积、商的变化规律整理复习

积的变化规律有三条：
1、一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）多少倍，积也扩
大（或缩小）相同的倍数。

2、一个因数扩大(或缩小)多少倍，而另一个因数缩小(或扩大)相
同的倍数，它们的积不变。

3、一个因数乘以(或除以）a，另一个因数乘以(或除以）b，积
就乘以（或除以）ab的积。

商的变化规律有三条：
1、被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（0除外），
商不变。

2、被除数不变，除数扩大多少倍，商反而缩小相同的倍数。

除数缩小多少倍，商反而扩大相同的倍数。

3、除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大相同的倍数。

被除数
缩小多少倍，商缩小相同的倍数。

必考题：
1、三位数除以两位数的算式口73-58，如果商是两位数，那么
口
里最小填（6），如果商是一位数，口里可以有（5）种不同的填法。

2、一辆汽车8小时行驶了500千米，照这样计算，这辆汽车40小时能行驶（2500）千米。

四年级。

积和商的变化规律第1讲：计算与规律本讲的研究目标是掌握乘法和除法的变化规律，以及快速确定积和商的位数。

一、积的变化规律1.两个数相乘，如果一个因数扩大或缩小若干倍（除非为0），那么积也会扩大或缩小相同的倍数。

2.两个数相乘，如果一个因数乘（或除以）一个数（除非为0），而另一个因数同时乘（或除以）相同的数，它们的积不变。

判断题：1.两个非零因数相乘，一个因数乘2，另一个因数除以2，积不变。

（错误）2.如果让“480×52”的第一因数除以5，第二个因数不变，则积不变。

（正确）3.两个非零数相乘，把这两个数同时扩大到它们原来的10倍，积不变。

（正确）4.在一个乘法算式中，要使积不变，一个乘数扩大10倍，另一个乘数扩大到原来的100倍。

（正确）5.几个数相乘，改变它们原来的运算顺序，它们的积不变。

（正确）6.两个非零数相乘，一个乘数扩大10倍，另一个乘数缩小5倍，积扩大到原来的50倍。

7.两个非零数相乘，一个乘数扩大3倍，另一个乘数缩小12倍，积缩小到原来的1/4.二、商的变化规律1.如果没有余数，则在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（除非为0），商反而要除以（或乘以）相同的数。

除数不变，被除数乘以（或除以）几（除非为0），商也要乘以（或除以）相同的数。

2.如果有余数，则在有余数的除法中，被除数和除数都缩小（或都扩大）相同的倍数（除非为0），商不变，但余数也随着缩小（或扩大）相同的倍数。

举例：已知A÷B=30，如果A除以6，B不变，则商是5.判断题：1.320÷40的结果与算式（320×5）÷（40×2）的结果相等。

（正确）2.如果a÷b=8······5，如果a和b都乘100，那么商是800，余数是500.（错误）1.两个数相乘，一个因数扩大3倍，另一个因数扩大4倍，那么积会扩大12倍。

第1讲计算与规律1. 掌握乘法中积的位数快速确定方法和积的变化规律；2. 掌握除法中商的位数快速确定方法和商的变化规律。

一. 积的变化规律1. 积的变化规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍（0除外），积也扩大或缩小相同的倍数。

2. 积不变的规律：两个数相乘，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数同时乘（或除以）相同的数，它们的积不变。

判断对错两个因数（均不为0)相乘，一个因数乘2，另一个因数除以2，积不变。

（）1.如果让“48052⨯”的第一因数除以5，第二个因数不变，则积()A．不变B．乘以5 C．除以52.两个数相乘（非零数），把这两个数同时扩大到它们原来的10倍，积()A．不变B．扩大到原来的100倍C．不确定D．扩大到原来的10倍3.在一个乘法算式中，要使积不变，一个乘数扩大10倍，另一个乘数()A．扩大10倍B．缩小10倍C．扩大100倍D．不变4.在1508012000⨯=中，其中一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小10倍，积不变。

