点集拓扑学练习题(第二章)(答案)

| f (x) − f (x0 ) |< ε 试证明: 当 f 是连续映射时, {x ∈ n | f (x) > 0} 开于 n .
证明: 记U = {x ∈ n | f (x) > 0} ，对于 ∀x0 ∈U ，因为 f (x0 ) > 0 ，取 ε = f (x0 ) / 2 ≥ 0 ，由已知， ∃δ > 0 使得 ∀x ∈ B(x0 , δ ) 时, 恒有
∪ λ∈Λ Fλ c = (∩ λ∈Λ Fλ )c ∈ T
11. 设 ( X ,T ) 是一个拓扑空间, A ⊂ X , 则 (i) A ∈ T 当且仅当 A = A0 (ii) A 等于包含 A 的一切闭集的交. 证明：（i）必要性. 设 A ∈ T ，因为 ∀x ∈ A ，∃Gx = A ∈T 使得 x ∈ Gx ⊂ A ， 则 x 为 A 的内点，所以， A ⊂ Ao ；而 Ao ⊂ A 是显然的. 所以， A = A0 . 充分性. 设 A = A0 ，则 ∀x ∈ A ，∃Gx ∈ T 有 x ∈ Gx ⊂ A ，故 A = ∪ x∈A Gx . 所以， A∈T . (ii) 设 C ={F | F ⊃ A 且 F 闭于 X }. 因为 ∀F ∈ C ，有 A ⊂ F ，故 A ⊂ F = F ，则 A ⊂ ∩C . 反过来，因为 A ⊂ A ,并且 A ∈ C ，则 ∩C ⊂ A . 从而， A = ∩C .
从而， IntA = ∪ O . (2) 因为 A = X \ Int( X \ A) , 由(1)的证明, 有
Int( X \ A) = ∪{U | U ⊂ X \ A 并且U 开于 X }
故 A = X \ Int( X \ A) = X \ ∪{U | U ⊂ X \ A 并且U 开于 X } = ∩{X \ U | U ⊂ X \ A 并且U 开于 X } = ∩{F | A ⊂ F 并且 F 闭于 X }.

P73 第2.1节3．设(),X ρ是一个 的度量空间,证明: (1) X 的每一个子集都是开集;(2) 如果Y 也是一个度量空间,则任何映射:f X Y →都是连续的. 证 (1) 对任意的A X ⊂和任意顶的x A ∈,取14ε=,则(){},B x x A ε=⊂,所以A 是开集.(2) 设:f X Y →为任一映射,U ∈T Y,由(1)知,()1f U -∈TX,所以,f 是连续映射.6.从殴氏平面2到实数空间的映射2,:m s →定义为对任何()12,x x x =，(){}()1212max ,,m x x x s x x x ==+证明m 和s 都是连续函数。

（提示：分别用2的度量1ρ和2ρ（参见第5题）.）证 先证m 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意一点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为(){}{}{}()()111221212,max ,max ,max ,x y x y x y x x y y m x m y ρ=--≥-=-(其中1ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,m B x B m x εε⊂,即m 在2x ∈对于2的度量1ρ而言是连续的,由于2x ∈是任意的,从而对于2的度量1ρ而言连续.由习题5的结论知,m 对于2的度量ρ而言是连续的.下面再证s 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意一点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为()()()()()211221212,x y x y x y x x y y s x s y ρ=-+-≥+-+=-(其中2ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,s B x B s x εε⊂,即s 在2x ∈对于2的度量2ρ而言是连续的,由于2x ∈是任意的,从而对于2的度量2ρ而言连续.由习题5的结论知,s 对于2的度量ρ而言是连续的.P73 第2.2节2. 对于每一个n +∈,令{}n A m m n +=∈≥,(1) 证明P ={}{}n A n +∈⋃∅是正整数集+的一个拓扑;(2) 写出1+∈的所有开邻域.(1) 证 显然1,A +∅=∈P .又n A ∅⋂=∅∈P ,1,2,n =.任意,n m A A ∈P ,{}max ,n m m n A A A ⋂=∈P ,对任意的P 1⊂P ，{}11min :n n n n A TB A TB A A ∈∈=∈P ，因此P 为+的拓扑.(2) 1+∈的唯一开邻域为1A +=.7. 设P 1和P 2是集合X 的两个拓扑,证明P1⋂P 2也是X 的一个拓扑.举例说明P1⋃P 2可以不是X 的拓扑.证 若P 1和P2都是X 的拓扑,,由于,X ∅∈P 1,P2,所以,X ∅∈P1⋂P 2;任意,A B ∈P 1,P 2,则A B ⋂∈P 1,P2,所以A B ⋂∈P1⋂P 2;对任意的P '⊂P 1⋂P2,即P '⊂P1,P2,则'A T A ∈∈P 1,P2,所以'A T A ∈∈P 1⋂P 2. 因此P 1⋂P 2是X 的拓扑.例,设{},,X a b c =, P {}{}{}{}1,,,,,,a b c a b c =∅, P{}{}{}{}2,,,,,,b a c a b c =∅,显然, P1,P2都是X 的拓扑,P1⋃P2{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,a b b c a c a b c =∅,因{}{},a b ∈P 1⋃P2,{}{}{},a b a b =⋃∉P1⋃P 2,因此P 1⋃P 2不是X 的拓扑.10. 证明:(1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续的; (2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续的. 证 (1) 设(X ,P 1)是任意拓扑空间,( ,Y P 2)是平庸拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P2,,U Y =或∅,所以()1,fU X -=或∅,它们都属于P 1,所以f 连续.(2) 设(X ,P 1)是离散拓扑空间,( ,Y P2)是任意拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P 2 ,(){}()11x f U f U x --∈=∈P1,所以f 连续.(因为离散拓扑空间的单点集是开集).P73 第2.4节2. 设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,证明:(1) x X ∈是集合A 的凝聚点当且仅当x 是集合{}A x -的凝聚点; (2) 如果()d A B A ⊂⊂,则B 是一个闭集.证 (1) 若x X ∈是集合A 的凝聚点, 当且仅当对任意的U ∈Ux,有{}()U A x ⋂-≠∅,由{}{}(){}A x A x x -=--,从而{}(){}{}U A x x ⋂--≠∅,即x 是集合{}A x -的凝聚点.(2) 因为()d A B A ⊂⊂,所以()()d B d A B ⊂⊂,即()d B B ⊂,故B 为闭集. 3. 证明:闭包运算定义中的Kuratovski 公理等价于条件:对任何,A B X ⊂,()()()()()*****A c A c c B c A B c ⋃⋃=⋃-∅.证 “必要性”若Kuratovski 公理成立，则对任意,A B X ⊂，()()()()()()()()********A c A c c B c A c B c A B c A B c ⋃=⋃=⋃=⋃-∅；“充分性”若对任意,A B X ⊂，有()()()()()*****A c A c c B c A B c ⋃⋃=⋃-∅，则令A B ==∅，有()()()()()()******c c c c c c ∅⋃∅⋃∅=∅-∅=∅⇒∅=∅；令A B =，有()()()()()()()()()()**********A c A c c A c A c c A A c A c A c c A ⋃⋃=-∅=⇒⊂⇒⊂，并且()()()***c c A c A ⊂，所以()()()***cc A c A =。

