2016_2017学年高中数学学业分层测评22苏教版必修

解析几何部分（共：1—17课时及每章评价）参考答案：第1课时 直线的斜率（1）1．D 2．C 3．D 4．4- 5．1k ≤ 6．可以是(2,4)，不惟一． 7．由题意，()132212a -=++，∴2a =-．8．当1m =时，直线l 与x 轴垂直，此时直线斜率不存在； 当1m ≠时，直线斜率34111k m m-==--． 9．在直线斜率为0，OC 边所在直线斜率不存在，BC 边所在直线斜率为43-．10．由AB AC k k ≠，可得1112383k --≠---， ∴1k ≠．第2课时 直线的斜率（2）1．C 2．B 3．D 4．60o． 5．6 6． (0,2)7． 045α≤<o o 或135180α<<o o．8．倾斜角为45o时斜率为1，倾斜角为135o时斜率为1-．9．直线l 上任一点(,)M m n 经平移后得(3,1)N m n -+在l 上，由两点的斜率公式得(1)1(3)3l n n k m m +-==---．10．直线2l 的倾斜角为180(6015)135α=--=oooo， ∴2tan135tan 451k ==-=-oo．第3课时 直线的方程（1）1．C 2．D 3．A 4．D 5．（1）4y =-；（2）23y x =-- 6．1y +6y x =-+7．由直线1l 的方程2y =+可得1l 的倾斜角为60o ，∴直线l 的倾斜角为30o，斜率为tan 303=o，所以，直线l 的方程为12)y x -=-，即1y x =-+．8． 1:1:(2)-9．由直线1l的方程20x y -+=可求得1l 的斜率为1， ∴倾斜角为145α=o，由图可得2l 的倾斜角2115αα=+o∴直线2l 的斜率为tan 60=o， ∴直线2l 的方程为2)y x -=-0y -=．10．设直线方程为34y x b =+， 令0x =，得y b =；令0y =，得43x b =-， 由题意，14||||623b b ⨯-⨯=，29b =，∴3b =±， 所以，直线l 的方程为334y x =±．第4课时 直线的方程（2）1．D 2．D 3．B 4． 2y x =或1y x =+ 5．3 6． 10x y +-=或32120x y -+=7．设矩形的第四个顶点为C ，由图可得(8,5)C ， ∴对角线OC 所在直线方程为005080y x --=--，即580x y -=，AB 所在直线方程为185x y+=，即58400x y +-=． 8．当截距都为0时，直线经过原点，直线斜率为43-，方程为43y x =-；当截距都不为0时，设直线方程为1x ya a +=， 将点(3,4)-代入直线方程得341a a-+=，解得1a =-， 所以，直线方程为430x y +=或10x y ++=．9．当0t =时，20Q =；当50t =时，0Q =，故直线方程是15020t Q +=．图略． 10．直线AB 的方程为3x =，直线AC 的方程为123x y+=，直线x a =与,AB AC 的交点分别为(,3)a 、63(,)2a a -，又∵92ABC S ∆=，∴1639(3)224a a -⋅⋅-=，∴a =（舍负）．第5课时 直线的方程（3）1．B 2．D 3．B 4．D 5． 350x y -+= 6．24- 7．当2a =时，直线方程为2x =不过第二象限，满足题意；当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为1(4)2y x a a =+--， 由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤，综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤． 8．（1）由题意得：22(23)(21)m m m m ---=+-， 即2340m m --=，解得43m =或1-（舍） （2）由题意得：22(23)(21)260m m m m m ----+--+=，即23100m m +-=，解得2m =-或53． 9．方法1：取1m =，得直线方程为4y =-， 取12m =，得直线方程为9x =， 显然，两直线交点坐标为(9,4)P -，将P 点坐标分别代入原方程得(1)9(21)(4)5m m m -⨯+-⨯-=-恒成立，所以，不论m 取什么实数，直线(1)m x -+(21)5m y m -=-总经过点(9,4)P -．方法2：原方程可整理得(21)(5)0x y m x y +--+-=，当21050x y x y +-=⎧⎨+-=⎩成立，即94x y =⎧⎨=-⎩时，原方程对任意实数m 都成立，∴不论m 取什么实数，直线过定点(9,4)-．10．方程0x y k +-=可变形为23)9k =-， 当90k -=即9k =时，方程表示一条直线90x y +-=； 当90k -<即9k >时，方程不能表示直线；当90k ->即9k <3= ∵方程仅表示一条直线，∴30+>且30-<，即0k <．综上可得，实数k 的取值范围为9k =或0k <．第6课 两直线的交点1．D 2．D 3．B 4．B 5．－3 6．6或-6 7．10，-12，-2 8．32190x y -+=9．4m =，或1m =-，或1m =．（提示：如果三条直线不能围成三角形，则有两种情形，一是其中有平行的直线，二是三条直线交于一点．） 10．(1)表示的图形是经过两直线210x y -+=和2390x y ++=的交点(3,1)--的直线（不包括直线2390x y ++=）．(2)30x y -=或40x y ++=．（提示：可设所求直线方程为21(239)0x y x y λ-++++=，即(21)(32)910x y λλλ++-++=．若截距为０，则910λ+=，即19λ=-，此时直线方程为30x y -=；若截距不为０，则21132λλ+-=--，即3λ=，此时直线方程为40x y ++=．） 11．直线l 的方程为60x y += 12．22b -≤≤（数形结合）第7课 两直线的平行与垂直（1） 1．D 2．B 3．C 4．平行, 不平行5．平行或重合 6．-2 ， 0或10 7．四边形ABCD 是平行四边形． 8．32A C =≠-且9．2,2m n == 10．20x y += 11. 3440x y +-=12.860860x y x y -+=--=或(提示：Q 所求直线与已知直线l ：8610x y -+=平行，∴设所求直线的方程为860x y λ-+=，与两坐标轴的交点为λ（-，0）8，λ（0，）6．又该直线与两坐标轴围成的三角形面积为８，∴1||||8286λλ⋅-⋅=，λ∴=±，故所求直线方程为860x y -+=或860x y --= 第8课 两直线的平行与垂直（2）1. B2. C3. C4. C5. B6. 垂直，不垂直7. 32y x =+8. 2，-2，09. 20x y -= 10. 310x y ++=和330x y -+= 11. 1a =-或92a =-12.270x y +-=,10x y -+=,250x y +-=(提示:由于点A 的坐标不满足所给的两条高所在的直线方程,所以所给的两条高线方程是过顶点B ,C 的,于是2AB k =-,1AC k =,即可求出边AB ,AC 所在的直线方程分别为270x y +-=,10x y -+=.再由直线AB 及过点B 的高,即可求出点B 的坐标(3,1),由直线AC 及过点C 的高,即可求出点C 的坐标(1,2).于是边BC 所在的直线方程为250x y +-=.)第9课 平面上两点间的距离１．C 2．C 3．C 4．A5．B 6．22y y =-=-或 7．47240x y +-= 8．23120x y +-=912|x x - 10．13410x x y =++=或 11．5150x y --=12．(1) (2,0)P -；(2) (13,0)P ，此时||PM PN -． 13．54x =（提示：y =数形结合，设(1,1),(2,3),(,0)A B P x ，则y PA PB =+）第10课时 点到直线的距离（1）１．()A ２．()C ３．()D ４．()A ５．()C ６．()A ７．5８．2a =或463９．设所求直线方程为340x y m -+=，=解得：14m =或12m =-（舍），所以，所求的直线方程为：34140x y -+=．１０．由题意第一、三象限角平分线的方程为y x =，设00(,)P x y ，则00x y =，即00(,)P x x ．= 解得：01x =或09x =-，所以点P 的坐标为：(1,1)或(9,9)--．11．由题意：当直线l 在两坐标轴上的截距为0时， 设l 的方程为y kx =（截距为0且斜率不存在时不符合题意）=k = 122-±，所以直线l 的方程为：122y x -±=． 当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，设l 的方程为1x ya a+=，即0x y a +-=，=a =13或1a =， 所以直线l 的方程为：130x y +-=或10x y +-=．综上所述：直线l 的方程为：122y x -±=或130x y +-=或10x y +-=． １２．设(,1)M t t -，则M 到两平行线段的距离相等，∴43t =，即41(,)33M ∵直线l 过(1,1)P -，41(,)33M 两点，所以，l 的方程为2750x y +-=．第11课时 点到直线的距离（2）１．()B ２．()C ３．()A ４．18 ５．(1,2)或(2,1)- ６．34210x y +-=７．320８．4310x y +-=９．设l ：320x y C -+=则1d =2d =1221d d =，所以|1|2|13|1C C +=+，解得：25C =-或9-， 所以l 的方程为：32250x y --=或3290x y --=．１０．证明：设(,)P a b ，则221a b -=P 到直线1l ，2l的距离分别为1d =，2d = ∴2212||122a b d d -==g． １１．设(,)M x y 为A ∠的平分线AD 上任意一点，由已知可求得,AC AB 边所在直线方程分别为5120x y -+=，5120x y --=，由角平分线的性质得：=∴512512x y x y -+=--或512(512)x y x y -+=---， 即6y x =-+或y x =，由图知：AC AD AB k k k <<，∴155AD k <<，∴6y x =-+不合题意，舍去，所以，A ∠的平分线AD 所在直线方程y x =． １２．设CD 所在直线方程为30x y m ++=，=，解得7m =或5m =-（舍）．所以CD 所在直线方程为370x y ++=．因为AB BC ⊥所以设BC 所在直线方程为30x y n -+=，=，解得9n =或3n =-．经检验BC 所在直线方程为390x y -+=，AD 所在直线方程为330x y --=．综上所述，其它三边所在直线方程为370x y ++=，390x y -+=，330x y --=．第12课时 圆的方程（1）１．()B ２．()C ３．()B ４．()C ５．()C ６．()B ７．（1）0a =；（2）||b r =；（3）310a b +-=． ８．22(6)36x y -+=９．C e 的圆心为(3,2)C -，C 'e 的圆心与(3,2)C -关于10x y -+=对称， ∴设C 'e 的圆心为(,)C a b '则3210222113a b b a +-⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩g ，解得：34a b =-⎧⎨=⎩，C 'e 的标准方程为：22(3)(4)36x y ++-=．１０．由题意可设C e 的圆心为(,)C a b 半径为r ，则||2a =当2a =时，C e ：222(2)()x y b r -+-= 因为C e 与直线20x y +-=相切于点(1,1)P ， ∴222(12)(1)b r -+-= ①且1(1)112b--=--g ② 联立方程组，解得：2b =，r =所以C e 的方程为：22(2)(2)2x y -+-=同理，当2a =-时，C e 的方程为：22(2)(2)18x y +++=综上所述：C e 的方程为：22(2)(2)2x y -+-=或22(2)(2)18x y +++=１１．由题意设C e 的方程为222()()x a y b r -+-=，由C e 经过点(2,1)-，得：222(2)(1)a b r -+--=①由C e 与直线10x y --=r =② 由圆心在直线2y x =-上，得：2b a =-③联立方程组，解得：918a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩，或12a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩所以，C e 的方程为：22(9)(18)338x y -++=或22(1)(2)2x y -++=．１２．设⊙C 的方程为：222()()x a y b r -+-=，∵⊙C 与x 轴相切，所以22r b =①，又∵圆心(,)C a b 到直线0x y -=的距离为：d =∴222r +=，即 22()142a b r -+=②，又圆心在直线30x y -=上，所以30a b -=③联立方程组，解得133a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩或133a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以C e 的方程为：22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=．第13课时 圆的方程（2）１．()C ２．()D ３．