高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)222对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质限时规范训练新人教

2.2.2 对数函数及其性质(其次课时)学习目标①进一步理解对数函数的图象和性质;②娴熟应用对数函数的图象和性质解决一些综合问题;③通过例题和练习的讲解与演练,培育学生分析问题和解决问题的实力.合作学习一、复习回顾,承上启下完成下表(对数函数log a(0,且≠0)的图象和性质)<a<a>二、典例分析,性质应用1.函数单调性【例1】比较下列各组中两个值的大小:(1)log67,log76;(2)log3π,log20.8.时,不等式log a(x2-x-2)>log a(-x2+2x+3)成立,求使此不等式成立的x的变式1.已知x=94取值范围.变式2.若函数f(x)=log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,求a的值.【例2】求下列函数的单调性.(1)y=log2(x2+2x-3);(-x2+4x+5).(2)y=lo g132.过定点问题【例3】函数y=log a(x+3)(a>0,且a≠1)的图象恒过定点.变式3.(1)函数y=kx-2k+3的图象恒过定点.(2)函数y=a x-2+3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点.3.函数图象的应用探究1:函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示,回答下列问题.说明哪个函数对应于哪个图象,并说明为什么?探究2:分别画出函数④y=lo g 12x ,⑤y=lo g 15x ,⑥y=lo g 110x 的图象,并找出规律.探究3:y=log a x ,y=log b x ,y=log c x 的图象如图所示,那么a ,b ,c 的大小关系怎样?【例4】已知函数y=lo g a 1x ,y=lo g a 2x ,y=lo g a 3x ,y=lo g a 4x 的图象,则底数及1之间的关系: .变式4.已知y=log m (π-3)<log n (π-3)<0,m ,n 为不等于1的正数,则下列关系中正确的是( )A.1<n<mB.m<n<1C.1<m<nD.n<m<1三、变式演练,深化提高 1.比较大小.(1)log 0.30.7,log 0.40.3;(2)log 3.40.7,log 0.60.8,(13)-12;(3)log 0.30.1,log 0.20.1.2.若定义在区间(-1,0)内的函数f (x )=log 2a (x+1)满意f (x )>0,则a 的取值范围是( ) A.(0,12) B.(0,12] C.(12,+∞)D.(0,+∞)3.已知log a (3a-1)恒为正数,求a 的取值范围.4.函数y=log a x 在[2,4]上的最大值比最小值大1,求a 的值.5.若a>0且a ≠1,且log a 34<1,则实数a 的取值范围是( ) A.0<a<1B.0<a<34C.a>34或0<a<34 D.0<a<34或a>16.函数y=x+a 与y=log a x 的图象可能是( )7.求函数y=lo g 12(3-2x-x 2)的单调区间.四、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些学问? 1. ; 2. ; 3. . 五、作业精选,巩固提高1.假如log a 2>log b 2>0,那么下面不等关系式中正确的是( ) A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>12.当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a -x与y=log a x 的图象是( )3.函数f (x )=log 4(x 2-1),若f (a )>2,则实数a 的取值范围是 . 4.课本P 75习题2.2B 组第1,3,4题.参考答案一、复习回顾,承上启下(0,+∞) R (1,0) (0,+∞) (0,+∞) 二、典例分析,性质应用【例1】解:(1)∵log 67>log 66=1,log 76<log 77=1,故log 67>log 76; (2)∵log 3π>log 31=0,log 20.8<log 21=0,故log 3π>log 20.8. 变式1.解:∵x=94使原不等式成立, ∴log a [(94)2-94-2]>log a [-(94)2+2×94+3], 即log a 1316>log a 3916,而1316<3916,所以y=log a x 为减函数,故0<a<1.原不等式可化为{a 2-x -2>0,-a 2+2x +3>0,a 2-x -2<-a 2+2x +3,解得{a <-1或a >2,-1<a <3,-1<a <52.故使不等式成立的x 的取值范围是(2,52).变式2.a=√24【例2】解:(1)定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).原函数可看做函数y=log 2u 与函数u=x 2+2x-3,x ∈(-∞,-3)∪(1,+∞)的复合函数,因为函数y=log 2u 为增函数,函数u=x 2+2x-3,x ∈(-∞,-3)∪(1,+∞)在(-∞,-3)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,所以,y=log 2(x 2+2x-3)在(-∞,-3)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.(2)在(-1,2)上为减函数,在(2,5)上为增函数. 【例3】(-2,0)变式3.(1)(2,3) (2)(2,4)探究1:y=log 2x 对应①,y=log 5x 对应②,y=lg x 对应③.规律:a>1时,x 轴上方的图象,越靠右的底a 越大,且在直线x=1的右侧. 探究2:画图略.规律:0<a<1时,x 轴上方的图象,越靠右的底a 越大,且在直线x=1的左侧. 探究3:a>c>b【例4】 a 2>a 1>1>a 4>a 3 变式4.C三、变式演练,深化提高1.(1)log 0.30.7<log 0.40.3;(2)log 3.40.7<log 0.60.8<(13)-12;(3)log 0.30.1>log 0.20.1. 2.A3.(13,23)∪(1,+∞)4.12或25.D6.C7.减区间为(-3,-1),增区间为(-1,1) 四、反思小结,观点提炼 1.对数函数单调性及其应用 2.对数函数的图象及其应用3.借对数函数过定点探究函数过定点问题 五、作业精选,巩固提高 1.D 2.B 3.(-∞,-√17)。