点集拓扑试题及答案1. 定义并解释什么是拓扑空间。

拓扑空间是一个有序对(X, T)，其中X是一个非空集合，T是X的子集的集合，满足以下三个条件：(1) 空集和X本身都属于T；(2) T中的任意有限个集合的并集仍然属于T；(3) T中的任意个集合的交集仍然属于T。

2. 简述连续映射的定义。

设f: X → Y是一个映射，其中X和Y是拓扑空间。

如果对于Y中的任意开集V，其原像f^(-1)(V)是X中的开集，则称f是连续的。

3. 证明如果f: X → Y和g: Y → Z是连续映射，则它们的复合映射g ∘ f: X → Z也是连续的。

证明：设W是Z中的一个开集，我们需要证明(g ∘ f)^(-1)(W)是X中的开集。

由于g是连续的，g^(-1)(W)是Y中的开集。

又因为f是连续的，f^(-1)(g^(-1)(W))是X中的开集。

因此，(g ∘ f)^(-1)(W) = f^(-1)(g^(-1)(W))是X中的开集，所以g ∘ f是连续的。

4. 什么是紧致性？请给出紧致空间的一个例子。

紧致性是指拓扑空间中的每一个开覆盖都存在有限子覆盖的性质。

一个例子是实数线R上的闭区间[0, 1]，它在标准拓扑下是紧致的。

5. 描述什么是连通空间。

连通空间是指不能被分解为两个非空不相交开集的拓扑空间。

6. 证明如果X是连通空间，并且f: X → R是连续映射，那么f(X)是区间。

证明：设a = inf f(X)，b = sup f(X)。

对于任意的x ∈ X，由于f是连续的，存在一个开邻域U_x ⊆ X使得f(U_x) ⊆ (a, b)。

因为X是连通的，所以X = ⋃x∈X U_x，这意味着f(X) = ⋃x∈Xf(U_x) ⊆ (a, b)。

由于f(X)是闭的，所以f(X) = [a, b]。

7. 什么是分离公理？请举例说明。

分离公理是指对于拓扑空间中的任意两个不同的点，都存在两个不相交的开集分别包含这两个点。

例如，在实数线R的拓扑中，对于任意两个不同的点x和y，可以取开区间(x - 1, x + 1)和(y - 1, y + 1)分别包含x和y，且这两个开区间不相交。

练习(第二章)参考答案:一、判断题(每小题2分)1、集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × )2、拓扑空间中任两点的距离就是无意义的、( √ )3、实数集合中的开集,只能就是开区间,或若干个开区间的并、( × )4、T 1、T 2就是X 的两个拓扑,则T 1UT 2就是一个拓扑、( × )5、平庸空间中任一个序列均收敛,且收敛于任一个点。

( √ )6、从(X,T 1)到(X,T 2)的恒同映射必就是连续的。

( × )7.从离散空间到拓扑空间的任何映射都就是连续映射( √ )8.设12, T T 就是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定就是集合X 的拓扑( × )9、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都就是连续映射( √ )10、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( √ )11、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( × )12、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( √ )二.填空题:(每空格3分)1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中Z n ={n,n+1,n+2,…},则包含3的所有开集为321,,Z Z Z包含3的所有闭集为,...,,,/6/5/41Z Z Z Z包含3的所有邻域为3321}1{,,,Z Z Z Z ⋃设A={1,2,3,4,5}则A 的导集为{1,2,3,4}A 的闭包为{1,2,3,4,5}2、设X 为度量空间,x ∈X,则d({x})=∅3、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集就是____ R ____、4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案: ({})U A x φ⋂-≠5、设A 就是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ; A = ;答案:X ;X6、设A 就是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ; A = ;答案:X ;X7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}三、单项选择题(每题2分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T答案:③2、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④3、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d答案:②4、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②5、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案:③6、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q o 就是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R答案:①7、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂就是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R答案:④8、在实数空间中,整数集Z 的内部Z o 就是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R答案:①9、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂就是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R答案:②10、在实数空间中,区间[0,1)的边界就是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)答案:③11、设X 就是一个拓扑空间,A ,B 就是X 的子集,则下列关系中错误的就是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ③12、已知X 就是一个离散拓扑空间,A 就是X 的子集,则下列结论中正确的就是( )① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =答案:①13、已知X 就是一个平庸拓扑空间,A 就是X 的子集,则下列结论中不正确的就是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠答案:④14、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑就是( )① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}答案:①15、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案:③16、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案:④17、实数空间R 中的任一单点集就是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭答案:②18、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝( )①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A答案:③19、在实数空间R 中,下列集合就是闭集的就是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集答案:①20、在实数空间R 中,下列集合就是开集的就是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④21、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数就是() ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:④22、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个答案:④23、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 就是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既就是开集又就是闭集 ④ 非开非闭答案:③24、设X 就是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 就是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既就是开集又就是闭集 ④ 非开非闭答案:②四、证明题(52分):1. 设X 有拓扑i ni n T T T T 121,,...,=⋂⇒也就是拓扑、证:in i T A i T A i i n i i n i i i i n i in i i T A n i T A n i T T T T T B A n i T B A n i T B A T B A T X n i T X 1~~1111,...1,,...1,~,~)3(,...1,....1,,,,)2(,,,...2,1,,)1(=∈∈====⋂∈⋃⇒=∈⋃⇒=⊂⇒⋂⊂∀⋂∈⋂⇒=∈⋂⇒=∈∴⋂∈∀⋂∈∅∴=∈∅Θ 所以i n i T 1=⋂也就是拓扑、2、度量空间中收敛序列的极限就是唯一的、证:设+∈Z i i x }{→x , +∈Z i i x }{→y,则B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=∅、对于B(x,ρ(x,y)/3),存在1N >0,当i>1N 时有∈i x B(x,ρ(x,y)/3)对于B(y,ρ(x,y)/3),存在2N >0,当i>2N 时有∈i x B(y,ρ(x,y)/3)取N=max{1N ,2N },则当i>N 时有∈i x B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)与B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=∅、矛盾3、设X 就是一个拓扑空间,B 就是一个基,x ∈X,则B x ={B ∈B|x ∈B}就是点x 处的一个邻域基、见P 、82 定理2、6、74、在欧氏平面R 2中令Y={(0,y)|y ∈R}∪{(x,0)|x ∈R},证明:Y 与实数空间R 不同胚、(提示:用反证法)证:设Y 与实数空间R 同胚、则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚、但Y-{0,0}有四个连通分支,而R-{0}却只有两个连通分支、而连通性就是拓扑不变的,得到矛盾、所以Y 与实数空间R 不同胚、。

