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第23课时 直线的两点式方程直线的两点式方程A ．2 B ．－3 C ．－27 D ．27 答案 D解析 由两点式得直线方程为y －65－6＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0．令y ＝0，得x ＝27．2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是( ) A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－6 答案 C解析 由两点式方程，得 直线MN 的方程为y －－4－－＝x －2－3－2，化简，得x ＋y －1＝0． 又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m －1＝0，解得m ＝－2．直线的截距式方程A ．x 2－y 3＝1 B ．x 2＋y3＝1 C ．y 3－x 2＝1 D ．x 2＋y3＝0 答案 A解析 根据截距式方程x a ＋yb＝1，(其中a ，b 分别为x 轴和y 轴上的截距)得所求直线方程为x 2＋y －3＝1，即x 2－y3＝1，选A ．4．过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．x 6＋y 12＝1 B ．x 6＋y 12＝1或y ＝25x C ．x －y 2＝1 D ．x －y 2＝1或y ＝25x答案 B解析 当直线过原点时满足题意，所求方程为y ＝25x ；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y 2a ＝1，由该直线过点(5，2)，解得a ＝6，对应的方程为x 6＋y12＝1．故选B ．直线方程的应用形各边所在的直线方程．解 由题意可知A(－4，0)，C(4，0)，B(0，－3)，D(0，3)，由截距式方程可知直线AB 的方程为x －4＋y－3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0．同理可得直线BC 的方程为3x －4y －12＝0， 直线CD 的方程为3x ＋4y －12＝0， 直线AD 的方程为3x －4y ＋12＝0．6．已知线段BC 的中点为D3，32．若线段BC 所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC 所在直线的方程．解 由已知得直线BC 的斜率存在且不为0．设直线BC 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ．则直线BC 的截距式方程为x a ＋yb ＝1．由题意得a ＋b ＝9， ① 又点D3，32在直线BC 上，∴3a ＋32b ＝1，∴6b＋3a ＝2ab ， ② 由①②联立得2a 2－21a ＋54＝0，即(2a －9)(a －6)＝0，解得a ＝92或a ＝6．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝92，b ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝3.故直线BC 的方程为2x 9＋2y 9＝1或x 6＋y3＝1，即2x ＋2y －9＝0或x ＋2y －6＝0．一、选择题1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程； ②直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2；③过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以表示成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x 1≠x 2，y 1≠y 2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线．③显然正确．2．若直线x a ＋yb ＝1过第一、二、三象限，则( )A ．a>0，b>0B ．a>0，b<0C ．a<0，b>0D ．a<0，b<0 答案 C解析 因为直线过第一、二、三象限，所以结合图形可知a ＜0，b ＞0．3．一条光线从A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0处射到点B(0，1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝12x －12D ．y ＝－12x －12答案 B解析 由光的反射定律可得，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线的方程为y －01－0＝x －120－12，即y ＝－2x ＋1．4．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程是( ) A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 答案 B解析 若直线l 过原点，则方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0；若直线l 不过原点，则设直线方程为x a －ya ＝1，将(2，3)代入方程，得a ＝－1，故直线l 的方程为x －y ＋1＝0．所以直线l的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0．5．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 C解析 设直线的方程为x a ＋yb＝1，∵直线经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴1a ＋1b ＝1，12|ab|＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－22－2，b ＝22－2或⎩⎨⎧a ＝22－2，b ＝－22－2.∴满足条件的直线有3条．二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．答案 －23解析 设P(m ，1)，由线段PQ 的中点是(1，－1)，得Q(2－m ，－3)，∴2－m －(－3)－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2，1)，∴直线l 的斜率k ＝1－－－2－1＝－23．7．已知直线l 经过点A(－4，－2)，且点A 是直线l 被两坐标轴截得的线段中点，则直线l 的方程为________．答案 x ＋2y ＋8＝0解析 设直线l 与两坐标轴的交点为(a ，0)，(0，b)，由题意知a ＋02＝－4，b ＋02＝－2，∴a＝－8，b ＝－4．∴直线l 的方程为x －8＋y－4＝1，即x ＋2y ＋8＝0．8．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．答案 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0解析 点A(1，－2)，B(5，6)的中点M 的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＝m ，把中点M 的坐标(3，2)代入直线的方程，得m ＝5，故所求直线的方程是x ＋y －5＝0．