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典型例题例1计算下列一组数据的极差、方差及标准差（精确到0.01）；50，55，96，98，65，100，70，90，85，100．解极差为100－50＝50．平均数为．方差为：标准差为．于是，这组数据的极差、方差和标准差分别为50，334.69，18.29．例2若样本，，…，的平均数为10，方差为2，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（）（A）平均数为10，方差为2 （B）平均数为11，方差为3（C）平均数为11，方差为2 （D）平均数为12，方差为4解由已知条件，得故应选（C）说明此题充分应用了已知条件来进行整体计算，使运算十分简捷．例3 如图，公园里有两条石级路，哪条石级走起来更舒适？（图中数字表示每一级的高度，单位：厘米）解由于15＋14＋14＋16＋16＋15＝90，19＋10＋17＋18＋15＋11＝90，所以两条石级路总高度一样，都是90厘米；由于都是6个台阶，所以台阶的平均高度也一样，都15厘米．上台阶是否舒适，就看台阶的高低起伏情况如何，因此，需要计算两条石级路台阶高度的极差、方差和标准差．左边石级路台阶高度的极差为16－14＝2，方差为：，标准差为；右边石级路台阶高度的极差为19－10＝9，方差为：，标准差为．由以上计算可见，左边石级路的极差、方差和标准差都比右边小，所以左边石级路起伏小，走起来舒服些．例4要从甲、乙、丙三位射击运动员中选拔一名参加比赛，在预选赛中，他们每人各打10发子弹，命中的环数如下：甲：10 10 9 10 9 9 9 9 9 9 ；乙：10 10 10 9 10 8 8 10 10 8；丙：10 9 8 10 8 9 10 9 9 9 ．根据这次成绩，应该选拔谁去参加比赛？分析本题着重考查对方差的意义及实际运用．解经计算，甲、乙、丙三人命中的总环数分别为93，93，91．所以丙应先遭淘汰．设甲、乙的命中环数分别为和，方差分别是和，则：．∵∴在总成绩相同的条件下，应选择水平发挥较稳定的运动员甲参加比赛．说明丙的总成绩显著，应先遭淘汰，然后利用方差的含义，来考查甲、乙二人成绩的稳定性．例5 小明和小华假期到工厂体验生活，加工直径为100毫米的零件，为了检验他们的产品的质量．从中各随机抽出6件进行测量，测得数据如下：（单位：毫米）小明：99 10 98 100 100 103小华：99 100 102 99 100 100（1）分别计算小明和小华这6件产品的极差、平均数与方差．（2）根据你的计算结果，说明他们两人谁加工的零件更符合要求．解（1）小明：极差＝5，平均数＝100，方差，小华：极差＝3，平均数＝100，方差＝1．（2）计算结果说明，小明加工的零件极差大，方差也大，小华加工的零件极差小，方差小，所以小华加工的零件更符合要求。
均值极差控制图制作步骤序号1 选择子组样本容量、频率和数量1.1子组容量： 原则:子组内的样本之间出现变差的机会要尽量小。
一般为4～5次(连续测量)1.2分组频率是指子组之间的间隔时间原则：要能反映出潜在的变化。
它与研究的目的有关，如想暴露短时间存在的问题，则组间的间隔要短。
反之可以加长。
可以每小时、每班、每周，视目的而异。
1.3 子组数量原则：收集数据的时间足够长、确保变差原因有机会出现。
一般25组或更多些，数量的增加可使置信度提高。
2 建立控制图及作好原始数据的记录（按所列序列号进行） 2.1 把原始数据记录在控制图原始数据记录栏内2.2计算和R 值式中：xi —子组容量中每个观测值 n ——子组容量个数 R=Xmax-Xmin式中：Xmax —子组容量中最大观测值； Xmin —子组容量中最小观测值。
