和差积商的变化规律

商的变化规律的口诀三条
（1）被除数扩大（缩小）n倍，除数不变，商也相应的扩大（缩小）n倍。

（2）除数扩大（缩小）n倍，被除数不变，商相应的缩小（扩大）n 倍。

（3）被除数与除数同乘以来自或同除以一个数（零除外360问答），商不变。

扩展资料：
积的变化规律是指因数的变化所引起的积的变化。

（1）如一个因数扩大n倍，另一个因数不变，则积也扩大n倍。

（2）一个因数扩大n倍，另一个因数缩小n倍，则积不变。

除法运算肥天裂性质
（1）若某数除以(或乘)一个数，又乘(或除以)同一个数，则这个数
不变。

例如：68÷17×17=68(或68×17÷1绿钱规云歌投建以玉7=68)。

（2）一个数除以几个数的积兴得乡讲从养属得都花你，可以用这个
数依次除以积里的各个因数。

例如：320÷(2×5×8)=320÷2÷5÷8=4。

（3）几个数的积除以一个数，可以让积里的任何一致段机个因数除
以这个数，再与光其他的因数相乘。

例如：8×管苦洲视联72X4÷9=72÷9×8×4=256。

名称定义字母表示加法交换律几个数相加，任意交换加数的位置，它们的和不变。

a+b=b+a加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。

(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律几个数相乘，任意交换因数的位置，它们的积不变。

ab=ba乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变。

(ab)c=a(bc)乘法分配律☆两个数的和同第三个数相乘，可以把和里的每个加数分别同第三个数相乘，再把两个积相加，结果不变。

☆两个数的差同第三个数相乘，可以把被减数和减数分别同第三个数相乘，再把两个积相减，结果不变。

(a+b)c=ac+bc(a-b)c=ac-bc乘法分配律逆运算☆一个数分别乘以两个数，然后把所得的积相加,等于这个数乘以这两个数的和，结果不变。

☆一个数分别乘以两个数，然后把所得的积相减，等于这个数乘以这两个数的差，结果不变。

ac+bc=(a+b)cac-bc=(a-b)cac+c=(a+1)cac-c=(a-1)c减法运算的性质☆一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和，结果不变。

☆一个数减去两个数的和，等于这个数连续减去这两个数，结果不变。

a-b-c=a-(b+c)a-(b+c)=a-b-c除法运算的性质☆一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积，结果不变。

☆一个数除以两个数的积，等于这个数连续除以这两个数，结果不变。

a÷b÷c=a÷(bc)a÷(bc)=a÷b÷c运算定律和差积商的变换规律名称文字叙述字母表示和的变化规律☆若一个加数增加(或减少)一个数，另一个加数不变，则它们的和也增加(或减少)同一个数。

☆若一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，则它们的和不变若a+b=c则(a+d)+b=c+d(a-d)+b=c-d，(a+d)+(b-d)=c☆当减数不变，被减数增加(或减少)，差也若a-b=c则(a+d)-b=c+d差的变化规律增加(或减少)相同的数☆当被减数不变，减数增加(或减少)，差反而减少(或增加)相同的数☆若被减数和减数同时增加(或都减少)相同的数，差不变(a-d)-b=c-d a-(b+d)=c-da-(b-d)=c+d (a+d)-(b+d)=c (a-d)-(b-d)=c (a＞b+d)积的变化规律☆当一个因数不变，另一个因数扩大(或缩小)若干倍，它们的积也扩大(或缩小)同样的倍数☆若一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，它们的积不变若ab=c则(an)b=cn (a÷n)b=c÷n，(an)(b÷n)=c(a÷n)(bn)=c商的变化规律(整除时)☆当除数不变，被除数扩大(或缩小)，商也随着扩大(或缩小)同样的倍数☆当被除数不变，除数扩大(或缩小)，商反而缩小(或扩大)同样的倍数。

