湘教版九年级数学下册教案：相似三角形的应用

3.4.2相似三角形的性质（二）教学目标1、初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。

2．在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，提高观察、归纳能力，应用数学知识解决生活中实际问题的能力。

3．在学习过程中，进一步改善独立思考、合作学习、自主评价等学习品质。

教学重点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的探究与证明。

教学难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用。

教学过程：（一）创设情境，导入新课动脑筋 如果∆ABC ∽∆A1B1C1，相似比为k ，它们的周长之间什么关系？面积呢？（二）自主探究，发现新知1、学生小组讨论后， 教师板书证明过程。

如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ⇒AB BC CA k A B B C C A ===''''''⇒AB =kA ′B ',BC =kB 'C ',CA =kC 'A ' ⇒AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++''+''+''==''+''+''''+''+'' 11111111212ABC A B C BC AD S S B C A D ∆∆∙=∙=()()1111211111212kB C kA D k B C A D =∙ 2、总结：相似三角形周长的比等于相似比 。

相似三角形面积比等于相似比的平方。

3、例题精讲 出示课本P88例11、例12（三）运用性质，熟悉新知2---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是--------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是---------，周长之比是-----------3、有一张比例尺为1 4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm2，则这个地区的实际周长------ m ，面积是-------m24、有个三角形的边长为3，4，5，另一个和它相似的三角形最小边长为7，则另一个三角形的周长为---，面积是----（四）小结反思相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系；两条有关定理的证明思路与证明方法；定理的运用。

