2021届数学基础第二章第1讲函数与映射的概念含解析

第一讲函数第1课时变量与函数的概念[学习目标]1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.[知识链接]1.在初中，学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，它们的表达形式分别为y＝kx(k≠0)，y＝kx(k≠0)，y＝ax＋b(a≠0)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0).2.反比例函数y＝kx(k≠0)在x＝0时无意义.[预习导引]1.函数(1)函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.2.区间设a，b∈R，且a＜b.3.要点一 函数概念的应用例1 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个 答案 B 解析数集；(2)A 中任意一个数在B 中必须有并且是唯一的实数和它对应. 注意：A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余.2.函数的定义中“任意一个x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”. 跟踪演练1 下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( ) A.A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1B.A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C.A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 答案 B解析 对于A 项，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一，故不符合.对于B 项，符合函数的定义.对于C 项，2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合.对于D 项，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合. 要点二 求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x |－x.解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足 ⎩⎨⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎨⎧x ≠－1，x ≤1.所以函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义，必须满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x ＜0.∴函数的定义域为{x |x ＜0}.规律方法 1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f (x )由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况. 2.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.跟踪演练2 函数f (x )＝x －2＋1x －3的定义域是( )A.[2,3)B.(3，＋∞)C.[2,3)∪(3，＋∞)D.(2,3)∪(3，＋∞)答案 C解析 要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧x －2≥0，x －3≠0，即x ≥2且x ≠3. 要点三 求函数值或值域 例3 已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ). (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值. 解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112. 规律方法 求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别. 跟踪演练3 求下列函数的值域. (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1；(3)y ＝x x ＋1.解 (1)(直接法)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}.(2)(观察法)∵函数的定义域为{x |x ≥0}， ∴x ≥0， ∴x ＋1≥1.∴函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞). (3)(分离常数法)∵y ＝x x ＋1＝1－1x ＋1， 且定义域为{x |x ≠－1}，∴1x ＋1≠0，即y ≠1. ∴函数y ＝x x ＋1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠1}.1.下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 B解析 根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确. 2.函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A.[1,2)∪(2，＋∞) B.(1，＋∞) C.[1,2) D.[1，＋∞)答案 A解析 由题意可知，要使函数有意义，需满足 ⎩⎨⎧x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1且x ≠2.3.已知f (x )＝x 2＋x ＋1，则f [f (1)]的值是( )A.11B.12C.13D.10答案 C解析f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A.y＝x－1和y＝x2－1 x＋1B.y＝x0和y＝1C.f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D.f(x)＝x2x和g(x)＝xx2答案 D解析A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.5.集合{x|－1≤x＜0，或1＜x≤2}用区间表示为________.答案[－1,0)∪(1,2]解析结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2].第2课时映射与函数[学习目标]1.了解映射、一一映射的概念及表示方法.2.了解象与原象的概念.3.了解映射与函数的区别与联系.[知识链接]函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.[预习导引]1.映射和一一映射的有关概念映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.典型例题要点一映射的判断例1 下列对应是不是从A到B的映射，能否构成函数？(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋1；(2)A＝{a|a＝n，n∈N＋}；B＝{b|b＝1n，n∈N＋}，f：a→b＝1a；(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x；(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆.解(1)当x＝－1时，y的值不存在，∴不是映射，更不是函数.(2)是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素.(3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数.(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是非空数集.规律方法按照映射定义可知，映射应满足存在性——集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性——集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的对应元素.跟踪演练1 在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，试判断由A到B是不是映射？是不是函数关系？解在图(1)中，集合A中任一个数，通过“开平方”在B中有两个数与之对应，不符合映射的定义，不是映射，当然也不是函数关系.图(2)中，元素6在B中没有象，则由A到B的对应关系不是映射，也不是函数关系.图(3)中，集合A中任一个数，通过“2倍”的运算，在B中有且只有一个数与之对应，所以A到B的对应法则是数集到数集的映射，并且是一一映射，这两个数集之间的对应关系是函数关系.图(4)中，对A中的每一个数，通过平方运算在B中都有唯一的一个数与之对应，是映射，数集A到B之间的对应关系是函数关系.要点二映射个数问题例2 已知A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,2}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求满足条件的映射的个数.解(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有1个映射；(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有2个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.因此满足条件的映射共有7个.规律方法对含有附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论.跟踪演练2 集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案 B解析 由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能.要点三 映射的象与原象例3 已知映射f ：A →B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(x ＋2y ＋2,4x ＋y ).(1)求A 中元素(5,5)的象； (2)求B 中元素(5,5)的原象.解 (1)当x ＝5，y ＝5时，x ＋2y ＋2＝17,4x ＋y ＝25. 故A 中元素(5,5)的象是(17,25). (2)令B 中元素(5,5)的原象为(x ，y )， 则⎩⎨⎧x ＋2y ＋2＝5，4x ＋y ＝5，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.故B 中元素(5,5)的原象是(1,1).规律方法 1.解答此类问题：关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则.2.一般已知原象求象时，常采用代入法，已知象求原象时，通常由方程组求解，求解过程中要注意象与原象的区别和联系.跟踪演练3 已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1). (1)求A 中元素(1,2)的象； (2)求B 中元素(1,2)的原象；解 (1)当x ＝1，y ＝2时，3x －2y ＋1＝0,4x ＋3y －1＝9. 故A 中元素(1,2)的象为(0,9).(2)令⎩⎨⎧3x －2y ＋1＝1，4x ＋3y －1＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝617，y ＝917，故B 中元素(1,2)的原象是⎝ ⎛⎭⎪⎫617，917.1.在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法正确的是( ) A.集合B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个 B.集合A 中的某一个元素a 的象可能不止一个 C.集合A 中的两个不同元素所对应的象必不相同 D.集合B 中的两个不同元素的原象可能相同 答案 A解析 根据映射的概念可知：A 中元素必有唯一确定的象，但在象的集合中一个象可以有不同的原象，故A 正确.2.下列对应法则f 为A 到B 的函数的是( ) A.A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x | B.A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2 C.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x D.A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 答案 D解析 在选项A 、B 、C 中，集合A 中的有些元素在对应法则作用下，在集合B 中找不到象.选项D 表示无论x 取何值y 都等于0.所以选D. 3.下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )答案 D解析 按映射的定义判断知，D 项符合.4.设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( )A.(3,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12 D.(1,3)答案 B 解析 由⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝12，故选B.5.已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则从A 到B 的不同映射有________个. 答案 4解析 a →c ，b →c ；a →d ，b →d ；a →c ，b →d ；a →d ，b →c ，共4个.。

