不等式培优3.8

不等式检测卷一、 填空题（每题2分，共计20分）⑴用恰当的不等号表示下列关系：①x 的3倍与8的和比y 的2倍小： ；②老师的年龄a 不小于你的年龄b ： . ⑵不等式3(x+1)≥5x —3的正整数解是 ⑶当a 时，不等式(a —1)x ＞1的解集是x ＜11-a . ⑷已知x ＝3是方程2a x -—2＝x —1的解，那么不等式(2—5a )x ＜31的解集是 ⑸已知函数y=2x —3，当x 时，y ≥0；当x 时，y ＜5.X+8＜4x－1⑹若不等式组 的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 x ＞mx －a ≥0⑺已知关于x 的不等式组 的整数解共有5个，则a 的取值范围是 3－2x ＞－1 2x －a ＜1⑻若不等式组 的解集为—1＜x ＜1，那么(a —1)(b —1)的值等于 x －2b ＞3⑼小明用100元钱购得笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每只钢笔5元.那么小明最多能买 只钢笔.⑽2001年某省体育事业成绩显著，据统计，在有关大赛中获得奖牌数如右表所示(单位：枚)如果只获得1枚奖牌的选手有57人，那么荣获3枚奖牌的选手最多有 人. 二、 选择题（每题4分，共计40分）⑾已知“①x+y=1；②x ＞y ；③x+2y ；④x 2—y ≥1；⑤x ＜0”属于不等式的有 个. A.2； B. 3； C.4； D. 5. ⑿如果m<n<0，那么下列结论错误的是A.m －9<n －9；B.—m>—n ；C.n 1>m 1； D.nm>1. (13)设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列为 A.■、●、▲。

B.■、▲、●。

C .▲、●、■。

D.▲、■、●。

⒁已知a ，b 两数在数轴上的位置如图所示，设M=a+b,N=—a+b,H=a —b ，则下列各式正确的是A.M>N>H ；B.H>M>N ；C.H>M>N ；D.M>H>N.⒃已知(x+3)2+m y x ++3＝0中，y 为负数，则m 的取值范围是 A.m 〉9 B.m 〈9 C.m 〉－9 D.m 〈－9 三、 解答题（21）解下列不等式（组）：（每题8分，共计24分）（1） 5（x+2）≥1―2(x ―1) （2）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+02)8(21042x x（22）若方程组⎩⎨⎧-=-=+323a y x y x 的解x 、y 都是正数，求a 的取值范围. （6分）4、有一个两位数，其十位数字比个位数字大2，这个两位数在50和70之间，你能求出这个两位数吗？例3.如果 ， 求x 的取值范围。

