高中数学第二章解析几何初步2.3.3 空间两点间的距离公式练习 北师大版

陕西省榆林育才中学高中数学第2章《解析几何初步》3空间两点间的距
离公式导学案北师大版必修2
学习目标
1、理解、记忆两点间的距离公式；
2、掌握由特殊到一般的公式推导方法，能利用公式求空间两点间的距离.
学习重点记忆并能运用公式.
学习难点公式的运用.
使用说明
1.根据学习目标，课前认真阅读课本第90页到第92页内容，完成预习引导的全部内容.
2.在课堂上（最好在课前完成讨论）发挥高效学习小组作用，积极讨论，大胆展示，完成合作探究部分.
2、在z轴上，求与点(-4,1,7)距离为33的点的坐标.
二、合作探究
3、点M（2,0,3）到x轴的距离为；到y轴的距离为；到z轴的距离为 .
4、在x轴上求一点，使它到点A(4,5,6)与到点B(-5,0,10)的距离相等.
5、已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)为三角形的三个顶点，
求证：三角形ABC 为直角三角形.
6、如图，长方体OABC-D′A′B ’C′中，已知|AB|=4，
|BC|=2，|AA ’|=3
，用空间两点间的距离公式 分别求：线段BO 、BD ’、A ’C 的长.
三、课 堂 检 测
z y
x A B
C
O C ’
A ’
B ’ D ’。

3.3空间两点间的距离公式1.已知点A(2,-3,5)关于xOy平面的对称点为A',则|AA'|等于()A.4B.6C.10D.√38答案:C2.下列各点到坐标原点距离最小的是()A.(1,-1,1)B.(3,0,4)C.(-2,3,5)D.(2,2,1)解析:点(1,-1,1),(3,0,4),(-2,3,5),(2,2,1)到原点(0,0,0)的距离分别为√3,5,√38,3,故选A.答案:A3.点A在z轴上,它到点(3,2,1)的距离是√13,则点A的坐标是()A.(0,0,-1)B.(0,1,1)C.(0,0,1)D.(0,0,13)解析:设点A(0,0,c),则√32+22+(1-c)2=√13,解得c=1.所以点A的坐标为(0,0,1).答案:C4.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D',则A'C的中点E与AB的中点F之间的距离为()A.√2aaB.√22C.aD.a2解析:由题意知,F(a,a2,0),E(a2,a2,a2),所以|EF|=√(a2)2+(a2)2=√22a.故选B.答案:B5.已知正方体的每条棱都平行于坐标轴,两个顶点为A(-6,-6,-6),B(8,8,8),且两点不在正方体的同一个面上,则正方体的对角线长为()A.14√3B.3√14C.5√42D.42√5解析:|AB|=√(-6-8)2+(-6-8)2+(-6-8)2=14√3.答案:A6.在空间直角坐标系中,与点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1)等距离的点有()A.1个B.2个C.3个D.无数个解析:由两点间距离公式可得|AB|=√26,|BC|=√74,|AC|=√26.因为A,B,C三点不共线,所以三点可确定一个平面,在△ABC所在平面内可找到一点到A,B,C的距离相等.而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A,B,C的距离均相等.故选D.答案:D7.已知点P在x轴上,且它到点P1(0,√2,3)的距离是到点P2(0,1,-1)的距离的2倍,则点P的坐标是.解析:点P在x轴上,设P(x,0,0),则|PP1|=√x2+(√2)2+32=√x2+11,|PP2|=√x2+(-1)2+12=√x2+2.∵|PP1|=2|PP2|,∴2+11=2√x2+2,解得x=±1.故点P的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0).答案:(1,0,0)或(-1,0,0)8.在空间直角坐标系O-xyz中,满足z=1的所有点构成的图形是.解析:因为z=1,所以满足条件的点到xOy面的距离为1,所以满足条件的点构成一个平面,即与xOy平面平行,与z轴交点为(0,0,1)的平面.答案:与xOy平面平行且与z轴交点为(0,0,1)的平面★9.在平面xOy内的直线3x-y+6=0上确定点P,使点P到定点M(2,2,3)的距离最小,则点P的坐标为.解析:由已知可设点P(x,3x+6,0),则|PM|=√(2x-x)2+[(2x+5)-(3x+6)]2+[(x+2)-0]2=√x2+(x+1)2+(x+2)2=√3x2+6x+5=√3(x+1)2+2.所以,当x=-1时,|PM|取最小值为√2.故在xOy平面内的直线3x-y+6=0上,取点P(-1,3,0)时,点P到点M的距离最小.答案:(-1,3,0)10.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,且E是棱DD1的中点,求BE,A1E的长.解以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.依题意,可得B (1,0,0),E (0,1,12),A 1(0,0,1),所以|BE|=√(1-0)2+(0-1)2+(0-12)2=32,|A 1E|=√(0-0)2+(0-1)2+(1-12)2=√52.故BE 的长为32,A 1E 的长为√52.11.在空间直角坐标系中,已知A (3,0,1),B (1,0,-3). (1)在y 轴上是否存在点M ,使|MA|=|MB|成立?(2)在y 轴上是否存在点M ,使△MAB 为等边三角形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由. 解(1)假设在y 轴上存在点M ,满足|MA|=|MB|,可设点M (0,y ,0),则√(3-0)2+(0-y )2+(1-0)2=√(1-0)2+(0-y )2+(-3-0)2,由于上式对任意实数都成立,故y 轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立. (2)假设在y 轴上存在点M (0,y ,0),使△MAB 为等边三角形.由(1)可知y 轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立,所以只要再满足|AB|=|MA|,就可以使△MAB 为等边三角形.因为|AB|=2√5,|MA|=√(3-0)2+(0-y )2+(1-0)2 =√10+y 2,于是√10+y 2=2√5,解得y=±√10.故y 轴上存在点M ,使△MAB 为等边三角形, 此时点M 的坐标为(0,√10,0)或(0,-√10,0).★12.已知正方形ABCD ,ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直,点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,已知CM=BN=a (0<a<√2). 求:(1)MN 的长;(2)a 为何值时,MN 的长最小?分析(1)此题首先应画出图形,然后选择合适的点作为原点,建立空间直角坐标系,借助空间两点间距离公式求解.(2)利用(1)中|MN|的表达式转化为求二次函数的最小值.解(1)因为平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ∩平面ABEF=AB ,AB ⊥BE ,所以BE ⊥平面ABC.所以AB ,BC ,BE 两两互相垂直.所以以B 为原点,以BA ,BE ,BC 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则M (√22a ,0,1-√22a ),N (√22a ,√22a ,0 ).所以|MN|=(√22a -√22a ) 2+( 0-√22a ) 2+( 1-√22a -0 ) 2=√a 2=( a -√22 ) +12(0<a<√2),即MN 的长为( a -√22 ) 2+12(0<a<√2).(2)由(1)知|MN|=( a -√22 ) 2+12,因为0<a<√2,所以当a=√22时,|MN|min =√22,即当a=√22时,MN 的长最小.。

