2015届高三上学期期中考试数学试题(含答案解析)

河南省焦作市2015届高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1＜y＜3}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[0，3）C．（1，2]D．[0，3]分析：根据题意画出数轴，再由交集的运算求出A∩B．解答：解：由题意得，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1＜y＜3}，如图所示：则A∩B=（1，2]，故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，以及数形结合思想，属于基础题．2．“a=1”是“复数a2﹣1+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析：利用纯虚数的定义，先判断充分性再判断必要性．解答：解：当a=1时，复数a2﹣1+（a+1）i=2i为纯虚数，满足充分性；当a2﹣1+（a+1）i是纯虚数时，有a2﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，满足必要性．综上，“a=1”是“复数a2﹣1+（a+1）i（a∈R），i为虚数单位）是纯虚数”的充要条件，故选：C．点评：该题考查复数的基本概念、充要条件．属基础题．3．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．分析：首先根据实轴长为2，解得双曲线的方程为：x2﹣y2=1，进一步求出离心率．解答：解：已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长2，即2m=2解得：m=1 即a=1所以双曲线方程为：x2﹣y2=1离心率为故选：B点评：本题考查的知识要点：双曲线的方程，及离心率的求法4．已知log7[log3（log2x）]=0，那么x等于（）A．B．C．D．分析：从外向里一层一层的求出对数的真数，求出x的值，求出值．解答：解：由条件知，log3（log2x）=1，∴log2x=3，∴x=8，∴x=故选：D．点评：利用对数式与指数式的相互转化从外向里求出真数，属于基础题．5．如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（）A．q=B．q=C．q=D．q=考点：程序框图．专题：计算题．分析：通过题意与框图的作用，即可判断空白框内应填入的表达式．解答：解：由题意以及框图可知，计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，所以输出的结果是及格率，所以图中空白框内应填入q=．故选：D．点评：本题考查循环框图的应用，考查计算能力．6．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种考点：计数原理的应用．专题：计算题．分析：本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种根据分类计数原理知共10种，故选B．点评：本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中．7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．8．要得到函数f（x）=sin（2x+）的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）考点：简单复合函数的导数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质．分析：求出函数f（x）=sin（2x+）的导函数，然后变形为=，然后由函数图象的平移得答案．解答：解：∵f（x）=sin（2x+），∴=，则要得到函数f（x）=sin（2x+）的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到．故选：D．点评：本题考查了简单的复合函数的导数，考查了三角函数的图象平移，是基础题．9．设z=x+y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．3C．﹣6 D．6考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，直线y=k，y=﹣x+12，y=x三线相交于一点，联立y=﹣x+12，y=x 解出交点坐标，代入求k．解答：解：由题意作出其平面区域：则直线y=k，y=﹣x+12，y=x三线相交于一点，由y=﹣x+12，y=x联立可解得，x=6，y=6，则k=6．故选D．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．10．将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与点（4，0）重合，点（7，3）与点（m，n）重合，则m+n=（）A．B．C．D．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：由两点关于一条直线对称的性质，求得对称轴所在的直线方程为2x﹣y﹣3=0，再根据垂直及中点在轴上这两个条件求得m，n的值，可得m+n的值解答：解：由题意可得，对称轴所在的直线即为点（0，2）与点（4，0）构成的线段的中垂线．由于点（0，2）与点（4，0）连成的线段的中点为（2，1），斜率为﹣，故对称轴所在的直线方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．再根据点（7，3）与点（m，n）重合，可得，求得，m+n=，故选：C．点评：本题主要考查两点关于一条直线对称的性质，求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，还考查了中点公式，用两点式求直线的方程，属于基础题．11．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）考点：平行投影及平行投影作图法．专题：空间位置关系与距离．分析：本题可把正方体沿着某条棱展开到一个平面成为一个矩形，连接此时的对角线AC1即为所求最短路线．解答：解：由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABA1和平面BCC1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为②．若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的中点，此时正视图会是④．其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了，故选C点评：本题考查空间几何体的展开图与三视图，是一道基础题．12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数有如下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中的真命题是（）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①，根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，从而可判断①；②，根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数，可判断②；③，根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得f（x+T）=f（x），可判断③；对于④，取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（﹣，0）、B（0，1）、C（，0）三点恰好构成等边三角形，可判断④．解答：解：对于①，∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①错误；对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；对于③，若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；对于④，取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（﹣，0）、B（0，1）、C（，0）三点恰好构成等边三角形，故④正确．综上所述，真命题是②③④，故选：D．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查狄利克雷函数表达式的理解与应用，考查函数的奇偶性、周期性，考查分析、探究能力，属于难题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．的展开式中，常数项为672．（用数字作答）r r r=0×=67214．已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=．向量，||=1﹣|=∴，，∵||=故答案为：15．函数f（x）=x3+x2﹣6x+m的图象不过第Ⅱ象限，则m的取值范围是（﹣∞，﹣10]16．（2012•烟台一模）已知cos=，cos cos=，cos cos cos=，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是cos cos…cos=．，右式为cos，可化为=cos cos=，可化为cos cos=cos cos cos=cos cos cos=cos cos…=cos cos…cos=三、解答题17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项a n，运用n=1时，b1=T1，n＞1时，b n=T n﹣T n﹣1，求出b n；（Ⅱ）写出c n，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，得，解得，∴a n=4n；∵T n﹣2b n+3=0，∴当n≥2时，T n﹣1﹣2b n﹣1+3=0，两式相减，得b n=2b n﹣1，（n≥2）又当n=1时，b1=3，则数列{b n}为等比数列，∴；（Ⅱ）∴P2n+1=（a1+a3+…+a2n+1）+（b2+b4+…+b2n）==22n+1+4n2+8n+2．点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项与前n项和公式，考查方程在数列中的运用，考查数列的求和方法：分组求和，必须掌握．18．（12分）某家电专卖店在国庆期间设计一项有奖促销活动，每购买一台电视，即可通过电脑产果如下：247，235，145，324，754，500，296，065，379，118，520，161，218，953，254，406，227，111，358，791．（1）在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，求至少有1组获奖的概率；（2）根据以上模拟试验的结果，将频率视为概率：（i）若活动期间某单位购买四台电视，求恰好有两台获奖的概率；（ii）若本次活动平均每台电视的奖金不超过85元，求m的最大值．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．分析：（1）利用对立事件的概率，即可求出随机抽取3组数，至少有1组获奖的概率；（2）（i）求出每购买一台电视获奖的概率，利用相互独立事件概率公式，可求恰好有两台获奖的概率；（ii）设ξ为获得奖金的数额，则ξ的可能取值为0，m，2m，5m，求出ξ的分布列，可得期望，利用本次活动平均每台电视的奖金不超过85元，即可求m的最大值．解答：解：（1）设“在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，至少有1组获奖”为事件A，则由数组知，没中奖的组数为12，∴P（A）=1﹣=，（2）（i）由题意得，每购买一台电视获奖的概率为P==，设“购买四台电视，恰有两台获奖”为事件B，则P（B）=c（）2×（1﹣）2=（ii）设“购买一台电视获一等奖”为事件A1，“购买一台电视获二等奖”为事件A2，“购买一台电视获三等奖”为事件A3，则P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，设ξ为获得奖金的数额，则ξ的可能取值为0，m，2m，5m，故ξ的分布列为ξ0 m 2m 5mP∴Eξ=0+++=由题意Eξ=≤85，得m≤∴m的最大值为点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的期望与方差，确定变量的取值，求出相应的概率是关键19．（12分）如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=2，CD=4，点E为线段AB上异于A，B的点，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如图2．（Ⅰ）求证：AB∥平面DFC；（Ⅱ）当三棱锥F﹣ABE体积最大时，求平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明BE∥平面DFC、AE∥平面DFC，可得平面ABE∥平面DFC，即可证明AB∥平面DFC；（Ⅱ）建立坐标系，利用三棱锥F﹣ABE体积最大时，确定点的坐标，可得向量的坐标，求出平面CBA的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵BE∥CF，BE⊄平面DFC，CF⊂平面DFC，∴BE∥平面DFC，同理AE∥平面DFC，∵BE∩AE=E，∴平面ABE∥平面DFC，∵AB⊂平面ABE，∴AB∥平面DFC；（Ⅱ）解：∵平面EBCF⊥平面AEFD，CF⊥EF，平面EBCF∩平面AEFD=EF，∴CF⊥平面AEFD，建立如图所示的坐标系，设AE=x，则EB=2﹣x，∴V F﹣ABE=•x（2﹣x）•2=﹣（x﹣1）2+．∴x=1时，三棱锥F﹣ABE体积最大，∴A（2，1，0），B（2，0，1），C（0，0，3），∴=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣3），设平面CBA的法向量为=（x，y，z），则，∴=（1，1，1），∵平面AEFDA的一个法向量为=（0，0，2），∴cos＜，＞==，∴平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值是．点评：本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键．20．（12分）已知圆C经（x﹣1）2+（y﹣2）2=5经过椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O的射线l在第一象限与椭圆E的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求•的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）在圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=5中，令y=0，得F（2，0），令x=0，得B（0，4），由此能求出椭圆方程；（2）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，由于M为OP的中点，则CM⊥OQ，则=（+）==（1，2）•（x0，y0）=x0+2y0，设t=x0+2y0，与+=1联立，消去x0，再由判别式为0，即可得到最大值．