（判断对错）5.几个数相乘，改变它们原来的运算顺序，它们的积不变。

（判断对错）6. 两个数相乘（非零数），一个乘数扩大10倍，另一个乘数缩小5倍，积（）7. 两个数相乘（非零数），一个乘数扩大3倍，另一个乘数缩小12倍，积（）二．商的变化规律1. 没有余数（1）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）相同的数。

（2）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘以（或除以）相同的数。

简便记法：商与除数的变化方向相反，商与被除数的变化相同。

2. 有余数有余数的除法里，被除数和除数都缩小（或都扩大）相同的倍数(0除外），商不变，但余数也随着缩小（或扩大）相同的倍数。

已知30÷=，如果A除以6，B不变，则商是；如果A不变，B乘6，则A B商是。

1. 32040÷的结果与算式()的结果相等。

积和商不变规律和变化规律积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积就相应的乘或除以几。

积不变规律：一个因数乘或除以几，另一个因数相应的除以或乘几，积不变。

商的变化规律：被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。

除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。

商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。

1、根据78×12＝936，填写下面各题的结果。

7.8×12＝（） 0.78×12＝（） 7.8×0.12＝（） 0.78×（）＝936 2、根据414÷18＝23，填写下面各题的结果。

4.14÷1.8＝（） 4140÷1.8＝（） 0.414÷0.18＝（） 41.4÷18＝（）3、根据45×63＝2835，填写下面各题的结果。

4.5×0.63＝（） 45×（）＝283.5 0.45×0.063＝（） 450×（）＝28.3510、两个因数的积是0.5，如果一个因数扩大10倍，另一个因数扩大100倍，积应该是（）。

11、两数相除，商是7.6，被除数扩大10倍，除数缩小到原数的1/100，商应该是（）。

12、26.87扩大到它的( )倍得到26870,再缩小到它的( )得268.7。

13、甲乙两数的和是418，甲数的小数点向右移到一位后就等于乙数，甲数是（），乙数是（）。

14、1000张纸叠起来厚9.2厘米,平均每张纸厚( )厘米,一厘米约有( )张纸.15、一吨海水含盐0.03吨,10吨海水含盐( )吨,1000吨海水含盐( )吨.16、由45到0.045缩小到原数的( ). 17、由0.08到80,扩大到原数的( ).17、两个数相除，除数缩小到原数的1/4，商就（）。

18、把一根粗细均匀的木头锯成两段用了0.24小时，如果把它锯成8段一共用（）小时。

积和商的“变与不变”规律㈠、积的变化规律：⑴、一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积就相应的乘（或除以）几。

字母表示：如果a×b=c ，则(a×3)×b=c×3举例：a×b=12 如果(a×3)则积就是12×3=36.⑵、一个数乘一个比1大的数，积比原数大；⑶、一个数乘一个比1小的数，积比原数小。

㈡、积不变规律：一个因数乘（或除以）几，另一个因数相应的除以(或乘)几，积不变。

字母表示：如果a×b=c 则（a×5）×（b÷5）=c㈢、商的变化规律：⑴被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。

字母表示：如果a÷b=c ，则a÷（b×3）=c÷3举例：a÷b=12 如果(b×3)则商就是12÷3=4⑵除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。

字母表示：如果a÷b=c ，则(a×3)÷b=c×3举例：a÷b=12 如果(a×3)则商就是12×3=36.被除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。

㈣、商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。

[问题一]两数相乘，如果一个因数乘3，另一个因数除以12，积将有什么变化？想：如果一个因数扩大3倍，另一个因数不变，积将扩大3倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小12倍，积将缩小12倍。