3. 解等式求出三角形的面积。
注意事项：在解题过程中，要确保已知的三边长度是准 确的，避免因为数据不准确而导致错误。同时，要注意 选择合适的公式或方法进行计算。
典型例题四：综合应用举例
• 解题思路：综合运用相似三角形的性质和判定方法，解决 复杂的实际问题。
典型例题四：综合应用举例
解题步骤 1. 分析问题，确定需要使用的相似三角形的性质和判定方法；
利用相似三角形的面积比等于相似比的平 方性质，求解面积问题 通过已知三角形的面积和相似比，计算另 一个三角形的面积 结合图形变换和面积公式，利用相似三角 形解决复杂面积问题
利用相似三角形解决综合问题
综合运用相似三角形 的性质，解决涉及线 段、角度和面积的复 杂问题
结合多种数学方法， 如代数运算、方程求 解等，提高解决问题 的效率
通过分析问题的条件 ，选择合适的相似三 角形性质和定理进行 求解
04
典型例题分析与解题思路展示
典型例题一：已知两边求第三边长度
解题思路：利用相似三角形的性质， 即对应边成比例，可以通过已知的两
边长度求出第三边的长度。
解题步骤
2. 利用相似三角形的性质列出比例式 ；
3. 解比例式求出第三边的长度。
1. 确定已知的两边和夹角；
注意事项：在解题过程中，要确保已 知的两边和夹角是对应的，避免因为 数据不对应而导致错误。
典型例题二：已知两角求第三角大小
01
解题思路：根据三角形内角和为180°的性质，可以通过 已知的两角求出第三角的大小。
04
2. 利用三角形内角和为180°的性质列出等式；
02
解题步骤
对应角相等，对应边成比例的两 个三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定数学教学教案5篇相似三角形的判定数学教学教案1教学目标(一)教学知识点1.掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.2.能根据相似比进行计算.(二)能力训练要求1.能根据定义判断两个三角形是否相似，训练学生的判断能力.2.能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力.(三)情感与价值观要求通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系.教学重点相似三角形的定义及运用.教学难点根据定义求线段长或角的度数.教学方法类比讨论法教具准备投影片三张第一张(记作§4.5 A)第二张(记作§4.5 B)第三张(记作§4.5 C)教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了相似多边形的定义及记法.现在请大家回忆一下.[生]对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.[师]很好.请问相似多边形指的是哪些多边形呢?[生]只要边数相同，满足对应角相等、对应边成比例的多边形都包括.比如相似三角形，相似五边形等.[师]由此看来，相似三角形是相似多边形的一种.今天，我们就来研究相似三角形.相似三角形的判定数学教学教案2一、教学目标1.使学生了解判定定理1及直角三角形相似定理的证明方法并会应用，掌握例2的结论.2.继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解.3.通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.4.通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.二、教学设计类比学习，探讨发现三、重点及难点1.教学重点：是判定定理l及直角三角形相似定理的应用，以及例2的结论.2.教学难点：是了解判定定理1的证题方法与思路.四、课时安排1课时五、教具学具准备多媒体、常用画图工具、六、教学步骤[复习提问]1.什么叫相似三角形?什么叫相似比?2.叙述预备定理.由预备定理的题所构成的三角形是哪两种情况.[讲解新课]我们知道，用相似三角形的定义可以判定两个三角形相似，但涉及的条件较多，需要有三对对应角相等，三条对应边的比也都相等，显然用起来很不方便.那么从本节课开始我们来研究能不能用较少的几个条件就能判定三角形相似呢?上节课讲的预备定理实际上就是一个判定三角形相似的方法，现在再来学习几种三角形相似的判定方法.我们已经知道，全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况，判定两个三角形全等的三个公理和判定两个三角形相似的三个定理之间有内在的联系，不同处仅在于前者是后者相似比等于1的情况，教学时可先指出全等三角形与相似三角形之间的关系，然后引导学生自己用类比的方法找出新的命题，如：问：判定两个三角形全等的方法有哪几种?答：SAS、ASA(AAS)、SSS、HL.问：全等三角形判定中的“对应角相等”及“对应边相等”的语句，用到三角形相似的判定中应如何说?答：“对应角相等”不变，“对应边相等”说成“对应边成比例”.问：我们知道，一条边是写不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用类比的方法，引出一个关于三角形相似判定的新的命题呢?答：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.强调：(1)学生在回答中，如出现问题，教师要予以启发、引导、纠正.(2)用类比方法找出的新命题一定要加以证明.如图5-53，在△ABC和△中，， .问：△ABC和△是否相似?分析：可采用问答式以启发学生了解证明方法.问：我们现在已经学习了哪几个判定三角形相似的方法?答：①三角形的定义，②上一节学习的预备定理.问：根据本命题条件，探讨时应采用哪种方法?为什么?答：预备定理，因为用定义条件明显不够.问：采用预备定理，必须构造出怎样的图形?答：或 .问：应如何添加辅助线，才能构造出上一问的图形?此问学生回答如有困难，教师可领学生共同探讨，注意告诉学生作辅助线一定要合理.(1)在△ABC边AB(或延长线)上，截取，过D作DE∥BC交AC于E.“作相似.证全等”.(2)在△ABC边AB(或延长线上)上，截取，在边AC(或延长线上)截取AE= ，连结DE，“作全等，证相似”.(教师向学生解释清楚“或延长线”的情况)虽然定理的证明不作要求，但通过刚才的分析让学生了解定理的证明思路与方法，这样有利于培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.，，∽ .例1 已知和中，，， .求证：∽ .此例题是判定定理的直拉应用，应使学生熟练掌握.例2 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.已知：如图5-54，在中，CD是斜边上的高.求证：∽∽ .该例题很重要，它一方面可以起到巩固、掌握判定定理1的作用;另一方面它的应用很广泛，并且可以直接用它判定直角三角形相似，教材上排了黑体字，所以可以当作定理直接使用.即∽△∽△.[小结]1判定定理1的引出及证明思路与方法的分析，要求学生掌握两种辅助线作法的思路.2.判定定理1的应用以及记住例2的结论并会应用.七、布置作业教材P238中A组3、4.相似三角形的判定数学教学教案31、教学引入照顾到了到多数的同学，培养了学生的动手测量和计算能力。

