4奥数提高班第四讲 绝对值(2)

绝对值（提高）责编：杜少波【学习目标】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2.法则比较法：要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立． 若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念1．计算：（1）145--（2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.解：(1)111444555⎡⎤⎛⎫--=---=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，(2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，(3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．2．（2015•娄底）若|a﹣1|=a﹣1，则a的取值范围是（）A. a≥1B. a≤1C. a＜1D. a＞1【思路点拨】根据|a|=a时，a≥0，因此|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，即可求得a的取值范围．【答案】A【解析】解：因为|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，解得：a≥1，【总结升华】此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．举一反三：【变式1】（2015•重庆校级模拟）若a＞3，则|6﹣2a|= （用含a的代数式表示）．【答案】2a-6【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围是．【答案】6或-6；1或3；x>3或x<-3【变式3】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系．【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，由此可得：|a+b|≤|a|+|b| .类型二、比大小3．比较下列每组数的大小：(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)45-与34--；(4)π-与| 3.14|--．【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．【答案与解析】解： (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．(3)化简得：3344--=-．这是两个负数比较大小，因为44165520-==，33154420-==，且16152020>．所以4354-<--． (4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 举一反三：【高清课堂：绝对值比大小 】【变式1】比大小：（1） －0.3 31-（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--91 101--． 【答案】＞；＞【高清课堂：绝对值比大小 典型例题2（最后两个）】【变式2】比大小：（1） 1.38-______－1.384；（2） －π___－3.14．【答案】＞；＜【变式3】若m ＞0，n ＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m ，-m ，n ，-n 连接起来．【答案】解法一：∵ m ＞0，n ＜0，∴ m 为正数，-m 为负数，n 为负数，-n 为正数．又∵ 正数大于一切负数，且|m|＞|n|，∴ m ＞-n ＞n ＞-m ．解法二：因为m ＞0，n ＜0且|m|＞|n|，把m ，n ，-m ，-n 表示在数轴上，如图所示．∵ 数轴上的数右边的数总比左边的数大，∴ m ＞-n ＞n ＞-m ． 类型三、含有字母的绝对值的化简4.（2016春•都匀市校级月考）若﹣1＜x ＜4，则|x+1|﹣|x ﹣4|= ．【思路点拨】根据绝对值的性质：当a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身a ； 当a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x ﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．【答案】2x ﹣3．【解析】解：原式=x+1﹣（﹣x+4），=x+1+x ﹣4，=2x ﹣3.【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x ﹣4的正负性．举一反三：【变式1】已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：. 【答案】 解：由图所示，可得． ∴ 30a c ->，，，∵．∴ 原式． 【变式2】求的最小值． 【答案】解法一：当2x <-时，则 23(2)[(3)]23215x x x x x x x ++-=-++--=---+=-+>当时，则23(2)[(3)]235x x x x x x ++-=++--=+-+= 当时，则23(2)(3)23215x x x x x x x ++-=++-=++-=-> 综上：当时，取得最小值为：5.解法二：借助数轴分类讨论： ①2x <-； ②； ③.的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和．由图明显看出时取最小值． 所以，时，取最小值5.类型四、绝对值非负性的应用5. 已知a 、b 为有理数，且满足：12，则a =_______，b =________．【答案与解析】由，，，可得 ∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．举一反三：【变式1】已知，则x 的取值范围是________． 【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，． 【变式2】已知b 为正整数，且a 、b 满足，求的值．【答案】解：由题意得 ∴ 所以，2b a类型五、绝对值的实际应用6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案与解析】解：因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【总结升华】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式】一只可爱的小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】解：小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)答：小虫一共可以得到108粒芝麻.。