()B ４．12k <-５．2 ６．2π７．5，5 ８．2或23-９．圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(0,0)，(1,1)两点坐标代入方程分别得0F = ①20D E F +++= ②又∵圆心(,)22D E--在直线30x y --=上，∴60E D --= ③解由①②③组成的方程组得4,2,0D E F =-==，∴所求圆方程为22420x y x y +-+=，圆心(2,1)-１０．证明：将034222=+--+y x y x 化为22(1)(2)2x y -+-= 则点与圆心之间的距离的平方为222(41)(2)17125m m m m -+-=-+ 又∵圆的半径的平方为2，∴2171252m m -+-217123m m =-+ 令2()17123f x m m =-+0∆<，即2()17123f x m m =-+恒大于0，即点与圆心之间的距离恒大于圆的半径，所以无论实数m 如何变化，点(4,)m m 都在圆034222=+--+y x y x 之外．11．设所求圆的方程为： 022=++++F Ey Dx y x令0y =，得20x Dx F ++=．由韦达定理，得12x x D +=-，12x x F =由12||x x -=6=，∴2436D F -=． 将(1,2)A ，(3,4)B 分别代入022=++++F Ey Dx y x ，得25D E F ++=-，3425D E F ++=-．联立方程组，解得12D =，22E =-，27F =或8D =-，2E =-，7F =所以所求的圆的方程为221222270x y x y ++-+=或228270x y x y +--+=12．证明：由题意22210250x y ax ay a ++---=，∴2225()()102524a a x a y a ++-=++ 令25()10254a f a a =++，则0∆<， ∴()0f a >即22(25)(210)0x y a x y +-+--=，表示圆心为(,)2a a -若22(25)(210)0x y a x y +-+--=对任意a 成立，则222502100x y x y ⎧+-=⎨--=⎩，解得34x y =⎧⎨=-⎩或5x y =⎧⎨=⎩，即圆恒过定点(3,4)-，(5,0)．第14课时 直线与圆的位置关系1．C 2．C 3．D 4．B 5．34250x y +-= 6．40x y +±=7 8． 247200x y --=和2x =；7 9．22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=． 10．16m =-．11． 4330x y ++=或3430x y +-=．第15课时 圆与圆的位置关系 ⒈B ⒉B 3．D 4．A5．20x y -+= 6．260x y -+= ，6 7．(1,1) 8．22(3)(1)5x y -+-= 9．224(1)(2)5x y ++-=10．（1）240x y -+=； （2）22(2)(1)5x y ++-=； （3）22(3)(3)10x y ++-=． 11． 3r =±．第16课时 空间直角坐标系1．B ⒉C 3．C 4．D5．(2,0,0)、(0,3,0)- 6．(0,4,2)7．442110x y z ++-=8．略 9．略10．提示（1）只要写出的三点的纵坐标和竖坐标分别相等即可；（2）只要写出的三点的竖坐标相等即可．11．111212121x x y y z z x x y y z z ---==---21(x x ≠且21y y ≠且21)z z ≠．第17课时 空间两点间的距离1．D 2．D 3．A 4．A 5．(0,2,0) 6．222(1)(2)(4)9x y z -+++-=7．7 8．(1,0,0)P ± 9．[提示]建立空间直角坐标系，由中点坐标公式求出,P Q 两点坐标，用两点间距离公式即可求得线段PQ2．10．（1）(1,2,1)[提示]设重心G 的坐标为(,,)x y z ，则222GA GB GC ++2233x y =+22236126643(1)3(2)z x y z x y +---+=-+-23(1)46z +-+．当1,2,1x y z ===时，点G 到,,A B C 三点的距离的平方和最小，所以重心的坐标为(1,2,1)．（2）1,8,9x y z ===．第二章《解析几何初步》评价与检测参考答案：1．C 2．D 3．B 4．B 526．0d ≤≤ 7．4个 8．60 9．67250x y +-= 10．2750x y +-= 11．22(2)(2)25x y -++= 12．(1,0)A -，C (5,6)- 13．B14．C 15．A 16．D 17．11(,)102- 18．4a =±19．20,x y y x ++==，y x = 20．10 21．解：设与51270x y ++=平行的边所在直线方程为5120x y m ++=(7)m ≠，则=解得19m =-， ∴直线方程为512190x y +-=，又可设与51270x y ++=垂直的边所在直线方程为1250x y n -+=()n R ∈，则=解得100n=或74，∴另两边所在直线方程为1251000x y-+=，125740x y-+=22．解：设()2,1B-，()4,2C，()2,3D第四个顶点的坐标为(),A m n.则有BC所在直线的斜率为32BCk=；CD所在直线的斜率为12CDk=-；BD所在直线的斜率不存在.①若BD∥AC，BC∥AD，则AC所在直线的斜率不存在.4m∴=.又BC ADk k=，即33242n-=-，6n∴=.∴平行四边形第四个顶点的坐标为()4,6.②若BD∥AC，CD∥BA，则AC所在直线的斜率不存在.4m∴=.又CD BAk k=，即()11242n---=-，2n∴=-.∴平行四边形第四个顶点的坐标为()4,2-.③若CD∥BA，BC∥AD，则,CD BABC ADk kk k=⎧⎨=⎩()11223322nmmnnm--⎧-=⎪=⎧⎪-⇒⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪-⎩∴平行四边形第四个顶点的坐标为()0,0.综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标可为()4,6或()4,2-或()0,0.23．解：设1122(,),(,)P x y Q x y，由2223060x yx y x y c+-=⎧⎨++-+=⎩消去x得2520120y y c-++=，∴由韦达定理知：12124125y y c y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩Q OP OQ ⊥，12121y y x x ∴⋅=-， 即12120x x y y +=，又12121212(32)(32)96()4x x y y y y y y =--=-++∴121296()50y y y y -++=， 也就是12964505c +-⨯+⨯=解之，得3c =． 从而所求圆的方程为22630x y x y ++-+=24．解：设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1|OP x ==，2|OQ x ==．,P Q Q 为直线与圆的交点，∴ 12,x x 是方程22(1)(86)210x m m x ++-+=的两根， ∴12221,1x x m=+ ∴ 2221(1)211OP OQ m m ⋅=+=+。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 概率 2.2 超几何分布学业分层测评 苏教版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．【解析】 由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝C 13C 37C 410＝12.【答案】 122．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)【解析】 二级品不多于1台，即一级品有3台或者4台，其概率为C 13C 397＋C 497C 4100. 【答案】 C 13C 397＋C 497C 41003．下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是________． ①将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数为X ；②从7男3女的10名学生干部中选出5名优秀学生干部，女生的人数为X ； ③某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X ；④盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X 是首次摸出黑球时摸球的总次数．【解析】 ①③均为重复试验，不符合超几何分布总体的分类要求；②④总体分为明确的两类，但④中的随机变量X 不是抽取样本中一类元素的个数．【答案】 ②4．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则P (X ≤1)＝________.【解析】 由已知X ～H (2,4,26)， 则P (X ＝0)＝C 04C 222C 226，P (X ＝1)＝C 14C 122C 226，故P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 222＋C 122C 14C 226＝319325. 【答案】3193255．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________．【解析】 P ＝C 13C 22C 35＋C 23C 12C 35＝910.【答案】9106．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率是________．(用式子表示)【解析】 组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为C 410C 25C 615.【答案】 C 410C 25C 6157．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P (A )＝C 127C 13C 230＋C 23C 230＝28145.【答案】281458．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为________. 【导学号：29440040】【解析】 用X 表示中奖票数， P (X ≥1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50>0.5，解得n ≥15. 【答案】 15 二、解答题9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．【解】 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，X ～H (3,6,10)． 则P (X ＝k )＝C k 6C 3－k4C 310(k ＝0,1,2,3)，P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝2＋6＝23.10．袋中有形状大小完全相同的4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的概率分布； (2)求得分大于6分的概率．【解】 (1)从袋中随机取4个球有1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.∴P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求概率分布为(2)根据随机变量X P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335.能力提升]1．在六个数字1,2,3,4,5,7中，若随机取出三个数字，则剩下三个数字都是奇数的概率是________．【解析】 剩下三个数字都是奇数，则取出的三个数字为两偶一奇．故P ＝C 22·C 14C 36＝420＝0.2.【答案】 0.22．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本有________本. 【导学号：29440041】【解析】 设语文课本有m 本，任取2本书中的语文课本数为X ，则X 服从参数为N ＝7，M ＝m ，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝k )＝C k m C 2－k7－mC 27(k ＝0,1,2)．由题意，得P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 0m C 27－m C 27＋C 1m C 17－m C 27＝12×7－m6－m21＋m 7－m21＝57， ∴m 2－m －12＝0，解得m ＝4或m ＝－3(舍去)． 即7本书中语文课本有4本． 【答案】 43．某电视台在一次对收看新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2名，则恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率为_____________________________________．