2.设计具有合作性的学习任务，让学生在小组内共同解决问题。例如，在探讨相似三角形的应用时，可以让学生分组讨论如何利用相似三角形的知识解决实际问题。
3.教师在小组合作过程中，要关注学生的参与情况，适时给予指导和鼓励，确保每个学生都能在合作学习中得到提升。
（四）反思与评价
1.鼓励学生在学习过程中进行自我反思，总结自己的学习方法和经验，提高他们的自主学习能力。
结合学科特点，本案例将引导学生通过观察、猜想、验证、应用等环节，深入理解相似三角形的本质。在课程设计上，充分考虑学生的认知水平和兴趣，注重知识点的层次性，由浅入深，逐步引导学生掌握相似三角形的判定方法及其在实际问题中的应用。
此外，本案例还注重情感目标的实现，通过鼓励学生积极参与、勇于探索，培养他们面对困难时坚持不懈的精神，使学生在掌握知识的同时，也能获得成功的体验和自信心的提升。在教学过程中，教师将以亲切、鼓励的语言，营造轻松、愉快的学习氛围，让学生在愉悦的情感状态下主动探索、积极思考，实现知识与能力的全面发展。
4.教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考，培养他们独立解决问题的习惯。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生积极参与、勇于探索的精神，使他们面对数学问题充满好奇心和求知欲。
2.通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高他们对数学学科的兴趣和认识。
3.培养学生合作学习的意识，让他们在团队中相互帮助、共同进步，增强集体荣誉感。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，涵盖本节课所学知识点，让学生通过练习巩固知识。
2.布置一些拓展性的作业，如研究相似三角形在其他领域的应用，激发学生的探究欲望。
3.要求学生完成作业后进行自我检查，对自己的学习情况进行评价，培养他们的自主学习能力。

感悟新知
知识点 3 边角关系判定三角形相似定理
知3－讲
1. 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似. 特别提醒 运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关 系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角. 类似于判定三角形全等的SAS的方法.
感悟新知
2. 数学表达式：如图3.4-7 所示， 在△ABC和△DEF 中， ∵DABE＝BEFC，且∠B＝∠E， ∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣“两角分别相等的两三角形相似” 证明. 由于∠BFA是公共角，因此只 需说明∠B＝∠4即可.
感悟新知
证明：∵ EF垂直平分AD，∴ AF＝DF. ∴∠FAD＝∠3. ∵ AD平分∠BAC，∴∠ 1 ＝∠ 2. ∵∠B＝∠3－∠1，∠4 ＝∠FAD －∠ 2， ∴∠B ＝∠ 4. ∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.
感悟新知
知1－练
2-1. [ 模拟·株洲荷塘区 ] 如图，在 ▱ABCD中， 点 E
在 AD 上，且 BE 平分∠ ABC，交AC 于点 O，若
AB=3，BC=4，则
AOOC=
3 ___4___.
感悟新知
知识点 2 角的关系判定三角形相似定理
知2－讲
1. 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形 相似.
和AC上的点，DE∥BC，若ABDD＝21，那么DBCE＝( )
A.
4 9

C.
1 3
B.
1 2
D.
2 3
感悟新知
知1－练
解题秘方：掌握平行线截三角形相似的定理和相似三角形 的对应边成比例是解题的关键.
解：∵ ABDD＝21，∴AADB＝23. ∵ DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC，∴ DBCE＝AADB＝23. 答案：D

九年级数学下册《相似三角形》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够识别图形中的相似三角形。
2.掌握相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例，能够运用性质解决相关问题。
3.学会使用相似三角形的判定方法，如AA、SAS、SSS等，能够判断两个三角形是否相似。
4.能够运用相似三角形的知识解决实际问题，如测量物体的高度、计算角度等。
2.提出问题：询问学生是否知道这些图形中的相似三角形，它们有什么特点？如何判断两个三角形是相似的？
3.学生回答：鼓励学生积极思考，回答问题，分享他们的观察和发现。
4.教师总结：根据学生的回答，总结相似三角形的初步概念，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教学内容：详细讲解相似三角形的定义、性质（对应角相等、对应边成比例）及判定方法（AA、SAS、SSS）。
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）情感态度与价值观
1.培养学生积极主动探索数学知识的热情，增强学生学习数学的自信心。
2.培养学生严谨、细致的学习态度，对待数学问题要有耐心和毅力。
3.培养学生善于发现生活中的数学问题，体会数学在现实生活中的应用价值。
4.培养学生的审美观念，欣赏相似三角形在几何图形中的美感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了三角形的基本概念和性质，能够进行简单的几何推理。在此基础上，学习相似三角形的知识，对学生来说是水到渠成的过程。然而，由于相似三角形涉及的概念和性质较为抽象，学生在理解上可能存在一定困难。因此，在教学过程中，教师需要关注以下几点：
（3）单元测试：通过单元测试，检验学生对相似三角形知识的掌握程度，发现并解决学生存在的问题。

