 的单调减区间是A1. 若函数)(x f x a )(log 21=在R 上为增函数，则a 的取值范围是________解：由题意⇒=>1log 21a 2100,2121log 21<<⇒><⇒a a a ⇒正确答案是⎪⎭⎫⎝⎛21,02. 如果,0log log 3131<<y x 则 （ ）.1.B x y A <<1<<y x .1.D y x C <<xy <<1 解：=)(m f m31log 在定义域>x 上是减函数，=<<0log log 3131y x 1log 31)0()()(f y f x f <<⇒1>>⇒y x ⇒xy <<1⇒正确答案是DxyO3. x x f a log )(=在[)+∞∈,2x 上总有,1)(>x f 求a 的取值范围 解：x x f a log )(=axlg lg =，[)+∞∈,2x 0lg 01lg 2lg lg >⇒=>≥⇒x x ⇒ =)(x f 1lg lg lg lg >=axax ，0lg >a a x lg lg >⇒⇒a x lg 2lg lg >≥⇒ ① 当1>a 时⇒a a lg lg 2lg =>1,2>>⇒a a 21<<⇒a② 当10<<a 时⇒a a a a 1lg lg lg lg 2lg 1==-=>-a12>⇒（a 是正数）去分母⇒12110,2112<<⇒<<>⇒>a a a a 由①②对a 取并集21<<⇒a 或121<<a ⇒正确答案：a 的取值范围是()2,11,21⋃⎪⎭⎫⎝⎛4. x x f a log )(=，若))(()(n m n f m f ≠=，求22n m +的取值范围（秒杀秘诀7）解：设b y ==))(()(n m n f m f ≠=⇒直线b y =与)(x f 有两个交点， 两个交点的横坐标分别是n m ,由图发现n m ,中必有一个大于1，另外一个小于1大于0， 不妨设1,10><<n m 0log ,0log ><⇒n m a a,log log )(,log log )(n n n f m m m f a a a a ==-==⇒)()(n f m f =n m a a log log =-⇒0)(log 0log log =⇒=+⇒mn n m a a a 1=⇒mn⇒22n m +mn 2≥=2，)(n m ≠⇒22n m +2>⇒正确答案：22n m +的取值范围是()∞+,2xyO5. 求)34(log )(261+-=x x x f 的单调区间 （秒杀秘诀9）解：由题意⇒10)3)(1(0342<⇒>--⇒>+-x x x x x 或3>x令=)(x h 1)2(3422--=+-x x x ⇒)(x h 的单调增区间是()∞+,3，)(x h 的单调减区间是()1,∞-，)(log )(61x h x f =在定义域1<x 或3>x 是减函数⇒)(x f ⇒的单调增区间是()1,∞-， )(x f 的单调减区间是()∞+,3学生心得与体会：易错点：任何函数题目先求定义域2=x)(x h 定义域是1<x 或3>xxyO5. 反比例函数xkx f =)(（奇函数）1.0>k ，xk x f =)( （1）图像：如右图（2）定义域：()),0(0,+∞⋃∞- （3）值域： ()),0(0,+∞⋃∞-（4）单调性： ①在单调分区间()0,∞-上单调递减，在单调分区间在),0(+∞上单调递减 （易错点） ②在总区间()),0(0,+∞⋃∞-整体上不是单调递减函数，更不是单调递增函数 举反例：比如,11<-但是)1(0)1(f f <<-⇒)1()1(f f <-⇒)(x f 在总区间()),0(0,+∞⋃∞-整体上不是单调递减函数，更不是单调递增函数 )(x f ⇒在总区间()),0(0,+∞⋃∞-整体上没有单调性（秒杀秘诀1）学生心得与体会：xyO2. 0<k ，xk x f =)( （1）图像：如右图（2）定义域：()),0(0,+∞⋃∞- （3）值域：()),0(0,+∞⋃∞-（4）单调性： ①在单调分区间()0,∞-上单调递增，在单调分区间在),0(+∞上单调递增 （易错点） ②在总区间()),0(0,+∞⋃∞-整体上不是单调递增函数，更不是单调递减函数 举反例：比如,11<-但是)1(0)1(-<<f f ⇒)1()1(-<f f ⇒)(x f 在总区间()),0(0,+∞⋃∞-整体上不是单调递增函数⇒)(x f 在总区间()),0(0,+∞⋃∞-整体上不是单调递减函数，更不是单调递增函数)(x f ⇒在总区间()),0(0,+∞⋃∞-整体上没有单调性（秒杀秘诀2）学生心得与体会：6. 