学高考数学二轮复习 练酷专题 课时跟踪检测(七)三角函数的图象与性质 文

课时跟踪检测（二） 三角函数的图象与性质 （小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1.函数f ()＝sin(ω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f ()的解析式为( )A ．f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4D ．f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4解析：选A 由题图可知， 函数f ()的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f ()＝sin(2＋φ)．又函数f ()的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2π＋π2(∈)，解得φ＝2π＋π4(∈)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选A.2．(2018·重庆模拟)函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 解析：选C 令－π4＝π(∈)，得＝π＋π4(∈)，当＝0时，＝π4，所以函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，故选C.3．(2018·宝鸡质检)函数f ()＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(∈) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(∈) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(∈)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(∈)解析：选B 由π－π2<2－π3<π＋π2(∈)得，k π2－π12<<k π2＋5π12(∈)，所以函数f ()＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(∈)，故选B.4．(2018·福州模拟)将函数y ＝2sin ＋cos 的图象向右平移12个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝sin －2cosB ．y ＝2sin －cosC ．y ＝－sin ＋2cosD ．y ＝－2sin －cos解析：选D 因为y ＝2sin ＋cos ＝5sin(＋θ)，其中θ满足cos θ＝25，sin θ＝15，所以函数y ＝2sin ＋cos 的周期为2π，所以12个周期为π.于是由题设知平移后所得图象对应的函数为y ＝2sin(－π)＋cos(－π)＝－2sin －cos ．故选D.5．(2018·郑州模拟)若将函数f ()＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到g ()的图象，则函数g ()的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(∈)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(∈)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6(∈)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(∈)解析：选A 将函数f ()＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到函数g ()＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝12sin()2x ＋π＝－12sin 2的图象，令π2＋2π≤2≤3π2＋2π(∈)，可得π4＋π≤≤3π4＋π(∈)，因此函数g ()的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(∈)，故选A.6．(2018·唐山模拟)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为( )A ．＝0B ．＝π2C ．＝π6D ．＝－π12解析：选C 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令2＋π6＝π2＋π(∈)，得＝π6＋k π2(∈)，令＝0，则＝π6，选C.7．(2018·成都模拟)已知函数f ()＝sin ＋3cos 在＝θ时取得最大值，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝( )A ．－2＋64B ．－12C.2－64D.32解析：选C ∵f ()＝sin ＋3cos ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，又f ()在＝θ时取得最大值，∴θ＋π3＝π2＋2π(∈)，即θ＝π6＋2π(∈)，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＋4k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝12×22－32×22＝2－64，故选C. 8．(2019届高三·福州四校联考)函数f ()＝sin ω(ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g ()的图象，并且函数g ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则实数ω的值为( )A.74 B.32 C ．2D.54解析：选C 因为将函数f ()＝sin ω(ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g ()的图象，所以g ()＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，又函数g ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ωπ4＝1且2πω≥π3，所以⎩⎨⎧ω＝8k ＋2k ∈Z 0<ω≤6，所以ω＝2，故选C.9．(2018·合肥一模)将函数y ＝cos －sin 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原;的a 倍，得到y ＝cos 2＋sin 2的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12解析：选D 将函数y ＝cos －sin ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－φ的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原;的a 倍，得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋π4－φ的图象，又y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋π4－φ＝cos 2＋sin 2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴1a ＝2，π4－φ＝－π4＋2π(∈)，∴a ＝12，φ＝π2＋2π(∈N )，又φ>0，结合选项知选D.10．(2018·开封模拟)若存在正整数ω和实数φ使得函数f ()＝sin 2(ω＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由f ()＝sin 2(ω＋φ)＝ (1－cos 2ωx ＋2φ)2及其图象知，12<12×2π2ω<1，即π2<ω<π，所以正整数ω＝2或3.由函数f ()的图象经过点(1,0)，得f (1)＝ (1－cos 2ωx ＋2φ)2＝0，得2ω＋2φ＝2π(∈)，即2φ＝2π－2ω(∈)．由图象知f (0)>12，即1－cos 2φ2＝1－cos 2ω2>12，得cos 2ω<0，所以ω＝2，故选B.11．(2018·沈阳模拟)已知函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，以下命题中为假命题的是( )A ．函数f ()的图象关于直线＝π12对称B ．＝－π6是函数f ()的一个零点C ．函数f ()的图象可由g ()＝sin 2的图象向左平移π3个单位长度得到D ．函数f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数解析：选C 令2＋π3＝π＋π2(∈)，当＝0时，＝π12，即函数f ()的图象关于直线＝π12对称，选项A 正确；令2＋π3＝π(∈)，当＝0时，＝－π6，即＝－π6是函数f ()的一个零点，选项B 正确；2＋π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，故函数f ()的图象可由g ()＝sin 2的图象向左平移π6个单位长度得到，选项C 错误；若∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，则2＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，故f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数，选项D 正确．故选C.12．(2018·江苏南京模拟)已知函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，若f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2且f ()在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω＝( )A.23 B ．2 C.263D.143或6 解析：选D f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，令ω1－π6＝0得，1＝π6ω，而π6ωT ＝π6ω2πω＝112，故1＝T12.又f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，如图，若f ()在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有3个零点，则π2＝T ＋T 12×2或π2＝3T 2，即T ＝3π7或T ＝π3，则ω＝143或6，故选D. 二、填空题13．(2018·广州模拟)函数f ()＝4cos sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(∈R )的最大值为________．解析：∵f ()＝4cos sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin cos ＋2cos 2－1＝3sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f ()ma ＝2.答案：214．(2018·北京东城质检)函数f ()＝sin 2＋3sin cos 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最小值为________．解析： 由函数f ()＝sin 2＋3sin cos ＝12－12cos 2＋32sin 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.∵∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.当2－π6＝5π6时，函数f ()取得最小值为1.答案：115．(2018·武汉调研)若函数f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g ()＝cos(2＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则φ＝________.解析：因为函数f ()＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g ()＝cos(2＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即2πω＝2π2，所以ω＝2，故函数f ()＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2＋π4＝π＋π2，∈，则＝k π2＋π8，∈，故函数f ()的图象的对称轴为＝k π2＋π8，∈.令2＋φ＝m π，m ∈，则＝m π2－φ2，m ∈，故函数g ()的图象的对称轴为＝m π2－φ2，m ∈，故k π2＋π8－m π2＋φ2＝n π2，m ，n ，∈，即φ＝(m ＋n －)π－π4，m ，n ，∈，又|φ|<π2，所以φ＝－π4.答案：－π416．设函数f ()＝A sin(ω＋φ)(A ＞0，ω＞0)．若函数f ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f ()的最小正周期为________．解析：法一：∵f ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴＝π2和＝2π3均不是f ()的极值点，其极值应该在＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴＝π6也不是函数f ()的极值点，又f ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π12为f ()的另一个相邻的极值点，故函数f ()的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π.法二：由已知可画出草图，如图所示，则T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，解得T＝π.答案：πB 级——难度小题强化练1．(2018·宜昌模拟)设函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于原点对称，则角θ＝( )A ．－π6B.π6 C ．－π3D.π3解析：选D ∵f ()＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，且f ()的图象关于原点对称，∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，∴θ－π3＝π(∈)，即θ＝π3＋π(∈)，又|θ|<π2，∴θ＝π3.2．(2018·洛阳模拟)已知函数f ()＝sin ＋3cos (∈R )，先将y ＝f ()的图象上所有点的横坐标缩短到原;的13(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为( )A.π9B.π3C.5π18D.2π3解析：选C f ()＝sin ＋3cos ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，将其图象上所有点的横坐标缩短到原;的13(纵坐标不变)，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图象，再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －θπ3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－3θ的图象．由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－3θ的图象关于y 轴对称得π3－3θ＝π2＋π，∈，即θ＝－6k ＋118π，∈，又θ>0，故当＝－1时，θ取得最小值5π18，故选C. 3．(2018·洛阳尖子生统考)已知函数f ()＝sin(sin )＋cos(sin )，∈R ，则下列说法正确的是( ) A ．函数f ()是周期函数且最小正周期为π B ．函数f ()是奇函数C ．函数f ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[1，2]D ．函数f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数解析：选C f ()＝sin(sin )＋cos(sin )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋π4，因为f (π＋)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin xπ4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－sin x ＋π4≠f ()，所以π不是函数f ()的最小正周期，故A 错误；f (－)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin xπ4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin x ＋π4≠－f ()，故B 错误；当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ∈[0,1]，sin ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π4＋1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋π4∈[1，2]，故C 正确；当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，sin ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，sin ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＋π4，1＋π4，而π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＋π4，1＋π4，所以函数f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上不是单调函数，故D 错误．4．(2018·武汉调研)函数f ()＝A cos ()ωx ＋φ(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f ()的最大值为A ； ②f ()的最小正周期为2；③f ()图象的一条对称轴为直线＝－12；④f ()在⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，∈上是减函数．则正确结论的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 若A >0，则最大值是A ，若A <0，则最大值是－A ，故①不正确；由题图可知，函数f ()的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，故②正确；因为函数f ()的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，所以函数f ()图象的对称轴为直线＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋54＋kT 2＝34＋(∈)，而34＋＝－12无整数解，故直线＝－12不是函数f ()图象的对称轴，故③不正确；由图可知，当14－T 4＋T ≤≤14＋T 4＋T (∈)，即2－14≤≤2＋34(∈)时，f ()是减函数，故④正确．故选B. 5．(2018·山东淄博质检)若函数y ＝sin 2＋a cos ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，则实数a 的值为________．解析：y ＝1－cos 2＋a cos ＋58a －32＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24＋58a －12.∵0≤≤π2，∴0≤cos ≤1.①若a2>1，即a >2，则当cos ＝1时，y ma ＝a ＋58a －32＝1⇒a ＝2013<2(舍去)；②若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，则当cos ＝a2时，y ma ＝a 24＋58a －12＝1，∴a ＝32或a ＝－4<0(舍去)；③若a 2<0，即a <0，则当cos ＝0时，y ma ＝58a －12＝1⇒a ＝125>0(舍去)．答案：326．已知函数f ()＝2a sin(πω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f ()的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[2,4]上的值域是[a ，2a ]； ②在[2,4]上，当且仅当＝3时函数取得最大值； ③该函数的最小正周期可以是83；④f ()的图象可能过原点．其中是真命题的为________(写出序号即可)．解析：对于①，∵直线y ＝a 与函数f ()＝2a sin(πω＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a >0时，f ()在[2,4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f ()在[2,4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然＝2和＝4的中点是＝3，即当a >0时，f ()在＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f ()在＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误；对于③，∵函数f ()＝2a sin(πω＋φ)的最小正周期T ＝2ππω＝2ω，当ω＝34时，T ＝83>4－2＝2，因此f ()的最小正周期可以是83，③正确；对于④，f (0)＝2a sin φ，令f (0)＝0，得φ＝0，此时f ()＝2a sin πω，由2a sin πω＝a 得sin πω＝22， 则πω＝2π＋π4(∈)或πω＝2π＋3π4(∈)，∴＝2k ＋14ω(∈)或＝2k ＋34ω(∈)，∵直线y ＝a 与函数f ()＝2a sin(πω＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，∴令⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14ω＝2，2k ＋34ω＝4，解得＝18∉，即不存在这样的符合题意，④错误．综上，只有③正确．答案：③。