3.3 空间两点间的距离公式【5分钟训练】1.如果长方体的长、宽、高分别为,,a b c ,那么对角线长d = .答案: 2. 设),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点，则12||M M = .答案:3. 已知A(0，y ,2 )、B(，且AB=6，则y = .答案:-2或8解析: AB=66=即2(3)25y -=，解得y =-2或y =8 .∴y =-2或y =8 .4. 点)1,1,2(-M 到y 轴的距离d = ．答案解析: 过点M 作y 轴的垂线，其垂足点P 的坐标为)0,1,0(，∴MP ==即得点)1,1,2(-M 到y 5. 点)1,1,2(-M 到yOz 平面的距离d = ．答案:2解析: 过点M 作yOz 平面的垂线，其垂足点P 的坐标为(0,1,1)-，∴2MP ==．【10分钟训练】1.点A(1,1,0)与点B(1,1,1)的距离是（ ）答案:C解析: 1AB ==,故应选 C ．2.到A(1,0,1)、B(3,－2,1)两定点距离相等的点的坐标满足的条件是 （ ）A.30x y +-=B.30x y --=C.30x y ++=D.30x y -+= 答案:B解析: 设点坐标为P(,,x y z ),由PA=PB 得=,整理可得30x y --=, 故应选B.3.若点A(2,1,4)与点P(x ,y ,z )的距离为5,则下列关系式正确的是 ( )A.222(2)(1)(4)25x y z -+-+-=B.222(2)(1)(4)5x y z -+-+-=C.222(2)(1)(4)25x y z +++++=D.222(2)(1)(4)25x y z ++++-= 答案:A解析: 由空间两点间的距离公式可得答案A.4.已知三点A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则下列说法正确的是 ( )A. A,B,C 三点可以构成直角三角形B. A,B,C 三点可以构成锐角三角形C. A,B,C 三点可以构成钝角三角形D. A,B,C 三点不能构成任何三角形 答案:A解析: 由1,AB AC BC ===, 222AB AC BC +=,所以三角形ABC 为直角三角形,故应选A .5. 已知A(1,-2,11)、B(4,2,3)、C(6,-1,4),则△ABC 的面积为 .答案:解析: AB ==AC ===BC ===∴222BC AC AB += ∴△ABC 为直角三角形，且AC 、BC 是直角边.∴1||||2ABC S AC BC === 6. 已知A(2,5，-6)，在y 轴上求一点B ，使得AB=7.解: 设B(0, y ,0), 则7=,解得2y =或8y =,即得B(0,2，0)或B(0,8，0).7. 点P 在坐标平面xOy 内，A 点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹是什么？解: 设点P 的坐标为(x , y , z ).点P 在坐标平面xOy 内， ∴z =0|PA|=5，∴5)4()2()1(222=-+-++z y x ，即2)1(+x 2)2(-+y 2)4(-+z =25，∴点P 在以点A 为球心，半径为5的球面上，∴点P 的轨迹是坐标平面x O y 与以点A 为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy 内的圆，且此圆的圆心即为A 点在坐标平面xOy 上射影A '(-1,2，0).点A 到坐标平面xOy 的距离为4，球面半径为5，∴在坐标平面xOy 内的圆A '的半径为3.∴点P 的轨迹是圆2)1(+x 2)2(-+y =9，z=0.8. 如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 、Q 分别是棱AB 、B 1C 1上的动点,且AP=B 1Q,M 、N 分别是AB 1、PQ 的中点.当P 在棱AB 上移动时,点N 的轨迹是什么图形?解: 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,|AP|=|B 1Q|=a ,点N(x ,y ,z ),则点P 、Q 的坐标分别为P(1, a ,1)、Q(1-a ,1,0) .又由点N 是PQ 的中点可得:121212a x a y z ⎧=-⎪⎪+⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,消去参数a ,得3212x y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ , 即点N 的轨迹是平面12z =上的线段MR:32x y +=,(其端点分别为AB 1中点M 与BC 1中点R) .【30分钟训练】 1. 设A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，则AB 的中点M 到C 点的距离为 （ ）B.532答案:C解析: AB 中点为3(2,,3)2M, MC ==, 故应选C. 2. 已知空间两点A(－3,－1,1)、B(－2,2,3)，C 在Oz 轴上，且与A 、B 两点的距离相等，则点C 的坐标是（ ） A.(0,0,1) B.(0,3,0) C.3(0,0,)2 D.(2,1,0)答案:C解析: 设点(0,0,)C z ,=解得32z =,即得C 3(0,0,)2,故应选C. 3. 点M(4,-3,5)到x 轴的距离d = ( )A.C.答案:B解析: 因为点M(4,-3,5)在x 轴的射影为点(4,0,0)M ',故点M 到x 轴的距离d=, 应选B.4. 已知点A(4,2,3)、B(6,－1,4)、C (1,－2,11)，则三角形ABC 的形状是（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 答案:C解析:由AB AC ==,BC 得222AC AB BC =+,所以三角形ABC 为直角三角形,故应选C .5. 若点P(,,x y z ) 到A(1,0,1)、B(2,1,0)两点的距离相等,则有x y z 、、满足的关系式 ( )A.22230x y z -+-=B.22230x y z +--=C.22230x y z --+=D.22230x y z ++-=答案:B解析: 由PA=PB=整理可得22230x y z +--=, 故应选B.6. 已知(,5,21),(1,2,2)A x x x B x x --+-,当AB 取最小值时,x 的值为 ( )A. 19B. 87-C. 87D. 1914答案:C解析:AB ===当87x =时,AB 取最小值,故应选C. 7. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离为3的点的集合形成一条曲线,则该曲线的长度为 ( )答案:C解析: 动点P 的轨迹实质为一个球,此题需求出球体与正方体的交线,计算其长度.当点P 在侧面AD 1内时,因为1<|PA|<|AD 1所以点P 轨迹为侧面AD 1上以A 为圆心为半径的一段圆弧P 1P 2 .当点P 在侧面AC 1内时,点P 轨迹为以A 1为圆心,的一段圆弧P 2P 3 ,半径|A 13=. 如图,由对称性可知,P 点在正方体表面的轨迹是6段圆弧组成的封闭曲线P 1P 2P 3P 4P 5P 6 ,且12345636PP P P P P π===,16234532PP P P P P π===⋅ .故其总长度为)62ππ+=应选C . 8. P 在坐标平面xOz 内，A 点的坐标为(1,3，-2)，且满足条件|PA|=5,则点P 的轨迹方程为 . 答案: 222(1)(3)(2)25x y z -+-++=9. 已知三角形的三个项点A(2,-1,4) ,B(3,2,-6), C(-5,0,2),则过点A 的中线的长为 .答案:7解析: 线段BC 的中点坐标为M(-1,1,-2 ),由中线AM7=.10. 已知A(2,4,1)、B(3,7,5)、C(4,10,9), 求证:A 、B 、C 三点共线.证明：∵AB ===AC ===BC ===∴AB BC AC += ,∴A 、B 、C 三点共线点.11. 在yOz 平面上,求与三个已知点A(3,1,2)、B(4,-2,-2)、C(0,5,1)等距离的点.解: 设点(0,,)M y z 在yOz 平面上,则由空间两点间距离公式知: MA =,MB =MC =又知点(0,,)M y z 到已知三点A,B,C 距离相等,则,MA MC MB MC ==,即222222222222(03)(1)(2)(00)(5)(1),(04)(2)(2)(00)(5)(1),y z y z y z y z ⎧-+-+-=-+-+-⎪⎨-++++=-+-+-⎪⎩ 整理得460,710.y z y z --=⎧⎨--=⎩解得17,538.5y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即点M 的坐标为1738(0,,)55. 12.如图所示，以正四棱锥V —ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h .求线段BE 的长.解: 由题意知B （a ，a ，0），C （－a ，a ，0），D （－a ，－a ，0），E （2,2,2h a a -）.由此得，BE ==13. (2005天津、江西、山西高考,19）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.求BN 、C 1M 的长.解: 如图，建立空间直角坐标系O —xyz .依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1）、A 1 (1,0,2) 、B 1 (0,1,2) ,C 1 (0,0,2 ) 、M (12,12, 2 ) .∴BN =3)01()10()01(222=-+-+-,12C M ==. 14. 