2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数及其性质(一)学习目标 1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.知识点一 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).知识点二 对数函数的图象与性质对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质如下表：1.由y ＝log a x ，得x ＝a y ，所以x >0.( √ )2.y ＝2log 2x 是对数函数.( × )3.y ＝a x 与y ＝log a x 的单调区间相同.( × )4.由log a 1＝0，可得y ＝log a x 恒过定点(1,0).( √ )题型一 对数型函数的定义域 例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝log a (3－x )＋log a (3＋x )； (2)y ＝log 2(16－4x ). 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3＋x >0，得－3<x <3，∴函数的定义域是(－3,3). (2)由16－4x >0，得4x <16＝42， 由指数函数的单调性得x <2，∴函数y ＝log 2(16－4x )的定义域为(－∞，2).反思感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变. 跟踪训练1 求下列函数的定义域. (1)y ＝x 2－4lg (x ＋3)；(2)y ＝12－x＋ln(x ＋1). 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域解 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4≥0，x ＋3>0，x ＋3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2或x ≥2，x >－3，x ≠－2，即－3<x <－2或x ≥2，故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞).(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，x ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >－1，∴－1<x <2. 故所求函数的定义域为(－1,2). 题型二 对数型函数的求值问题例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，log 3x ，x >0，(1)求f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫127的值； (2)若f (a )＝12，求a 的值.解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫127＝log 3127＝－3， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫127＝f (－3)＝2－3＝18. (2)当a >0时，由f (a )＝12，得log 3a ＝12.∴a ＝123＝ 3.当a ≤0时，由f (a )＝12，得2a ＝12，∴a ＝－1，综上所述a 的值为－1或 3.反思感悟 理解运算对象，选择运算方法即对于分段函数要注意分类讨论，掌握运算法则，即指数、对数的运算法则，求得运算结果，所以本题充分体现了数学运算的核心素养. 跟踪训练2 已知函数f (x )＝log 3(x ＋1)，若f (a )＝1，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C解析 ∵f (a )＝log 3(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝3，∴a ＝2.题型三 对数函数的图象问题例3 (1)函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的( )答案 C(2)画出函数y ＝lg|x －1|的图象. 考点 对数函数的图象题点 含绝对值的对数函数的图象 解 (1)先画出函数y ＝lg x 的图象(如图).(2)再画出函数y ＝lg|x |的图象(如图).(3)最后画出函数y ＝lg|x －1|的图象(如图).延伸探究1.把本例(1)的条件“y ＝log a x ”改为“y ＝log a (－x )”，则函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 C解析 ∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0， ∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A ，D ； 当a ＞1时，y ＝log a (－x )是减函数， y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x 是减函数，故排除B ； 当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数， y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x 是增函数，∴C 满足条件，故选C. 2.把本例(2)改为f (x )＝|log 2(x ＋1)|＋2，试作出其图象. 解 第一步：作y ＝log 2x 的图象，如图①所示.第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示.第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示.第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图④所示.反思感悟现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点.1.下列函数为对数函数的是()A.y＝log a x＋1(a＞0且a≠1)B.y＝log a(2x)(a＞0且a≠1)C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)D.y＝2log a x(a＞0且a≠1)考点对数函数的概念题点对数函数的概念答案 C2.函数y＝log2(x－2)的定义域是()A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(2，＋∞)D.[4，＋∞)考点对数函数的定义域题点对数函数的定义域答案 C3.函数f(x)＝3－x＋lg(x＋1)的定义域为()A.[－1,3)B.(－1,3)C.(－1,3]D.[－1,3] 答案 C4.已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象只能是下图中的( )答案 B解析 由y ＝log a (－x )，知－x >0，即x <0，可排除A ，C.当a >1时，B 适合. 5.若函数f (x )＝2log a (2－x )＋3(a >0，且a ≠1)过定点P ，则点P 的坐标是__________. 考点 对数函数的性质 题点 对数函数图象过定点问题 答案 (1,3)1.含有对数符号“log ”的函数不一定是对数函数.判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log ”，还要符合对数函数的概念，即形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的形式.如：y ＝2log 2x ，y ＝log 5x5都不是对数函数，可称其为对数型函数.2.研究y ＝log a f (x )的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质.