2.3选择控制图的分度图：分度值max-分度值min≥2（子组max-子组min ）；R 图：分度值≥2（X 图的分度值） 2.4将和R 值对应描点画在控制图上3 标明控制图的用途—初始研究用或控制用4 计算控制限（按所列序列号进行） 4.1式中：k 为子组数量 4.24.3计算控制限 R 图控制限，图控制限 ，式中：A 、D 是系数，其中n 为子组内测量次数。
n23 4 5 6 7 8 9 10 A2 1.88 1.02 0.73 0.58 0.48 0.42 0.37 0.34 0.31 D3 —— —— —— —— —— 0.08 0.14 0.18 0.22 D4 3.27 2.57 2.28 2.11 2.00 1.92 1.86 1.82 1.785把控制限画在控制图上。
论述题1、某工件在生产过程中出现缺陷的项目及其频数如下表所示，根据表中的数据画出排列图，并指出影响通行质量的主要因素。
缺陷项目统计表项目断裂擦伤污染弯曲裂纹砂眼其他频数10 42 6 90 18 20 14解：由图表可知影响通行质量的主要因素（A类因素）是：弯曲、擦伤、砂眼2、某厂生产电路板元件，其中一关键电阻生产过程的计量数据如下：（抽样数据每五个为一组）0.5 0.8 1.0 1.6 0.9 ；0.4 0.7 1.0 1.1 0.8 ；0.7 1.3 1.0 0.6 1.5 ；0.9 0.8 0.9 1.3 1.1作X-R均值极差控制图，并判断过程是否处于稳定状态。
n4 0.729 2.266 0 2.2825 0.577 2.089 0 2.114解：由上述图表可知X =0.945，R =0.8 每组大小n=5由题目表中可知，n=5时，2A =0.577，4D =2.114 平均值X 控制图：CL=X =0.945UCL=X +2A R =0.945+0.8*0.577=1.4066 LCL=X -2A R =0.945-0.8*0.577=0.4834 R 控制图：CL=R =0.8UCL=4D R =2.114*0.8=1.6912 LCL=3D R （n ≤6，忽略）由上图可知，过程处于稳定状态。
3、某厂建筑型材QC小组，统计了某月生产线上的废品，其结果如下：磕伤78件，弯曲198件，裂纹252件，气泡30件，其他42件。
请画出排列图，并指明主要质量问题是什么？解：由图表可知，主要质量问题是裂痕、弯曲。
4、已知某问题的发生原因，作排列图问题原因累计频数原因1 106 106原因2 46 152原因3 18 170原因4 12 182原因5 10 192原因6 6 198原因7 2 200解：做法同第一题。
五计算与综述1、从大小N=5000的批中随机抽取n=20的样本，进行合格判定数为AC=2的一次抽样检验，试计算其不合格品率为5%的批的接受概率（已知0.9518=0.397，结果保留一位小数）。
X匀值：是通过每组样本的平均值得出的,然后把每组的平均值相加除以组数，得到总的平均值。
R 匀值:是通过每组两个极端值得到的,就是每组的最大值-最小值,等于每组的极差，再通过每组的极差值来计算总的极差平均值平均极差分布及控制图常数表2 用EXCEL软件绘均值一极差控制图(rR图）2．1 绘图方法2．1．1 EXCEL软件的作用随着计算机技术的不断发展,尤其是计算速度的不断加快，使其在办公领域得以充分应用.一些软件不但能制表，还能绘图，使质量管理工作也上了一个新水平。
近来,笔者尝试用EXCEL 绘均值一极差控制图（ R 图)，以使质量管理工作更方便、更快捷。
2．1．2 应用示例现以齿条总高为例，用EXCEL软件绘a—R 图.设共有25组数据,样本大小为5，其操作过程如下。
2．1．2．1 打开EXCEL软件中的一个工作薄，选择其中一个工作表.2．1．2．2 在第1行输入表头。
2．1_2．3 在第l列单元格输入样本编号:选定要填充的第1个单元格A2，输入1,A3格输入2，选择A2、A3格将鼠标移到A3格右下角的填充柄上，当鼠标指针变成小黑十字时，按鼠标左键在要填充的区域上拖动（即从A4到A26)，松开鼠标左键，填充自动完成。