初中数学培优：不等式（组）1．若实数a＞1，则实数M＝a，N=r23，P=2r13的大小关系是（）A．P＞N＞M B．M＞N＞P C．N＞P＞M D．M＞P＞N 【解答】解：∵a＞1∴M﹣P＝a−2r13=K13＞0，P﹣N=2r13−r23=K13＞0∴M＞P，P＞N∴M＞P＞N故选：D．2．若不等式组+8＜4−1＞的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3C．m＞3D．m＝3【解答】解：由x+8＜4x﹣1得，x﹣4x＜﹣1﹣8，﹣x＜﹣9，x＞3，∵不等式组的解集是x＞3，∴m≤3．故选：A．3．设a、b是正整数，且满足56≤a+b≤59，0.9＜＜0.91，则b2﹣a2等于（）A．171B．177C．180D．182【解答】解：∵0.9＜＜0.91，∴0.9b＜a＜0.91b，即0.9b+b＜a+b＜0.91b+b；又∵56≤a+b≤59∴0.9b+b＜59，b＜31.05；0.91b+b＞56，b＞29.3，即29.3＜b＜31.05；由题设a、b是正整数得，b＝30或31；①当b＝30时，由0.9b＜a＜0.91b，得：27＜a＜28，这样的正整数a不存在．②当b＝31时，由0.9b＜a＜0.91b，得27＜a＜29，所以a＝28，所以b2﹣a2＝312﹣282＝177．故选：B．4．一共有（）个整数x适合不等式|x﹣2000|+|x|≤9999．A．10000B．20000C．9999D．80000【解答】解：（1）当x＝2000时，原式可化为2000≤9999，故x＝2000；其整数解有1个；（2）当x＞2000时，原式可化为x﹣2000+x≤9999，解得2000＜x≤5999.5，其整数解有3999个；（3）当0≤x＜2000时，原式可化为2000﹣x+x≤9999，即2000≤9999；其整数解有2000个；（4）当x＜0时，原式可化为2000﹣x﹣x≤9999，解得﹣3999.5≤x＜0；其整数解有3999个；由上可得其整数解有9999个．故选：C．5．如果关于x的不等式（2m﹣n）x﹣m﹣5n＞0的解集为＜107，那么关于x的不等式mx＞n（m≠0）的解集为x＜1345．【解答】解：（2m﹣n）x﹣m﹣5n＞0解集为x＜107，∴（2m﹣n）x＞m+5n，∴x＞r52K或x＜r52K，∴x＜r52K，则2m﹣n＜0，由不等式的解集x＜107，则r52K=107，即10（2m﹣n）＝7（m+5n）得：13m＝45n，即：=1345，因为2m﹣n＜0，则：2m−1345m＜0，得：m＜0，∵mx＞n，∴x＜=1345．故答案为x＜1345．6．关于x的不等式：|2x﹣1|＜6的所有非负整数解的和为6．【解答】解：根据题意得：﹣6＜2x﹣1＜6，即﹣5＜2x＜7∴−52＜x＜72则不等式的非负整数解是：0，1，2，3．则所有非负整数解的和为6．故答案是：6．7．要使方程组3+2=2+3=2的解是一对异号的数，则a的取值范围是＜43或＞3．【解答】解：方程组3+2=2+3=2，整理得，6+4=2Ξ①6+9=6⋯②，由②得，6x＝6﹣9y…③，把③代入①整理得，y=−2K65．（1）当x＞0，y＜0时，∴6﹣9y＞0，即y＜69，∴−2K65＜0，解得，a＞3；（2）当x＜0，y＞0时，∴6﹣9y＜0，即y＞69，∴−2K65＞69，解得，a＜43；综上，a的取值范围是a＜43或a＞3．故答案为a＜43或a＞3．8．某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．甲乙价格（万元/台）75每台日产量（个）10060（1）设甲种机器有x台，试写出x应满足的不等式；（2）按照公司要求可以有几种购买方案？（3）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？【解答】解：（1）∵该公司共购进6台机器用于生产某种活塞，且购进甲种机器x台，∴购进乙种机器（6﹣x）台．依题意得：7x+5（6﹣x）≤34．（2）∵7x+5（6﹣x）≤34，∴x≤2，又∵x为自然数，∴x可以为0，1，2，∴可以有3种购买方案．（3）依题意得：100x+60（6﹣x）≥380，解得：x≥12，又∵x≤2，且x为自然数，∴x可以为1，2，∴共有2种购买方案，方案1：购进1台A种机器，5台B种机器，所需总资金为7×1+5×5＝32（万元）；方案2：购进2台B种机器，4台B种机器，所需总资金为7×2+5×4＝34（万元）．∵32＜34，∴为了节约资金应选择购买方案1，即购进1台A种机器，5台B种机器．9．试确定实数a+r13＞0+5r43＞43(+1)+恰有两个整数解．【解答】解：由2+r13＞0，两边同乘以6得3x+2（x+1）＞0，解得x＞−25，由x+5r43＞43（x+1）+a，两边同乘以3得3x+5a+4＞4（x+1）+3a，解得x＜2a，∴原不等式组的解集为−25＜x＜2a．又∵原不等式组恰有2个整数解，即x＝0，1；则2a的值在1（不含1）到2（含2）之间，∴1＜2a≤2，∴0.5＜a≤1．10．已知关于x、y的方程组2+3=3+7−=4+1的解x和y都是正数．求m的取值范围后再化简|−1|+|+ 23|．【解答】解：先解二元一次方程组2+3=3+7−=4+1得：=3+2=−+1；又由于x、y为正数，则x＞0，y＞0；故3+2＞0−+1＞0，解得：−23＜m＜1；则|−1|+|+23|=1﹣m+m+23=53．11．小丽拟将1，2，3，…，n这n个数输入电脑求其平均值，当她认为输完时，电脑上只显示输入（n﹣1）个数，且平均值为3557，假设这（n﹣1）个数输入无误，则漏输入的一个数是多少？【解答】解：1+2+…+n ﹣1≤2507（n ﹣1）≤2+3+…+n ，∴2≤2507≤r22．∴6937≤n ≤7137，∴n ＝70，71，∵2507（n ﹣1）是整数，∴n ＝71．∴设被漏输入的数为m ，则m =1+712×71﹣70×2507=2556﹣2500＝56．12．为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数．【解答】解：设这所学校派出x 名学生，参加y 处公共场所的义务劳动，依题意得：10+15=o1)10≤−14(−1)＜14(2)，解得：334＜y ≤434．∵y 为整数，∴y ＝4．∴当y ＝4时，x ＝10×4+15＝55．答：这所学校派出55名学生，参加4处公共场所的义务劳动．13．已知甲、乙、丙3种食物的维生素含量和成本如下表：甲种食物乙种食物丙种食物维生素A （单位/kg ）300600300维生素B （单位/kg ）700100300成本（元/kg ）643某食品公司欲用这3种食物研制100千克食品，要求研制成的食品中至少含有36000单位的维生素A 和40000单位的维生素B ．（1）研制100千克食品，甲种食物至少要用多少千克？丙种食物至多能用多少千克？（2）若限定甲种食物用50千克，则研制这100千克食品的总成本S 的取值范围是多少？【解答】解：（1）设研制100千克食品用甲种、乙种和丙种食物各x 千克，y 千克和z 千克，由题意，得++=100300+600+300≥36000700+100+300≥40000，即++=100①+2+≥120②7++3≥400③，由①z＝100﹣x﹣y，代入②③，得≥202−≥50，∴2x≥y+50≥70，x≥35，将①变形为y＝100﹣x﹣z，代入②，得z≤80﹣x≤80﹣35＝45，答：即至少要用甲种食物35千克，丙种食物至多能用45千克．（2）研制100千克食品的总成本S＝6x+4y+3z，将z＝100﹣x﹣y代入，得S＝3x+y+300．当x＝50时，S＝y+450，20≤y≤50．∴470≤S≤500．答：则研制这100千克食品的总成本S的取值范围是470≤S≤500．初中数学培优：不等式（组）1．已知a1，a2，…，a2004都是正数，如果M＝（a1+a2+…+a2003）（a2+a3+…+a2004），N＝（a1+a2+…+a2004）（a2+a3+…+a2003），那么M、N的大小关系是（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不确定的【解答】解：设S＝a2+a3+…+a2003，则M＝（a1+S）（S+a2004）＝a1S+S a2004+S2+a1a2004，N＝（a1+S+a2004）S＝a1S+S a2004+S2，∴M﹣N＝a1•a2004＞0（a1，a2，…，a2004都是正数），∴M＞N．故选：A．2．已知△ABC的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：设△ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为25，220，2ℎ，则25＞220．+2ℎ＞25+25＞2ℎ，解得4＜ℎ＜203．所以h的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．故选：B．3．若方程组3−=+1+=3的解为x，y，且2＜k＜4，则x﹣y的取值范围是（）A．0＜x﹣y＜3B．0＜x﹣y＜1C．﹣3＜x﹣y＜﹣1D．﹣1＜x﹣y＜1【解答】解：两个方程相减，得：2x﹣2y＝k﹣2，∴x﹣y=K22，∵2＜k＜4，∴0＜k﹣2＜2，则0＜K22＜1，即0＜x﹣y＜1，故选：B．4．已知方程组−2=2+3=+1的解x，y满足2x+y≥0，则m的取值范围是m≥−43．【解答】解：2−=−①3+2=+1②，①×2+②得：7x＝﹣m+1，即x=−r17，将x=−r17代入①得：y=5r27，根据题意得：2x+y=−2r27+5r27≥0，解得：m≥−43．故答案为：m≥−435．甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有12件．【解答】解：设共购商品2x件，9元的商品a件，则8元商品为（2x﹣a）件，根据题意得：8（2x﹣a）+9a＝172，解得a＝172﹣16x，∵依题意2x≥a，且a＝172﹣16x≥0，x为大于0的自然数，∴可得9.6≤x≤10.75，∴x＝10，则a＝12．所以9元的商品12件，故答案为：12．6．满足不等式|5﹣x|+|x﹣1|＜37的整数解共有7个．