解答：解：（1）在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5中，令y=0，得F（2，0），即c=2，令x=0，得B（0，4），即b=4，∴a2=b2+c2=20，∴椭圆E的方程为：+=1．（2）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，由于M为OP的中点，则CM⊥OQ，则=（+）==（1，2）•（x0，y0）=x0+2y0，又+=1，设t=x0+2y0，与+=1联立，得：21y02﹣16ty0+4t2﹣80=0，令△=0，得256t2﹣84（4t2﹣80）=0，解得t=±2．又点Q（x0，y0）在第一象限，∴当y0=时，取最大值2．点评：本题考查直线、圆、椭圆、平面向量等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归转化及函数与方程等数学思想．21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2，x∈[0，2]，a＞0．（1）若存在x0∈[0，2]，使得函数y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率k≤1，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用函数y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率k≤1，分离参数，可得a≥﹣x0，求出右边的最小值，即可求实数a的取值范围；（2）确定函数在[0，2]上单调递减，即可求函数f（x）的最小值．解答：解：（1）∵f（x）=ln（x+a）﹣x2，∴f′（x）=﹣x，∴≤1，∴a≥﹣x0，由y=﹣x，可得y′=﹣1，∴函数在[0，2]上单调递减，∴函数的最小值为﹣，∴a≥﹣；（2）f′（x）=﹣x=，∵x∈[0，2]，a＞0，∴f′（x）＜0，∴函数在[0，2]上单调递减，∴x=2时，函数取得最小值f（2）=ln（2+a）﹣2．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．请考生从22、23、24中任选一题作答。

北京市朝阳区2015届高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∪B等于（）A．{x|x＞﹣2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2＜x＜1}解答：解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＞0}，∴集合A∪B={x|x＞﹣2}．故选：A．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．2．已知命题p：∀x＞0，x+≥4；命题q：∃x0∈R，2x0=﹣1．则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题解答：解：对于命题p：∵x＞0，∴x+≥2=4，∴命题p为真命题；对于命题q：∵对∀x∈R，2x＞0，∴命题q为假命题，￢q为真命题，故只有选项C为真命题．故选：C．点评：本题综合考查了复合命题的真假，简单命题的真假判断等知识，属于中档题，解题的关键是：准确理解两个命题的真值情况．3．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．120 B．105 C．15 D．5考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：据题意，模拟程序框图的运行过程，得出程序框图输出的k值是什么．解答：解：第一次循环得到：k=1，i=3；第二次循环得到：k=3，i=5；第三次循环得到：k=15，i=7；满足判断框中的条件，退出循环∴k=15故选C点评：本题考查了求程序框图的运行结果的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出结论，是基础题．4．曲线y=与直线x=1，x=e2及x轴所围成的图形的面积是（）A．e2B．e2﹣1 C．e D．2分析：确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．解答：解：由题意，由曲线y=与直线x=1，x=e2及x轴所围成的图形的面积是S===2．故选：D．点评：本题考查面积的计算，解题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积．5．设，是两个非零的平面向量，下列说法正确的是（）①若•=0，则有|+|=|﹣|；②|•|=||||；③若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||+||；④若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ．A．①③B．①④C．②③D．②④分析：①当•=0时，判断|+|=|﹣|成立；②利用数量积判断|•|=||||不一定成立；③当=λ时，判断|+|=||+||不一定成立；④当|+|=||﹣||时，得出、共线，即可判断正误．解答：解：对于①，当•=0时，|+|===|﹣|，∴①正确；对于②，∵•=||||cos＜，＞，∴|•|=||||不一定成立，②错误；对于③，当=λ时，则|+|=|λ+|=|||λ+1|，||+||=|λ|+||=||（|λ|+1），|+|=||+||不一定成立，∴③错误；对于④，当|+|=||﹣||时，∴+2•+=﹣2||||+，∴•=﹣||||，∴共线，即存在实数λ，使得=λ，∴④正确．综上，正确的是①④．故选：B．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应熟练地掌握平面向量的有关概念，是基础题．6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为（）A．3000 B．3300 C．3500 D．4000考点：函数最值的应用．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用．分析：由题意，设利润为y元，租金定为3000+50x元，（0≤x≤70，x∈N），则y=（3000+50x）（70﹣x）﹣100（70﹣x），利用基本不等式求最值时的x的值即可．解答：解：由题意，设利润为y元，租金定为3000+50x元，（0≤x≤70，x∈N）则y=（3000+50x）（70﹣x）﹣100（70﹣x）=（2900+50x）（70﹣x）=50（58+x）（70﹣x）≤50（）2，当且仅当58+x=70﹣x，即x=6时，等号成立，故每月租金定为3000+300=3300（元），故选B．点评：本题考查了学生由实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式的应用，属于中档题．7．如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b（其中ω＞0，＜φ＜π），则估计中午12时的温度近似为（）A．30℃B．27℃C．25℃D．24℃考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而其求得x=12时的值．解答：解：由函数的图象可得b=20，A=30﹣20=10，根据•=10﹣6，可得ω=．再根据五点法作图可得，×6+φ=，求得φ=，∴y=10sin（x+）+20．令x=12，可得y=10sin（+）+20=10sin+20 10×+20≈27℃，故选：B．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．8．设函数f（x），g（x）满足下列条件：（1）对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2）；（2）f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1．下列四个命题：①g（0）=1；②g（2）=1；③f2（x）+g2（x）=1；④当n＞2，n∈N*时，[f（x）]n+[g（x）]n的最大值为1．其中所有正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．②③④D．①③④考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：既然对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2），那么分别令x1，x2取1，0，﹣1求出g（0），g（1），g（﹣1），g（2），然后令x1=x2=x可得③，再根据不等式即可得④解答：解；对于①结论是正确的．∵对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2）且f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，令x1=x2=1，得[f（1）]2+[g（1）]2=g（0），∴1+[g（1）]2=g（0），∴g（0）﹣1=[g（1）]2令x1=1，x2=0，得f（1）f（0）+g（1）g（0）=g（1），∴g（1）g（0）=g（1），g（1）[g （0）﹣1]=0解方程组得对于②结论是不正确的，令x1=0，x2=﹣1，得f（0）f（﹣1）+g（0）g（﹣1）=g（1），∴g （﹣1）=0令x1=1，x2=﹣1，得f（1）f（﹣1）+g（1）g（﹣1）=g（2），∴﹣1=g（2），∴g（2）≠1 对于③结论是正确的，令x1=x2=1，得f2（x）+g2（x）=g（0）=1，对于④结论是正确的，由③可知f2（x）≤1，∴﹣1≤f（x）≤1，﹣1≤g（x）≤1∴|f n（x）|≤f2（x），|g n（x）|≤g2（x）对n＞2，n∈N*时恒成立，[f（x）]n+[g（x）]n≤f2（x）+g2（x）=1综上，①③④是正确的．故选：D点评：本题考查赋值法求抽象函数的性质属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．已知平面向量，满足||=1，=（1，1），且∥，则向量的坐标是或．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：设=（x，y）．由于平面向量，满足||=1，=（1，1），且∥，可得=1，x﹣y=0．解出即可．解答：解：设=（x，y）．∵平面向量，满足||=1，=（1，1），且∥，∴=1，x﹣y=0．解得．∴=或．故答案为：或．点评：本题考查了向量模的计算公式、向量共线定理，属于基础题．10．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是﹣；cosα的值是﹣．考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得tanα与cosα的值．解答：解：tan（+α）=，∴tanα=tan[（+α）﹣]===﹣；又α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案为：；．点评：本题考查两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，属于中档题．11．若f（x）=，是奇函数，则a+b的值是﹣1．考点：函数奇偶性的性质．分析：不妨设x＜0，则﹣x＞0，根据所给的函数解析式，利用f（﹣x）=﹣f（x），由此可得a、b的值，即可得到a+b．解答：解：函数f（x）=，是奇函数，任意x＜0，则﹣x＞0，由f（﹣x）=﹣f（x），则﹣2x+3=﹣ax﹣b，则a=2，b=﹣3．则a+b=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查分段函数求函数的奇偶性，运用函数的奇偶性的定义是解题的关键，属于基础题．12．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和．若a1+a3+a5+a7=﹣4，S8=﹣16，则公差d=﹣2；数列{a n}的前3项和最大．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a2+a4+a6+a8=﹣4+4d，可得S8=﹣4+（﹣4+4d）=﹣16，解之可得d=﹣2，进而可得a1=5，可得a n=7﹣2n，解不等式可得等差数列{a n}的前3项为正数，从第4项起为负数，故数列{a n}的前3项和最大．解答：解：∵a1+a3+a5+a7=﹣4，∴a2+a4+a6+a8=﹣4+4d，∴S8=﹣4+（﹣4+4d）=﹣16，解得d=﹣2，∴a1+a3+a5+a7=4a1+12d=﹣4，解得a1=5，∴等差数列{a n}的通项公式a n=5﹣2（n﹣1）=7﹣2n，令a n=7﹣2n≤0可得n≥，∴等差数列{a n}的前3项为正数，从第4项起为负数，∴数列{a n}的前3项和最大故答案为：﹣2；3点评：本题考查等差数列的前n项和公式，属基础题．13．已知x，y满足条件若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（2，0）处取得最大值，则a的取值范围是（，+∞）．考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=ax+y得y=﹣ax+z，∵a＞0，∴此时目标函数的斜率k=﹣a＜0，要使目标函数z=ax+y仅在点A（2，0）处取得最大值，则此时﹣a≤k AB=﹣，即a＞，故答案为：（，+∞）点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14．如图，在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1．已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为；塔BB1的高为45m．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1=60tanα，BB1=60tan2α，利用从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，可得△A1AC∽△CBB1，即可求出结论．解答：解：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1=60tanα，BB1=60tan2α，∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，∴，∴AA1•BB1=900，∴3600tanαtan2α=900，∴tanα=，tan2α=，BB1=60tan2α=45．故答案为：，45点评：本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣acosx（x∈R）的图象经过点（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）代点可求a值，可得解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=，易得周期为T=2π，解可得单调递减区间．