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5第二章 数字控制系统分析-稳定性与稳态性能分析

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实验二：系统稳定性和稳态性能分析

实验二：系统稳定性和稳态性能分析

实验二：系统稳定性和稳态性能分析主要内容：自动控制系统稳定性和稳态性能分析上机实验目的与要求：熟悉 MATLAB 软件对系统稳定性分析的基本命令语句 熟悉 MATLAB 软件对系统误差分析的 Simuink 仿真 通过编程或 Simuink 仿真完成系统稳定性和稳态性能分析一 实验目的1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性；2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响；3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。

二 实验任务1、稳定性分析欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。

（1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3)s G s s s s s +=+++，用 MA TLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。

（2）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为( 2.5)()(0.5)(0.7)(3)k s G s s s s s +=+++，当取k =1，10，100用MA TLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性。

只要将（1）代码中的k 值变为1，10，100，即可得到系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性，并讨论系统增益k 变化对系统稳定性的影响。

2、稳态误差分析（1）已知如图所示的控制系统。

其中2(5)()(10)s G s s s +=+，试计算当输入为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号时的稳态误差。

从 Simulink 图形库浏览器中拖曳Sum （求和模块）、Pole-Zero （零极点）模块、Scope （示波器）模块到仿真操作画面，连接成仿真框图如右上图所示：（2）若将系统变为I 型系统，5()(10)G s s s =+，在阶跃输入、斜坡输入和加速度信号输入作用下，通过仿真来分析系统的稳态误差。

控制系统的稳定性分析与稳定裕度设计

控制系统的稳定性分析与稳定裕度设计

控制系统的稳定性分析与稳定裕度设计控制系统的稳定性是指系统在受到外界干扰或参数变化时，是否能保持输出的稳定性和可控性。

稳定性分析与稳定裕度设计是控制系统设计与优化中非常重要的环节。

本文将介绍控制系统的稳定性分析方法和稳定裕度设计的原则与方法。

一、稳定性分析方法在控制系统中，稳定性分析的目的是确定系统的稳定性边界，也就是确定系统参数的取值范围，使系统保持稳定。

常用的稳定性分析方法有两种：频域方法和时域方法。

1. 频域方法频域方法一般基于系统的传递函数进行分析，常用的工具有Bode图和Nyquist图。

Bode图可以直观地表示系统的幅频特性和相频特性，通过分析Bode图可以确定系统的相角裕度和幅值裕度，从而判断系统的稳定性。

Nyquist图则是通过绘制系统的频率响应曲线来判断系统的稳定性。

2. 时域方法时域方法主要根据系统的差分方程进行分析，常用的工具有阶跃响应和脉冲响应。

通过分析系统的阶跃响应曲线和脉冲响应曲线，可以得出系统的超调量、调节时间和稳态误差等指标，从而判断系统的稳定性。

二、稳定裕度设计原则与方法稳定裕度是指系统在满足稳定性的前提下，能够容忍一定幅度的参数变化或干扰。

稳定裕度设计可以提高系统的鲁棒性和可靠性，常用的稳定裕度设计原则和方法有以下几点：1. 相角裕度设计相角裕度是指系统在开环传递函数的相角曲线与-180度线之间的角度差。

通常情况下，相角裕度越大表示系统的稳定性越好。

为了增加相角裕度，可以通过增大系统的增益或者增加相位补偿器的相位裕度。

2. 幅值裕度设计幅值裕度是指系统在开环传递函数的幅度曲线与0dB线之间的距离。

幅值裕度越大表示系统对参数变化和干扰的鲁棒性越好。

为了增加幅值裕度，可以通过增大系统的增益或者增加幅值补偿器的增益。

3. 稳定裕度的频率特性设计系统的稳定裕度也与频率有关，不同频率下的稳定裕度可能存在差异。

因此，需要根据系统的工作频率范围来设计稳定裕度。

在系统的工作频率范围内，要保证系统的相角裕度和幅值裕度都能满足要求。

控制系统的稳定性分析

控制系统的稳定性分析

控制系统的稳定性分析简介控制系统的稳定性是指系统在受到干扰时，能够保持从初始状态返回到稳定的平衡状态的能力。

稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一，对于确保系统正常运行具有重要意义。

在本文档中，我们将探讨控制系统的稳定性分析方法。

稳定性概念在控制系统中，稳定性可以分为两种类型：绝对稳定和相对稳定。

1.绝对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到初始的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是绝对稳定的。