积扩大3倍又缩小12倍，因此，积缩小了12÷3=4倍。

解：12÷3=4答：积缩小了4倍。

[试一试]1、两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积是否起变化？２、两数相乘，积是36，如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？3、两数相乘，积是72如果一个因数扩大4倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？[问题二]两个数相除，被除数扩大30倍，除数缩小6倍，商将怎样变化？想：如果被除数扩大30倍，除数不变，商将扩大30倍；如果被除数不变，除数缩小6倍，商将扩大6倍；商先扩大30倍，又扩大6倍，商将扩大30×6=180倍。

积和商“变与不变”规律㈠、积的变化规律：⑴、一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积就相应的乘（或除以）几。

字母表示：如果a×b=c ，则(a×3)×b=c×3举例：a×b=12 如果(a×3)则积就是12×3=36.⑵、一个数乘一个比1大的数，积比原数大；⑶、一个数乘一个比1小的数，积比原数小。

㈡、积不变规律：一个因数乘（或除以）几，另一个因数相应的除以(或乘)几，积不变。

字母表示：如果a×b=c 则（a×5）×（b÷5）=c㈢、商的变化规律：⑴被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。

字母表示：如果a÷b=c ，则a÷（b×3）=c÷3本文档下载后根据实际情况可编辑修改使用举例：a÷b=12 如果(b×3)则商就是12÷3=4⑵除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。

字母表示：如果a÷b=c ，则(a×3)÷b=c×3举例：a÷b=12 如果(a×3)则商就是12×3=36.被除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。

㈣、商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。

1、根据78×12＝936，填写下面各题的结果。

7.8×12＝（） 0.78×12＝（） 7.8×0.12＝（） 0.78×（）＝936本文档下载后根据实际情况可编辑修改使用2、根据414÷18＝23，填写下面各题的结果。

4.14÷1.8＝（） 4140÷1.8＝（） 0.414÷0.18＝（） 41.4÷18＝（）3、根据45×63＝2835，填写下面各题的结果。

商不变和积不变的规律积的变化规律有三条：1.一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）多少倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。

2.一个因数扩大（或缩小）多少倍，而另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，它们的积不变。

3.一个因数乘以（或除以）a，另一个因数乘以（或除以）b，积就乘以（或除以）ab的积。

积不变的规律在乘法中：一个乘数扩大多少倍，另一个乘数缩小相同的倍数，积不变。

例如：2.3×5=23×0.5商的变化规律有三条：1.被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（0除外），商不变。

2.被除数不变，除数扩大多少倍，商反而缩小相同的倍数。

除数缩小多少倍，商反而扩大相同的倍数。

3.除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大相同的倍数。

被除数缩小多少倍，商缩小相同的倍数。

商不变的规律在除法中：被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数（0除外），商不变。

例如：1.8÷0.3=18÷3例题1：根据32×16=512，直接写出下面各式的积。

320×160=（）320×1600=（）32×160=（）1600×160=（）16×8=（）0.32×16=（）答案：320×160=（51200 ）解析：两个因数同时扩大10倍，积扩大10×10=100倍。