点集拓扑学第⼆章部分习题参考答案P73 第2.1节3．设(),X ρ是⼀个的度量空间,证明: (1) X 的每⼀个⼦集都是开集;(2) 如果Y 也是⼀个度量空间,则任何映射:f X Y →都是连续的. 证 (1) 对任意的A X ?和任意顶的x A ∈,取1 4ε=,则(){},B x x A ε=?,所以A 是开集.(2) 设:f X Y →为任⼀映射,U ∈T Y,由(1)知,()1f U -∈TX,所以,f 是连续映射.6.从殴⽒平⾯2到实数空间的映射2,:m s →定义为对任何()12,x x x =，(){}()1212max ,,m x x x s x x x ==+证明m 和s 都是连续函数。

（提⽰：分别⽤2的度量1ρ和2ρ（参见第5题）.）证先证m 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意⼀点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为(){}{}{}()()111221212,max ,max ,max ,x y x y x y x x y y m x m y ρ=--≥-=-(其中1ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,m B x B m x εε?,即m 在2x ∈对于的度量1ρ⽽⾔是连续的,由于2x ∈是任意的,从⽽对于2的度量1ρ⽽⾔连续.由习题5的结论知,m 对于2的度量ρ⽽⾔是连续的.下⾯再证s 是连续映射.设()212,x x x =∈是任意⼀点,对任意的0ε>,对任意()212,y y y =∈,因为()()()()()211221212,x y x y x y x x y y s x s y ρ=-+-≥+-+=-(其中2ρ是习题5中定义的2的度量),故()()()(),,s B x B s x εε?,即s 在2x ∈对于2的度量2ρ⽽⾔是连续的,由于2x ∈是任意的,从⽽对于2的度量2ρ⽽⾔连续.由习题5的结论知,s 对于2的度量ρ⽽⾔是连续的.P73 第2.2节2. 对于每⼀个n +∈,令{}n A m m n +=∈≥,(1) 证明P ={}{}n A n +是正整数集+的⼀个拓扑;(2) 写出1+∈的所有开邻域.(1) 证显然1,A +=∈P .⼜n A ??=?∈P ,1,2,n =.任意,n m A A ∈P ,{}max ,n m m n A A A ?=∈P ,对任意的P 1?P ，{}11min :n n n n A TB A TB A A ∈∈=∈P ，因此P 为+的拓扑.(2) 1+∈的唯⼀开邻域为1A +=.7. 设P 1和P 2是集合X 的两个拓扑,证明P1P 2也是X 的⼀个拓扑.举例说明P1P 2可以不是X 的拓扑.证若P 1和P2都是X 的拓扑,,由于,X ?∈P 1,P2,所以,X ?∈P1P 2;任意,A B ∈P 1,P 2,则A B ?∈P 1,P2,所以A B ?∈P1P 2;对任意的P '?P 1P2,即P '?P1,P2,则'A T A ∈∈P 1,P2,所以'A T A ∈∈P 1?P 2. 因此P 1?P 2是X 的拓扑.例,设{},,X a b c =, P {}{}{}{}1,,,,,,a b c a b c =?, P {}{}{}{}2,,,,,,b a c a b c =?,显然, P1,P2都是X 的拓扑,P1P2{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,a b b c a c a b c =?,因{}{},a b ∈P 1?P2,{}{}{},a b a b =??P1P 2,因此P 1?P 2不是X 的拓扑.10. 证明:(1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续的; (2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续的. 证 (1) 设(X ,P 1)是任意拓扑空间,( ,Y P 2)是平庸拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P2,,U Y =或?,所以()1,fU X -=或?,它们都属于P 1,所以f 连续.(2) 设(X ,P 1)是离散拓扑空间,( ,Y P2)是任意拓扑空间,:f X Y →,对任意的U ∈P 2 ,(){}()11x f U f U x --∈=∈P1,所以f 连续.(因为离散拓扑空间的单点集是开集).P73 第2.4节2. 设X 是⼀个拓扑空间,,A B X ?,证明:(1) x X ∈是集合A 的凝聚点当且仅当x 是集合{}A x -的凝聚点; (2) 如果()d A B A ??,则B 是⼀个闭集.证 (1) 若x X ∈是集合A 的凝聚点, 当且仅当对任意的U ∈Ux,有{}()U A x ?-≠?,由{}{}(){}A x A x x -=--,从⽽{}(){}{}U A x x ?--≠?,即x 是集合{}A x -的凝聚点.(2) 因为()d A B A ??,所以()()d B d A B ??,即()d B B ?,故B 为闭集. 3. 证明:闭包运算定义中的Kuratovski 公理等价于条件:对任何,A B X ?,()()()()()*****A c A c c B c A B c ??=?-?.证 “必要性”若Kuratovski 公理成⽴，则对任意,A B X ?，()()()()()()()()********A c A c c B c A c B c A B c A B c ?=?=?=?-?；“充分性”若对任意,A B X ?，有()()()()()*****A c A c c B c A B c ??=?-?，则令A B ==?，有()()()()()()******c c c c c c =?-?=???=?；令A B =，有()()()()()()()()()()**********A c A c c A c A c c A A c A c A c c A ??=-?=，并且()()()***c c A c A ?，所以()()()***cc A c A =。