【解析】 由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有1845×5＝2人．设随机变量X 表示20至40岁的人数，则X 服从超几何分布H (2,2,5)，故P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35.【答案】 354．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A “取出的2件产品都是二等品”的概率P (A )＝0.04.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的概率分布．【解】 (1)设任取一件产品是二等品的概率为p ，依题意有P (A )＝p 2＝0.04，解得p 1＝0.2，p 2＝－0.2(舍去)．故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2件，故X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 28C 210＝2845，P (X ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝2)＝C 22C 210＝145.所以X 的概率分布为X 0 1 2 P28451645145。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 数列 2.2.2.2 等差数列的性质学业分层测评 苏教版必修5(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于________．【解析】 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，从而B ＝60°.【答案】 60°2．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项是________． 【解析】 因为a ＝13＋2＝3－2， b ＝13－2＝3＋2，所以a ＋b 2＝ 3. 【答案】3 3．在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________.【解析】 由等差数列的性质，可得a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝a 2＋a 11，∴36＝2(a 5＋a 8)，故a 5＋a 8＝18.【答案】 184．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.【导学号：91730029】【解析】 ∵{a n }，{b n }都是等差数列，∴{a n ＋b n }也是等差数列，其公差为21－72＝142＝7，∴a 5＋b 5＝7＋(5－1)×7＝35.【答案】 355．(2016·泰州高二检测)若等差数列的前三项依次是1x ＋1，56x ，1x，那么这个数列的第101项是________．【解析】 由已知得2×56x ＝1x ＋1＋1x ，解得x ＝2，∴a 1＝13，d ＝112， ∴a 101＝13＋100×112＝823. 【答案】 8236．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m ＝________.【解析】 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.【答案】 87．(2016·镇江高二检测)已知数列－1，a 1，a 2，－4与数列1，b 1，b 2，b 3，－5各自成等差数列，则a 2－a 1b 2＝________. 【解析】 设数列－1，a 1，a 2，－4的公差是d ，则a 2－a 1＝d ＝－4－－4－1＝－1，b 2＝－5＋12＝－2，故知a 2－a 1b 2＝12. 【答案】 128．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)＝________.【解析】 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3，∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3. 【答案】 － 3二、解答题9．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也成等差数列． 【证明】 ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c， 即2ac ＝b (a ＋c )．∵b ＋c a ＋a ＋b c ＝c b ＋c ＋a a ＋b ac＝c 2＋a 2＋b a ＋c ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac ＝a ＋c2b a ＋c ＝a ＋c b.∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c成等差数列． 10．(2016·扬州高二检测)若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．【解】 显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.能力提升]1．(2016·南京高二检测)在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为________．【解析】 ∵a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝(a 6＋d )－12(a 6＋2d )＝12a 6＝12×16＝8. 【答案】 82．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.【导学号：91730030】【解析】 设最上面一节的容积为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝6766，故第5节的容积为6766升． 【答案】 67663．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．【解析】 第n 行的第一个数是n ，第n 行的数构成以n 为公差的等差数列，则其第n ＋1项为n ＋n ·n ＝n 2＋n .【答案】 n 2＋n4．已知{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)． (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n 3a n ＋1， ∴1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝3＋1a n， 即1a n ＋1－1a n ＝3.即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为3的等差数列． (2)由(1)得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的通项公式为1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －2(n ∈N *)．。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第三章 指数函数与对数函数 学业分层测评（18）换底公式 北师大版必修1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1.log 2716log 34的值为( ) A ．2 B.32 C ．1D.23【解析】 原式＝lg 16lg 27×lg 3lg 4＝2lg 4·lg 33lg 3·lg 4＝23.【答案】 D2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．1＋3a －a 2【解析】 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 【答案】 A3. (2016·石景山高一检测)若x ＝60，则1log 3x ＋1log 4x ＋1log 5x 的值为( )A ．1 B.12C ．2D ．以上都不对 【解析】 原式＝log x 3＋log x 4＋log x 5＝log x 60＝log x x ＝1. 【答案】 A4．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( ) A.12 B ．9 C ．18D ．27【解析】 由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝lg mlg 3＝log 416＝log 442＝2， ∴lg mlg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9， ∴m ＝9. 【答案】 B5．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c【解析】 B 中log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg blg c ＝log c b ，A 、C 、D 中由对数的运算法则知不成立．【答案】 B 二、填空题6．计算：log 43·log 3432＝________. 【解析】 原式＝lg 3lg 4·lg 432lg 3＝54lg 22lg 2＝58.【答案】 587．若m log 35＝1，n ＝5m＋5－m，则n 的值为________． 【解析】 ∵m log 35＝1， ∴m ＝1log 35＝log 53，∴n ＝5m ＋5－m＝5log 53＋5－log 53＝3＋5log 513＝3＋13＝103.【答案】1038．已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝________. 【解析】 因为⎩⎪⎨⎪⎧p ＝lg 2lg 6，q ＝lg 5lg 6，故lg 2lg 5＝pq， 故1－lg 5lg 5＝p q ，则lg 5＝qp ＋q. 【答案】qp ＋q三、解答题9．求下列各式的值：(1)(2016·西城高一检测)log 427·log 258·log 95； (2)(2016·济南高一检测)log 225·log 3116·log 519.【解】 (1)原式＝lg 27lg 4·lg 8lg 25·lg 5lg 9＝3 lg 32lg 2·3lg 22lg 5·lg 52 lg 3＝98. (2)原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2· －4 lg 2lg 3· －2 lg 3lg 5＝16. 10．已知x ，y ，z 为正数，且3x＝4y＝6z. (1)求使2x ＝py 的p 的值；(2)求证：12y ＝1z －1x . 【导学号：04100059】【解】 (1)设3x ＝4y ＝6z＝k (显然k ≠1)， 则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ， 由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34，∵log 3k ≠0， ∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3 ＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y. [能力提升]1．设方程(lg x )2－lg x 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( ) A ．1 B ．－2 C ．－103D ．－4【解析】 由(lg x )2－lg x 2－3＝0，即(lg x )2－2lg x －3＝0， 解得lg x ＝3或lg x ＝－1，故x ＝103或x ＝10－1＝110.不妨令a ＝103，b ＝110，故log a b ＋log b a ＝log 103110＋log 110103＝－13－3＝－103.【答案】 C2．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log 35·log 259·lg 5＝________. 【解析】 原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－lg 5lg 3·lg 9lg 25·lg 5＝1＋lg 2lg 5－lg 2－lg 2lg 5－lg 5lg 3·2lg 32lg 5·lg 5＝1－lg 2－lg 5＝1－1＝0. 【答案】 03．某城市为加快现代化都市的建设，决定从2007年起逐年增加城市化面积．若每年的新增绿地亩数比上一年递增10%，则该市实现绿地面积翻两番大约是在哪一年？(参考数据：lg2＝0.301 0，lg1.1＝0.041 4)【解】 若设该市2006年年底有绿地面积a ，则经过1年，即2007年的绿地面积是a ＋a ·10%＝a (1＋10%)；再经过一年，即2008年的绿地面积是a (1＋10%)2；经过3年，即2009年的绿地面积是a (1＋10%)3，…，经过x 年的绿地面积是a (1＋10%)x，依题意，a (1＋10%)x ＝4a ，即(1＋10%)x＝4，∴x ＝log 1.14＝2lg2lg1.1≈15.∴大约经过15年，也就是到2022年该市的绿地面积将翻两倍．。