如图所示,建立空间直角坐标系D xyz -,已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,点P 在面对角线1A B 上,点Q 在面对角线1B C 上.(1)当点P 是对角线1A B 的中点,点Q 在对角线1B C 上运动时,求PQ 的最小值;(2)当点Q 是对角线1B C 的中点,点P 在对角线1A B 上运动时,求PQ 的最小值;(3) 当点P 是在对角线1A B 上运动,点Q 在对角线1B C 上运动时,求PQ 的最小值. 解: 如图所示,由题意知:点1A (1,0,1)、点1B (1,1,1)、点B(1,1,0)、点C(0,1,0).(1) 当点P 是对角线1A B 的中点,则由投影的概念知点11(1,,)22P , Q 在对角线1B C 上运动,设点(,1,),[0,1]Q a a a ∈ , 由空间两点距离公式得PQ ===当34a =时PQ此时点33(,1,)44Q . (2)当点Q 是对角线1B C 的中点,则由投影的概念知点11(,1,)22Q , p 在对角线1A B 上运动,设点(1,,1),[0,1]P a a a -∈ , 由空间两点距离公式得PQ ===当34a =时PQ此时点31(1,,)44P . (3) 当点P 是在对角线1A B 上运动,点Q 在对角线1B C 上运动, 设点(1,,1),(,1,),[P a a Q b b a b -∈ , 由空间两点距离公式得PQ==.=. 当2,3b =代入102b a -+=得23a =时,即当23a b ==时,PQ .此时点2122(1,,),(,1,)3333P Q . 15. 定义: 异面直线上两点间距离的最小值,称为异面直线间的距离.已知正方体ABCD -1111D C B A 的棱长为a ，求异面直线11CC BD 与间的距离. 解: 以D 为坐标原点，从D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图2.3.2-5所示的空间直角坐标系.设P 、Q 分别是直线1BD 和1CC 上的动点，其坐标分别为(x , y , z )、(0，1,z a )，则由正方体的对称性，显然有x =y . 要求异面直线11CC BD 与间的距离，即求P 、Q 两点间的最短距离.设P 在平面AC 上的射影是H ，由在∆!BDD 中， BDBH D D PH =1，所以a x a a z -=，∴x =a -z ， ∴P 的坐标为(a -z , a -z , z )∴PQ=2122)()(z z z z a -++- =2)2(2)(2221a a z z z +-+-. ∴当21a z z ==时， PQ 取得最小值，最小值为a 22. ∴异面直线11CC BD 与间的距离为a 22.。

空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式填一填1.空间直角坐标系的特征⎩⎪⎨⎪⎧①三条轴两两相交；②三条轴两两垂直；③有相同的单位长度.2．空间直角坐标系中点的坐标空间一点M 的坐标可用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．3．空间两点间的距离公式空间两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)间的距离|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.判一判1.空间直角坐标系中，y 轴上的点的坐标满足z ＝0，x ＝0.(√) 2．空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的．(√) 3．长方体的对角线长度都相等．(√)4．空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点．(×)5．将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改变．(×)6．空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式．(√)7．关于坐标平面yOz 对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．(√) 8．点P (1,4，－3)与点Q (3，－2,5)的中点坐标是(2,1,1)．(√)想一想1.在空间直角坐标系中求空间一点P 的坐标的步骤是什么？ 提示：2．求空间两点间距离的关键及方法是什么？提示：关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．3．求空间对称点的方法是什么？提示：空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．4．两点间距离公式在几何中的两个应用是什么？ 提示：(1)求立体几何中线段长度问题①建系：将立体图形放在空间直角坐标系中．②定坐标：在空间直角坐标系中，根据条件确定有关的点的坐标． ③定距离：利用空间两点间距离公式确定所求线段的长． (2)判断三角形形状①利用两点间距离公式求三边长．②结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状． 思考感悟：练一练1.点Q (0,0,3)的位置是( )A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在z 轴上D ．在面xOy 上 答案：C2．点A (－3,1,5)，点B (4,3,1)的中点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，－2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，3 C ．(－12,3,5) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，2 答案：B3．已知点A (－1,2,7)，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为( ) A ．(－1，－2，－7) B ．(－1，－2,7) C ．(1，－2，－7) D ．(1,2，－7) 答案：A4．已知点A (2,3,5)，B (－2,1,3)，则|AB |等于( ) A. 6 B ．2 6 C. 2 D ．2 2 答案：B5．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线长为6，且底面是边长为4的正方形，则该长方体的高为( )A ．9 B.92C ．4D ．2 答案：D知识点一空间中点的坐标及其位置1.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点B 1的坐标是( ) A ．(1,0,0) B ．(1,0,1) C ．(1,1,1) D ．(1,1,0)解析：点B 1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C. 答案：C 2.如图所示，已知四棱锥P －ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的等边三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，G 是棱PB 的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点P ，A ，B ，C ，D ，G 的坐标．解析：如图所示，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O .连接PE .因为AD ⊥PB ，PO ⊥AD ，PO ∩PB ＝P ，所以AD ⊥平面POB ，所以AD ⊥OB .因为PA ＝PD ，所以OA ＝OD . 于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .所以以垂足O 为原点，以OB ，OP 及在底面ABCD 内过O 且垂直于OB 的直线分别为y 轴、z 轴、x 轴建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题意可得∠PEB ＝120°，∠PEO ＝180°－120°＝60°. 又等边三角形PAD 的边长等于2， 所以AE ＝ED ＝1，PE ＝ 3.所以在Rt△POE 中，OE ＝PE ·cos 60°＝32，PO ＝PE ·sin 60°＝32.又底面ABCD 为菱形，所以AD ＝BC ＝AB ＝CD ＝2.所以在Rt△AEB 中，BE ＝AB 2－AE 2＝3，所以OB ＝OE ＋BE ＝332.所以所求坐标分别为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，332，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，332，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，0. 