综上，所求的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0．三、解答题9．已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136＋y－138＝1．(2)因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117＋y－11＝1．10．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1．(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．解 (1)直线l 过点(m ，0)，(0，4－m)， 则k ＝4－m －m ＝2，则m ＝－4．(2)由m ＞0，4－m ＞0，得0＜m ＜4， 则S ＝－2＝－－2＋42，易知当m ＝2时，S 有最大值2， 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．。
第三章直线与方程3.2直线的方程3.2.3直线的一般式方程学习目标1.明确直线方程一般式的形式特征,了解直线与二元一次方程的关系;2.会把直线方程的一般式化为斜截式,进而求斜率和截距;3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.合作学习一、设计问题、创设情境问题1:我们前面学习了直线的几种形式的方程,它们分别是什么形式?这些方程中都有几个变量,为什么?这些方程的共同特征是什么?问题2:平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗?问题3:设直线l是平面内任意一条直线,它的方程可以怎样写出?由于直线l是任意的,其斜率一定存在吗?应该怎样处理?二、学生探索、尝试解决问题4:二元一次方程有没有一般形式?能写出来吗?其中的系数A,B可以任意取值吗?问题5:方程2x+3y+6=0表示直线吗?它表示的是怎样的一条直线?每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示一条直线吗?三、信息交流、揭示规律问题6:方程x-2y+=0表示的直线与方程2x-4y+3=0表示的直线是否相同?只有当A,B,C 都确定时,方程Ax+By+C=0表示的直线才确定吗?四、运用规律、解决问题【例题】把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式,求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形.问题7:结合例题思考:二元一次方程的解和对应的直线上的点有什么关系?方程和直线能联系起来是谁的“功劳”?五、变式演练、深化提高变式训练:(1)直线l过点P(-6,3),且它在x轴上的截距是它在y轴上截距的3倍,求直线l的方程.(2)设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)上一点.证明:这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.六、信息交流、教学相长问题8:直线的一般式方程与前面学习的其他形式的直线方程的联系与区别是什么?七、反思小结,观点提炼问题9:(1)求直线方程应具有多少个条件?求出直线方程后应该将方程化为哪种形式?(2)二元一次方程Ax+By+C=0描述的是数x和y之间的一种关系,而直线是几何图形,它们是如何联系起来的?这体现了什么数学思想?今后我们能用直线的方程研究直线的问题吗?布置作业课本P100习题3.2A组第11题,B组第3,4,5题.参考☆答案☆一、问题1:四种;点斜式、斜截式、两点式、截距式;两个,x和y,因为直线的方程是描述直线上任意一点的坐标(x,y)的方程;都是关于x和y的二元一次方程.问题2:对任意一条直线l,在其上任取一点P0(x0,y0),然后可以按照其斜率k是否存在,分两种情形求其方程.①当直线l的斜率k存在时,其方程为y-y0=k(x-x0),这是关于x,y的二元一次方程;②当直线l的斜率k不存在时,即直线l的倾斜角α=90°时,直线的方程为x-x0=0,也可以认为是关于x,y的二元一次方程,此时方程中y的系数为0.由①②可知,平面上的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.问题3:可以在直线上任取一点P0(x0,y0),再设其斜率为k,然后用点斜式写出来;不一定;按照斜率是否存在分类讨论.二、问题4:有;二元一次方程的一般形式Ax+By+C=0;A,B不可以同时为零.问题5:表示过(0,-2)且斜为-的直线;当B≠0时,方程可变形为y=-x-,它表示过点(0,-),斜率为-的直线.当B=0时,A一定不为0,方程可变形为x=-,它表示过点(-,0),且垂直于x轴的直线.三、问题6:将两方程都化成斜截式后得到的方程都为y=x+,因此两方程表示的直线是相同(重合)的.当B≠0时,方程Ax+By+C=0可变形为y=-x-,因此只需确定两个比值即能确定直线;当B=0时,方程Ax+By+C=0可变形为x=-,因此只需再确定的值即可.四、【例题】解:将直线l的一般式化成斜截式y=x+3.因此,直线l的斜率k=,它在y轴上的截距是3.在直线l的方程x-2y+6=0中,令y=0,得x=-6.即直线l在x轴上的截距是-6.由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-6,0),B(0,3).过点A,B作直线,就得直线l的图形.问题7:一一对应,即二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成一条直线;直角坐标系.五、变式演练习,深化提高变式训练:(1)x+3y-3=0或x+2y=0.(2)证明:因为点P0(x0,y0)是直线Ax+By+C=0上一点,所以Ax0+By0+C=0,即C=-Ax0-By0,代入Ax+By+C=0,得A(x-x0)+B(y-y0)=0.六、信息交流,教学相长问题8:其他形式的方程都可以转化为一般式方程;其他形式的方程都不能表示与x轴垂直的直线,而一般式方程可以表示平面上任何位置的所有直线,也就是说它更具有一般性.七、反思小结、观点提炼问题9:(1)两个;一般式.(2)通过直角坐标系使得二元一次方程Ax+By+C=0的每一组解(x,y)与直线上的每一个点有了一一对应的关系;数形结合;应该可以.。
课题§3.1.1倾斜角与斜率课型新课教学目标（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.（2）理解直线倾斜角的唯一性.（3）理解直线斜率的存在性.（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.教学过程一、自主学习教学内容备注二、质疑提问三、问题探究四、课堂检测五、小结评价课题§3.1.2两条直线平行与垂直的判定课型新课教学目标(1)理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.(2)通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.(3)通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.教学过程教学内容备注一、自主学习二、质疑提问三、问题探究四、课堂检测五、小结评价课题§3.2.1 直线的点斜式方程课型新课教学目标（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.教学教学内容备注过程一、自主学习二、质疑提问三、问题探究四、课堂检测五、小结评价课题§3.2.2 直线的两点式方程课型新课教学目标（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