320×1600=（512000 ）解析：积扩大10×100=1000倍。

32×160=（ 5120 ）解析：积扩大10倍。

1600×160=（ 256000 ）解析：32扩大50倍，16扩大10倍，积扩大50×10=500倍。

16×8=（ 128）解析：32缩小2倍，16缩小2倍，积缩小2×2=4倍。

0.32×16=（ 5.12 ）解析：32缩小100倍，积缩小100倍。

积的变化规律(一)如果一个因数扩大m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大m倍．(二)如果一个因数缩小m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也缩小m倍．(三)如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩小相同的倍数，那么它们的积不变(四)如果一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n倍，那么，它们的积扩大(m×n)倍．(五)如果一个因数缩小m倍，另一个因数缩小n倍，那么，它们的积就缩小(m ×n)倍(六)如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩小n倍，那么，当m＞n时它们的积扩大(m÷n)倍，当m＜n时，它们的积就缩小(n÷m)倍．商的变化规律(一)如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，那么，它们的商不变．(二)如果被除数扩大(或缩小)m倍，除数不变，那么，它们的商就扩大(或缩小)m 倍(三)如果除数扩大或缩小m倍，被除数不变，那么，它们的商反而缩小或扩大m 倍．(四)如果被除数扩大m倍，除数缩小n倍，那么，它们的商就扩大(m×n)倍(五)如果被除数缩小m倍，除数扩大n倍，那么，它们的商就缩小(m×n)倍．(六))如果被除数扩大m倍，除数扩大n倍，当m＞n时，它们的商就扩大(m÷n)倍，当m＜n时，它们的商就缩小(n÷m)倍．(七))如果被除数缩小m倍，除数缩小n倍，当m＞n时，它们的商就缩小(m÷n)倍，当m＜n时，它们的商就扩大(n÷m)倍．试一试]1、两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积是否起变化？２、两数相乘，积是36，如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？3、两数相乘，积是72如果一个因数扩大4倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？4、两个数相除，被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？5、小明在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是500，正确的商应该是多少？6、小冬在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是70，正确的商应该是多少？判断：①210÷30=（210×15）÷（30×15）……………………（）②48÷12=（48×3）÷（12×4）…………………………（）③60÷12=（60 ÷3）÷（12×3）…………………………（）④63÷7=（63÷10）÷（7÷10）……………………（）⑤被除数不变，如果除数除以3，商也会除以3。

和、差、积、商的变化规律1、和的变化规律（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。

用字母表示：a+b= c→(a+m)+b=c+m或(a-m)+b=c-m(2)如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。

用字母表示：a+b=c→(a+m)+(b-m)=c2、差的变化规律（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么它们的差也增加（或减少）一个数。

用字母表示：a-b= c→（a+ m）- b= c+ m或a- b= c→（a- m）- b = c- m（2）如果被减数不变，减数增加（或减少）一个数，那么它们差反而减少（或增加）同一个数。

用字母表示：a- b= c→a-（b+ m）= c- m或a-（b- m）= c+ m（3）如果被减数和减数都增加（或减少）同一个数，那么它们的差不变。

用字母表示：a- b= c→（a+ m）-（b+ m）= c或（a- m）-（b- m）= c3、积的变化规律（1）一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，积不变。

用字母表示：a×b=c→（a×m）×（b÷m）=c或（a÷m）×（b×m）=c（2）一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，积也扩大（或缩小）相同的倍数。

用字母表示：a×b=c→（a×m）×b=c×m或（a÷m）×b=c÷m4、商的变化规律（1）商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

用字母表示：a÷b=c→（a×m）÷（b×m）=c或（a÷m）÷（b÷m）=c（2）除数不变，被除数扩大（或缩小）若干倍，商也扩大（或缩小）相同的倍数。

积和商的“变与不变”规律㈠、积的变化规律:⑴、一个因数不变,另一个因数乘(或除以）几，积就相应的乘(或除以)几。

字母表示：如果a×b=c,则（a×3)×b=c×3举例:a×b＝12 如果(a×3)则积就是１２×3=３６.⑵、一个数乘一个比１大的数，积比原数大；⑶、一个数乘一个比1小的数,积比原数小。

㈡、积不变规律：一个因数乘（或除以)几，另一个因数相应的除以(或乘)几，积不变。

字母表示:如果a×ｂ=c 则(a×5)×(b÷5)=c㈢、商的变化规律：⑴被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。

字母表示：如果a÷ｂ=ｃ,则a÷（b×3)＝c÷3举例：a÷b=12 如果(b×3)则商就是１2÷３=４⑵除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。

字母表示:如果ａ÷ｂ=c ,则（ａ×3)÷b=c×3举例：a÷ｂ=12 如果(a×3）则商就是12×3=36.被除数大于除数,商就大于1；被除数小于除数,商就小于1．一个数除以一个比１大的数,商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。

㈣、商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。

［问题一]两数相乘,如果一个因数乘3,另一个因数除以１２,积将有什么变化？想：如果一个因数扩大３倍,另一个因数不变，积将扩大３倍;如果一个因数不变，另一个因数缩小12倍，积将缩小12倍。