又因为G 是棱PB 的中点，所以由中点坐标公式可得G ⎝⎛⎭⎪⎫0，334，34.知识点二 空间中点的对称问题3.在空间直角坐标系中，若P (3，－2,1)，则P 点关于坐标平面xOz 的对称点坐标为( )A ．(－3，－2，－1)B ．(3,2,1)C ．(－3,2，－1)D ．(3，－2，－1)解析：设所求的点为Q (x ，y ，z )，因为点Q (x ，y ，z )与点P (3，－2,1)关于平面xOz 对称，所以P ，Q 两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标互为相反数，即x ＝3，y ＝2，z ＝1，得Q 点坐标为(3,2,1)，故选B.答案：B4．点P (1,3,5)关于坐标原点对称的点P ′的坐标是( ) A ．(－1，－3，－5) B ．(1，－3,5) C ．(－1，－3,5) D ．(－1,3,5)解析：把点P (1,3,5)的横坐标、纵坐标、竖坐标均变为原来的相反数即可，故点P ′的坐标为(－1，－3，－5)．答案：A知识点三 空间两点间的距离5.已知空间中两点A (1,2,3)，B (4,2，a )，且|AB |＝10，则a 的值为( )A ．2B ．4C ．0D ．2或4解析：由空间两点间的距离公式得|AB |＝4－12＋2－22＋a －32＝10，即9＋a 2－6a ＋9＝10，所以a 2－6a ＋8＝0， 所以a ＝2或a ＝4.故选D. 答案：D6．在空间直角坐标系中，给定点M (2，－1,3)，若点A 与点M 关于xOy 平面对称，点B 与点M 关于x 轴对称，则|AB |等于( )A ．2B ．4C ．2 5D ．37解析：由题可知，A (2，－1，－3)，B (2,1，－3)，所以|AB |＝2－22＋1＋12＋－3＋32＝2.故选A. 答案：A7．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87C.87D.1914解析：|AB |＝x －12＋3－2x 2＋3x －32＝14x 2－32x ＋19，∴当x ＝－－322×14＝87时，|AB |最小．答案：C知识点四 距离公式的综合应用8.在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)和B (1,0，－3)． (1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 的坐标． 解析：(1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |，设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |，可得32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32，显然，此式对任意y ∈R 恒成立．这就是说，y 轴上所有点都满足|MA |＝|MB |. (2)假设在y 轴上存在点M (0，y,0)，使△MAB 为等边三角形． 由(1)可知，对y 轴上任一点都有|MA |＝|MB |，所以只要|MA |＝|AB |就可以使得△MAB 是等边三角形．因为|MA |＝3－02＋0－y 2＋1－02＝10＋y 2，|AB |＝1－32＋0－02＋－3－12＝20，于是10＋y 2＝20，解得y ＝±10，故在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).综合知识 空间直角坐标系9.点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )A ．2 5B ．4C ．2 2D ．27解析：点A 关于平面xOy 对称的点C 的坐标是(1,2,1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2,1)，故|BC |＝1－12＋2＋22＋1－12＝4.答案：B10．已知ABCD 为平行四边形，且A (1,2,3)，B (2，－5,1)，C (－3,2，－1)，求D 点坐标． 解析：设D (x ，y ，z )，A 、C 的中点坐标(－1,2,1)∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22＝－1y －52＝2z ＋12＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝9z ＝1∴D 点坐标为(－4,9,1)基础达标一、选择题1．若A (1,3，－2)，B (－2,3,2)，则A ，B 两点间的距离为( ) A.61 B ．25 C ．5 D.57解析：|AB|＝1＋22＋3－32＋－2－22＝5.答案：C2．空间直角坐标系O－xyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内的射影是点Q，则点Q的坐标为( )A．(1,2,0) B．(0,0,3)C．(1,0,3) D．(0,2,3)解析：因为空间直角坐标系O－xyz中，在xOy平面内的点的竖坐标是0，所以点Q的坐标为(1,2,0)．答案：A3．在空间直角坐标系中，点M(－5,3,1)关于x轴的对称点的坐标为( )A．(－5，－3，－1) B．(5,3，－1)C．(5，－3,1) D．(5，－3，－1)解析：关于x轴的对称点的坐标中，横坐标不变，其余坐标变为相反数，故点M关于x 轴的对称点的坐标为(－5，－3，－1)．答案：A4．点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点间的距离为( )A．10 B.10C.38 D．38解析：由于A，B关于xOy平面对称，则A，B的横、纵坐标相等，竖坐标互为相反数，故点B的坐标为(2，－3，－5)，所以|AB|＝2－22＋－3＋32＋5＋52＝10.答案：A5．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为( ) A．(6,0,0) B．(6,0,1)C．(0,0,6) D．(0,6,0)解析：设P(x,0,0)，|PA|＝x－12＋1＋1，|PB|＝x－32＋9＋9，由|PA|＝|PB|得x＝6，故选A.答案：A6．在空间直角坐标系中，已知三点A(1,0,0)，B(1,1,1)，C(0,1,1)，则三角形ABC是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形解析：由题|AB|＝1－12＋0－12＋0－12＝2，|AC|＝0－12＋1－02＋1－02＝3，|BC|＝0－12＋1－12＋1－12＝1，所以AC2＝AB2＋BC2，所以三角形ABC是直角三角形．答案：A7．已知点A(1,2,2)，B(1，－3,1)，点C在yOz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为( )A．(0,1，－1) B．(0，－1,6)C．(0,1，－6) D．(0,1,6)解析：由题意设点C的坐标为(0，y，z)，所以1＋y－22＋z－22＝1＋y＋32＋z－12，即(y－2)2＋(z－2)2＝(y＋3)2＋(z－1)2.经检验知，只有选项C满足．答案：C二、填空题8．点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是________________________________________________________________________．解析：设点P 与点Q 的中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝1＋32＝2，y ＝4－22＝1，z ＝－3＋52＝1.所以中点坐标是(2,1,1)．答案：(2,1,1)9．已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.解析：AB 中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2，|PC |＝3. 而⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－922＋[z －－2]2＝3，解为z ＝0，或z ＝－4. 答案：0或－410．已知平行四边形ABCD 中，A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3，7，－5)，则点D 的坐标为________．解析：设平行四边形ABCD 的两条对角线的交点为点P ，则P 为AC ，BD 的中点．由A (4,1,3)，C (3,7，－5)，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，－1.又点B (2，－5,1)，所以点D 的坐标为(5,13，－3)．答案：(5,13，－3)11．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′点关于原点的对称点的坐标是________．