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象经过点，∴，即﹣a=1，解得a=1．∴==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=．∴函数f（x）的最小正周期为T=2π．由，k∈Z．可得，k∈Z．∴函数f（x）的单调递减区间为：[]，k∈Z点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数公式和三角函数的单调性和周期性，属基础题．16．（13分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理求出∠BCD的正弦函数值，然后求出角的大小；（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可求BD的长，然后求出AC的长，即可求解△ABC的面积．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，由正弦定理可得，即，所以．因为∠ACB为钝角，所以．所以．…（6分）（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC2﹣2CB•DC•cos∠BCD，即，整理得BD=2．在△ABC中，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，即，整理得．解得．因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以．所以△ABC的面积．…．（13分）点评：本题考查余弦定理的应用，解三角形，考查基本知识的应用．17．（13分）在递减的等比数列{a n}中，设S n为其前n项和，已知a2=，S3=．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2S n，试比较与b n+1的大小关系，并说明理由．考点：数列与函数的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a2=，S3=，建立方程组，即可求a n，S n；（Ⅱ）b n+1=log2S n+1，由于函数y=log2x在定义域上为增函数，所以只需比较与S n+1的大小关系．解答：解：（Ⅰ）由已知可得，解得q=2或．由上面方程组可知a1＞0，且已知数列{a n}为递减数列，所以．代入求得，则.…．（6分）（Ⅱ）依题意，=；b n+1=log2S n+1，由于函数y=log2x在定义域上为增函数，所以只需比较与S n+1的大小关系，即比较S n•S n+2与S2n+1的大小关系，=，=，由于，即，所以．即S n•S n+2＜S2n+1，即＜b n+1…．（13分）点评：本题考查数列的通项，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）已知函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（1，2）上是单调函数，求a的取值范围．考点：函数的单调性及单调区间．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：本题考察函数的单调性．（Ⅰ）先写出函数的定义域，然后求导数，分a=0，a＞0，a＜0，利用导数的符号讨论函数的单调性即可，（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的函数单调性，对a进行分类讨论，又x∈（1，2），分成a≤0，0＜2a≤1，1＜2a＜2，2a≥2四种情况进行讨论．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x≠a}.．①当a=0时，f（x）=x（x≠0），f'（x）=1，则x∈（﹣∞，0），（0，+∞）时，f（x）为增函数；②当a＞0时，由f'（x）＞0得，x＞2a或x＜0，由于此时0＜a＜2a，所以x＞2a时，f（x）为增函数，x ＜0时，f（x）为增函数；由f'（x）＜0得，0＜x＜2a，考虑定义域，当0＜x＜a，f（x）为减函数，a＜x＜2a时，f （x）为减函数；③当a＜0时，由f'（x）＞0得，x＞0或x＜2a，由于此时2a＜a＜0，所以当x＜2a时，f（x）为增函数，x＞0时，f（x）为增函数．由f'（x）＜0得，2a＜x＜0，考虑定义域，当2a＜x＜a，f（x）为减函数，a＜x＜0时，f （x）为减函数．综上，当a=0时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为x∈（﹣∞，0），（2a，+∞），单调减区间为（0，a），（a，2a）．当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为x∈（﹣∞，2a），（0，+∞），单调减区间为（2a，a），（a，0）．（Ⅱ）①当a≤0时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（1，2）单调增，且x∈（1，2）时，x≠a．②当0＜2a≤1时，即时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（2a，+∞）单调增，即在（1，2）单调增，且x∈（1，2）时，x≠a．③当1＜2a＜2时，即时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（1，2）上不具有单调性，不合题意．④当2a≥2，即a≥1时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（0，a），（a，2a）为减函数，同时需注意a∉（1，2），满足这样的条件时f（x）在（1，2）单调减，所以此时a=1或a≥2．综上所述，或a=1或a≥2．点评：本题易忽略函数的定义域，在讨论函数的性质的题目中一定要先求出函数的定义域，在定义域内讨论；难点是分类讨论较复杂，要做到不重不漏，按照数轴从左向右讨论，还要注意特殊情况．19．（14分）已知函数y=f（x），若在区间（﹣2，2）内有且仅有一个x0，使得f（x0）=1成立，则称函数f（x）具有性质M．（Ⅰ）若f（x）=sinx+2，判断f（x）是否具有性质M，说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）=x2+2mx+2m+1具有性质M，试求实数m的取值范围．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；新定义；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）f（x）=sinx+2具有性质M．若存在x0∈（﹣2，2），使得f（x0）=1，解方程求出方程的根，即可证得；（Ⅱ）依题意，若函数f（x）=x2+2mx+2m+1具有性质M，即方程x2+2mx+2m=0在（﹣2，2）上有且只有一个实根．设h（x）=x2+2mx+2m，即h（x）=x2+2mx+2m在（﹣2，2）上有且只有一个零点．讨论m的取值范围，结合零点存在定理，即可得到m的范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinx+2具有性质M．理由：依题意，若存在x0∈（﹣2，2），使得f（x0）=1，则x0∈（﹣2，2）时有sinx0+2=1，即sinx0=﹣1，x0=2kπ﹣，k∈Z．由于x0∈（﹣2，2），所以x0=﹣．又因为区间（﹣2，2）内有且仅有一个x0=﹣．使得f（x0）=1成立，所以f（x）具有性质M；（Ⅱ）依题意，若函数f（x）=x2+2mx+2m+1具有性质M，即方程x2+2mx+2m=0在（﹣2，2）上有且只有一个实根．设h（x）=x2+2mx+2m，即h（x）=x2+2mx+2m在（﹣2，2）上有且只有一个零点．解法一：（1）当﹣m≤﹣2时，即m≥2时，可得h（x）在（﹣2，2）上为增函数，只需解得交集得m＞2．（2）当﹣2＜﹣m＜2时，即﹣2＜m＜2时，若使函数h（x）在（﹣2，2）上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：（ⅰ）m=0时，h（x）=x2在（﹣2，2）上有且只有一个零点，符合题意．（ⅱ）当﹣2＜﹣m＜0即0＜m＜2时，需解得交集得∅．（ⅲ）当0＜﹣m＜2时，即﹣2＜m＜0时，需解得交集得．（3）当﹣m≥2时，即m≤﹣2时，可得h（x）在（﹣2，2）上为减函数只需解得交集得m≤﹣2．综上所述，若函数f（x）具有性质M，实数m的取值范围是m或m＞2或m=0；解法二：依题意，（1）由h（﹣2）•h（2）＜0得，（4﹣2m）（6m+4）＜0，解得或m＞2．同时需要考虑以下三种情况：（2）由解得m=0．（3）由解得，不等式组无解．（4）由解得，解得．综上所述，若函数f（x）具有性质M，实数m的取值范围是或m＞2或m=0．点评：本题考查函数的零点的判断和求法，考查零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．20．（13分）对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k=max{a1，a2，a3，…，a k}（k=1，2，3，…，m），即b k为a1，a2，a3，…，a k中的最大值，则称{b n}是{a n}的“控制数列”，{b n}各项中不同数值的个数称为{a n}的“控制阶数”．（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列{b n}为1，3，3，5，写出所有的{a n}；（Ⅱ）若m=100，a n=tn2﹣n，其中，{b n}是{a n}的控制数列，试用t表示（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+（b3﹣a3）+…+（b100﹣a100）的值；（Ⅲ）在1，2，3，4，5的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和．考点：数列的应用．专题：新定义；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列{b n}为1，3，3，5，可得{a n}；（Ⅱ）确定当n≥2时，总有a n+1＞a n，n≥3时，总有b n=a n．从而只需比较a1和a2的大小，即可得出结论．（Ⅲ）确定首项为1、2、3、4的数列的个数，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）1，3，1，5；1，3，2，5；1，3，3，5…．（3分）（Ⅱ）因为，所以．所以当n≥2时，总有a n+1＞a n．又a1=t﹣1，a3=9t﹣3．所以a3﹣a1=8t﹣2＞0．故n≥3时，总有b n=a n．从而只需比较a1和a2的大小．（1）当a1≤a2，即t﹣1≤4t﹣2，即时，{a n}是递增数列，此时b n=a n对一切n=1，2，3，…100均成立．所以（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+（b3﹣a3）+…+（b100﹣a100）=0．（2）当a1＞a2时，即t﹣1＞4t﹣2，即时，b1=a1，b2=a1，b n=a n（n≥3）．所以（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+（b3﹣a3）+…+（b100﹣a100）=0+[（t﹣1）﹣（4t﹣2）]+0+…+0=1﹣3t．综上，原式=…．（9分）（Ⅲ）154．首项为1的数列有6个；首项为2的数列有6+2=8个；首项为3的数列有6+4+2=12个；首项为4的数列有6+6+6+6=24个；所以，控制阶数为2的所有数列首项之和6+8×2+12×3+24×4=154．…（13分）点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3）观察，分析寻找规律是难点，是难题．。

2014-2015学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的）1．设集合A={0，1}，B={﹣1，0，m﹣2}，若A⊆B，则实数m=（）A．0 B．1C．2D．3考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：本题利用集合的包含关系得到元素与元素的关系，从而求出参数的值．解答：解：∵集合A={0，1}，∴1∈A．∵A⊆B，∴1∈B．∵B={﹣1，0，m﹣2}，∴1=m﹣2．∴m=3．故选：D．点评：本题考查的知识点是集合与元素的关系，本题思维量小，过程简单，是容易题．2．设复数z1=1+i，z2=2+bi，其中i为虚数单位，若z1•z2为实数，则实数b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意可得z1•z2=2﹣b+（2+b）i，由实数的定义可得2+b=0，解方程可得．解答：解：∵z1=1+i，z2=2+bi，∴z1•z2=（1+i）（2+bi）=2﹣b+（2+b）i，∵z1•z2为实数，∴2+b=0，解得b=﹣2故选：A点评：本题考查复数的基本概念，属基础题．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=32，则a2+a7=（）A．1 B．4C．8D．9考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S8=32，∴，∴a2+a7=8．故选：C．点评：本题考查等差数列的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=，AA1=h，则异面直线BD与B1C1所成的角为（）A．30°B．60°C．90°D．不能确定，与h有关考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由B1C1∥BC，知∠DBC是异面直线BD与B1C1所成的角（或所成的角的平面角），由此能求出异面直线BD与B1C1所成的角为60°．解答：解：∵B1C1∥BC，∴∠DBC是异面直线BD与B1C1所成的角（或所成的角的平面角），∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=，AA1=h，∴tan∠DBC===，∴异面直线BD与B1C1所成的角为60°．故选：B．点评：本题考查异面直线所成的角的大小的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．5．某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是（）A．﹣1 B．0.5 C．2D．10考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：按照程序框图的流程，判断输入的值是否满足判断框中的条件，“是”按y=lgx求出y．解答：解：当x=0.1时，满足第一个判断框中的条件，执行“是”，也满足第二个判断框中的条件，执行“是”，将x=0.1代入y=lgx得y=﹣1故选A．点评：本题考查解决程序框图的选择结构时，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件．6．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B点评：本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（）A．