拓扑学测试题二(共9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--测试题二一、（15分）（1）叙述“T是集合X上的拓扑”的定义；（2）证明：T=是X上的一个拓扑.二、（15分）(1)叙述完备格的定义；（2）设是偏序集，证明：若L的每个子集有下确界，则L是一个完备格.三、（10分）设，，求分别在数直线T) 及可数补空间T)中的闭包和内部.四、（15分）（1）叙述空间的定义；（2）证明：若T)是的,则X内每个网至多有一个极限点.五、（10分）设T ), W) 是两个拓扑空间，,,(1)叙述是开映射的定义,(2)证明:是T W连续的当且仅当W, T六、（10分）（1）叙述紧空间的定义；（2）证明：空间的每个紧子集是闭的.七、（15分）（1）叙述：“是集合X上的一个度量”的定义；（2）证明：若度量空间是可分的，则它是第二可数的.答案一、（15分）（1）T称为集合X上的拓扑，若T满足：(a)T,T;(b)T T, T;(c)A T A T.（2）证明：因是可数集，故T,，则是可数集，从而=是可数集,即T; A T,A,是可数集，于是是可数集，从而A=是可数集，即A T.，因此T=是X上的一个拓扑.（3）可数补拓扑是的不是.由可数补空间的任意两个非空开集的交不空知它不是空间. 对，则且，因此它是空间.二、（15分）(1)若L的每个子集都有上确界和下确界，则L是完备格.(2)证明：因空集和整个L有下确界，L有最大元1和0.设B是L的任一子集，若B为空集则,否则令D表示B的所有上界之集，对每个显然是D的一个下界，于是，即是B的一个上界,这样是B的最小上界，即.即L的每个子集有上确界，故L是完备格.三、（10分）解：在数直线T)中，;可数补空间中，.四、（15分）（1）设(X,T)是拓扑空间，，若使得,则称X是分的。

（2）证明：设T)是的，是内任一网且，但，显然不能同时终在内，矛盾.故.五、（10分）（1）,则称在点T W连续的.（2）证明（必要性） W,设. 则，由条件，存在.于是T.（充分性）,则T,从而，且,故是TW连续的.六、（10分）(1)若X的每个开覆盖有有限子覆盖，则称拓扑空间X是紧的.(2)证明设(X,T)是的，F是X的紧子集，任取，由性，存在，则是X中开集组成的F的开覆盖，由F是紧的知，它有有限子覆盖，结果且.由的任意性知F是闭集.七、（15分）（1）称是集合X上的一个度量，若满足下面的度量公理：（a）（b）；（c）三角不等式：.（2）证明：设度量空间是可分的，是X的可数稠子集.对每个，令B=则 B B是X的可数开集族.下面说明B是X的基.对每个，存在，.因A是X的稠子集，有，这样 ,B是X的可数基.八、（10分）证明：设，，则同理设则＝＝.测试题三一、（每题3分，共24分）1.任意多个连通空间的积空间一定是连通的.2.紧度量空间的每一个开覆盖都有Lebesgue数.3.局部连通空间的闭子集也是局部连通的.4.任意个道路连通空间的积空间一定是道路连通空间.5.任意个紧致空间的积空间一定是紧致空间.6.度量空间紧致的充要条件是上的任意一个连续函数都是有界的.7.若A在X中稠密，B在A中稠密，则B一定在X中稠密.8.可分空间一定满足公理二、（20分）设是一个度量空间。

点集拓扑学练习题一、单项选择题1、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ② ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：②3、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③4、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②5、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②6、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③7、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②8、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④9、在实数空间中，区间[0,1)的部是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④10、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③11、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①12、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④13、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①14、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④15、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①16、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①17、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③18、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②19、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③20、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④21、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③22、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④23、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④24、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④25、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈U ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈I 答案：③ 26、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③27、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①28、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④29、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①30、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案：②二、填空题1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ=3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________. 答案： R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案： ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X10、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=11、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的部为 ;答案：{3}13、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入14、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射15、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 答案：开映射16、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 答案：闭映射17、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间18、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ; 答案：连通子集19、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.三．判断1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂；（２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而Y U ∈T ’U ∈T 1, Y U ∈T ’U ∈T 2,故Y U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=I ，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.四． 名词解释1．同胚映射 答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的聚点 答案：设A 是拓扑空间X 的一个子集，如果x X ∈的每一个邻域U 中都有A 中异于x 的点，即({})U A x -≠ΦI ，则称点x 是集合A 的一个凝聚点。

点集拓扑学试题（含答案）三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ?，都有1)f A X -?（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ?；（２）对任意的∈B A ,T 1?T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈?B A T 1且∈?B A T 2，从而∈?B A T 1?T ２；（３）对任意的21T T T ??'，则21,T T T T ?'?'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故U ∈T ’U ∈ T 1?T ２；综上有T 1?T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（）答案:√理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （）答案:√理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ?,从而()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈?-,从而()X A x φ?-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ?-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ?-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=（）答案：√理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ?=,显然A B φ=，并且这时有:()()B B X B A B B B =?==从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ?=?=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )√ 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ?=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ?.试说明()()dA dB ?.答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ?-≠,由于A B ?，从而({})({})U B x U A x φ?-??-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ?.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 是一个闭集，则A的补集A '是一个开集. 答案：对于x A '?∈,则x A ?，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ?-=,因此U A φ?=，即U A '?,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.答案：设x A ?,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'?=,因此x A ?,从而A A ?,即有A A =，这说明A 是一个闭集.Authorware一、判断题1、Authorware中设计窗口描述2、移动图标制作动画3、擦出图标的内容4、几何画板中的动画5、关于交互结构的描述6、显示图标的工具面板的描述7、8、显示图标层的描述9、10、显示图标的描述11、关于标志旗的描述12、系统变量的描述（计算图标）13、声音图标的描述14、显示图标中的对象排列二、单项选择1、定义的简称（缩写）2、移动图标的使用3、图标功能的描述4、5.、10、图标的操作（创建，编辑）6、交互结构，交互分支7、文本输入交互8、几何画板常见菜单9、计算图标的使用11、群组图标的操作12、显示模式（模式工具）13、图标操作14、显示图标操作15、交互16、交互17、显示图标中工具箱的操作18、图标的操作三、多项原则移动图标、交互四、填空题1、图标的名称（7-8）2、几何画板（几何变换）（移动，旋转）3、显示图标工具箱中的名称4、移动图标5中类型5、计算图标中运算符的使用五、简答题1、关于移动2、交互结构3、集合画板4、编程一、判断题１、如果为视频文件额外配置声音，那么须用声音图标和电影图标。