【解答】解：①当x＜1时，不等式变形为5﹣x+1﹣x＜37，解得：xx＜1，整数解是0；②当1≤x＜5时，不等式变形为：5﹣x+x﹣1＜37即4＜37，此时的整数解是：1，2，3，4有三个．③当x≥5时，不等式转化为x﹣5+x﹣1＜37，则2x＜6+37，则x＜3+则整数解是：5，6．则原不等式的整数解是：0，1，2，3，4，5，6，共7个．故答案为：7．7．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否＞487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是7＜x≤19．【解答】解：前四次操作的结果分别为3x﹣2；3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8；3（9x﹣8）﹣2＝27x﹣26；3（27x﹣26）﹣2＝81x﹣80；由已知得：27−26≤48781−80＞487，解得：7＜x≤19．容易验证，当7＜x≤19时，3x﹣2≤4879x﹣8≤487，故x的取值范围是：7＜x≤19．故答案为：7＜x≤19．8．[a]表示不大于a的最大整数，那么方程[3x+1]＝2x−12的所有根的和是﹣2．【解答】解：设x＝n+a（n为整数，0≤a＜1），代入原方程得：[3n+3a+1]＝2n+2a−12，即3n+1+[3a]＝2n+2a−12，∴n+1+[3a]＝2a−12①，则n+[3a]＝2a−32于是2a−32是整数，又∵0≤a＜1，∴−32≤2−32＜12，∴2a−32=0或﹣1，当2a−32=0时，解得a=34，把a=34代入①式，n+[94]＝0，∴n＝﹣2．于是得1=−2+34；当2a−32=−1时，a=14代入①式，n+[14]＝﹣1，∴n＝﹣1．于是得2=−1+14，则1+2=(−2+34)+(−1+14)=−2，故所有根的和是﹣2．故答案为：﹣2．9．已知k是满足1910＜k＜2010的整数，并且使二元一次方程组5−4=74+5=有整数解．问：这样的整数k有多少个？【解答】解：解方程组可得解：=35+441=5K2841．设当35+4=4128−5=41（其中m和n是整数）（1）时方程组有整数解．消去上面方程中的k，得到5m+4n＝7．（2）∵m=7−45=1﹣n+2+5且m和n是整数，∴只要满足2+5=l（l是整数）即可，即n＝5l﹣2，代入（2）式得m＝3﹣4l，∴从（2）解得=3−4=5−2（其中l是整数）．（3）将（3）代入（1）中一个方程得：35+4k＝123﹣164l，解得k＝22﹣41l．∵k是满足1910＜k＜2010的整数，∴1910＜22﹣41l＜2010，解不等式得−198841＜l＜−189041，即﹣482041＜l＜﹣46441，因此共有2个k值使原方程有整数解．答：这样的整数k有2个．10．某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产此两种型号挖掘机，所生产的此两种型号挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：型号A B成本（万元/台）200240售价（万元/台）250300（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？（2）该厂如何生产能获得最大利润？（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m 万元（m＞0），该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润＝售价﹣成本）【解答】解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机（100﹣x）台，由题意得22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，解得37.5≤x≤40．∵x取非负整数，∴x为38，39，40．∴有三种生产方案①A型38台，B型62台；②A型39台，B型61台；③A型40台，B型60台．答：有三种生产方案，分别是A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台，B型60台．（2）设获得利润W（万元），由题意得W＝50x+60（100﹣x）＝6000﹣10x，＝5620（万元），∴当x＝38时，W最大答：生产A型38台，B型62台时，获得最大利润．（3）由题意得W＝（50+m）x+60（100﹣x）＝6000+（m﹣10）x当0＜m＜10，则x＝38时，W最大，即生产A型38台，B型62台；当m＝10时，m﹣10＝0则三种生产方案获得利润相等；当m＞10，则x＝40时，W最大，即生产A型40台，B型60台．答：当0＜m＜10时，生产A型38台，B型62台获利最大；当m＝10时，3种方案获利一样；当m＞10时，生产A型40台，B型60台获利最大．11．一般地，对任意的实数x，可记x＝[x]+{x}．其中：符号[x]叫做x的整数部分，表示不大于x的最大整数（例如[3]＝3，[3.14]＝3，[﹣3.14]＝﹣4；符号{x}叫做x的小数部分，即0≤x＜1（例如{3.14}＝0.14，{3.86}＝0.86）．试求出所有的x，使得13x+5[x]＝100【解答】解：令[x]＝n，代入原方程得13x+5n＝100，即x=100−513，又∵[x]≤x＜[x]+1，∴n≤100−513＜n+1．整理得13n≤100﹣5n＜13n+13，即296＜n≤509，∴n＝5．代入原方程得13x+5×5＝100，解得：x=7513．经检验，x=7513是原方程的解．12．（探索题）某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商店出售的这种瓷砖有大，小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大，小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少？【解答】解：依题意有三种购买方案方案一：只买大包装，则需买包数为48050=485由于不折包装，所以只需买10包，所付费用为30×10＝300元．方案二：只买小包装，则需买包数为48030=16，所付费用为16×20＝320元．方案三：既买大包装，又买小包装并设买大包装x包，小包装y包，所需费用为w元，根据题意得50+30≥480=30+20，所以w=−103x+320因为0＜50x＜480，且x为正整数所以0＜x＜9.6．所以x＝9时，w＝290（元）最小即购买9包大包装瓷砖和1包小包装瓷砖时，所付费用最少，最少为290元．13．某校决定购买一些跳绳和排球．需要的跳绳数量是排球数量的3倍，购买的总费用不低于2200元，但不高于2500元（1）商场内跳绳的售价20元/根，排球的售价为50元/个，设购买跳绳的数量为x，按照学校所定的费用，有几种购买方案？每种方案中跳绳和排球数量各为多少？（2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少？最少费用是多少元？（3）由于购买数量较多，该商规定20元/根跳绳可打九折，50元/个的排球可打八折，用（2）中的最少费用最多还可以多买多少跳绳和排球？【解答】解：（1）根据题意得：20+50×3≥220020+50×3≤2500解得60≤x≤68211．∵x为正整数∴x可取60，61，62，63，64，65，66，67，68∵13也必需是整数∴13可取20，21，22．∴有三种购买方案：方案一：跳绳60根，排球20个；方案二：跳绳63根，排球21个；方案三：跳绳66根，排球22个．（2）在（1）中，方案一购买的总数量最少，所以总费用最少最少费用为：60×20+20×50＝2200．答：方案一购买的总数量最少，所以总费用最少，最少费用为2200元．（3）设用（2）中的最少费用最多还可以多买的排球数量为y，20×90%（60+3y）+50×80%（20+y）≤2200，解得：y≤31947，∵y为正整数，∴满足y≤31947的最大正整数为3∴多买的跳绳为：3y＝9（根）．答：用（2）中的最少费用最多还可以多买9根跳绳和3个排球．14．为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220200200运往E县的费用（元/吨）250220210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？【解答】解：（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨．由题意，得+=280=2−20解得=180=100答：这批赈灾物资运往D县的数量为180吨，运往E县的数量为100吨．（2）由题意，得120−＜2−20≤25解得＞40≤45即40＜x≤45．∵x为整数，∴x的取值为41，42，43，44，45．则这批赈灾物资的运送方案有五种．具体的运送方案是：方案一：A地的赈灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；B地的赈灾物资运往D县79吨，运往E县21吨．方案二：A地的赈灾物资运往D县42吨，运往E县58吨；B地的赈灾物资运往D县78吨，运往E县22吨．方案三：A地的赈灾物资运往D县43吨，运往E县57吨；B地的赈灾物资运往D县77吨，运往E县23吨．方案四：A地的赈灾物资运往D县44吨，运往E县56吨；B地的赈灾物资运往D县76吨，运往E县24吨．方案五：A地的赈灾物资运往D县45吨，运往E县55吨；B地的赈灾物资运往D县75吨，运往E县25吨．（3）设运送这批赈灾物资的总费用为w元．由题意，得w＝220x+250（100﹣x）+200（120﹣x）+220（x﹣20）+200×60+210×20＝﹣10x+60800．因为w随x的增大而减小，且40＜x≤45，x为整数．所以，当x＝41时，w有最大值．则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：w＝60390（元）．。