积扩大3倍又缩小1２倍,因此，积缩小了12÷3＝4倍。

解:12÷3=４答：积缩小了4倍。

[试一试］1、两数相乘,如果一个因数缩小５倍，另一个因数扩大5倍，积是否起变化？２、两数相乘，积是3６,如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍,那么积是多少？3、两数相乘，积是72如果一个因数扩大4倍,另一个因数缩小３倍,那么积是多少?[问题二]两个数相除，被除数扩大3０倍，除数缩小６倍，商将怎样变化?想:如果被除数扩大3０倍，除数不变,商将扩大30倍；如果被除数不变，除数缩小6倍,商将扩大6倍;商先扩大30倍,又扩大6倍,商将扩大30×6=180倍。

积商的变化规律 Prepared on 22 November 2020五年级上积商的变化规律一、积的变化规律1、两个因数，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积就扩大（或缩小）相同的倍数。

（0除外）。

2、两个因数同时扩大（或缩小）几倍（0除外）积就扩大（或缩小）它们的乘积倍。

3、两个因数，一个扩大几倍，另一个缩小相同的倍数，（0除外）积不变。

4、两个因数，一个扩大，另一个缩小，（倍数不相同，0除外），积扩大（或缩小它们的商倍）例1：给出乘法算式：×= 根据算式写出得数方法：1× =缩小10倍不变缩小10倍方法：2根据预算定律×=可知13×48=624；所以×的积里面应有3位小数，因此是二、商的变化规律1、被除数不变，除数扩大（或缩小几倍），商就缩小（或扩大）几倍。

（注意商和除数的变化是相反的。

）（0除外）2、除数不变，被除数扩大（或缩小）几倍，商就扩大（或缩小）相同的倍数）（注意商和被除数的变化是相同的。

）（0除外）3、被除数和除数同时扩大扩缩小相同的倍数（0除外）商不变。

4、被除数扩大，除数缩小，商就扩大乘积倍。

5、被除数缩小，除数扩大，商就缩小乘积倍。

6、被除数、除数同时扩大或缩小不相同的倍数（0除外），商就变化它们的商倍注意：4---6的规律不用硬背，只是前两个规律的分步应用。

例2：给出除法算式：÷= 根据算式写出得数方法：1624 ÷ = 1300扩大100倍缩小10倍商扩大100倍商扩大10倍扩大100×10倍方法2：可利用除法算式，13000 . 48 ）624 48）62400移动小数点变成将商的最高位写上，其余数字同上面的商相同，数位不足的用0占位。

相应的练习1、根据35×49=1715，在下面的（）填上合适的数。

=（）×（）=（）×（）=（）×（）=（）×（）2、两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积是否起变化3、两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积会有什么变化4、两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商怎样变化5、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商会怎样变化6、小科在计算除法时，把除数末尾的0漏写了，结果得到的商是70，正确的商应该是多少7、芳芳在计算乘法时，把一个因数末尾多写了1个0，结果得到800，正确的积是应该是多少8、两数相除，商是8，余数是10，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少余数是多少9、两数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少一、 填表二、根据第一题的答案填空1、160×40=64002、 160÷32=53、如果A ÷B=500 （ ）×40=640 （ ）÷8=5 （A ×2）÷B=( ) 160×（ ）=64000 80÷（ ）=5 A ÷(B ×5)=( ) 80×（ ）=1600 （ ）÷96=5 (A ÷10)÷B=( ) （ ）×80=6400 320÷（ ）=5 A ÷(B ÷2)=( ) （ ）×200=64000 （ ）÷3200=53、如果甲数乘以乙数是240，4、如果A ×B=800，（1）甲数不变，乙数乘以4，积是 。