证明: 设 G ∈ T , 对于 ∀x ∈ G , ∃U = G ∈ T 使得 x ∈ U ⊂ G , 故由邻域 的定义,有 G ∈ U ( x ) . 反过来, 若 ∀x ∈ U ,有 U ∈ U ( x ) , 则 ∃Gx ∈ T 使得 x ∈ Gx ⊂ U . 所以,
U = ∪ x∈U {x} ⊂ ∪ x∈U Gx ⊂ U . 于是, U = ∪ x∈U Gx . 根据( O3 ), U ∈ T .
这与 A 是 X 的稠密子集矛盾. 于是, O ⊂ A ∩ O . 7．证明: 度量空间中任何子集的导集都是闭集.
证明: 设 X 是一个度量空间, A ⊂ X . 若 x ∉ A ' , 则 ∃ε > 0 使得
•4 •
第二章练习题
B ( x, ε ) ∩ ( A \ {x}) = φ .
下证: B ( x, ε ) ∩ A ' = φ , 从而, A ' 是 X 中闭子集. 事实上, ∀y ∈ B ( x, ε ) , 若 y = x , 则 x ∉ A ' . 不妨设 y ≠ x , 取
从而, y ∉ A ' . 故 B ( x, ε ) ∩ A ' = φ .
8. 证明:集合 X 上的任意两个拓扑的交也是 X 上的一个拓扑. 集合 X 上 两个拓扑的并一定是 X 上一个拓扑吗? 为什么? 证明: 设 T1 , T 2 是 X 上的两个拓扑, 我们证: T1 ∩ T 2 是 X 上的一个拓扑. 事实上, 因为 X ∈ Ti , φ ∈ Ti ( i = 1, 2 ), 则 X ∈ T1 ∩ T 2 , φ ∈ T1 ∩ T 2 , 故 ( O1 )真. 又因为 ∀A, B ∈ T1 ∩ T 2 , 则 A, B ∈ Ti ( i = 1, 2 ). 因此, A ∩ B ∈ Ti , 则 A ∩ B ∈ T1 ∩ T 2 . 即, ( O2 )真. 最后, 对于 ∀{U λ | λ ∈ Λ} ⊂ T1 ∩ T 2 , 则

练习（第二章）参考答案：一.判断题(每小题2分)1.集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × )2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ )3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × )4.T 1、T 2是X 的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( × )5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。

（ √ ）6.从（X ，T 1）到（X ，T 2）的恒同映射必是连续的。

（ × ）7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ )8．设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑(× ) 9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ √ ）10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ √ ）11.设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （× ） 12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （√ ）二．填空题：(每空格3分)1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中Z n ={n,n+1,n+2,…},则包含3的所有开集为 321,,Z Z Z包含3的所有闭集为 ,...,,,/6/5/41Z Z Z Z包含3的所有邻域为 3321}1{,,,Z Z Z Z ⋃设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} ，A 的闭包为{1,2,3,4,5}2、设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=∅3、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是____ R ____.4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案： ({})U A x φ⋂-≠5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ; A = ;答案：X ；X6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ; A = ;答案：X ；X7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{2}三、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④3、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②。

λ∈Λ
Tλ ．
｡．显然∅, X ∈ T ； ｢．∀U1 , U2 ∈ T ， 则U1 , U2 ∈ Tλ ， 由 于Tλ 是 拓扑 ， 有U1 ∩ U2 ∈ Tλ ， 所 以U1 ∩ U2 ∈ T ； ｣．∀A ⊆ T ， 则A ⊆ Tλ ， 由 于Tλ 是 拓扑 ， 有 U ∈ Tλ ， 从 而 U ∈ T．
U ∈A
T ，由于T 是拓扑，有
U ∈A
U ∈ T ⊆ T ∗．
（Ｒ）设∞ ∈ X ∗ 的开邻域系为U∞ ，则U∞ = {X ∗ }．
Ｓ 练 习0.7. （Ｑ）设
n
1 2
Байду номын сангаас
d1 (x, y ) =
i=1
(xi − yi )
2
,
其中x = (x1 , · · · , xn )，y = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn ，证明d1 是Rn 的度量． （Ｒ）设
∞ i=1
2−i ·
|xi −yi | 1+|xi −yi | ， 其
中x = (xi ), y = (yi )． 证 明dF 是Rω 上 的 度 量 （dF 叫ｆｲ･｣ｨ･ｴ度 量 ，Rω 上 装 备 了ｆｲ･｣ｨ･ｴ度量后叫ｆｲ･｣ｨ･ｴ空间）．
t Proof. 提示：只需证明三角不等式．为此只需注意到函数 1+ t 当t > 0是单调增 函数即可．
¯(x, y ) = min {|x − y |, 1}，在RΛ 上定义 练 习0.13. 在R上定义d ¯(xλ , yλ )|λ ∈ Λ , d(x, y ) = sup d ¯都是度量，其中d ¯叫R的标准有界度量，d叫RΛ 的 其中x = (xλ ), y = (yλ )，证明d与d Λ 一致度量．（R 上由一致度量诱导的拓扑叫一致拓扑．） ¯是 度 量 ． 因 为 正 定 性 和 对 称 性 显 然 ， 所 以 只 需 证 明 三 角 不 等 Proof. 首 先 ，d ¯ 式．事实上，d(x, z ) = min {|x − z |, 1}， ¯(x, y ) + d ¯(y, z ) = min {|x − y |, 1} + min {|y − z |, 1} d = min {|x − y | + |y − z |, |x − y | + 1, |y − z | + 1, 2} ¯(x, z ). ≥ min {|x − y | + |y − z |, 1} ≥ min {|x − z |, 1} = d ¯满足三角不等式，所以有 其次证明d是度量．同样只需证明三角不等式．因d ¯(xλ , zλ )|λ ∈ Λ d(x, z ) = sup d ¯(xλ , yλ ) + d ¯(yλ , zλ )|λ ∈ Λ ≤ sup d ¯(xλ , yλ )|λ ∈ Λ + ≤ sup d ¯(yλ , zλ )|λ ∈ Λ ≤ sup d = d(x, y ) + d(y , z ).