基本不等式培优专题目录：培优点一：常规配凑法 培优点二：常量代换 培优点三：换元法培优点四：和、积、平方和三量减元 培优点五：轮换对称和万能k 法培优点六：消元法（必要构造函数求导） 培优点七：不等式算两次 培优点八：齐次化培优点九：待定与技巧性强的配凑 培优点十：多元变量的不等式最值问题 培优点十一：不等式综合问题一、常规配凑法1.已知242(,)aba b R +=∈，则2a b +的最大值为__________,02.已知实数,x y ,满足22116y x +=，则__________,943.已知不等式11()()9x my x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数m 的最小值______,44.已知实数,x y ,满足1x ≠，则11x y y x ++-+的最小值为__________,15.已知实数0,0x y >>,满足23x y+=xy 的最小值为__________,6.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则412x y y+-的最小值为__________,97.已知实数0,0x y >>,满足11111x y +=++，则2x y +的最小值为__________, 二、“1”的代换8.已知实数0,0>>y x ,满足1x y +=，则1y x y+的最小值为__________3,此时_____x =129.已知实数0x y >>,满足121x y +=，则2y x+的最小值为__________，9 10.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则413x y x y ++-的最小值为__________,9411.记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大数，若0,0x y >>，则13max{,,}x y x y+的最小值为______,212.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则22221x y x y ++-+的最小值为13.已知正实数,x y ,满足121(2)(2)x y y x y x+=++，则xy 的最大值为__________,2三、换元法14.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11112x y+++的最小值为15.已知22log (2)log (1)1a b -+-≥，则2a b +取到最小值时________ab =916.已知实数20x y >>,满足11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为17.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11x y x y +++的最大值为__________,2318.已知实数0,0x y >>,满足22x y +=，则224122x y y x +++的最小值为__________,4519.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则1911x y +--的最小值为__________,6 20.已知实数,x y ,满足3x y xy +=-，且1x >，则(8)y x +的最小值为__________,2521.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则4911x y x y +--的最小值为__________,2522.已知实数,x y ，满足491xy+=，则1123x y +++的取值范围为__________,23.已知实数,x y ，满足114422x y x y +++=+，则22xyS =+的取值范围为__________,(2,4] 四、和、积、平方和三量减元24.已知实数,x y ,满足4x y +=，则xy 的最大值为__________4,22(1)(1)x y ++的最小值为__________,1625.已知实数0,0x y >>,满足()4xy x y +=，则xy 的最大值为_,2x y +的最小值为__________,226.已知实数,x y ,满足2x y +=，则221111x y +++的最大值为27.已知正实数,x y ,满足22421x y x y +++=，则xy 的最大值为28.已知实数,x y ,满足412x y y x xy +=-，则221xyx y +-的最大值为__________,13+ 29.已知非负实数,x y ,满足222244432x y xy x y +++=，则2x y +的最小值为2)2x y xy ++的最大值为__________,16 30.已知正实数,x y ,满足42y x xy ++=，则221217xy x y xy +++的取值范围为______,13(,]172531.已知正实数,x y ,满足2342x y xy ++=，则54xy x y ++的最小值为__________,55 32.已知正实数,x y ,满足2(2)16x y xy +=+，则21xy x y ++的最大值为__________,16五、轮换对称与万能k 法33.已知实数,x y ,满足2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为__________,534.已知正实数,x y ,满足22x y +=，则x __________,8535.已知正实数,x y ,满足2291x y +=，则3xyx y+的最大值为__________,1236.已知实数,,x y z ,满足0x y z ++=，2221x y z ++=则x 的最大值为__________,337.已知实数,x y ,满足229461x y xy ++=，则96x y +的最大值为__________,六、消元法（必要构造函数求导） 38.若存在正实数y ,使得154xy y x x y =-+，则x 的最大值为__________,1539.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则12x y +的最小值为_________3_,2212x y+的最小值为_________3,40. 已知正实数,x y ,满足1x y +=，则222x yx y x y+++的最大值为1+ 41. 已知正实数,x y ,满足240x y -+≤，则23x y u x y +=+有最_小__值为________,14542. 已知正实数,x y ,满足113x y +=，则xy 的最小值为_________49_,1y xy +的最大值为__________,4七、不等式算两次43.已知实数0x y >>，则21()x y x y +-的最小值为__________,444.已知实数20x y >>，则29()(2)x y y x y -+-的最小值为__________,1245.已知实数0x y >>，则4441x y xy++的最小值为__________,446.已知实数0,0x y >>，则2211()()22x y y x+++的最小值为__________,4 47.已知正实数,,x y z ，则2222()52x y z yz xz++++的最小值为__________,448.已知实数0x y >>，则322x x y x y+++-的最小值为__________,49.已知实数2,0,0>>>z y x ，且2x y +=，则2xz z z y xy +-的最小值为_______,+八、齐次化50.若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为____________.451.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则23x y xy+的最小值为__________,152.已知正实数,x y ,若23x y +=，则2222629xy xyy x y x+++的最大值为53.已知实数,x y ,满足22222x xy y -+=，则222x y +的最小值为__________,73九、待定和技巧性强的配凑54.已知正实数,,x y z ，满足3456x y z ++=，则1422y z y z x z ++++的最小值为_______,7355.已知正实数,x y ,满足111x y+=，则2210x xy y -+的最小值为__________,-3656.已知正实数,x y ,满足1xy ≤，则11112x y+++的最小值为__________,2 57.已知实数,,x y z ，满足222144x y z ++=，则22xy yz xz ++的取值范围为_____,[2,4]-58.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则3xy yz +的最大值为__________,259.已知实数,,x y z ，满足2224x y z ++=+的最大值为__________,十、多元变量的不等式最值问题60.已知正实数,,,a b c d ，满足1a b +=，1c d +=则11abc d+的最小值为__________,961.已知实数,,x y z ，满足222215xy z x y z +=⎧⎨++=⎩，则xyz 的最小值为____32______,此时___z =262.已知正实数,,x y z ，满足()x x y z yz ++=，则xy z+的最大值为__________,1263.已知实数,,x y z ，满足0,x y z x y z ++=>>，则的取值范围为______,(55-64.已知实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则xy z +的最小值为__________,-165.已知实数,,x y z ，满足222231x y z ++=，则2x y +的最大值为66.已知正实数,,x y z ，满足2xy x y =+，2xyz x y z =++则z 的最大值为__________,8767.已知正实数,,x y z ，满足x y z +≥，则y x x y z ++的最小值为1268.已知正实数,,x y z ，满足111x y +=，111x y z +=+，则z 的取值范围为__________,4(1,]369.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z xy yz ++--=，则z 的最大值为70.已知非负实数,,x y z ，满足1x y z ++=，则()()z x z y --的取值范围为___,1[,1]8- 十一、不等式综合应用71.已知正实数,x y ,满足4146x y x y ++=+，则41x y+的最小值为__________,8 72.已知正实数,x y ,满足148x y x y+=++，则x y +的最小值为__________,9 73.已知正实数,x y ,满足111924x y x y +++=，则3716x y -的最小值为__________,14- 74.已知实数,,(0,1)a b c ∈，设212121,,,111a b b c c a+++---这三个数的最大值为M ，则M 的最小值为_______3+75.已知实数,x y ，满足1,0x y >>，且114111x y x y +++=-则111x y+-的最大值为__,976.已知正实数,x y ，满足2(1)(32)(2)xy y y -=+-，则1x y+的最大值为______,1 77.已知正实数,x y ，满足2811x y+=，则x y +的最小值为__________,6。

