2019-2020学年高中数学 第一章 算法初步 1.1.1 算法的概念导学案新人教A版必修3.doc

高中数学第一章算法初步 1.1.1 算法的概念课堂探究新人教B版必修31．算法的五个特点剖析：(1)有穷性：一个算法应包含有限的操作步骤，而不能是无限的．(2)确定性：算法中的每一步骤都应当是确定的，而不应当是模棱两可的．(3)有序性：算法是从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能解决问题．(4)不唯一性：求解某个问题的算法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不同的算法．(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决．2．教材中的“思考与讨论”说出你过去和现在对“算法”一词的理解．剖析：过去可能认为“算法”是“计算方法”的简称．通过本节课的学习，已经认识到“算法”与“计算方法”其实是两个不同的概念，不能混淆．现在学习的算法不同于求解一个具体问题(特殊)的计算方法，它有如下一些要求：(1)算法必须能解决一类问题，并且能够重复使用；(2)算法过程要能一步一步地执行，每一步执行的操作必须确切，而且有限步后能得出结果，所以算法并不是计算方法的简称，它是“解题方法的精确描述”，而计算方法则是对于求数值解的方法的研究．题型一算法的概念【例1】下列语句中是算法的个数为__________．①找出十个数中的最大值；②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；③测量某棵树的高度，判断其是否是大树；④求1＋2＋3＋4的值，先计算1＋2＝3，再由3＋3＝6，6＋4＝10得最终结果是10.解析：①中，并没有给出问题的解决步骤，故不能算作算法；②中，给出了解一元一次方程的一般方法，故②是算法；④中，给出了求1＋2＋3＋4的一个过程，最终得出结果，故④是算法；而③中，我们对“树的大小”没有明确的标准，无法完成任务，故不是算法．答案：2反思算法的每一步必须都是确定的，不能含糊不清．如：某健身操中一个动作“手举过头顶”，这个步骤就是不确定的，是含糊的．是双手都举过头？还是左手？或右手？举过头顶多少厘米？不同的人可以有不同的理解．算法中的每一个步骤不应产生歧义，而应当是明确无误的．有了确定的步骤之后，在执行过程中，我们只需一步一步机械地照着做即可.题型二 数值型问题的算法描述【例2】 给出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．分析：此题有两种解法，第一种是按照逐个相加的办法计算，第二种运用公式1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.解：解法一：S1 计算1＋2得3；S2 将S1中的运算结果3与3相加得6；S3 将S2中的运算结果6与4相加得10；S4 将S3中的运算结果10与5相加得15；S5 将S4中的运算结果15与6相加得21.解法二：S1 取n ＝6；S2 计算n n ＋2；S3 输出运算结果21.反思 第二种解法体现了算法的本质特征：对一类问题的机械的、统一的求解方法．【例3】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x ＋x ，x ＋x ，设计一个算法求函数的任一函数值．分析：此函数是分段函数，在不同区间上的函数解析式不同，函数值与自变量的范围有关，必须讨论自变量与2的关系．解：比如求x ＝a 时f (x )的值，可设计如下的算法．算法步骤如下：S1 输入a ；S2 若a ≥2，则执行S3；若a ＜2，则执行S4；S3 输出a 2－a ＋1；S4 输出a ＋1.反思 这是求分段函数函数值的一个基本算法，问题的核心是进行有效地判断，明确执行哪个命令.题型三 非数值型问题的算法描述【例4】 一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量时，狼就会吃掉羚羊．(1)请你设计一个安全渡河的算法；(2)思考每一步算法所遵循的原则是什么．分析：解答本题可先根据条件建立过程模型，再设计算法．解：(1)算法如下：S1 人带两只狼过河；S2 人自己返回；S3 人带一只狼过河；S4 人自己返回；S5 人带两只羚羊过河；S6 人带两只狼返回；S7 人带一只羚羊过河；S8 人自己返回；S9 人带两只狼过河．(2)在人运送动物过河的过程中，人离开岸边时必须保证岸边的羚羊的数目大于狼的数目．反思此问题属于非数值型问题的算法设计问题，写算法时应简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现出思维的严密性和完整性．。