一、选择题 1.给出下列函数：①223log y x ；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点 对数函数的概念 题点 对数函数的概念 答案 A解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数.2.已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( ) A.{x |x >－1} B.{x |x <1} C.{x |－1<x <1}D.∅考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域 答案 C解析 ∵M ＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}， N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}， ∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}.3.函数y ＝log 2(x －1)2－x 的定义域是( )A.(1,2]B.(1,2)C.(2，＋∞)D.(－∞，2) 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，2－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2，∴1<x <2.∴函数的定义域为(1,2).4.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A.y ＝(x )2 B.y ＝x 2 C.2log 2xy =D.y ＝log 22x答案 D解析 因为y ＝log 22x 的定义域为R ，且根据对数恒等式知y ＝x . 5.函数y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A.(2,1) B.(2,0) C.(2，－1) D.(1,1) 答案 A解析 令2x －3＝1，则x ＝2.∴y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点(2,1).6.函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案 A7.已知函数f (x )＝log a (x ＋2)，若图象过点(6,3)，则f (2)的值为( ) A.－2 B.2 C.12 D.－12考点 对数函数的性质 题点 对数函数图象过定点问题 答案 B解析 代入(6,3)，3＝log a (6＋2)＝log a 8， 即a 3＝8，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2(x ＋2)，∴f (2)＝log 2(2＋2)＝2.8.若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致是( )考点 对数函数的图象题点 同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象 答案 D解析 由f (x )的图象可知0<a <1,0<b <1， ∴g (x )的图象应为D. 二、填空题9.函数f (x )＝log 2x －2的定义域是________. 答案 [4，＋∞)解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，log 2x －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≥4，∴x ≥4，∴函数f (x )的定义域为[4，＋∞). 10.已知0<a <1,0<b <1，若log (3)1b x a -<，则x 的取值范围是__________.考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 (3,4)解析 ∵0<a <1， ∴log (3)1b x a-<＝a 0等价于log b (x －3)>0＝log b 1.∵0<b <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3<1，解得3<x <4.11.函数12log (3)y x a =- 的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝________. 答案 2解析 由12log (3)y x a =-知，3x －a >0，即x >a3.∴a 3＝23，即a ＝2. 三、解答题12.求下列函数的定义域： (1)f (x )＝log (x －1)(3－x )； (2)f (x )＝2x ＋3x －1＋log 2(3x －1). 解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2，故f (x )的定义域是(1,2)∪(2,3). (2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x －1≠0，3x －1>0，解得x >13，且x ≠1.故f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫13，1∪(1，＋∞).13.若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的解析式，并画出大致图象.解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x ).又f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x >0，0，x ＝0，－lg (1－x )，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示，14.已知log a (3a －1)恒为正，则a 的取值范围是________. 考点 对数函数的图象 题点 对数函数的图象答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪13<a <23或a >1 解析 由题意知log a (3a －1)>0＝log a 1. 当a >1时，y ＝log a x 是增函数， ∴3a －1>1，解得a >23，∴a >1；当0<a <1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<1，3a －1>0，解得13<a <23.∴13<a <23. 综上所述，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪13<a <23或a >1. 15.已知函数f (x )＝log 21＋x1－x .(1)求证：f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2；(2)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f (－b )＝12，求f (a )的值.(1)证明 左边＝log 21＋x 11－x 1＋log 21＋x 21－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 11－x 1·1＋x 21－x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21－x 1－x 2＋x 1x 2.右边＝log 21＋x 1＋x 21＋x 1x 21－x 1＋x 21＋x 1x 2＝log 21＋x 1＋x 2＋x 1x 21＋x 1x 2－x 1－x 2. 所以左边＝右边.(2)解 因为f (－b )＝log 21－b 1＋b ＝－log 21＋b 1－b ＝12， 所以f (b )＝log 21＋b 1－b＝－12， 利用(1)可知f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ，所以f (a )－12＝1， 解得f (a )＝32.。