第一章一兀一次不等式和一兀一次不等式组【知识总结】一.不等关系探1.一般地，用符号“ V”（或“W”），“〉”（或“》”）连接的式子叫做不等式....O 2.要区别方程与不等式：方程表示的是相等的关系；不等式表示的是不相等的关系• 探3.准确“翻译”不等式，正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数<===> 大于等于0（> 0） <===> 0和正数<===> 不小于0非正数<===> 小于等于0（< 0） <===> 0和负数<===> 不大于0二.不等式的基本性质探1.掌握不等式的基本性质，并会灵活运用：（1）不等式的两边加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变，即：如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.⑵不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, —b.c c（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,—-c c三•不等式的解集：探1.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式.的解..;一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解.不等式..探2.不等式的解可以有无数多个，一般是在某个范围内的所有数，与方程的解不同.O 3.不等式的解集在数轴上的表示：用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：①边界:有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；②方向：大向右，小向左四.一元一次不等式：探1.只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一兀一次不等式...探2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，特别要注意，当不等式两边都乘以一个负数时，不等号要改变方向.探3.解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（不等号的改变问题）孤4.一元一次不等式基本情形为ax>b（或axvb）①当a>0时，解为x -;a②当a=0时，且b<0,则x取一切实数；当a=0时,且b>0,则无解；③当a<0时，解为x b ; a五.一元一次不等式组探1.定义：由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一. 次不等式组探2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解• 几个不等式解集的公共部分，通常是利用数轴来确定探3.解一元一次不等式组的步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集• 两个一元一次不等式组的解集的四种情况（a、b为实数,且a<b）、选择题（每小题3分，共30分）1.. 下列不等式一定成立的是（）2.不等式—3x+6 > 0的正整数有（）个个个D.无数多个3.. 在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足（）A. —8v x v 8 v—8 或x> 8 v 8 > 8> 4a +2 v x+3 C. —a > —2 a D.43无解，则m 的取值范围是（） x 11 V 11 > 11 < 11 > 11 4.若不等式组3 1 3 1 3 1 > -， n > — — > 3， n >— 3 v n v —v —，n > — -— 2 3 2 3 2 3 6. 如右图， 当y 0时, 自变量 x 的范 围是 ( )A 、x 2 B、x 2 C 、 x 2 D 、x 2 7. 如果0 x 1 ，则下 列不等式成立的（ )A 、x 2 1 r 2 1 C 、 1 21 2 x —— B 、x x —— —x x D 、 xx x x x 5.要使函数y=（2m — 3）x+（3n+1）的图象经过x 、y 轴的正半轴，则 m 与n 的取值应为（ ） 则下列结论正确的是 ( ) 8.若 a>b>0, (A) -a>-b (B)- a (C)a 3<0 (D)a 2>b 2 9•某射击运动员在一次比赛中前 6次射击共中52环,如果他要打破89环（10次射击）的记录，第七次射击不 能少于（ ）环（每次射击最多是 10环） C 、7 10.初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要元，洗一张相片需要元•在每位同学得到一 相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足元, 那么参加合影的同学人 A.至多6人 E.至少6人 C.至多 D.至少5人 11.不等式组 3x 23 的最小整数解为 4(A) - 1 12、如果0 （B ） 0 （C ）1则下列不等式成立的（ x 13、在平面直角坐标系内，点 P （ A 、 5 m 3 二、填空题：（每题 3分， 若以“ x 1 m 3 共 15 分)1x x3， mm 5 (D) 4 ) 1 c 、— x 5）在第四象限， C 、3 m 1 2 xx的取值范围是（D 、5 m1，则x 的取值范围是 如果关于x 的不等式 (a 1)x a 5和2x 4的解集相同，则 a 的值为若a b ，用“v”或“〉”号填空:2a点 A (— 5， y 1 )、B (— 2， y 2)都在直线y 2x 上,则y 1与丫2的关系是2 x a i5、若不等式组的解集为1 x 1，那么(a 3)(b 3)的值等于x 2b 3b，则a 的取值范围是a三、解不等式(组)(每题5分)a 1 x a 2的解集是3 v x v a+2，贝U a 的取值范围3x5.2x 1 彳x 1(2)若关于x 的不等式组3'的解集为x<2，求k 的取值范围x k 0x m 1(3) 若不等式组'无解，求m 的取值范围x 2m 1(4 )已知关于x ，y 的方程组x y m的解为非负数，求整数 m 的值5x 3y 31(5)画岀函数y=3x+12的图象，并回答下列问题：(6分)(1) 当x 为什么值时，y > 0 ?(2) 如果这个函数y 的值满足一6< y < 6，求相应的x 的取值范围、, 2x y 1 m …厶亠(6)已知方程组的解x 、y 满足x+y > 0，求m 的取值范围.(6分)x 2y 2四.应用题某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共 10辆•其中轿车至少要购买 3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆 4 万元，公司可投入的购车款不超过55万元.(10分)(1 )符合公司要求的购买方案有哪几种？请说明理由. (2)如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为 110元•假设新购买的这 10辆车每日都可6、不等式ax b 的解集是x5x 6 2(x 3) (1).x x 3 1 - 4 3x 53(3).2x 2四、解答题(2)2x 1 2 5x 1 4~~2x 1 5x 1 1 (4)3 2 5x 1 3(x 1)(1 )不等式组租岀，要使这10辆车的日租金收入不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？考点1不等式（1）不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。