2 B．﹣2 C．8D．﹣8考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意知函数的周期为4，故f（2015）=f（﹣1），又由奇函数可求f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．解答：解：∵f（x+4）=f（x），∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），又∵f（x）在R上是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选B．点评：本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．8．已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈（，π），=（0，﹣1），则与的夹角等于（）A．θ﹣B．+θC．﹣θD．θ考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量夹角公式可得cos＜，＞==﹣sinθ=cos（），再由∈（，π），＜，＞∈[0，π]，y=cox在[0，π]上单调递减，可得结论．解答：解：•=cosθ×0+sinθ×（﹣1）=﹣sinθ，||=1，||=1，∴cos＜，＞==﹣sinθ=cos（），∵θ∈（，π），∴∈（，π），又＜，＞∈[0，π]，y=cox在[0，π]上单调递减，∴＜，＞=，故选C．点评：本题考查向量的数量积运算、夹角公式及诱导公式等知识，属基础题．9．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．10．x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A．14 B．7C．18 D．13考点：基本不等式；简单线性规划．专题：计算题．分析：作出可行域，得到目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最优解，从而得到3a+4b=7，利用基本不等式即可．解答：解：∵x、y满足约束条件，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0），作出可行域：由图可得，可行域为△ABC区域，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过可行域内的点C时，取得最大值（最优解）．由解得x=3，y=4，即C（3，4），∵目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，∴3a+4b=7（a＞0，b＞0），∴=（3a+4b）•（）=（9++16+）≥（25+2）=×49=7（当且仅当a=b=1时取“=”）．故选B．点评：本题考查线性规划，作出线性约束条件下的可行域，求得其最优解是关键，也是难点，属于中档题．11．若函数f（x）=x2﹣ax+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[2，+∞） D ．（2，+∞）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，由导函数等于0得到a=x+，利用基本不等式求得x+的范围得答案．解答：解：∵f（x）=x2﹣ax+lnx，∴f'（x）=x﹣a+，由题意可知存在实数x＞0，使得f'（x）=x﹣a+=0，即a=x+成立，∴a=x+≥2（当且仅当x=，即x=1时等号取到），∴实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．12．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上专题：计算题．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣x﹣1，g'（x）=f′（x）﹣1＜0，从而可得g（x）的单调性，结合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．解答：解：令g（x）=f（x）﹣x﹣1，∵f′（x）＜1（x∈R），∴g′（x）=f′（x）﹣1＜0，∴g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，又f（1）=2，∴g（1）=f（1）﹣1﹣1=0，∴不等式f（x）＜x+1的解集⇔g（x）=f（x）﹣x﹣1＜0=g（1）的解集，即g（x）＜g（1），又g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，∴x＞1，即x∈（1，+∞）．故选A．点评：本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．等比数列{a n}的各项都是正数，若a3a15=64，则log2a9等于3．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等比数列的性质可得a9=8，代入要求的式子化简即可．解答：解：∵等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a15=64，∴a 9===8，∴log2a9=log28=3故答案为：3点评：本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属基础题．14．在面积为S的△ABC内任取一点P，则△PAB的面积大于的概率为．考点：几何概型；诱导公式的作用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：概率与统计．分析：设DE是△ABC平行于BC的中位线，可得当P点位于△ABC内部的线段DE上方时，能使△PAB的面积大于，因此所求的概率等于△ADE的面积与△ABC的面积比值，根据相似三角形的性质求出这个面积比即可．解答：解：分别取AB、AC中点D、E，连接DE∵DE是△ABC的中位线，∴DE上一点到BC的距离等于A到BC距离的一半设A到BC的距离为h，则当动点P位于线段DE上时，△PAB的面积S=BC•h=S△ABC=S因此，当点P位于△ABC内部，且位于线段DE上方时，△PAB的面积大于．∵△ADE∽△ABC，且相似比=∴S△ADE：S△ABC=由此可得△PAB的面积大于的概率为P==．故答案为：．点评：本题给出三角形ABC内部一点P，求三角形PBC面积大于或等于三角形ABC面积的一半的概率，着重考查了相似三角形的性质和几何概型的计算等知识，属于基础题．15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是四棱锥，利用几何体的数据求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，考查空间想象能力与计算能力．16．已知函数f（x）=1﹣ax﹣x2，若对于∀x∈[a，a+1]，都有f（x）＞0成立，则实数a的取值范围是（﹣，﹣）．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的性质结合函数的图象得到不等式组，解出即可．解答：解：令f（x）=1﹣ax﹣x2=0，∴x1=，x2=，若f（x）＞0成立，∴，解得：﹣＜a＜﹣．故答案为：（﹣，﹣）．点评：本题考查了二次函数的性质，函数的最值问题，是一道中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若cosA=，求b．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinC的值代入求出ab的值，再由余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将ab的值代入即可求出a+b的值，由此求得a、b的值．（2）由cosA=，求得sinA=，由正弦定理求得a的值．再求得sinB=sin（A+C）的值，由=，求得b的值．解答：解：（1）∵S△ABC=absinC==，∴ab=4①．由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，即4=（a+b）2﹣12，则a+b=4 ②．由①②求得a=b=2．（2）∵cosA=，∴sinA=，由正弦定理可得=，即=，求得a=．又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=+=，故由=，即=，求得b=．点评：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，属于基础题．18．（12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据80岁以下老龄人的人数，即可估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率．（Ⅱ）由分层抽样方法可得被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0，设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B；列举从这五人中抽取3人的结果，由古典概型公式计算可得答案．解答：解：（Ⅰ）该小区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为，所以该小区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为．（Ⅱ）该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人共有70人，由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B．从这五人中抽取3人，结果有10种：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，B），（1，3，4），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，4），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：（1，2，B），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为．点评：本题考查概率的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE，由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理，可得DE∥BC1，进而由线面平行的判定定理得到结论；（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可（3）三棱锥B 1﹣A1DC的体积=，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：证明：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点又∵D是AB的中点，DE∥BC1，又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，∴BC1∥平面CA1D；（2）AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD，又∵AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AB=A，∴CD⊥面AA1B1B，又∵CD⊂面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B（3）则由（2）知CD⊥面ABB1B，∴三棱锥B1﹣A1DC底面B1A1D上的高就是CD=，又∵BD=1，BB 1=，∴A1D=B1D=A1B1=2，=，∴三棱锥B 1﹣A1DC的体积===1点评：本题主要考查了直棱柱中的线面、面面关系，线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，棱锥的体积，推理论证的能力和表达能力，注意证明过程的严密性20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；证明题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想．分析：（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出k的值；（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离d；（3）要证PA⊥PB，只需证直线PB与直线PA的斜率之积为﹣1，根据题意求出它们的斜率，即证的结果．解答：解：（1）由题设知，a=2，b=，故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣）．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以k=．（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得x=±，因此P（，），A（﹣，﹣）于是C（，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣=0．因此，d=．（3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．因为C在直线AB上，所以k2=，从而kk1+1=2k1k2+1=2•===．因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB．点评：此题是个难题．考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，以及直线斜率的求法，以及直线与椭圆的位置关系，体现了方程的思想和数形结合思想，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21．（12分）已知函数f（x）=x+alnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）由已知得x＞0，，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（II）由（I）导数性质能求出当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．解答：解：（I）∵f（x）=x+alnx，∴x＞0，，∴当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），没的减区间；当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：x （0，﹣a）﹣a （﹣a，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗函数的增区间是（﹣a，+∞），减区间是（0，a）．