《和差积商的变化》教案。

教学目标1.使学生经历和、差、积、商变化规律的发现过程。

2.尝试用简洁的语言表达和、差、积、商的变化规律，培养学生初步的概括和表达能力。

3.初步获得探索规律的一般方法和经验，发展学生的推理能力。

教学重点理解和、差、积、商的变化规律。

教学难点运用规律解决问题。

教学准备多媒体课件。

教学过程一、兴趣导入昨天晚上，我灵光凸显，写下了一首诗。

你们想听吗？（想）听可以，但不准笑啊。

我写的诗如下：今天学习很有趣，和差积商在一起。

要问到底学什么？看看变化找规律。

没了，诗写得不好，请大家多多关照。

但是，它却告诉我们了今天的学习内容。

（多媒体展示课题：和差积商的变化）二、学习新课今天的学习当中，我们要通过例题和练习，来探讨和发现和、差、积、商的变化规律。

1 学习例一。

原有雪碧37箱，可乐26箱，所以原来两种饮料共有：37+2663箱；又运来可乐12箱，现在共有可乐38箱，那么，两种饮料共有：37+38=75箱。

本例题对于计算的方法学生都不陌生，关键在于如何引导学生得出结论：1一个加数加或减几，另一个加数不变，和也加或减相同的数；2一个加数加或减几，另一个加数反而减或加相同的数，和不变。

（交流讨论，举一反三，完成练一练1。

）2 学习例二。

去年的花费为：去年成语词典的价格+英语字典的价格：68+32=100元；今年的花费为：今年成语字典的价格+英语字典的价格：56+44=100元。

今年和去年相比花费不变。

本例题中，要结合学生情况让学生理解和不变的规律：一个加数增加多少，另一个加数减少多少，和不变。

（交流讨论，举一反三，完成练一练2。

）3 学习例三。

根据题意得：单价x数量=总价。

优优花了：12x2=24元；培培花了：36x2=72元。

在例题的讲解中，通过分析要让学生理解：1一个因数扩大，另一个因数不变，积也跟着扩大；2一个因数扩大，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。

（交流讨论，老师从旁指导，完成练一练3。

四则运算的变化规则一、加法的变化规则(1)加法公式：加数+ 加数= 和加数= 和—另一个加数(2)加法的变化规则有：（一）如果一个加数增加几，另一个加数不变，那么和也增加几。

例如：13+5=18（13+2）+5=18+2题型1小丽在做一道加法题，一个加数十位上的4看作了7，个位上的5看作了2，算得的和是87。

正确的和是多少？一个加数十位4——7，个位5——2 增加 72-45=27另一个加数不变正确的和增加27即正确的和+27=87 => 正确的和=87-27=60（二）如果一个加数减少几，另一个加数不变，那么和也减少几。

例如：28+16=44（28-12）+16=44-12题型1小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1，把个位上的8错写成0，所得的和是285。

正确的和是多少？一个加数十位7——1，个位8——0 减少 78-10=68另一个加数不变正确的和减少68即正确的和-68=285 => 正确的和=285+68=353题型2两个数相加，一个加数减少29，另一个加数不变，和将有什么变化？一个加数减少29另一个加数不变和减少29题型3两个数相加，和是100，一个加数减少48，另一个加数不变，现在和是多少？一个加数减少48另一个加数不变和减少48即现在的和=100-48=52（三）如果一个加数增加几，另一个加数减少同样的几，那么和不变。

例如：112+23=135（112+3）+（23-3）=135题型1：两个加数的和是378，其中一个加数增加245，另一个加数减少245，现在这两个加数的和是（378 ）。

题型2：一个加数增加6，要使和保持不变，另一个加数应（减少6 ）。

（四）如果一个加数增加几，另一个加数增加另一个几，那么和增加了（几+另一个几）。

例如：35+48=83（35+12）+（48+5）=83+（12+5）题型1：小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是532。