（3）让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.教学过程一、自主学习教学内容备注二、质疑提问三、问题探究四、课堂检测五、小结评价课题§3.2.3 直线的一般式方程课型新课教学目标（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.教学过程一、自主学习教学内容备注二、质疑提问三、问题探究四、课堂检测五、小结评价课题点斜式：y y k(x x ).00斜截式：y kx b.y y x x两点式：11.y y x x1212x y截距式： 1.a b一般式：Ax By C 0.§3.3.1 两条直线的交点坐标课型新课教学目标（1）直线和直线的交点，二元一次方程组的解。
对应学生用书P57知识点一直线的倾斜角高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A 版必修2081921871．给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．2．已知直线l 过点(m ，1)，(m ＋1，1－tanα)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．180°－α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角 答案 C解析 设θ为直线l 的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m ＋1－m ＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C ．知识点二直线的斜率3．下列叙述不正确的是( )A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C．与y轴垂直的直线的斜率为0D．与x轴垂直的直线的斜率不存在答案 B解析每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )A．k3>k1>k2B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0D．k3＞k2＞k1答案 D解析由图可知，k1＜0，k2＜0，k3＞0，且k2＞k1，故选D．知识点三斜率公式的应用①A(－2，0)，B(－5，3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)；(2)已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围．解(1)①∵A(－2，0)，B(－5，3)，∴k AB＝3－0－5－－2＝3－3＝－1，直线AB的倾斜角为135°．②∵A(3，2)，B(5，2)，∴k AB ＝2－25－3＝0．直线AB 的倾斜角为0°．③∵A(3，－1)，B(3，3)；∴直线AB 的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝2时，A(2，1)，B(2，3)．直线AB 的倾斜角为90°，斜率k 不存在； 当m ＞2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＞0，此时，直线l 的倾斜角为锐角，即α∈(0°，90°)； 当m ＜2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＜0，此时，直线l 的倾斜角为钝角，即α∈(90°，180°)．知识点四三点共线问题6．若A(a ，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则a ＋b ＝________．答案 －12解析 由题意得b ＋22＝2a ＋2，ab ＋2(a ＋b)＝0，1a ＋1b ＝－12．对应学生用书P58一、选择题1．已知直线l 的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( ) A ．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C ．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案 D解析 因为直线l 的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3 答案 B解析 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0．故选B ．3．若直线l 的斜率为k ，且二次函数y ＝x 2－2kx ＋1的图象与x 轴没有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，90°) B．(135°，180°)C ．[0°，45°)∪(135°，180°) D．[0°，180°) 答案 C解析 由抛物线y ＝x 2－2kx ＋1与x 轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，45°)∪(135°，180°)，故选C ．4．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA′＝b ＋2－b a －2－a＝－1．故选B ．5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( )A ．k≥34或k≤－4B ．k≥34或k≤－14C ．－4≤k≤34D ．34≤k≤4答案 A解析 如图所示，过点P 作直线PC⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线PA ，PB ．①直线l 与线段AB 的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤k PA ．②直线l 与线段AB 的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是因为k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34，所以直线l 的斜率k 满足k≥34或k≤－4．二、填空题6．已知M(2m ，m ＋1)，N(m －2，1)，则当m ＝________时，直线MN 的倾斜角为直角． 答案 －2解析 由题意得，直线MN 的倾斜角为直角，则2m ＝m －2，解得m ＝－2．7．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．答案 (1，－5)解析 设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．