课时跟踪检测（二） 三角函数的图象与性质 （小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知， 函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝⎛⎭⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π8，1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故选A. 2．(2018·重庆模拟)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫3π4，0 B.⎝⎛⎭⎫π2，0 C.⎝⎛⎭⎫π4，0D.⎝⎛⎭⎫－π4，0 解析：选C 令x －π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π4，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π4，0，故选C. 3．(2018·宝鸡质检)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.4．(2018·福州模拟)将函数y ＝2sin x ＋cos x 的图象向右平移12个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝sin x －2cos xB ．y ＝2sin x －cos xC ．y ＝－sin x ＋2cos xD ．y ＝－2sin x －cos x解析：选D 因为y ＝2sin x ＋cos x ＝5sin(x ＋θ)，其中θ满足cos θ＝25，sin θ＝15，所以函数y ＝2sin x ＋cos x 的周期为2π，所以12个周期为π.于是由题设知平移后所得图象对应的函数为y ＝2sin(x －π)＋cos(x －π)＝－2sin x －cos x ．故选D.5．(2018·郑州模拟)若将函数f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选A 将函数f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3＝12sin ()2x ＋π＝－12sin 2x 的图象，令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π(k ∈Z )，因此函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )，故选A.6．(2018·唐山模拟)把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝0B ．x ＝π2C ．x ＝π6D ．x ＝－π12解析：选C 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋k π2(k ∈Z )，令k ＝0，则x ＝π6，选C.7．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x 在x ＝θ时取得最大值，则cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝( )A ．－2＋64B ．－12C.2－64D.32解析：选C ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，又f (x )在x ＝θ时取得最大值，∴θ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即θ＝π6＋2k π(k ∈Z )，于是cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＋4k π＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝12×22－32×22＝2－64，故选C. 8．(2019届高三·福州四校联考)函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，并且函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则实数ω的值为( )A.74 B.32 C ．2D.54解析：选C 因为将函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，所以g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π12，又函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以g ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ωπ4＝1且2πω≥π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ω＝8k ＋2(k ∈Z )，0<ω≤6，所以ω＝2，故选C. 9．(2018·合肥一模)将函数y ＝cos x －sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝cos 2x ＋sin 2x 的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12解析：选D 将函数y ＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－φ的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫1a x ＋π4－φ的图象，又y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫1a x ＋π4－φ＝cos 2x ＋sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴1a ＝2，π4－φ＝－π4＋2k π(k ∈Z )，∴a ＝12，φ＝π2＋2k π(k ∈N )，又φ>0，结合选项知选D.10．(2018·开封模拟)若存在正整数ω和实数φ使得函数f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)＝ (1－cos (2ωx ＋2φ)2及其图象知，12<12×2π2ω<1，即π2<ω<π，所以正整数ω＝2或3.由函数f (x )的图象经过点(1,0)，得f (1)＝ (1－cos (2ωx ＋2φ)2＝0，得2ω＋2φ＝2k π(k ∈Z )，即2φ＝2k π－2ω(k ∈Z )．由图象知f (0)>12，即1－cos 2φ2＝1－cos 2ω2>12，得cos 2ω<0，所以ω＝2，故选B.11．(2018·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，以下命题中为假命题的是( ) A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称B ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点C ．函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上是增函数 解析：选C 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π12，即函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项A 正确；令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6，即x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，选项B 正确；2x ＋π3＝2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到，选项C 错误；若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，则2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上是增函数，选项D 正确．故选C.12．(2018·江苏南京模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)，若f (0)＝－f ⎝⎛⎭⎫π2且f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω＝( )A.23 B ．2 C.263D.143或6 解析：选D f (0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12， 令ωx 1－π6＝0得，x 1＝π6ω，而π6ωT ＝π6ω2πω＝112，故x 1＝T12.又f (0)＝－f ⎝⎛⎭⎫π2，如图，若f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上有且仅有3个零点，则π2＝T ＋T 12×2或π2＝3T 2，即T ＝3π7或T ＝π3，则ω＝143或6，故选D. 二、填空题13．(2018·广州模拟)函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1(x ∈R )的最大值为________． 解析：∵f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，∴f (x )max ＝2. 答案：214．(2018·北京东城质检)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最小值为________．解析： 由函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6.当2x －π6＝5π6时，函数f (x )取得最小值为1.答案：115．(2018·武汉调研)若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则φ＝________. 解析：因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即2πω＝2π2，所以ω＝2，故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .令2x ＋φ＝m π，m ∈Z ，则x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故函数g (x )的图象的对称轴为x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故k π2＋π8－m π2＋φ2＝n π2，m ，n ，k ∈Z ，即φ＝(m ＋n －k )π－π4，m ，n ，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π4.答案：－π416．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．若函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为________． 解析：法一：∵f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应该在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，∴x ＝π6也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，∴x ＝π6－⎝⎛⎭⎫7π12－π2＝π12为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫7π12－π12＝π.法二：由已知可画出草图，如图所示，则T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，解得T ＝π.答案：πB 级——难度小题强化练1．(2018·宜昌模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎫|θ|<π2的图象关于原点对称，则角θ＝( )A ．－π6B.π6 C ．－π3D.π3解析：选D ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称，∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，∴θ－π3＝k π(k ∈Z )，即θ＝π3＋k π(k ∈Z )，又|θ|<π2，∴θ＝π3. 2．(2018·洛阳模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为( )A.π9B.π3C.5π18D.2π3解析：选C f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3的图象，再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤3(x －θ)＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3－3θ的图象．由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3－3θ的图象关于y 轴对称得π3－3θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝－6k ＋118π，k ∈Z ，又θ>0，故当k ＝－1时，θ取得最小值5π18，故选C.3．(2018·洛阳尖子生统考)已知函数f (x )＝sin(sin x )＋cos(sin x )，x ∈R ，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )是周期函数且最小正周期为πB ．函数f (x )是奇函数C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为[1，2] D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数解析：选C f (x )＝sin(sin x )＋cos(sin x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫sin x ＋π4，因为f (π＋x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤sin (x ＋π)＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫－sin x ＋π4≠f (x )，所以π不是函数f (x )的最小正周期，故A 错误；f (－x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤sin (－x )＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫－sin x ＋π4≠－f (x )，故B 错误；当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin x ∈[0,1]，sin x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，π4＋1，所以sin ⎝⎛⎭⎫sin x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤22，1，则2sin ⎝⎛⎭⎫sin x ＋π4∈[1，2]， 故C 正确；当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，sin x ∈⎣⎡⎦⎤22，1，sin x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤22＋π4，1＋π4，而π2∈⎣⎡⎦⎤22＋π4，1＋π4，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上不是单调函数，故D 错误．4．(2018·武汉调研)函数f (x )＝A cos ()ωx ＋φ(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f (x )的最大值为A ； ②f (x )的最小正周期为2；③f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－12；④f (x )在⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 上是减函数． 则正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 若A >0，则最大值是A ，若A <0，则最大值是－A ，故①不正确；由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2，故②正确；因为函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫14，0和⎝⎛⎭⎫54，0，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12⎝⎛⎭⎫14＋54＋kT 2＝34＋k (k ∈Z )，而34＋k ＝－12无整数解，故直线x ＝－12不是函数f (x )图象的对称轴，故③不正确；由图可知，当14－T 4＋kT ≤x ≤14＋T 4＋kT (k ∈Z )，即2k －14≤x ≤2k ＋34(k ∈Z )时，f (x )是减函数，故④正确．故选B.5．(2018·山东淄博质检)若函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，则实数a 的值为________．解析：y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－⎝⎛⎭⎫cos x －a 22＋a 24＋58a －12.∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1.①若a 2>1，即a >2，则当cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1⇒a ＝2013<2(舍去)；②若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，则当cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，∴a ＝32或a ＝－4<0(舍去)；③若a 2<0，即a <0，则当cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1⇒a ＝125>0(舍去)．答案：326．已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[2,4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2,4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③该函数的最小正周期可以是83；④f (x )的图象可能过原点．其中是真命题的为________(写出序号即可)．解析：对于①，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2,4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2,4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误；对于③，∵函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的最小正周期T ＝2ππω＝2ω，当ω＝34时，T ＝83>4－2＝2，因此f (x )的最小正周期可以是83，③正确；对于④，f (0)＝2a sin φ，令f (0)＝0，得φ＝0，此时f (x )＝2a sin πωx ，由2a sin πωx ＝a 得sin πωx ＝22， 则πωx ＝2k π＋π4(k ∈Z )或πωx ＝2k π＋3π4(k ∈Z )，∴x ＝2k ＋14ω(k ∈Z )或x ＝2k ＋34ω(k ∈Z )，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，∴令⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14ω＝2，2k ＋34ω＝4，解得k ＝18∉Z ，即不存在这样的k 符合题意，④错误．综上，只有③正确．答案：③。