解析：点M (－2,4，－3)在平面xOz 上的射影M ′(－2,0，－3)，M ′关于原点的对称点的坐标是(2,0,3)．答案：(2,0,3)12．三棱锥P －ABC 各顶点的坐标分别为A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,3)，则三棱锥P －ABC 的体积为________．解析：由A ，B ，C ，P 四点的坐标，知△ABC 为直角三角形，AB ⊥AC ，PA ⊥底面ABC .由空间两点间的距离公式，得|AB |＝1，|AC |＝2，|PA |＝3，所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13Sh ＝13×12×1×2×3＝1. 答案：1 三、解答题13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求B 1E 的长．解析：如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz .则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，设点E 的坐标为(x ，y,0)，在坐标平面xOy 内，直线AC 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0，又DE ⊥AC ，直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45，0.∴|B 1E |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－42＋0－22＝6105，即B 1E 的长为6105.14．已知正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若|CM |＝|BN |＝a (0<a <2)．(1)求|MN |的长；(2)当a 为何值时，|MN |的长最小． 解析：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ， 平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB ，BC ，BE 两两垂直． 过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ， 垂足分别为G ，H ， 连接NG ，易证NG ⊥AB . ∵|CM |＝|BN |＝a ，∴|CH |＝|MH |＝|BG |＝|GN |＝22a ，∴以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0.(1)|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222＋12.(2)由(1)得，当a ＝22时，|MN |最短，最短为22，这时M ，N 恰好为AC ，BF 的中点.能力提升15.已知三点A (－1,1,2)，B (1,2，－1)，C (a,0,3)，是否存在实数a ，使A 、B 、C 共线？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析：AB ＝－1－12＋1－22＋2＋12＝14，AC ＝－1－a 2＋1－02＋2－32＝a ＋12＋2，BC ＝1－a 2＋2－02＋－1－32＝a －12＋20，因为BC >AB ，所以，若A ，B ，C 三点共线，有BC ＝AC ＋AB 或AC ＝BC ＋AB ，若BC ＝AC ＋AB ，整理得：5a 2＋18a ＋19＝0， 此方程无解；若AC ＝BC ＋AB ，整理得：5a 2＋18a ＋19＝0，此方程也无解． 所以不存在实数a ，使A 、B 、C 共线． 16.如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．(1)当2|DQ |＝|QC |时，求|PQ |；(2)当点P 为对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ |的最小值； (3)当点Q 为棱CD 的中点，点P 在对角线AB 上运动时，探究|PQ |的最小值． 解析：设正方体的棱长为a .(1)当点P 为对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2. 由2|DQ |＝|QC |，易知|QC |＝23a ，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，23a 从而|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－02＋a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－23a 2＝196a . (2)∵点Q 在线段CD 上，设Q (0，a ，z ) ∴|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 22＋12a 2. 当z ＝a 2时，|PQ |的最小值为22a .即点Q 在棱CD 的中点时，|PQ |有最小值22a . (3)如图，当Q 为CD 的中点时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2，设P 的坐标为(x ，x ，z )，则由三角形相似可得z a ＝2a －2x 2a，则z ＝a －x . ∴|PQ |2＝x 2＋(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－x 2＝3x 2－3ax ＋54a 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 22.当x ＝a 2时，|PQ |有最小值为22a ，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2为AB 的中点．。

1．5 平面直角坐标系中的距离公式 填一填1.两点间的距离公式(1)数轴上： 一般地，数轴上两点A ，B 对应的实数分别是x A ，x B ，那么|AB |＝|x B －x A |.(2)平面直角坐标系中：一般地，假设两点A ，B 对应的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12.2．点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，那么d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 3．两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，两条直线间的距离记为d ，即d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2.判一判1.原点O 到点P (x ，y )的距离为|OP |＝x 2＋y 2.(√)2．平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关．(×)3．平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．(√)4．直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离是|C 1－C 2|.(×)5．原点到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是|C |A 2＋B2.(√) 6．平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(√)7．连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(×)8想一想1.提示：点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式．2．两条平行直线间的距离公式写成d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2时对两条直线应有什么要求？ 提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x ，y 的系数分别对应相等．3．两条平行直线间距离有哪几种求法？提示：(1)直接利用两平行线间的距离公式．(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．(3)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决．①当两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，那么d ＝|x 2－x 1|；②当两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，那么d ＝|y 2－y 1|.4．