小升初衔接班讲义第4讲绝对值（二）姓名：___________纪律等级：___________作业等级：___________-----------------------------------------------------------------------------------------【知识导航】1、正数的绝对值是它本身．负数的绝对值是它的相反数．零的绝对值是零．字母a 可以代表任意的数，若a>0，则│a│=a 若a<0，则│a│=-a 若a=0，则│a│=0【课前测】1、下列计算中，正确的是（）A．－3＋2＝1B．|－2|＝－2C．3×(－3)＝9D．1-3-=2÷（）（6）2、符号语言“|a |＝－a （a ≤0）”所表达的意思是（）A．正数的绝对值等于它本身B．负数的绝对值等于它的相反数C．非正数的绝对值等于它的相反数D．负数的绝对值是正数3、比较大小（填写“＞”或“＜”）：87-________98-)43(--________)]54([-+-4、的相反数是它本身,的绝对值是它本身，的绝对值是它的相反数，绝对值最小的数是________．5、若a+3的相反数是-3，则a=______;若21b -=，则b=____6、若|a|=4，|b|=2，且a b a b +=+，求a b -的值.【例题精选】例1、（2019武昌10月）已知a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|-|b|+|c-b|+|a-c|-|b+a|【巩固练习】、已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,化简：|a ＋b |－|a －b |＋|a ＋c |例2、（2019第三寄宿10月）若|a －2|与(b ＋3)2互为相反数，c ，d 互为相反数，求a ＋b －c-d 的值【巩固练习】、已知│a+2│+│b-3│=0,求2a-3b 的值.例3、（2019武汉六中10月）已知0a <，0ab <，且a b >，试在数轴上简略地表示出a ，b ，-a 与-b 的位置，并用“<”号将它们连接起来．【巩固练习】、若a＜0、ab＞0且|a|<|b|，试在数轴上简略地表示出a，b，-a与-b的位置，并用“<”号将它们连接起来．例4.（2019武昌10月23）数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值．例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|．根据以上知识解题：（1）数轴上表示3和5两点之间的距离是______，数轴上表示2和－5两点之间的距离是____。

绝对值（一）学习内容：①能根据一个数的绝对值表示“距离”，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值．②通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．本节知识点：①绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作．②互为相反数的两个数的绝对值．③正数的绝对值是．负数的绝对值是．零的绝对值是．④字母a可以代表任意的数，归纳若a>0，则│a│=若a<0，则│a│=若a=0，则│a│=例题讲解例1、填空：（1）绝对值等于4的数有个，它们是．（2）绝对值等于-3的数有个．（3）绝对值等于本身的数有个，它们是．（4）①若│a│=2，则a= ．②若│-a│=3，则a= ．（5）绝对值不大于2的整数是．例2.判断下列各题：（1）负数没有绝对值。

（）（2）有些数的绝对值有两个。

（）（3）正数和零的绝对值是它的本身。

（）（4）负数和零的绝对值是它的相反数。

（）（5）任何有理数的绝对值一定不是负数（）例3 绝对值为4的数是（）A．±4 B．4 C．-4 D．2当堂练习1．填空题（1）-│-3│= ，+│-0.27│= ， -│+26│= ，-（+24）= ．（2）-4的绝对值是，绝对值等于4的数是．（3）若│x│=2，则x= ，若│-x│=2，则x= ．若│-x│=3，则x ．（4）│3.14- ｜= ．（5）绝对值小于3的所有整数有．2．选择题（1）则│a│≥0，那么（）A．a>0 B．a<0 C．a≠0 D．a为任意数（2）若│a│=│b│，则a、b的关系是（）A．a=b B．a=-b C．a+b=0或a-b=0 D．a=0且b=0 （3）下列说法不正确的是（）A．如果a的绝对值比它本身大，则a一定是负数B．如果两个数相等，那么它们的绝对值也必不相等C．两个负有理数，绝对值大的离原点远 D．两个负有理数，大的离原点近（4）若│x│+x=0，则x一定是（）A．负数 B．0 C．非正数 D．非负数（5）. 绝对值等于其相反数的数一定是A．负数B．正数C．负数或零D．正数或零（6）. 若│x│+x=0，则x一定是（）A．负数B．0 C．非正数D．非负数3. 绝对值小于3的所有整数有________________4．若实数a、b满足│3a-1│+│b-2│=0，求a+b的值．5. 写出绝对值大于2.1而不大于5的所有整数_________________作业：1、-5.2 的绝对值是 ________,绝对值等于3.1的数是________________.2.绝对值最小的数是_________, 绝对值等于它本身的数是_______.3.绝对值小于３的负整数有_____________________ ；4计算：|–(+3.6)| + |–(–1.2)| – |–[+(–4)]|5.已知 |x –2| + |y –3| + |z –4| = 0，求x+y –z 的值。