（II）由（I）可知当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，且有f（e）=﹣1＜1﹣1=0，f（1）=1＞0，所以，此时函数有零点，不符合题意；当a=0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上没零点；当a＜0时，f（﹣a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，所以，当f（﹣a）=a[ln（﹣a）﹣1]＞0，即a＞﹣e时，函数f（x）没有零点，综上所述，当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．请在下面的三个题中任选一题做答【选修4—1】集合证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．考点：与圆有关的比例线段．专题：几何证明．分析：（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果解答：（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2 ∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2 故答案为：（1）略（2）CD=2点评：本题考查的知识点：证明切线的方法：连半径，证垂直．三角形相似的判定，勾股定理的应用．【选修4—4】坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数，可得直线l的普通方程，圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ，可得曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|．解答：解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．点评：本题考查参数方程化成普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线与圆的位置关系，比较基础．【选修4—5】不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=+=•+≤•=3，求得实数M的值．（Ⅱ）关于x的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3，由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3，可得|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得x的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于基础题．。

2014—2015学年度第一学段自主检测高三数学（科学）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。

3.答卷前将密封线内的项目填写清楚.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.函数y =的定义域是A.[]1,2B.[)1,2C.1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.下列函数中在区间()1,1-上既是奇函数又是增函数的为A.1y x =+B.sin y x =C.22x x y -=+D.ln y x = 3.22log sinlog cos 1212ππ+的值为 A.2- B.1- C.12 D.1 4.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为3π，则a b +等于 A.1D.2 5.若1210sin ,cos a xdx b xdx a b π==⎰⎰，则与的关系是 A.a b < B.a b > C.a b = D.0a b +=6.若变量,x y 满足1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，实数z 是2x 和4y -的等差中项，则z 的最大值等于A.1B.2C.3D.47.函数()sin x x y e e x -=-⋅的图象大致是8. 已知集合{}{}(]21561,M x x x N x a x M N b =++-≤=<<⋂=-，，且则b a -=A.3-B.3C.1-D.7 9.已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），满足()()20PB PA PB PA PC -⋅+-=uu r uu r uu r uu r uu u r ，则△ABC 必定是A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形10.已知方程()sin 0x k x=+∞在，有两个不同的解()αβαβ<，，则下面结论正确的是 A.1tan 41πααα+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭ B.1tan 41πααα-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭ C.1tan 41πβββ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭ D.1tan 41πβββ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.函数()1,02,0x x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则()()0f f 的值为12.已知幂函数()y f x =的图像经过点1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()()1215gf gf += 13.不等式4x x>的解集为 14.公差不为零的等差数列{}n a 中，237110a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且7712b a b b =g ，则…13b 等于15.对于下列命题：①若关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则()0,1a ∈ ②已知函数()2log 1a x f x x-=+为奇函数，则实数a 的值为1； ③设201420142014sin ,cos ,tan 333a b c a b c πππ===<<，则；④△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若2,5,6a b A π===，则ABC ∆有两组解；其中正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量)()22,cos ,1,2cos m x x n x =+=，设函数(),.f x m n x R =⋅∈ （1）求()f x 的最小正周期与最大值；（2）在△ABC 中，,,a b c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()4,1,f A b ABC ==∆的面积为a 求的值.17.（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,04f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为3π. （1）若260sin 3125f πααπα⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，，求； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位得到()y g x =的图象，若函数()11036y g x k π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦在，上有零点，求实数k 的取值范围.18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为112,22n n n S a a S +==+，且.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的各项均为正数，且n b 是2n n n n a a +与的等比中项，求n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）设函数()()f x x a x b =-+.（1）当2,3a b ==，求函数()y f x =的零点；（2）设2b =-，且对任意[]()1,1,0x f x ∈-<恒成立，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分13分）某种树苗栽种时高度为A （A 为常数）米，栽种n 年后的高度记为()f n .经研究发现()f n 近似地满足()2392n A f n t a bt-==+，其中，,a b 为常数，(),0.n N f A ∈=已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍.（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大.21.（本小题满分14分）已知函数()()21,x axf x e xg x x e =--=. （1）求()f x 的最小值；（2）求()g x 的单调区间；（3）当1a =时，对于在()0,1中的任一个常数m ，是否存在正数0x 使得()()002m f x g x >成立？如果存在，求出符合条件的一个0x ；否则说明理由.。

高 三 年 级 考 试数 学 试 题（理科）2014.11一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}213A x x =-≤，集合(){}11B x y g x ==-，则A B ⋂等于A.()1,2B.[]1,2C.(]1,2D.[)1,2 2.如果命题“()p q ⌝∨”为真命题，则A.,p q 均为真命题B.,p q 均为假命题C.,p q 中至少有一个为真命题D.,p q 中一个为真命题，一个为假命题3.设sin31cos58,tan32a b c ===o o o ，，则A.a b c >>B.c b a >>C.c a b >>D.b c a >>4.若点()16,2在函数()log 01a y x a a =>≠且的图象上，则tan3a π的值为A. B.3-5.设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则“01q <<”是“{}n a 为递减数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 6.给定函数①12y x =，②()12l o g1y x =+，③1y x =-，④12x y +=，其中在区间()0,1上单调递减的函数序号是A.①②B.②③C.③④D.①④7.设α是第二象限角，(),4P x 为其终边上的一点，且1cos 5x α=，则tan 2α等于 A.247- B.127-C.127D.2478.在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若()21121024n n n n a a a n S n +---+=≥-，则等于A.2-B.0C.1D.29.若函数()()()01x x f x ka a a a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是增函数，则函数()()log a g x x k =+的图象是10.已知函数()()()()2210ln 2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是A.(-∞B.⎛-∞ ⎝C.⎛⎝ D.⎛⎝二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.11.已知31sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 2α= ▲ .12.已知向量a b ，的夹角为45°，且1,2a a b b =-== ▲ .13.由曲线y =，直线2y x y =-及轴所围成的图形的面积为 ▲ .14.数列{}n a 的前n 项和()0.1log 1n S n =+，则101199a a a ++⋅⋅⋅+= ▲ .15.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且在[]()0,2f x =上()1,01s i n ,12x x x x x π⎧-≤≤⎪⎨<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭▲ . 三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知点()()()1,42,321A B C --，，，.（I ）求AB AC AB AC ⋅+uuur uuu r uu u r uuu r 及；（II ）设实数t 满足()AB tOC OC -⊥uu u r uu u r uu u r ，求t 的值.17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知24sin 4sin sin 382A B A B AC -+==，，点D 在BC 边上，且12,cos 7BD ADB =∠=.求角C 的大小及边AB 的长.18.（本小题满分12分）已知)()()cos sin ,1,03,a x b x x R ωωω==-<<∈r r ，.函数()f x a b =⋅r r ，若将函数()f x 的图象向左平移3π个单位，则得到()y g x =的图像，且函数()y g x =为偶函数. （I ）求函数()f x 的解析式及其单调增区间；（II ）若12,2263f απαπ⎛⎫⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin α的值.19.（本小题满分12分）某工厂为提高生产效益，决定对一条生产线进行升级改造，该生产线升级改造后的生产效益y 万元与升级改造的投入()10x x >万元之间满足函数关系：21101ln ln1010050y m x x x =-++（其中m 为常数） 若升级改造投入20万元，可得到生产效益为35.7万元.试求该生产线升级改造后获得的最大利润.（利润=生产效益-投入）（参考数据：ln 20.7,ln5 1.6==）20.（本小题满分13分）已知首项都是1的数列{}{}()*,0,n n n a b b n N ≠∈满足113n n n n na b b a b ++=+（I ）令n n na Cb =，求数列{}nc 的通项公式； （II ）若数列{}n b 为各项均为正数的等比数列，且23264b b b =⋅，求数列{}n a 的前n 项和n S .21.（本小题满分14分）已知函数()ln ,f x a x a R =∈.（I ）若曲线()y f x =与曲线()g x =a 的值；（II ）若对任意[]1,x e ∈，都有()()22f x x a x ≥-++恒成立，求a 的取值范围；（III ）在（I ）的条件下，求证：()112xxe xf x ->-.。