课时跟踪检测（二十二） 三角函数的图象与性质[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(河北枣强中学二模)下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x2D ．y ＝tan(－x )解析：选D A 选项,函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π上单调递增,故排除A ；B 选项,函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增,故排除B ；C 选项,函数的周期是4π,故排除C 。

故选D 。

2．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C 。

⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数,A 错；函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增,B 错；最小正周期为π2,D 错；由2x －π3＝k π2,k ∈Z,得x ＝k π4＋π6,k ∈Z 。

当k ＝0时,x ＝π6,所以它的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．3．(广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为1,则ω＝( )A 。

14 B 。

13 C 。

12D 。

32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3,所以0≤ωx <π3,所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增,则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ωπ3＝1,即sin ωπ3＝12。

又0≤ωx <π3,所以ωπ3＝π6,解得ω＝12,选C 。

4．(冀州四校联考)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数,若f (x )的最小正周期是π,且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,f (x )＝sin x ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( )A ．－12B 。

课时跟踪检测（二） 三角函数的图象与性质 （小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1.函数f ()＝sin(ω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f ()的解析式为( )A ．f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4D ．f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4解析：选A 由题图可知， 函数f ()的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f ()＝sin(2＋φ)．又函数f ()的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2π＋π2(∈)，解得φ＝2π＋π4(∈)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选A.2．(2018·重庆模拟)函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 解析：选C 令－π4＝π(∈)，得＝π＋π4(∈)，当＝0时，＝π4，所以函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，故选C.3．(2018·宝鸡质检)函数f ()＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(∈) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(∈) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(∈)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(∈)解析：选B 由π－π2<2－π3<π＋π2(∈)得，k π2－π12<<k π2＋5π12(∈)，所以函数f ()＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(∈)，故选B.4．(2018·福州模拟)将函数y ＝2sin ＋cos 的图象向右平移12个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝sin －2cosB ．y ＝2sin －cosC ．y ＝－sin ＋2cosD ．y ＝－2sin －cos解析：选D 因为y ＝2sin ＋cos ＝5sin(＋θ)，其中θ满足cos θ＝25，sin θ＝15，所以函数y ＝2sin ＋cos 的周期为2π，所以12个周期为π.于是由题设知平移后所得图象对应的函数为y ＝2sin(－π)＋cos(－π)＝－2sin －cos ．故选D.5．(2018·郑州模拟)若将函数f ()＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到g ()的图象，则函数g ()的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(∈)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(∈)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6(∈)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(∈)解析：选A 将函数f ()＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到函数g ()＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝12sin ()2x ＋π＝－12sin 2的图象，令π2＋2π≤2≤3π2＋2π(∈)，可得π4＋π≤≤3π4＋π(∈)，因此函数g ()的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(∈)，故选A.6．(2018·唐山模拟)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为( )A ．＝0B ．＝π2C ．＝π6D ．＝－π12解析：选 C 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令2＋π6＝π2＋π(∈)，得＝π6＋k π2(∈)，令＝0，则＝π6，选C.7．(2018·成都模拟)已知函数f ()＝sin ＋3cos 在＝θ时取得最大值，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝( )A ．－2＋64B ．－12C.2－64D.32解析：选C ∵f ()＝sin ＋3cos ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，又f ()在＝θ时取得最大值，∴θ＋π3＝π2＋2π(∈)，即θ＝π6＋2π(∈)，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＋4k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝12×22－32×22＝2－64，故选C. 8．(2019届高三·福州四校联考)函数f ()＝sin ω(ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g ()的图象，并且函数g ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则实数ω的值为( )A.74 B.32 C ．2D.54解析：选C 因为将函数f ()＝sin ω(ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g ()的图象，所以g ()＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，又函数g ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ωπ4＝1且2πω≥π3，所以⎩⎨⎧ω＝8k ＋2k ∈Z 0<ω≤6，所以ω＝2，故选C.9．(2018·合肥一模)将函数y ＝cos －sin 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原的a 倍，得到y ＝cos 2＋sin 2的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12解析：选D 将函数y ＝cos －sin ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－φ的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原的a 倍，得到y＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋π4－φ的图象，又y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋π4－φ＝cos 2＋sin 2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴1a ＝2，π4－φ＝－π4＋2π(∈)，∴a ＝12，φ＝π2＋2π(∈N )，又φ>0，结合选项知选D.10．(2018·开封模拟)若存在正整数ω和实数φ使得函数f ()＝sin 2(ω＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由f ()＝sin 2(ω＋φ)＝ (1－cos 2ωx ＋2φ)2及其图象知，12<12×2π2ω<1，即π2<ω<π，所以正整数ω＝2或3.由函数f ()的图象经过点(1,0)，得f (1)＝ (1－cos 2ωx ＋2φ)2＝0，得2ω＋2φ＝2π(∈)，即2φ＝2π－2ω(∈)．由图象知f (0)>12，即1－cos 2φ2＝1－cos 2ω2>12，得cos 2ω<0，所以ω＝2，故选B.11．(2018·沈阳模拟)已知函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，以下命题中为假命题的是( )A ．函数f ()的图象关于直线＝π12对称B ．＝－π6是函数f ()的一个零点C ．函数f ()的图象可由g ()＝sin 2的图象向左平移π3个单位长度得到D ．函数f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数解析：选C 令2＋π3＝π＋π2(∈)，当＝0时，＝π12，即函数f ()的图象关于直线＝π12对称，选项A 正确；令2＋π3＝π(∈)，当＝0时，＝－π6，即＝－π6是函数f ()的一个零点，选项B 正确；2＋π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，故函数f ()的图象可由g ()＝sin 2的图象向左平移π6个单位长度得到，选项C 错误；若∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，则2＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，故f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数，选项D 正确．故选C.12．(2018·江苏南京模拟)已知函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，若f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2且f ()在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω＝( )A.23 B ．