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2 对数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、对数函数及其性质1.对数函数一般地，函数y=log a x （a>0，a ≠1）叫对数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是（0,+∞）。

因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）,指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的。

只有形如y=log a x （a>0，a ≠1，x>0)的函数才叫对数函数。

像y=log a (x+1）,y=2log a x ，y=log a x+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数。

对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践.2.对数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=log 2x 及y=log 1/2x 图象列出x ，y 的对应值表，用描点法画出图象：描点即可完成y=log 2x,y=x 21log 的图象，如下图.0 1 2 4 8 x—1—2 y=log 1/2x-3s由表及图可以发现:我们可以通过函数y=log 2x 的图象得到函数y=log 0。

5x 的图象．利用换底公式可以得到：y=log 0。

5x=-log 2x ，点（x,y)与点(x,-y ）关于x 轴对称，所以y=log 2x 的图象上任意一点(x ，y ）关于x 轴对称点(x ，-y ）在y=log 0。

5x 的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log 2x 的图象画出函数y=log 0.5x 的图象．方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象,其关键是作出三个特殊点（a 1,-1),（1，0)，(a ，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法。

"②函数y=log a x 与y=x a 1log 的图象关于x 轴对称。

（2）对数函数y=log a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示: a ＞1 0＜a ＜1图 象定义域（0，+∞） 值 域R 性 质 （1)过点（1,0），即x=1时，y=0要点提示（1）对数函数的图象恒在y轴右方.（2)对数函数的单调性取决于它的底数。

必修1《2.2.2 对数函数及其性质》一、教材分析本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。

对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有很多类似之处。

与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，水平要求也更高。

学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提升，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。

二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生很多学习特点，水平发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。

因为函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算水平有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。

教师必须理解到这个点，教学中要控制要求的拔高，注重学习过程。

三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据实行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

四、教学目标1．通过具体实例，直观理解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生使用函数的观点解决实际问题。