四年级上册数学思维拓展题：和差积商变化规律和的变化规律：如果一个加数增加（或减少）一个数（不为0），另一个加数不变，则它们的和也增加（或减少）同一个数。

如果一个加数增加一个数（不为0）,另一个加数减少同一个数，和不变。

差的变化规律：如果一个被减数增加（或减少）一个数（不为0），减数不变，则差增加（或减少）同一个数。

如果一个被减数和减数同时增加（或减少）一个数（不为0），差不变。

如果被减数不变，一个减数增加（或减少）一个数（不为0），差也减少（或增加）同一个数。

积的变化规律：1．一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，积也扩大（或缩小）相同的倍数。

2．一个因数扩大（或缩小）若干倍，而另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，它们的积不变。

3．一个因数乘以（或除以）a，另一个因数乘以（或除以）b，积就乘以（或除以）ab的积。

商的变化规律：1．被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，商也扩大（或缩小）同样的倍数。

2．被除数不变，除数扩大（或缩小）若干倍，商反而缩小（或扩大）相同的倍数。

3．被除数乘以a，除数除以b，商就乘以ab的积。

4．被除数除以a，除数乘以b，商就除以ab的积。

参考答案：1、两个数相加，如果一个加数减少9，要使和增加9，另一个加数应该有什么变化？解题思路：一个加数减少9，假设另一个加数不变，和就减少了9；题目要求和增加9，所以另一个加数应该增加9+9=18。

2、两个数相减，如果被减数减少10，减数也减少10，差是否有变化？解题思路：被减数减少10，假设减数不变，差就减少10；假设被减数不变，减数减少10，和就增加10；差先减少10，再增加10，所以无变化。

3、被减数、减数、差相加得2076，差是减数的一半。

如果被减数不变，差增加42，减数应该变成多少？解题思路：减数与差的和即是被减数，2076里有2个被减数，被减数等于2076÷2=1038。

差是减数的一半，也就是说减数是差的2倍，差应该为1038÷（2+1）=346，减数为346×2=692。

四则运算的变化规则一、加法的变化规则(1)加法公式：加数+ 加数= 和加数= 和—另一个加数(2)加法的变化规则有：（一）如果一个加数增加几，另一个加数不变，那么和也增加几。

例如：13+5=18（13+2）+5=18+2题型1小丽在做一道加法题，一个加数十位上的4看作了7，个位上的5看作了2，算得的和是87。

正确的和是多少？一个加数十位4——7，个位5——2 增加 72-45=27另一个加数不变正确的和增加27即正确的和+27=87 => 正确的和=87-27=60（二）如果一个加数减少几，另一个加数不变，那么和也减少几。

例如：28+16=44（28-12）+16=44-12题型1小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1，把个位上的8错写成0，所得的和是285。

正确的和是多少？一个加数十位7——1，个位8——0 减少 78-10=68另一个加数不变正确的和减少68即正确的和-68=285 => 正确的和=285+68=353题型2两个数相加，一个加数减少29，另一个加数不变，和将有什么变化？一个加数减少29另一个加数不变和减少29题型3两个数相加，和是100，一个加数减少48，另一个加数不变，现在和是多少？一个加数减少48另一个加数不变和减少48即现在的和=100-48=52（三）如果一个加数增加几，另一个加数减少同样的几，那么和不变。

例如：112+23=135（112+3）+（23-3）=135题型1：两个加数的和是378，其中一个加数增加245，另一个加数减少245，现在这两个加数的和是（378 ）。

题型2：一个加数增加6，要使和保持不变，另一个加数应（减少6 ）。

（四）如果一个加数增加几，另一个加数增加另一个几，那么和增加了（几+另一个几）。

例如：35+48=83（35+12）+（48+5）=83+（12+5）题型1：小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是532。