2 C.263D.143或6 解析：选D f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，令ω1－π6＝0得，1＝π6ω，而π6ωT ＝π6ω2πω＝112，故1＝T12.又f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，如图，若f ()在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有3个零点，则π2＝T ＋T 12×2或π2＝3T 2，即T ＝3π7或T ＝π3，则ω＝143或6，故选D. 二、填空题13．(2018·广州模拟)函数f ()＝4cos sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(∈R )的最大值为________．解析：∵f ()＝4cos sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin cos ＋2cos 2－1＝3sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f ()ma ＝2.答案：214．(2018·北京东城质检)函数f ()＝sin 2＋3sin cos 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最小值为________．解析： 由函数f ()＝sin 2＋3sin cos ＝12－12cos 2＋32sin 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.∵∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.当2－π6＝5π6时，函数f ()取得最小值为1.答案：115．(2018·武汉调研)若函数f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g ()＝cos(2＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则φ＝________.解析：因为函数f ()＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g ()＝cos(2＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即2πω＝2π2，所以ω＝2，故函数f ()＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2＋π4＝π＋π2，∈，则＝k π2＋π8，∈，故函数f ()的图象的对称轴为＝k π2＋π8，∈.令2＋φ＝m π，m ∈，则＝m π2－φ2，m ∈，故函数g ()的图象的对称轴为＝m π2－φ2，m ∈，故k π2＋π8－m π2＋φ2＝n π2，m ，n ，∈，即φ＝(m ＋n －)π－π4，m ，n ，∈，又|φ|<π2，所以φ＝－π4. 答案：－π416．设函数f ()＝A sin(ω＋φ)(A ＞0，ω＞0)．若函数f ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f ()的最小正周期为________． 解析：法一：∵f ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴＝π2和＝2π3均不是f ()的极值点，其极值应该在＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴＝π6也不是函数f ()的极值点，又f ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π12为f ()的另一个相邻的极值点，故函数f ()的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π.法二：由已知可画出草图，如图所示，则T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，解得T ＝π.答案：πB 级——难度小题强化练1．(2018·宜昌模拟)设函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于原点对称，则角θ＝( )A ．－π6B.π6 C ．－π3D.π3解析：选D ∵f ()＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，且f ()的图象关于原点对称，∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，∴θ－π3＝π(∈)，即θ＝π3＋π(∈)，又|θ|<π2，∴θ＝π3.2．(2018·洛阳模拟)已知函数f ()＝sin ＋3cos (∈R )，先将y ＝f ()的图象上所有点的横坐标缩短到原的13(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为( )A.π9B.π3C.5π18D.2π3解析：选C f ()＝sin ＋3cos ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，将其图象上所有点的横坐标缩短到原的13(纵坐标不变)，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图象，再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －θπ3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－3θ的图象．由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－3θ的图象关于y 轴对称得π3－3θ＝π2＋π，∈，即θ＝－6k ＋118π，∈，又θ>0，故当＝－1时，θ取得最小值5π18，故选C.3．(2018·洛阳尖子生统考)已知函数f ()＝sin(sin )＋cos(sin )，∈R ，则下列说法正确的是( )A ．函数f ()是周期函数且最小正周期为πB ．函数f ()是奇函数C ．函数f ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[1，2]D ．函数f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数解析：选C f ()＝sin(sin )＋cos(sin )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋π4，因为f (π＋)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sinx ＋ππ4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－sin x ＋π4≠f ()，所以π不是函数f ()的最小正周期，故A 错误；f (－)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sinxπ4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin x ＋π4≠－f ()，故B 错误；当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ∈[0,1]，sin ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π4＋1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋π4∈[1，2]，故C 正确；当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，sin ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，sin ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＋π4，1＋π4，而π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＋π4，1＋π4，所以函数f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上不是单调函数，故D 错误．4．(2018·武汉调研)函数f ()＝A cos ()ωx ＋φ(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f ()的最大值为A ； ②f ()的最小正周期为2；③f ()图象的一条对称轴为直线＝－12；④f ()在⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，∈上是减函数．则正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 若A >0，则最大值是A ，若A <0，则最大值是－A ，故①不正确；由题图可知，函数f ()的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，故②正确；因为函数f ()的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，所以函数f ()图象的对称轴为直线＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋54＋kT 2＝34＋(∈)，而34＋＝－12无整数解，故直线＝－12不是函数f ()图象的对称轴，故③不正确；由图可知，当14－T 4＋T ≤≤14＋T4＋T (∈)，即2－14≤≤2＋34(∈)时，f ()是减函数，故④正确．故选B. 5．(2018·山东淄博质检)若函数y ＝sin 2＋a cos ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，则实数a 的值为________．解析：y ＝1－cos 2＋a cos ＋58a －32＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24＋58a －12.∵0≤≤π2，∴0≤cos ≤1.①若a 2>1，即a >2，则当cos ＝1时，y ma ＝a ＋58a －32＝1⇒a ＝2013<2(舍去)；②若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，则当cos ＝a2时，y ma ＝a 24＋58a －12＝1，∴a ＝32或a ＝－4<0(舍去)；③若a 2<0，即a <0，则当cos ＝0时，y ma ＝58a －12＝1⇒a ＝125>0(舍去)．答案：326．已知函数f ()＝2a sin(πω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f ()的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[2,4]上的值域是[a ，2a ]； ②在[2,4]上，当且仅当＝3时函数取得最大值； ③该函数的最小正周期可以是83；④f ()的图象可能过原点．其中是真命题的为________(写出序号即可)．解析：对于①，∵直线y ＝a 与函数f ()＝2a sin(πω＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a >0时，f ()在[2,4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f ()在[2,4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然＝2和＝4的中点是＝3，即当a >0时，f ()在＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f ()在＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误；对于③，∵函数f ()＝2a sin(πω＋φ)的最小正周期T ＝2ππω＝2ω，当ω＝34时，T ＝83>4－2＝2，因此f ()的最小正周期可以是83，③正确； 对于④，f (0)＝2a sin φ，令f (0)＝0，得φ＝0，此时f ()＝2a sin πω，由2a sin πω＝a 得sin πω＝22， 则πω＝2π＋π4(∈)或πω＝2π＋3π4(∈)， ∴＝2k ＋14ω(∈)或＝2k ＋34ω(∈)， ∵直线y ＝a 与函数f ()＝2a sin(πω＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，∴令⎩⎪⎨⎪⎧ 2k ＋14ω＝2，2k ＋34ω＝4，解得＝18∉，即不存在这样的符合题意，④错误．综上，只有③正确．答案：③。