函数的性质（重点）1．函数的增减性① )(x f 的定义域总区间A 内的一个子区间B 上， 如果对于任意两个实数21,x x ∈B当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么)(x f 在A 的子区间B 上是单调递增的 （B 是A 的子集， B ⊆A ） ②)(x f 的定义域总区间A 内的一个子区间B 上， 如果对于任意两个实数21,x x ∈B当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么)(x f 在A 的子区间B 上是单调递减的 （B 是A 的子集， B ⊆A ）2．函数的单调区间（A 是定义域总区间）①如果)(x f 在A 的子区间B 上是单调递增的，那么B 是)(x f 单调增区间 ②如果)(x f 在A 的子区间B 上是单调递减的，那么B 是)(x f 单调减区间3. 函数的单调性①在整个定义域总区间具有单调性的函数： 一次函数，指数函数， 对数函数②在整个定义域总区间的子区间具有单调性的函数： 二次函数，反比例函数，4. 复合函数的单调性)(),(x h x m 在相同的区间A 上具有单调性（秒杀秘诀1）①)(x m 为增函数，)(x h 为增函数 ⇒)()(x m x f =+)(x h 为增函数 （秒杀秘诀2）②)(x m 为减函数，)(x h 为减函数 ⇒)()(x m x f =+)(x h 为减函数 （秒杀秘诀3）③)(x m 为增函数，)(x h 为减函数 ⇒)()(x m x f =—)(x h 为增函数 （秒杀秘诀4）④)(x m 为减函数，)(x h 为增函数 ⇒)()(x m x f =—)(x h 为减函数学生心得与体会：myO5. 复合函数的代表（重点） （1）指数函数的复合函数：已知)()(x h a x f =， )(x h 的增区间是B ，)(x h 的减区间是C（秒杀秘诀5）（1）1>a )(x f ⇒的增区间是B ， )(x f 的减区间是C（秒杀秘诀6）（2）10<<a )(x f ⇒的增区间是C ， )(x f 的减区间是B（2）对数函数的复合函数：已知)(log )(x h x f a =， )(x h 的单调增区间是B ，)(x h 的单调减区间是C （秒杀秘诀7）（1）1>a )(x f ⇒的单调增区间是B ， )(x f 的单调减区间是C（秒杀秘诀8）（2）10<<a )(x f ⇒的单调增区间是C ， )(x f 的单调减区间是B（3）幂函数的复合函数：（秒杀秘诀9）已知m m x f ==21)(， )(x h 只有一个总单调增区间D=[)+∞,0 当)(x h m =时，)(x h 的单调增区间是B ，)(x h 的单调减区间是C)(x f ⇒的单调增区间是B ， )(x f 的单调减区间是Cm m f =)(6. 函数的奇偶性（秒杀秘诀10）奇函数（1） 定义：)(x f 的图像关于原点对称 )(x f ⇒是奇函数（2） 公式：①)(x f 定义域),(n m 关于原点对称 )0(=+n m n m ,(互为相反数)②0)()(=-+x f x f （)(),(x f x f -互为相反数）① ②同时满足)(x f ⇔是奇函数（3）当)(x f 在原点有定义⇒0)0(=f（秒杀秘诀11）偶函数（1）定义：)(x f 的图像关于y 轴对称 )(x f ⇒是偶函数（2）公式：①)(x f 定义域),(n m 关于原点对称 )0(=+n m n m ,(互为相反数)②)()(x f x f -=①②同时满足)(x f ⇔是偶函数（秒杀秘诀12）偶函数的重要结论：)()(x f x f =（秒杀秘诀13）奇函数的代表函数， 当)(x f 定义域关于原点对称时 ①)(x f kx = （正比例函数，特殊的一次函数） ②)(x f 12-=n x （Z n ∈） （特殊的幂函数）③)(x f =⨯)(x h )(x p ，)(x h 是奇函数，)(x p 是偶函数 （)(x h 与)(x p 的定义域相同）学生心得与体会：（秒杀秘诀14）偶函数的代表函数， 当)(x f 定义域关于原点对称时 ①)(x f kx = （带绝对值的正比例函数） ②)(x f x a =（带绝对值的指数函数） ③)(x f x a log =（带绝对值的对数函数） ④)(x f n x 2= （Z n ∈） （特殊的幂函数）⑤)(x f =⨯)(x h )(x p ，)(x h 