1、若⎩⎨⎧>>a x x 3的解集是3>x ，则a ______.若⎩⎨⎧>>a x x 3的解集是4>x ，则a ______. （1）若⎩⎨⎧<>a x x 3无解，则a _______________.若⎩⎨⎧<>ax x 3有实数解，则a _______________.（2）若不等式()2312->+-x x m 的解集是23<x ，则m ____________. （3）若0<a 则01>+ax 的解集是______________.（4）若()11+<+m x m 的解集是1>x ， m __________（5）若()61<+x m 的解集是2->x ，则m ______________.2、若不等式2x+m<1的非负整数有3个，则m 的取值范围是 。

3、已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧+<-≥-122b a x b a x 的解集为53<≤x ，求b a .4、若⎩⎨⎧<>a x x 3有五个整数解，求a 的取值范围.若⎩⎨⎧≤>a x x 3有五个整数解，求a 的取值范围. 5、若⎩⎨⎧<>a x x 3的最大整数解是6，求a 的取值范围.6、不等式组()()()⎪⎩⎪⎨⎧++->+->++125.015.11412121x x a x a x x 有两个整数解，求a 的取值范围.7、已知关于x 的方程16325+-=-m x m x 的解满足23≤<-x ，求a 的取值范围.8、若关于x 的方程023=+-k x 的解是正数，求k 的取值范围.9、已知二元一次方程组⎩⎨⎧-=-+=+5335a y x a y x ，其中0<x ，0>y 求a 的取值范围.10、关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=++=-a y x a y x 523的解满足0>>y x ，求a 的取值范围.11、若方程组⎩⎨⎧=++=+3313y x k y x 的解满足10<+<y x ，求k 的取值范围.12、若方程组⎩⎨⎧=++=+3313y x k y x ，其中40<<k ，求y x -的取值范围.13、已知()03232=-++-x m y x 中y 为正数，求m 的取值范围.14、不等式组12,3 5.a x a x -<<+⎧⎨<<⎩的解集是3＜x ＜a +2，则a 的取值范围15、若不等式2x<4的解都能使关于x 的一次不等式(a-1)x<a+5成立，则a 的取值范围16、已知方程组⎩⎨⎧-=++=+②①my x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围． 17、已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-+=+34,72m y x m y x 的解为正数，求m 的取值范围18、关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-123,0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围．20、已知⎩⎨⎧+=+=+122,42k y x k y x 中的x ，y 满足0＜y －x ＜1，求k 的取值范围．附加：解不等式0432>-+x x .(2) 解不等式03132<+-xx 某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾厂处理．如果甲厂每小时可处理垃圾55吨，需花费550元；乙厂每小时处理45吨，需花费495元．如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用的和不能超过7150元，问甲厂每天至少要处理多少吨垃圾?某单位要印刷一批宣传资料，在需要支付制版费600元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷数量超过2000份的，超过部分的印刷费可按9折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过3000份的，超过部分印刷费可按8折收费．(1) 若该单位要印刷2400份宣传资料，则甲印刷厂的费用是______，乙印刷厂的费用是______．(2) 根据印刷数量大小，请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠?。

浙教版八年级上册一元一次不等式专题培优(附答案)八年级上册一元一次不等式专题培优基础巩固1.不等式 $x+1\geq2x-1$ 的解集在数轴上表示为（）。

答案：$[2,+\infty)$2.已知$a>b$，$c\neq0$，则下列关系一定成立的是（）。

A。

$ac>bc$B。

$\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$C。

$c-a>c-b$D。

$c+a>c+b$答案：A3.若实数 $3$ 是不等式 $2x-a-2<0$ 的一个解，则 $a$ 可取的最小正整数为（）。

答案：$5$4.下列命题中：①如果 $a1-a$ 的解集是 $x<-1$，则 $a<1$；③若 $\frac{6-x}{3}$ 是自然数，则满足条件的正整数 $x$ 有$4$ 个。

正确的命题有（）。

A。

个B。

$1$ 个C。

$2$ 个D。

$3$ 个答案：C5.若关于$x$，$y$ 的二元一次方程组的解满足$x+y<2$，则 $a$ 的取值范围是（）。

A。

$a>2$B。

$a<2$C。

$a>4$D。

$a<4$答案：B6.若 $x$ 的 $3$ 倍大于 $5$，且 $x$ 的一半与 $1$ 的差不大于 $2$，则 $x$ 的取值范围是（）。

答案：$[\frac{7}{3},+\infty)$7.若 $ab$ 的解集是 $x<\frac{a}{b}$，则 $a$ 的取值范围是（）。

答案：$(-\infty,0)\cup(b,+\infty)$8.若在数轴上表示关于 $x$ 的不等式 $x-3>\frac{2}{3}$ 的解集如图所示，则 $a$ 的值是（）。

答案：$a=\frac{11}{3}$9.如图，若开始输入的 $x$ 的值为正整数，最后输出的结果为 $144$，则满足条件的 $x$ 的值为（）。

答案：$6$10.解下列不等式，并把解集表示在数轴上。

§3.8 隐零点与极值点偏移问题隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，难度大．题型一 隐零点例1 (2023·郑州模拟)已知函数f (x )＝e x ＋1－2x ＋1，g (x )＝ln x x＋2. (1)求函数g (x )的极值；(2)当x >0时，证明：f (x )≥g (x )．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 零点问题求解三步曲(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f ′(x 0)＝0，并结合f ′(x )的单调性得到零点的取值范围．(2)以零点为分界点，说明导函数f ′(x )的正负，进而得到f (x )的最值表达式．(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．跟踪训练1 (2023·潍坊模拟)设函数f (x )＝x －a ln x －2.(1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，当x >1时，ln x ＋1>(1＋k )f ′(x )，求整数k 的最大值． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 题型二 极值点偏移例2 已知函数f (x )＝x e －x .(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若x 1≠x 2且f (x 1)＝f (x 2)，求证：x 1＋x 2>2.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________思维升华 极值点偏移问题的解法(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x 1＋x 2>(<)2x 0型，构造函数F (x )＝f (x )－f (2x 0－x )；对结论x 1x 2>(<)x 20型，构造函数F (x )＝f (x )－f ⎝⎛⎭⎫x 20x ，通过研究F (x )的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t ＝x 1x 2化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．跟踪训练2 已知函数f (x )＝ln(x ＋a )－x －1x ＋a，函数g (x )满足ln[g (x )＋x 2]＝ln x ＋x －a . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若g (x )有两个不同的零点x 1，x 2，证明：x 1x 2<1.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。

