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拓扑空间理论拓扑空间理论是数学中的一个分支，研究的是集合上定义的一种结构，即拓扑结构。
通过引入拓扑结构，我们可以描述集合中的点之间的接近和连续性关系。
本文将介绍拓扑空间的定义、基本概念和性质，并探讨一些常见的拓扑空间。
一、拓扑空间的定义拓扑空间可以用一对有序集合（X，T）来表示，其中X是任意非空集合，T是X的子集族，满足以下条件：1. 空集和整个集合X都属于T。
2. 任意多个元素的并集和有限个元素的交集都属于T。
3. T中的元素称为开集，满足开集的性质。
二、基本概念在拓扑空间中，我们可以引入一些基本概念来描述点之间的关系。
1. 开集和闭集根据拓扑结构，拓扑空间中的开集满足定义中的性质，而闭集则是其补集的开集。
开集和闭集是拓扑空间中的基本概念，用于描述点的邻域和极限。
2. 连通性连通性描述了拓扑空间中的点之间是否可以通过一条连续的曲线相互连接。
如果一个拓扑空间中没有非空的开集既不是整个空间也不是空集，则称该空间是连通的。
3. 紧致性紧致性是拓扑空间中的一个重要概念，用来描述一个拓扑空间中是否可以从任意的开覆盖中选出有限个开集，使得它们仍然覆盖整个空间。
如果一个空间中存在有限子覆盖，那么称该空间是紧致的。
4. Hausdorff性Hausdorff性是拓扑空间中的一个重要性质，它要求集合中的任意两个不同点都有不相交的邻域。
Hausdorff空间保证了点的唯一性和极限的一致性。
三、常见的拓扑空间在拓扑空间理论中，有许多常见的拓扑空间。
1.度量空间度量空间是拓扑空间的一种特殊情况，它引入了度量函数来度量点之间的距离。
度量空间中的拓扑结构是由度量函数生成的，通过度量函数我们可以定义开球和闭球等概念。
2.欧几里得空间欧几里得空间是我们熟知的三维空间，其中的点坐标可以用实数表示。
在欧几里得空间中，我们可以定义点之间的距离，并且满足距离公理。
3.离散空间离散空间是一种特殊的拓扑空间，其中每个点都是一个单独的开集，没有其他点与之接近。
高等数学中的拓扑学相关知识点详解拓扑学是数学中的一个分支，它研究集合和函数的连续性、相似性、形状等性质，是一种抽象的数学分析工具。
拓扑学在物理学、工程学、经济学等领域里也有广泛应用。
在高等数学中，拓扑学是一个重要的知识点，本文将详细介绍高等数学中的拓扑学相关知识点。
一、拓扑空间拓扑学的研究对象是拓扑空间，它是一个集合和该集合上定义的一个拓扑结构的组合。
一般来说，给定一个集合，我们可以通过定义其子集的集合方式来定义一个拓扑结构，满足四个公理：1. 集合本身和空集都是开集；2. 有限个开集的交集还是开集；3. 任意个开集的并集还是开集；4. 集合上的任意一个点都有一个开集包含它。
这个集合和所定义的拓扑结构的组合就构成了一个拓扑空间。
拓扑空间还满足一些基本性质：·距离空间是一种特殊的拓扑空间，它满足“距离减小原理”；·序列紧致性和基数紧致性是拓扑空间的两种紧致性概念；·同胚是拓扑空间之间的一种等价关系，指两个拓扑空间之间存在一一映射，该映射和其逆映射都是连续映射。
二、关键概念1. 连通性和路径连通性在拓扑空间中，如果任意两个点都可以通过相应的路径连通，那么这个空间就是路径连通的。
特别的，如果这个空间不仅是路径连通的，而且不存在划分成两个非空开集的方法，使得这两个开集的笛卡尔积覆盖整个空间，那么这个空间就连通。
2. 紧致性紧致性是拓扑空间的一个重要性质，指一个拓扑空间中任意开覆盖都存在有限的一个开覆盖，使得其中的任意一个开集都有一个有限的子覆盖。
在欧几里得空间中，紧致性和完备性是等价的。
3. 拓扑维数拓扑维数是用来描述一个拓扑空间的“维度”的参数。
一个n维拓扑空间具有和欧几里得n维空间相同的拓扑性质，也就是说它可以“拉伸”为欧几里得n维空间，但无论如何都不能“塌陷”成欧几里得(n-1)维空间。
三、拓扑学与微积分学的关系拓扑学是一种平缓的、本质性的数学空间的研究方法，微积分学则是一种具有运算特性的多元微积分的研究方法。
考研拓扑知识点详解拓扑学是现代数学的一个重要分支，它研究的是空间中的性质，不依赖于度量、坐标系以及连续性的概念。
在考研数学中，拓扑学也是一个重要的知识点，涉及到许多基本概念和定理。