2.相对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到新的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是相对稳定的。

稳定性分析方法为了评估控制系统的稳定性，我们通常使用以下几种分析方法：1. 传递函数分析传递函数分析是一种常用的稳定性分析方法，它通过将控制系统转化为传递函数的形式，进行频域和时域的分析。

在频域分析中，我们可以使用频率响应函数（Bode图）来评估系统的稳定性。

Bode图由幅度曲线和相位曲线组成，通过分析这两个曲线可以判断系统是否稳定。

在时域分析中，我们可以使用单位斯蒂文斯响应函数来评估系统的稳定性。

单位斯蒂文斯响应函数是指控制系统对于单位阶跃输入的响应。

2. 决策稳定性分析决策稳定性分析方法是一种直观的稳定性评估方法，它通过观察控制系统的反馈回路来判断系统的稳定性。

如果控制系统的反馈回路中存在零点或极点位于右半平面，则系统将是不稳定的。

另外，如果控制系统的相位裕度和增益裕度分别小于零和一，则系统也将是不稳定的。

3. 根轨迹分析根轨迹分析是一种图形化的稳定性分析方法，它通过绘制系统传递函数的根轨迹来评估系统的稳定性。

根轨迹是表示系统极点随控制参数变化的轨迹图，它可以直观地显示系统的稳定性和响应特性。

如果根轨迹上的所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的。

4. Nyquist稳定性判据Nyquist稳定性判据是一种基于频域分析的稳定性判据，它利用开放式系统的频率响应来评估系统的稳定性。

Nyquist稳定性判据通过绘制控制系统的开环频率响应曲线，并计算曲线绕原点的圈数来判断系统是否稳定。

5第二章 数字控制系统分析-稳定性与稳态性能分析

5第二章 数字控制系统分析-稳定性与稳态性能分析
2去掉保持器则有23数字控制系统的性能分析稳定性分析则有gesibodepartmentautomation233去掉采样器和保持器系统为连续系统则有23数字控制系统的性能分析稳定性分析gesibodepartmentautomation2423数字控制系统的性能分析稳定性分析结论1二阶连续系统中只要k0系统总是稳定的
再应用劳斯判据判定该系统的稳定性。
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Ge Sibo,Department of Automation
2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
例2.3-7 试用修正劳斯判据确定例题2.3-6所示系统稳定的K值范围。 解：由例题2.3-6系统的特征方程：
令
w +1 ，代入上式得 0.632kw2 + 1.264w + (2.736 − 0.632k ) = 0 z= w− w −1
数字控制系统
--分析、设计与实现 分析、 分析
第二章 数字控制系统分析
2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性与稳态性能分析 2011年2月 gesibo@
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
1.Z平面稳定性分析
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
解：（1）先求系统的开环Z传递函数得：
z −1 Tz z z G(z) = K [ − + ] 2 −T z (z −1) z −1 z − e
T z −1 = K( −1+ ) −T z −1 z −e (T −1+ e−T )z + (1− e−T −Te−T ) =K (z −1)(z − e−T )