描述：例题：高中数学必修3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 算法初步 1.1 算法与程序框图一、学习任务1. 了解算法的含义，了解算法的基本思想，能用自然语言描述解决具体问题的算法．2. 了解设计程序框图表达解决问题的过程，了解算法和程序语言的区别；了解程序框图的三种基本逻辑结构，会用程序框图表示简单的常见问题的算法．二、知识清单算法 程序框图三、知识讲解1.算法算法（algorithm）是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤 ．可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题.描述算法可以有不同的方式．例如，可以用自然语言和数学语言加以描述，也可以借助形式语言（算法语言）给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌.算法的要求：(1)写出的算法，必须能解决一类问题，并且能重复使用；(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得到结果.下列对算法的理解不正确的是（ ）A．一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的B．算法中的每一个步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的、模棱两可的C．算法中的每一个步骤都应当是有效地执行，并得到确定的结果D．一个问题只能设计出一种算法解：D算法的有限性是指包含的步骤是有限的，故 A 正确；算法的确定性是指每一步都是确定的，故 B正确；算法的每一步都是确定的，且每一步都应有确定的结果，故 C 正确；对于同一个问题可以有不同的算法，故 D 错误．下列叙述能称为算法的的个数为（ ）描述：2.程序框图程序框图简称框图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．其中，起、止框是任何流程不可少的，表明程序的开始和结束．输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置．算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内．一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连接．如果一个框图需要分开来画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码．①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②依次进行下列运算：，，，，；③从枣庄乘火车到徐州，从徐州乘飞机到广州；④ ；⑤求所有能被 整除的正整数，即 ．A． B． C． D．解：B①、②、③为算法．1+1=22+1=33+1=4⋯99+1=1003x >x +133,6,9,12,⋯2345写出解方程组的一个算法．解：方法一：代入消元法．　第一步，由 得 ；第二步，将 代入 ，得 ，解得 ；第三步，将 代入方程 ，得 ；第四步，得到方程组的解为 ．方法二：加减消元法．第一步，方程 两边同乘以 ，得 ；第二步，将第一步所得的方程与方程 作差，消去 ，得 ，解得 ；第三步，将 代入方程 ，得 ，解得 ；第四步，得到方程组的解为 ．{2x +y =74x +5y =112x +y =7y =7−2x y =7−2x 4x +5y =114x +5(7−2x )=11x =4x =4y =7−2x y =−1{x =4y =−12x +y =7510x +5y =354x +5y =11y 6x =24x =4x =42x +y =72×4+y =7y =−1{x =4y =−1例题：画程序框图的规则（1）使用标准的图形符号．（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画．（3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点．判断框是具有超过一个退出点的惟一符号．（4）判断框分两大类，一类判断框是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果．（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚．算法的三种基本逻辑结构顺序结构：语句与语句之间，框与框之间按从上到下的顺序进行．条件分支结构：在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构．循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构．下列程序框图分别是解决什么问题的算法．解：（1）已知圆的半径，求圆的面积的算法．（2）求两个实数加法的算法．执行如图的程序框图，输出的 ______ ．解：T =30四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）某程序框图如图所示，若输出的 ，则判断框内为（ ）A． B． C． D．解：AS =57k >4?k >5?k >6?k >7?已知函数 ，对每次输入的一个值，都得到相应的函数值，画出程序框图．解：f (x )={2x +3,3−x ,x 2x ⩾0x <0x答案：1. 关于算法的说法中，正确的是 A ．算法就是某个问题的解题过程B ．算法执行后可以产生不确定的结果C ．解决某类问题的算法不是唯一的D ．算法可以无限地操作下去不停止C()答案：解析：2. 下列运算不属于我们所讨论算法范畴的是 A ．已知圆的半径求圆的面积B ．随意抽 张扑克牌算到二十四点的可能性C ．已知坐标平面内两点求直线方程D ．加减乘除法运算法则B注意算法需按照一定的顺序进行．()4答案：解析：3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 属于 ．A ．B ．C ．D ．D取 ，得输出的 ，即可判断．t ∈[−2,2]S ()[−6,−2][−5,−1][−4,5][−3,6]t =−2S =64. 某批发商按客户订单数额的大小分别给予不同的优惠折扣．计算客户应付货款的算法步骤如下： ：输入订单数额 （单位：件）；输入单价 （单位：元）；：若 ，则折扣率 ；若 ，则折扣率 ；若 ，则折扣率 ；若 ，则折扣率 ；：计算应付货款 （单位：元）；：输出应付货款 ．S 1x A S 2x <250d =0250⩽x <500d =0.05500⩽x <1000d =0.10x ⩾1000d =0.15S 3T =Ax (1−d )S 4T。