8．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析 ∵直线PQ 的斜率k ＝3－12a －1－a ＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13．三、解答题9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P ，使得直线PA 的倾斜角为60 °，求点P 的坐标．解 ①当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)． ∵A(1，2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1．又直线PA 的倾斜角为60 °， ∴－2a －1＝3，解得a ＝1－233， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0．②当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0，2－3)．综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0或(0，2－3)．10．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x≤3且x≠2时，求y －1x －2的取值范围．解y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2，1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB ，其中A1，52，B3，32．由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是－∞，－32∪12，＋∞．。
人教版高中必修2第三章直线与方程课程设计一、课程背景直线与方程是高中数学中重要的一部分，是建立高中数学基础的核心概念之一。
本章节的学习将为学生日后的学习打下深厚的基础，并在其它领域如物理和工程学中提供必不可少的应用。
二、学习目标1.学会描述直线所用的各种方法，并能尝试解决各种相关问题。
2.理解并掌握直线的斜率和截距的概念。
3.熟悉各种直线的性质及其方程的不同形式。
4.能运用直线的相关概念和应用来解决复杂的问题。
三、教学内容和步骤1. 直线的表示方法教学目标学生能够理解直线的各种描述方式，并能用这些方式描述一条直线。
教学步骤1.引入直线的概念及其定义。
2.以图形和数学表示的方式教授直线的描述方法。
3.给予学生练习并解释它们的应用场景。
教学方法1.讲解法，结合实例让学生理解各种描述方式。
2.实验演示和练习，让学生动手的体会直线的不同描述方法。
2. 直线的斜率和截距教学目标1.学生能够掌握直线的斜率和截距的概念。
2.能用斜率和截距确定直线的方程。
教学步骤1.介绍斜率和截距的概念及定义。
2.通过实例和图像说明斜率和截距的作用。
3.在实例和图片中演示如何用斜率和截距确定直线的方程。
4.给予学生练习并运用知识解决相关问题。
教学方法1.讲解法，结合实例和图像让学生理解概念。
2.练习法，让学生动手计算和确定方程。
3. 直线的不同形式的方程教学目标学生能够熟悉各种类型的直线方程形式，并能在不同的应用场景中灵活转换。
教学步骤1.介绍各种类型的直线方程。
2.演示如何将不同类型的方程转换为标准直线方程。
3.给予学生练习，让他们在不同的情况中灵活运用。
教学方法1.讲解法，结合实际问题让学生理解不同类型的方程。
2.计算和转换法，让学生灵活认识转换不同类型的方程。
4. 直线的性质和应用教学目标1.学生能够理解直线的各种性质。
2.能够解决与直线有关的问题。
教学步骤1.介绍与直线相关的其他数学和物理理论。
2.演示如何将这些理论与直线相结合以解决相关问题。
第27课时 点到直线的距离、两条平行直线间的距离对应学生用书P73知识点一点到直线的距离 1．若点(1，a)到直线x －y ＋1＝0的距离是32，则实数a 为( )A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3 答案 C解析 由点到直线的距离公式得|1－a ＋1|2＝322，∴a＝－1或5．2．已知两点A(1，1)和B(－1，4)到直线x ＋my ＋3＝0的距离相等，则m 为( ) A ．0或－23 B ．23或－65C ．－23或23D ．0或23答案 B解析 由题意知直线x ＋my ＋3＝0与AB 平行或过AB 的中点，则有－1m ＝4－1－1－1或1－12＋m×1＋42＋3＝0，∴m＝23或m ＝－65．知识点二两平行线间的距离A ．1110B ．85C ．157D ．45答案 A解析 由两直线平行，得m ＝6，所以mx －8y ＋5＝0可化成3x －4y ＋52＝0，因此两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－5232＋42＝1110，故选A ．4．已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0平行且距离相等，则l 的方程为________．答案 2x －y ＋1＝0解析 设所求的直线方程为2x －y ＋c ＝0(c≠3，c≠－1)，分别在l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0上取点A(0，3)和B(0，－1)，则此两点到2x －y ＋c ＝0的距离相等，即|－3＋c|22＋－12＝|1＋c|22＋－12，解得c ＝1，故直线l 的方程为2x －y ＋1＝0．知识点三距离公式的应用5．已知点P(m ，n)是直线2x ＋y ＋5＝0上任意一点，则m 2＋n 2的最小值为________． 答案5解析 因为m 2＋n 2是点P(m ，n)与原点O 间的距离，所以根据直线的性质，原点O 到直线2x ＋y ＋5＝0的距离就是m 2＋n 2的最小值．根据点到直线的距离公式可得d ＝522＋12＝5．故答案为5．6．已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到l 2的位置，若l 1，l 2和两坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l 2的方程(如图)．解 ∵l 1∥l 2，可设l 2的方程为x ＋y －m ＝0． l 2与x 轴，y 轴分别交于B ，C ， l 1与x 轴，y 轴分别交于A ，D ，得A(1，0)，D(0，1)，B(m ，0)，C(0，m)． ∵l 2在l 1的上方，∴m>1．∵S 梯形ABCD ＝S △OBC －S △AOD ，∴4＝12m 2－12，解得m ＝3或m ＝－3(舍去)． 故所求直线的方程为x ＋y －3＝0．对应学生用书P73一、选择题1．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12 B ．12或－6C ．－12或12D ．0或12答案 B 解析 依题意得|3m ＋5|m 2＋1＝|－m ＋7|m 2＋1，即|3m ＋5|＝|m －7|，∴(3m＋5)2＝(m －7)2，展开合并同类项得8m 2＋44m －24＝0，即2m 2＋11m －6＝0，解得m ＝12或m ＝－6．2．点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C ． 2 D ．