控制系统的稳定性分析分解课件

控制系统的稳定性分析分解课件
控制系统的稳定性分析分 解课件
目 录
• 控制系统稳定性分析方法 • 控制系统稳定性判据 • 控制系统稳定性优化方法 • 控制系统稳定性实例分析 • 控制系统稳定性总结与展望
01 引言
控制系统稳定性概念
01
02
03
稳定性定义
控制系统在受到外部扰动 后，能否恢复到平衡状态 的能力。
稳定性分类
根据系统性质不同，可分 为渐近稳定、指数稳定、 BIBO稳定等。
实例一：机械臂控制系统稳定性分析
01
02
03
04
系统建模
建立机械臂的动力学模型，包 括电机、减速器等组件的动力
学方程。
稳定性判据
应用劳斯判据或奈奎斯特判据 等方法，判断系统的稳定性。
控制器设计
设计合适的控制器，如PID控 制器，以保证系统的稳定性。
仿真与实验
通过仿真和实验验证控制器的 有效性，并对系统稳定性进行
定性。
超前校正优点
03
校正后系统带宽增宽，动态性能提高，对高频噪声有抑制作用。
滞后校正
滞后校正网络
采用RC电路构成的滞后网络，降低系统高频部分的增益，提高 相位裕量。
滞后校正原理
通过牺牲系统带宽来换取更大的相位裕量，从而提高系统稳定性。
滞后校正优点
对低频段增益影响较小，可保持系统稳态精度，同时有效抑制高 频噪声。
稳态误差分析
通过计算系统的稳态误差来分析系 统的稳定性和精度，包括静态误差 系数法、终值定理法等。
动态性能分析
通过分析系统的动态性能指标（如 调节时间、超调量等）来评估系统 的稳定性，常用的方法有相平面法、 时域响应法等。
频域分析法
奈奎斯特稳定判据

控制系统的稳定性分析与设计

控制系统的稳定性分析与设计

控制系统的稳定性分析与设计控制系统的稳定性是控制工程中最为重要的一个参数之一。

一个稳定的控制系统能够使得系统在经过一定的时间后回到原点，而不会发生不可控的偏差，从而保证控制效果的稳定性和可靠性。

本文将从系统稳定性的原理和方法、设计方法及案例等方面探讨控制系统的稳定性分析与设计。

一、系统稳定性的原理和方法1. 系统稳定性的定义系统稳定性指的是系统在外界干扰或参数变化的作用下，回应输出信号与输入信号之间的关系是否稳定。

即在一定时间内，控制系统确保输出值能够跟随输入值的变化，而不会发生不可控的震荡或失控的情况。

2. 系统稳定性的判据良好的系统稳定性需要满足以下条件：（1）经过一定时间后，系统从任何初始状态转移到平衡状态；（2）平衡状态具有稳定性，即系统在发生一定幅度的干扰时，需要在一定时间内回复到原平衡状态；（3）平衡状态的稳定性受到系统参数变化、外界环境变化等多种因素的影响，但是通过合理的调节和控制，使得系统在变化后仍能保持稳定。

3. 系统稳定性的分析方法（1）指标法：它是利用特定的指标量来描述系统的稳定状态，比如阻尼系数、频率响应等。

（2）相关函数法：它是利用系统的特性函数或者频率响应函数来描述系统的稳定性。

（3）传递函数法：传递函数描述输入信号与输出信号之间的关系，可以通过传递函数的特性分析系统的稳定性。

（4）极点分布法：分析系统的极点分布情况，确定系统的极点位置以及极点位置对系统稳定性的影响。

二、控制系统的稳定性设计方法1. PID控制器的设计方法PID控制器是目前使用最为广泛的控制器，它可以通过调节比例系数、积分系数和微分系数来达到控制系统的稳定性。

在进行PID控制器的设计时，需要进行以下步骤：（1）确定控制系统的传递函数；（2）确定控制系统的目标响应曲线；（3）通过目标响应曲线和传递函数设计出PID控制器；（4）进行仿真或实验验证控制系统的稳定性。