2．1．2．4 在第2列单元格输入标准值：选定单元格B2，输入2．8，将鼠标移到B2格右下角的填充柄上，当鼠标指针变成小黑十字时,按鼠标左键在B3到B26格上拖动，松开鼠标左键填充自动完成. 2．1．2．5 将收集到的数据输入表中。
2．1．2．6 计算均值:选定H2,选“常用”工具栏中的“粘贴函数"(即厂 ),出现“粘贴函数”对话框,在函数分类栏中选“常用函数”，在函数名栏中选“AV—ERAGE”，点“确定”，在“Number1"栏中输入“C2：G2”，点“确定”，即求得一个均值,选定H2格,点常用工具栏中的“复制”,再选定H3到H26,选“常用”工具栏中的“粘贴”，即求出其余24个均值. 2．1．2．7 计算极差的方法与计算均值大致相同,其公式为：R=max（B2:F2）~min（B2：F2)并将单元格的位置作相应变化。
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------------- 均值极差控制图与均值标准差控制图的选用
时间：2014-4-11
关键词：均值极差控制图,均值标准差控制图
对计量值控制图，在确定选用均值标准差或者均值极差控制图时应考虑以下几个因素：
对每批数据计算极差要比计算标准偏差简单得多，因此使用均值极差控制图比使用均值标准差控制图简单方便。
这一优点在计算机和计算机未广泛采用之前，对控制图的推广使用有很大影响。
但是在计算机已很普及的今天，特别是使用控制图软件的情况下，这一优点就无关紧要了。
计算标准偏差时要使用一批样本中的每个数据，而极差只涉及一批样本中最大和最小两个数据，未能考虑该批中的其他数据信息，因此均值标准差控制图提供的信息比均值极差控制图更丰富。
通过分析可得，对不同的样本数据个数n，均值极差控制图与均值标准差控制图的相对效率之比如下表所示：
均值标准差控制图与均值极差控制图相对效率与样本量的关系总之，在每批样本数据量较小时，使用均值极差控制图或者均值标准差控制图差别不大。
如果每批样本量大于10，则应该使用均值标准差控制图，而不要使用均值极差控制图。
若每批样本只有一个数据，则应选用单值-移动极差控制图。
1、试作均值极差控制图
2、试作均值极差控制图、中位数极差控制图和均值标准差控制图
3、试作移动极差控制图
4、试作样本大小n 相等时的p
控制图
5、试作样本大小n 相等时的pn
控制图
6. 试作样本大小n不相等时的p控制图
〔案例〕
某电机厂生产洗衣机用小型电机，构成交验批的批量各不相等，现每隔1
小时抽取一个样本，共25批，经检验将不合格品数及不合格品率记入数据
表，试作分析用控制图。
7. 试作C控制图
某电线生产过程中，每隔一定时间对100m导线进行检查，检查的结果如表所示，试作C控制图。
8. 试作U控制图
某电子产品检查的结果如表所示，试作U控制图。
第8章控制1.下列陈述中，哪个是质量管理先驱休哈特的观点？（）A.取消工作定额，代之以领导职能强化B.单一的观测几乎不能构成客观决策的依据C.质量管理活动中重要的三个过程：质量策划、质量控制和质量改进D.质量特征值偏离目标值导致质量损失2. 芯片镀膜是某企业生产中关键的一步，为此必须对于镀膜厚度进行监控。
通常将芯片固定在测试台后，由中心向外每45度画出射线将芯片分为等面积的8个扇形区域，在每个扇形内任意选取一点，测量出这8个点的厚度。
现在生产已经相当稳定，为了维持它的稳定性，决定对于厚度的均值及波动都进行检测。