距离公式综合应用的常见类型有哪些？提示：(1)最值问题．①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．(2)求参数问题．利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．(3)求方程的问题．立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此根底上借助三种距离公式求解．思考感悟： 练一练 1.A (3,7)，B (2,5)，那么A ，B 两点间的距离为( )A ．5 B. 5C ．3D ．29答案：B2．直线上两点A (a ，b )，B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，那么( )A ．原点一定是线段AB 的中点B ．A ，B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上，但不是线段AB 的中点D ．原点一定在线段AB 的垂直平分线上答案：D3．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A ．3 2 B.22C ．3 D.322答案：D4．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于( )A ．7B ．5C ．3D ．2答案：A5．直线l 1：x ＋y ＝0与直线l 2：2x ＋2y ＋1＝0间的距离是________．答案：24知识点一 两点间距离公式的应用1.点A (2，m )与点B (m,1)间的距离是13，那么实数m ＝( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．－4或1解析：∵|AB |＝m －22＋1－m 2＝13，∴m 2－3m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝4.答案：C2．点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，那么△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为(－1,2)，所以BC 边上中线长为2＋12＋1－22＝10.答案：10知识点二 求点到直线的距离。

3．3 空间两点间的距离公式知识点 空间两点间的距离[填一填]1．用公式计算空间两点的距离一般地，如果长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么对角线长d ＝a 2＋b 2＋c 2. 2．空间两点间的距离公式空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离是|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.[答一答]1．已知点P (x ，y ，z )，如果r 为定值，那么x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示什么图形？提示：由x 2＋y 2＋z 2为点P 到坐标原点的距离，结合x 2＋y 2＋z 2＝r 2知点P 到原点的距离为定值|r |，因此r ≠0时，x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示以原点为球心，|r |为半径的球面；r ＝0时，x 2＋y 2＋z 2＝r 2表示坐标原点．2．平面几何中线段的中点坐标公式可以推广到空间中吗？提示：可以．空间线段的中点坐标公式可以类比平面中的结论得到：已知空间中两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 的中点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22)．空间两点间的距离公式的注意点(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．(2)若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．类型一 空间两点间的距离公式的应用 【例1】 已知点P (1，－1,2)，求： (1)P 到原点O 的距离； (2)P 到y 轴的距离； (3)P 到平面xOy 的距离．【思路探究】 (1)可直接运用两点间距离公式，(2)(3)中所求距离需要转化为两点间的距离．【解】 (1)点P (1，－1,2)到原点O 的距离为d (O ，P )＝12＋(－1)2＋22＝ 6. (2)∵点P 在y 轴上的投影为P y (0，－1,0)，∴P 到y 轴的距离为d (P ，P y )＝(1－0)2＋(－1＋1)2＋(2－0)2＝ 5.(3)∵点P 在平面xOy 上的投影为P 1(1，－1,0)， ∴P 到平面xOy 的距离为d (P ，P 1)＝(1－1)2＋(－1＋1)2＋(2－0)2＝2.规律方法 一个点到坐标轴的距离等于该点与其在这条坐标轴上的投影间的距离，一个点到坐标平面的距离等于该点与其在这个平面内的投影间的距离．求以下两点间的距离． (1)A (1,0，－1)，B (0,1,2)； (2)A (10，－1,6)，B (4,1,9)．解：(1)|AB |＝(1－0)2＋(0－1)2＋(－1－2)2＝11. (2)|AB |＝(10－4)2＋(－1－1)2＋(6－9)2＝49 ＝7.类型二 求点的坐标【例2】 (1)在x 轴上求一点P ，使它与点A (3,1，－2)的距离为41；(2)在xOy 平面内的直线x －y ＝1上确定一点M ，使它到点B (－1,3,1)的距离最小． 【思路探究】 根据点的位置特征，设出其坐标，利用两点间的距离公式，结合代数知识求解．【解】 (1)设点P (x,0,0)．由题意，得|P A |＝(x －3)2＋1＋4＝41， 解得x ＝9或x ＝－3.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－3,0,0)．(2)由条件，可设M (x ，x －1,0)，则|MB |＝(x ＋1)2＋(x －1－3)2＋(0－1)2＝2⎝⎛⎭⎫x －322＋272. 所以当x ＝32时，|MB |min ＝362，此时点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12，0.规律方法 利用两点间的距离公式确定点的坐标，若能巧妙地设出点的坐标，则坐标易求．例如，在x 轴上的点的坐标可设为(x,0,0)，在y 轴上的点的坐标可设为(0，y,0)，在xOy 平面上的点的坐标可设为(x ，y,0)．设点A 在x 轴上，它到点P (0，2，3)的距离等于到点Q (0，1，－1)的距离的两倍，那么点A 的坐标是( A )A ．(1,0,0)或(－1,0,0)B ．(2,0,0)或(－2,0,0) C.⎝⎛⎭⎫12，0，0或⎝⎛⎭⎫－12，0，0 D.⎝⎛⎭⎫－22，0，0或⎝⎛⎭⎫22，0，0解析：设点A 的坐标为(x,0,0)．根据题意有|AP |＝2|AQ |，则(x －0)2＋(0－2)2＋(0－3)2＝2(x －0)2＋(0－1)2＋(0＋1)2，解得x ＝±1，故点A 的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)． 类型三 求空间中线段的长度【例3】 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图所示空间直角坐标系．(1)写出点D ，N ，M 的坐标； (2)求线段MD ，MN 的长度；(3)设点P 是线段DN 上的动点，求|MP |的最小值．【思路探究】 (1)D 是原点，先写出A ，B ，B 1，C 1的坐标，再由中点坐标公式得M ，N 的坐标；(2)代入公式即可；(3)设出P 的坐标，得到|MP |的表达式，转化为求二次函数的最小值．【解】 (1)∵A (2,0,0)，B (2,2,0)，N 是AB 的中点，∴N (2，1,0)．同理可得M (1,2,3)，又D 是原点，则D (0,0,0)．(2)|MD |＝(1－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝14， |MN |＝(1－2)2＋(2－1)2＋(3－0)2＝11.(3)点P 在xDy 平面上，设点P 的坐标为(2y ，y,0)，则 |MP |＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2 ＝5y 2－8y ＋14＝5(y －45)2＋545.∵y ∈[0,1]，0<45<1，∴当y ＝45时，|MP |取最小值545，即3305. ∴|MP |的最小值为3305.规律方法 解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，且E 是棱DD 1的中点，求BE ，A 1E 的长．