2. 模糊控制器的设计方法模糊控制器是一种基于模糊推理的控制器，它可以通过调节模糊逻辑的输入变量和输出变量来达到不同的控制效果。

自动控制原理课件：线性系统的稳定性和稳态特性分析

设系统处于某一平衡状态，若此系统在干 扰作用下离开了原来的平衡状态，那么，在扰 动消失后，系统能否回到原来的平衡状态，这 就是系统的稳定性问题。
上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到 原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具 有收敛性质，则系统为稳定的。
由此可得到线性系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．
系统给定误差传递函数为
Er (s) R(s)
1 1 G(s)
1
1 K (0.5s 1)
s(s 1)(3s 1)
Er
(s)
s(s
s(s 1)(3s 1) 1)(3s 1) K (0.5s
1)
R(s)
esr
lim
s0
sEr
(s)
lim s
s0
s(s 1)(3s 1)
1
s(s 1)(3s 1) K(0.5s 1) s
3.3 劳斯稳定判据 线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面
的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，
避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统
的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．
１．劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式
下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能 力．
这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不 同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所 带来的误差问题。
控制系统的输入包含给定输入和扰动量， 对应的控制系统的稳态误差也分为两类：
给定稳态误差
扰动稳态误差
Er (s) R(s) B(s) R(s) Er (s)Gc (s)Go (s)H(s)