这时，按国家标准的规定，控制图应该选用（）A. 使用Xbar-R控制图B. 使用Xbar-S控制图C. 使用p图或np图D. 使用C图或U图3. 在冰箱生产过程中（生产过程稳定），制冷剂的灌注量是一个非常重要的控制指标，为了更灵敏地检测过程均值发生小偏移，团队成员可以选用的控制图有（）多选A.平均值和极差控制图B.累积和（CUSUM）控制图C.指数加权滑动平均（EWMA）控制图D.单值和移动极差控制图4. 在使用计量控制图时，对“合理子组原则”描述正确的是（）A.组内波动仅由异常原因引起，组间波动则主要由偶然原因引起B.组内波动仅由偶然原因引起，组间波动则主要由异常原因引起C.组内及组间主要波动都是由偶然原因引起D.组间及组内主要波动都是由异常原因引起5.绘制均值-极差（或均值-标准差）控制图时，确定合理子组的原则是（）A.子组数量应该在5个以下B. 组内差异只由随机变异造成C.组内差异应大于组间差异D. 不存在组内差异6. 在实施六西格玛项目时，力场分析（Force Field Analysis）方法可用于（）A. 查找问题的根本原因B. 验证项目的实施效果C. 确定方案实施可能带来的好处和问题D. 定量分析变异源7. 下图为某生产企业的工作人员连续15个工作日每天抽样进行检验而得到的芯片缺陷情况绘制成的U控制图，下面分析中正确的是（）多选A.上、下控制限呈“城墙”状，使用不方便，不如换用C控制图B.上、下控制限呈“城墙”状，表明此生产流程存在异常C.中心线数值“2.532”表示所抽取的每片芯片之平均缺陷数D.上、下控制限呈“城墙”状，表明每天抽样芯片数不同8. 某六西格玛团队对二极管生产线的状况进行过程能力分析，得到以下结果，下列说法正确的是（ ）多选A. 控制图显示过程处于统计控制状态B. P 控制图中的控制限不是直线，说明过程不稳定C. 过程能力充足D. 过程能力不足，需要改进9. 控制图分为分析用控制图和控制用控制图两个阶段，以下关于两阶段控制图说法正确的是（ ）多选 A. 分析用控制图的控制限是由样本数据计算得出的，控制用控制图的控制限是指定的 B. 分析用控制图的控制限是由样本数据指定的，控制用控制图的控制限是计算得出的 C. 过程稳定且过程能力满足要求后，才能由分析用控制图转为控制用控制图 D. 过程稳定且过程能力满足要求后，才能由控制用控制图转为分析用控制图10. 以下是2009年6月份我国H1N1流感感染人数统计数据，我们可以用何种控制图监控情况是否恶化？（ ）A. Xbar-R 图B. Xbar-S 图C. C 图D. P 图11.从生产线上收集到上一周的生产汇总数据如下表，如果需要实施统计过程控制，选择哪种控制图最合适（）A.均值-极差控制图B. NP控制图C. P控制图D. U控制图12. 在半导体芯片生产中，要将直径8英寸（约合20厘米）的晶圆盘（wafer）切削成3000粒小芯片（die）。
MSA测量系统分析知识要点：目的：理解进行过程能力分析的重要性；掌握量测系统评估指数;掌握如何评估量测系统的分辨率要点内容：为什么要进行MSA？Why？；我（你）的测量数据是可靠的吗？测量系统有足够的分辨力吗？两年内量具的结果能否保持一致？为什么不同的测量人员得到的结果不同，我应该相信谁？量具测量重复测量时结果也不尽相同，应该如何取值？MSA系统可以让你获得什么？什么是MSA？What ？；影响测量系统的因素:量具(Gage)人(People)测量技术(Measurement Technique)测量程序(Measurement Procedure)软件(Software)环境(Environment)其它因素(Other Factors)如何判断测量系统的分辨力是否足够？测量系统变差的分布特征：反映测量值相对于标准值的位置（理解如下几个概念）：偏倚(Bias)稳定性(Stability)线性(Linearity)反映测量值的分散程度—方差，也即R&R（理解并掌握计算方法）：重复性(Repeatability)再现性(Reproducibility)零件间变差测量系统重复性和再现性占总过程变差的百分比（%R&R）的可接受性准则：低于10% —测量系统可接受；10%至30% —根据应用的重要性、量具成本和维修的费用等可能是可接受的；大于30% —测量系统需要改进。