成都七中高2015届高三上学期期中数学考试题（理科）满分150分，考试时间120分钟出题人：江海兵 审题人：廖学军一、选择题，本大题有10个小题每小题5分，共50分，每小题有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卷上．1.△A BC 中，角A ，B ，c 的对边分别为a ，b ，c ，若a=3，b=2．cos(A 十B)= 13，则c=( )A ．4B ．15C ．3D ．172. 《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织 尺布。

（不作近似计算）( ) A ．12 B ．815 c ．1629 D ． 16313．若f(x)= -12x 2+bln (x+2)在(-1，+∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A .[-1, +∞)B .(- l,+∞ )C .(-∞ , - 1)D .(-∞ , - 1] 4．己知平面α，β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂a ；④α⊥β；⑤α∥β能推导出m ∥β的是( )A. ①④ B ．①⑤ C ．②⑤ D ．③⑤ 5．己知数列{a n ）满足a 1=0，a n+1=a n -33a n +1．n ∈N*,则a 2015等于( )A ．0B ．- 3C ． 3 D326．在△ABC 中，若a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且cos2B +cos B +cos(A -c)=1，则有( ) A.a ，c ，b 成等比数列 B.a ，c ，b 成等差数列 C.a ，b ，c 成等差数列 D.a ，b ，c 成等比数列7．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且→MB +32 →MA +32→MC =→0, D 是AC 中点，则︱ →MD ︱︱ BM ︱ 的值为（ ）A. 13B. 12C. 1D. 2 8.若存在过点(1，0)的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+154x-9都相切，则a = ( ) A ．一1或一2564 B ．—1或214 C ．— 74 或一2564 D.— 74或79．己知x ，y 满足约束条件 当目标函数z=ax+ by (a>0，b>o)在约束条件下取到最小值25时，a 2 +b 2的最小值为( )A. 1B. 2 C ．3 D. 4第1页10.我们把具有以下性质的函数f(x)称为“好函数”：对于在f （x ）定义域内的任意三个数以a ，b ，c ，若这三个数能作为三角形的三边长，则f （a ），f(b)，f(c)也能作为三角形的三边长．现有如下一些函数： ①f(x)=x ② f(x)=1— x , x ∈(o ，12) ③ f(x)=e x , x ∈(o ，1) ④f(x)= sinx, x ∈(o ，π)其中是“好函数”的序号有( )A ．①②B ．①②③ C.②③④ D.①③④二、填空题，本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填在答题卷上． 11．已知指数函数y=f(x)，对数函数y=g （x ）和冥函数y=h （x ）的图像都过P （12,2），如果f(x 1)=g （x 2）= h （x 3）=4，那么x l +x 2+x 3 = .12.已知|→a | =6, |→b | = 6 2 ，若t →a +b 与t →a -b 的夹角为钝角，则t 的取值范围为 13.定义在R 上的奇函数y=f(x) 满足f(3)=0，且不等式f(x>一f ′(x)在(0：+∞)上恒成立，则函数g(x)=xf(x) +lg |k+1| 的零点个数为 .14.己知命题p ：函数f （x ）=x 2 + ax —2 在[-1，1]内有且仅有一个零点，命题q ：x 2+3(a+1)x+2≤o 在区间[12，32]内 恒成立，若命题“p 且g ”是假命题，实数q 的取值范围是15．给出定义：若x ∈〔m -12, m+12]，(m ∈z)，则m 叫做实数x 的“亲密函数”，记作{x}=m ，在此基础上给出下列 函数f(x)=|x -{x}|的四个命题：①函数y=f(x)在x ∈(o ，1)上是增函数；②函数y=f(x)是周期函数，最小正周期为1； ③函数y=f(x)的图像关于直线x=k2（k ∈Z ）对称；④当x ∈(0，2]时，函数g(x)=f(x) - ln x 有两个零点其中正确命题的序号是三、解答题，本大题共6个小题，共75分，请将答案及过程写在答题卷上16.（12分）己知函数f(x)=3cos4x -2 cos 2（2x+π4）+1 (1)求f （x ）的最小正周期；(2)求f(x)在区间[-π6 ,π4]上的取值范围．第2页17. (12分)己知数列{a n }满足a 1=1, a n+1 = 2n+ 1a na n +2n (n ∈N*)，(I)证明数列{ 2na n }是等差数列；( II)求数列{a n ）的通项公式；(III)设b n =n(n+1)a n 求数列{b n }的前n 项和S n 。

2014-2015学年度???学校12月月考卷一、选择题1．已知集合{}{}2+20,0A x x x B x x =-<=>,则集合AB 等于（ ）A ．{}2x x >- B ．{}01x x << C ．{}1x x < D ．{}21x x -<< 【答案】B 【解析】 试题分析：试题分析：{}{}{}2+2021,0A xx xx B x x =-<=-<=>;A B ∴{}01x x <<． 考点：集合的交集运算．2．要得到函数πtan()6y x =+的图象，只要将函数tan y x =的图象（ ） A ．向右平移π3个单位 B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向左平移π6个单位【答案】D【解析】试题分析：将函数tan y x =的图象向左平移π6个单位，得到πtan()6y x =+，故选D ． 考点：三角函数图象平移．3．“1a >”是“函数3()f x x a =+在R 上为单调递增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：∵ 2'()30f x x =≥，∴a 无论取何值，函数3()f x x a =+在R 上为单调递增函数，∴“1a >”是“函数3()f x x a =+在R 上为单调递增函数” 充分不必要条件．考点：1导数在函数单调性中的应用；2．充分必要条件的判断． 4．执行如图所示的程序框图，则输出的b 值等于（ ）A ．3-B ．8-C ．15-D ．24- 【答案】B 【解析】试题分析：执行程序框图，第一次循环后，b=0，a=3；第二次循环后，b=-3，a=5；第三次循环后，b=-8，a=8；此时a=8不满足条件a ＜7，输出b 的值为-8．故选：B ． 考点：程序框图．5．如图，点D 是线段BC 的中点，6BC =，且A B A C A B A C +=-，则AD = （ ）DA．6 B ．．3 D ．32【答案】C【解析】试题分析： ||AB AC AB AC +=-，AB AC ⊥∴，即△ABC 为直角三角形，AD 为斜边上的中线， 则132||||AD BC ==．故选C ． 考点：平面向量加法模的几何意义．6． 已知命题p ：x ∀∈R ，20x>；命题q ：在曲线cosy x =则下列判断正确的是（ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题 【答案】C 【解析】试题分析：易知，命题p 是真命题；对于命题q ：sin [1,1]y x '=-∈- [1,1]-，故命题q 为假命题；所以q ⌝为真命题；所以()p q ∧⌝ 是真命题，故选C ．考点：复合命题真假的判断．7．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元（t 为正常数）．公司决定从原有员工中分流x （0100x <<）人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2%x ．若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】B 【解析】试题分析：由题意，分流前每年创造的产值为100t （万元），分流后x 人后，每年创造的产值为()()1001 1.2%x x t -+，则由()()01001001 1.2%100x x x t t<<-+≥⎧⎨⎩，解得：5003x <<．所以x 的最大值为16． 故选：B ．考点： 函数模型的选择与应用．8．在平面直角坐标系中，ABC △顶点坐标分别为(00)A ，，(1B ，(0)C m ， ．若ABC △是钝角三角形，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．01m <<B ．0m <C ．0m <或4m >D ．01m <<或4m > 【答案】D【解析】试题分析：由(B ，得到1AE BE ==，根据勾股定理得：260AB BAE =∠=︒，， 过B 作BD AB ⊥ ，可得30ADB ∠=︒，∴24AD AB == ，即()40D ， ，则ABC 是钝角三角形时，正实数m 的取值范围是01m << 或4m >，故选：D ． 考点：余弦定理．二、填空题9．已知平面向量(2,1)=-a ，(,1)x =b ，若⊥a b ，则x = ． 【答案】12【解析】试题分析：∵⊥a b ，∴⋅a b =0，即210x -= ，得12x =． 考点：向量垂直的充要条件．10．已知3sin 5α= ，(,)2απ∈π，则cos α=_______；tan()4απ+= _______．【答案】45-；17．【解析】试题分析：∵3sin 5α=，(,)2απ∈π，∴4cos 5α==-，∴3tan 4α=-，所以tan()4απ+=311tan 141tan 714αα-+==-+． 考点：1．同角的基本关系；2．两角和的正切公式．11．已知函数()22xxf x a -=+⋅，且对于任意的x ，有()()0f x f x -+=，则实数a 的值为 ． 【答案】1- 【解析】试题分析：∵对于任意的x ，有()()f x f x -+=，∴(0)0f =，即00(0)2210f a a =+⋅=+=，∴a =1-．考点：函数奇偶性．12．已知x ，y 满足条件20,3260,20,x y x y y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则函数2z x y =-+的最大值是 ．【答案】4 【解析】试题分析：作出可行区域，如下图可知在()2,0M - 处，取到最大值，最大值为4． 考点：简单的线性规划．13． 设函数1e ,0,()sin π1,0 1.x x f x x x +⎧≤=⎨+<≤⎩若()1f m =，则实数m 的值等于 ．【答案】1-或1 【解析】试题分析：∵()1f m =，∴当0m ≤时，1()1m f m e +==，解得1m =-；当10m ≥>时，()sin 11f m m π=+=，解得1m =；故答案为1-或1．考点： 分段函数的函数值,14．已知函数()()f x x a x =-⋅的图象与直线1y =有且只有一个交点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】2a >- 【解析】试题分析：当x≥0时，f （x ）=（x-a ）•|x|=（x-a ）•x，当x ＜0时，f （x ）=（x-a ）•|x|=-（x-a ）•x=-x2+ax ，若a=0，则f （x ）的图象如图：满足条件．若a ＞0，则f （x ）的图象如图：满足条件；若a ＜0，则f （x ）的图象如图：要使条件成立，则只需要当x ＜0时，函数的最大值小于1，即22144a a -<-＝ ，即24a <，解得-2＜a ＜2，此时-2＜a ＜0，综上a ＞-1，故答案为：（-1，+∞） ．考点：函数零点与方程根的关系．三、解答题15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且253619,25a a a a +=+=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n a b -是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）31n a n =-; （Ⅱ）213422n n n +++- 【解析】试题分析：（I ）利用等差数列的通项公式可得，由253619,25,a a a a +=⎧⎨+=⎩整理得112519,2725.a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得出；（II ）利用等比数列的通项公式可知2n n n a b -=、等差数列与等比数列的前n 项和公式，采用分组求和即可求出结果．试题解析：解：（Ⅰ）由253619,25,a a a a +=⎧⎨+=⎩整理得112519,2725.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,2.d a =⎧⎨=⎩所以31n a n =-． 6分（Ⅱ）因为数列{}n n a b -是首项为2，公比为2的等比数列， 所以2n n n a b -=，所以312n n b n =--，所以数列{}n b 的前n 项和21(31)2(12)3422122n n n n n n n S ++-++=-=--． 13分考点： 1．等差数列与等比数列；2．分组求和．16．（本小题满分13分）已知函数1()sin cos sin(2)23f x x x x π=--． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值． 【答案】（Ⅰ）π; （Ⅱ）最大值为12；最小值为【解析】试题分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换公式可得1sin(2)23f x x π=+（），利用周期公式，即可可求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）[0,]2x ∈π，可知2[,]x ππ4π+∈333，进而求出11sin(2)[]232x π+∈，即可求得()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值． 试题解析：解：（Ⅰ）1()sin cos sin(2)23f x x x x π=--11sin2(sin2cos cos2sin )2233x x x ππ=--11sin 2sin 2224x x x =-1sin 224x x = 1sin(2)23x π=+． 则()f x 的最小正周期为π． 7分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，则2[,]x ππ4π+∈333．所以sin(2)[3x π+∈．所以11sin(2)[]232x π+∈． 则()f x 在[0,]2π上的最大值为12，此时232x ππ+=，即12x π=． ()f x 在[0,]2π上的最小值为，此时233x π4π+=，即2x π=． 13分．考点：1．三角恒等变换；2．函数sin()A x f x ωϕ=+（）的性质．17．