1．1.1 算法的概念预习课本P2～5，思考并完成以下问题(1)利用加减消元法求解一般的二元一次方程组的步骤有哪些？(2)在数学中算法是如何定义的？(3)算法的特征是什么？(4)解决一类问题的算法是唯一的吗？是不是任何一个算法都有明确的结果？[新知初探]1．算法的概念在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．2．算法的特征(1)确定性：算法中每一步都是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果．(2)有限性：一个算法的步骤是有限的，不能无限地进行下去，它能在有限步的操作后解决问题．(3)有序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步．(4)不唯一性：解决一个问题可以有多种不同的算法．(5)普遍性：给出一个算法的程序步骤，它可以解决一类问题，并且能够多次重复使用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求解一类问题的算法是唯一的( )(2)算法必须在有限步骤操作之后解决问题( )(3)算法执行后一定产生确定的结果( )解析：由算法具有有限性、确定性和不唯一性可知(1)错，(2)、(3)对．答案：(1)×(2)√(3)√2．下列叙述不能称为算法的是( )A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1C．利用公式S＝πr2计算半径为2的圆的面积得π×22D．解方程x2－2x＋1＝0解析：选D 选项A，B给出了解决问题的方法和步骤，是算法；选项C是利用公式计算，也属于算法；选项D只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．3．下面是某人出家门先打车去火车站，再坐火车去北京的一个算法，请补充完整．第一步，出家门．第二步，________________.第三步，坐火车去北京．答案：打车去火车站算法概念的理解[典例]A．算法就是某个问题的解题过程B．算法执行后可以产生不同的结果C．解决某一个具体问题算法不同，则结果不同D．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施[解析] 选项B正确，例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；选项A，算法不能等同于解法；选项C，解决某一个具体问题算法不同，但结果应相同；选项D，算法可以为很多次，但不可以无限次．[答案] B算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．[活学活用]有人对哥德巴赫猜想“任何大于4的偶数都能写成两个奇质数之和”设计了如下操作步骤：第一步，检验6＝3＋3.第二步，检验8＝3＋5.第三步，检验10＝5＋5.……利用计算机一直进行下去！请问：利用这种步骤能够证明猜想的正确性吗？这是一个算法吗？解：利用这种步骤不能证明猜想的正确性．此步骤不满足算法的有限性，因此不是算法.算法的设计[典例] 写出求1[解] 法一：第一步，计算1＋2得到3.第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6.第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10.第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15.第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21.法二：第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7.第二步，计算3×7.设计具体问题的算法的一般步骤(1)分析问题，找出解决问题的一般数学方法；(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．[活学活用]1．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法如下，请补充完整．第一步，求1×3得结果3.第二步，将第一步所得结果3乘以5，得到结果15.第三步，_________________________________________________________________.第四步，再将第三步所得结果105乘以9，得到结果945.第五步，再将第四步所得结果945乘以11，得到结果10 395，即为最后结果．解析：依据算法功能可知，第三步应为“再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105”．答案：再将第二步所得结果15乘以7，得到结果1052．写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．解：法一：第一步，移项得x2－2x＝3.①第二步，①式两边同时加1，并配方得(x －1)2＝4.②第三步，②式两边开方，得x －1＝±2.③第四步，解③式得x 1＝3，x 2＝－1.法二：第一步，计算出一元二次方程的判别式的值，并判断其符号．显然Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0.第二步，将a ＝1，b ＝－2，c ＝－3代入求根公式x 1,2＝－b ±b 2－4ac 2a，得x 1＝3，x 2＝－1.[层级一 学业水平达标]1．下列关于算法的说法中正确的个数有( )①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止；③x 2－x ＞2是一个算法；④算法执行后一定产生确定的结果．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选B 依据算法的多样性(不唯一性)知①错误；由算法的有限性，确定性知②④正确；因为x 2－x ＞2仅仅是一个数学问题，不能表达一个算法，所以③是错误的；由于算法具有可执行性，正确的有②④.2．已知直角三角形两直角边长为a ，b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步：( ) ①计算c ＝a 2＋b 2；②输入直角三角形两直角边长a ，b 的值；③输出斜边长c 的值．其中正确的顺序是( )A ．①②③B ．②③①C ．①③②D ．②①③ 解析：选D 明确各步骤间的关系即可知D 选项正确．3．