16 答案 A解析 由题知所求即为原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方，即0＋0－4212＋12＝162＝8．故选A ．3．若动点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －11＝0和l 2：x ＋y －1＝0上移动，则AB 中点M 所在直线的方程为( )A ．x －y －6＝0B ．x ＋y ＋6＝0C ．x －y ＋6＝0D ．x ＋y －6＝0 答案 D解析 由题意，得点M 所在的直线与直线l 1，l 2平行，所以设为x ＋y ＋n ＝0，此直线到直线l 1和l 2的距离相等，所以|n ＋11|2＝|n ＋1|2，解得n ＝－6，所以所求直线的方程为x ＋y－6＝0．故选D ．4．直线2x ＋3y －4＝0关于点(2，1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y －4＝0 B ．2x ＋3y ＋6＝0 C ．3x －2y －10＝0 D ．2x ＋3y －10＝0 答案 D解析 设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0，由题意可知|4＋3－4|22＋32＝|4＋3＋C|22＋32． ∴C＝－4(舍)或C ＝－10，故所求直线的方程为2x ＋3y －10＝0．5．若动点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( )A ．3 2B ．2C ． 2D ．4 答案 A解析 由题意，知点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，即c ＝－6，∴点M 在直线x ＋y －6＝0上，∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即|－6|2＝32．二、填空题6．如果已知两点O(0，0)，A(4，－1)到直线mx ＋m 2y ＋6＝0的距离相等，那么m 可取不同实数值的个数为________．答案 3解析解方程6m2＋m4＝|4m－m2＋6|m2＋m4(m≠0)，得m＝6或m＝－2或m＝4．7．直线l在x轴上的截距为1，又点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为________．答案x－y－1＝0或x＝1解析显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1．设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0．∵点A，B到l的距离相等，∴|－2k＋1－k|k2＋1＝|4k－5－k|k2＋1，∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0．8．已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线是“切割型直线”的有________．①y＝x＋1 ②y＝2 ③y＝43x ④y＝2x＋1答案②③解析可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离d来分析．①d＝5＋12＝32>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”；②d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；③d＝20 32＋42＝4，直线上存在一点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；④d＝115＝1155>4，故直线上不存在点到点M的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③．三、解答题9．已知直线l1：ax＋by＋1＝0(a，b不同时为0)，l2：(a－2)x＋y＋a＝0．(1)若b＝0且l1⊥l2，某某数a的值；(2)当b＝3且l1∥l2时，求直线l1与l2间的距离．解(1)当b＝0时，l1：ax＋1＝0，由l1⊥l2知a－2＝0，解得a＝2．(2)当b＝3时，l1：ax＋3y＋1＝0，当l 1∥l 2时，联立⎩⎪⎨⎪⎧a －3a －2＝0，3a －1≠0，解得a ＝3，此时，l 1的方程为3x ＋3y ＋1＝0，l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，即3x ＋3y ＋9＝0，则 它们之间的距离为d ＝|9－1|32＋32＝423． 10．过点M(2，4)作两条互相垂直的直线，分别交x ，y 轴的正半轴于点A ，B ，若四边形OAMB 的面积被直线AB 平分，求直线AB 的方程．解 设直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴A(a，0)，B(0，b)． ∵MA⊥MB，∴(a－2)×(－2)＋(－4)×(b－4)＝0， 即a ＝10－2b ．∵a＞0，b ＞0，∴0＜b ＜5，0＜a ＜10． ∵直线AB 的一般式方程为bx ＋ay －ab ＝0， ∴点M 到直线AB 的距离d ＝|2b ＋4a －ab|a 2＋b2． ∴△MAB 的面积S 1＝12d|AB|＝12|2b ＋4a －ab|＝|b 2－8b ＋20|＝b 2－8b ＋20，△OAB 的面积S 2＝12ab ＝5b －b 2．∵直线AB 平分四边形OAMB 的面积， ∴S 1＝S 2，可得2b 2－13b ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝52，a ＝5.∴所求直线AB 的方程为x ＋2y －5＝0或2x ＋y －4＝0．。
第三章 直线与方程3.1.1直线的倾斜角与斜率★★★知识要点一.直线的倾斜角☞☞☞（1）定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间 所成的角α叫做直线l 的倾斜角.（2）直线的倾斜角的取值及范围：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为︒0， 则直线的倾斜角的取值范围是︒<≤︒1800α.【例题1】已知直线l 的倾斜角为︒-15α，则下列结论正确的是（ ）.A ︒<≤︒1800α .B ︒<<︒18015α .C ︒<≤︒19515α .D ︒<≤︒18015α二.直线的斜率☞☞☞（1）定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.通常用k 表示，即 αtan =k ，倾斜角为︒90的直线没有斜率.（2）对倾斜角和斜率关系的理解：①当倾斜角是︒90时，直线的斜率不存在.但并不是该直线不存在，此时，该直线垂直于x 轴. ②所以的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.【例题2】下列说法正确的是（ ）.A 一条直线和x 轴正方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.B 直线的倾斜角α的取值范围是第一或第二象限角.C 和x 轴平行的直线它的倾斜角是︒180.D 每一条直线都存在倾斜角，但不是每条直线都存在斜率【例题3】下列说法正确的是（ ）.A 直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtan.B 直线的斜率为θtan ，则直线的倾斜角θ.C 若直线的倾斜角为α，则0sin >α.D 任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率三.