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，ACB ∠为钝角，π2,6AB BC A ===．D 为AC延长线上一点，且1CD =．CB（Ⅰ）求BCD ∠的大小； （Ⅱ）求,BD AC 的长． 【答案】（Ⅰ）π4BCD ∠=; （Ⅱ）2BD =，1AC =． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理求出sin ACB ∠=ACB ∠为钝角，求出角的大小；（Ⅱ）在△BCD 中，由余弦定理可求BD 的长，然后再用余弦定理即可求出AC 的长． 试题解析：解：（Ⅰ）在ABC 中，因为π2,6AB A ==，BC = 由正弦定理可得sin sin AB BCACB A=∠，即2sin sin 62ACB ===∠所以sin 2ACB ∠=因为ACB ∠为钝角，所以3π4ACB ∠=． 所以π4BCD ∠=． 7分 （Ⅱ）在△BCD 中，由余弦定理可知2222cos BD CB DC CB DC BCD =+-⋅⋅∠，即222π1)21)cos4BD =+-⋅， 整理得2BD =．在△ABC 中，由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即222π222cos6AC AC =+-⋅⋅⋅，整理得220AC -+=．解得1AC =．因为ACB ∠为钝角，所以2AC AB <=．所以1AC =． 14分．考点：1．正弦定理的应用；2．余弦定理的应用．18．（本小题满分13分）已知函数2()21f x x ax a =--+，a ∈R ． （Ⅰ）若2a =，试求函数()f x y x=（0x >）的最小值； （Ⅱ）对于任意的[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立，试求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2-; （Ⅱ）3[,)4+∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意得2()4114f x x x y x x x x-+===+-．然后利用基本不等式即可求得函数的最小值；（Ⅱ）由题意可知要使得“∀[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立”只要“2210x ax --≤在[0,2]恒成立”．不妨设2()21g x x ax =--，则只要()0g x ≤在[0,2]恒成立．利用二次函数的性质和图像，列出不等式解得，即可解得结果．试题解析：解：（Ⅰ）依题意得2()4114f x x x y x x x x-+===+-． 因为0x >，所以12x x +≥，当且仅当1x x=时，即1x =时，等号成立． 所以2y ≥-．所以当1x =时，()f x y x=的最小值为2-． 6分 （Ⅱ）因为2()21f x a x ax -=--，所以要使得“∀[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立”只要“2210x ax --≤在[0,2]恒成立”．不妨设2()21g x x ax =--，则只要()0g x ≤在[0,2]恒成立． 因为222()21()1g x x ax x a a =--=---， 所以(0)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩即0010,4410,a --≤⎧⎨--≤⎩解得34a ≥．所以a 的取值范围是3[,)4+∞． 13分． 考点： 1．基本不等式的应用；二次函数在闭区间上的最值． 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足122(1)n n a a na n n b +++=+，n *∈N ． （Ⅰ）若11,a =22a =，求1b ，2b ； （Ⅱ）若1n n a n +=，求证：12n b >； （Ⅲ）若2n b n =，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】（Ⅰ）112b =,256b =; （Ⅱ）n a =2431n n -+ (n *∈N ) 【解析】试题分析：（Ⅰ）将11,a =22a =代入122(1)n n a a na n n b +++=+，即可求出12b b ，；（Ⅱ）由1n n a n+=化简得1n na n =+，由122(1)n n a a na n n b +++=+，即可得到1312(1)2121n n b n n +=⋅=+++，即可证明结果；（Ⅲ）由122(1)n n a a na n n b +++=+，利用做差，得到11()()n n n n n a n b b b b --=-++，再将2n b n =代入，即可求数列{}n a 的通项公式．试题解析：解：（Ⅰ）当1n =时，有1121a b ==，所以112b =． 当2n =时，有1222(23)a a b +=⨯．因为11,a =22a =，所以256b =． 3分 （Ⅱ）因为1n n a n +=，所以11n n na n n n+=⋅=+．所以12(3)223(1)(1)2n n n n a a na n n n b ++++=++++==+． 所以13121(1)21212n n b n n +=⋅=+>++． 8分 （Ⅲ）由已知得122(1)n n a a na n n b +++=+ ① 当2n ≥时，12112(1)(1)n n a a n a n nb --+++-=- ②①-②得，[]1(1)(1)n n n na n n b n b -=+--，即11()()n n n n n a n b b b b --=-++．因为2n b n =，所以n a =2431n n -+（2n ≥）．当1n =时，11b =，又112a b ==2，符合上式．所以n a =2431n n -+ (n *∈N )． 14分 ．考点：1．数列与不等式的综合；2．数列的求和．20．（本小题满分13分）已知函数()()ln f x x a x =-，a ÎR ．（Ⅰ）若0a =，对于任意的(0,1)x Î，求证：1()0f x e -?；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）21a e >-【解析】试题分析：（Ⅰ） 当0a =时，()ln f x x x =，对函数进行求导，求出函数的单调区间，即可求出函数的最小值，又由于(0,1)x Î，ln 0x <，即可得到结论；（Ⅱ）由ln ()x x x a f x x +-¢=，设()l n g x x x x a =+-．令()l n 0g x x x x a =+-=，即ln a x x x =+，设函数()ln h x x x x =+．求出()ln 20h x x ¢=+=的解为2e x -=．然后再利用导数 求出函数的单调区间和函数的极值，即可求出结果．试题解析：解：(Ⅰ) 当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x ¢=+． 令()ln 10f x x ¢=+=，解得1e x =． 当1(0,)e x Î时，()0f x ¢<，所以函数()f x 在1(0,)e 是减函数；当1(,)e x ? 时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在1(,)e + 为增函数． 所以函数()f x 在1e x =处取得最小值，11()e ef =-． 因为(0,1)x Î，ln 0x <，所以对任意(0,1)x Î，都有()0f x <． 即对任意(0,1)x Î，1()0e f x -?． 6分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+ ． 又ln ()x x x a f x x+-¢=,设()ln g x x x x a =+-． 令()ln 0g x x x x a =+-=，即ln a x x x =+，设函数()ln h x x x x =+．令()ln 20h x x ¢=+=，则2e x -=． 当21(0,)e x Î时，()0h x ¢<，所以()h x 在21(0,)e上是减函数； 当21(,)e x ? 时，()0h x ¢>，所以()h x 在21(,)e+ 上是增函数； 所以min 2211()()e e h x h ==-．则()0,x ∈+∞时，1()eh x ≥-． 于是，当21e a ?时，直线y a =与函数()ln h x x x x =+的图象有公共点， 即函数()ln g x x x x a =+-至少有一个零点，也就是方程()0f x ¢=至少有一个实数根． 当21e a =-时，()ln g x x x x a =+-有且只有一个零点， 所以ln ()0x x x a f x x+-¢= 恒成立，函数()f x 为单调增函数，不合题意，舍去． 即当21e a >-时，函数()f x 不是单调增函数． 又因为()0f x ¢<不恒成立， 所以21e a >-为所求． 13分． 考点： 1．利用导数研究函数的单调性．2．导数在证明不等式中的应用．。

2014～2015学年度第一学期期中考试高三数学试题(考试时间：120分钟 总分160分)命题人：王鸿、王光华 审题人：孟太、朱善宏 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合{1,0,1},{012}A B =-=,,，则=B A ▲ ．2．已知角α的终边经过点(4,3)P -，则sin α的值是 ▲ ． 3. 若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = ▲ ． 4．曲线2ln y x x =-在点（1，2）处的切线方程是 ▲ ． 5．将函数()2sin 2f x x =的图象上每一点向右平移6π个单位，得函数()y g x =的图象，则()g x = ▲ ． 6．在平面直角坐标系xOy 中，直线023=--y x 与圆522=+y x 相交于两点B A ，， 则线段AB 的长度为 ▲ .7. 不等式222log (4)log (3)x x ->的解集为 ▲ . 8.已知sin(45)10α-︒=-，且090α︒<<︒，则cos 2α的值为 ▲ ． 9. 在ABC ∆中，“>6A π”是“1sin >2A ”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）10．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点F ，则FD DE ⋅=uu u r uu u r▲． 11．设1m >，已知在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数22z x y =+的最大值为32，则实数m 的值为 ▲ . （第10题图）12．已知等比数列{}n a 的首项211-=a ，其前四项恰是方程0)2)(2(22=++++nx x mx x 的四个根，则=+n m ▲. FE DCB A13．已知圆C ：4)2(22=+-y x ，点P 在直线l ：2+=x y 上，若圆C 上存在两点A 、B 使得3=，则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ． 14. 已知两条平行直线1l ：m y =和2l ：31y m =+（这里0>m ），且直线1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A 、B ，直线2l 与函数8log y x =的图像从左至右相交于C 、D ．若记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b ，则当m 变化时，ba的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin sin sin B A C =． （Ⅰ）求2ac b -的值；（Ⅱ）若b =，且32BA BC ⋅=，求BC BA +的值．16．设a R ∈，函数32211()(21)()32f x x a x a a x =-+++．（Ⅰ）已知()f x '是()f x 的导函数，且()()(0)f x g x x x '=≠为奇函数，求a 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在2x =处取得极小值，求函数)(x f 的单调递增区间。

河南省郑州市第四十七中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．已知复数321i z i =+，则的虚部是 （ ）（A ）15 （B ）15- （C ）15i - （D ） 25- 2．下列命题中的假命题是（ ）A ．021>∈∀-x R x ，　B ．0)x ∀∈+∞（，　，122xx >C ．0x R ∃∈，当0x x >时，恒有41.1x x <D ．R ∈∃α，使函数αx y =的图像关于y 轴对称3．，则“”是“”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件 4．若向量2=a ，2=b ，()a b a -⊥，则a 、b 的夹角是（ ）A.512π B.13π C.16π D.14π 5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，n S n）（n ∈N *）均在函数y ＝12x ＋12的图象上，则a 2014＝（ ）A ．2014B ．2013C ．1012D ．10116．如果实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+103203x y x y x ，目标函数y kx z -=的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为（ ）A.1B.2C.3D.47．已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f A.3- B.1- C.1 D.3 8．函数的图像大致是（ ） {}{}211,,log 1,A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈x A ∈x B ∈2)cos()(x x x f π=9．设集合{}6,5,4,3,2,1=M ，k S S S ,,,21 都是M 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i b a S ,=、{}j j j b a S ,=（{}k j i j i ,,3,2,1,, ∈≠）都有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧j j j j i i i i a b b a a b b a ,min ,min ， （{}y x ,min 表示两个数y x ,中的较小者），则k 的最大值是 （ ）A.10B.11C.12D.1310．若函数f （x ）=sin 2xcos ϕ+cos 2x sin ϕ（x ∈R ），其中ϕ为实常数，且f （x ）≤f（29π）对任意实数R 恒成立，记p=f （23π），q=f （56π），r=f （76π），则p 、q 、r 的大小关系是（ ） A ．r<p<q B ．q<r<p C ．p<q<r D ．q<p<r11．已知函数13,(1,0](),()()1,1]1,(0,1]x f x g x f x mx m x x x ⎧-∈-⎪==---+⎨⎪∈⎩且在（内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是 A.91(,2](0,]42-- B.111(,2](0,]42-- C.92(,2](0,]43-- D.112(,2](0,]43-- 12．已知，且，现给出如下结论：①)3()0(f f =；②0)1()0(<f f ；③0)3()1(<f f ；④18222=++c b a .其中正确结论个数为（ ）A ．1个B ．2个 C ．3个 D ．4个第II 卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两个部分。