课时跟踪检测(二十) 三角函数图象与性质1．函数y ＝ cos x －12的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π3，π3 B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的选项是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数3．(2021·广州综合测试)假如函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的两个相邻零点之间的间隔 为π12，那么ω的值为( ) A ．3 B ．6 C ．12D ．244．(2021·山东高考)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 35．函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，假设f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，那么f (x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 B.⎣⎡⎦⎤π8，9π8 C.⎣⎡⎦⎤－3π8，π8 D.⎣⎡⎦⎤π8，5π86．函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，那么ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C ．2D ．37．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________．8．(2021·广州联考)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，假设f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，那么f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为________． 9．假如函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．10．设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值． 11．(2021·佛山期中)函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值和最小值． 12．(2021·北京高考)函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．1．(2021·新课标全国卷)ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，那么ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]2．函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，那么函数y ＝f (x )的定义域为________．3．(2021·中山调研)a >0，函数f (x )＝－2a sin ( 2x ＋⎭⎫π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 答 案 课时跟踪检测(二十)A 级1．选C ∵cos x －12≥0，得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .2．选D ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数．3．选C 由正弦函数的性质可知，两个相邻零点之间的间隔 为周期的一半，即该函数的周期T ＝2×π12＝π6，故T ＝2πω＝π6，解得ω＝12.4．选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.5．选C 由f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2，得f ⎝⎛⎭⎫π8＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .6．选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，那么ωx ∈⎣⎡⎦⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上获得最小值－2，那么－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32.7．解析：由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 8．解析：f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 答案：329．解析：∵y ＝cos x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )， ∴由2×4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π－13π6(k ∈Z )．∴当k ＝2时，|φ|min ＝π6.答案：π610．解：(1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知：定义域为x ⎪⎪2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z .(2)∵－1≤sin x ≤1， ∴－1≤1－2sin x ≤3，∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3，∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )获得最大值．11．解：(1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin 2x ， ∴函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵－π6≤x ≤π2，∴－π3≤2x ≤π，那么－32≤sin 2x ≤1.所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32. 12．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )．B 级1．选A 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图象可看作是由函数f (x )＝sin x 的图象先向左平移π4个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍，纵坐标不变得到的，而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的减区间是⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以要使函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，需满足⎩⎨⎧π4×1ω≤π2，5π4×1ω≥π，解得12≤ω≤54.2．解析：由2k π－π6≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，得－12≤cos x ≤1.故所求函数的定义域为⎣⎡⎦⎤－12，1. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，1 3．解：(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6， k ∈Z又∵当2k π＋π2<2x ＋π6 <2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

一讲三角函数的图象与性质课时作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第一讲三角函数的图象与性质课时作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第一讲三角函数的图象与性质课时作业文1．（2016·西安质检)将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是( )A．x＝－π12B．x＝错误!C．x＝错误!D．x＝错误!解析：将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin错误!的图象，由错误!x＋错误!＝错误!＋kπ，k∈Z，得x＝错误!＋2kπ，k∈Z,∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝2π3.故应选D.答案：D2．(2016·贵阳监测）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ)错误!的部分图象如图所示,如果x1，x2∈错误!,且f（x1）＝f(x2），则f(x1＋x2)＝( )A.错误!B。

错误!C。

错误!D．1解析：由题图可知,错误!＝错误!－错误!＝错误!,则T＝π，ω＝2，又错误!＝错误!，∴f(x)的图象过点错误!，即sin错误!＝1，得φ＝错误!，∴f(x)＝sin错误!。

而x1＋x2＝－错误!＋错误!＝错误!，∴f（x1＋x2）＝f错误!＝sin错误!＝sin 错误!＝错误!.答案：B3．（2016·高考山东卷)函数f（x)＝(错误!sin x＋cos x）·（错误!cos x－sin x）的最小正周期是（）A。