湘教版数学九年级上册3.5《相似三角形的应用》教学设计2一. 教材分析《相似三角形的应用》是湘教版数学九年级上册3.5节的内容。

本节主要让学生掌握相似三角形的性质及应用，进一步培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

教材通过实例引入相似三角形的概念，接着介绍了相似三角形的性质，最后列举了一些应用实例。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、角的计算等基础知识，对几何图形有了一定的认识。

但学生对相似三角形的理解及应用可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方法，逐步掌握相似三角形的性质及应用。

三. 教学目标1.理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的性质。

2.能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。

3.培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.相似三角形的概念及性质。

2.相似三角形在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，主动探索相似三角形的性质。

2.运用实例讲解法，让学生在实际问题中体验相似三角形的应用。

3.采用分组合作法，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关教学课件、图片、例题等教学资源。

2.准备教案、学案、作业等教学资料。

3.准备几何画板等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的相似图形，如古建筑的窗花、玩具模型等，引导学生观察并提出问题：“这些图形有什么共同特点？”让学生思考相似图形的性质，从而引出相似三角形的概念。

2.呈现（10分钟）讲解相似三角形的定义及性质，通过举例让学生理解相似三角形的判定方法。

同时，引导学生发现相似三角形在实际问题中的应用，如测量身高、计算物体面积等。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用几何画板绘制相似三角形，并观察它们的性质。

每组选取一个实例，运用相似三角形的性质解决问题，如计算未知边长、面积等。

同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5 m，则该旗 杆的高度是( C ) A. 1.25 m B.10 m C. 20 m D. 8 m 解题秘方：建立相似三角形的模型，用“在同一时刻太阳
光下物体的高度与影长成比例”求解 .
解： 设该旗杆的高度是x m，根据题意，得1.6∶0.4=x∶5， 解得 x=20，即该旗杆的高度是 20 m.
17 10 ∴点 A，B 之间的距离为 85 m.
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归纳
知1－讲
利用相似三角形测量高 度、宽度等的一般步骤： 1. 利用平行线、标杆等构 造相似三角形； 2. 测量与表示未知量的 线段相对应的边长以 及另外 任意一组对应 边的长度； 3. 画出示意图，利用相 似三角形的性质，列 出以上 包括未知量在内的四个量的比例式， 解出未知量； 4. 检验并得出答案 .
2. 测量方法： (1)在观测者与被测物体之间的地面上平放一面镜子， 在镜子上做一个标记； (2)测出观测者眼睛到地面的高度；
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(3) 观测者看着镜子来回走动，直至看到被测物体 知2－讲 顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时 测出镜子上的标记位置到观测者脚底的距离及 到被测物体底端的距离；
知2－讲
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知2－讲
(3) 根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似， 利用对应边成比例求出被测物体的高度 . (如图)
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方法3 用镜子反射
例4 如图a是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高
度的示意图，在点 P 处水平放一平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端 C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米， BP=3 米，PD=12米，求该古城墙 CD 的高度 .
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本章內容 第3章
圖形的相似
本課節內容 3.5
相似三角形的應用
動腦筋
如圖3-32，A，B兩點分別位於一 個池塘的兩端，小張想測量出A， B間的距離，但由於受條件限制 無法直接測量，你能幫他想出一 個可行的測量辦法嗎？
測量辦法 1.在池塘外取一點C，使它可以直接看到A，B兩點;
2.連接並延長AC，BC;
D
做一做
∵ AC = BC = 2 ，∠ACB =∠DCE，
DC EC
∴ △ABC∽△DEC． ∴ AB = 2 ．
DE
∵ DE = 50 m，
∴ AB = 2DE = 100 m.
E C
D
例在用步槍瞄準靶心時，要使眼睛（O）、準星（A）、靶心
點（B）在同一條直線上.在射擊時，李明由於有輕微的抖動，
3.在AC的延長線上取一點D， 在BC的延長線上取一點E，使
AC = BC = k（k為正整數） DC EC
E C
D
4.測量出DE的長度.
由相似三角形的有關知識 求出A，B兩點間的距離.
做一做
如果 AC = BC = 2，且測
DC EC
得DE的長為50m，則A， B兩點間的距離為多少？
可推出相似
E C
如何判斷△ABO∽△OCD
C
抽象出數學圖形
解：設長臂端點升高x米.
AO
0.5 = 1 x6
B
D
x3
答：長臂端點升高3米.
練習
2.如圖，小紅同學用自製的直角三角形紙板DEF測量樹 的高度AB，她調整自己的位置，設法使斜邊DF保持水準， 並且邊DE與點B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊
DE=80cm， EF=40cm，測得AC=1.5m，CD=81.5，AB=2，BC=14，