《绝对值》讲义一、引入在数学的世界里，绝对值是一个非常重要的概念。

它看似简单，却有着广泛的应用，能帮助我们解决许多数学问题。

那么，什么是绝对值呢？二、绝对值的定义绝对值指的是一个数在数轴上所对应点到原点的距离。

用符号“｜｜”来表示。

例如，数字 5 的绝对值表示为｜5|，数字－5 的绝对值表示为｜－5|。

需要注意的是，绝对值总是非负的。

也就是说，对于任意实数 a，其绝对值｜a| 总是大于或等于 0。

三、绝对值的性质1、正数的绝对值是它本身比如，｜3| ＝ 3 ，因为 3 是正数，它的绝对值就是它本身。

2、 0 的绝对值是 0即｜0| ＝ 0 ，这是很明确的。

3、负数的绝对值是它的相反数例如，｜－7| ＝ 7 ，因为－7 是负数，它的绝对值是它的相反数 7 。

4、互为相反数的两个数的绝对值相等若 a 和 a 互为相反数，那么｜a| ＝｜a| 。

5、绝对值具有非负性即｜a| ≥ 0 ，这是绝对值非常重要的一个性质。

四、绝对值的计算计算绝对值时，我们只需要判断这个数的正负。

如果是正数，绝对值就是它本身；如果是 0，绝对值就是 0；如果是负数，绝对值就是它的相反数。

例如，计算｜8| ，因为 8 是正数，所以｜8| ＝ 8 。

计算｜－12| ，因为－12 是负数，所以｜－12| ＝ 12 。

再比如，计算｜0| ，结果就是 0 。

五、绝对值方程在数学中，我们还会遇到绝对值方程，例如｜x 3| ＝ 5 。

要解决这样的方程，我们需要分情况讨论：当x 3 ≥ 0 时，即x ≥ 3 ，方程变为 x 3 ＝ 5 ，解得 x ＝ 8 。

当 x 3 ＜ 0 时，即 x ＜ 3 ，方程变为（x 3) ＝ 5 ，即 x ＋ 3 ＝ 5 ，解得 x ＝－2 。

所以，方程｜x 3| ＝ 5 的解为 x ＝ 8 或 x ＝－2 。

六、绝对值不等式绝对值不等式也是常见的数学问题，比如｜x| ＜ 5 。

这意味着 x 到原点的距离小于 5 ，所以－5 ＜ x ＜ 5 。

初中奥数绝对值讲解教案教学目标：1. 理解绝对值的概念及性质；2. 掌握绝对值的运算规律；3. 能够运用绝对值解决实际问题。

教学内容：1. 绝对值的概念及性质；2. 绝对值的运算规律；3. 绝对值在实际问题中的应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入绝对值的概念：在数轴上，一个数的绝对值表示这个数与原点的距离。

2. 提问：为什么绝对值是非负数？二、讲解绝对值的概念及性质（15分钟）1. 绝对值的性质：性质1：|a| = |-a|性质2：|a| = a（a≥0）性质3：|a| = -a（a<0）2. 举例说明绝对值的性质：例如：|5| = 5，|-5| = 5，|0| = 0，|-3| = 3三、讲解绝对值的运算规律（15分钟）1. 绝对值的加法：规律1：|a| + |b| = |a + b|（a、b同号或其中一个是0）规律2：|a| + |b| = |a - b|（a、b异号）2. 绝对值的减法：规律3：|a - b| = |a| - |b|（a、b同号）规律4：|a - b| = |b| - |a|（a、b异号）3. 绝对值的乘法：规律5：|a| × |b| = |a × b|四、讲解绝对值在实际问题中的应用（15分钟）1. 例题解析：题目1：已知数轴上两点A、B之间的距离为5，求点A到点B的距离。