积、商的变化规律知识要点1、积的变化规律（1）一个因数不变，另一个因数扩大（缩小）到原数的a倍，积就扩大（缩小）到原数的a 倍。

（2）一个因数扩大（缩小）到原数的a倍，另一个因数缩小（扩大）到原数的a倍，积不变。

（3）一个因数扩大（缩小）到原数的a倍，另一个因数扩大（缩小）到原数的b倍，积就扩大到原数的a×b倍。

扩展：一个因数扩大到原数的a倍，另一个因数缩小到原数的b倍，当a＞b时，积就扩大a ÷b倍；当a＜b时，积就缩小到原数的b÷a倍。

2、商的变化规律：（1）被除数和除数同时扩大（缩小）到原数的a倍，商不变。

（2）被除数和商同时扩大（缩小）到原数的a倍，除数不变。

（3）除数扩大（缩小）到原数的a倍，商缩小（扩大）到原数的a倍，被除数不变。

扩展：被除数扩大到原数的a倍，除数缩小到原数的b倍，商就扩大到原数的a×b倍。

被除数缩小到原数的a倍，除数扩大到原数的b倍，商就缩小到原数的a×b倍。

3、周长与面积公式（1）长方形：周长＝（长＋宽）×2 面积＝长×宽（2）正方形：周长＝边长×4 面积＝边长×边长经典例题【例1】根据已知算式，直接写出下面各题的得数。

105×45=4725 18×24=432（105÷5）×（45×5）= （18×3）×（24×2）=（105×2）×（45÷6）= （18×6）×（24÷2）=【练习1】24×75＝1800 36×104＝3744（24○6）×（75×6）＝1800 （36×4）×（104○4）＝3744 （24○3）×（75○□）＝1800 （36○□）×（104○□）＝374415×24=36015×72=（）60×12=（）5×72=（）30×6=（）15×（24×）=3600 15×（24÷10）=（）【例2】（1）18 ÷6=3 （2）4800÷10=480 （18×2）÷（6×2）= （4800 ÷2）÷（10 ÷2）= （18×3）÷（6÷3）= （4800÷10）÷（10×2）=（1）24÷8＝（24×2）÷（8×）（2）360÷60=（360÷10）÷（10）（3）96÷6＝（）÷（）【例3】1、两个因数的积是100，把其中一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数不变，积是（）2、两个因数的积是100，把其中一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数也扩大到原来的3倍，积是（）3、两数相除,被除数扩大3倍,除数缩小6倍,商( )4、小明在计算除法时，把除数末尾的0漏写了，结果得到的商是500，正确的商是（）5、两个因数的积是100，把其中一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数也缩小到原来的3倍，积是（）6、一个因数不变，把其中另一个因数扩大到原来的3倍，积是90，原来两个因数的积是（）【练习3】1、一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数也扩大到原来的3倍，积是90，原来两个因数的积是（）2、610×5＝3050，把610缩小3倍，把5扩大倍15倍，那么积是（）。

积和商不变规律和变化规律积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积就相应的乘或除以几。

积不变规律：一个因数乘或除以几，另一个因数相应的除以或乘几，积不变。

一个数乘一个比1大的数，积比原数大；一个数乘一个比1小的数，积比原数小。

商的变化规律：被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。

除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。

商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。

被 除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。

1、根据78×12＝936，填写下面各题的结果。

7.8×12＝（ ） 0.78×12＝（ ） 7.8×0.12＝（ ） 0.78×（ ）＝9362、根据414÷18＝23，填写下面各题的结果。

4.14÷1.8＝（ ） 4140÷1.8＝（ ） 0.414÷0.18＝（ ） 41.4÷18＝（ ）、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。