盐城市2015届高三年级第一学期期中考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1. 若集合{}0,1A =，集合{}0,1B =-，则AB = ▲ .2．命题“若a b >, 则22a b>”的否命题为 ▲ .3．函数2()sin f x x =的最小正周期为 ▲ ． 4．若幂函数()()f x x Q αα=∈的图象过点(2,2，则α= ▲ ． 5．若等比数列{}n a 满足23a =，49a =，则6a = ▲ .6．若,a b 均为单位向量，且(2)⊥-a a b ，则,a b 的夹角大小为 ▲ .7．若函数12()21x x mf x ++=-是奇函数，则m = ▲ .8．已知点P 是函数()cos (0)3f x x x π=≤≤图象上一点，则曲线()y f x =在点P 处的切线斜率的最小值为 ▲ .9．在等差数列}{n a 中，n S 是其前n 项和，若75=+4S S ，则93S S -= ▲ . 10．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若4a =，3b =，2A B =，则sin B = ▲ .11．如图，在等腰ABC ∆中，=AB AC ，M 为BC 中点，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且1=2A D DB ，=3AE EC ，若90DME ∠=，则cos A = ▲ .12．若函数2()2f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ . 13. 设函数211*3224()n n y x x n N --=-⨯+⨯∈的图象在x 轴上截得的线段长为n d ，记数列{}n d 的前n项和为n S ，若存在正整数n ，使得()22log 118m n n S -+≥成立，则实数m 的最小值为 ▲ .MEDAB第11题14．已知函数32|2|(1)()ln (1)x x x x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩，若命题“t R ∃∈，且0t ≠，使得()f t kt ≥”是假命题，则实数k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知函数()sin cos f x x a x ωω=+满足(0)f =()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π. （1）求a 与ω的值； （2）若()1f α=，(,)22ππα∈-，求5cos()12πα-的值.17. (本小题满分14分)设△ABC 的面积为S ，且20S AC ⋅=. （1）求角A 的大小；（2）若||3BC =，且角B 不是最小角，求S 的取值范围．18. (本小题满分16分)如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD ，其中,,AB CD DA 都是线段，曲线段BC 是抛物线的一部分，且点B 是该抛物线的顶点，BA 所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，AB =2米，3AD =米，A B A D ⊥，点C 到,AD AB 的距离,CH CR 的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形AEFG （其中点F 在曲线段BC 或线段CD 上，点E 在线段AD 上，点G 在线段AB 上）. 设BG 的长为x 米，矩形AEFG 的面积为S 平方米. （1）将S 表示为x 的函数；（2）当x 为多少米时，S 取得最大值，最大值是多少？19. (本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21132(2,)n n n S S S n n n N *-+++=+≥∈. （1）若{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式； （2）若11a =.① 当21a =时，试求100S ；② 若数列{}n a 为递增数列，且3225k S =，试求满足条件的所有正整数k 的值.20. (本小题满分16分)已知函数()xf x e =，()g x x m =-，m R ∈.（1）若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求实数m 的值；B C D EFG R 第18题H（2）记()()()h x f x g x =⋅，求()h x 在[]01，上的最大值； （3）当0m =时，试比较()2f x e -与()g x 的大小.盐城市2015届高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}0,1,1-2. 若a b ≤, 则22a b≤ 3. π 4. 12-5. 276. 3π7. 28. 9. 12 10. 11. 15 12. [4,0]- 13. 13 14. 1(,1)e二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）(0)f =∴sin 0cos0a +=a = ……………2分∴()sin 2sin()3f x x x x πωωω==+， ……………4分()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π，∴22T ππω==，∴1ω=. ……………6分 （2）()1f α=，∴1sin()32πα+=， ……………8分(,)22ππα∈-，∴5(,)366πππα+∈-，∴36ππα+=，即6πα=-， ……………10分∴57cos()cos1212ππα-=，又7cos cos()1234πππ=+，∴5cos()cos cos sin sin 123434πππππα-=⋅-⋅=. …………14分 16．解：（1）由2430x x -+->，解得13x <<，所以(1,3)A =， …………2分又函数21y x =+在区间(0,)m 上单调递减，所以2(,2)1y m ∈+，即2(,2)1B m =+， …………4分当2m =时，2(,2)3B =，所以(1,2)AB =. …………6分（2）首先要求0m >， …………8分而“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A Ø，即2(,2)(1,3)1m +?， …………10分 从而211m ≥+， …………12分 解得01m <≤. …………14分 17．解：（1）设ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，由20S AB AC +⋅=，得12sin cos 02bc A A ⨯+=，即sin 0A A +=， …………2分所以tan A =， …………4分又(0,)A π∈，所以23A π=. …………6分（2）因为3BC =，所以a =，sin sin b cB C ==， 所以2sin ,2sin b B c C ==， …………8分从而1sin sin sin()23S bc A B C B B π===- …………10分11cos 2sin )2))246B B B B B B π-=--=+-， …………12分又5(,),2(,)63626B B πππππ∈+∈，所以S ∈. …………14分（说明：用余弦定理处理的，仿此给分） 18．解：（1）以点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系. …………2分设曲线段BC 所在抛物线的方程为22(0)y px p =>， 将点(1,1)C 代入，得21p =， 即曲线段BC的方程为1)y x =≤≤. …………4分又由点(1,1),(2,3)C D 得线段CD 的方程为21(12)y x x =-≤≤. …………6分 而2GA x =-，所以),01,(21)(2),1 2.x x S x x x ⎧-<≤⎪=⎨--<<⎪⎩ …………8分（2）①当01x <≤时，因为1322)2S x x x =-=-，所以112232S xx -'=-=，由0S '=，得23x =， …………10分 当2(0,)3x ∈时，0S '>，所以S 递增；当2(,1)3x ∈时，0S '<，所以S 递减，所以当23x =时，max 9S =； …………12分 ②当12x <<时，因为259(21)(2)2()48S x x x =--=--+，所以当54x =时，max 98S =； …………14分综上，因为989>，所以当54x =米时，max 98S =平方米. …………16分（说明：本题也可以按其它方式建系，如以点A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，仿此给分）19．解：（1）由等差数列求和公式211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 11n n n S S S -+∴++222111(1)()(1)()(1)()(1)222222d d d d d dn a n n a n n a n =-+--++-+++-+21(32)3(),22d dn a n =++- ……………2分 ∴222113(32)3()3()322222d d d dn a n n a n d n ++-=+-+=+， ∴133,,222d da d =-=，解得12,1d a ==，∴ 21n a n =-； ……………4分 （说明：也可以设2n S an bn =+；或令2,3n n ==，先求出首项1a 与公差d ） （2）由21132(2)n n n S S S n n -+++=+≥，得2123(1)2n n n S S S n ++++=++ ， ……………6分∴1263(2)n n n a a a n n ++++=+≥， ∴10012345679899100()()()S a a a a a a a a a a =++++++++++11(6236983)33100002=+⋅++⋅+⋅=. ………………8分（说明：用21a =，利用分组方法求和，类似给分.）（3）设2a x =，由21132(2)n n n S S S n n -+++=+≥，得12314S S S ++=与23429S S S ++=，∴1233214a a a ++=，∴3112a x =-，∴123433229a a a a +++=，∴44a x =+， ……………10分又2123(1)2n n n S S S n ++++=++，∴1263(2)n n n a a a n n ++++=+≥，∴1163(3)n n n a a a n n -+++=-≥， 相减得216(3)n n a a n +--=≥， ∴5266a a x =+=+，数列{}n a 为递增数列，∴12345a a a a a <<<<，解得71133x <<， ……………12分由312345678932313()()()k k k k S a a a a a a a a a a a a --=++++++++++++，∴3112(6436(32)3)(1)2k S x k k =-+⋅++-+-，∴2393225k S k x =-+=， ……………14分∴27119222(,)33x k =-∈，解得5k =. ……………16分20．解：（1）设曲线()x f x e =与()g x x m =-相切于点()00,P x y ，由()x f x e '=，知0=1xe ，解得00x =， ……………2分 又可求得点P 为()01，，所以代入()g x x m =-，得1m =-. ……………4分 （2）因为()()x h x x m e =-，所以()()()(1),[0,1]x x x h x e x m e x m e x '=+-=--∈.①当10m -≤，即1m ≤时，()0h x '≥，此时()h x 在[]01，上单调递增，所以()()()max 11h x h m e ==-； ……………6分 ②当011m <-<即12m <<时，当()01x m ∈-，时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()1,1x m ∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增，()0h m =-，()()11h m e =-.(i)当()1m m e -≥-，即21em e ≤<-时，()()max 0h x h m ==-； (ii) 当()1m m e -<-，即11em e <<-时，()()()max 11h x h m e ==-； ……………8分③当11m -≥，即2m ≥时，()0h x '≤，此时()h x 在[]01，上单调递减，所以()()min 0h x h m ==-. 综上，当1e m e <-时，()()max 1h x m e =-；当1em e ≥-时，()max h x m =-. ……………10分 (3)当0m =时，()22=x f x e ee --，()g x x =，①当0x ≤时，显然()()2f x eg x ->；②当0x >时，()222ln =ln x f x ex e e e ---=，()ln ln g x x =，记函数()221=ln ln x x x ex e x eϕ--=⨯-， ……………12分 则()22111=e x x x e e x xϕ-'⨯-=-，可知()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，又由()10ϕ'<，()20ϕ'>知，()x ϕ'在()0,+∞上有唯一实根0x ，且012x <<，则()02001=0x x e x ϕ-'-=，即0201x e x -=（*）， 当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当()0+x x ∈∞，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以()()0200=ln x x x e x ϕϕ-≥-， ……………14分结合（*）式021x ex -=，知002ln x x -=-， 所以()()()22000000001211=2=0x x x x x x x x x ϕϕ--+≥+-=>，则()2=ln 0x x e x ϕ-->， 即2ln x ex ->，所以2x ee x ->.综上，()()2f x eg x ->. ……………16分（说明：若学生找出两个函数()2f x y e -=与()yg x =图象的一条分隔线，如1y x =-，然后去证()21f x e x -≥-与()1x g x -≥，且取等号的条件不一致，同样给分）。