下列叙述中，①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…99＋1＝100；③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州；④3x ＞x ＋1；⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….能称为算法的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 根据算法的含义和特征知：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x ＞x ＋1不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．4．下列所给问题中，不能设计一个算法求解的是( )A ．用“二分法”求方程x 2－3＝0的近似解(精确度0.01)B ．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋5＝0，x －y ＋3＝0C ．求半径为2的球的体积D ．求S ＝1＋2＋3＋…的值解析：选D 对于D ，S ＝1＋2＋3＋…，不知道需要多少步完成，所以不能设计一个算法求解．[层级二 应试能力达标]1．一个厂家生产商品的数量按照每年比前一年都增加18%的比率递增，若第一年的产量为a ，“计算第n 年的产量”的算法中用到的一个函数解析式是( )A ．y ＝an 0.18B ．y ＝a (1＋18%)nC ．y ＝a (1＋18%)n －1D ．y ＝n (1＋18%)n解析：选C 根据已知条件可以得出满足题意的函数解析式为y ＝a (1＋18%)n －1.2．如下算法：第一步，输入x 的值．第二步，若x ≥0，则y ＝x .第三步，否则，y ＝x 2.第四步，输出y 的值．若输出的y 值为9，则x 的值是( )A ．3B ．－3C ．3或－3D ．－3或9 解析：选D 根据题意可知，此为分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥0，x 2，x ＜0的算法，当x ≥0时，x ＝9；当x ＜0时，x 2＝9，所以x ＝－3.综上所述，x 的值是－3或9.3．对于算法：第一步，输入n .第二步，判断n 是否等于2，若n ＝2，则n 满足条件；若n >2，则执行第三步．第三步，依次从2到(n －1)检验能不能整除n ，若不能整除n ，则执行第四步；若能整除n ，则结束算法．第四步，输出n .满足条件的n 是( )A ．质数B ．奇数C ．偶数D ．约数解析：选A 此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到(n －1)一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数．4．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个过程．从下列选项中选出最好的一种算法( )A ．第一步，洗脸刷牙．第二步，刷水壶．第三步，烧水．第四步，泡面．第五步，吃饭．第六步，听广播B ．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭．第五步，听广播C ．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭同时听广播D ．第一步，吃饭同时听广播．第二步，泡面．第三步，烧水同时洗脸刷牙．第四步，刷水壶解析：选C 因为A 选项共用时间36 min ，B 选项共用时间31 min ，C 选项共用时间23 min ，D 选项的算法步骤不符合常理，故选C.5．以下是解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋6＝0，①x ＋y ＋3＝0 ②的一个算法，请将该算法补充完整．第一步，①②两式相加得3x ＋9＝0. ③第二步，由③式可得________. ④第三步，将④式代入①式，得y ＝0.第四步，输出方程组的解________．解析：由3x ＋9＝0，得x ＝－3，即④处应填x ＝－3；把x ＝－3代入2x －y ＋6＝0，得y ＝0，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝0.答案：x ＝－3 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝0 6．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步，输入A ＝89，B ＝96，C ＝99.第二步，__________________________.第三步，__________________________.第四步，输出计算的结果．解析：应先计算总分D ＝A ＋B ＋C ，然后再计算平均成绩E ＝D 3. 答案：计算总分D ＝A ＋B ＋C 计算平均成绩E ＝D 37．使用配方法解方程x 2－4x ＋3＝0的算法的步骤是________(填序号)． ①配方得(x －2)2＝1；②移项得x 2－4x ＝－3；③解得x ＝1或x ＝3；④开方得x －2＝±1.解析：使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行． 答案：②①④③8．对任意三个整数a ，b ，c ，写出求最大数的算法．解：算法如下：第一步，令max ＝a .第二步，比较max 与b 的大小，若b >max ，则令max ＝b ；否则，执行第三步． 第三步，比较max 与c 的大小，若c >max ，则令max ＝c ；否则，执行第四步． 第四步，max 就是a ，b ，c 中的最大数．9．已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和直线l 2：3x ＋2y －6＝0，设计一个算法，求l 1和l 2及y 轴所围成的三角形的面积．解：算法如下：第一步，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0，得l 1，l 2的交点为P (－2，6)．第二步，在方程3x －y ＋12＝0中，令x ＝0，得y ＝12，从而得到l 1与y 轴的交点为A (0,12)．第三步，在方程3x ＋2y －6＝0中，令x ＝0，得y ＝3，从而得到l 2与y 轴的交点为B (0,3)． 第四步，求出△ABP 的边长AB ＝12－3＝9.第五步，求出△ABP 的边AB 上的高h ＝2.第六步，根据三角形的面积公式计算S ＝12·AB ·h ＝12×9×2＝9. 第七步，输出S .。