如何进行MSA？How？；偏倚或线性：独立样本法图表法——平均值标准差控制图稳定性：平均值极差或平均值标准差控制图重复性与再现性极差法；测量变异近似值；只提供总体情形；平均值极差控制图法；把变异分为重复性和再现性；方差分析法；把变差分为四类：零件、评价人、零件与评价人的交互作用、量具重复性误差。
MSA测试题选择题（请从下列答案中选择一个以上正确答案）（每题2分，共10分）1、以下哪种原因可能导致测量结果的变差（ABCD ）A.零件的变差B.测量人内部变差C.测量仪器的变差D.测量环境导致的变差2.以下属于测量设备的计量特性的有（ABC ）A.分辨力B.最大允许误差C.测量范围D.重量E.长度3.在测量系统分析中，评价一个人使用一件测量设备，对同一零件的某一个特性进行多次测量下的变差，称为（A）A.重复性B.偏倚C.稳定性D.线性E.再现性4.以下描述错误的是（B）零件的真值永远无法得到，只能无限与之接近；数显卡尺的准确度是0.02mm；产品控制理论关注的是零件是否在指定的范围内；过程控制理论关注的是过程变差是否稳定并可接受。
X-R图（均值-极差图）X-R图如下图所示。
图在上，下面是R图，数据栏可单独，也可根据实际情况将数据栏放在R图下边，这样可以更清楚。
值和R值为纵坐标，按时间先后的样本为横坐标。
1．和R图的作图步骤：a.收集数据并制定控制图收集数据通常是按一定的周期抽取一定数量的样本，如每30分钟抽5件。
测量并记录数据。
计算每个样本均值和极差R=（X1+X2+ … +Xn）/ n 式 1R=Xmax - Xmin 式 2式中：X1……Xn——样本内质量特性测量值Xmax——样本内最大值Xmin——样本内最小值确定控制图的刻度纵坐标为和R的测量值，横坐标为时间。
坐标刻度的选择：一般情况X图：上刻度线=+2R下刻度线=-2RR图：上刻度线=2R下刻度线=0上式中的和R均为第一样本的计算结果也可根据实际情况选择刻度。
将和R的测量值画在控制图上。
b.计算控制限计算平均极差和过程均值（中心线）R平均=（R1+R2+ … +R K）/ K 式 3X平均=（X1+X2+ … +X K）/ K 式 4:计算极差和均值控制的上下限极差R 上限UCLR=D4下限LCLR=D3 式 5均值上限UCL= + A2下限LCL= – A2 式 6式中:D3、D4、A2为常数，可在表2中查得。
在控制图上画出控制限——水平实线，UCLR、LCLR、UCL、LCL水平虚线。
c.过程能力分析估计过程能力的标准差sigma=R平均/d2 式7d2可在表查得X-R 控制图应用实例在一个企业内，统计技术和应用类型很多，而程序文件只能从总的方面规定应用程序，各有关部门和人员在具体实施时，还必须遵照作业指导书的规定进行操作。
一个企业应用统计方法的作业指导书有很多，现仅以某电子元件厂电阻器刻槽工序应用的《-x—R控制图作业指导书》为例。
-x—R控制图作业指导书（电阻器刻槽工序）1目的通过控制图的应用，对电阻器刻槽工序的主要质量特性——电阻值，实施控制，消除异常因素的作用，保证刻槽工序处于稳定受控状态。
[分享]均值-极差图作业指导书1目旳与合用范围1.1 目旳理解过程变差，识别过程旳受控状态。
1.2 合用范围合用于计量型数据。
2工作规定2.1搜集数据使用该控制图所搜集旳数据规定以样本容量恒定旳子组旳形式报出旳。
每个子组一般包括2,5件持续旳产品，并周期性旳抽取子组(例如:每一小时抽取5件)。
2.1.1选择子组旳大小、频率和数据2.1.1.1子组大小确定“合理子组”是决定控制图旳效果和效率旳关键，选择子组时应注意:a)应使得一种子组内在该单元中旳各样本之间出现变差旳机会小;b)子组一般由2,5件持续旳产品构成。