解：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，得B (1,0,0)，E (0，1，12)，A 1(0,0,1)，所以|BE |＝(1－0)2＋(0－1)2＋(0－12)2＝32，|A 1E |＝(0－0)2＋(0－1)2＋(1－12)2＝52.——多维探究系列—— 建立空间直角坐标系解决几何问题【例4】 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为平面A 1B 1C 1D 1的中心，求证：AP ⊥B 1P . 【思路分析】 建立空间直角坐标系，利用直角三角形中两直角边互相垂直来证明． 【精解详析】 建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，设棱长为1，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，P (12，12，1)，由空间两点间的距离公式得|AP |＝(1－12)2＋(0－12)2＋(0－1)2＝62，|B 1P |＝(1－12)2＋(1－12)2＋(1－1)2＝22，|AB 1|＝(1－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＝2， ∴|AP |2＋|B 1P |2＝|AB 1|2，∴AP ⊥B 1P .【解后反思】 已知立体几何中点、线、面间的位置关系及线段长度间的数量关系，判断两条相交直线或线段垂直时，可建立适当的空间直角坐标系，构造三角形，利用空间两点间的距离公式求边长，判断该三角形为直角三角形．已知点A (0,1,0)、B (－1,0，－1)、C (2,1,1)，若点P (x,0，z )满足P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，试求点P 的坐标．解：∵P A ⊥AB ，∴△P AB 为直角三角形，∴|PB |2＝|P A |2＋|AB |2，即(x ＋1)2＋(z ＋1)2＝x 2＋1＋z 2＋1＋1＋1，即x ＋z ＝1，① 又∵P A ⊥AC ，∴△P AC 为直角三角形，∴|PC |2＝|P A |2＋|AC |2，即(x －2)2＋1＋(z －1)2＝x 2＋1＋z 2＋4＋0＋1，即2x ＋z ＝0，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，z ＝2，∴点P 的坐标为P (－1,0,2)．一、选择题1．点A (－1,0,1)与坐标原点O 的距离是( A ) A.2 B.3 C ．1 D ．2 2．已知点A (2,3,5)，B (－2,1,3)，则|AB |等于( B ) A. 6 B ．2 6 C. 2 D ．2 2解析：代入两点间的距离公式得|AB |＝2 6. 3．M (4，－3,5)到x 轴的距离为( B ) A ．4 B.34 C ．5 2 D.41解析：如图所示，MA⊥平面xOy，AB⊥x轴，则|MB|＝52＋(－3)2＝34.二、填空题4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，已知A(2，1,1)，B(1,1,2)，C(x,0,1)，则x＝2.解析：|AB|2＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝2，|BC|2＝(x－1)2＋(0－1)2＋(1－2)2＝x2－2x＋3，|AC|2＝(x－2)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝x2－4x＋5，根据题意，得|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以2＋x2－4x＋5＝x2－2x＋3，解得x＝2.5．已知点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是2或 6.解析：由题意得P(0,0,1)或P(0,0，－1)，所以|P A|＝2或 6.三、解答题6．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，试判断△ABC的形状．解：d(A，B)＝(4－1)2＋(2＋2)2＋(3－11)2＝89，d(A，C)＝(6－1)2＋(－1＋2)2＋(4－11)2＝75，d(B，C)＝(6－4)2＋(－1－2)2＋(4－3)2＝14.∴d2(A，B)＝d2(A，C)＋d2(B，C)，且d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)两两不等．∴△ABC 为直角三角形．。

3.3 空间两点间的距离公式学习目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．知识点空间两点间的距离公式思考如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？梳理两点间的距离公式(1)在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|＝x2＋y2＋z2.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.类型一求空间两点间的距离例1 已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB 的中点．以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度．反思与感悟求空间两点间的距离的步骤(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E 分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．类型二求空间点的坐标例2 已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．引申探究1．若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？2．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？反思与感悟(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．跟踪训练2 设点P在x轴上，使它到点P1(0，2，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．类型三空间两点间距离公式的应用例3 如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P 为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．反思与感悟利用空间两点间的距离公式，将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，再分析函数即可．跟踪训练3 在xOy 平面内的直线2x －y ＝0上确定一点M ，使它到点P (－3,4,5)的距离最小，并求出最小值．1．坐标原点到下列各点距离最大的点是( ) A ．(1,1,1) B ．(1,2,2) C ．(2，－3,5) D ．(3,0,4)2．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A ．－3或4 B ．6或2 C ．3或－4 D ．6或－23．已知三角形的三个顶点A (2，－1,4)，B (3,2，－6)，C (5,0,2)，则过A 点的中线长为( ) A.11B ．211 C ．112D ．3114．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为( )A.2aB.22a C ．a D.12a5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________．1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．答案精析知识点思考a2＋b2＋c2.题型探究例1 解(1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3)．(2)|MD|＝1－02＋2－02＋3－02＝14，|MN|＝1－22＋2－12＋3－02＝11.跟踪训练1 解以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝1－02＋1－12＋0－22＝5，|EF|＝0－12＋1－02＋2－02＝ 6.例2 (0,0,6)解析设P(0,0，z)，由|PA|＝|PB|，得4－02＋5－02＋6－z2＝－5－02＋0－02＋10－z2，解得z＝6.∴点P 的坐标为(0,0,6)． 引申探究1．解 与例2的结论一样，P (0,0,6)． 2．