解答：设点A的坐标为x，点B的坐标为y，则有|x - y| = 5。

由于题目没有给出具体坐标，所以无法确定点A和点B的具体位置，但可以确定的是，点A到点B的距离为5。

2. 练习：练习1：已知数轴上两点C、D之间的距离为8，求点C到点D的距离。

练习2：已知一个正方形的边长为6，求这个正方形的对角线长度。

五、总结（5分钟）1. 回顾绝对值的概念及性质；2. 总结绝对值的运算规律；3. 强调绝对值在实际问题中的应用。

教学评价：1. 课后作业：巩固绝对值的概念和运算规律；2. 课堂练习：解决实际问题，提高运用绝对值的能力；3. 期末考试：考察学生对绝对值的掌握程度。

《绝对值》讲义一、什么是绝对值在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。

绝对值的定义是：一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

用符号“｜｜”表示。

例如，数字 5 的绝对值是 5，记作｜5| ＝ 5；数字－5 的绝对值也是 5，记作｜－5| ＝ 5。

从几何意义上看，绝对值表示的是距离，距离是没有方向的，所以绝对值总是非负的。

二、绝对值的性质1、非负性绝对值的最重要的性质就是非负性，即对于任意实数 a，都有｜a|≥ 0。

这是因为距离不可能是负数。

2、互为相反数的两个数的绝对值相等如果 a 和 a 互为相反数，那么｜a| ＝｜a|。

例如｜3| ＝｜－3| ＝ 3。

3、若｜a| ＝ a，则a ≥ 0；若｜a| ＝ a，则a ≤ 0这一性质反映了绝对值与原数之间的关系。

当绝对值等于原数时，原数是非负的；当绝对值等于原数的相反数时，原数是非正的。

4、绝对值的运算性质（1）｜ab| ＝｜a| ｜b|例如，｜2×3| ＝｜2|×｜3| ＝ 6（2）｜a/b| ＝｜a| ／｜b|（b ≠ 0）比如，｜6÷2| ＝｜6|÷｜2| ＝ 3（3）｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|这就是著名的三角不等式，当且仅当 a 和 b 同号或至少有一个为 0 时，等号成立。

三、绝对值的求解1、当 a 为正数时，｜a| ＝ a例如，已知 a ＝ 7，则｜a| ＝ 72、当 a 为 0 时，｜a| ＝ 0比如，a ＝ 0 时，｜a| ＝ 03、当 a 为负数时，｜a| ＝ a假设 a ＝－8，那么｜a| ＝（－8) ＝ 8对于一个含有未知数的式子求绝对值，需要先判断未知数的取值范围，然后再根据不同情况进行求解。

例如，求｜x 3| 的值，需要分情况讨论：当x 3 ≥ 0 ，即x ≥ 3 时，｜x 3| ＝ x 3 ；当 x 3 ＜ 0 ，即 x ＜ 3 时，｜x 3| ＝（x 3) ＝ 3 x 。