五、教学重点与难点重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．六、教学过程设计教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结（一）熟悉背景、引入课题1．让学生看材料：如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……，假设要求这种细胞经过多少次分裂，大约能够得到细胞1万个，10万个……，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即；图12.引导学生观察这个函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：，都不是对数函数．②对数函数对底数的限制：，且．3．根据对数函数定义填空；例1 （1）函数y=log a x2的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)(2) 函数y=log a(4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a≠1)说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止。

..对数函数及其性质————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第二章 基本初等函数（Ⅰ）§2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时）一．教学目标1．知识技能①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题. 2．过程与方法让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质. 3．情感、态度与价值观①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养学生严谨的科学态度. 二．学法与教学用具1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 2．教学手段：多媒体计算机辅助教学． 三．教学重点、难点1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.2、难点：底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 四．教学过程 1．设置情境在2．2．1的例6中，考古学家利用157302logP 估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C 14含量P ，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log x a y =中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log xa y x=关于的函数．2．探索新知一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为ya x =，由指数的概念，要使y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，ya ＞0，所以(0,)x ∈+∞．例题1：求下列函数的定义域（1）2log a y x = （2）log (4)a y x =- （a ＞0且a ≠1） 分析：由对数函数的定义知：2x ＞0；4x -＞0，解出不等式就可求出定义域． 解：（1）因为2x ＞0，即x ≠0，所以函数2log x a y =的定义域为{}|0x x ≠.（2）因为4x -＞0，即x ＜4，所以函数(4)log x a y -=的定义域为{|x x ＜}4.下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：先完成P 81表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数2log xy =的图象, 再利用电脑软件画出0.5log .xy =的图象x121 2 4 6 8 12 16 y－1 0122.5833.584y0.5log y x =０ x2log y x =注意到：122log log y x x ==-，若点2(,)log x y y x =在的图象上，则点12(,)log x y y x -=在的图象上. 由于（,x y -）与（,x y -）关于x 轴对称，因此，12log y x =的图象与2log y x =的图象关于x 轴对称 . 所以，由此我们可以画出12log y x =的图象 .先由学生自己画出12log y x =的图象，再由电脑软件画出2log y x =与12log y x =的图象.探究：选取底数(a a ＞0，且a ≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？.作法：用多媒体再画出4log y x =，3log y x =，13log y x =和14log y x = 42-2-4-55提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影) 图象的特征函数的性质（1）图象都在y 轴的右边 （1）定义域是（0，+∞） （2）函数图象都经过（1，0）点 （2）1的对数是0（3）从左往右看，当a ＞1时，图象逐渐上升，当0＜a ＜1时，图象逐渐下降 .（3）当a ＞1时，log xa y =是增函数，当0＜a ＜1时，log a y x =是减函数. （4）当a ＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜a ＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .（4）当a ＞1时x ＞1，则log a x ＞00＜x ＜1，log a x ＜0 当0＜a ＜1时x ＞1，则log a x ＜00＜x ＜1，log a x ＜04log y x=3log y x= 14log y x =13log y x =由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：a ＞10＜a ＜1图象性 质（1）定义域（0，+∞）； （2）值域R ； （3）过点（1，0），即当x =1，y =0； （4）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）是上减函数例题训练：1. 