理科数学学霸笔记06 二次函数与幂函数

二次函数与幂函数知识点总结在数学课程中，二次函数和幂函数是一个经常被学习的知识点，在实际问题中也有着重要的应用。

因此，了解两者的特点及其之间的关系有助于学生更好的学习和掌握这两方面的知识，着重加强自己的数学基础知识。

本文针对二次函数和幂函数的概念、特点、关系及应用进行简单的介绍，以期对大家的理解有所帮助。

二次函数是指一类具有如下形式的函数：y = ax2 + bx + c,a≠0。

其中，a是二次项系数，b、c是常数项系数。

二次函数反映的是一定范围内物体经过某一特定点位于一定距离处的路径，它体现出了物体上升或下降的趋势。

二次函数的形状取决于a的正负，当a>0时，函数在原点处取得最大值，因此函数曲线为一个凹曲线；当a< 0时，函数在原点处取得最小值，曲线为凸曲线。

另一方面，幂函数的形式为：y=x^n,n为正整数。

它体现的是一种物体在相同路径上，所经过的距离随次数的增加而不断增加，曲线越向右，陡度越大。

如果n>1，则函数为凹曲线；如果n<1，则函数为凸曲线。

二次函数与幂函数之间还存在一定的联系，即可以将二次函数改写为幂函数的形式：y = ax2 + bx + c = a(x^2 + 2bx^(1/2) + c/a)。

在实际应用中，二次函数和幂函数都有其独特的应用，二次函数可以用来描述抛物线的运动轨迹。

另外，当a=－1时，二次函数可以用来计算球的落点位置、反弹高度等，在高尔夫球中得到广泛应用。

此外，幂函数也在实际中得到广泛应用，比如在经济学和财经学中，金融工具的收益率可以用幂函数来描述；另外，还可以用来概括基于时间的变化，比如种植植物的高度、排水的时间等。

从上面可以看出，二次函数和幂函数在实际应用中具有重要的意义。

通过认真研究，我们可以更好的理解这两类函数，从而更好地掌握两者之间的内在联系，以便在实践中更好地应用。

本文分析了二次函数和幂函数的概念、特点、关系及应用，并对实际应用中的重要性进行了阐述。

二次函数与幂函数的关系二次函数和幂函数是数学中常见的两种函数，它们之间存在一定关系。

这篇文章将介绍二次函数和幂函数的定义、图像、特点以及它们之间的关系。

首先，我们来回顾一下二次函数和幂函数的定义。

二次函数是指函数的最高次项为二次的多项式函数。

它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数且a不等于0。

在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量。

幂函数是指函数的自变量和因变量之间的关系式为 y = x^a，其中a 是实数。

幂函数的图像通常是一个曲线，并且根据a的不同取值，可以得到不同的曲线形状。

接下来，我们来分析二次函数和幂函数的图像。

对于二次函数，它的图像通常是一个抛物线。

根据二次函数的系数a 的正负和大小，可以得到不同类型的抛物线。

当 a 大于0时，抛物线开口向上；当 a 小于0时，抛物线开口向下。

我们可以根据开口方向和顶点的位置来确定抛物线的图像。

例如，当 a 大于0且顶点位于y轴上方时，抛物线开口向上且顶点为最低点；当 a 小于0且顶点位于y轴下方时，抛物线开口向下且顶点为最高点。

而幂函数的图像则由指数 a 的大小来决定。

当 a 大于1时，函数的图像呈现出上升的斜线；当 a 等于1时，函数的图像是一条直线；当 0 小于 a 小于 1 时，函数的图像呈现出下降的斜线。

与二次函数不同的是，幂函数的图像没有顶点或拐点。

然而，二次函数和幂函数并不是完全独立的。

实际上，我们可以将二次函数视为一种特殊的幂函数。

具体来说，二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 可以写成 f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 h 和 k 是实数，代表了二次函数图像的平移。