映射的概念和函数的概念映射的概念和函数的概念都涉及了数学中的一种关系，在数学中常被用来描述元素之间的对应关系。

虽然映射和函数都描述了元素之间的关系，但在不同的数学领域和语境中，这两个术语的使用可能略有不同。

下面将分别对映射和函数这两个概念进行较为详细的解释。

映射是数学中的一个概念，它描述了元素之间的一种对应关系。

简单来说，映射就是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素，其中每个元素在映射中只能被对应一次。

映射通常用箭头“→”或者表示，例如“f: A →B”，表示把集合A中的元素映射到集合B中的元素。

其中，A称为映射的定义域或者输入域，B称为映射的值域或者输出域。

映射的定义可以相当灵活，可以是任意类型的元素之间的对应关系，不仅局限在数字之间的对应关系。

例如，我们可以定义一个映射f，把一个人的名字对应到他的年龄上。

在这个例子中，映射的定义域是人的名字的集合，值域是人的年龄的集合。

我们可以通过查找映射f来找到某个人的年龄。

函数是映射的一种特殊情况，它在数学中具有更为具体严格的定义。

函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用一种常见的表示法“y = f(x)”来展示，其中y是函数的输出，x是函数的输入。

函数的定义域是所有可能的输入，而值域则是所有可能的输出。

函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或者其他类型的集合，取决于问题的具体上下文，而函数的定义域和值域通常具有一定的关系。

例如，我们可以定义一个函数f(x) = x²，其中定义域和值域都是实数集。

这个函数接受一个实数作为输入，并将其平方作为输出。

函数在数学中有很多重要的属性和性质。

比如，函数可以是线性的、非线性的、一一对应的、多对一的、单射的、满射的等等。

函数之间可以进行运算，比如函数的加法、减法、乘法和除法。

函数还可以进行复合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

在计算机科学中，函数被广泛应用于编程和算法设计中。

一、函数与映射的基本概念一、基本概念1．函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ⊆. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定．2、对应法则是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。

例如：x x x y x y ++=+=22cos sin 1与的对应法则是相同的。

3、同一个函数两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．4、变换字母在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数.5、区间及其表示方法．区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、，规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|， 半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|． 其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度．符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数． 用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式． 如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),(6．映射的概念：映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射．7、映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。