2019-2020年高中数学《1.1.1算法的概念》教案新人教A版必修3教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法•教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固三维目标1. 正确理解算法的概念，掌握算法的基本特点.2. 通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路3. 通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣重点难点教学重点：算法的含义及应用.教学难点：写出解决一类问题的算法.课时安排1课时教学过程导入新课思路1 （情境导入）一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容一一算法思路2 （情境导入）大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上.上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念思路3 （直接导入）算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题， 算法的学习是一个开始推进新课 新知探究 提出问题（1）解二元一次方程组有几种方法？（2 ）结合教材实例总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤 （3 ）结合教材实例总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤 （4 ）请写出解一般二元一次方程组的步骤 . （5） 根据上述实例谈谈你对算法的理解 . （6） 请同学们总结算法的特征 • （7）请思考我们学习算法的意义 •讨论结果：（1）代入消元法和加减消元法 • （2）回顾二元一次方程组的求解过程，我们可以归纳出以下步骤: 第一步，①+②X 2,得5x=1.③ 第二步，解③，得x=. 第三步，②-①X 2,得5y=3•④第四步，解④，得 y 三（3）用代入消元法解二元一次方程组 我们可以归纳出以下步骤： 第一步，由①得x=2y — 1.③第二步，把③代入②，得 2（2y — 1）+y=1.④ 第三步，解④得y=.⑤第四步，把⑤代入③，得 x=2X — 1=.计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画第五步，得到方程组的解为 X一 5’第五步，得到方程组的解为(4) 对于一般的二元一次方程组其中a i b2 —a z b i M0,可以写出类似的求解步骤：第一步，①Xb 2-②Xb i,得(a i b2—a2b i) x=b2C i—b i C2.③第二步，解③，得x=.第三步，②Xa i-①Xa2，得(a i b2—a2b i) y=a i C2—a2C i.④第四步，解④，得y=.b? c i — bi C2x = ,a i b? - a?b i第五步，得到方程组的解为i 2 2 ia〔C2 -玄20y -a i b^a2b i(5) 算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题(6) 算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏•“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务•②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续•③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.(7) 在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法•也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法•算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果•因此算法是计算科学的重要基础•应用示例思路i 例 1 ( 1)设计一个算法，判断7 是否为质数.(2)设计一个算法，判断35 是否为质数.算法分析： (1)根据质数的定义，可以这样判断：依次用2—6 除7，如果它们中有一个能整除7，则7 不是质数，否则7 是质数.算法如下： (1)第一步，用2除7，得到余数 1.因为余数不为0，所以2不能整除7.第二步，用 3 除7，得到余数 1.因为余数不为0，所以 3 不能整除7.第三步，用 4 除7，得到余数 3.因为余数不为0，所以 4 不能整除7.第四步，用 5 除7，得到余数 2.因为余数不为0，所以 5 不能整除7.第五步，用6除7，得到余数 1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.(2)类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除35，得到余数 1.因为余数不为0，所以 2 不能整除35.第二步，用 3 除35，得到余数 2. 因为余数不为0，所以 3 不能整除35.第三步，用 4 除35，得到余数 3. 因为余数不为0，所以 4 不能整除35.第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数. 点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35 是否为质数还可以，如果判断1997 是否为质数就麻烦了，因此，我们需要寻找普适性的算法步骤.变式训练请写出判断n(n>2) 是否为质数的算法.分析：对于任意的整数n(n>2) ，若用i 表示2—(n-1) 中的任意整数，则“判断n 是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i 除n, 得到余数r. 判断余数r 是否为0，若是，则不是质数；否则，将i 的值增加1，再执行同样的操作.这个操作一直要进行到i 的值等于(n-1) 为止. 算法如下：第一步，给定大于 2 的整数n.第二步，令i=2.第三步，用i 除n, 得到余数r.第四步，判断“ r=0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i 表示.第五步，判断“ i >( n-1)”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.例 2 写出用“二分法”求方程x2-2=0 (x>0) 的近似解的算法.分析：令f(x)=x 2-2,贝U方程x2-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间［a,b :(满足f(a) • f(b)<0 )“一分为二”，得到［a,m］和［m,b］.