2.1.1.2 子组频率确定子组搜集旳频率，其目旳是检查通过一段时间后过程旳变化，因此:a)应在合适旳时间搜集足够旳子组，这样子组才能反应潜在旳变化(如:换班、操作人员旳变更、材料批次旳不一样)。
b)子组间旳间隔时间可伴随过程旳稳定状态，进行调整(增长或减少)。
2.1.1.3 子组数旳大小应遵照如下2个原则:a)所有子组包括旳样本总数达100个以上; b)子组数一般为25组。
2.2 数据搜集2.2.1 按照一定旳频次定期旳搜集数据(如1次/4小时、1次/班等)。
并将每次搜集数据旳日期和时间记录在控制图中旳“日期/时间”栏目中。
2.2.2 每次搜集旳检查样本(即子组)旳容量(如同种零件旳数量)规定相等(每次2,5件)，并将样本旳特性进行测量，并将测量旳数据记录在控制图旳“读数”栏目中。
2.2.3 计算每个子组中数据旳均值，X,(X，X，…，X)/n，并记录在控制图中旳12n“X”栏目中。
计算每个子组中数据旳极差，R,X-X，并记录在控制图中旳“R”maxmin栏目中。
上式中XX为子组内旳每个测量值，n为子组旳样本容量。
1、2…2.2.4 选择控制图旳刻度a)对于均值图，坐标上旳刻度值旳最大和最小值之差应至少为子组均值(X)旳最大值和最小值之差旳2倍;b)对于极差图，坐标上刻度值应为最低值0开始到最大值之间旳差值为初始研究阶段所碰到旳最大极差(R)旳2倍。
MSA练习题及答案MSA测量系统分析知识要点：目的：1.理解进行过程能力分析的重要性；2.掌握量测系统评估指数;3.掌握如何评估量测系统的分辨率要点内容：1.为什么要进行MSA？Why？；我（你）的测量数据是可靠的吗？测量系统有足够的分辨力吗？两年内量具的结果能否保持一致？为什么不同的测量人员得到的结果不同，我应该相信谁？量具测量重复测量时结果也不尽相同，应该如何取值？MSA系统可以让你获得什么？2.什么是MSA？What？；影响测量系统的因素:量具(Gage)人(People)测量技术(Measurement Technique)测量程序(Measurement Procedure)软件(Software)环境(Environment)其它因素(Other Factors)如何判断测量系统的分辨力是否足够？测量系统变差的分布特征：反映测量值相对于标准值的位置（理解如下几个概念）：偏倚(Bias)稳定性(Stability)线性(Linearity)反映测量值的分散程度—方差，也即R&R（理解并掌握计算方法）：重复性(Repeatability)再现性(Reproducibility)零件间变差测量系统重复性和再现性占总过程变差的百分比（%R&R）的可接受性准则：低于10% —测量系统可接受；10%至30% —根据应用的重要性、量具成本和维修的费用等可能是可接受的；大于30% —测量系统需要改进。
3.如何进行MSA？How？；偏倚或线性：独立样本法图表法——平均值标准差控制图稳定性：平均值极差或平均值标准差控制图重复性与再现性极差法；测量变异近似值；只提供总体情形；平均值极差控制图法；把变异分为重复性和再现性；方差分析法；把变差分为四类：零件、评价人、零件与评价人的交互作用、量具重复性误差。
MSA测试题一、选择题（请从下列答案中选择一个以上正确答案）（每题2分，共10分）1、以下哪种原因可能导致测量结果的变差（ABCD ）A.零件的变差B.测量人内部变差C.测量仪器的变差D.测量环境导致的变差2.以下属于测量设备的计量特性的有（ABC ）A.分辨力B.最大允许误差C.测量范围D.重量E.长度3.在测量系统分析中，评价一个人使用一件测量设备，对同一零件的某一个特性进行多次测量下的变差，称为（A）A.重复性B.偏倚C.稳定性D.线性E.再现性4.以下描述错误的是（B）A. 零件的真值永远无法得到，只能无限与之接近；B. 数显卡尺的准确度是0.02mm；C. 产品控制理论关注的是零件是否在指定的范围内；D. 过程控制理论关注的是过程变差是否稳定并可接受。