映射知识点总结一、概念及基本原理映射是数学中一个非常重要的概念，它指的是将某个集合中的元素通过一个函数对应到另一个集合中的元素的过程。

在数学中，映射通常被称为函数，而两个集合之间的映射关系则被称为函数的定义域和值域。

映射的基本原理是一一对应，即一个元素只能对应到另一个元素，不能对应到多个元素，也不能没有对应的元素。

二、映射的符号表示在数学中，映射一般用函数的符号表示，即f: A → B，其中f表示函数的名称，A表示函数的定义域，B表示函数的值域。

当我们说“f是从集合A到集合B的映射”时，就是指函数f将集合A中的元素映射到集合B中的元素。

三、映射的分类根据映射的函数特性和性质，可以将映射分为多种不同的类型。

常见的映射类型包括：1. 单射：如果函数f：A → B满足对任意的x1、x2∈A，当x1≠x2时，有f(x1)≠f(x2)，则称函数f是单射。

2. 满射：如果函数f：A → B满足对任意的y∈B，存在x∈A使得f(x)=y，即每一个B中的元素都有对应的A中的元素与之对应，则称函数f是满射。

3. 双射：如果函数f：A → B既是单射又是满射，则称函数f是双射。

四、映射的应用映射在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。

例如，在工程技术领域，映射常用于描述物理量和控制系统之间的关系；在经济学和管理学领域，映射常用于描述市场供求关系和企业决策模型；在生物学和医学领域，映射常用于描述遗传规律和生理现象等。

其实，映射在数学上的应用是最为丰富和广泛的，几乎贯穿于整个数学领域。

五、映射的相关定理映射作为数学中的一个重要概念，有着许多重要的定理和性质。

其中，最为著名的定理之一就是庞加莱-齐帕多定理。

该定理是解析函数论领域中的一个重要结果，它表明了圆盘上的解析映射具有特殊的性质，可以通过保角映射将圆盘上的问题转化为单位圆上的问题。

六、映射的发展与研究自底加莱-齐帕多定理被提出以来，映射的研究领域得到了很大的发展。

在此基础上，许多数学家提出了各种不同类型的映射和函数，并研究了它们的性质与应用。

映射函数的概念映射是数学中的一个重要概念，是将一个集合的元素通过某种规则对应到另一个集合的元素的过程。

在数学中，映射一般用函数的概念来表示。

函数是映射的一种特殊形式，它表示了一个集合的元素与另一个集合的元素之间的对应关系。

具体来说，函数是一种将每个输入值（自变量）映射为一个输出值（因变量）的规则。

函数可以看作是一个机器，它接受一个输入并返回一个输出。

函数的定义包括一个定义域和一个值域。

定义域是自变量可能取值的集合，而值域是因变量可能取值的集合。

函数通过将定义域中的元素映射到值域中的元素来表达这种对应关系。

因此，函数可以用符号表示为f: A →B，其中A 是定义域，B 是值域。

对于给定的函数，定义域中的每个元素都必须有且仅有一个对应的值域中的元素。

这种一对一的映射关系确保了函数的唯一性。

如果定义域中的一个元素有多个对应值域中的元素，那么这个函数被称为多值函数，而不是映射。

函数的定义可以通过几种方式进行，其中最常见的是通过公式或规则进行。

例如，我们可以定义一个简单的函数f(x) = x^2，该函数将输入值x 的平方作为对应的输出值。

通过将不同的x 值代入函数，我们可以得到相应的输出值。

函数可以具有不同的性质和特征。

其中一些重要的特征包括：1. 定义域和值域：函数的定义域和值域决定了函数接受的输入值和可能的输出值的范围。

2. 单调性：函数可以是递增的（即随着输入增加而增加）、递减的（随着输入增加而减少）或保持不变的。

3. 奇偶性：如果函数满足f(-x) = -f(x) 对于所有x 属于定义域，则函数是奇函数。

如果函数满足f(-x) = f(x) 对于所有x 属于定义域，则函数是偶函数。

4. 周期性：具有周期性的函数在某个特定的间隔内重复固定的模式。

函数在数学和科学中有广泛的应用。

它们用于描述和分析各种现象，从物理学中的运动和力学到经济学中的供求关系。

函数还被用于建模和解决问题，例如通过数学函数来预测商品销量或疾病传播。

玩转函数第一招第1招：函数与映射概念的理解【知识点理解】①映射.映射f: A B的概念。

对于两个集合A，B如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B及f）叫做从集合A到集合B的映射.记作：f：A→B.（2）（4）是映射.对于映射这个概念，应明确以下几点：①映射中的两个集合A和B可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合.②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的.③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.④映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象，也就是由象组成的集合C⊆B.⑤映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.一一映射：设A，B是两个集合，f：A→B是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从A 到B上的一一映射.一一映射既是一对一又是B无余的映射.在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