在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。

管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。

线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。

、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。

积的变化规律和商的变化规律以积的变化规律和商的变化规律为标题，本文将从数学的角度讨论积和商的变化规律，并探讨其应用领域。

一、积的变化规律积是指两个或多个数相乘的结果。

在数学中，我们经常遇到各种形式的乘法运算，而积的变化规律是乘法运算的核心。

1.1 正数的乘积当两个正数相乘时，积的结果也是正数。

这是因为正数表示具有一定数量的物体或数值，相乘后得到的仍然是正数的数量。

1.2 负数的乘积当一个正数与一个负数相乘时，积的结果为负数。

这是因为正数表示具有一定数量的物体或数值，而负数表示缺少一定数量的物体或数值，相乘后得到的是缺少的数量，所以结果为负数。

1.3 零的乘积任何数与零相乘，积的结果都为零。

这是因为零表示没有物体或数值，与任何数相乘都得到没有的数量。

1.4 小数的乘积当两个小数相乘时，积的结果为更小的数。

这是因为小数表示比1小的数值，相乘后得到更小的数值。

1.5 科学计数法的乘积科学计数法是一种表示大数或小数的方法，它将一个数表示为一个数值与10的幂的乘积。

当两个科学计数法相乘时，可以将指数相加，乘积的结果也是科学计数法形式的数。

二、商的变化规律商是指一个数除以另一个数的结果。

在数学中，商的变化规律是除法运算的核心。

2.1 正数的商当一个正数被另一个正数除时，商的结果为正数。

这是因为正数表示具有一定数量的物体或数值，被除数表示要将这一定数量的物体或数值平均分给除数，所以商的结果仍然为正数。

2.2 负数的商当一个负数被一个正数除时，商的结果为负数。

这是因为负数表示缺少一定数量的物体或数值，被除数表示要将这缺少的数量的物体或数值平均分给除数，所以商的结果为缺少的数量，即负数。

2.3 零的商任何数除以零是没有意义的，因为零表示没有物体或数值，不能将某一数量平均分给零个单位。

2.4 小数的商当一个小数被一个大于1的数除时，商的结果为更小的数。

这是因为小数表示比1小的数值，被除数表示要将这一小部分的数量平均分给除数，所以商的结果更小。

这是一篇关于积和商变化规律的复习的数学教案，适用于四年级上册学生。

一、知识概述在四年级上册数学学习中，我们已经学习了有关数的四则运算、加减乘除的计算法则等内容，现在我们将开始学习积和商变化规律。

积和商变化规律是指，当两个数相加或相乘时，其中一个数改变，另一个数也会相应改变，而商式的变化则是因为分子和分母同时乘以或除以同一个数而引起的。

二、具体学习内容1. 积的变化规律（1）倍数关系如果一个数乘以2，乘积就会增大一倍，即原来的积乘以2。

反之，如果被乘数除以2，乘积就会减小一倍，即原来的积除以2。

例如，2×5=10，5×2=10，10÷2=5，10÷5=2。

（2）连乘关系如果两个数中有一个变成原来的m倍，积就会变成原来的m倍的n倍，即原来的积乘以m的n次方。

例如，2×3=6，如果2变成原来的3倍，新的积就是3的1次方乘以6，即3×6=18。

2.和的变化规律和的变化规律和积的变化规律有相似之处，也是通过倍数和连加来考虑。

（1）倍数关系如果一个数加上一个数，和数就会增加相应的数。

反之，如果被加数减去一个数，和数就会减去相应的数。

例如，5+3=8，3+5=8，8-3=5，8-5=3。

（2）连加关系如果两个数中有一个变成原来的m倍，和就会变成一定的数加上原来的和，即新和等于原和加上这一定的数。

例如，2+1=3，如果2变成原来的3倍，新的和就是一定的1加上原来的和，即1+3=4。

3.商的变化规律（1）乘积关系分子除以分母就是商，如果分子和分母都乘以k，商就会变成原来的k倍的k分之一。

例如，10÷5=2，如果分子和分母都乘以2，新的商就是原来的2倍的2分之1，即4÷2=2。

（2）约分关系通常，在计算分数时，我们需要对结果进行约分。

如果分子和分母都能被同一个数整除，就可以约分。

例如，10÷4=2.5，如果分子和分母都能被2整除，就可以约分，结果就是5÷2=2.5。