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1.下列六个关系式：①{a ，b }⊆{b ，a }；②{a ，b }＝{b ，a }；③{0}＝∅；④0∈{0}；⑤∅∈{0}；⑥∅⊆{0}．其中正确的个数为________．解析：①②④⑥是正确的．答案：42.下列各对象可以组成集合的是________．①与1非常接近的全体实数；②某校2013～2014学年度第一学期全体高一学生；③高一年级视力比较好的同学；④与无理数π相差很小的全体实数．解析：据集合的概念判断，只有②可以组成集合．答案：②3.已知全集U ＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{0，2}，则(∁U A )∩B ＝________. 解析：∁U A ＝{0，1}，故(∁U A )∩B ＝{0}．答案：{0}4.集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________． 解析：∵A ∪B ＝{0，1，2，a ，a 2}，又A ∪B ＝{0，1，2，4，6}，∴{a ，a 2}＝{4，16}，∴a ＝4.答案：45.设集合A ＝{－1，4，8}，B ＝{－1，a ＋2，a 2＋4}，若A ＝B ，则实数a 的值为________． 解析：∵A ＝B ，∴①⎩⎨⎧a ＋2＝4a 2＋4＝8或②⎩⎨⎧a ＋2＝8a 2＋4＝4， 由①得a ＝2，此时B ＝{－1，4，8}满足题意，②无解，∴a ＝2.答案：26.已知集合A ＝{3，m 2}，B ＝{－1，3，2m －1}，若A ⊆B ，则实数m 的值为________． 解析：∵A ⊆B ，∴A 中元素都是B 的元素，即m 2＝2m －1，解得m ＝1.答案：17.若集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |x <m }满足A ∪B ＝R ，A ∩B ＝∅，则实数m ＝________. 解析：结合数轴知，当且仅当m ＝3时满足A ∪B ＝R ，A ∩B ＝∅.答案：38.设集合A ＝{1，4，x }，B ＝{1，x 2}，且A ∪B ＝{1，4，x }，则满足条件的实数x 的个数是________．解析：由题意知x 2＝4或x 2＝x ，所以x ＝0，1，2，－2，经检验知x ＝0，2，－2符合题意，x ＝1不符合题意，故有3个．答案：39.已知集合M ⊆{4，7，8}，且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有________个． 解析：M 可以为∅，{4}，{4，7}，{8}，{8，7}，{7}．答案：610.已知集合A ＝{x |y ＝ 1－x 2，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则A ∩B 为________． 解析：由1－x 2≥0得，－1≤x ≤1，∵x ∈Z ，∴A ＝{－1，0，1}．当x ∈A 时，y ＝x 2＋1∈{2，1}，即B ＝{1，2}，∴A ∩B ＝{1}．答案：{1}11.集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，Q ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则P ∩Q ＝________.解析：P ∩Q ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＝2，}＝{(x ，y )|⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，}＝{(1，－1)}． 答案：{(1，－1)}12.设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q}，若P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{x | x ＋12<2，x ∈R }，则P －Q ＝________. 解析：由定义P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q}，求P －Q 可检验P ＝{1，2，3，4}中的元素在不在Q ＝{x | x ＋12<2，x ∈R }中，所有在P 中不在Q 中的元素即为P －Q 中的元素，故P －Q ＝{4}．答案：{4}13.设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P*Q ＝{z |z ＝ab ，a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P*Q 中元素的个数是________．解析：按P*Q 的定义，P*Q 中元素为2，－2，0，共3个．答案：314.设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：不含“孤立元”的集合就是在集合中有与k 相邻的元素，故符合题意的集合有：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．答案：6二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <5}，集合B ＝{x |3<x <9}．求(1)∁U (A ∪B )；(2)A ∩∁U B .解：(1)∵A ∪B ＝{x |2≤x <9}，∴∁U (A ∪B )＝{x |x <2或x ≥9}．(2)∵∁U B ＝{x |x ≤3或x ≥9}，∴A ∩∁U B ＝{x |2≤x ≤3}．16.(本小题满分14分)设全集U ＝{2，4，－(a －3)2}，集合A ＝{2，a 2－a ＋2}，若∁U A＝{－1}，求实数a 的值．解：由∁U A ＝{－1}，可得⎩⎨⎧－1∈U ，－1∉A ，所以⎩⎨⎧－（a －3）2＝－1，a 2－a ＋2≠－1，解得a ＝4或a ＝2. 当a ＝2时，A ＝{2，4}，满足A ⊆U ，符合题意；当a ＝4时，A ＝{2，14}，不满足A ⊆U ，故舍去．综上，a 的值为2.17.(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ⊆A ，求实数p 的取值范围．解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x ≤5，故A ＝{x |－2≤x ≤5}．①当B ≠∅时，即p ＋1≤2p －1⇒p ≥2.由B ⊆A 得：－2≤p ＋1且2p －1≤5，解得－3≤p ≤3.∴2≤p ≤3.②当B ＝∅时，即p ＋1>2p －1⇒p <2.由①②得p 的取值范围是p ≤3.18.(本小题满分16分)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }．(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值；(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．解：(1)若A 是空集，则方程ax 2－3x ＋2＝0没有根，则a ≠0且Δ＝9－8a <0，即a >98.(2)若A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0有一个根，①当a ≠0且Δ＝9－8a ＝0时，则a ＝98； ②当a ＝0时，方程为－3x ＋2＝0，只有一个根．综上，a ＝0或98. (3)若A 中至多只有一个元素，则A 是空集或A 只有一个元素，故a ＝0或a ≥98. 19.(本小题满分16分)某班50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？解：设全集U ＝{某班50名学生}，A ＝{会讲英语的学生}，B ＝{会讲日语的学生}，A ∩B ＝{既会讲英语又会讲日语的学生}，则由韦恩图知，既不会英语又不会日语的学生有：50－22－14－6＝8(人)．20.(本小题满分16分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －8＝0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋a 2－12＝0}，若A ∪B ≠A ，求实数a 的取值范围．解：若B ∪A ＝A ，则B ⊆A ，又A ＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2，4}，所以集合B 有以下三种情况：①当B ＝∅，有Δ＝a 2－4(a 2－12)<0⇒a 2>16⇒a <－4或a >4；②当B 是单元素集合时，有Δ＝0⇒a 2＝16⇒a ＝－4或a ＝4.若a ＝－4，则B ＝{2}⊄A ，若a ＝4，则B ＝{－2}⊆A ；③当B ＝{－2，4}时，有－2，4是关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－12＝0的两根⇒⎩⎨⎧－2＋4＝－a （－2）×4＝a 2－12⇒a ＝－2. 此时，B ＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2，4}⊆A .综上可知，B ∪A ＝A 时，实数a 的取值范围是a <－4或a ≥4或a ＝－2. 所以B ∪A ≠A 时，实数a 的取值范围为－4≤a <4，且a ≠－2.。