九年级数学相似三角形作业讲评课教案5篇最新相似三角形是初中比较重要的一门课程，今天小编在这里整理了一些九年级数学相似三角形作业讲评课教案5篇最新，我们一起来看看吧!九年级数学相似三角形作业讲评课教案1相似三角形 - 初中数学第三册教案相似三角形的性质教学示例1(第1课时)一、教学目标1.使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1.2.学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题.3.进一步培养学生类比的教学思想.4.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美二、教法引导先学后教，达标导学三、重点及难点1.教学重点：是性质定理1的应用.2.教学难点：是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用.四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤[复习提问]1.三角形中三种主要线段是什么?2.到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质?3.什么叫相似比?[讲解新课]根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例.下面我们研究相似三角形的其他性质(见图).建议让学生类比“全等三角形的`对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1.性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比∽ ，，教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成.分析示意图：结论→∽(欠缺条件)→∽(已知)∽ ，BM=MC，∽ ，以上两种情况的证明可由学生完成.[小结]本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法.七、布置作业教材P241中3、教材P247中A组3.八、板书设计相似三角形的性质教学示例1(第1课时)一、教学目标1.使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1.2.学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题.3.进一步培养学生类比的教学思想.4.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美二、教法引导先学后教，达标导学三、重点及难点1.教学重点：是性质定理1的应用.2.教学难点：是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用.四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤[复习提问]1.三角形中三种主要线段是什么?2.到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质?3.什么叫相似比?[讲解新课]根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例.下面我们研究相似三角形的其他性质(见图).建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1.性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比∽ ，，教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成.分析示意图：结论→∽(欠缺条件)→∽(已知)∽ ，BM=MC，∽ ，以上两种情况的证明可由学生完成.[小结]本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法.七、布置作业教材P241中3、教材P247中A组3.八、板书设计九年级数学相似三角形作业讲评课教案2相似三角形相似三角形判定定理:(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（第1题） B C D A 相似三角形的应用知识回顾：平行投影：在平行光线的照射下，物体所产生的影子称为平行投影在平行光的照射下，不同物体的物高与其影长成正比一、1、在同一时刻，高度为1.6米的小树在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的的影长为4.8米，则大树的高度为 .2、如图所示，在某一时刻，大树在阳光下的影子BE 与小树的影子DE 在同一条直线上，如果量出小树的高度为 1.6米，影长为0.8米，两树之间的距离为4米，则大树的高度为 .3、在下面的图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的可能是( )4、晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是 （ ） A.变长 B.变短 C.先变长后变短 D.先变短后变长例1、在某一时刻甲木杆的影子如图所示，你能用直尺和三角板画出乙木杆的影子吗？（用线段表示）例2、李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m 长的标杆影长为0.8m ，当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，怎么办呢？例3、如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度。

例4、阳光通过窗口照到教室内，竖直的窗框AB 在地面上留下2m 长的影子ED （如图），已知窗框的影子到窗框下墙角的距离EC 是4m ，窗口底边离地面的距离BC 是1.2m ，试求窗框AB 的高度。

0.8m C例5、如图，小明晚上在路灯下散步，已知小明的身高AB=h ，灯柱的高OP=O ’P ’=L ，两灯柱之间的距离OO ’=m ．（1）若小明距离灯柱OP 的水平距离OA=a ，求他的影子AC 的长；（2）若小明在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC ）是否是定值？请说明理由。