这种表达方式可以让我们更好地理解二次函数和幂函数之间的关系。

当平移的值 h 和 k 分别等于0时，即 h = 0 且 k = 0 时，二次函数变为f(x) = ax^2，这就是一个幂函数。

幂函数与二次函数基础梳理1．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12， y ＝x －1的图象分别如右图． 3.二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a 成轴对称图形5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) 函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)一般地，函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．练习检测1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3. 答案 A2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )．A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12 答案 B3．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2 解析 由⎩⎨⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎨⎧α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.答案 B4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，由已知条件⎩⎨⎧f (1)＝1，f (b )＝b ，b >1，即⎩⎨⎧b 2－3b ＋2＝0，b >1.解得b ＝2. 答案 C5．(2012·武汉模拟)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，则⎩⎨⎧a ≠0，b ＝－2，2a 2＝4.因此f (x )＝－2x 2＋4.答案 －2x 2＋46.函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式． 解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1. 当t <1<t ＋1，即0<t <1时，g (t )＝f (1)＝1 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1综上可知g (t )＝⎩⎨⎧t 2＋1≤0，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2 t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上取到最小值1.(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在[m ，n ]上的最值需要根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象对称轴的位置，通过讨论进行求解． 7. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )取得最小值1； x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， ∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5. 8.已知幂函数)()(*322N m x x f m m ∈=--的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33)23()1(m m a a ---<+的a 的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， ∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－13等价于a ＋1＞3－2a ＞0 或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32. 故a的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32. 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．9.(2011·济南模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．求二次函数f (x )的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范] ∵f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a .(1分)①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2. 令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1＜2(舍去)；(4分) ②当0＜a 2＜1，即0＜a ＜2时，x ＝a2时， f (x )取最大值为－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；(7分)③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减， ∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2， 令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分) 综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5. ∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516或f (x )＝－4x 2－20x －5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．10. 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．[尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1. 综上，g (a )＝⎩⎨⎧a 2－2a ，－2＜a ＜1，－1，a ≥1.。

二次函数和幂函数知识点二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。

它的图像是一个抛物线，称为二次曲线。

而幂函数是形如y=axⁿ的函数，其中a是常数，n是实数且n≠0。

它的图像可以是一条直线、开口向上或向下的抛物线、以及其他形状，取决于指数n的值。

首先，我们来看二次函数。

二次函数的图像可以分为三种情况：开口向上的抛物线、开口向下的抛物线和一条直线。

当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线，对称轴是x=-b/2a，最低点坐标为：(-b/2a, -△/(4a))，其中△=b²-4ac是二次函数的判别式。

图像在对称轴上方递增，在对称轴下方递减。

当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，对称轴、最高点坐标和递增递减性质与开口向上的情况相反。

当a=0时，二次函数变为一条直线y=bx+c。

这个直线与x轴平行，斜率为b。

接下来，我们来看幂函数。

幂函数的图像可以根据指数n的值分为几种情况。

当n>0时，幂函数的图像在原点右侧递增且没有上下界，图像随着x的增大而增大。

当n<0时，幂函数的图像在原点左侧递增且也没有上下界，图像随着x的增大而减小。

当n=1时，幂函数就变成了y=ax，它的图像是一条过原点的直线。

斜率a的正负决定了直线的倾斜方向。

当n=0时，幂函数就变成了y=a，它的图像是一条水平直线，与x轴平行。

根据常数a的值，直线的位置可以在y轴的任意位置。

当n是偶数且n≠0时，幂函数的图像在最高点或最低点有一个上下界，其余部分无上下界。

当n为偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐增大，形状类似于开口向上的抛物线。

当n为负偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐减小，形状类似于开口向下的抛物线。

当n是奇数时，幂函数图像没有上下界，且随着x的增大和减小而在原点两侧单调。

根据实数n的正负，函数的图像可能在原点两侧分别开口向上或向下。

总结起来，二次函数和幂函数都是常见的数学函数类型。

二次函数与幂函数[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．【知识通关】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上减， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上增 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上增， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 (1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质函数 特征 性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R RR {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶奇 单调性 增(－∞，0)减， (0，＋∞)增增增(－∞，0)和 (0，＋∞)减公共点 (1,1)1．幂函数y ＝x α在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1)；(2)当x ∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x ∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．2．研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[m ，n ](m ＜n )上的单调性与值域时，分类讨论－b2a与m 或n 的大小． 3．二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．【基础自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )(4)当α＞0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A .12B ．1C.32 D ．2C3.如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．a ＜c ＜bD 4．已知函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞内是增函数，则a 的取值范围为( ) A ．a ≤－5 B ．a ≤5 C ．a ≥－5 D ．a ≥5 C5．函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________． [－1,3]【题型突破】幂函数的图象及性质1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D2.幂函数y ＝x m 2－4m (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3C3．若(a ＋1) 12＜(3－2a ) 12，则实数a 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23[方法总结] (1)求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究.(2)利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.求二次函数的解析式【例1】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________．(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. (1)f (x )＝x 2－2x ＋3 (2)－2x 2＋4 [方法总结] 求二次函数解析式的方法试确定该二次函数的解析式． [解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴函数图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数的最大值是8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.二次函数的图象与性质►考法1 二次函数的单调性【例2】 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]D[母题探究] 若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. －3►考法2 二次函数的最值【例3】 求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． [解] f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12，即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5； (2)当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a .综上，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.►考法3 二次函数中的恒成立问题 【例4】 (1)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，则实数a 的取值范围为( ) A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________． (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0[方法总结] 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围． [解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]．g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k＜1，故k的取值范围是(－∞，1)．。