课时跟踪检测（二） 三角函数的图象与性质 （小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1.函数f ()＝sin(ω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f ()的解析式为( )A ．f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4D ．f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4解析：选A 由题图可知， 函数f ()的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f ()＝sin(2＋φ)．又函数f ()的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2π＋π2(∈)，解得φ＝2π＋π4(∈)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选A.2．(2018·重庆模拟)函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 解析：选C 令－π4＝π(∈)，得＝π＋π4(∈)，当＝0时，＝π4，所以函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，故选C.3．(2018·宝鸡质检)函数f ()＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(∈) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(∈) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(∈)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(∈)解析：选B 由π－π2<2－π3<π＋π2(∈)得，k π2－π12<<k π2＋5π12(∈)，所以函数f ()＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(∈)，故选B.4．(2018·福州模拟)将函数y ＝2sin ＋cos 的图象向右平移12个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝sin －2cosB ．y ＝2sin －cosC ．y ＝－sin ＋2cosD ．y ＝－2sin －cos解析：选D 因为y ＝2sin ＋cos ＝5sin(＋θ)，其中θ满足cos θ＝25，sin θ＝15，所以函数y ＝2sin ＋cos 的周期为2π，所以12个周期为π.于是由题设知平移后所得图象对应的函数为y ＝2sin(－π)＋cos(－π)＝－2sin －cos ．故选D.5．(2018·郑州模拟)若将函数f ()＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到g ()的图象，则函数g ()的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(∈)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(∈)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6(∈)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(∈)解析：选A 将函数f ()＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到函数g ()＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝12sin ()2x ＋π＝－12sin 2的图象，令π2＋2π≤2≤3π2＋2π(∈)，可得π4＋π≤≤3π4＋π(∈)，因此函数g ()的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(∈)，故选A.6．(2018·唐山模拟)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为( )A ．＝0B ．＝π2C ．＝π6D ．＝－π12解析：选 C 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令2＋π6＝π2＋π(∈)，得＝π6＋k π2(∈)，令＝0，则＝π6，选C.7．(2018·成都模拟)已知函数f ()＝sin ＋3cos 在＝θ时取得最大值，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝( )A ．－2＋64B ．－12C.2－64D.32解析：选C ∵f ()＝sin ＋3cos ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，又f ()在＝θ时取得最大值，∴θ＋π3＝π2＋2π(∈)，即θ＝π6＋2π(∈)，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＋4k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝12×22－32×22＝2－64，故选C. 8．(2019届高三·福州四校联考)函数f ()＝sin ω(ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g ()的图象，并且函数g ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则实数ω的值为( )A.74 B.32 C ．2D.54解析：选C 因为将函数f ()＝sin ω(ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g ()的图象，所以g ()＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，又函数g ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ωπ4＝1且2πω≥π3，所以⎩⎨⎧ω＝8k ＋2k ∈Z 0<ω≤6，所以ω＝2，故选C.9．(2018·合肥一模)将函数y ＝cos －sin 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原的a 倍，得到y ＝cos 2＋sin 2的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12解析：选D 将函数y ＝cos －sin ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－φ的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原的a 倍，得到y＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋π4－φ的图象，又y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋π4－φ＝cos 2＋sin 2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴1a ＝2，π4－φ＝－π4＋2π(∈)，∴a ＝12，φ＝π2＋2π(∈N )，又φ>0，结合选项知选D.10．(2018·开封模拟)若存在正整数ω和实数φ使得函数f ()＝sin 2(ω＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由f ()＝sin 2(ω＋φ)＝ (1－cos 2ωx ＋2φ)2及其图象知，12<12×2π2ω<1，即π2<ω<π，所以正整数ω＝2或3.由函数f ()的图象经过点(1,0)，得f (1)＝ (1－cos 2ωx ＋2φ)2＝0，得2ω＋2φ＝2π(∈)，即2φ＝2π－2ω(∈)．由图象知f (0)>12，即1－cos 2φ2＝1－cos 2ω2>12，得cos 2ω<0，所以ω＝2，故选B.11．(2018·沈阳模拟)已知函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，以下命题中为假命题的是( )A ．函数f ()的图象关于直线＝π12对称B ．＝－π6是函数f ()的一个零点C ．函数f ()的图象可由g ()＝sin 2的图象向左平移π3个单位长度得到D ．函数f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数解析：选C 令2＋π3＝π＋π2(∈)，当＝0时，＝π12，即函数f ()的图象关于直线＝π12对称，选项A 正确；令2＋π3＝π(∈)，当＝0时，＝－π6，即＝－π6是函数f ()的一个零点，选项B 正确；2＋π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，故函数f ()的图象可由g ()＝sin 2的图象向左平移π6个单位长度得到，选项C 错误；若∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，则2＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，故f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数，选项D 正确．故选C.12．(2018·江苏南京模拟)已知函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，若f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2且f ()在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω＝( )A.23 B ．2 C.263D.143或6 解析：选D f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，令ω1－π6＝0得，1＝π6ω，而π6ωT ＝π6ω2πω＝112，故1＝T12.又f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，如图，若f ()在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有3个零点，则π2＝T ＋T 12×2或π2＝3T 2，即T ＝3π7或T ＝π3，则ω＝143或6，故选D. 二、填空题13．(2018·广州模拟)函数f ()＝4cos sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(∈R )的最大值为________．解析：∵f ()＝4cos sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin cos ＋2cos 2－1＝3sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f ()ma ＝2.答案：214．(2018·北京东城质检)函数f ()＝sin 2＋3sin cos 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最小值为________．解析： 由函数f ()＝sin 2＋3sin cos ＝12－12cos 2＋32sin 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.∵∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.当2－π6＝5π6时，函数f ()取得最小值为1.答案：115．(2018·武汉调研)若函数f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g ()＝cos(2＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则φ＝________.解析：因为函数f ()＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g ()＝cos(2＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即2πω＝2π2，所以ω＝2，故函数f ()＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2＋π4＝π＋π2，∈，则＝k π2＋π8，∈，故函数f ()的图象的对称轴为＝k π2＋π8，∈.令2＋φ＝m π，m ∈，则＝m π2－φ2，m ∈，故函数g ()的图象的对称轴为＝m π2－φ2，m ∈，故k π2＋π8－m π2＋φ2＝n π2，m ，n ，∈，即φ＝(m ＋n －)π－π4，m ，n ，∈，又|φ|<π2，所以φ＝－π4. 答案：－π416．设函数f ()＝A sin(ω＋φ)(A ＞0，ω＞0)．若函数f ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f ()的最小正周期为________． 解析：法一：∵f ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴＝π2和＝2π3均不是f ()的极值点，其极值应该在＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴＝π6也不是函数f ()的极值点，又f ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π12为f ()的另一个相邻的极值点，故函数f ()的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π. 法二：由已知可画出草图，如图所示，则T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，解得T ＝π.答案：πB 级——难度小题强化练1．(2018·宜昌模拟)设函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于原点对称，则角θ＝( )A ．－π6B.π6 C ．－π3D.π3解析：选D ∵f ()＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，且f ()的图象关于原点对称，∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，∴θ－π3＝π(∈)，即θ＝π3＋π(∈)，又|θ|<π2，∴θ＝π3.2．(2018·洛阳模拟)已知函数f ()＝sin ＋3cos (∈R )，先将y ＝f ()的图象上所有点的横坐标缩短到原的13(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为( )A.π9B.π3C.5π18D.2π3解析：选C f ()＝sin ＋3cos ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，将其图象上所有点的横坐标缩短到原的13(纵坐标不变)，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图象，再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －θπ3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－3θ的图象．由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－3θ的图象关于y 轴对称得π3－3θ＝π2＋π，∈，即θ＝－6k ＋118π，∈，又θ>0，故当＝－1时，θ取得最小值5π18，故选C.3．(2018·洛阳尖子生统考)已知函数f ()＝sin(sin )＋cos(sin )，∈R ，则下列说法正确的是( )A ．函数f ()是周期函数且最小正周期为πB ．函数f ()是奇函数C ．函数f ()在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[1，2]D ．函数f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数解析：选C f ()＝sin(sin )＋cos(sin )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋π4，因为f (π＋)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sinx ＋ππ4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－sin x ＋π4≠f ()，所以π不是函数f ()的最小正周期，故A 错误；f (－)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sinxπ4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin x ＋π4≠－f ()，故B 错误；当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ∈[0,1]，sin ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π4＋1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋π4∈[1，2]，故C 正确；当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，sin ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，sin ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＋π4，1＋π4，而π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＋π4，1＋π4，所以函数f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上不是单调函数，故D 错误．4．(2018·武汉调研)函数f ()＝A cos ()ωx ＋φ(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f ()的最大值为A ； ②f ()的最小正周期为2；③f ()图象的一条对称轴为直线＝－12；④f ()在⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，∈上是减函数．则正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 若A >0，则最大值是A ，若A <0，则最大值是－A ，故①不正确；由题图可知，函数f ()的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，故②正确；因为函数f ()的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，所以函数f ()图象的对称轴为直线＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋54＋kT 2＝34＋(∈)，而34＋＝－12无整数解，故直线＝－12不是函数f ()图象的对称轴，故③不正确；由图可知，当14－T 4＋T ≤≤14＋T4＋T (∈)，即2－14≤≤2＋34(∈)时，f ()是减函数，故④正确．故选B. 5．(2018·山东淄博质检)若函数y ＝sin 2＋a cos ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，则实数a 的值为________．解析：y ＝1－cos 2＋a cos ＋58a －32＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24＋58a －12.∵0≤≤π2，∴0≤cos ≤1.①若a 2>1，即a >2，则当cos ＝1时，y ma ＝a ＋58a －32＝1⇒a ＝2013<2(舍去)；②若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，则当cos ＝a2时，y ma ＝a 24＋58a －12＝1，∴a ＝32或a ＝－4<0(舍去)；③若a 2<0，即a <0，则当cos ＝0时，y ma ＝58a －12＝1⇒a ＝125>0(舍去)．答案：326．已知函数f ()＝2a sin(πω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f ()的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[2,4]上的值域是[a ，2a ]； ②在[2,4]上，当且仅当＝3时函数取得最大值； ③该函数的最小正周期可以是83；④f ()的图象可能过原点．其中是真命题的为________(写出序号即可)．解析：对于①，∵直线y ＝a 与函数f ()＝2a sin(πω＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a >0时，f ()在[2,4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f ()在[2,4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然＝2和＝4的中点是＝3，即当a >0时，f ()在＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f ()在＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误；对于③，∵函数f ()＝2a sin(πω＋φ)的最小正周期T ＝2ππω＝2ω，当ω＝34时，T ＝83>4－2＝2，因此f ()的最小正周期可以是83，③正确； 对于④，f (0)＝2a sin φ，令f (0)＝0，得φ＝0，此时f ()＝2a sin πω，由2a sin πω＝a 得sin πω＝22， 则πω＝2π＋π4(∈)或πω＝2π＋3π4(∈)， ∴＝2k ＋14ω(∈)或＝2k ＋34ω(∈)， ∵直线y ＝a 与函数f ()＝2a sin(πω＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，∴令⎩⎪⎨⎪⎧ 2k ＋14ω＝2，2k ＋34ω＝4，解得＝18∉，即不存在这样的符合题意，④错误．综上，只有③正确．答案：③。