点集拓扑复习题(答案)点集拓扑复习题一、名词解释1、同胚映射：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.2、不连通空间：设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间.3、拓扑：设X 是一个非空集合。

X 的一个子集族τ称为X 的一个拓扑，如果它满足：1．X 和空集∅都属于τ2．τ中任意多个成员的并集仍在τ中3．τ中有限多个成员的交集仍在τ中。

4、导集：设X 是一个拓扑空间，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.5、度量：设集合X 的一个映射:d X X R ⨯→.若对于任何,,x y z X ∈，有（I ）（正定性）d (x,y ）≥0，且d (x,y)=0当且仅当 x = y ；（Ⅱ）（对称性）d (x,y)= d (y,x ）；（Ⅲ）（三角不等式）d (x,z ）≤d (x,y)+ d (y,z ）则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。

二、证明题（4选3）1、证明：度量空间X 中的开集且有以下性质：（1）集合X 本身和空集∅都是开集；（2）任意两个开集的交是一个开集；（3）任意一个开集族的并是一个开集。

证明:（1）根据定理 2.1.1(1)X 中的每一个元素x 都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X 中，所以X 满足开集的条件；空集∅中不包含任何点，也自然地可以认为它满足开集的条件．（2）设U 和V 是X 中的两个开集．如果x U V ∈，则存在x 的一个球形邻域1(,)B x ε包含于U ，也存在X 的一个球形邻域2(,)B x ε包含于V ．根据定理2.1.1(2)，x 有一个球形邻域(,)B x ε同时包含于1(,)B x ε和2(,)B x ε，因此12(,)(,)(,)B x B x B x U V εεε⊂⊂由于U V 中的每一点都有一个球形邻域包含于U V ，因此U V 是一个开集．（3）设A 是一个由X 中的开集构成的子集族．如果A x A ∈∈A ，则存在0A ∈A 使得0x A ∈由于0A 是一个开集，所以x 有一个球形邻域包含于0A ，显然这个球形邻域也包含于A A ∈A ．这证明A A ∈A 是X 中的一个开集．2、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集，此外1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X 是可数补空间，因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.于是'⊂y V y }{, …………………………………………………4分由上面的讨论我们知道： }{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'⊂=-因为}{x X -是一个不可数集，而}{x X y uV -∈' 是一个可数集，矛盾. 从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分三、填空题1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=2、每一个球形邻域都是 ；答案：开集3、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；答案：可分空间4、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ; 答案：有限可积性质5、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射四、选择题1、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：②2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④3、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④4、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④5、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③6、离散空间X 的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③7、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④8、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z ' 答案：④9、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案：②10、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②。