课时分层作业(十一) 互斥事件(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列各组事件中，不是互斥事件的是( )A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B ．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C ．播种菜子100粒，发芽90粒与发芽80粒D ．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%B [由互斥事件的定义作出判断：A 、C 、D 中描述的两个事件都不能同时发生，为互斥事件；B 中当平均分为90分时，描述的两个事件能同时发生．]2．在掷骰子的游戏中，向上的数字是1或2的概率是( )A ．23B ．12C ．13D ．16C [事件“向上的数字是1”与事件“向上的数字是2”为互斥事件，且二者发生的概率都是16，所以“向上的数字是1或2”的概率是16＋16＝13.] 3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A ．0.35B ．0.3C ．0.5D ．0.05A [事件“抽到的不是一等品”是A 的对立事件，故P ＝1－P (A )＝0.35.]4．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数， 设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现偶数点”，已知P (A )＝12，P (B )＝12，则抛掷一颗骰子“出现奇数点或偶数点”的概率是( ) A ．14B ．12C ．34D ．1D [法一：记“出现奇数点或偶数点”为事件C ，则C ＝A ＋B ，因为A ，B 是互斥事件，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝12＋12＝1. 法二：因为抛掷一骰子出现点数不是奇数就是偶数，所以“抛掷一骰子出现奇数点或偶数点”是必然事件，其概率为1.]5．从甲、乙等5名学生中随机地选出2人，则甲被选中的概率为( )A ．15B ．12C ．25D ．1C [设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)共10种，甲被选中的情况有4种，故甲被选中的概率为410＝25.] 二、填空题6．某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，则出现一级品与三级品的概率分别是________．0．77,0.02 [设生产中出现一级品为事件A ，出现二级品为事件B ，则A ，B 互斥，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.98，P (B )＝0.21，所以P (A )＝0.77.出现三级品的概率P ＝1－0.98＝0.02.]7．投掷红、蓝两颗均匀的骰子，观察出现的点数，至少一颗骰子出现偶数点的概率是________．34 [至少一颗骰子出现偶数点的对立事件为都出现奇数点，出现奇数点的概率是12×12＝14，故至少一颗骰子出现偶数点的概率是1－14＝34.] 8．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，不是2面涂有颜色的小正方体的概率是________．59[将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从中任取一个出现的可能结果有27种，每种试验结果出现的可能性相同，设事件A 为“恰有2面涂有颜色的小正方体”，则事件A 的对立事件是事件“不是2面涂有颜色的小正方体”，又事件A 所包含的可能结果有12种，所以从这些小正方体中任取1个是恰有2面涂有颜色的小正方体的概率是59.] 三、解答题9．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)射中7环以下的概率．思路点拨：(1)射中10环和射中7环显然为互斥事件，由概率加法公式求解；(2)利用对立事件的定义判断出“7环以下”与“射中7环或8环或9环或10环”为对立事件，利用对立事件的概率公式求解．[解] (1)设“射中10环”为事件A ，“射中7环”为事件B ，则“射中10环或7环”的事件为A ＋B ，事件A 和事件B 是互斥事件，故P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.21＋0.28＝0.49，所以射中10环或7环的概率为0.49.(2)设“射中7环以下”为事件C ，“射中7环或8环或9环或10环”为事件D ， 则P (D )＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97.又事件C 和事件D 是对立事件，所以P (C )＝1－P (D )＝1－0.97＝0.03.所以射中7环以下的概率是0.03.10．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？思路点拨：分别以A ，B ，C ，D 表示事件：从袋中任取一球“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”，则由题意得到三个和事件的概率，求解方程组得答案．[解] 从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为事件A ，B ，C ，D ，且彼此互斥，则有P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512；P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝512；P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23. 解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14. 所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14. [能力提升练]1．现有历史、生物、地理、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )A ．15B ．25C ．12D ．35D [记取到历史、生物、地理、物理、化学书分别为事件A ，B ，C ，D ，E ，则A ，B ，C ，D ，E 互斥，取到理科书的概率为事件B ，D ，E 概率的和．所以P (B ＋D ＋E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35.] 2．高二某班的50名同学参加了2018年《学业水平测试》化学科目的考试，考试分A ，B ，C ，D 四个等级．考试结果如下：获得D 等级的同学的概率为0.02，获得B 等级以下的同学的概率为0.7.则获得C 等级的同学的概率是( )A ．0.3B ．0.68C ．0.7D ．0.72B [设“获得D 等级的”为事件A ，“获得B 等级以下的”为事件B ，“获得C 等级的”为事件C ，则A ，C 为互斥事件，且A ＋C ＝B ．∴P (B )＝P (A ＋C )＝P (A )＋P (C )．∴P (C )＝P (B )－P (A )＝0.7－0.02＝0.68.]3．事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P (A )＝2P (B )，则P (A )＝________. 35 [由题意知P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1－25＝35，结合P (A )＝2P (B )，解得P (A )＝25，P (B )＝15，故P (A )＝1－P (A )＝35.] 4．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．8151415[由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815. 由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415.]5．袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次．求所得球：(1)3只球颜色全相同的概率；(2)3只球颜色不全相同的概率．思路点拨：3只球颜色不全相同的情况较多，如有2只球同色而另1只球不同色(即可以是2只同为红色、同为黄色或同为白色等等)或3只球颜色全不相同等，这样考虑起来比较麻烦，而其对立事件是3只球颜色全相同，其概率易求出，故可运用对立事件的概率公式求解(2)．[解] (1)“3只球颜色全相同”只可能是这样的3种情况：“3只球全是红球”(事件A )，“3只球全是黄球”(事件B )，“3只球全是白球”(事件C )，且它们之间是互斥关系，故“3只球颜色全相同”这个事件可记为A ＋B ＋C ．由于事件A ，B ，C 不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又由于红、黄、白球个数一样，有放回地抽取3次共有27种结果，故不难得到P (A )＝P (B )＝P (C )＝127，故P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝19. (2)记“3只球颜色不全相同”为事件D ，则事件D 为“3只球颜色全相同”，显然事件D与D 是对立事件，且P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝19.1 9＝89.故3只球颜色不全相同的概率为89.所以P(D)＝1－P(D)＝1－。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2 二阶矩阵与二元一次方程组学业分层测评 苏教版选修4-2学业达标]1.利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，2x ＋3y －4＝0.【解】 先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋3y ＝4.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪122 3＝1×3－2×2＝－1，D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 243＝1×3－2×4＝－5，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 12 4＝1×4－2×1＝2， 所以x ＝D x D ＝－5－1＝5，y ＝D y D ＝2－1＝－2，故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－2.2.利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋4y ＝4.x ＋my ＝7.【解】 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 41 m ＝m 2－4 D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 47m ＝4m －28 D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 417＝7m －4①当m 2－4＝0时，即m ＝±2，方程组无解；②当m 2－4≠0时，即m ≠±2时，得x ＝D x D ＝4m －28m 2－4，y ＝D y D ＝7m －4m 2－4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4m －28m 2－4，y ＝7m －4m 2－4.3.若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋my ＝x －2x ＋4y ＝y 有惟一解，求m 的取值范围.【解】 该二元一次方程组的一般形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＝0，2x －3y ＝0，其用矩阵形式表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 m 2 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00.因为该方程组有惟一解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 m2 －3≠0，解得m ≠－32. 4.利用逆矩阵解下列方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，3x ＋4y ＝1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2x ＋3y ＝5. 【解】 (1)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 因为|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1234＝4－6＝－2≠0，则矩阵A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32 －12，这样，Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1. (2)原方程组用矩阵可表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11 2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05. 同(1)，可以计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 3的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 15 25 15， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 15 25 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤05＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.5.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －2－1 4，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，试解方程组AZ ＝B .【导学号：30650044】【解】 ∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －2－1 4＝12－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵A 存在逆矩阵A－1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤410 210110 310＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310， ∴Z ＝A－1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 15110 310⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 6.已知二元一次方程组AZ ＝B ，其中A 是可逆矩阵，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，试证明该方程组的解只能是⎣⎢⎡⎦⎥⎤00. 【证明】 因为A 是可逆矩阵，则原方程组的解为Z ＝A －1B ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，因A －1是惟一存在的，所以Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00是原方程组的解且是惟一的.7.试从几何变换的角度分析方程组AZ ＝B 解的情况，这里A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35. 【解】 由于A 对应的是沿y 轴的切变变换，它有逆变换，且其对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－1 1，即A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1，于是原方程组的解Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35在A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1作用之后的向量，即Z ＝A －1B .因为A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且有Z ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.故原方程组有惟一解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.能力提升]8.试从几何变换的角度说明方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝3，y ＝2，解的存在性和惟一性.【解】 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，则AX ＝B .因为矩阵A 对应的变换是切变变换，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1，所以方程组的解X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32在变换矩阵A －1作用之后的向量，即X ＝A －1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22， 故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.。