绝对值_复习课课件一、教学目标1)掌握绝对值的定义和性质，能够准确计算有理数的绝对值。

2)学会利用绝对值解决实际问题，提高数学应用能力。

3)培养学生对绝对值概念的理解和运用能力，为后续学习奠定基础。

二、教学内容1)绝对值的定义：绝对值是一个正数的数，它的值是它到原点的距离。

2)绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

3)求有理数的绝对值：根据绝对值的定义和性质，可以求出任意有理数的绝对值。

4)绝对值的应用：利用绝对值可以解决一些实际问题，如比较两个数的大小、求出一个数的相反数等。

三、教学重点与难点1)重点：掌握绝对值的定义和性质，能够准确计算有理数的绝对值。

2)难点：利用绝对值解决实际问题，提高数学应用能力。

四、教学方法与手段1)通过举例和练习，让学生掌握绝对值的定义和性质。

2)通过小组讨论和互动交流，让学生学会利用绝对值解决实际问题。

3)利用多媒体教学工具，提高教学效果和学生的学习兴趣。

五、教学评价与反馈1)课堂练习：通过课堂练习，检查学生对绝对值概念的理解和掌握情况。

2)课后作业：布置课后作业，让学生进一步巩固所学的知识。

3)反馈与指导：及时给予学生反馈和指导，帮助学生解决学习中遇到的问题。

绝对值_复习课课件一、教学目标1)掌握绝对值的定义和性质，能够准确计算有理数的绝对值。

2)学会利用绝对值解决实际问题，提高数学应用能力。

3)培养学生对绝对值概念的理解和运用能力，为后续学习奠定基础。

二、教学内容1)绝对值的定义：绝对值是一个正数的数，它的值是它到原点的距离。

2)绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

3)求有理数的绝对值：根据绝对值的定义和性质，可以求出任意有理数的绝对值。

4)绝对值的应用：利用绝对值可以解决一些实际问题，如比较两个数的大小、求出一个数的相反数等。

三、教学重点与难点1)重点：掌握绝对值的定义和性质，能够准确计算有理数的绝对值。

初一年级奥数知识点：绝对值
1.绝对值的几何意义
一个数的绝对值，•就是在数轴上该数所对应的点与原点的距离.
2.绝对值的代数意义
(1)正数的绝对值是它的本身.
(2)负数的绝对值是它的相反数.
(3)0的绝对值是0.
掌握有理数绝对值的概念，给一个数能求出它的绝对值.
掌握求绝对值的方法：根据绝对值的代数定义来解答.
理解绝对值的概念，利用绝对值比较两负数的大小.比较方法是先比较它们绝对值的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”来解答.掌握了绝对值的概念后，判断有理数的大小就不一定要依赖于比较数轴上的点的位置了.
注意
(1)任何一个数的绝对值均大于或等于0(即非负数).
(2)互为相反数的两数的绝对值相等;反之，当两数的绝对值相等时，•这两数可能相等，可能互为相反数.
练习题
1. -3的绝对值是( )
(A)3 (B)-3 (C)13 (D)-13
2. 绝对值等于其相反数的数一定是
A.负数
B.正数
C.负数或零
D.正数或零
3. 若│x│+x=0，则x一定是( )
A.负数
B.0
C.非正数
D.非负数
4.某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为0.1kg、0.2kg、0.3kg的字样，从中任意拿出2袋，它们的质量最多相差( )
A.0.8kg
B.0.6kg
C.0.5kg
D.0.4kg
5.正式比赛时，乒乓球的尺寸要有严格的规定，已知四个乒乓球，超过规定的尺寸为正数，不足的尺寸记为负数，为选一个乒乓球用于比赛，裁判对这四个乒乓球进行了测量，得到结果:A 球+0.2mm，B球-0.1mm，C球+0.3mm，D球-0.2mm，你认为应选哪一个乒乓球用于比赛?为什么?。

第四讲 绝对值绝对值是初一代数中一个重点内容，它是一种新的运算符。

很多同学对于求解绝对值问题感到很繁琐，这主要是因为求解绝对值问题涉及到了一个重要的数学思想——分类讨论。

分类讨论在数学分析中是经常遇到的，今天我们通过对绝对值的化简、求方程根、解不等式、分析极值等来练习分类讨论，一定要熟练掌握！为今后利用分类讨论思想解题打下基础。

一、基础知识●绝对值的定义与性质（注意它的非负性）定义：绝对值的定义用文字叙述为：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

绝对值的定义用公式表示为：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩性质： ① 非负性：|a|≥0；②|ab|=|a||b|；③|b a |=||||b a （b ≠0）； ④222||||a a a ==；⑤|a+b|≤|a|+|b|；⑥||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.● 绝对值的几何意义一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

①) a 表示a 点到0点的距离②) a b -表示a 点到b 点的距离③) a b +表示a 点到-b 点的距离● 分类讨论思想（零点分段法）利用绝对值的定义，讨论绝对值符号内代数式值与0的大小关系，将绝对值符号打开，再进行运算。

例 设a 是有理数，求a a +的值二、例题第一部分 定义和性质例1. 若a,b 为有理数，那么，下列判断中：（1）若|a|=b ，则一定有a=b ； (2)若|a|>|b|，则一定有a>b ； (3)若|a|>b,则一定有|a|>|b|； (4)若|a|=b ，则一定有22)(b a -=。