根据“ f(a) • f(m)<0 ”是否成立，取出零点所在的区间］a,m］或［m,b］，仍记为］a,b :.对所得的区间［a,b ］重复上述步骤，直到包含零点的区间］a,b ］“足够小”，则］a,b ］内的数可以作为方程的近似解• 解：第一步，令f(x)=x 2-2,给定精确度d.第二步，确定区间］a,b ］，满足f(a) • f(b)<0.第三步，取区间中点m=.第四步，若f(a) • f(m)<0，则含零点的区间为［a,m］;否则，含零点的区间为］m,b］.将新得到的含零点的区间仍记为】a,b :.第五步，判断［a,b ］的长度是否小于d或f(m )是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步.当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.于是，开区间(1.414 062 5,1.417 968 75)中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.实际上，上述步骤也是求的近似值的一个算法点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法.如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续思路2例1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊. 该人如何将动物转移过河？请设计算法.分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.解：具体算法如下：算法步骤：第一步：人带两只狼过河，并自己返回. 第二步：人带一只狼过河，自己返回.第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回. 第四步：人带一只羊过河，自己返回.第五步：人带两只狼过河.点评：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性. 本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率.例2 喝一杯茶需要这样几个步骤：洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶．问：如何安排这几个步骤？并给出两种算法，再加以比较．分析：本例主要为加深对算法概念的理解，可结合生活常识对问题进行分析，然后解决问题．解：算法一：第一步，洗刷水壶.第二步，烧水.第三步，洗刷茶具.第四步，沏茶.算法二：第一步，洗刷水壶.第二步，烧水，烧水的过程当中洗刷茶具 . 第三步，沏茶 .点评：解决一个问题可有多个算法， 可以选择其中最优的、 最简单的、 步骤尽量少的算法． 面的两种算法都符合题意， 但是算法二运用了统筹方法的原理， 因此这个算法要比算法一更 科学． 例3写出通过尺轨作图确定线段AB 一个5等分点的算法•分析： 我们借助于平行线定理， 把位置的比例关系变成已知的比例关系， 只要按照规则 一步去做就能完成任务 . 解： 算法分析：第一步，从已知线段的左端点 A 出发，任意作一条与 AB 不平行的射线 AP.第七步，连结 DB.第八步，过C 作BD 的平行线，交线段 AB 于M,这样点M 就是线段AB 的一个5等分点.点评：用算法解决几何问题能很好地训练学生的思维能力， 并能帮助我们得到解决几何问题 的一般方法，可谓一举多得，应多加训练 . 知能训练设计算法判断一元二次方程ax 2+bx+c=0 是否有实数根解： 算法步骤如下： 第一步，输入一元二次方程的系数： a ，b ，c. 第二步，计算 △ =b 2— 4ac 的值.第三步，判断 △ >0是否成立•若4》0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实 根”，结束算法 .点评： 用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法 . 并且具有确定性、逻 性、有穷性 . 让我们结合例题仔细体会算法的特点 . 拓展提升中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过 3 分钟，则收取话费 0.22 元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟 0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算 •设通话时间为t (分钟)，通话费用 y (元)，如何设计一个程序，计算通话的费用第二步，在射线上任取一个不同于端点A 的点C,得到线段AC.第三步，在射线上沿 AC 的方向截取线段 CE=AC. 第四步，在射线上沿 AC 的方向截取线段 EF=AC. 第五步，在射线上沿 AC 的方向截取线段 FG=AC.第六步，在射线上沿 AC 的方向截取线段 GD=AC 那么线段AD=5AC.解：算法分析：数学模型实际上为：y关于t的分段函数.关系式如下：0.22,(0 ::: t 空3),y= <0.22 +0.1(t —3),(t >3,t € Z),0.22 +0.1([T —3]+1),(T >3,HS Z).其中]t - 3]表示取不大于t - 3的整数部分.算法步骤如下：第一步，输入通话时间t.第二步，如果t < 3,那么y=0.22 ;否则判断t € Z是否成立，若成立执行y=0.2+0.1 x (t —3);否则执行y=0.2+0.1 x([ t —3: +1).第三步，输出通话费用 c.课堂小结(1 )正确理解算法这一概念•(2)结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法作业课本本节练习1、2.设计感想本节的引入精彩独特，让学生在感兴趣的故事里进入本节的学习.算法是本章的重点也是本章的基础，是一个较难理解的概念.为了让学生正确理解这一概念，本节设置了大量学生熟悉的事例，让学生仔细体会反复训练.本节的事例有古老的经典算法，有几何算法等，因此这是一节很好的课例.2019-2020年高中数学《1.1.1集合的含义与表示（1）》学案新人教A 版必修1学习目标1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在操场集合进行军训动员.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念――集合，即是一些研究对象的总体.集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件二、新课导学探探索新知探究1 :考察几组对象：①1〜20以内所有的质数；②到定点的距离等于定长的所有点；③所有的锐角三角形；④,,,；⑤东升咼中咼一级全体学生；⑥方程的所有实数根；⑦万达日用品厂xx年6月生产的所有童车；⑧xx年6月，河北省所有出生婴儿.试回答：各组对象分别是一些什么？新知1 :一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