综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线x-√3y-3=0的倾斜角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π62.函数f(x)=1+1x 的图象在点(12, x(12))处的切线的斜率为 ()A.2B.-2C.4D.-43.已知F1,F2为定点,F1F2=4,在同一平面内的动点M满足MF1+MF2=t(t为常数),且t≥4,则动点M的轨迹是()A.椭圆B.线段C.圆D.线段或椭圆4.在等比数列{a n}中,a2+a3=1,a4+a5=2,则a6+a7= ()A.2B.2√2C.4D.4√25.已知两圆的方程分别是C1:(x-3)2+(y+2)2=1,C2:(x-7)2+(y-1)2=36,则这两圆的位置关系是()A.内含B.内切C.相交D.外切6.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题:“一个公公有九个儿,若问生年总不知,知长排来争三岁,其年二百七岁期,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”其大致意思是:一个公公有九个儿子,若问他们的生年是不知道的,但从老大的生年开始排列,后面每个儿子都比前面一个儿子小3岁,九个儿子共207岁,则老大的岁数是 ()A.38B.35C.32D.297.已知在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x2x2-x2x2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,点M,N在双曲线C上,若四边形OFMN为菱形,则双曲线C的离心率为 ()A.√3-1B.√5-1C.√3+1D.√5+18.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2+a)x(a<0),g(x)=xe x-2,对任意的x0∈(0,2],关于x的方程f(x)=g(x0)在(0,e]上都有实数根,则实数a的取值范围为()(其中e=2.718 28…为自然对数的底数)A.[-1e ,0) B.(-∞,-1e]C.[-e,0)D.(-∞,-e]二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知方程mx2+ny2=1(m,n∈R),则()A.当mn>0时,方程表示椭圆B.当mn<0时,方程表示双曲线C.当m=0时,方程表示两条直线D.此方程表示的曲线不可能为抛物线10.设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,其前n项和为S n,已知S16>0,S17<0,则下列结论正确的是()A.a1>0,d<0B.a8+a9>0C.S8与S9均为S n的最大值D.a9<011.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于P,Q 两点,M为线段PQ的中点,O为坐标原点,则()A.抛物线C的准线方程为y=-1B.线段PQ的长度的最小值为4C.S△OPQ≥2D.xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-312.已知f(x)=e x·x3,则下列结论正确的是()A. f(x)在R上单调递增B. f(log52)<f(e-12)<f(ln π)C.方程f(x)=-1有实数根D.存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数根三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:x+ay=0和直线l2:2x-(a-3)y-4=0,a∈R,若l1与l2平行,则l1与l2之间的距离为.14.已知数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n∈N*),则a6=.15.已知函数f(x)=x3+ax2+x+1在区间(-23,-13)内是减函数,则实数a的取值范围是.16.已知椭圆x2x2+x2x2=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1、F2,且△F1AB的面积为2-√32,则椭圆的标准方程为;若点P为椭圆上的任意一点,则1xx1+1xx2的取值范围是.(第一个空2分,第二个空3分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在①S4-a3=a6;②S3是a1与a9的等差中项;③a1+a3+a5+a7+a9=5S3这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a3=5,且.(1)求{a n}的通项公式;(2)在(1)的条件下,记b n=1x x·x x+1,求数列{b n}的前n项和T n.注:选择多个条件分别解答时,按第一个解答计分.18.(本小题满分12分)已知某曲线C:x2+y2+2x-4y+a=0.(1)若此曲线是圆,求a的取值范围,并求出其圆心和半径;(2)若a=1,且此曲线与直线l:x-y+1=0相交于M,N两点,求弦长MN.19.(本小题满分12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1(n∈N*).数列{b n}是首项为a1,公差不为零的等差数列,且b1,b2,b7成等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)若c n=x xx x,数列{c n}的前n项和为T n,且T n<m恒成立,求m的取值范围.20.(本小题满分12分)新冠肺炎疫情发生后,某地政府为了支持企业复工复产,决定向当地企业发放补助款,其中对纳税额x(万元)在[4,8]之间的小微企业做统一方案,方案要求同时具备下列两个条件:①补助款f(x)(万元)随企业原纳税额x(万元)的增加而增加;②补助款不低于原纳税额的50%.经测算,政府决定采用f(x)=x4-xx+4(其中m为参数)作为补助款发放的函数模型.(1)当参数m=13时是否满足条件,并说明理由;(2)求同时满足条件①②的参数m的取值范围.21.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为y=-1,直线l过点P(0,-1),且与抛物线C交于A,B两点.点A关于y轴的对称点为A',连接A'B.(1)求抛物线C的标准方程;(2)问直线A'B是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x-1-x-ax2,g(x)=bx-b ln x,其中e为自然对数的底数.(1)若当x≥0时,不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若x>0,证明:(e x-1)ln(x+1)>x2.答案全解全析一、单项选择题1.A 直线x -√3y -3=0可化为y =√33x -√3,斜率k =tan α=√33,又α∈[0,π),∴α=π6.故选A .2.D 因为f (x )=1+1x ,所以f'(x )=-1x 2, 所以 f'(12)=-4.故选D .3.D 当t =4时,点M 的轨迹是线段F 1F 2;当t >4时,点M 的轨迹是椭圆.故选D .4.C 设等比数列{a n }的公比为q ,则x 4+x 5x 2+x 3=x 2x 2+x 3x 2x 2+x 3=q 2=2,∴a 6+a 7=a 4q 2+a 5q 2=(a 4+a 5)q 2=2×2=4.故选C .5.B 根据两圆的方程得到两圆的圆心间的距离d =√(7-3)2+(1+2)2=5,又圆C 1的半径r 1=1,圆C 2的半径r 2=6,且d ,r 1,r 2满足r 2-r 1=d ,所以两圆内切.6.B 由题意可知,九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄为首项,公差为-3的等差数列,记此等差数列为{a n },则9a 1+9×82×(-3)=207,解得a 1=35,故选B .7.C 由题意可知OF =c ,由四边形OFMN 为菱形,可得MN =OF =c ,设点M 在F 的上方,可知M 、N 关于y 轴对称,可设M (-x 2,√3x2),代入双曲线方程可得 (-x 2)2x 2-(√3x2)2x 2=1,结合a 2+b 2=c 2,可得c 4+4a 4-8a 2c 2=0,两边同除以a 4,可得e 4+4-8e 2=0,解得e 2=4+2√3或e 2=4-2√3,因为e >1,所以e =√4+2√3=√(1+√3)2=√3+1,故选C .8.C 由题意,g (x )=xe x -2,x ∈(0,2],g'(x )=e x -x e x (e x )2=1-x e x ,令g'(x )=0,得x =1,当0<x <1时,g'(x )>0;当1<x ≤2时,g'(x )<0,故当x =1时,g (x )取得极大值,也是最大值,为1e -2,且g (0)=-2,g (2)=2e 2-2>-2,设g (x )=x ex -2,x ∈(0,2]的值域为A ,则A =(-2,1e-2].设f (x )=ln x +ax 2+(2+a )x ,x ∈(0,e]的值域为B ,因为对任意的x 0∈(0,2],关于x 的方程f (x )=g (x 0)在(0,e]上都有实数根, 所以A ⊆B.因为当x →0+,f (x )→-∞,所以只需f (x )max ≥1e -2. 易得f'(x )=1x +2ax +2+a =(2x +1)(xx +1)x ,令f'(x )=0,得x =-1x 或x =-12(舍去),当-1x ≥e,即-1e ≤a <0时,f (x )在(0,e]上是增函数, 则f (x )max =f (e)=1+a e 2+2e+a e ≥1e -2, 解得a ≥-(2e +e -1e 3+e 2),∴-1e ≤a <0.当-1x <e,即a <-1e 时,f (x )在(0,-1x )上单调递增,在(-1x ,e ]上单调递减,则f (x )max =f (-1x )=ln (-1x )+1x -2x -1≥1e -2,即ln (-1x )-1x ≥1e -1,令h (x )=ln x +x ,易知h (x )在(0,+∞)上单调递增, 而h (1e )=1e -1, 于是-1x ≥1e ,解得-e ≤a <-1e . 综上,实数a 的取值范围为-e ≤a <0. 二、多项选择题9.BD 当mn >0时,将原方程整理,得x 21x +x 21x=1,若m ,n 同负或1x =1x,则方程不表示椭圆,A 错误;当mn <0时,1x 与1x 异号,方程表示双曲线,B 正确;当m =0时,方程为ny 2=1,当n ≤0时,方程无解,故C 错误;无论m 、n 为何值,此方程都不可能表示抛物线,D 正确.故选BD . 10.ABD ∵S 16=16(x 1+x 16)2>0,∴a 8+a 9=a 1+a 16>0,∴B 正确. 又S 17=17(x 1+x 17)2=17a 9<0,∴a 9<0,∴a 8>0,∴d =a 9-a 8<0,∴a 1>0,∴A、D 正确.易知S 8是S n 的最大值,S 9不是S n 的最大值,∴C 错误.