例6、你知道月球中心距离地球表面大约有多远吗？下面提供一种测量方法：在月圆时，将一枚1元硬币，放在眼睛与月球之间，调整硬币与眼睛间的距离，直到硬币刚好将月球遮住，如果硬币与眼睛间的距离为2.72m ，月球的直径为3500km ，硬币的直径为2.5cm ，求月球中心距离地球表面大约有多远？例7、王鹏为了测量校园内一棵大树EF 的高度，他走到了校园的围墙CD 外（如图所示），然后他沿着过点F 与墙CD 垂直的直线从远处向围墙靠近至B 处，使大树恰好被挡住顶端C 和顶端E 时，三点在同一条直线上。

二、核心素养目标
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.掌握相似三角形判定定理，提高空间想象和几何直观能力，使学生能够运用几何知识分析并解决实际问题。
2.培养学生逻辑推理和数学论证能力，通过相似三角形的判定过程，学会运用严密的逻辑思维进行推理和证明。
3.增强学生合作交流意识，通过小组讨论和问题探究，提高团队合作能力和解决问题的能力。
我还注意到，在小组讨论环节，学生们对于相似三角形在实际生活中的应用提出了很多有趣的想法。这让我意识到，将数学知识与学生们的日常生活联系起来，可以极大地提高他们的学习兴趣和积极性。在未来的教学中，我会继续寻找更多实际案例，让数学变得更加生动和有趣。
此外，实践活动中的实验操作部分，学生们表现出很高的热情。他们通过亲手操作，直观地感受到了相似三角形的原理。这也让我认识到，动手操作对于抽象几何概念的理解是非常有帮助的。因此，我计划在后续的教学中，增加更多这样的实践活动。
-对于实际问题的解决，引导学生从问题中发现相似三角形的特征，如角度关系、边长关系等，并运用判定定理进行解答。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的判定定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的物体？”（如照片的放大缩小、不同尺寸的三角形装饰等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
在学生小组讨论的过程中，我发现有些学生不太愿意主动参与讨论，可能是因为他们对自己的观点缺乏信心。为了鼓励这些学生，我会在接下来的课程中，更多地采用肯定和鼓励的语言，让他们感受到自己的观点是有价值的，从而增强他们的自信心。

湘教版数学九年级上册3.5《相似三角形的应用》教学设计1一. 教材分析湘教版数学九年级上册3.5《相似三角形的应用》是本册教材中的一个重要内容。

本节课主要让学生掌握相似三角形的性质，并能运用相似三角形解决实际问题。

教材通过生动的实例，引导学生探究相似三角形的性质，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的定义和性质，具备了一定的几何知识基础。

但部分学生在解决实际问题时，仍存在将理论知识和实际问题结合不紧密的现象。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，引导学生将理论知识运用到实际问题中。

三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，并能运用相似三角形解决实际问题。

2.培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

3.提高学生将理论知识与实际问题相结合的能力。

四. 教学重难点1.相似三角形的性质。

2.如何将相似三角形应用于实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究相似三角形的性质。

2.利用几何画板等软件，辅助学生直观地理解相似三角形的性质。

3.结合实际问题，让学生运用相似三角形解决问题，培养学生的实际应用能力。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。

2.准备几何画板等软件，用于辅助教学。

3.准备实际问题，用于课堂练习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个生活中的实际问题，引导学生思考如何利用相似三角形解决问题。

从而引出本节课的主题——相似三角形的应用。

2.呈现（10分钟）通过几何画板等软件，直观地展示相似三角形的性质。

引导学生观察、分析，并总结相似三角形的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组进行动手操作，利用相似三角形的性质解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）挑选几组学生代表，汇报他们解决问题的过程和结果。

教师点评，总结解题方法。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：相似三角形在实际生活中的应用有哪些？让学生举例说明，分享自己的见解。