课时跟踪检测（二） 小题考法——三角函数的图象与性质A 组——10＋7提速练一、选择题1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)，故选B. 2．为了得到函数y ＝3sin 2x ＋1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度解析：选B 将y ＝3sin x 的图象上的所有点的横坐标缩短12倍得到y ＝3sin 2x 的图象，再将y ＝3sin 2x 的图象再向上平移1个单位长度即得y ＝3sin 2x ＋1的图象，故选B.3.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知， 函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选A. 4．(2018·宁波模拟)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝2π3 B ．x ＝－π12C ．x ＝π3D ．x ＝5π12解析：选A 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，令2x ＋π6＝k π＋π2，求得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，可得所得函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，令k ＝1，可得所得函数图象的一条对称轴方程为x ＝2π3，故选A. 5．已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝( ) A ．2 B ．－2 C ．32D ．－32解析：选B ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，∴φ＝π2，f (x )＝－4sin ωx .∵A (a,0)，B (b ，0)是其图象上两点，|a －b |的最小值是1，∴12×2πω＝1，∴ω＝π，f (x )＝－4sin πx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2. 6．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A 法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2， 得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，①由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z)， ②由①②得ω＝－23＋43(k ′－2k )．又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，ω＝23.又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A 符合．法二：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ， ∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A. 7．若把函数y ＝2cos x (cos x －3sin x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π3B.2π3C.π6D.5π6解析：选A 法一：y ＝2cos x (cos x －3sin x )＝2cos 2x －23sin x cos x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，该函数的图象向左平移m 个单位长度后，所得图象对应的函数为y ＝1＋2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋m ＋5π6＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋5π6，由题意知2m ＋5π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得m ＝k π2－π6，k ∈Z ，取k ＝1，得到m 的最小值为π3，故选A.法二：y ＝2cos x (cos x －3sin x )＝2cos 2x －23sin x cos x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，令2x ＋5π6＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2－π6，k ∈Z ，则原函数的图象在x 轴右侧且离y 轴最近的一条对称轴为直线x ＝π3.因为原函数的图象向左平移m (m >0)个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，所以m 的最小值为π3，故选A.8．(2019届高三·温州期中)设α是三角形的一个内角，在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tanα2中可能为负数的值的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A ∵α是三角形的一个内角， 若0<α<π2，则0<α2<π4，0<2α<π.∴在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tanα2中可能为负数的是cos 2α与tan 2α；若α＝π2，则α2＝π4，2α＝π. ∴在sin α，sinα2，cos α，cos 2α，tan 2α，tanα2中为负数的是cos 2α；若π2<α≤3π4，则π4<α2≤3π8，π<2α≤3π2. ∴在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tanα2中可能为负数的是cos α与cos 2α；若3π4<α<π，则3π8<α2<π2，3π2<2α<2π. ∴在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tanα2中可能为负数的是cos α与tan 2α.∴在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tanα2中可能为负数的值的个数是2个．故选A.9．已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－ 2D ．－ 3解析：选B f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ.∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴2×π12＋π6＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝π6＋kπ(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1，故选B.10．(2019届高三·浙江六校联考)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<θ<π2的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数f (x )＝3sin(ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322，则φ的一个可能值是( ) A.π4 B.5π4 C.3π2D.7π4解析：选D 由函数f (x )＝3sin(ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<θ<π2的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为π，则π＝2πω，所以ω＝2，函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ个单位长度，得到g (x )＝3sin(2x ＋θ－2φ)的图象，因为f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322，所以sin θ＝22，sin(θ－2φ)＝22，又－π2<θ<π2，所以θ＝π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2φ＝22，所以π4－2φ＝2k π＋π4(k∈Z)或π4－2φ＝2k π＋3π4(k ∈Z)，所以φ＝－k π(k ∈Z)或φ＝－k π－π4(k ∈Z)，因为φ>0，所以结合选项知φ的一个可能值是7π4.故选D. 二、填空题11．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝_______.解析：函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则其图象的一条对称轴为x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.答案：±212．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2,4]上单调，且f (2)＝1，f (4)＝－1，则ω＝________，f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3上的值域是________．解析：由题意知f (x )的最小正周期T ＝4，∴ω＝π2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ.又f (2)＝sin(π＋φ)＝1， ∴π＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又|φ|<π，∴φ＝－π2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2.由x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3，得π2x －π2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 即f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1. 答案：π2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1 13．(2018·金华模拟)已知函数f (x )＝4sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则函数f (x )的最小正周期T ＝________，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域为________．解析：函数f (x )＝4sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝4sin x ⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π3＋cos x sin π3＝2sin 2x ＋23sin x cos x ＝3sin 2x －cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1， 函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6.∴－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴0<f (x )≤3. ∴值域为(0,3]． 答案：π (0,3]14．设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x 的图象上的一个最低点，则|P Q|的最小值是________．解析：由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q(x 0＋1，－1)，则|P Q|min ＝x 0＋1－x 02＋－1－12＝ 5.答案： 515．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R)，则下列四个结论中正确的是________．(填序号)①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 解析：因为f (x )＝cos x sin x ＝12sin 2x ，所以f (x )是周期函数，且最小正周期为T＝2π2＝π，所以①②错误；由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z)，当k ＝0时，－π4≤x ≤π4，此时f (x )是增函数，所以③正确；由2x ＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝π4＋k π2(k ∈Z)，取k ＝1，则x ＝3π4，故④正确． 答案：③④16．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.答案：－33217．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝________.解析：∵函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1＝A ·1＋cos 2ωx ＋2φ2＋1＝A2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A 2⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，∴A 2＋1＋A2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin π2x ＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 017π2＋sin 2 018π2＋2×2 018＝504×0－sin π2－sin π＋4 036＝0－1－0＋4 036＝4 035.答案：4 035B 组——能力小题保分练1．曲线y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4和直线y ＝12在y 轴右侧的交点的横坐标按从小到大的顺序依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 3P 7|＝( )A ．πB ．2πC ．4πD ．6π解析：选 B y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ，故曲线对应的函数为周期函数，且最小正周期为π，直线y ＝12在y 轴右侧与函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在每个周期内的图象都有两个交点，又P 3与P 7相隔2个周期，故|P 3P 7|＝2π，故选B.2.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝－2π3对称 B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称C ．若方程f (x )＝m 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(－2，－ 3 ]D ．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度得到函数f (x )的图象 解析：选C 由题图可知，A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，∴ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫π12＝2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝2，π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴当x ＝－2π3时，2×⎝⎛⎭⎫－2π3＋π3＝－π， f ⎝⎛⎭⎫－2π3＝2sin(－π)＝0， 从而f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－2π3，0对称，而不是关于直线x ＝－2π3对称，故A 不正确； 当x ＝－5π12时，2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋π3＝－π2， ∴f (x )的图象关于直线x ＝－5π12对称，而不是关于点⎝⎛⎭⎫－5π12，0对称，故B 不正确；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－2π3，π3，f (x )∈[－2, 3 ]，结合正弦函数图象的性质，可知若方程f (x )＝m 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(－2，－3 ]，故C 正确；根据图象平移变换的法则，可知应将y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象向左平移π4个单位长度得到f (x )的图象，故D 不正确．故选C.3．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数互为生成函数．给出下列四个函数：①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝2(sin x ＋cos x )； ③f (x )＝sin x ；④f (x )＝2sin x ＋ 2. 其中互为生成函数的是( ) A ．①② B ．①④ C ．③④D ．②④解析：选B 首先化简题中①②两个函数解析式可得：①f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，可知③f (x )＝sin x 的图象要与其他函数的图象重合，只经过平移不能完成，还必须经过伸缩变换才能实现，∴③f (x )＝sin x 不与其他函数互为生成函数；同理①f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4(④f (x )＝2sin x ＋2)的图象与②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f (x )＝2sin x ＋2的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到①f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，∴①④互为生成函数，故选B. 4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，且当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则( )A ．f (1)<f (－1)<f (0)B ．f (0)<f (1)<f (－1)C ．f (－1)<f (0)<f (1)D ．f (1)<f (0)<f (－1)解析：选C 因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，故f (x )＝A sin(2x ＋φ)，因为当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，所以2×2π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－11π6，k ∈Z ，又φ>0，故可取k ＝1，则φ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (－1)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－2＋π6<0，f (1)＝A sin ⎝⎛⎭⎫2＋π6>0，f (0)＝A sin π6＝12A >0，故f (－1)最小．又sin ⎝⎛⎭⎫2＋π6第 11 页 共 11 页＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2>sin π6，故f (1)>f (0)．综上可得f (－1)<f (0)<f (1)，故选C. 5．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则函数f (x )的图象的对称轴为________，φ＝________.解析：因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即2πω＝2π2，所以ω＝2，故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .令2x ＋φ＝m π，m ∈Z ，则x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故函数g (x )的图象的对称轴为x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故k π2＋π8－m π2＋φ2＝n π2，m ，n ，k ∈Z ，即φ＝(m ＋n －k )π－π4，m ，n ，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π4. 答案：x ＝k π2＋π8，k ∈Z －π46．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的图象与x 轴的一个交点⎝⎛⎭⎫－π12，0到其相邻的一条对称轴的距离为π4，若f ⎝⎛⎭⎫π12＝32，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 解析：由题意得，函数f (x )的最小正周期T ＝4×π4＝π＝2πω，解得ω＝2. 因为点⎝⎛⎭⎫－π12，0在函数f (x )的图象上， 所以A sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＝0， 解得φ＝k π＋π6，k ∈Z ，由0<φ<π，可得φ＝π6. 因为f ⎝⎛⎭⎫π12＝32，所以A sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π6＝32， 解得A ＝3，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 所以f (x )的最小值为－32. 答案：－32。