故选ABD .11.BCD 因为抛物线的焦点F 到其准线的距离为2,所以p =2,所以抛物线C 的焦点为F (1,0),准线方程为x =-1,故选项A 错误;当直线PQ 垂直于x 轴时,线段PQ 的长度最小,此时不妨设P (1,2),Q (1,-2),所以PQ min =4,故选项B 正确;设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),直线PQ 的方程为x =my +1,联立{x =xx +1,x 2=2xx ,消去x ,将p =2代入可得y 2-4my -4=0,所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4,S△OPQ=12×OF ×|y 1-y 2|=12×1×√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=12×√16x 2+16≥2,当且仅当m =0时“=”成立,故选项C 正确;x 1x 2=(my 1+1)(my 2+1)=m (y 1+y 2)+m 2y 1y 2+1=1,y 1y 2=-4,所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=-3,故选项D 正确.故选BCD .12.BCD ∵f (x )=e x ·x 3, ∴f'(x )=e x(x 3+3x 2). 令f'(x )=0,得x =0或x =-3. 当x <-3时,f'(x )<0,f (x )单调递减, 当x >-3时,f'(x )≥0,f (x )单调递增,A 错误. 又0<log 52<12<e -12<1<lnπ,∴f (log 52)<f (e -12)<f (lnπ),B 正确. ∵f (0)=0,f (-3)=e -3·(-3)3=-(3e )3<-1,∴f (x )=-1有实数根,C 正确. 显然x =0是方程f (x )=kx 的根, 当x ≠0时,k =x (x )x=e x ·x 2,设g (x )=e x ·x 2(x ≠0),则g'(x )=x (x +2)e x ,令g'(x )=0,得x =0或x =-2.当x 发生变化时,g'(x ),g (x )的变化情况如下表:x (-∞,-2)-2 (-2,0) 0 (0,+∞) g'(x ) + 0 - 0 + g (x )↗4x 2↘↗画出函数g (x )的大致图象,如图所示,∴当0<k <4e 2时,g (x )=k 有3个实数根,∴D 正确.故选BCD . 三、填空题 13.答案 √2解析 由于直线l 1与l 2平行,则2a =-(a -3)且0≠-4a ,解得a =1,所以直线l 1的方程为x +y =0,直线l 2的方程为x +y -2=0,因此,直线l 1与l 2之间的距离为√22=√2.14.答案 768解析 由a n +1=3S n ,得S n +1-S n =3S n ,即S n +1=4S n ,又S 1=a 1=1,所以数列{S n }是首项为1,公比为4的等比数列,所以S n =4n -1,所以a 6=S 6-S 5=45-44=3×44=768. 15.答案 [2,+∞)解析 ∵f (x )=x 3+ax 2+x +1,∴f'(x )=3x 2+2ax +1,∵函数f (x )在区间-23,-13内是减函数,∴f'(x )≤0在区间(-23,-13)内恒成立,即a ≥-3x 2-12x 在区间(-23,-13)内恒成立,令g (x )=-3x 2-12x (-23<x <-13),则g'(x )=-32+12x 2=-3x 2+12x 2,∴当x ∈(-23,-√33)时,g'(x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(-√33,-13)时,g'(x )>0,g (x )单调递增, 又g (-23)=74,g (-13)=2,∴g (x )<2,∴a ≥2.16.答案x 24+y 2=1;[1,4]解析 由题意可知2b =2,则b =1,x △x 1xx =12(a -c )b =x -x 2=2-√32,故有{x -x =2-√3,x 2=x 2-x 2=1,x >0,x >0,解得{x =2,x =√3,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.由题意可得2-√3≤PF 1≤2+√3,PF 1+PF 2=2a =4,所以1xx 1+1xx 2=xx 1+xx 2xx 1·xx 2=4xx 1·(4-xx 1),因为PF 1·(4-PF 1)=-(xx 1-2)2+4∈[1,4],所以1xx 1+1xx 2=4xx1·(4-xx 1)∈[1,4].四、解答题17.解析 (1)选择条件①: 设等差数列{a n }的公差为d ,则{x 1+2x =5,4x 1+4×32x -x 1-2x =x 1+5x ,(2分) 解得{x 1=1,x =2,(4分)∴a n =2n -1. (5分) 选择条件②:设等差数列{a n }的公差为d ,则{x 1+2x =5,2(3x 1+3×22x )=x 1+x 1+8x , (2分) 解得{x 1=1,x =2,(4分)∴a n =2n -1. (5分)选择条件③:设等差数列{a n }的公差为d ,则{x 1+2x =5,5x 5=5(x 1+4x )=5(3x 1+3×22x ),(2分) 解得{x 1=1,x =2,(4分)∴a n =2n -1. (5分) (2)由(1)可得b n =1x x ·x x +1=1(2x -1)(2x +1)=12(12x -1-12x +1),(7分)∴T n =b 1+b 2+…+b n=12(11-13+13-15+…+12x -1-12x +1) =12(1-12x +1)=x2x +1.(10分)18.解析 (1)方程x 2+y 2+2x -4y +a =0可化为(x +1)2+(y -2)2=5-a. (2分) 若其曲线是圆,则5-a >0,得a <5.(4分)其圆心坐标为C (-1,2),半径r =√5-x . (6分) (2)当a =1时,曲线的方程为(x +1)2+(y -2)2=4, (7分) 它表示的是圆,圆心为C (-1,2),半径r =2. (8分)圆心到直线l 的距离d =√2=√2. (10分)∴弦长MN =2√x 2-x 2=2√4-2=2√2. (12分) 19.解析 (1)∵a n +1=2S n +1(n ∈N *),① ∴当n ≥2时,a n =2S n -1+1,② ①-②,化简可得a n +1=3a n , (1分) 即数列{a n }是以3为公比的等比数列, (2分)又∵S 2=4, ∴a 1+3a 1=4,解得a 1=1,即a n =3n -1. (3分) 设数列{b n }的公差为d (d ≠0),b 1=a 1=1, ∵b 1,b 2,b 7成等比数列, ∴1×(1+6d )=(1+d )2, (4分) 解得d =4或d =0(舍去),即b n =4n -3,∴数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n =3n -1,b n =4n -3. (6分) (2)由(1)得c n =x x x x =4x -33x -1, (7分)∴T n =(13)0+5×(13)1+9×(13)2+…+(4n -3)(13)x -1,③13T n =(13)1+5×(13)2+9×(13)3+…+(4n -7)×(13)x -1+(4n -3)(13)x,④ ③-④,得23T n =1+4×(13)1+4×(13)2+…+4×(13)x -1-(4n -3)(13)x=3-(4n +3)(13)x. (10分) ∴T n =92-3(4x +3)2(13)x,即有T n <92恒成立,由T n <m 恒成立, 可得m ≥92,即m 的取值范围是[92,+∞). (12分)易错警示 (1)利用a n =S n -S n -1(n ≥2)求a n 时,要注意n ≥2这一限制条件;(2)当数列{a n }、{b n }分别为等差数列、等比数列时,数列{a n ·b n }或{xx x x}的前n 项和一般用错位相减法求解,但在求和时要特别注意两式相减后抵消了哪些项、各项的符号有没有发生变化等. 20.解析 (1)当m =13时,函数f (x )=x 4-13x +4(x ∈[4,8]),可得f'(x )=14+13x 2>0, 所以f (x )在区间[4,8]上为增函数,满足条件①; (2分) 又因为f (4)=74<2=12×4,所以当m =13时不满足条件②. (3分)综上可得,当参数m =13时不满足条件. (5分) (2)由函数f (x )=x 4-xx+4,可得f'(x )=14+x x 2=x 2+4x 4x 2,x ∈[4,8], (6分)所以当m ≥0时,f'(x )≥0,满足条件①; (8分) 当m <0时,令f'(x )=0,可得x =2√-x (负值舍去), 当x ∈[2√-x ,+∞)时,f'(x )≥0,f (x )单调递增, 所以此时若要满足条件①,应有2√-x ≤4,解得-4≤m <0. 综上可得,m ≥-4. (10分)由条件②可知,f (x )≥x2,即不等式x 4+xx ≤4在[4,8]上恒成立,等价于m ≤-14x 2+4x =-14(x -8)2+16在[4,8]上恒成立. 当x =4时,y =-14(x -8)2+16取得最小值,最小值为12, 所以m ≤12. (11分)综上,参数m 的取值范围是[-4,12]. (12分)21.解析 (1)因为抛物线C :x 2=2py (p >0)的准线方程为y =-1, 所以x2=1,即p =2, (3分)所以抛物线C 的标准方程为x 2=4y. (4分)(2)由题意知直线l 的斜率存在,故可设直线l 的方程为y =kx -1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A'(-x 1,y 1),联立{x 2=4x ,x =xx -1,得x 2-4kx +4=0.则Δ=16k 2-16>0,x 1x 2=4,x 1+x 2=4k , (6分) 所以k A'B =x 2-x 1x 2+x 1=x 224-x 124x 1+x 2=x 2-x 14. (7分)于是直线A'B 的方程为y -x 224=x 2-x 14(x -x 2),所以y =x 2-x 14x +x 224-(x 2-x 1)x 24,即y =x 2-x 14x +1, (10分)当x =0时,y =1.即直线A'B 过定点(0,1). (12分)22.解析 (1)由已知得f'(x )=e x-1-2ax , (1分) 令h (x )=e x-1-2ax ,则h'(x )=e x-2a , 当x ≥0时,e x ≥1.故当2a ≤1时,h'(x )=e x-2a ≥0恒成立, ∴h (x )在[0,+∞)上单调递增,∴h (x )≥h (0)=0,即f'(x )≥0,∴f (x )在[0,+∞)上为增函数, ∴f (x )≥f (0)=0恒成立,∴a ≤12时满足条件. (3分)当2a >1时,令h'(x )=0,解得x =ln2a ,在[0,ln2a )上,h'(x )<0,h (x )在[0,ln2a )上单调递减, ∴当x ∈[0,ln2a )时,有h (x )≤h (0)=0,即f'(x )≤0,当且仅当x =0时,f'(x )=0,故f (x )在[0,ln2a )上为减函数,∴f (x )<f (0)=0,不符合题意. (5分)综上,实数a 的取值范围为(-∞,12]. (6分) (2)证明:由(1)得,当a =12,x >0时,e x>1+x +x 22成立,即e x-1>x +x 22=x 2+2x 2成立, (7分)∵x >0, ∴ln(x +1)>0,要证不等式(e x-1)ln(x +1)>x 2, 只需证e x-1>x 2ln(x +1), (8分) 只需证x 2+2x 2>x 2ln(x +1),只需证ln(x +1)>2x2+x 成立, (9分) 设F (x )=ln(x +1)-2xx +2(x >0), (10分) 则F'(x )=1x +1-4(x +2)2=x 2(x +1)(x +2)2,∴当x >0时,F'(x )>0恒成立,故F (x )在(0,+∞)上单调递增, 又F (0)=0, ∴F (x )>0恒成立, ∴原不等式成立. (12分)。