高中数学必修三第一章高中数学必修三第一章 1第一章算法初步1.1.1 算法的概念1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2. 算法的特点:(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.1.1.2 程序框图1、程序框图基本概念：(一)程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。

一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。

(二)构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的开始和结束，对于任何流程图都是不可缺少的。

输入输出框表示算法的输入输出信息，可以用在算法中任何需要输入输出的位置。

处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。

判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”;不成立时明“否”或“N”。

学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。

2.框图一般是从上到下，从左到右画的。

3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。

判断框具有超过一个退出点的唯一符号。

§1.1.1 算法的概念§1.1.1 算法的概念【教学目标】：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。

（2）能够用自然语言叙述算法。

（3）掌握正确的算法应满足的要求。

（4）会写出解线性方程（组）的算法。

（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

【教学重点】算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。

.【教学难点】把自然语言转化为算法语言。

.【学法与教学用具】：学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。

2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。

3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。

教学用具:计算机，ti-voyage200图形计算器【教学过程】一、本章章头图说明章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系，它们的基础都是“算法”。

算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。

但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。

如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。

菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。

在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。

古代的计算工具：算筹与算盘. 20世纪最伟大的发明：计算机，计算机是强大的实现各种算法的工具。

例1：解二元一次方程组：分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，下面用加减消元法写出它的求解过程.解：第一步：② - ①×2，得： 5y=3；③第二步：解③得；第三步：将代入①，得 .学生探究：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？老师评析：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。