课时跟踪检测（二十二） 三角函数的图象与性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z)，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．函数y ＝ cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z.4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos xx ∈⎣⎡⎭⎫0，π2的单调递增区间是________． 解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________． 解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1. 当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1.答案：⎣⎡⎦⎤－32，1 二保高考，全练题型做到高考达标 1．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B.[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ ＝3cos 2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为 π6.3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B.－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ， 所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A ∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，φ＝π3＋2k π(k ∈Z)， ∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3，令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z ，故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π2＋6k π，π2＋6k π，k ∈Z ， 令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤－5π2，π2， ∵[－2π，0]⊆⎣⎡⎦⎤－5π2，π2，故A 正确． 5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. 6．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________． 解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5， 此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z)，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：53π4＋2k π(k ∈Z) 8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________. 解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，而x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：5π129．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值，最小值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，∴3π4≤2x ＋π4≤7π4， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z. ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若存在实数a ，使函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上取到最大值1，则实数a 等于( )A ．1 B.52 C.32D ．2解析：选C y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12. 当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，所以y ＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1. ① 当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)，故a ＝32； ②当a2<0，即a <0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125，由于a <0，故这种情况不存在满足条件的a 值；③当a2>1，即a >2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013.由于2013<2，故这种情况下不存在满足条件的a 值．综上知，存在a ＝32符合题意．故选C.2．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；③它的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称图形； ④在区间⎣⎡⎭⎫－π6，0上是增函数． 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．解析：若①②成立，则ω＝2ππ＝2. 令2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，则φ＝π3.此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin π＝0， 所以f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称； 又f (x )在⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上是增函数， 则f (x )在⎣⎡⎭⎫－π6，0上也是增函数， 因此①②⇒③④.用类似的分析可求得①③⇒②④. 答案：①②⇒③④或①③⇒②④3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ， g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ， 即3sin x ＋cos x ≥1.于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z.故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为x 2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z.。

课时跟踪检测（二十五） 三角函数图象与性质的综合问题1．(2018·漯河高级中学二模)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6在[0,t ]上至少取得2次最大值,则正整数t的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6的周期T ＝6,当x ＝0时,y ＝12,当x ＝1时,y ＝1,所以函数y ＝sin ( π3x ＋π6)在[0,t ]上至少取得2次最大值,有t －1≥T ,即t ≥7,所以正整数t 的最小值为7。

故选B 。

2．(合肥高三调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π3个单位长度后,所得的图象关于y轴对称,则ω的最小正值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π6的图象,因为函数g (x )的图象关于y 轴对称,所以－ωπ3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z),即ω＝－3k －1。

易知当k ＝－1时,ω取最小正值2,故选B 。

3．(2018·东北五校协作体模考)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,A (a,0),B (b,0)是其图象上两点,若|a －b |的最小值是1,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝( )A ．2B ．－2C 。

32D ．－32解析：选B 因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,所以cos φ＝0(0<φ<π),所以φ＝π2,所以f (x )＝－4sin ωx ,又A (a,0),B (b,0)是其图象上两点,且|a －b |的最小值是1,所以函数f (x )的最小正周期为2,所以ω＝π,所以f (x )＝－4sin πx ,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2,故选B 。