二次函数与幂函数的比较在数学中，二次函数和幂函数都是常见的函数类型。

它们在图像、性质以及在实际问题中的应用上有着显著的区别。

本文将对二次函数和幂函数进行比较，以便更好地理解它们的特点。

一、定义与表达式二次函数的定义为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a, b, c$为常数，且$a\neq0$。

幂函数的定义为：$y=kx^n$，其中$k$为常数，$n$为正整数且$n\neq1$。

从表达式上来看，二次函数的最高次项是2次，幂函数的最高次项是$n$次。

这意味着二次函数的图像一般是一个抛物线，而幂函数的图像则以指数方式增长或衰减。

二、图像特点1. 二次函数二次函数的图像是一条平滑的曲线，称为抛物线。

具体的图像形状取决于二次项系数$a$的正负和开口方向。

- 当$a>0$时，抛物线开口向上，称为凹向上的抛物线；- 当$a<0$时，抛物线开口向下，称为凹向下的抛物线。

2. 幂函数幂函数的图像可以分为三类：增长型、减小型和奇偶型。

取决于指数$n$的正负和奇偶性。

- 当指数$n>0$时，幂函数随着$x$的增大而增大，图像呈现递增趋势；- 当指数$n<0$时，幂函数随着$x$的增大而减小，图像呈现递减趋势；- 当指数$n$为偶数时，幂函数图像关于$y$轴对称，称为偶函数；- 当指数$n$为奇数时，幂函数图像关于原点对称，称为奇函数。

三、性质与应用1. 二次函数二次函数常见的性质包括顶点坐标、对称轴和判别式。

- 顶点坐标：若二次函数为$y=ax^2+bx+c$，则顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$y=-\frac{\Delta}{4a}$，其中$\Delta=b^2-4ac$为判别式。

- 对称轴：二次函数的对称轴与顶点坐标的横坐标相同，即$x=-\frac{b}{2a}$。

- 判别式：二次函数的判别式$\Delta=b^2-4ac$用于判断二次函数的图像与$x$轴的交点个数和位置。

二次函数与幂函数介绍：二次函数与幂函数是数学中重要的函数类型，它们在各个领域具有广泛的应用。

本文将从定义、图像、性质等方面介绍二次函数与幂函数，帮助读者全面了解这两种函数。

一、二次函数二次函数是指函数表达式中含有$x^2$项的函数，其一般形式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a \neq 0$，$a$、$b$、$c$为常数。