本文将对考研拓扑知识点进行详细解析，帮助考生深入理解和掌握这些知识。
一、拓扑空间与拓扑结构拓扑学研究的对象是拓扑空间，它是一个集合和在该集合上定义的一个拓扑结构的组合。
拓扑结构包括开集合和闭集合两个重要概念。
开集合是指拓扑空间中的一个子集，满足以下三个条件：首先，空集和整个拓扑空间本身都是开集合；其次，开集合的有限交集仍然是开集合；最后，开集合的任意并集仍然是开集合。
闭集合是指拓扑空间中的一个子集，满足以下三个条件：首先，空集和整个拓扑空间本身都是闭集合；其次，闭集合的有限并集仍然是闭集合；最后，闭集合的任意交集仍然是闭集合。
拓扑学中的一个基本定理是：一个集合与它的闭包唯一确定一个拓扑空间。
二、连续映射与同胚在拓扑学中，映射是指把一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
连续映射是指在两个拓扑空间之间的映射，满足以下条件：对于任意一个开集合，在映射之前和之后，它们的原像都是开集合。
同胚是指两个拓扑空间之间的一种映射关系，满足以下条件：首先，这个映射是双射的；其次，它是连续映射；最后，它的逆映射也是连续映射。
三、拓扑空间的性质拓扑空间具有许多性质，其中一些重要的性质如下：1. 连通性：一个拓扑空间是连通的，如果它不能表示为两个非空的、不相交的开集合的并。
连通性是拓扑空间的重要性质，可以帮助我们了解空间的整体性质。
2. 紧致性：一个拓扑空间是紧致的，如果它的任何一个开覆盖都有有限的子覆盖。
紧致性是拓扑空间的重要性质，它能够保证一些重要的定理成立。
3. 完备性：一个拓扑空间是完备的，如果它的任何柯西序列都收敛于该空间中的某个点。
完备性是拓扑空间的重要性质，它能够保证一些重要的定理成立。
四、拓扑基与拓扑生成拓扑基是指一个拓扑空间中的一个子集合，满足以下条件：首先，它可以表示拓扑空间的任意开集为它包含的基本开集的并集；其次，任意两个基本开集的交集都可以用其他基本开集表示。
拓扑结构代数结构拓扑结构和代数结构是数学中两个重要的概念。
拓扑结构研究的是空间的性质和变换，而代数结构则研究的是集合中元素之间的运算规则和性质。
本文将分别介绍拓扑结构和代数结构的基本概念，并探讨它们之间的关系。
一、拓扑结构拓扑结构研究的是空间的性质和变换。
在数学中，拓扑学是研究空间中的连续性质的学科。
拓扑学的基础是拓扑空间，它是一种具有拓扑结构的集合。
拓扑结构包括开集、闭集、连续映射等概念。
1.1 开集与闭集在拓扑结构中，开集是指满足一定条件的集合。
具体而言，对于一个拓扑空间，如果一个集合的每个点都有一个邻域，使得邻域完全包含在该集合内部，则该集合被称为开集。
闭集则是开集的补集。
1.2 连续映射在拓扑结构中，连续映射是指保持拓扑结构的映射。
具体而言，对于两个拓扑空间，如果一个映射将一个开集映射到另一个拓扑空间的开集上，则称该映射是连续映射。
1.3 拓扑等价在拓扑结构中，拓扑等价是指两个拓扑空间具有相同的拓扑性质。
具体而言，如果两个拓扑空间上的开集和连续映射相同，则称这两个拓扑空间是拓扑等价的。
二、代数结构代数结构研究的是集合中元素之间的运算规则和性质。
常见的代数结构包括群、环、域等。
代数结构的研究旨在描述和研究集合中元素之间的运算性质和规律。
2.1 群群是一种代数结构，它是一个集合和一个二元运算构成的。
具体而言，对于一个群，集合中的元素满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
2.2 环环是一种代数结构，它是一个集合和两个二元运算构成的。
具体而言，对于一个环，集合中的元素满足封闭性、结合律、交换律、单位元存在性和分配律。
2.3 域域是一种代数结构，它是一个集合和两个二元运算构成的。
具体而言，对于一个域，集合中的元素满足封闭性、结合律、交换律、单位元存在性、逆元存在性和分配律。
三、拓扑结构与代数结构的关系拓扑结构和代数结构在数学中有着密切的关系。
通过引入拓扑结构，可以为代数结构提供更加丰富的几何直观。
集合的拓扑学与拓扑空间拓扑学是数学的一个分支，它研究空间的性质，而拓扑空间是拓扑学研究的基本对象。
拓扑空间的定义如下：一个拓扑空间是一个集合 X，它与一个集合τ 相关联，其中τ 是 X 的子集的集合，并且满足以下三个性质：1.空集和 X 本身都在τ 中。