直线斜率的表示方法：两点式已知两点),(111y x P ，),(222y x P ，如果21x x ≠，则21P P 的斜率为1212x x y y k --=，如果21x x =，则其斜率不存在.【例题4】经过下列两点的斜率是否存在？如果存在，求其斜率 （1）)2,3(),1,1(-- （2）)2,5(),2,1(-- （3）)5,2(),4,3(-- （4）)2,3(),0,3(【例题5】过点),2(m P -和)4,(m Q 的直线的斜率为1，则m 等于_________________【例题6】求经过两点)1,2(P 和)2,(m Q 的直线的斜率的取值范围？★★★基础练习☞☞☞一、选择题1、已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（ ）.A ︒60 .B ︒30 .C ︒60或︒120 .D ︒30或︒1502、已知直线1l 的斜率为1k ，倾斜角是1α，直线2l 的斜率为2k ，倾斜角是2α，则（ ）.A 2121αα>⇒>k k .B 2121αα>⇒<k k.C 2121k k <⇒<αα .D 2121k k ≠⇒≠αα3、若直线05=+x 的倾斜角为α，则α等于（ ）.A ︒0 .B ︒45 .C ︒90 .D 不存在4、直线l 经过原点和点)1,1(-，则它的倾斜角是（ ）.A 43π .B 45π .C 4π或45π .D 4π- 5、直线1l 过点)36,33(--P ，)33,323(-+Q ，直线2l 的倾斜角与1l 的倾斜角互补， 则直线2l 的倾斜角是（ ）.A ︒150 .B ︒120 .C ︒60 .D ︒306、若三点)3,2(P ，),3(a Q ，),4(b R 共线，那么下列成立的是（ ）.A 5,4==b a .B 1=-a b .C 32=-b a .D 32=-b a7、经过两点)1,3(-，)0,1(的直线的倾斜角θ的正切值为（ ）.A 4- .B 4 .C 41- .D 41 二、填空题1、如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别是321,,k k k ，则_______________2、直线l 过),(n m ，),(m n 两点，其中n m ≠，0≠mn ，则直线l 的倾斜角为_______________3、若直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是_______4、在y 轴上有一点m ，它与点)1,3(-连成的直线的倾斜角为︒120，则点m 的坐标是____________________5、直线l 的斜率21m k -=，则直线l 的倾斜角的范围是_____________三、解答题1、已知)3,2(-A ，)2,3(--B 两点，直线l 过定点)1,1(P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜 率k 的取值范围？2、若直线l 的斜率为函数34)(2++=a a a f 的最小值，求直线l 的倾斜角和斜率？3、已知)4,4(A ，)4,2(B 若PA 的斜率是PB 斜率的2倍，求P 点坐标？4、已知)2,(a A ，)7,3(B ，)9,2(a C --三点在同一直线上，求实数a 的值？★★★能力提升☞☞☞一、选择题1、直线l 过原点)0,0(，且不过第三象限，那么倾斜角α的取值范围是（ ）.A []︒︒90,0 .B []︒︒180,90 .C []{}︒︒︒0180,90 .D []︒︒135,902、设直线l 过原点，其倾斜角α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转︒45，得到直线1l ，则 1l 的倾斜角为（ ）.A ︒+45α .B ︒-135α .C α-︒135.D 当︒<≤︒1350α时为︒+45α，当︒<≤︒180135α为︒-135α3、直线l 过点)2,1(A ，且不过第四象限，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）.A []2,0 .B []1,0 .C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 4、顺次连接)3,4(-A ，)5,2(B ，)3,6(C ，)0,3(-D 四个点，所构成的图形是（ ）.A 平行四边形 .B 直角梯形 .C 等腰梯形 .D 以上都不对5、直线l 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于Q P ,两点，若OQ OP 3=，则直线l 的斜率为（ B ） .A 3- .B 33- .C 21- .D 21 6、已知1l ，2l 关于y 轴对称，则它们的倾斜角1α与2α之间的关系是（ ）.A παα=+21 .B 221παα=+ .C παα=-21 .D 221παα=-二、填空题 1、已知直线1l 的倾斜角为)0(≠αα，直线2l 与1l 关于x 轴对称，则直线2l 的倾斜角为 ______2、若直角三角形ABC 三边长分别为c b a ,,，则三点),(c b a +，),(a c b +，),(b c a +满足 的关系是______________________3、已知实数x 、y 满足62=+y x ，当31≤≤x 时，21--x y 的取值范围为 ______三、解答题1、已知直线l 上的两点)3,2(-A ，)2,3(-B ，求其斜率，若),(b a C 在直线l 上，求b a ,间应满足的关系，并求当21=a 时，b 的值？ 2、已知直线的倾斜角为α，22sin =α，且)2,4(),3,(),,2(32211P x P y P -是直线上的三个 点，求1y 和2x3、已知)1,2(),,32(-+m N m m M ，当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为：（1）锐角 （2）直角 （3）钝角3.1.2两条直线平行与垂直的判定★★★知识要点一、两条直线平行☞☞☞对于两条不重合的直线1l ，2l ，其斜率分别为1k ，2k ，有1l //2l 2121,b b k k ≠=⇔★注意★上述两条直线平行的条件是斜率都存在且不重合，若斜率都不存在，则它们都垂直于x 轴【例题1】下列说法正确的有（ ）①若两直线斜率相等，则两直线平行②若1l //2l ，则21k k =③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交④若两直线的斜率都不存在，则两直线平行.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个【例题2】已知直线1l 的倾斜角为︒60，直线2l 经过点)3,1(A ，)32,2(--B ，判断直线1l ，2l 的位置关系.二、两条直线垂直☞☞☞当两条直线的斜率都存在是，12121-=⇒⊥k k l l当两条直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则这两条直线也垂直【例题3】已知点)3,2(P ，)5,4(Q ，),1(a A -，)2,2(a B ，当a 为何值时，直线PQ 与直线AB 互相垂直.