1. 定义二次函数可以通过改变系数$a$、$b$、$c$的值来改变函数的形状和特点。

其中，系数$a$决定二次函数的开口方向，若$a>0$，二次函数开口向上；若$a<0$，二次函数开口向下。

2. 图像二次函数的图像呈现抛物线的形状，称为二次曲线。

图像在平面$x$轴上对称，其中顶点为$(h, k)$，其中$h=-\frac{b}{2a}$，$k=c-\frac{b^2}{4a}$。

根据顶点的坐标，可以确定二次函数的平移和缩放变换。

3. 性质二次函数的性质包括：定义域、值域、奇偶性、单调性等。

其定义域为实数集，值域的范围取决于二次函数开口的方向。

奇偶性与二次函数的对称性相关，若$f(x)=-f(-x)$，则为奇函数；若$f(x)=f(-x)$，则为偶函数。

二次函数在开区间上可以是增函数或减函数。

二、幂函数幂函数是指函数表达式形式为$f(x)=ax^k$的函数，其中$a$和$k$为常数，$a \neq 0$，$k$为实数。

1. 定义幂函数以$x$的幂次为变量，其图像形状随参数$a$和$k$的取值而变化。

常见的幂函数有正幂函数($a>0$)、负幂函数($a<0$)和倒数函数($k=-1$)。

2. 图像幂函数的图像可以是直线、曲线或者曲线段。

具体的形状取决于参数$a$和$k$的取值。

幂函数的图像可在平面上进行平移、压缩和扭曲操作。

3. 性质幂函数的性质包括：定义域、值域、奇偶性、单调性等。

其定义域为正实数集或者整个实数集，取决于指数$k$的值。

值域的范围取决于参数$a$和$k$的正负。

二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳1．二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)．2．二次函数的图象和性质－∞，＋∞－∞，＋∞ac－b24a，＋∞－∞，4ac－4a－∞，－b2a上单调递－b2a，＋∞上单调递－∞，－b2a上单调递b2a，＋∞上单调递减当b＝0时为偶函数，时为非奇非偶函数3.幂函数形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．4．幂函数的图象及性质(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较y ＝x y ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ∈R 且x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便．2．幂函数的图象(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1可作为研究和学习幂函数图象和性质的代表．题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．解方法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，c＝－1，＝－1，8，＝－4，＝4，＝7，∴所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二设f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋(－1)2＝12∴m＝12.又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝a21(2x-＋8.∵f(2)＝－1，∴a21()2x-＋8＝－1，解之，得a＝－4.∴f(x)＝－421()2x-＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三依题意知，f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0.即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a＝8，解之，得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．题型二二次函数的图象与性质例2已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )2＋2x ＋3，x ∈ 0，6]2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．题型三二次函数的综合应用例3若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：对于(1)，由f (0)＝1可得c ，利用f (x ＋1)－f (x )＝2x 恒成立，可求出a ，b ，进而确定f (x )的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解(1)由f (0)＝1，得c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，a ＝2，＋b ＝0，＝1，＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．题型四幂函数的图象和性质例4已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m 3的a 的取值范围．思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3<0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．解∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a .解得a <－1或23<a <32.故a |a <－1或23<a 探究提高(1)幂函数解析式一定要设为y ＝x α(α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．2．与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0>02－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0<02－4ac <0.3．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数．失误与防范1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况.2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.。

二次函数与幂函数的关系与性质二次函数和幂函数是高中数学中重要的概念，它们在数学中有着广泛的应用。

本文将重点讨论二次函数与幂函数之间的关系与性质。

一、二次函数的定义和性质二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是一条U形曲线，被称为抛物线。

1. 零点和解析式二次函数的零点是指使函数值等于零的x值，即f(x) = 0的解。

二次函数的求解可以使用配方法、因式分解或求根公式来进行。

2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是指抛物线的对称轴线，它与抛物线的顶点重合。

二次函数的对称轴的方程为x = -b/2a，顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 函数的增减性当a > 0时，二次函数是开口向上的，即函数的图像在对称轴的两侧递增；当a < 0时，二次函数是开口向下的，即函数的图像在对称轴的两侧递减。

4. 函数的最值当a > 0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a < 0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。

二、幂函数的定义和性质幂函数是指形如f(x) = ax^b的函数，其中a为非零实数，b为实数。

幂函数的特点是具有不同的增长速度和变化趋势。

1. 底数和指数幂函数中的x称为底数，b称为指数。

不同的底数和指数会导致幂函数的图像形状和性质的差异。

2. 增减性与奇偶性当b > 0时，幂函数是递增的；当b < 0时，幂函数是递减的。

当b为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当b为奇数时，幂函数的图像不对称。

3. 渐近线和极限当b > 1时，幂函数的图像会趋近于x轴正半轴；当b < 1时，幂函数的图像会趋近于x轴负半轴。

幂函数在x = 0处的极限取决于指数b的正负性。

三、二次函数与幂函数的关系二次函数其实可以看作是幂函数的一种特殊情况，即当指数b为2时。

因此，二次函数可以被视为幂函数的一种扩展形式，二次函数的性质也可以通过幂函数的性质进行类比和推导。

二次函数与幂函数一、二次函数1. 定义二次函数是指形如f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a eq0，a、b和c为常数，x为自变量。

2. 基本性质•二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项的系数a决定：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

•二次函数的对称轴是一个直线，其方程为 $x = -\\frac{b}{2a}$。

•二次函数的顶点是对称轴上的点，坐标为 $\\left(-\\frac{b}{2a}, f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)\\right)$。

•当a>0时，二次函数的最小值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$；当a<0时，二次函数的最大值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。

3. 图像变换对二次函数进行平移、伸缩和翻转等操作，可以得到不同形状的图像。

•平移：设二次函数为f(x)=x2，当向右平移ℎ个单位，得到f(x−ℎ)=(x−ℎ)2；当向上平移k个单位，得到f(x)+k=x2+k。

•伸缩：设二次函数为f(x)=x2，当横坐标伸缩为原来的m倍，纵坐标伸缩为原来的n倍，得到 $f\\left(\\frac{x}{m}\\right) \\cdot n =\\left(\\frac{x}{m}\\right)^2 \\cdot n = \\frac{n}{m^2}x^2$。