与)(x p 奇偶性相同 （)(x h 与)(x p 的定义域相同） （秒杀秘诀15）①奇函数⨯偶函数=奇函数②奇函数⨯奇函数=偶函数③偶函数⨯偶函数=偶函数学生心得与体会：1. )0()(2≥++=x m bx x x f 是单调函数的充要条件是_________ 解：)(x f 开口向上⇒)(x f 在[)+∞,0上只能是单调递增)(x f 的总单调增区间是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2b ⇒[)+∞,0⊆⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2b 002≥⇒≤-⇒b b ⇒正确答案是[)+∞,02. 求函数x x x f --+=63)(的值域解：06,03≥-≥+x x 63≤≤-⇒x ，=)(x m 3+x 在63≤≤-x 是增函数， =)(x h x -6在63≤≤-x 是减函数⇒)()(x m x f =—)(x h 在63≤≤-x 为增函数33090)3()(min -=-=-=-=⇒f x f30309)6()(max =-=-==⇒f x f正确答案是)(x f 的值域是[]3,3-3. 已知偶函数)(x f 的定义域是()22,+-t t ，则实数=t ______ 解：由题意⇒2022-=⇒=++-t t t 正确答案是2-=t4. 求)1(log )(2+=x x f 的单调区间解：令1)(+==x x m A 10->⇒>x （定义域），A x f 2log )(=在0>A 上是增函数1)(+==x x m A 在定义域1->x 上是增函数⇒)(x f 在定义域1->x 上是增函数)(x f 只有一个单调递增区间：()+∞-,15. 已知偶函数)(x f 在区间[)+∞,0上单调递增，则满足)51()12(f x f <- 求x 的取值范围解：由偶函数)()(x f x f =⇒)12()12(-=-x f x f ，[)+∞∈-,012x ，[)+∞∈,051)51()12(f x f <-⇒)12(-x f )51(f <，)(x f 在区间[)+∞,0上单调递增⇒5352562545112515112<<⇒<<⇒<-<-⇒<-x x x x ⇒ 正确答案：x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛5352，学生心得与体会：函数的对称性与周期性1. 函数的对称性①若)2()(x m f x f -=恒成立⇒)(x f 图像关于直线m x =对称 （直线m x =是)(x f 的一条对称轴）②若0)2()(=-+x m f x f 恒成立⇒)(x f 图像关于点P ()0,m 对称 （点P ()0,m 是)(x f 的一个对称中心）2. 函数的周期性如果)(x f 的最小正周期是T ， m nT k +=)()(m f k f =⇒ （作用是简化计算） 1. )4()(,)(2x f x f n mx x x f -=+-=，求____=m 解：2)4()(=⇒-=x x f x f 是)(x f 的对称轴，2mx =也是)(x f 的对称轴422=⇒=⇒m m⇒正确答案：4=m2. )(x f 的最小正周期是10，1)3(=f ，求)2003(f 解： ⇒=10T )2003(f ==+)3200(T f 1)3(=f ⇒正确答案：)2003(f 1=7. 函数的值域1. =)(x f 整式+根式⇒优先考虑用换元法2. =)(x f 根式+根式⇒优先考虑用复合函数的单调性3. =)(x f fex dx cbx ax ++++22，定义域为任意的实数R （d a ,不能同时为0）⇒优先考虑用判别式法4. =)(x f xk⇒优先考虑用数形结合法 5. b kx x f +=)( ⇒优先考虑用数形结合法 6. c bx ax x f ++=2)(（0≠a ）① 定义域为任意的实数R 时⇒一定用公式法)(x f 的最小值或者最大值是a4-∆ ② 定义域不为任意的实数R 时⇒优先考虑用数形结合法 7. )()(x h a x f =⇒优先考虑用复合函数的单调性 8. )(log )(x h x f a =⇒优先考虑用复合函数的单调性 9. )()(x h x f =⇒优先考虑用复合函数的单调性学生心得与体会：1. 