解 设P (0，y,0)，由|PA |＝|PB |，得4－02＋5－y2＋6－02＝－5－02＋0－y 2＋10－02，解得y ＝－245.∴点P 的坐标为(0，－245，0)．跟踪训练2 解 因为P 在x 轴上，所以设P 点坐标为(x,0,0)． 因为|PP 1|＝2|PP 2|， 所以x －02＋0－22＋0－32＝2x －02＋0－12＋0＋12，所以x ＝±1，所以点P 的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)． 例3 解 由题图可知，P (12，12，12)．∵Q 点在CD 上，∴设Q (0,1，z )，z ∈[0,1]， ∴|PQ |＝12－02＋12－12＋12－z 2，＝12＋12－z 2，∴当z ＝12时，|PQ |min ＝22.跟踪训练3 解 ∵点M 在xOy 平面内的直线2x －y ＝0上， ∴设点M (a,2a,0)， 则|MP |＝a ＋32＋2a －42＋52＝5a 2－10a ＋50＝5a －12＋45，∴当a ＝1时，|MP |取最小值35，此时M (1,2,0)， ∴当点M 坐标为(1,2,0)时，|PM |最小，最小值为3 5. 当堂训练1．C 2.D 3.B 4.B 5．3 6解析|AB|＝2a－12＋－7－a2＋－2＋52＝5a＋12＋54.当a＝－1时，|AB|的值最小，最小值为54＝3 6.。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 解析几何初步 学业分层测评24 空间两点间的距离公式 北师大版必修2(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若A (1,3，－2)，B (－2,3,2)，则A ，B 两点间的距离为( ) A.61 B ．25C ．5 D.57 【解析】 |AB |＝1＋22＋3－32＋－2－22＝5.【答案】 C2．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6【解析】 由已知可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝4－02＋0－22＋0－32＝29.【答案】 B3．如图2­3­13，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为( )图2­3­13A.2aB.22a C ．aD.12a 【解析】 由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a2，0，A 1(a,0，a )，C (0，a,0)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2，则|EF |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22＝22a . 【答案】 B4．设点P 在x 轴上，它到P 1(0, 2，3)的距离为到点P 2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为( )A．(1,0,0) B．(－1,0,0)C．(1,0,0)或(0，－1,0) D．(1,0,0)或(－1,0,0)【解析】∵点P在x轴上，∴设点P的坐标为(x,0,0)，由题意|PP1|＝2|PP2|，∴x－02＋0－22＋0－32＝2x－02＋0－12＋0＋12，解得x＝±1，∴所求点为(1,0,0)或(－1,0,0)．【答案】 D5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)，则|AB|的最小值是( )A．3 3 B．3 6C．2 3 D．2 6【解析】|AB|＝1－2a2＋a＋72＋－5＋22＝5a＋12＋54≥54＝3 6.【答案】 B二、填空题6．点P(x，y，z)到点A(－1,2,3)，B(0,0,5)两点的距离相等，则x、y、z满足______．【解析】由|PA|＝|PB|，可得x＋12＋y－22＋z－32＝x2＋y2＋z－52，整理得2x－4y＋4z－11＝0.【答案】2x－4y＋4z－11＝07．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．【解析】设正方体棱长为a，则a2＋a2＋a2＝|AB|＝42＋－42＋42，所以a＝4，V＝43＝64.【答案】648．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(x,0,1)，则x＝________.【解析】由距离公式|AB|＝2－12＋1－12＋1－22＝2；|AC|＝2－x2＋1－02＋1－12＝2－x2＋1；|BC|＝1－x2＋1－02＋2－12＝1－x2＋2；∵∠BAC＝90°，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，∴(1－x)2＋2＝2＋(2－x)2＋1，解得x＝2.【答案】 2三、解答题9．如图2­3­14，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝2，DC＝4，DD1＝3，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长.【导学号：10690074】图2­3­14【解】以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,3)，B1(2,4,3)，C1(0,4,3)，∴|AD1|＝22＋32＝13，|AB1|＝2－22＋42＋32＝5，|AC1|＝2－02＋－42＋－32＝29.10．在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3,4,5)的距离最小，并求出最小值．【解】∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，∴点M的坐标为(a,2a,0)，则|MP|＝a＋32＋2a－42＋52＝5a2－10a＋50＝5a－12＋45，∴当a＝1时，|MP|取最小值35，此时M(1,2,0)．即M坐标为(1,2,0)时，|PM|最小，最小值为3 5.[能力提升]1．在空间直角坐标系中，与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点的个数为( )A．1 B．2C．3 D．无数【解析】 由两点间距离公式可得|AB |＝26，|BC |＝74，|AC |＝26，易知A 、B 、C 三点不共线，故可确定一个平面．在△ABC 所在平面内可找到一点到A 、B 、C 距离相等，而过该点与面ABC 垂直的直线上的每一点到A 、B 、C 距离均相等．【答案】 D2．点P (x ，y ，z )的坐标满足x 2＋y 2＋z 2＝1，点A (－2,3，3)，则|PA |的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 x 2＋y 2＋z 2＝1在空间中表示以坐标原点O 为球心、1为半径的球面，所以当O 、P 、A 三点共线时，|PA |最小，此时|PA |＝|OA |－|OP |＝|OA |－1＝－22＋32＋32－1＝4－1＝3.【答案】 B3．(2016·徐州高一检测)对于任意实数x 、y 、z ，x 2＋y 2＋z 2＋x ＋32＋y ＋22＋z －12的最小值为______．【解析】 结合空间直角坐标系中任意两点的距离公式，可得x 2＋y 2＋z 2＋x ＋32＋y ＋22＋z －12表示的几何意义是空间内任意一点M (x ，y ，z )与原点O (0,0,0)及定点A (－3，－2,1)的距离之和，显然当O ，M ，A 三点共线时，|OM |＋|MA |最小，最小值为|OA |＝－3－02＋－2－02＋1－02＝14.【答案】144．已知正三棱锥A ­BCD ，高为1，底面正三角形边长为3，建立适当坐标系写出A 、B 、C 、D 四点的坐标，并求侧棱AB 的长度．【解】 设O 为A 在底面BCD 上的射影，则O 为正三角形BCD 的中心． 如图以OB 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为z 轴，以过O 与CD 平行的直线为y 轴，建立空间直角坐标系， 设CD 中点为E ，由BC ＝3，O 为△BCD 中心可知， |OB |＝23|BE |＝23·32|BC |＝1，|OE |＝12|OB |＝12，∴B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0.又|CE |＝|ED |＝32，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，0. 又∵A 在z 轴上，且|AO |＝1，∴A (0,0,1)． 由两点间的距离公式|AB |＝1－02＋0－02＋0－12＝2，∴各点坐标为A (0,0,1)，B (1,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，0，侧棱AB 长为 2.。