(一)不等式概念和性质错解例析初学不等式，由于对概念及性质理解不够深刻，有些同学常出现一些错误，现举例分析,望能引以为戒一、理解概念不透致错例1、下列给出四个式子，①x>2 ②a ≠0 ③5<3 ④a ≥b 其中是不等式的是（ ）A 、①④B 、①②④C 、①③④D 、①②③④错解、选A分析、不等式是指形式上用“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”连接的式子，不受其是否成立的影响，5<3是不等式，只不过这个不等式不成立，另外a ≠0也是不等式，因为“≠”也是不等号， 正解、选D二、符号意义不清致错 例2、下列不等式①2a>a ②a 2+1>0 ③8≥6 ④x 2≥0 一定成立的是（ ）A 、②④B 、②C 、①②④D 、②③④错解、选A分析、导致本题错误的原因是对“≥”理解不正确，“≥”的意义是“>”或“=”，有选择功能，二者成立之一即可，事实上也只能二者取一，不等号两边的量不会既“>”又“=”，所以，对8≥6的理解应是“8大于6”，对x 2≥0的理解应是，“当x=0时，x 2=0；当x ≠0时，x 2>0” 正解、选D例3、不等式x>-2的解集在数轴上表示正确的一项是（ ）错解，选A分析、对不等式的解集在数轴上的表示方法不清出错，在数轴上表示不等式的解集时，实心圆点，表示将该位置点取上，虑心圆点，表示将位置点挖去不要，同时应注意画线的方向，按数轴从左到右方向看时，x>a 、x ≥a 时向右画，反之向左画 正解，选C例4、若x x -=-33，则下列不等式成立的是（ ）A 、03>-xB 、03<-xC 、03≥-xD 、03≤-x错解、B分析、本题错解属于对“<”、“≤”的应用不当，只考虑了03<-x 这一情况，而忽略了x-3=0时,原式也成立， 正解、选D三、性质运用不当致错例5、对不等式13>-x 变形正确的是( ) A 、两边同除以-3，得31->xB 、两边同除以-3，得31-<x C 、两边同除以-3，得3->x D 、两边同除以-3，得3-<x错解、选A分析、根据不等式的性质，不等式两边同除以一个不为0的正数时，不改变不等号的方向；但同除以一个不为0的负数时，要改变不等号的方向，本题变形是不等式两边同除以-3，所以要改变不等号的方向， 正解、选B(二) 不等式和方程对比不等式和方程都是用来研究现实生活中数量关系的数学模型，它们既有区别又有联系，若能加强它们之间的对比，则会收到事半功倍的学习效果.同时，又能在一元一次方程的基础上学好不等式. 一、 概念的对比一元一次方程的一般形式为ax+b=0（a ≠0）、标准形式为ax=b （a ≠0）；一元一次不等式的一般形式为ax+b ＞0或ax+b ＜0（a ≠0）、标准形式为ax ＞b 或ax ＜b （a ≠0）.两者的 相同点是化简后都只 一个未知数,且未知数的次数都是1;不同点是一元一次方程是用等号表示相等关系的式子,一元一次不等式是用不等号“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”等表示不等关系的式子.二、 变形依据的对比可见：等式两边都乘以（或除以）同一个数时，只须考虑这个数是否为零；而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，除了考虑这个数不能为零外，还必须考虑该数的正负性. 三、 求解过程的对比解题步骤完全类似,都经过五个步骤：“去分母”“去括号”“移项”“合并”“系数化为1”. 由于两者变形依据不同,所以在解不等式的过程中“去分母”或“系数化为1”时，如果两边乘以（或除以）的数是一个负数，则改变不等号的方向. 四、解题思路相同都是首先通过化简，转化为最简方程ax=b （a ≠0）或最简不等式ax ＞b 或ax ＜b （a ≠0），然后系数化1.五、 解和解集的对比一般地，一元一次方程的解通常只有一个，而一元一次不等式的解有无数个，由它们组成的解的集合简称为一元一次不等式的解集.它们的共同点是：不论是一元一次方程的解，还是一元一次不等式的解，都能使方程或不等式成立.它们在数轴上表示时不同:方程的解ｘ＝ａ在数轴上表示为一个点； 不等式的解集ｘ≥ａ在数轴上表示为一条射线. 六、标准的一元一次方程(ax=b)和标准的一元一次不等式（以ax ＞b 为例）解的比较ax=b 的解有三种可能：⑴当a ≠0时,有惟一解;⑵当a=b=0时,有无数个解;⑶当a=0,b ≠0时,无解. 对于形如ax ＞b 的不等式,我们可分以下几种情况来研究它的解. ⑴若a ＞0,则x ＞a b ;⑵若a ＜0,则x ＜ab;⑶若a=0,①b ≥0时,不等式无解;②b ＜0时,不等式的解为任意数.通过上述对比,可以发现尽管一元一次方程和一元一次不等式有着本质的区别,但它们也存在许多相似之处.类比方程学习不等式,可以充分利用已有的解方程的经验,来实现知识的正迁移. 将不等式与方程对比学习,这样更有利于弄清两者的区别与联系,更能深入,透彻理解这两部分的知识.(三) 如何学好不等式的性质我们知道等式有两个基本性质，而不等式却有三个重要性质.不等式的三条性质和等式的性质一样，不等式的性质是不等式变形的重要依据.所以同学们必须深刻理解，熟练掌握，才会灵活运用.因此同学们在学习不等式的性质时，应注意以下三个问题：一、注意不等式的性质与等式的性质区别和联系不等式的性质与等式的性质既有本质的区别，又有着内在的联系.其联系在于：不等式两边加（或减）同一个数或式子，都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；而等式两边加（或减）同一个数或式子，都乘（或除以）同一个正数，结果仍相等.区别在于：对于等式来说，在两边乘（或除以）同一个负数，结果仍相等；而对于不等式来说，在用负数乘以（或除以）不等式的两边时，不等号的方向却要改变．正是因为不等式的性质与等式的性质的这种联系及区别，导致了解一元一次不等式与解一元一次方程的联系及区别.二、注意对不等式性质3的理解与运用不等式的基本性质3是指：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.用字母表示为：如果a ＞b ，且c ＜0，那么ac ＜bc 或a c ＜b c. 就是说，在不等式的两边可以随意加（或减）同一个式子，却不能在不等式的两边任意乘（或除以）同一个式子.这是因为不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向不变.这条性质对初学者来说最容易忽视，导致不等式变形错误，应加以重视.三、注意对不等号的方向变与不变的理解为了能清楚地说明不等号的方向变与不变，我们还是通过例题来说明：由不等式5＞2可以得到5±3＞2±3，或许有的同学会认为，在不等式都加上或减去3，不等号的方向并不发生改变，这是利用不等式的性质1，但若不等式5＞2可以得到2±3＜5±3，仍然成立，这个好象同学们不理解，事实上，这与不等式的性质1仍然是一致的，关键在于，判断一个不等式的不等号方向变与不变，应将原不等式的左右两边经过变形后仍然放在不等式的左、右两边，然后再根据不等式的性质来确定不等号的方向变与不变.又如由不等式5≥2可以得到5×(－2)≤2×(－2)，这时由于在不等式两边同乘以了一个“－2”，所以不等号的方向要改变.再如，已知关于x 的不等式2＜(1－a )x 的解集为x ＜a-12，则a 的取值范围应该是a ＞1.这是因为对照已知条件中两个不等式，可以发现，已知不等式左、右两边经过变形后位置发生了改变，即2在原不等式的左边，经过变形后在右边，含x 的项在已知不等式的右边，经过变形后在左边，因此应先将2＜(1－a )x 变形为(1－a )x ＞2，再根据不等式的性质确定a 的取值范围.即根据不等式的性质3，得1－a ＜0，所以a ＞1.总之正确理解与运用不等式的基本性质，尤其是基本性质3，是学好不等式的关键，同学们在学习时不妨多运用具体问题加以巩固和训练.(四) 感悟“不等式的基本性质3”不等式的基本性质3：如果a b >，并且c <0，那么ac <bc ．我们以“同乘一个负数（如－2）”为例加以验证．（1）若a ，b 同为负数，如－3>－4，而（－3）×(－2)=6，（－4）×（－2）=8．因为6<8，所以（－3）×（－2）<（－4）×（－2）．（2）若a =0，b <0，如0>－3，而0×(－2)=0，(－3)×(－2)=6．因为0<6，所以0×（－2）<(－3)×(－2)．（3）若a ，b 为一正数一负数，如2>－3，而2×(－2)=－4，(－3)×(－2)=6．因为－4<6，所以2×（－2）<（－3）×（－2）．（4）若a >0，b =0，如2>0，而2×(－2)=－4，0×(－2)=0，因为－4<0，所以2×（－2）<0×（－2）．（5）若a ，b 同为正数，如3>2，而3×(－2)=－6，2×(－2)=－4．因为－6<－4，所以3×（－2）<2×(－2)．总之，如果a >b ，c <0，无论a ，b 取哪种情况下的数，都有ac <bc ． 例 用不等号填空，并简要说明理由．（1）若122a -<，则a 4-．（2）若a >b ，则2ac - 2bc -．解：（1）>；依据不等式的性质3，在不等式的两边都乘以－2，得4a >-． （2）≤；因为20c -≤，当20c -<时，依据不等式的性质3，在不等式的两边都乘以2c -，得22ac bc -<-；当20c -=，得22ac bc -=-．总之，22ac bc --≤． 注：此题在解答中，易忽视c =0的情况，而错填“<”(五) 不等式解集表示四法我们已经学习了不等式，那么，不等式的解集有哪些表示形式呢？大的方面讲主要有：“不等号法”，即用不等号（≠、≤、≥、＜、＞）表示解集，其特点是准确；“图示法”，即用数轴加折线表示解集，其显著的特点是直观；“列举法”，即把解集列举出来，其特点具体；“综合法”为了发挥它们的各自的特点，通常综合运用上述的方法.一、不等号表示法例1、 不等式2-x ≥3的解集是__________简析 移项得 2-3≥x, 合并得 x ≤-1.所以填x ≤-1. 例2、若a>b 则3a －2_______3a －2(填“>”“=”“<”)分析 因为a>b 所以3a>3b, 3a －2>3b －2 应填“>”号.二、图示表示法例3 、不等式12+x ≥3的解集在数轴上表示正确的是( )析解 移项得:2x ≥3-1;合并得：2x ≥2；两边同除以2得x ≥1；所以选如图1中的D. 三、列举表示法 例4、不等式xx 213＞+的负整数解是 . 简析 移项得 x-x 21＞-3 解得x ＞-6,所以不等式的负整数解是-5、-4、-3、-2、-1. 例5 、一个不等式的解集如图2所示，则这个不等式的正整数解是＿＿ 简析 由图可知不等式的正整数解是1.四、综合表示法例6 、在数轴上表示不等式2x-6≥0的解集，正确的是（ ）DBAC图16,解得x ≥3;由图3知:A 的解集是x ＞3,C 的解集是x ≥-3,D 的解集是x ≤-3,所以选B.例7、已知实数a b 、在数轴上对应的点如图4所示，则下列式子正确的是（ ）． A．0ab >B．a b > C ．0a b -> D ．0a b +>简析：因为0<a<1 b<－1 所以ab<0 |b|>|a| a+b<0 A 、B 、D 均不正确，选C.不等式的解集还有其它的表是方法.如不等号与文字结合表示(x ＞3的整数)等,请同学们注意总结.(六) 不等式的运算口诀一、不等式性质不等式的三条基本性质是不等式变形的依据，它不仅表明了不等号的方向变与不变，更重要的是，变形后的不等式与原来不等式的解集完全相同，只是形式上发生了变化.特别注意的是基本性质3 ，不等式两边同或除以一个负数，不等号的方向一定要改变.为了好记，不等式的三条基本性质可以浓缩成下面一句话： 加减不变乘除负变正不变.二、在数轴上表示不等式解集的方法用数轴表示不等式的解集一般的有下列四种情况：1.x ＞a ，如图12.x ＜a ，如图23.x≥a ，如图34.x≤a ，如图4图3 · ·· · · 1b 1-图4a a图2 a图4用数轴表示不等式的解集体现了数形结合的思想，是研究不等式解集的重要手段，也是学习不等式组的重要工具，而同学们往往由于记错而用错，下面的口诀会帮助你记住它.大向右，小向左，有等点，无等圈. 三、确定不等式组解集的方法借助数轴可以确定出不等式组解集下列四种情况：1. 不等式组⎩⎨⎧>>bx ax （其中a ＞b ）的解集为：x ＞a.2. 不等式组⎩⎨⎧<<b x ax （其中a ＞b ）的解集为：x ＜b. 3.不等式组⎩⎨⎧><bx ax （其中a ＞b ）的解集为：b ＜x ＜a.4.不等式组⎩⎨⎧<>b x ax （其中a ＞b ）的解集为：无解. 它是解不等式组的关键，利用数轴非常直观的就能总结出来。