•翻转：设二次函数为f(x)=x2，当横坐标翻转，得到f(−x)= (−x)2=x2；当纵坐标翻转，得到−f(x)=−x2。

二、幂函数1. 定义幂函数是指形如f(x)=ax b的函数，其中a eq0，a和b为常数，x为自变量。

2. 基本性质•幂函数的图像形状取决于指数b的正负和大小。

当b>0且a>0时，幂函数图像在第一象限上递增；当b>0且a<0时，幂函数图像在第一象限上递减；当b<0时，幂函数图像在第一象限上有一个水平渐近线y=0。

教学内容二次函数与幂函数1．二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)．2．二次函数的图像和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图像定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞) 值域单调性在x∈上单调递减；在x∈上单调递增在x∈上单调递增；在x∈上单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数顶点对称性图像关于直线x＝－成轴对称图形3.幂函数形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．4．幂函数的图像及性质(1)幂函数的图像比较(2)幂函数的性质比较y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减[难点正本疑点清源]1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2．幂函数的图像(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴．(2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表．1．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为____________．答案(－∞，－2]解析f(x)的图像的对称轴为x＝1－a且开口向上，∴1－a≥3，即a≤－2.2．(课本改编题)已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．答案[1,2]解析y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1.当m<1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数．∴y max＝f(0)＝3，y min＝f(m)＝m2－2m＋3＝2.∴m＝1，无解．当1≤m≤2时，y min＝f(1)＝12－2×1＋3＝2，y max＝f(0)＝3.当m>2时，y max＝f(m)＝m2－2m＋3＝3，∴m＝0，m＝2，无解．∴1≤m≤2.3．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图像不经过原点，则实数m的值为________．答案1或2解析由，解得m＝1或2.经检验m＝1或2都适合．4．(人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图像．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为____________．答案2，，－，－2解析可以根据函数图像是否过原点判断n的符号，然后根据函数凸凹性确定n的值．5．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1答案 A解析函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－，且只有一条对称轴，所以－＝1，即m＝－2.题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．解方法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意有解之，得∴所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二设f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝.∴m＝.又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之，得a＝－4.∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三依题意知，f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值y max＝8，即＝8，解之，得a＝－4或a＝0(舍去)．∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根平方和等于17.求f(x)的解析式．解依条件，设f(x)＝a(x－1)2＋15(a<0)，即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15.令f(x)＝0，即ax2－2ax＋a＋15＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋.x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2＝2－＝17，∴a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4x＋13.题型二二次函数的图像与性质例2已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝，∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．若函数f(x)＝2x2＋mx－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值范围是____________．答案(－∞，－3]解析∵抛物线开口向上，对称轴为x＝－，∴－≤－1，∴m≥4.又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3]．题型三二次函数的综合应用例3若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．思维启迪：对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解(1)由f(0)＝1，得c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴∴因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图像是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图像过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y ＝f(x)的图像关于原点对称．(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．解(1)∵f(x)＝x2＋mx＋n，∴f(－1＋x)＝(－1＋x)2＋m(－1＋x)＋n＝x2－2x＋1＋mx＋n－m＝x2＋(m－2)x＋n－m＋1，f(－1－x)＝(－1－x)2＋m(－1－x)＋n＝x2＋2x＋1－mx－m＋n＝x2＋(2－m)x＋n－m＋1.又f(－1＋x)＝f(－1－x)，∴m－2＝2－m，即m＝2.又f(x)的图像过点(1,3)，∴3＝12＋m＋n，即m＋n＝2，∴n＝0，∴f(x)＝x2＋2x，又y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于原点对称，∴－g(x)＝(－x)2＋2×(－x)，∴g(x)＝－x2＋2x.(2)∵F(x)＝g(x)－λf(x)＝－(1＋λ)x2＋(2－2λ)x，当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x＝＝，又∵F(x)在(－1,1]上是增函数．∴或.∴λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x显然在(－1,1]上是增函数．综上所述，λ的取值范围为(－∞，0]．题型四幂函数的图像和性质例4已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3<0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．解∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图像关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.而f(x)＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－<(3－2a)－等价于a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或<a<.故a的取值范围为.探究提高(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图像理解函数的对称性、单调性．方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图像数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图像、性质求解．2．与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是.(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是.3．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数．失误与防范1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况.2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·浙江)设函数f(x)＝x≤0，,x2，x>0，))若f(α)＝4，则实数α等于() A．－4或－2 B．－4或2C．－2或4 D．－2或2答案 B解析当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4；当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.2．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于()A．3 B．2或3 C．2 D．1或2答案 C解析函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上递增，由已知条件即解得b＝2.3．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是()答案 D解析由A，C，D知，f(0)＝c<0.∵abc>0，∴ab<0，∴对称轴x＝－>0，知A，C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c>0，∴ab>0，∴x＝－<0，B错误．4．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0] B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]答案 D解析二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)<0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.二、填空题(每小题5分，共15分)5．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为____________．答案y＝(x－2)2－16．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为____________．答案(－∞，－2]解析f(x)的图像的对称轴为x＝1－a且开口向上，∴1－a≥3，即a≤－2.7．当α∈时，幂函数y＝xα的图像不可能经过第________象限．答案二、四解析当α＝－1、1、3时，y＝xα的图像经过第一、三象限；当α＝时，y＝xα的图像经过第一象限．三、解答题(共22分)8．(10分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)>－2x的解集为{x|1<x<3}，方程f(x)＋6a＝0有两相等实根，求f(x)的解析式．解设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)(a<0)，则f(x)＝ax2－4ax＋3a－2x，f(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a，Δ＝[－(4a＋2)]2－36a2＝0，即(5a＋1)(a－1)＝0，解得a＝－或a＝1(舍去)．因此f(x)的解析式为f(x)＝－(x－1)(x－3)．9．(12分)是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．解f(x)＝(x－a)2＋a－a2.当a<－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，∴?a＝－1(舍去)；当－1≤a≤0时，?a＝－1；当0<a≤1时，?a不存在；当a>1时，f(x)在[－1,1]上为减函数，∴?a不存在．综上可得a＝－1.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点，则f(4)的值等于()A．16 B.C．2 D.答案 D解析将点代入得：2α＝，所以α＝－，故f(4)＝.2．已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是()A．(0,2) B．(0,8)C．(2,8) D．(－∞，0)答案 B解析当m≤0时，显然不合题意；当m>0时，f(0)＝1>0，①若对称轴≥0，即0<m≤4，结论显然成立；②若对称轴<0，即m>4，只要Δ＝4(4－m)2－8m＝4(m－8)(m－2)<0即可，即4<m<8，综上，0<m<8，选B.3．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是()A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3C．a≤－3或a≥－2 D．－3≤a≤－2答案 A解析由函数图像知，(2,3)在对称轴x＝a的左侧或右侧，∴a≥3或a≤2.二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是______________．答案f(x)＝－4x2－12x＋40解析设二次函数的解析式为f(x)＝a2＋49(a<0)，方程a(x＋)2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2＝7，∴a＝－4，故f(x)＝－4x2－12x＋40.5．若方程x2－11x＋30＋a＝0的两根均大于5，则实数a的取值范围是________．答案0<a≤解析令f(x)＝x2－11x＋30＋a，结合图像有∴0<a≤.6．已知函数f(x)＝x，给出下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x1<x2，则f(x2)－f(x1)>x2－x1；③若0<x1<x2，则x2f(x1)<x1f(x2)；④若0<x1<x2，则<f.则所有正确命题的序号是________．答案①④解析对于①，f(x)＝x是增函数，f(1)＝1，当x>1时，f(x)>1，①正确；对于②，>1，可举例(1,1)，(4,2)，故②错；对于③，<，说明图像上两点x1，x2到原点连线的斜率越来越大，由图像可知，③错；对于④，<f，根据图像可判断出④正确．三、解答题7．(13分)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．解f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，当a≥1时，y max＝f(1)＝a；当0<a<1时，y max＝f(a)＝a2－a＋1；当a≤0时，y max＝f(0)＝1－a.根据已知条件：或或解得a＝2或a＝－1..。