测量不能到达顶部的物体高度，“利用镜子的反射测量高
度”的原理解决.
【例 5】已知同一时刻物体的高度与影长成正比，在某一
时刻，测得一高为 4.5 米的竹竿的影长为 7.2 米，某一高楼
的影长为 36 米,那么高楼的高度是多少米?
解：设高楼的高度为 x 米，则
4.5 7.2
=
36
，解得
x=22.5.
答:大楼高 22.5 米.
教学过程
教学环节
教师活动
在前面的学习中，我们已经知道关角形的相似的判定
方法以及相似三角形的相关性质。今天，我们将一起学习
相似三角形在生活中的应用。在上新课之前，我们一起回
顾下之前学过的知识：
学生活动
设计意图
1.在池塘外取一点 C，使它可以直接看到 A，B 两点;
2.连接并延长 AC，BC;
3.在 AC 的延长线上取一
∴AB∥EF∥CD, ∴∠EMA=∠CNA.
∵∠EAM=∠CAN,
∴△AEM∽△ACN ,
∴EM
CN
=
AM.
AN
∵AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m ,
∴2−0.6
CN
=
272−724,
∴CN=3.6m，∴CD=3.6+1.6=5.2（m）.
故树的高度为 5.2m.
测高的方法
EC
=
BD CD
，解得
AB=BD×EC
CD
=
120×50 60
=
100（m）
答：大运河的大致宽度 AB 是 100m.
3．某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高
为 1.5 米时，其影长为 1.2 米，当他测量教学楼旁的一棵大

感悟新知
知1－练
1-1. [月考·涟源]如图，长为 2m 的竹竿与树的顶端的 影子恰好落 在地面的同一点，竹竿与这一点相距 6m，与树相距 15m，则树的高度为__7_____m.
感悟新知
知1－练
例2 [母题 教材 P93 练习 T2]如图3.5-2，为了测量一棵树 CD的高度，测量者在B点立一根高为2 m 的标杆， 观测者在F处时，观测者的眼睛E与标杆顶A和树顶C 在同一条直线上. 若测得BD＝6.4 m，FB＝1.6 m， EF＝1.6 m，F， B， D 在同一直线上， 且 EF ⊥ FD， AB ⊥ FD， CD ⊥ FD，求树的高度.
知1－练
感悟新知
2-1.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 知1－练 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜 边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上， 已知纸板的两条 边 DF=0.5 m， EF=0.3 m，测 得 边 DF 离地面的高度AC=1.5 m，CD=10 m，求树 高 AB.
A. 6.4 m B. 8 m C. 9.6 m D. 12.5 m
感悟新知
知识点 2 利用相似测量宽度
知2－讲
Байду номын сангаас
1. 测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常 常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两 点间的距离.
感悟新知
解：在 Rt△ DEF 中，DF＝0.5 m，EF＝0.3 m， 知1－练 ∴DE＝ DF2－EF2＝0.4(m)． 由题意易知∠DEF＝∠DCB＝90°. 又∵∠EDF＝∠CDB，∴△DEF∽△DCB. ∴EBFC＝DDEC.即B0.C3＝01.04，∴BC＝7.5 m. ∴AB＝AC＋BC＝1.5＋7.5＝9(m)． ∴树高 AB 是 9 m.

课题：相似三角形的判定定理2【学习目标】1．掌握判定两个三角形相似的判定定理2.2．培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法(SAS)的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．3．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，培养学生的合情推理能力．【学习重点】两个三角形相似的判定定理2及其应用．【学习难点】探究两个三角形相似判定定理2的过程．一、情景导入生成问题回顾：1．两个三角形相似的判定定理1.答：两角对应相等，两个三角形相似．2．全等三角形的判定定理(SAS)是什么意思，你能类似地猜测出两个三角形相似的另一个判定定理吗？答：SAS：两边及其夹角相等的两个三角形全等．猜测：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．二、自学互研生成能力知识模块一探究相似三角形的判定定理2阅读教材P81，完成下面的内容：1．利用刻度尺和量角器画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，ABA′B′＝ACA′C′＝2，量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长，它们的比等于2，△ABC∽△A′B′C′吗？2．改变∠A或比值的大小，再试一试，是否有同样的结论？3．你能用文字表达你的结论吗？答：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似．4．提问“你能证明上述结论吗”？已知：如图，△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，AB∶A′B′＝AC∶A′C′.求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC的边AB上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC.∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠B′，∴∠ADE＝∠B′．又∠A＝∠A′，AD＝A′B′，∴△ADE≌△A′B′C′．∴△ABC∽△A′B′C′.归纳：相似三角形的判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似．【例】如图，在△ABC与△DEF中，已知∠C＝∠F，AC＝3.5cm，BC＝2.5cm，DF＝2.1cm，EF＝1.5cm.求证：△ABC∽△DEF.证明：∵AC＝3.5cm，BC＝2.5cm，DF＝2.1cm，EF＝1.5cm，∴DFAC＝2.13.5＝35，EFBC＝1.52.5＝35，∴DFAC＝EFBC.又∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF.想一想：若把∠C＝∠F换成∠A＝∠D，这两个三角形还相似吗？不相似．归纳：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似． 点拨：两个三角形相似判定方法2的判定条件“角相等”必须是“夹角相等”．知识模块二 相似三角形的判定定理2的应用阅读教材P82例6，完成下面的变例：【变例】 已知：P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP ＝3PC ，M 是CD 的中点，试说明：△ADM ∽△MCP.证明：∵正方形ABCD ，M 为CD 中点，∴CM ＝MD ＝12AD. ∵BP ＝3PC ，∴PC ＝14BC ＝14AD ＝12CM.∴CP CM ＝MD AD ＝12. 又∵∠PCM ＝∠ADM ＝90°，∴△MCP ∽△ADM.三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探究相似三角形的判定定理2知识模块二 相似三角形的判定定理2的应用四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