【例题4】已知直线1l 经过点),3(a A ，)3,2(--a B ，直线2l 经过点)3,2(C ，)2,1(--a D ，如果21l l ⊥，则a 等于______________三、易错点：判断直线平行与垂直关系时对斜率的讨论【例题5】已知直线1m 经过点)3,2(),,3(-a B a A ，直线2m 经过点)5,6(),,3(N a M ，若21m m ⊥，求a 的值.四、数学结合在直线的平行与垂直关系中的应用【例题6】一条光线从)2,3(A 发出，到x 轴上的M 点后，经x 轴反射通过点)6,1(-B ，求反射光线所在直线的斜率.【例题7】过)2,1(-P 的直线l 与线段AB 相交，若)0,3()3,2(B A --，求直线l 的斜率k 的取值范围.五、典型例题已知实数y x ,满足82=+y x ，当32≤≤x 时，求xy 的最大值与最小值. ★★课堂练习☞1、判断下列各题中的直线1l ，2l 是平行还是垂直（1）1l 经过点)2,1(--A ，)1,2(B ，2l 经过点)4,3(M ，)1,1(--N（2）1l 的斜率是1，2l 经过点)2,2(),1,1(B A（3）1l 经过点)10,3(),2,3(--B A ，2l 经过点)5,5(),2,5(N M -2、当m 为何值时，过点)2,12(),1,1(2-+m m B A 的直线：（1）与过)7,0(),2,3(-D C 两点的直线垂直（2）与过)9,4(),3,2(--N M 两点的直线平行★★★基础练习☞☞☞一、选择题1、下列说法正确的是（ ）.A 平行的两条直线的斜率一定存在且相等.B 平行的两条直线的倾斜角一定相等.C 垂直的两条直线的斜率之积为1-.D 只有斜率相等的两条直线才一定平行2、1l 经过点)4,3(),1,(-B m A ，2l 经过点)1,1(),,1(+-m D m C ，当直线1l 平行于直线2l 时， 则m 的值为（ ）.A 3 .B 1- .C 3- .D 13、经过点)4,(),,2(m Q m P 的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值为（ ） .A 3 .B 4 .C 1或3 .D 1或44、给定三点)2,1(),0,1(),0,1(C B A -，则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过（ ）.A )1,0( .B )0,0( .C )0,1(- .D )1,0(-5、过点)6,3(，)3,0(的直线与过点)2,6(，)0,2(的直线的位置关系为（ ）.A 垂直 .B 平行 .C 重合 .D 以上都不正确二、填空题1、若三点),0(),0,(),2,2(b C a B A 共线，则ba 11+等于___________ 2若点)1,0(A 、)4,3(B 在直线1l 上，若直线21l l ⊥，则2l 的倾斜角为________3、已知点),5(),2,1(),3,1(y P N M -，且︒=∠90NMP ，则)7(8log y +等于___________4、将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位长度，再沿y 轴负方向平移3个单位长度，又回到 原来的位置，则直线l 的斜率是________________5、已知两点)2,5(),2,2(-N M ，点P 在x 轴上，且︒=∠90MPN ，则P 点坐标为 _______________________三、解答题1、已知ABC ∆的顶点)1,2(B ，)3,6(-C ，其垂心为)2,3(-H ，求顶点A 的坐标.2、已知)3,3(),2,2(),1,1(-C B A ，求点D ，使AD CB AB CD //,⊥.3、已知四边形ABCD 的顶点为)2,4(),222,0(),2,2(),222,2(D C B A --+,试判断四边 形的形状.★★★能力提升☞☞☞1、已知)0,3(),0,1(),3,0(C B A -，求D 点坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（D C B A ,,, 按逆时针方向排列）2、已知,,,C B A 三点的坐标分别是)3,1(),1,2(),1,0(--C B A ，试确定D 点坐标，使四边形 ABCD 为平行四边形.3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式、斜截式方程★★★知识要点一、直线的点斜式方程☞☞☞（1）形式：)(00x x k y y -=-（2）适用范围：直线的点斜式方程适用于斜率存在并过已知点的直线，即直线不垂直于x 轴.【例题1】根据条件写出下列各题中的直线方程（1）经过点)2,1(A ，斜率为2（2）经过点)4,1(-B ，倾斜角为︒135（3）经过点)1,3(-C 与x 轴垂直（4）经过点)5,3(-D 与x 轴平行二、直线的斜截式方程☞☞☞（1）方程形式：b kx y +=（其中b 为直线在y 轴上的截距，即直线过),0(b 点）（2）适用范围：斜率存在即不垂直于x 轴的直线【例题2】根据条件写出下列各题中的直线方程（1）斜率为2，在y 轴上的截距为5（2）倾斜角为︒150，在y 轴上的截距为2-★★★基础练习☞☞☞一、选择题1、已知直线的方程是12--=+x y ，则（ ）.A 直线经过点)2,1(-，斜率为1- .B 直线经过点)2,1(-，斜率为1.C 直线经过点)2,1(--，斜率为1- .D 直线经过点)2,1(--，斜率为12、方程)2(-=x k y 表示（ ）.A 过点)0,2(-的所有直线 .B 过点)0,2(的所有直线.C 过点)0,2(且不垂直于x 轴的直线 .D 过点)0,2(且除去x 轴的直线3、直线l ：)2(1+=-x k y 的倾斜角为︒135，则直线l 在y 轴上的截距是（ ）.A 1 .B 1- .C 3 .D 3-4、直线2-=ax y 与1)2(++=x a y 垂直，则a 等于（ ）.A 2 .B 1 .C 0 .D 1-5、经过点)1,1(-，倾斜角是直线2-=x y 的倾斜角的2倍的直线是（ ）.A 1-=x .B 1=y.C )1(21+=-x y .D )1(21-=-x y二、填空题1、经过点)2,3(-，倾斜角为︒30的直线方程为______________________2、直线m y m x m 2)2()2(=-++在y 轴上的截距是3，则m 等于______________3、过原点和点),(n m )0(≠m 的直线方程是______________________4、与直线012=+-x y 垂直且在y 轴上的截距为4的直线方程为___________5、原点在直线l 上的射影为点)1,2(-H ，则直线l 的方程为______________6、直线l ：)2)(1(+-=-x a a y ，若直线l 在y 轴上的截距为6，则a 等于_________三、解答题1、求过点)2,1(-A ，且平行于直线124=-y x 的直线的方程 )1(212+=-x y 直线1l ：32+=x y（1）若直线2l 与1l 关于y 轴对称，求2l 的方程（2）若直线3l 与1l 关于x 轴对称，求3l 的方程2、三角形的三个顶点)2,3(),0,4(),1,1(C B A ，求三角形BC 边上的高所在的直线方程.3、已知直线l 在y 轴上的截距为3-，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程★★★能力提升☞☞☞一、选择题1、将直线x