正确的是________。

（填序号）例2. （1）已知|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=_______．(北京市“迎春杯”竞赛题)(2)已知a 、b 、c 、d 是有理数，|a-b|≤9，|c-d|≤16，且|a-b-c+d|=25,那么|b-a|-|d-c|=_______． (第14届“希望杯”邀请赛试题)例3. 如果a 、b 、c 是非零有理数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ．1或一1C ．2或一2D ．0或一2(2003年山东省竞赛题)例4. 已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，试求代数式)2002)(2002(1)2)(2(1)1)((11+++++++++b a b a b b a ab 的值.例5. 已知m 、n 为整数，且21m m n -+-=，那么m n +的值为多少？例6. 已知|11-x |+|22-x |+|33-x |+…+|20022002-x |+|20032003-x |=0,求代数式2003200232122222x x x x x +---- 的值。

奥数知识之绝对值(总2页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除初一之绝对值一、知识要点：1. 绝对值的代数意义：x (x>0) |x|= 0 (x=0) -x (x<0)3. 绝对值的常用性质：(1)0||≥a(2) 222||||a a a == (3)||||||b a ab ⋅= (4) )0(||||||≠=b b a b a (5) ||||||b a b a +≤+ (6) ||||||b a b a -≥- 4. 解决含绝对值问题的常用方法：（1）零点分段法； （2）数形结合法；二、例题精选及相应练习：例1. 已知._____||,3||,5||=+-=-==b a a ，b b a b a 则且变式：1. 若的值是则且b a b a b a ->+==,0,5||,8||( )A. 3或13B. 13或-13C. 3或-3D. -3或-13练习：已知a,b,c 满足(a+b)(b+c)(c+a)=0,且abc<0，则代数式||||||c c b b a a ++的值为________. 例2. 若a,b,c 为整数，且1||||20092009=-+-a c b a ，计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值。

练习1. 求满足|a-b|+ab=1的非负整数对（a,b ）的值。

练习2. 若a,b,c,d 为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1,则|a-d|=________.练习3. 已知a,b,c,d 为有理数，,16||,9||≤-≤-d c b a ,25||=+--d c b a 且。

c d a b 的值求||||--- 例3. 化简：|x+2|+|x-1| 变式1. 解方程：|x+2|+|x-1|=7 变式2. 解不等式：|x+2|+|x-1|>7 例4. 求|x+2|+|x-1|的最小值。

绝对值知识讲解一、知识框架图绝对值绝对值的概念绝对值的求法比较两个数的大小二、基础知识1、绝对值的概念（ 1）定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离。

数 a 的绝对值记作 a ，读作a的绝对值。

（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

（3）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。

离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。

（4）绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对于任意有理数a，总有a≥ 0.2、绝对值的求法绝对值是一种运算，这个运算符号是“”。

求一个数的绝对值，就是想办法去掉这个绝对值符号，对于任意有理数a，有：a（ a＞ 0）（1） 0（ a=0）a（ a＜ 0）a（ a≥ 0）（2）a（ a＜ 0）a（ a＞ 0）（3）a（ a≤ 0）这就说，去掉绝对值符号不是随便就能完成的，要看绝对值里面的数是什么性质的数。

若绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身，此时绝对值“”符号就相当于“（）”的作用，如 5 2 1 = 5 （2 1）= 5 1 4 。

由于这里2－ 1 是正数，故去掉绝对值符号后2 1 =（2－1）；若绝对值里面的数是负数，那么这个负数的绝对值就是这个负数的相反数这时去掉绝对值时，就要把绝对值里面的数添上括号，再在括号前面加上负号“－”。

3、利用绝对值比较两个数的大小两个负数，绝对值大的反而小。

比较两个负数的大小，可按照下列步骤进行：（ 1）先求出两个负数的绝对值； （ 2）比较这两个绝对值的大小；（ 3）写出正确的判断结果。

三、例题讲解例 1 求下列各数的绝对值 （1） 1 ；（2）1；（3） 43；（4）312343分析：运用绝对值的意义来求解。

解：（ 1）1= 1 ；（ 2） 1 = （ 1） 1 ；2 23 3 3（3） 43（ 43） 43；（4） 31 3 144 433点评：解答本题首先要弄清楚绝对值的意义，准确列出代数式， 再运用绝对值的意义求出结果，切不可写作1 1 1=3= .33例 2 计算：（ 1）1.2 ；（ 2） （ ；（ 3）3 2 0 .3）分析：本题关键是确定绝对值里面的数的性质，再按照绝对值的意义去掉绝对值负号。