求函数12)(--=x x x f 的值域 （换元法） 解：令)0(1≥-=m x m 12+=⇒m x⇒m m m f x f -+==22)()(2222+-=m m )0(≥m利用二次函数的图像与数形结合的方法很容易⇒)(x f 的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,815 2. 求函数)45(log )(23+-=x x x f 的值域 （复合函数法） 解：10452<⇒>+-x x x 或5>x ，452+-x x 在定义域1<x 或5>x 可以取到()∞+,0上所有的数⇒)45(log )(23+-=x x x f 的值域是R3. 求11)(2-+--=x x x x f 的值域 （判别式法） 解：令1)(2-+-=x x x h ，判别式1∆341)1()1(412-=-=-⨯-⨯-=0)(<⇒x h 恒成立⇒分母不为0恒成立⇒)(x f 的定义域为R令=y 11)(2-+--=x x x x f 01)1(2=-+-+⇒y x y yx ① 当0=y 时1=⇒x②当0≠y ⇒01230)1(4)1(222≤--⇒≥---=∆y y y y y1310)1)(13(≤≤-⇒≤-+⇒y y y 且0≠y由①②⇒131≤≤-y )(x f ⇒的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,314. 求x x x f 4log )(4+=，[]4,1∈x ，求)(x f 的值域 （复合函数的单调性） 解：x x h x x m 4)(,log )(4==在[]4,1∈x 单调递增 ⇒x x x f 4log )(4+=在[]4,1∈x 单调递增 ⇒==)1()(min f x f 441log 4=+5. 求函数x x x f --+=63)(的值域 （复合函数的单调性） 解：06,03≥-≥+x x 63≤≤-⇒x ，=)(x m 3+x 在63≤≤-x 是增函数， =)(x h x -6在63≤≤-x 是减函数⇒)()(x m x f =—)(x h 在63≤≤-x 为增函数33090)3()(min -=-=-=-=⇒f x f30309)6()(max =-=-==⇒f x f正确答案是)(x f 的值域是[]3,3-学生心得与体会：6. 设e b a ,0,0>>是自然对数的底数，（ ） （复合函数的单调性） .A 若b e a e b a 32+=+，则b a > .B 若b e a e b a 32+=+，则b a < .C 若b e a e b a 32-=-，则b a > .D 若b e a e b a 32-=-，则b a <解：我们不妨先看A 选项b e a e b a 32+=+>b e b 2+)0(>b⇒b e a e b a 22+>+ 令)()()(x h x m x f +=，=)(x m x x h e x 2)(,==)(x m x x h e x 2)(,=这两个函数在R 上都是单调递增的函数⇒x e x h x m x f x 2)()()(+=+=在R 上是单调递增， b e a e b a 22+>+)()(2)(,2)(b f a f b e b f a e a f b a >⇒+=+=，)(x f 在R 上是单调递增b a >⇒⇒A 选项正确，又因为高考数学选择题只有一个正确答案⇒A 选项是正确答案（D C B ,,三个选项不需要看）（自然对数7.2≈e ⇒>1=)(x m x e 在R 上是增函数）学生心得与体会：7. 设,0,0>>b a （ ） （复合函数的单调性） .A 若b a b a 3222+=+，则b a > .B 若b a b a 3222+=+，则b a < .C 若b a b a 3222-=-，则b a > .D 若b a b a 3222-=-，则b a < 解：我们不妨先看A 选项b a b a 3222+=+>b b 22+)0(>b⇒b a b a 2222+>+ 令)()()(x h x m x f +=，=)(x m x x h x 2)(,2= =)(x m x x h x 2)(,2=这两个函数在R 上都是单调递增的函数 ⇒x x h x m x f x 22)()()(+=+=在R 上是单调递增， b a b a 2222+>+ )()(22)(,22)(b f a f b b f a a f b a >⇒+=+=，)(x f 在R 上是单调递增 b a >⇒⇒A 选项正确，又因为高考数学选择题只有一个正确答案⇒A 选项是正确答案（D C B ,,三个选项不需要看）学生心得与体会：。