课题：相似图形【学习目标】1．认识日常生活中相似的图形，理解相似图形的概念．2．了解形状相同的图形是相似的图形，理解把一个图形放大或缩小所得到的图形与原图形式相似．3．理解相似三角形、相似比的概念．【学习重点】相似三角形的性质．【学习难点】相似三角形的对应关系．一、情景导入生成问题回顾：你还记得全等的图形吗？全等图形有什么性质？全等三角形呢？全等三角形有什么性质？能够完全重合的图形叫作全等图形．全等图形的形状和大小都完全相同．能够完全重合的两个三角形是全等三角形．全等三角形的对应角相等，对应边相等．二、自学互研生成能力知识模块一相似图形阅读教材P73，完成下面的内容：1．思考：请同学们看黑板正上方的五星红旗，五个小五角星有什么关系？红旗上的大五角星与小五角星它们的形状、大小有什么关系？答：五个小五角星形状相同、大小相等，它们全等．大五角星与五个小五角星形状相同、大小不相等．2．直观上，把一个图形放大或缩小得到的图形与原图形是相似的．归纳：形状相同，大小不一定相同的图形，我们把这样的图形叫作相似图形．【例1】如图所示，有一块平行四边形地ABCD，AB＝30m，AD＝45m.现要在地中修一水沟EF，且EF∥AB.问BE的长为多少时，▱ABEF∽▱ADCB?解：因为EF∥CD，所以∠D＝∠AFE，∠C＝∠FEB.在▱ABEF和▱ADCB中，有∠A＝∠A，∠B＝∠D，∠BEF＝∠C，∠AFE＝∠B.要使▱ABEF∽▱ADCB成立，只有角对应相等还不够，还必须要有对应边成比例，即AB AD＝BEDC＝EFCB＝AFAB.又因为AB＝30m，AD＝45m，DC＝AB＝30m，所以BE＝AB·DCAD＝AB2AD＝30245＝90045＝20m，所以当BE＝20m时，▱ABEF∽▱ADCB.知识模块二相似三角形阅读教材P74～P75，完成下面的内容：1．相似三角形定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形．2．△ABC与△A′B′C′相似，记作：△ABC∽△A′B′C′.相似三角形的对应边的比叫作相似比．3．相似多边形定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形．相似多边形对应边的比也叫相似比．归纳：相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例．当两个三角形的相似比为1时，两个三角形全等．【例2】如图，△ABC∽△A′B′C′.(1)求∠α的大小和A′C′的长；(2)△ABC 与△A′B′C′的相似比是4∶3；△A′B′C′与△ABC 的相似比是3∶4．解：(1)∵△A′B′C′∽△ABC ，∴∠α＝∠A ＝60，A′C′AC ＝A′B′AB. ∴A′C′10＝68，∴A′C′＝10×68＝152. (2)△ABC 与△A′B′C′的相似比是AB A′B′＝86＝43. △A′B′C′与△ABC 的相似比是A′B′AB ＝68＝34. 三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 相似图形知识模块二 相似三角形四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。