2.τ 中的任意两个集合的并集也在τ 中。
3.τ 中的任意个集合的交集也在τ 中。
集合τ 称为 X 的拓扑。
拓扑空间 X 中的子集称为 X 的开集，如果它是拓扑τ 的元素。
闭集是 X 的补集，即 X 中所有不是开集的子集。
拓扑空间可以用来表示和研究各种各样的空间，包括几何空间、函数空间和概率空间等。
在几何空间中，拓扑可以用来定义距离、连续性和极限等概念。
在函数空间中，拓扑可以用来定义函数的收敛性、连续性和可微性等概念。
在概率空间中，拓扑可以用来定义随机变量的分布、期望值和方差等概念。
拓扑空间的拓扑可以有很多种不同的表示方法。
最常见的一种表示方法是邻域表示法。
在邻域表示法中，每个点 x 的邻域都是一个包含 x 的开集。
另一个常见的表示方法是基表示法。
在基表示法中，拓扑的基是一个由开集组成的集合，并且拓扑中的每个开集都可以表示为基中开集的并集。
拓扑空间的性质可以通过拓扑不变量来表示。
拓扑不变量是不受拓扑空间的同胚关系影响的性质。
同胚关系是拓扑空间之间的一种等价关系，如果两个拓扑空间之间存在同胚关系，那么这两个拓扑空间在拓扑性质上是相同的。
拓扑不变量可以用来对拓扑空间进行分类和比较。
拓扑学在数学和应用数学中有着广泛的应用。
它被用于几何学、分析学、代数和微分几何等领域。
在应用数学中，拓扑学被用于数学物理学、计算机科学和数据科学等领域。
第二章 拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。
§ 2-1 数学分析中对连续性的刻画由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。
设11:f E E →是一个函数，10x E ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列1,2,{}n n x = 收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x = 收敛于0()f x ；（2）εδ-语言对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<（3）邻域语言若V 是包含0()f x 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得()f U V ⊂。
解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述； 对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。
§ 2-2 拓扑空间的定义一、 拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义1 设X 是一非空集，X 的一个子集族2Xτ⊆称为X 的一个拓扑，若它满足（1）,X τ∅∈；（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ；(3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。
集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记(,)X τ。
τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。
下面我们解释三个问题：(1)拓扑公理定义的理由； (2) 为什么τ中的元素称为开集；(3) 开集定义的完备性。
● 先解释拓扑定义的理由:① 从εδ-语言看：0x x δ-<和0()()f x f x ε-<分别为1E 上的开区间；② 从邻域语言看：,U V 是邻域，而()f U 是0()f x 的邻域，连续的条件是()f U V ⊂，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，0()f x 是V 的内点，有内点构成的集合为开集。
拓扑学是数学中研究空间性质和形状的学科，而拓扑空间则是拓扑学的基本概念之一。