二次函数与幂函数【考纲要求】1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。

2.幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数1(1,2,3,1,)2y x αα==-的图象，了解它们的图象的变化情况． 【知识网络】【考点梳理】考点一、初中学过的函数 （一）函数的图象与性质1.过原点的直线的方程,图象,性质；2.函数的最高次项的系数能否为零。

（二）二次函数的最值1.二次函数有以下三种解析式： 一般式：2y ax bx c =++（0≠a ），顶点式：2()y a x h k =-+（0≠a ），其中顶点为(,)h k ，对称轴为直线x h =， 零点式：12()()y a x x x x =--（0≠a ），其中21,x x 是方程02=++c bx ax 的根 2. 二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最值：基 本 初 等 函 数图象与性质一次函数 二次函数幂函数常数函数二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+.（1） （2） （3） （4）（1）若2bp a-<，则min ()()f x f p m ==，max ()()f x f q M ==； （2）若02b p x a ≤-<，则min ()()2bf x f m a =-=，max ()()f x f q M ==；（3）若02b x q a ≤-<，则min ()()2bf x f m a =-=，max ()()f x f p M ==；（4）若2bq a≤-，则min ()()f x f q m ==，max ()()f x f p M ==.要点诠释：1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值； 2. 求二次函数的最值一般要数形结合。