点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题1分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T答案：③2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：②3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案：①4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：②5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案：④6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案：③7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案：④8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案：④9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案：②10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案：④11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d答案：②12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d答案：④13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案：①16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案：③17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：④18、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）①φ②Q③R -Q④R答案：①20、在实数空间中，有理数集Q的边界()∂是（）Q①φ②Q③R -Q④R答案：④21、在实数空间中，整数集Z的内部Z是（）①φ②Z③R-Z④R答案：①22、在实数空间中，整数集Z的边界()∂是（）Z①φ②Z③R-Z④R答案：②23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案：③24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（）①φ②[2,3]③{2,3}④(2,3)答案：③25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（）①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案：④26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ③27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ①28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =答案：①30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =- ③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X = ③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d=B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}答案：①33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-答案：③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基. ① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案：④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭答案：②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ）①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A答案：③39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集答案：①40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案：④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个答案：④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9答案：④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案：③46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ） ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案：②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=答案：③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案：②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=答案：②50、设{1,23}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案：①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=答案：②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=答案：④53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =答案：②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案：④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ）① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案：②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案：①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案：②65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案：③66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案：①67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案：④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案：④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对 答案：③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点 答案：④71、下列叙述中正确的个数为（ ）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的 （Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案：②72、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对答案：③73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对答案：③74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③75、无理数集作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③作为实数空间R的子空间（）76、正整数集Z+①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③作为实数空间R的子空间（）77、负整数集Z-①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③78、2维欧氏间空间2R（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③79、3维欧氏间空间3R（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）①平庸性②连通性③离散性④第一可数性公理答案：②81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）①第一可数性公理②连通性③第二可数性公理④平庸性答案：②82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）①第一可数性公理②可分性③ 第二可数性公理 ④ 离散性答案：②83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ② 可分性③ 离散性 ④ 第二可数性公理答案：②84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：①85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：①86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间答案：①87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：④88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：④89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：④90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：④91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案：①92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案：③93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案：③94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案：①95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ） ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案：②96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案：④97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案：④98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间答案：④99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案：④100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案：④101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案：④二、填空题（每题1分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ; 答案：{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ=３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.答案： R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案： ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;答案：{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =的内部为 ;答案：{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;答案：{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =的内部为 ;答案：φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ; 答案：{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;答案：开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;答案：闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；答案：不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ； 答案：可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ; 答案：有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;答案：第一可数性公理31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;答案：第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个子空间也具有性质P,则称性质P为 ;答案：可遗传性质33、设D是拓扑空间X的一个子集，且D X,则称D是X的一个；答案：稠密子集34、若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个；答案：可分空间35、设X是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X是一个；答案：LindelÖff空间36、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个开子空间也具有性质P,则称性质P为 ;答案：对于开子空间可遗传性质37、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P,则称性质P为 ;答案：对于闭子空间可遗传性质38、设X是一个拓扑空间，如果T空间;则称X是一个答案：X中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设X是一个拓扑空间，如果T空间;则称X是一个1答案：X中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点40、设X是一个拓扑空间，如果T空间;则称X是一个2答案：X中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交T空间称为；41、正则的1答案：3T 空间42、正规的1T 空间称为 ；答案：4T 空间43、完全正则的1T 空间称为 ；答案： 3.5T 空间或Tychonoff 空间三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂；（２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ） 答案:√理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ） 答案:√理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而()d A φ=. 5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ） 答案：×理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ） 答案：√理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）答案：√理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=，并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )答案：√理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ） 答案：√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满 足第一可数性公理.10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）答案：√理由：由于X 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B ，因为Y 是X 的子空间，则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基，从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理.11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）答案：√理由：由于X满足第一可数性公理，所以对x Y∀∈,X在点x处有一个可数邻域基Vx ，因为Y是X的子空间，则{|}V |Vx Y xV Y V=⋂∈是Y在点x的一个可数邻域基，从而X的子空间Y也满足第一可数性公理.12、设{1,2,3}X=，{,,{2},{3},{2,3}}Xφ=T，则(,)X T是3T空间.( ) 答案：×理由：因为{1,3}是X的一个闭集，对于点２和{1,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则空间，从而不是3T空间.注：也可以说明X不是1T空间．13、设{1,2,3}X=，{,,{1},{2},{1,2}}T Xφ=，则(,)X T是3T空间.( ) 答案：×理由：因为{2,3}是X的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则空间，从而不是3T空间.注：也可以说明X不是1T空间．14、设{1,23}X=，，{,,{1},{3},{1,3}}Xφ=T，则(,)X T是1T空间.( ) 答案：×理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X不是1T 空间．注：也可以考虑点２和点３.15、设{1,23}X=，，{,,{1},{3},{1,3}}Xφ=T，则(,)X T是4T空间.( ) 答案：×理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X不是1T 空间．故(,)X T是4T空间.注：也可以考虑点２和点３.16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）答案：√理由：因为3T 空间是正则的1T 空间，所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈，{}y 是X 中的闭集，由于X 是正则空间，从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，所以X 是2T 空间. 17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）答案：√理由：因为4T 空间是正规的1T 空间，所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ，由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间，故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，这说明X 是正则空间，因此X 是3T 空间.四．名词解释(每题2分)1．同胚映射答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的内点答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域，则称点x 是集合A 的一个内点.3、集合A 的内部答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.4．拓扑空间(,)T X 的基答案：设(,)T X 是一个拓扑空间，B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B中的某些元素的并，则称B是拓扑T的一个基. 5．闭包答案：设X是一个拓扑空间，A X⊂.集合A与集合A的导集()d A的并()⋃称为集合A的闭包.A d A6、序列答案：设X是一个拓扑空间，每一个映射:→叫做X中的一个S Z X+序列.7、导集答案：设X是一个拓扑空间，集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.8、不连通空间答案：设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集,A B,使得A B X⋃=,则称X是一个不连通空间.9、连通子集答案：设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集.10、不连通子集答案：设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个不连通空间，则称Y是X的一个不连通子集.A空间11、1答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称A空间.这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为1 A空间12、2答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个A空间.满足第二可数性公理的空间，简称为213、可分空间答案：如果拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间.T空间：14、答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是0T 空间.15、1T 空间：答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是1T 空间.16、2T 空间：答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X 是2T 空间.17、正则空间：答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正则空间.18、正规空间：答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正规空间.19、完全正则空间：答案：设X 是一个拓扑空间，如果对于x X ∀∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =，则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.五．简答题（每题4分）2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连续映射.答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是2A 空间.至多含有可数多个点的离散空间是2A 空间.13、试说明实数空间R 是可分空间.答案: 因为Q 是可数集，且R 的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q 都有非空的交，因此R Q =，故实数空间R 是可分空间.19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.答案：设A 是X 的任何一个闭集，若A 是空集，则结论显然成立.下设A 不是空集，则对A 的任何一个开邻域U ，则U 的补集U '是一个不包含点A 的一个闭集. 由于X 是一个正规空间，于是A 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=，因此V W '⊂，所以V W W U -''⊂=⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.答案：设A 是X 的任何一个子集，若A 是空集，则()d A φ=，从而A 的导集是闭集.下设A 不是空集，则对(())x d A '∀∈,则x 有开邻域U ,使得({})U x A φ-⋂=，由于X 是1T 空间，从而{}U x -是开集，故{}(())U x d A '-⊂,于是(())U d A '⊂,所以(())d A '是它每一点的邻域，故(())d A '是开集，因此()d A 是闭集.六、证明题（每题8分）2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂. 证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集. 又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明：因为B A ,是X 的闭集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集. 又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X 是可数补空间，因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.于是'⊂y V y }{, …………………………………………………4分 由上面的讨论我们知道： }{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'⊂=-因为}{x X -是一个不可数集，而}{x X y u V -∈' 是一个可数集，矛盾.从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也满足第二可数性公理.证明：设X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基.由于:f X Y →是一个开映射，{()|}B B f B B =∈是由Y 中开集构成的一个可数族. …………………………………………………………3分下面证明B 是Y 的一个基.设U 是Y 的任意开集，则1()f U -是X 中的一个开集.因此存在1 B B ⊂,使得11() B B f U B -∈=.由于f 是一个满射，所以有11(())() B B U f f U f B -∈==,从而U 是B 中某些元素的并，故B 是Y 的一个基.这说明Y 也满足第二可数性公理. ……8分12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。