总结：取元任意性，成象唯一性。

【精准训练】→是集合M到N的映射，下列说法正确（1）设:f M N的是A 、M 中每一个元素在N 中必有象B 、N 中每一个元素在M 中必有原象C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的D 、N 是M 中所在元素的象的集合（答：A ）；（2）、若从集合A 到集合B 的映射f 满足B 中的任何一个元素在A 中都有原象，则称映射f 为从集合A 到集合B 的满射，现集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，则从集合A 到集合B 的满射f 的个数是： A 、5 B 、6 C 、8 D 、9（答：B ）（3）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；（4）a 、b 为实数，集合x x f a N a b M →=:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则b a +=A 、1B 、0C 、－1D 、±1（5）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个，A 到B 的函数有个（答：81,64,81）；（6）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈，()x f x +是奇数”，这样的映射f 有____个（答：12）；（7）设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____（答：∅或{1}）.（8）、已知集合{1,2,3}A =，{1,0,1}B =-，则满足条件(3)(1)(2)f f f =+的映射:f A B →的个数是 ( )（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）7（9）、从集合{1,2,3}A =到{3,4}B =的映射:f A B →中满足条件(3)3f =个数是( )（A ）2 （B ）3 （C ）4（D ）6（10）、已知集合{1,2,3}A =，在A A →的映射中满足条件(3)3f =，(2)1f =个数是 ( )（11）、．A=｛1，2，3，4，5，｝，B=｛6，7，8，｝从集合A 到B 的映射中满足f （1）≤f （2）≤f （3）≤f （4）≤f （5）的映射有（）A 、27B 、9C 、21D 、12解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B 中的一个元素对应），则f 有C 13个（2）有一个不等号时的映射（即与B 中的两个元素对应），f 有C 14·C 23=12个（3）有二个不等号的映射，f 有C 24·C 23=6个。

玩转函数第一招第1招：函数与映射概念的理解【知识点理解】①映射.映射f: A B的概念。

对于两个集合A，B如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B及f）叫做从集合A到集合B的映射.记作：f：A→B.1）（3）不是映射，（2）（4）是映射.对于映射这个概念，应明确以下几点：①映射中的两个集合A和B可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合.②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的.③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.④映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象，也就是由象组成的集合C⊆B.⑤映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.一一映射：设A，B是两个集合，f：A→B是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从A到B上的一一映射.一一映射既是一对一又是B无余的映射.在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

总结：取元任意性，成象唯一性。

【精准训练】→是集合M到N的映射，下列说法正确的是（1）设:f M NA、M中每一个元素在N中必有象B、N中每一个元素在M中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；（2）、若从集合A到集合B的映射f满足B中的任何一个元素在A中都有原象，则称映射f为从集合A到集合B的满射，现集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，则从集合A到集合B的满射f的个数是： A、5 B、6 C、8 D、9（答：B）（3）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；（4）a 、b 为实数，集合x x f a N a b M →=:},0,{},1,{表示把集合M中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则b a +=A 、1B 、0C 、－1D 、±1 （5）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个，A 到B 的函数有个（答：81,64,81）；（6）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈，()x f x +是奇数”，这样的映射f 有____个（答：12）；（7）设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____（答：∅或{1}）.（8）、已知集合{1,2,3}A =，{1,0,1}B =-，则满足条件(3)(1)(2)f f f =+的映射:f A B →的个数是 ( )（A ）2（B ）4 （C ）5 （D ）7（9）、从集合{1,2,3}A =到{3,4}B =的映射:f A B →中满足条件(3)3f =个数是( )（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）6（10）、已知集合{1,2,3}A =，在A A →的映射中满足条件(3)3f =，(2)1f =个数是 ( )（11）、．A=｛1，2，3，4，5，｝，B=｛6，7，8，｝从集合A 到B 的映射中满足f （1）≤f （2）≤f （3）≤f （4）≤f （5）的映射有（）A 、27B 、9C 、21D 、12解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B 中的一个元素对应），则f 有C 13个（2）有一个不等号时的映射（即与B 中的两个元素对应），f 有C 14·C 23=12个（3）有二个不等号的映射，f 有C 24·C 23=6个。