第6讲 二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质常用知识拓展1．二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )定义域内的任意x 1，x 2，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )定义域内的所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．2．巧记幂函数的图象五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α>0(α≠1)时的图象是抛物线型(α>1时的图象是竖直抛物线型，0<α<1时的图象是横卧抛物线型)，α<0时的图象是双曲线型．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝2x 13是幂函数．( )(2)当n >0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a.( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( )A ．1B ．2 C.12D ．－1解析：选D.由幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数及A ，B ，C ，D 选项知D 符合．故选D.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 解析：选C.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－20a <0，得a ＞120.(教材习题改编)幂函数y ＝f (x )经过点(2，2)，则f (9)＝________．解析：设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，所以α＝12.所以f (x )＝x 12，所以f (9)＝912＝3. 答案：3(教材习题改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0，3])的值域是________．解析：由g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0，3]，得 g (x )在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数． 所以g (x )min ＝g (1)＝－1，而g (0)＝0，g (3)＝3. 所以g (x )的值域为[－1，3]． 答案：[－1，3]幂函数的图象及性质(典例迁移)(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )(2)已知幂函数y ＝x m2－2m －3(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴没有交点，且关于y 轴对称，则m的所有可能取值为( )A ．1B ．0，2C ．－1，1，3D ．0，1，2【解析】 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝12，所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数， 当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方．故选C. (2)因为幂函数y ＝x m2－2m －3(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴没有交点，且关于y 轴对称，所以m 2－2m －3≤0且m 2－2m －3(m ∈Z )为偶数．由m 2－2m －3≤0得－1≤m ≤3，又m ∈Z ，所以m＝－1，0，1，2，3，当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0为偶数，符合题意；当m＝0时，m2－2m－3＝－3为奇数，不符合题意；当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4为偶数，符合题意；当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3为奇数，不符合题意；当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0为偶数，符合题意．综上所述，m＝－1，1，3，故选C.【答案】(1)C(2)C[迁移探究1](变条件)若本例(2)中，将函数“f(x)＝x m2－2m－3”变为“f(x)＝(m2＋2m－2)x m2－3m”，其他条件不变，则m的值为____________．解析：由于f(x)为幂函数，所以m2＋2m－2＝1，解得m＝1或m＝－3，经检验只有m＝1适合题意，所以m＝1.答案：1[迁移探究2](变条件)本例(2)中f(x)不变，m∈N*.若函数的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为____________．解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m2－2m－3<0，解得－1<m<3.又m∈N*，所以m＝1或m＝2.由于f(x)的图象关于y轴对称．所以m2－2m－3为偶数，又当m＝2时，m2－2m－3为奇数，所以m＝2舍去，因此m＝1.答案：1幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C.设幂函数f (x )＝x α，代入点(3，33)，得：33＝3α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．2．已知幂函数f (x )满足f (8)＝4，则f ⎝⎛⎭⎫22________f ⎝⎛⎭⎫－33(填“＞”、“＝”或“<”)． 解析：设f (x )＝x α(α为常数)，又f (8)＝4，所以4＝8α，所以α＝23.于是f (x )＝x 23，显然该函数是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数．所以f ⎝⎛⎭⎫－33＝f ⎝⎛⎭⎫33<f ⎝⎛⎭⎫22. 答案：＞求二次函数的解析式(师生共研)(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】 法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式)：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，f (－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知得f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象过点P (－1，11)，且其对称轴是直线x ＝1，则a ＋b 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A.因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象的对称轴是直线x ＝1，所以－b2a＝1 ①.又f (－1)＝a －b ＋5＝11，所以a －b ＝6 ②.联立①②，解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋b ＝－2，故选A.2．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为(－32，49)，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析：设f (x )＝a (x ＋32)2＋49(a ≠0)，方程a (x ＋32)2＋49＝0的两个根分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（－3）2－9a ＋196a＝14－a＝7，所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40.答案：f (x )＝－4x 2－12x ＋40二次函数的图象与性质(多维探究)角度一 二次函数图象的识别问题如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③【解析】 因为二次函数的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a－b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.【答案】 B确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向． 二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置．三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．角度二 二次函数的最值问题(分类讨论思想)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值．【解】 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； (2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38； (3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．角度三 一元二次不等式恒成立问题(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为____________．【解析】 (1)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0.(2)由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减． 所以g (x )min ＝g (－1)＝1.所以k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)． 【答案】 (1)⎝⎛⎭⎫－22，0 (2)(－∞，1)二次函数中恒成立问题的求解思路(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .1．函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( ) A ．a ＝0 B ．a <0 C ．0<a ≤13D ．a ≥1解析：选D.