§18.1.2自变量取值范围与函数值的求法(第二课时)教学过程一、复习引入教师提问：举一个生活中的实例，用实例中的量来说明什么是变量？什么是自变量？什么是因变量？什么是一个变量的函数？学生回答后教师总结：某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。

如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数。

教师提问：填写如图18.1.2-1所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么？如果把这些涂黑的横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y 与x的函数关系式。

二、探究新知（一）几个例子1、教师让学生与邻桌同学讨论后引导学生发现：图18.1.2-1—1（b）中涂黑的格子都在一条直线上，并且会发现y+x=10，即有函数关系式：y=10-x。

2、教师提问：试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式。

学生回答后教师给出答案：y 与x 的函数关系式y=180°-2x 。

3、如图18.1.2-1—2，等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合。

试写出重叠部分面积ycm 2与MN 长度xcm 之间的函数关系式。

学生回答后教师给出答案：y 与x 的函数关系式：221x y. （二）变量的取值范围1、教师讲解：大家会发现，上述的几个实例中，虽然函数关系式本身中的自变量可以取任意实数，但就每一个具体问题而言，每一个自变量的取值都有一个范围。

2、教师提问：（1）在上面问题中所出现的各个函数中，每个自变量的取值范围是怎样的？（2）在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？3、教师可以作以下分析帮学生思考：在思考第1个问题时，主要观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围； 在思考第2个问题时，要考虑三角形内角和是180°，所以等腰三角形的底角的度数x 不可能大于或等于90°。

函数中自变量的知识点总结函数中自变量的知识点总结函数中自变量取值范围的求法：（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的'数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