积商的变化规律巧记
积商的变化规律可以巧记为三个关键词——递增、递减、波动。

1. 递增：当两个数相乘，且因子中有一个逐渐增大，那么积商就呈递增的趋势，即积商越来越大。

可以用“增”字来记忆。

2. 递减：当两个数相乘，且因子中有一个逐渐减小，那么积商就呈递减的趋势，即积商越来越小。

可以用“减”字来记忆。

3. 波动：当两个数相乘，且因子中有一个在增加和减小之间交替变化，那么积商就会波动，既可能增大也可能减小，没有明显的趋势。

可以用“波”字来记忆。

通过记忆这三个关键词，即递增、递减和波动，我们可以快速回忆积商的变化规律，使记忆更加巧妙。

四年级上册平时作业（积、商的变化规律）一、识记积的变化规律1、一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。

2、一个因数扩大（或缩小）几倍，另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，积不变。

3、如果两个因数同时扩大（或缩小）几倍，积也同时扩大（或缩小）它们扩大（或缩小）的乘积倍。

商的变化规律1、除数不变，被除数扩大（或缩小）几倍，商也扩大（或缩小）相同的倍数。

2、被除数不变，除数扩大（或缩小）几倍，商就缩小（或扩大）相同的倍数。

3、被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变，余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数。

二、填一填。

1、两数相乘的积是300，一个因数不变，另一个因数乘2，这时积应（）。

2、两数相乘的积是4500，如果一个因数除以100，另一个因数不变，积是（）。

3、两个因数的积是322，其中一个因数是23，如果把它改成2300，另一个因数不变，这时积是（）。

4、一个因数不变，另一个因数乘9，积就（）。

如果一个因数乘8，另个因数除以8，积（）。

5、在除法算式600÷30=20中如果被除数除以10，要使商仍然是20，除数应（），是（）。

如果被除数乘2，除数不变，商是（）。

如果被除数不变，除数乘2，商应（）。

6、两数相除商是400，如果被除数和除数同时乘5，商应是（）。

7、在除法算式56÷5=11……1中，如果被除数和除数同时扩大100，商是（），余数是（）。

8、A数是B数的25倍，则A数除以B数的商是（）。

如果B数缩小5倍，要使商不变，则A数应（）。

9、一个乘法算式的积是182，如果两个因数都同时扩大了10倍，积应（）。

是（）。

10、一个数是25相乘的积是1500，如果这个数扩大10倍，积变成（）。

如果这个数缩小100倍，积应（）。

11、两个数相除的商是24，如果被除数和除数同时缩小2倍，现在的商是（）。

12、480÷80=6中，480扩大10倍，80缩小10倍，商是（）。

运算定律和性质1、加法运算定律交换律：连加法中，交换两个加法的位置，它们的和不变。

例如：96+4=4+96用字母表示：a + b=b + a同时也适用几个数相加的情况。

例如：28+75+25=25+75+28用字母表示：a + b + c=c + b+ a结合律：几个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。

例如：（25+8）+32=25+（8+32）用字母表示：(a + b)+c=(a + c)+b如果先交换，再结合，可得：a +b + c=( a +c )+ba +b +c + d=( a +d )+( b + c)2、乘法运算定律交换律：在乘法中，交换两个因数的位置，它们的积不变。

例如：12×23=23×12用字母表示：a×b=b×a同时也适用几个数相乘的情况。

例如：12×25×4=4×25×12用字母表示：a×b×c=c×a×b结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。

例如：25×34×4=(25×4)×34用字母表示：a×b×c=a×(b×c)如先交换，后结合，可得a×b×c=(a×c) ×b同时也适用几个数相乘的情况。

例如：25×5×4×2=(25×4) ×(2×5)用字母表示：a×b×c×d=(a×d) ×(b×c)分配律：两个数的和或者两个数的差与一个数相乘可以用这个数分别去乘两个数，再把两个积相加或相减。

例如：（25+16）×4=25×4+16×4（25-16）×4=25×4-16×4用字母表示：（a + b）×c=a×c + b×c(a – b)×c=a×c - b×c3、加减混合运算性质(1)在加减混合运算中，改变运算顺序，结果不变。