当a ＝0时，f (x )为减函数，不符合题意；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－2x ＋3图象的对称轴为x ＝1a，要使f (x )在区间[1，3]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1a ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1a ≤1，解得a ≥1.故选D.2．(2017·高考北京卷)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________． 解析：由已知可得，y ＝1－x ，代入x 2＋y 2，得x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋12，x ∈[0，1]，当x ＝0或x ＝1时，取得最大值1，当x ＝12时， 取得最小值12，所以x 2＋y 2的取值范围是[12，1]．答案：[12，1]3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则a 的取值集合为________． 解析：因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴x ＝1， 因为f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，所以当1≤a 时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，解得a ＝－1(舍去)或a ＝3，当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，解得a ＝1(舍去)或a ＝－3， 当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4， 故a 的取值集合为{}－3，3. 答案：{}－3，3分类讨论思想在二次函数问题中的应用已知函数f (x )＝x 2－2tx ＋1在区间[2，5]上单调且有最大值为8，则实数t 的值为____________．【解析】 函数f (x )＝x 2－2tx ＋1图象的对称轴是x ＝t ， 函数在区间[2，5]上单调，故t ≤2或t ≥5. 若t ≤2，则函数f (x )在区间[2，5]上是增函数， 故f (x )max ＝f (5)＝25－10t ＋1＝8， 解得t ＝95；若t ≥5，则函数f (x )在区间[2，5]上是减函数， 此时f (x )max ＝f (2)＝4－4t ＋1＝8，解得t ＝－34，与t ≥5矛盾．综上所述，t ＝95.【答案】 95二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x ＝－b2a 为其最值点横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系、二次函数开口方向进行分类讨论，研究其最值．(2019·湖北荆州模拟)二次函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，又f (0)＝3，f (2)＝1，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(0，2]D ．[2，4]解析：选D.因为二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，所以其图象的对称轴是x ＝2，又f (0)＝3，所以f (4)＝3，又f (2)<f (0)，所以f (x )的图象开口向上，因为f (0)＝3，f (2)＝1，f (4)＝3，f (x )在[0，m ]上的最大值为3，最小值为1，所以由二次函数的性质知2≤m ≤4.故选D.[基础题组练]1．如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b解析：选D.根据幂函数的性质，可知选D.2．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列，且f (0)＝－4，则f (x )( ) A ．有最小值－4 B ．有最大值－4 C ．有最小值－3D ．有最大值－3 解析：选D.由a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－4，b 2＝ac .显然a <0，故f (x )有最大值，最大值为4ac －b 24a ＝4ac －ac 4a ＝3c 4＝－3，故选D.3．(2019·河南洛阳模拟)已知点⎝⎛⎭⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数解析：选A.因为点⎝⎛⎭⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，所以a －1＝1，解得a ＝2，则2b ＝12，所以b ＝－1，所以f (x )＝x －1，所以函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A.4．(2019·丰台期末)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，且满足f (－x )＝f (－1＋x )，则函数f (x )在[－1，3]上的值域为( )A ．[0，12] B.⎣⎡⎦⎤－14，12 C.⎣⎡⎦⎤－12，12 D.⎣⎡⎦⎤34，12 解析：选B.因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，所以f (0)＝0，所以b ＝0. 因为f (－x )＝f (－1＋x )，所以函数f (x )的图象的对称轴为x ＝－12，所以a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，－12上为减函数，在⎝⎛⎦⎤－12，3上为增函数，故当x ＝－12时，函数f (x )取得最小值－14.又f (－1)＝0，f (3)＝12，故函数f (x )在[－1，3]上的值域为⎣⎡⎦⎤－14，12，故选B. 5．已知二次函数的图象与x 轴只有一个交点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为f (x )＝a (x －3)2，又图象与y 轴交于点(0，3)， 所以3＝9a ，即a ＝13.所以f (x )＝13(x －3)2＝13x 2－2x ＋3.答案：f (x )＝13x 2－2x ＋36．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是____________．解析：当m ＝0时，f (x )＝－1<0，符合题意．当m ≠0时，f (x )为二次函数，则由f (x )<0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，（－m ）2－4m ×（－1）<0，解得－4<m <0.故实数m 的取值范围是(－4，0]．答案：(－4，0]7．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式．解：(1)f (x )的增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．(2)设x >0，则－x <0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，所以f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x >0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x >0），x 2＋2x （x ≤0）.8．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]， 对称轴x ＝－32∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，所以－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1.[综合题组练]1．若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c解析：选D.因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b <a <c . 2．(2019·福建连城一模)已知函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与x 的值无关解析：选C.由题知二次函数f (x )的图象开口向下，图象的对称轴为x ＝14，因为x 1＋x 2＝0，所以直线x ＝x 1，x ＝x 2关于直线x ＝0对称，由x 1<x 2，结合二次函数的图象可知f (x 1)<f (x 2)．3．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为____________．解析：当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12，所以f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，所以m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.所以m －n 的最小值是1.答案：14．(创新型)定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x 0为均值点， 所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根， 解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1<m －1<1，即0<m <2， 所以实数m 的取值范围是(0，2)． 答案：(0，2)5．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)因为函数的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，即2a 2－a －3＝0， 解得a ＝－1或a ＝32.(2)因为对一切x ∈R 函数值均为非负数， 所以Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.所以a ＋3＞0.所以g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. 因为二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减， 所以g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4. 所以g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4. 6．(应用型)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x >0，－（x ＋1）2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．。