点的坐标的性质建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。

反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。

对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。

一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。

高中数学绝杀在高中学习数学的过程中，有时候会遇到一些看似无解的难题，但只要掌握了一些绝招，就能轻松解决。

下面将介绍几种高中数学中的绝杀技巧，帮助你在考试或日常学习中游刃有余地应对各种挑战。

1. 方程组解法在求解方程组时，常常会出现需要联立多个方程求解的情况。

这时，可以通过“加减消元法”快速解决问题。

首先将方程组写成标准形式，然后通过适当的乘法和加减运算，使得某一未知数的系数相同或者互为相反数，从而通过相减得到新的方程，再来解得未知数的值。

这一方法适用于各种类型的方程组，能够快速简洁地得到答案。

2. 几何证明技巧几何证明是高中数学中的难点，有时候需要运用一些巧妙的方法才能得到满意的结果。

在进行几何证明时，可以尝试反证法，即假设题目中所要证的结论不成立，看是否能导出矛盾。

另外，还可以运用绘制辅助线的方法，将原题变换成更易证明的形式。

通过巧妙地构图和逻辑推理，可以解决许多看似棘手的几何问题。

3. 微积分技巧微积分是高中数学中内容较为深奥的一部分，需要一定的技巧和灵活性才能掌握。

在求导或积分时，可以通过套用常见的导数与微分表或积分表来简化计算过程，避免繁琐的手算步骤。

此外，对于一些复杂函数的导数或积分，可以尝试运用复合函数求导法、分部积分法等高级方法，提高解题效率，做到事半功倍。

4. 概率统计技巧概率统计是高中数学中的一大难点，需要细心和一定的技巧才能正确解答问题。

在概率计算时，可以利用排列组合的知识进行分析，确定事件发生的可能性。

另外，对于复杂的事件，可以通过树状图或列出所有可能的情况来求解概率。

在统计分析中，可以使用直方图、折线图等形式来展示数据，直观清晰地表达数据的特征和规律。

通过上述几种高中数学中的绝杀技巧，相信你在学习和考试中都能游刃有余地解决各种难题，取得优异的成绩。

只要勤加练习和不断总结经验，数学这门学科也会变得越来越简单有趣。

愿你在数学的道路上越走越远，成为数学的高手！。

求函数值取值范围八法注：红色部分的函数表达式为例题，求解的均为y的取值范围一、分式降次法适用范围：分子次数≥分母次数的分式方法介绍：将分式化为常数和一个分子是常数的分式的和y=3x+2 5−4xy=3x−154+154+2−4x+5=−34+234−4x+5≠−34二、常规配方法适用范围：一元二次整式方法介绍：将一元二次整式转化为a(x+m)2+k的形式y=−x2+x+2(−2<x≤3)y=−(x2−x)+2=−(x2−x+14−14)+2=−(x−12)2+94∴当x=12,y max=94当x=3,|x−12|达到最大，∴y min=−9+3+2=−4即−4≤y≤9 4三、∆法适用范围：分母为二次，分子为一次的分式方法介绍：将y视为常数，整理得关于x的方程，当二次项系数为0时代入验证，否则用Δ ≥0求出一的取值范围y=2x x2+1yx2+y=2xyx2−2x+y=0将y视作常数，得到关于x的方程①y=0 解得x=0，成立②y≠0,这是一个关于x的一元二次方程有∆=4−4y2≥0解得−1≤y≤1∴y的取值范围：（−1≤y≤1且y≠0）或y=0即−1≤y≤1四、换元法适用范围：含根号的式子，且根号内外均为一次方法介绍：将整个根号用另一未知数（如t代替）求出t的取值范围。

在求出x关于t的函数表达式，代入得y关于他的函数表达式求解y=x+√1−2x设t=√1−2x(t≥0)t 2=1−2x,解得x =1−t 22 ∴y =1−t 22+t =−12(t −1)2+1≤1 五、主元配方法使用范围：y 等于一个二元二次整式方法介绍，将一个自变量先作为常数对另一个自变量进行配方，之后将该自变量进行配方 y =a 2+ab +b 2−a −2by =a 2+(b −1)a +b 2−2b=a 2+(b −1)a +(b −12)2+b 2−2b −(b −12)2 =(a +b −12)2+34b 2−32b −14=(a +b −12)2+34(b 2−2b +1)−1 =(a +b −12)2+34(b −1)2−1≥−1 六、平方法使用范围：两个一次根式相加，且根号内自变量系数互为相反数方法介绍：两边平方，得到y 2=常数+一个根号内是二次的根式，对根式进行配方 y =√x −2+√4−xy 2=x −2+4−x +2√(x −2)(4−x )=2+2√−x 2+6x −8=2+2√−(x −3)2+1∵为了根式有意义−(x −3)2+1≥0且−(x −3)2+1≤1∴2≤y 2≤4即√2≤y ≤2七、零点排列法使用范围：若干个自变量系数为1的绝对值相加（自变量和因变量系数不为1可以化为1） 方法介绍：按顺序排列每个绝对值的零点（即使绝对值为0的自变量值，绝对值前系数为几写几次），找到零点的中位数（零点为偶数个时可以任选中间两个的任意一个），代入就可得y 的最小值y =|x −1|+2|x −2|+3|x −3|+4|x −4|按顺序排列零点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，找到其中位数3，即为当y 最小时x 的值代入得y min =8,即y ≥8八、数形结合法使用范围：几个根式相加，根式内是二次且易化为平方和方法介绍：将根式内转化为平方和，再转化为两点间距离，用平移，对称等几何方法求解最小（大）值y =√x 2+9+√x 2−8x +41y =√x 2+32+√(x −4)2+52可以视作x 轴上一点P(x,0)与A(0,3)和 B(4,5)的距离之和，如图作A 关于x 轴的对称点A’(0,-3)AP +BP =A’P +BP ≥A’B =√[5−(−3)]2+(4−0)2=4√5∴y ≥4√5本文章由@handsome 一16制作O xyA BA’P。