拓扑空间是为了定义空间中点的邻域情况，以及点与点之间的关系而设立的一种数学结构。
它是在集合论的基础上引入了“邻域”的概念，使得我们可以研究空间中点的相互关系。
首先，我们需要明确什么是拓扑空间。
拓扑空间是一个集合X，以及集合X上的一个子集族T，满足以下三个条件：（1）空集∅和集合X都属于子集族T；（2）子集族T对于有限交和任意并运算封闭；（3）子集族T对于任意的有限并运算封闭。
子集族T中的元素被称为开集，而非空开集的补集则被称为闭集。
拓扑空间的基本性质在于它使用了邻域的概念。
对于一个点x∈X，其邻域N是指一个包含x的开集，且N中还包含其他的点。
换句话说，邻域是一个包含待研究点周围点集的一个范围。
邻域的概念为研究点与点之间的关系提供了基础。
例如，如果两个点在一个拓扑空间中的邻域中具有非空的交集，则这两个点在空间中是相邻的。
拓扑空间中还有一些重要的概念和性质。
其中之一是连通性。
一个拓扑空间是连通的，当且仅当它不能分解为两个非空不相交的开子集的并。
连通性刻画了空间中的“连续性”，即无法通过分割空间使得两个部分独立。
另一个重要的概念是紧致性。
一个拓扑空间是紧致的，当且仅当它的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
紧致性可以视为拓扑空间的“有界性”，即无论如何划分空间，都能找到有限个开覆盖。
拓扑空间还有一些常见的例子。
最简单的例子是离散拓扑空间，即集合中的每个点都是一个开集。
该拓扑空间中任意两个点的邻域都不相交，因此在该空间中点与点之间是相互独立的。
另一个例子是度量空间，其中的拓扑是由一个度量给出的。
在度量空间中，邻域的定义由度量确定，即x的邻域是所有与x距离小于某个正数的点的集合。
度量空间是拓扑空间的一个重要子类。
总之，拓扑空间是拓扑学中的基本概念，它通过引入邻域的概念，使我们能够研究空间中点的相互关系。
拓扑空间具有一些重要的性质和概念，如连通性和紧致性。
第一章拓扑空间与拓扑不变量数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间（直线、平面或空间）或是其中的一部分。
本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射。
然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。
随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等。
进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性§1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域一、问题的引入数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1 ,x2,…，x n),Y=(y1,y2,…，y n) 之间的距离d(x,y)= 。
无论是几维空间，它的距离都有下面的性质：1. d(x,y)≥0 , ∀x,y∈n R;2. d(x,y) = 0 ⇔x = y ;3. d(x,y) = d(y,x) ∀x,y∈n R;4. d(x,z) ≤d(x,y) + d(y,z) , ∀x,y,z∈n R; 这些性质反映了距离的特征。
将n R推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义。
（一）度量空间1.定义定义1 设X是一个集合，ρ：X×X→R ,如果对于任何x,y,z∈X,有①（正定性）ρ（x,y）≥0 并且ρ (x,y) = 0 ⇔x = y ；②（对称性）ρ (x,y) = ρ (y,x) ；③（三角不等式）ρ (x,z) ≤ρ (x,y) + ρ (y,z)则称ρ是集合X中的一个度量。
如果 ρ是集合X 中的一个度量，则称偶对（X ，ρ）是一个度量空间，或 径称X 是一个度量空间。
而ρ（x,y ）称为从点X 到点Y 的距离。
2. 度量空间举例例2.1.1 实数空间R对实数集合，定义ρ：R×R →R 如下：∀x,y ∈R ，令ρ（x,y ）=|x-y| ,易知ρ是R 的一个度量。