点集拓扑练习题一、单项选择题（每题1分）1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：②3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案：①4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：②5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案：④6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：②10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：④11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案：④13、设{,,,}X abcd =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④18、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：①20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ∂是（ ）① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：①22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ∂是（ ）① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：②23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列三关系中错误的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）① ()d A φ= ② ()d A X A =- ③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ）① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑，则（ ）是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ } 答案：②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：①40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案：④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案：③45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是（ ）① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案：②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ= ③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案：②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案：②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④58、设126X X X X=⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂，2B X ⊂，则有（ ） ①A B A B ⨯≠⨯ ②A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂ 答案：②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 答案：②65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是平庸空间 ③ 平庸空间 ④ 不连通空间 答案：③66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是离散空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：①67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）① 离散空间 ② 不一定是连通空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对 答案：④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对 答案：③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点 答案：④71、下列叙述中正确的个数为（ ）（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②72、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③75、无理数集作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③78、2维欧氏间空间2R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③79、3维欧氏间空间3R （ ）① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ② 连通性 ③ 离散性 ④ 第一可数性公理 答案：②81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ② 连通性 ③ 第二可数性公理 ④ 平庸性 答案：②82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公 ② 可分性 ③ 第二可数性公理 ④ 离散性 答案：②83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）① 平庸性 ② 可分性 ③ 离散性 ④ 第二可数性公理 答案：②84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：①85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：①86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间 答案：①87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④90、设{1,2,3}X =，{,,{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：①92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：③93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：③94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：①95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：②96、设{1,23}X =，，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案：④97、设{1,23}X =，，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案：④98、设{1,23}X =，，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间 答案：④99、设{1,23}X =，，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案：④100、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案：④101、设{1,23}X =，，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案：④102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（ ）① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间 答案：③103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对 答案：③104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ）① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集 答案：②107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案：②108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案：②109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案：①二、填空题（每题1分）1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ=3同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;答案：拓扑不变性质4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.答案： R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案： ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X10、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{2}11、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{1}12、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{2T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{1}13、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{3}17、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;答案：开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;答案：闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ；答案：不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；答案：不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂，则Z 也是X 的一个 ;答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ，则性质P 称为 ; 答案：有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;答案：第一可数性公理31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ⨯也满足 ;答案：第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案：可遗传性质33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个 ；答案：稠密子集34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；答案：可分空间35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；答案：Lindel Öff 空间36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P为 ;答案：对于开子空间可遗传性质37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P为 ;答案：对于闭子空间可遗传性质38、设X 是一个拓扑空间，如果 则称X 是一个0T 空间;答案：X 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设X 是一个拓扑空间，如果 则称X 是一个1T 空间;答案：X 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点40、设X 是一个拓扑空间，如果 则称X 是一个2T 空间;答案：X 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交41、正则的1T 空间称为 ；答案：3T 空间42、正规的1T 空间称为 ；答案：4T 空间43、完全正则的1T 空间称为 ；答案： 3.5T 空间或Tychonoff 空间44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 . 答案：紧致空间45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个 .答案：紧致子集46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .答案：可数紧致空间47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个 .答案：列紧空间48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个 .答案：序列紧致空间三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1)f A X -⊂（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ⋂；（２）对任意的∈B A ,T 1⋂T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2，从而∈⋂B A T 1⋂T ２；（３）对任意的21T T T ⋂⊂'，则21,T T T T ⊂'⊂'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T ２；综上有T 1⋂T ２也是X 的拓扑．3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：×理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ⋂-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=（ ）答案：√ 理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=，并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂= 从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )案：√理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）答案：√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B |x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满 足第一可数性公理.10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）答案：√理由：由于X 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B ，因为Y 是X 的子空间，则{|}B | B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基，从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理.11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）答案：√理由：由于X 满足第一可数性公理，所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ，因为Y 是X 的子空间，则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y 在点x 的一个可数邻域基，从而X 的子空间Y 也满足第一可数性公理.12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )答案：×理由：因为{1,3}是X 的一个闭集，对于点２和{1,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是3T 空间. 注：也可以说明X 不是1T 空间．13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )答案：×理由：因为{2,3}是X 的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是3T 空间.注：也可以说明X 不是1T 空间．14、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )答案：×理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间．注：也可以考虑点２和点３.15、设{1,23}X =，，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )答案：× 理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间．故(,)X T 是4T 空间. 注：也可以考虑点２和点３.16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）答案：√理由：因为3T 空间是正则的1T 空间，所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈，{}y 是X 中的闭集，由于X 是正则空间，从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，所以X 是2T 空间.17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）答案：√理由：因为4T 空间是正规的1T 空间，所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ，由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间，故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=，这说明X 是正则空间，因此X 是3T 空间.18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )答案：√理由：设A 是一个由X 中的开集构成的A B ⋃的覆盖，由于A 和B 都是X 的紧致子集，从而存在A的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B 的覆盖，故12⋃A A 是A 的有限子族且覆盖A B ⋃，所以A B ⋃是紧致子集.19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案：√理由：设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集，则对于任何x X ∈，若x A ∉，则易知x 不是A 的凝聚点，因此A A =，从而A 是一个闭集.四．名词解释(每题2分)1．同胚映射 答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的内点 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域，则称点x 是集合A 的一个内点.3、集合A 的内部 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.4．拓扑空间(,)T X 的基 答案：设(,)T X 是一个拓扑空间，B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并，则称B 是拓扑T 的一个基.5．闭包 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ⋃称为集合A 的闭包.6、序列 答案：设X 是一个拓扑空间，每一个映射:S Z X +→叫做X 中的一个序列.7、导集 答案：设X 是一个拓扑空间，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.8、不连通空间 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间.9、连通子集 答案：设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集.10、不连通子集 答案：设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个不连通空间，则称Y 是X 的一个不连通子集.11、1 A 空间 答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为1 A 空间.12、2 A 空间 答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为2 A 空间.13、可分空间 答案：如果拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个可分空间.14、0T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是0T 空间.15、1T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是1T 空间.16、2T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X 是2T 空间.17、正则空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正则空间.18、正规空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正规空间.19、完全正则空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果对于x X ∀∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =，则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.20、紧致空间 答案：设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间.21、紧致子集 答案：设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个紧致子集.22、可数紧致空间 答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间.23、列紧空间 答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个列紧空间.24、序列紧致空间 答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个序列紧致空间.五．简答题（每题4分）1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂，从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:gf X Z →也是连续映射. 答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X的开集，所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.答案：对于x A '∀∈,则x A ∉，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=，即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.答案：设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =，这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T.答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T.答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系：~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T.答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是2A 空间.至多含有可数多个点的离散空间是2A 空间.13、试说明实数空间R 是可分空间.答案: 因为Q 是可数集，且R 的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q 都有非空的交，因此R Q =，故实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.答案: 设X 是一个度量空间, 对X x ∈∀，则所有的以x 为中心，以正有理数为半径的球形邻域构成x。