比较下列各组数中的两个值大小（1）22log 3.4,log 8.5（2）0.30.3log 1.8,log 2.7（3）log 5.1,log 5.9a a （a ＞0，且a ≠1）分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数2log y x =的图象.在图象上，横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：所以，22log 3.4log 8.5<解法2：由函数2log y x R =在+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以22log 3.4log 8.5<. 解法3：直接用计算器计算得：2log 3.4 1.8≈，2log 8.5 3.1≈（2）第（2）小题类似（3）注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当a ＞1时，log a y x =在（0，＋∞）上是增函数，且5.1＜5.9. 所以，log 5.1a <log 5.9a当a <1时，log a y x =在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9.所以，log 5.1a >log 5.9a解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一， 令 11log 5.1, 5.1,ba b a ==则 令22log 5.9, 5.9,b a b a ==则 则2 5.9b a =则当a ＞1时，x y a =在R 上是增函数，且5.1＜5.9 所以，1b ＜2b ，即log 5.1a ＜log 5.9a当0＜a ＜1时，x y a =在R 上是减函数，且5.1＞5.9 所以，1b ＜2b ，即log 5.1a ＞log 5.9a 说明：先画图象，由数形结合方法解答 课堂练习：Ｐ８５ 练习 第２，３题 补充练习1．已知函数(2)xy f =的定义域为[-1，1]，则函数2(log )y f x =的定义域为2．求函数22log (1)y x x =+≥的值域.3．已知log 7m ＜log 7n ＜0，按大小顺序排列m, n, 0, 1 4．已知0＜a ＜1, b ＞1, ab ＞1. 比较1log ,log ,log a a b b b 1的大小b归纳小结：② 对数函数的概念必要性与重要性; ②对数函数的性质，列表展现.对数函数（第三课时）一．教学目标：1．知识与技能 （1）知识与技能（2）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解. 2．过程与方法学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数的单调性差异. 3. 情感、态度、价值观（1）体会指数函数与指数;（2）进一步领悟数形结合的思想. 二．重点、难点：重点：指数函数与对数函数内在联系难点：反函数概念的理解 三．学法与教具：学法：通过图象，理解对数函数与指数函数的关系. 教具：多媒体 四．教学过程：1．复习（1）函数的概念（2）用列表描点法在同一个直角坐标点中画出22log xy y x ==与的函数图象.`2．讲授新知2x y = x… －3－2－10 1 2 3 … y…18 14 121248…2log y x = x… －3－2－10 1 2 3 … y…18 18 121248…图象如下：探究：在指数函数2xy =中，x 为自变量，y 为因变量，如果把y 当成自变量，x 当成因变量，那么x 是y 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论.在指数函数2xy =中，x 是自变量， y 是x 的函数（,x R y R +∈∈），而且其在R2log y x=2xy =xy上是单调递增函数. 过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2xy =的图象有且只有一个交点.由指数式与对数式关系，22log xy x y ==得，即对于每一个y ，在关系式2log x y =的作用之下，都有唯一的确定的值x 和它对应，所以，可以把y 作为自变量，x作为y 的函数，我们说2log 2()xx y y x R ==∈是的反函数.从我们的列表中知道，22log xy x y ==与是同一个函数图象.3．引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野）当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数.由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数.如3log 3xx y y ==是的反函数，但习惯上，通常以x 表示自变量，y 表示函数，对调3log x y =中的3,log x y y x =写成，这样3log (0,)y xx =∈+∞是指数函数3()x y x R =∈的反函数.以后，我们所说的反函数是,x y 对调后的函数，如2()xy x R =∈的反函数是2log (0,)y xx =∈+∞.同理，(1xy a a =≠且a ＞1）的反函数是log (a y x a =＞0且1)a ≠.课堂练习：求下列函数的反函数（1）5xy = （2）0.5log y x =归纳小结：1. 今天我们主要学习了什么？ 2．你怎样理解反函数？ 课后思考：（供学有余力的学生练习）我们知道(xy a a =＞01)a ≠且与对数函数(a y x a =log ＞0且1)a ≠互为反函数，探索下列问题.1．在同一平面直角坐标系中，画出2log xy y x ==2与的图象，你能发现这两个函数有什么样的对称性吗？2．取2xy =图象上的几个点，写出它们关于直线y x =的对称点坐标，并判断它们 是否在2log y x =的图象上吗？为什么？3．由上述探究你能得出什么结论，此结论对于log (xa y a y xa ==与＞01)a ≠且成立吗？。