九年级数学下册2023年中考专题培优训练：不等式与不等式组一、单选题1．下列说法不正确的是（ ）A ．不等式的解集是B ．不等式的整数解有无数个32x ->5x >3x <C ．不等式的整数解是0D ．是不等式的一个解33x +<0x =23x <2．已知，则下列结论成立的是( )x y <A ．B ．C ．D ．77x y ->-55x y ->-2121x y +>+22x y >3．一元一次不等式x+1>2的解在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．4．关于 的不等式 的非负整数解共有（ ）个x 1230x ->A ．3B ．4C ．5D ．65．若关于x 的不等式2x+a≤0只有两个正整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣6≤a≤﹣4B ．﹣6＜a≤﹣4C ．﹣6≤a ＜﹣4D ．﹣6＜a ＜﹣46．若a ＜b ，则下列各式正确的是（ ）A ．3a ＞3bB ．﹣3a ＞﹣3bC ．a﹣3＞b﹣3D ．33a b >7．如图表示的是关于 的不等式 ≤ 的解集，则 的取值是（ ）x 2x a --1a A ． ≤-1B ． ≤-2C ． =-1D ． =-2a a a a 8．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃～5℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃～8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（ ）A ．1℃～3℃B ．3℃～5℃C ．5℃～8℃D ．1℃～8℃9．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）21112x x -≤⎧⎨+>-⎩A ．B ．C．D．10．若 是关于x 的不等式 的一个解，则a 的取值范围是（ ）3x =2()x x a >-A ．B ．C ．D ．32a <32a >32a ≤32a ≥11．关于x 的一元一次不等式3x>6的解都能满足下列哪一个不等式的解（ ）A ．4x-9＜xB ．-3x+2＜0C ．2x+4＜0D ．122x <12．老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条 元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）2a b+A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．与a 和b 的大小无关二、填空题13．不等式组 的解集为　　.23x x >-⎧⎨≤⎩14．若不等式（a+1）x ＞a+1的解集是x ＜1，则a 的取值范围是 ．15．a ＞b ，且c 为实数，则ac 2　　bc 2．(用数学符号填空)16．不等式3x﹣2≥4（x﹣1）的所有非负整数解的和为 ．17．对于任意实数m 、n ，定义一种运运算m ※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x ＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是　三、解答题18．解不等式组 ，并求它的整数解．64325213x x x x +≥-⎧⎪+⎨->-⎪⎩19．今年中考期间，我县部分乡镇学校的九年级考生选择在一中、二中的学生宿舍住宿，某学校将若干间宿舍分配给该校九年级一班的女生住宿，已知该班女生少于25人，若每个房间住4人，则剩下3人没处住；若每个房间住6人，则空一间房，并且还有一间房有人住但住不满。