因此（R,ρ）是一个度量空间。
可见，度量空间是实数空间的推广，度量是距离的推广。
例2.1.1 n 维欧式空间n R对实数集合R 的n 重笛卡尔积n R =R×R×…×R ，定义ρ：n R ×n R →R 如下：对任意两点x=(x 1 ,x 2,…，x n ),Y=(y 1,y 2,…，y n ) ∈n R ，令ρ（x,y ）=可以验证ρ是n R 的一个度量，偶对（n R ，ρ）称为n 维欧氏空间。
有时径称n R 为n 维欧氏空间。
n=2时，2R 常称为欧氏平面或平面。
例2.1.2 Hilbert 空间H记H 是平方收敛的所有实数序列构成的集合，即H={ x=(x 1 ,x 2,…，x n ) | x i ∈R, i ∈Z + , 21i i x∞=<∞∑ },定义ρ：H×H →R 如下：对于任意x=(x 1 ,x 2,…，x n ),Y=(y 1,y 2,…，y n ) ∈H ，令ρ（x,y ）=。
这个定义的合理性及验<∞以及验证ρ是H 的一个度量，可见P 49 附录。
因此（H, ρ）是一个度量空间，称为Hilbert 空间。
例2.1.3 离散的度量空间设（X, ρ）是一个度量空间，称（X, ρ）是一个离散的度量空间或称ρ是一个离散的度量，如果对每一个x ∈X,存在一个实数0x δ>使得ρ（x,y ）>x δ ,对任何y ∈X ，y ≠ x 成立。
如，设X 是一个集合，定义ρ：X×X →R ,使得对于任何x,y ∈X,有0(,)1x y x y x y ρ=⎧=⎨≠⎩若若 , 易知ρ 是X 的一个离散度量，度量空间（X, ρ）是离散的。
思考题 例2.1.5 令X= C ([a,b]) = {f: [a,b]→R |f 在[a,b]上连续}，并且对于任意的f , g ∈C ([a,b]),令d(f,g)= ⎰ba |f(x)-g(x)|dx , d 是C ([a,b])的度量吗？ （答案： d 是C ([a,b])的度量，因此（C ([a,b])，d ）是一个度量空间）3. 邻域、开集⑴ 度量空间的球形邻域及其基本性质定义2. 设（X, ρ）是一个度量空间，x ∈X, 对于任意的ε>0，B （x, ε）={y ∈X |ρ（x,y ）< ε} 称为以x 为中心，ε为半径的球形邻域， 也称为x 的一个ε邻域，也记作B ε(x) 。
定理1.0.1 度量空间（X, ρ）的球形邻域具有以下性质：① 每一点x ∈X 至少有一邻域，并且x 属于它的每一个邻域；② 对于点x ∈X 的任意两个球形邻域，存在x 的一个球形邻域同时包含于 两者；③ 如果y ∈X 属于x 的某个球形邻域，则y 有一个球形邻域包含于x 的那个球形邻域。
证明： … …⑵ 度量空间的开集及其基本性质定义3. 设X 是一个度量空间，A ⊂X ，如果,0a A ε∀∈∃>都，使B(a, ε) ⊂X ，则称A 是X 的一个开集。
由定理2.1.1的③知，X 的球形邻域都是开集。
例2.1.7 实数空间R中的开区间都是开集，而半开半闭区间、闭区间都不是开集。
两个开区间的并也是开集。
可见，度量空间的开集是实数空间开区间的推广。
定理1.0.2 度量空间X的开集具有以下性质：①集合X本身和空集Ф都是开集；②任何两个开集的交是开集；③任何一个开集族的并是开集。
证……推论U是度量空间的开集的充分必要条件是U是这个空间中若干个球形邻域的并。
⑶度量空间中点x的邻域---球形邻域的推广定义4. 设X是一个度量空间，x∈X,U⊂X，如果存在开集V使x∈V⊂U，则称U是x的一个邻域。
注：有定义可知，开集V是它的每一点的邻域，但邻域却不一定是开集。
如[0，2]是1 的邻域，但它不是开集。
定理1.0.3 设X是一个度量空间，x∈X,U⊂X，则U是x的一个邻域⇔存在B(x,ε)⊂U。
证明：……本定理为邻域提供了一个等价说法。
推论 X是一个度量空间， U⊂X，则U是X的一个开集⇔U是其内每一点的邻域。
证由定义2.1.3和定理2.1.3 。
（二）度量空间之间的连续映射定义5 设X和Y是两个度量空间，f：X→Y，以及x0∈X，如果对于f (x0)的任何一个球形邻域B(f(x0),ε)，存在x0的某一个球形邻域B(x0，δ)使得f (B(x0，δ))⊂B(f(x0),ε)，则称映射f在x0处是连续的。