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学业分层测评（二）弧度制和弧度制与角度制的换算(建议用时：４５分钟)[学业达标]一、选择题1。

－＼f（25π,６)的角是（)A.第一象限的角ﻩB.第二象限的角C.第三象限的角ﻩD.第四象限的角【解析】因为-＼f(25π,6)=－错误!－4π，所以－错误!与-错误!的终边相同，为第四象限的角.【答案】D２．若2 rａd的圆心角所对的弧长为４ｃm,则这个圆心角所对的扇形面积是( ) A。

４cｍ2B。

2 cm2C。

4π ｃm2ﻩＤ。

2πcm2【解析】r＝错误!=错误!=2(ｃm），S＝错误!lr＝错误!×4×2=4(ｃm2)。

【答案】 A3.圆的半径是6 cｍ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（)A.＼f(π,2） cm2B.错误! cｍ2C.π cm２ﻩD.３πcm2【解析】 1５°＝错误!，则Ｓ＝错误!|α｜r2=错误!×错误!×62＝＼f(3π，2)(cm2)。

【答案】 B4。

下列说法不正确的是( )A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B。

1°的角是周角的＼f(１,360），1弧度的角是周角的错误!C．1 rad的角比１°的角要大Ｄ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【解析】用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径无关。

课时跟踪检测（十） 系统抽样 分层抽样层级一 学业水平达标1．下列抽样是系统抽样的是________．(填序号)①从标有1～15号的15个球中，任选3个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点i 0，以后i 0＋5，i 0＋10(超过15则从1再数起)号入样；②工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔5 min 抽一件产品进行检验；③搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的人数为止；④电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相同)座位号为14的观众留下座谈． 答案：①②④2．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是________．解析：为等距抽样，即为系统抽样．答案：系统抽样3．已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样的方法(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为________．解析：分层抽样中抽样比一定相同，设样本容量为n ，由题意得，n 120＝2790，解得n ＝36. 答案：364．在学生人数比例为2∶3∶5的A ，B ，C 三所学校中，用分层抽样方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出了6名志愿者，那么n ＝________.解析：由22＋3＋5＝6n，得n ＝30. 答案：305．某企业共有3 200名职工，其中中、青、老年职工的比例为5∶3∶2.(1)若从所有职工中抽取一个容量为400的样本，应采用哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？(2)若从青年职工中抽取120人，试求所抽取的样本容量．解：(1)由于中、青、老年职工有明显的差异，采用分层抽样更合理．按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为：510×400＝200，310×400＝120，210×400＝80， 因此应抽取的中、青、老年职工分别为200人、120人、80人．(2)由题设可知青年职工共有310×3 200＝960人． 设抽取的样本容量为n ，则有n 3 200×960＝120.∴n ＝400， 因此所抽取的样本容量为400.层级二 应试能力达标1．从 2 016个编号中抽取20个入样，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为________．解析：先从2 016个个体中剔除16个，则分段间隔为2 00020＝100. 答案：1002．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下：0001,0002,0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002,0003，…，0020，第一部分随机抽取一个为0015，则抽取的第40个为________．解析：由题意系统抽样的组距为20，则15＋39×20＝795，故第40个为0795.答案：07953．某校共有2 000名学生参加跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的14.为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取________人．解析：由题意，全校参加跑步的人数占总人数的34，高三年级参加跑步的总人数为34×2000×310＝450，由分层抽样的特征，得高三年级参加跑步的学生中应抽取110×450＝45(人)． 答案：454．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是________．解析：了解学生的健康情况，男、女生抽取比例应该相同，因此应用分层抽样法．由题意，25500＝20400， ∴本题采用的抽样方法是分层抽样法．答案：分层抽样5．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度．其中执“一般”态度的比“不喜欢”的多12人．按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学，1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学．那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班学生人数的一半还多________人．解析：本班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度的人数比例为5∶1∶3，可设三种态度的人数分别是5x ，x,3x ，则3x －x ＝12，∴x ＝6.即人数分别为30,6,18.∴30－30＋6＋182＝3.故结果是3人． 答案：36．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的为m ，那么在第k 小组中抽取的个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝6，则在第7组中抽取的是________．解析：m ＋k ＝6＋7＝13，由规定知抽取的个位数字为3，第7组中的十位数字为6.所以抽取为63.答案：637．一工厂生产了某种产品16 800件，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、丙二条生产线抽取的个体数和为乙生产线抽取的个体数的两倍，则乙生产线生产了________件产品．解析：甲、乙、丙抽取的个体数为x ，y ，z ，由题意x ＋z ＝2y ，即乙占总体的13，故乙生产线生产了16 800×13＝5 600. 答案：5 6008．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：由于不小心，表格中A ，C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10.根据以上信息，可得C 产品的数量是______件．解析：设C 产品的数量为x ，则A 产品的数量为1 700－x ，C 产品的样本容量为a ，则A 产品的样本容量为10＋a ，由分层抽样的定义可知1 700－x a ＋10＝x a ＝1 300130，解得x ＝800. 答案：800 9．下面给出某村委会调查本村各户收入情况所作的抽样过程，阅读并回答问题． 本村人口：1 200人，户数：300，每户平均人口数4人；应抽户数：30户；抽样间隔：1 20030＝40； 确定随机数字：取一X 人民币，编码的后两位数为12；确定第一样本户：编码为12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，编号为52的户为第二样本户；……(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)说明抽样过程中存在哪些问题，并修改．(3)抽样过程中何处应用了简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)本题是对该村各户收入情况进行抽样而不是对该村个人收入情况抽样，故抽样间隔应为30030＝10. 其他步骤相应改为：确定随机数字：任取一X 人民币，编号的最后一位为2；确定第一样本户：编号为002的户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，编号为012号的户为第二样本户；……(3)在确定随机数字时，应用的是简单随机抽样，即任取一X 人民币，记下编号的最后一位．10．某公路某某有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n .解：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36， 抽取的工程师人数为n 36·6＝n 6， 技术员人数为n 36·12＝n 3， 技工人数为n 36·18＝n 2， 所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量n ＝6.。