4.1 函数及其表示知识整合[基础知识]1.函数与映射的概念2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.[微点提醒]1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.[基础训练]1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )2．已知函数f (x )满足f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，则f (3)＝( )A.98B.94C.92 D ．9 3．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A.y ＝(x ＋1)2 B.y ＝33x ＋1 C.y ＝x 2x＋1D.y ＝x 2＋14．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________.5．已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x －1，x >0，则 f (f (0))的值为________；方程 f (－x )＝1的解是________．重难点突破考点1.求函数的定义域1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域. 【例1】 (1)函数y ＝1－x 2＋log 2(2x －1)的定义域为________.(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________.【变式训练】1．求下列函数的定义域：(1)y ＝12－|x |＋x 2－1； (2)y ＝3xx －2＋lg(3－x )；2．y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2]3．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2 015]B ．[0,1)∪(1,2 015]C ．(1,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 015]4.若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[1,2]C ．[10,100]D ．[0,2]5.函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A.(－2，1)B.[－2，1]C.(0，1)D.(0，1]考点2.求函数的解析式求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).【例2】(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.【变式训练】1.已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．2.已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；3.定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝(x ＋1)，求f (x )的解析式．考点2.分段函数1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.命题点1 求分段函数的函数值【例3】(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x <2，x 2＋ax ，x ≥2，若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝－6，则实数a 的值为________，f (2)＝________.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f (2)＝________.命题点2 分段函数与方程、不等式问题【例4】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．【变式训练】1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－1或－132.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f [f (1)]＝( )A.－12B.2C.4D.113.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－34.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，12x，x <0，则f (f (－1))＝________.巩固练习一、选择题1．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( )A ．(6，＋∞)B ．(－3,6)C ．(－3，＋∞)D ．[－3,6)2.函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A.[0，2)B.(2，＋∞)C.[0，2)∪(2，＋∞)D.(－∞，2)∪(2，＋∞) 2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx3.函数y ＝x －1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)4．函数y ＝－x2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，0] B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，0 D.⎝⎛⎦⎤－12，0 5．函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)6．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(1,2)B ．(1，＋∞)C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．[1，＋∞)7．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x >0，则f (f (3))等于( )A.43B.23 C ．－43D ．－3 二、填空题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________.10．函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________．11．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________. 12. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4|x |，x <0，－2x ＋1，x ≥0，则f (f (0))＝________.。

高数映射与函数高等数学是大学数学的一个重要基础课程，其中涉及到映射与函数的概念和相关性质。

映射与函数是高数中的重要内容，对于理解和应用高等数学知识具有重要意义。

我们来了解一下映射的概念。

映射是两个集合之间的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

在映射中，我们通常用字母x表示第一个集合中的元素，用字母y表示第二个集合中的元素。

如果元素x被映射到了元素y，我们可以用符号y=f(x)来表示，其中f表示映射的规则或者函数。

接下来，我们来了解一下函数的概念。

函数是一种特殊的映射，它有且仅有一个自变量和一个因变量。

函数中的自变量表示输入值，因变量表示输出值。

我们可以将函数看作是一种输入和输出之间的对应关系。

在函数中，自变量的取值范围称为定义域，因变量的取值范围称为值域。

映射与函数有许多重要的性质。

首先是定义域和值域。

在映射中，每个元素都有其对应的值，因此定义域和值域是映射的重要性质。

在函数中，自变量的取值范围决定了定义域，而函数的性质决定了值域。

其次是单射、满射和双射。

单射是指映射中不同的自变量对应不同的因变量，也就是说每个因变量最多只有一个自变量与之对应。

满射是指映射中的每个因变量都有至少一个自变量与之对应，也就是说每个因变量都有元素与之对应。

双射是指既是单射又是满射的映射，即每个因变量都有唯一的自变量与之对应。

再次是反函数。

反函数是指将函数的自变量和因变量互换位置得到的新函数。

如果原函数为f(x)，那么它的反函数为f^(-1)(x)。

反函数的定义域和值域与原函数相反，即原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域。

最后是复合函数。

复合函数是指将两个函数按照一定的规则组合在一起得到的新函数。

如果函数f(x)和g(x)都是定义在实数集上的函数，那么它们的复合函数为f(g(x))，表示先对自变量应用函数g(x)，再对结果应用函数f(x)。

在高等数学中，映射与函数的概念和性质是许多数学理论和方法的基础。