如果映射f 在X的每一点连续，则称f 是一个连续函数。
显然这个定义是数学分析中连续函数定义纯粹形式上的推广。
定理1.0.4 设X和Y是两个度量空间，f：X→Y，则①f在x0点处连续⇔ f (x0)的每一个邻域的原像是x0的一个邻域；② f 是连续的⇔Y中每个开集的原像是 X中的开集。
证明：①“⇒”若f在x0点处连续，设U为f (x0) 的一个邻域，据TH2.1.3，有B(f(x0),ε)⊂U，因为f在x0点处连续，所以存在B(x0，δ)使得f (B(x0，δ))⊂B(f(x0),ε)，然而f-1 [B(f(x0),ε)]⊂f-1(U)，而B(x0，δ)⊂ f-1 [B(f(x0),ε)]，所以B(x0，δ)⊂ f-1(U)，这说明f-1(U)是x0的一个邻域。
“⇐”设f (x0)的每一个邻域的原像是x0的一个邻域，任给f (x0) 的一个邻域B(f(x0),ε)，则f-1 [B(f(x0),ε)]是x0的一个邻域，据TH2.1.3，x0有一个球形邻域B(x0，δ)⊂ f-1 [B(f(x0),ε)]，因此f[B(x0，δ)]⊂B(f(x0),ε)，所以f 在x0点处连续。
②“⇒”设f连续，令V为Y中一开集，U= f-1(V),对于每一个x∈U，则f(x)∈V，由于V是开集，所以V是f(x)的一个邻域，由于f 在每一点x连续，故由①知U是x的一个邻域，由上面的推论知，U是开集。
“⇐”设Y中每个开集的原像是 X中的开集，下证f 在任一点x∈X连续。
设U是f(x)的一个邻域，即存在开集V使f(x)∈V⊂U，从而x∈f-1(V)⊂f-1(U),由条件f-1(V) 是 X中的开集，所以f-1(U) 是x的一个邻域，于是①中必要条件成立。
所以f 在点x∈X连续。
由于x的任意性，所以f 是连续映射。
二、拓扑空间、开集、闭集参照度量空间中开集的基本性质（TH1.1.2）建立拓扑空间定义1.1.1 设X是一个集合，T 是X的一个子集族，如果T 满足如下条件：①X ,Ф∈T ；②若A,B∈T ，则A∩B∈T ；③若T1 ⊂T ，则1A A∈∈TT。
则称T是X的一个拓扑。
若T是X的一个拓扑，则称偶对（X, T ）是一个拓扑空间，或称集合X是相对于拓扑T 而言的拓扑空间；或T 不需指出时，径称集合X是一个拓扑空间。
T 中每一个元素叫做拓扑空间（X, T ）或X中的一个开集；开集的补集称为闭集。
说明：⑴条件②蕴含着：当n > 1时若A1，A2，……， An∈T ,则A1∩A2∩……∩An∈T。
（但对无限交不一定成立，见后面的例）⑵②、③两条常被称为关于有限交、无限并封闭；⑶当T1=Ф时，1AAφ∈=∈TT, 这一点在①中已有规定，因此以后验证③成立只需对T1≠Φ验证即可；⑷有拓扑空间的定义和度量空间开集的基本性质知，度量空间都是拓扑空间。
关于这一点还有下面的定义：定义1.1.2 设（X, ρ）是度量空间。
令Tρ是由X中的所有开集构成的集族，据TH1.0.2，Tρ是X的一个拓扑。
我们称Tρ为X的由度量ρ诱导出来的拓扑。
约定：说度量空间（X, ρ）的拓扑时，如果没有另外说明，就指Tρ，称其为拓扑空间时就指（X, Tρ）。
因此，实数空间R ，n 维欧氏空间R n (特别，欧氏平面R 2),Hilbert 空间H 都可以叫做拓扑空间，其拓扑就是其各自的通常度量诱导出来的拓扑。
在实数空间中，（11,a a n n -+）是开集，但11(,){}n Z a a a n n∈+-+=不是开集。
这说明无限个开集的交不一定是开集。
定理1.1.1 设X 是一个拓扑空间，记F 为所有闭集构成的集族。
则： ① X,Ф∈F ； ② 如果A,B ∈F ，则A,B ∪F ；① 如果Ф≠F 1 ⊂ F ，则1A A ∈∈F F 。
证明 ① 由于X,Ф∈T ，所以Ф=X ′，X=Ф′∈F 。
② 当A,B ∈F 时，有 A ′,B ′∈T ，从而A ′∩B ′∈T ，因此A ∪B = A 〞∪B 〞=（A ′∩B ′）′∈F 。
③ 令T 1 ={A |A ′∈F 1 },于是T 1⊂ T ，因此1U U ∈∈T T ，从而1111''()()A A A U A A A U ∈∈∈∈'''===∈F F F T F 。