y 3=绕原点逆时针旋转︒90，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为（ ） .A 3131+-=x y .B 131+-=x y .C 33-=x y .D 13+=x y2、以)1,5(),3,1(-B A 为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）.A 083=--y x .B 043=++y x.C 063=+-y x .D 023=++y x3、过点)3,1(-且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）.A 012=-+y x .B 052=-+y x.C 052=-+y x .D 072=+-y x4、直线k y kx 31=+-，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）.A )0,0( .B )1,0( .C )1,3( .D )1,2(5、直线b x y +=一定经过（ ）.A 第一、三象限 .B 第二、四象限.C 第一、二、四象限 .D 第二、三、四象限6、直线b kx y +=)0(≠b 不经过第三象限，则（ ）.A 0<kb .B 0≤kb .C 0>kb .D 0≥kb二、填空题1、若0,0><b k ，则直线b kx y +=必不通过第_______象限2、直线)2(3--=x y 绕点)0,2(按顺时针方向旋转︒30后所得的直线方程是______________3、直线l 过原点，且平分平行四边形ABCD 的面积，若)4,1(B ，)0,5(D ，则直线l 的方程是________________________4、)2,1(-P 在直线l 上的射影为)1,1(-Q ，则直线l 的方程为_______________5、已知)8,4(),0,2(B A ，线段AB 的垂直平分线的方程是_____________三、解答题1、求与两坐标轴围成的三角形周长为9且斜率为34-的直线方程 334±-=x y 已知直线13++=k kx y（1）求直线恒过的定点（2）当33≤≤-x 时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围2、已知直线方程为b kx y +=，当[]4,3-∈x 时，[]13,8-∈y ，求此直线方程当a 为何值时直线1l ：a x y 2+-=与2)2(:22+-=x a y l 平行当a 为何值时直线1l ：3)12(+-=x a y 与34:2-=x y l 垂直3.2.2直线的两点式、截距式、一般式方程★★★知识要点一、直线的两点式方程☞☞☞（1）形式：121121x x x x y y y y --=-- （2）适用范围：直线的两点式方程适用于斜率存在且斜率不等于零的直线.【例题1】求经过下列两点的直线方程（1）)3,4(),5,2(B A （2）)5,5(),5,2(B A （3）)7,2(),5,2(B A【例题2】已知ABC ∆的三个顶点坐标)1,4(),2,2(),1,2(C B A -，求三角形三边所在的直线方程.二、直线的截距式方程☞☞☞（1）形式：1=+by a x，其中b a ,分别是直线在y x ,轴上部位零的截距，即直线过)0,(a A 和),0(b B .（2）适用范围：不含有垂直坐标轴及过坐标原点的直线.【例题3】根据下列条件求出各题中的直线方程（1）在x 轴上的截距为3-，在y 轴上的截距为2（2）在x 轴上的截距为1，在y 轴上的截距为4-【例题4】求过点)1,1(A ，且在两坐标轴上截距相等的直线方程.三、直线的一般式方程☞☞☞（1）形式：)0(022≠+=++B A C By Ax（2）适用范围：适用于任何一条直线【例题5】根据下列条件写出直线方程，并把它化成一般式.（1）过点)3,2(-A ，斜率为53- （2）在x 轴、y 轴上的截距分别为3-和4【例题6】设直线l 的方程为062)2(2=-++-m my x m m ，已知l 在y 轴上的截距为2， 试确定m 的值.★★课堂练习☞一、选择题1、过两点的（5，0），（2, 5-）的直线的方程是 （ ）A 、02535=-+y xB 、02535=--y xC 、02553=--y xD 、02535=+-y x2、在x 轴、y 轴上的截距分别是3-，4的直线方程是（ ）A 、01234=-+y xB 、01234=+-y xC 、0134=-+y xD 、0134=+-y x 3、直线122=-by a x 在y 轴上的截距是（ ） A 、b B 、2b - C 、2b D 、b ±4、已知432,4322211=-=-y x y x ，则过点A （11,y x ），B 、（22,y x ）的直线l 的方程是A 、432=-y xB 、032=-y xC 、423=-y xD 、023=-y x5、直线02=++m y x 和02=++n y x 的位置关系式（ ）A 、平行B 、垂直C 相交单不垂直D 、不能确定6、直线)0(1≠=+ab by ax 与两坐标轴围成的面积是（ ）A 、ab 21 B 、ab 21 C 、ab 21 D 、ab 21 7、若果直线0=++C By Ax 的倾斜角为︒45，则有关系式（ ）A 、B A = B 、0=+B AC 、1=ABD 、以上均不可能二、填空题1、已知直线l 过点（3，1-），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l 的方程为________________2、过两点（5,7）和（1,3）的直线一般式方程为___________________,若点（a ，12）在此直线上，a=____________三、解答题1、根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程（1）斜率是3，且经过点)3,5(A（2）斜率是4，在y 轴上的截距为2-（3）经过)1,2(),5,1(--B A ；两点（4）在x 、y 轴上的截距分别为3-，1-2、过点（5-，4-）作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5. ★★★基础练习☞☞☞一、选择题1、直线:1l 04)1(2=+++y m x 与直线023:2=-+y mx l 平行，则m 的值为（ ）.A 2 .B 3- .C 2或3- .D 2-或3-2、已知直线02)1(:1=-++y x a l 与直线01)22(:2=+++y a ax l 互相垂直，则实数a 的.A 1-或2 .B 1-或2- .C 1或2 .D 1或2-3、直线l 过点)2,1(-且与直线0432=+-y x 垂直，则直线l 的方程是（ ）.A 0123=-+y x .B 0723=++y x.C 0532=+-y x .D 0832=+-y x4、过点（2,4）且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线是（ ）A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条5、如果0<AC ，且0<BC ,那么直线0=++C by Ax 不通过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6、若直线m y m m x m 2)32()2(2=--++在x 轴上的截距是3。