控制系统稳定性分析

控制系统稳定性分析引言控制系统是一种通过控制输入信号以达到预期输出的系统。

在实际应用中，控制系统的稳定性是非常重要的，因为它直接关系到系统的可靠性和性能。

本文将介绍控制系统稳定性分析的基本概念、稳定性判据以及常见的稳定性分析方法。

基本概念在控制系统中，稳定性是指系统的输出在输入信号发生变化或扰动时，是否能够以某种方式趋向于稳定的状态，而不产生超调或振荡。

在进行稳定性分析之前，我们需要了解几个重要的概念。

稳定性定义对于一个连续时间的线性时不变系统，如果对于任意有界输入信号，系统的输出始终有界，则称该系统是稳定的。

换句话说，稳定系统的输出不会发散或趋向于无穷大。

极点（Pole）系统的极点是指其传递函数分母化简后得到的方程的根。

极点的位置对系统的稳定性有很大的影响，不同的极点位置可能使得系统的稳定性不同。

范围稳定性（Range Stability）当输入信号有界时，系统的输出也保持有界，即系统是范围稳定的。

渐进稳定性（Asymptotic Stability）当输入信号趋向于有界时，系统的输出也趋向于有界，即系统是渐进稳定的。

稳定性判据稳定性判据是用来判断控制系统是否稳定的方法或准则。

常见的稳定性判据有：Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据以及Bode稳定判据。

Routh-Hurwitz判据Routh-Hurwitz稳定性判据是一种基于极点位置的方法。

具体步骤如下：1.根据系统的传递函数确定极点。

2.构造Routh表。

3.根据Routh表的符号判断系统的稳定性。

Nyquist判据Nyquist稳定性判据是一种基于频率响应的方法。

具体步骤如下：1.根据系统的传递函数绘制频率响应曲线。

2.根据频率响应曲线的特征判断系统稳定性。

Bode稳定判据Bode稳定判据是一种基于系统的幅频特性和相频特性的方法。

具体步骤如下：1.根据系统的传递函数绘制Bode图。

2.根据Bode图的特征判断系统稳定性。

稳定性分析方法除了以上的稳定性判据外，还有一些常用的稳定性分析方法可以应用于控制系统的稳定性分析。

控制系统的稳定性和特性课件

挑战
控制系统面临着诸多挑战，如鲁 棒性、可靠性、稳定性等问题， 需要不断进行研究和改进。
控制系统的未来发展趋势和展望
发展趋势
未来控制系统的发展趋势将包括更加智能化、微型化和网络化，同时还将更加 注重节能和环保。
展望
随着技术的不断进步和发展，控制系统将实现更加高级别的自动化和智能化， 同时还将更加注重安全性和可靠性。未来控制系统将在更多领域得到应用，为 人类带来更加便捷、高效、安全的生活和工作环境。
控制系统的性能指标
01
02
03
04
快速性
控制系统应能迅速对输入信号 做出响应，并达到期望的输出。
准确性
控制系统应能精确地跟随输入 信号，并尽量减少误差。
抗干扰性
控制系统应能对外部干扰做出 正确的响应，并保持稳定的输
出。
鲁棒性
控制系统应能在不同的条件下 保持稳定的性能。
控制系统的时域特性
01
02
03
阶跃响应
控制系统对阶跃输入的响 应，用于分析系统的稳定 性和性能。
脉冲响应
控制系统对脉冲输入的响 应，用于分析系统的动态 性能。
频率响应
控制系统对正弦输入的响 应，用于分析系统的频率 特性。
控制系统的频域特性
奈奎斯特图
通过绘制奈奎斯特图可以 分析控制系统的稳定性、 性能和阻尼特性。
伯德图
通过绘制伯德图可以分析 控制系统的频率响应、相 位和增益裕度。
智能控制理论
基于人工智能和优化算法进行系统 设计，方法包括模糊控制、神经网 络控制等。
控制系统的优化方法
解析优化
使用数学解析方法求解控制系统 的最优解，例如使用拉格朗日乘
数法进行约束优化。

稳定性、静态性能和动态性能的分析


朱利稳定判据--——避免直接解根，由D(z)判定系统稳定性。 设闭环系统特征根为：
列朱利矩阵：
行 数 1 2 3 4 5 6 M 2n − 5 2n − 4 2n − 3 2n − 2
D(z) = a0 + a1z + a2 z2 +L+ an zn
z0 a0 an b0 b n −1 c0 cn−2 M p0 p3 q0 q2 z1 a1 a n −1 b1 bn−2 c1 cn−3 M p1 p2 q1 q1 z2 a2 an−2 b2 bn−3 c2 cn−4 M p2 p1 q2 q0 p3 p0 L L L L L L L z
检验稳定性的方法
• 3.1.2 修正的劳斯判据（w变换与劳斯稳定判据的 结合）检验方法：
• 修正的劳斯判据，其基本思想！！ • • • 在Z平面内，劳斯判据是不能直接应用到判定系统的 稳定性中，如果将Z平面再复原到S平面，则系统方程中又 将出现超越函数。 所以我们想法再寻找一种新的变换，使Z平面的单位 圆内映射到一个新的平面的虚轴之左。此新的平面我们称 为W平面，在此平面上，我们就可直接应用劳斯稳定判据 了。
− 792 624
− 39 119 = −792 45 - 117
− 504
系统不稳定
离散系统的稳定性判据 (4)
例3 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。
D( z ) = 0.002 + 0.08 z + 0.4 z 2 − 1.368 z 3 + z 4 = 0 D(1) = 0.002 + 0.08 + 0.4 − 1.368 + 1 = 0.114 > 0 D( −1) = 0.002 − 0.08 + 0.4 + 1.368 + 1 = 2.69 > 0
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再应用劳斯判据判定该系统的稳定性。
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
例2.3-7 试用修正劳斯判据确定例题2.3-6所示系统稳定的K值范围。 解：由例题2.3-6系统的特征方程：
令
பைடு நூலகம்
w +1 ，代入上式得 0.632kw2 + 1.264w + (2.736 − 0.632k ) = 0 z= w− w −1
= eσT0 ，∠ z = T0ω (2.3 −105)
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析—S，Z映射关系：
1）、S平面的坐标原点为Z平面的（1，j0）点； 2）、S平面的虚轴为Z平面上的以原点为圆心单位圆； 从 −ω0 / 2 变化 ω 到 ω0 / 2 时，则在Z平面上映射为第1个单位圆； 每当 ω 增加或减少一个ω 0则映射到Z平面是与第1个单位圆完全重叠 的单位圆；
系统的特征方程无重根时，式（2.3-98）的解为：
y (k ) = ∑ Ai λik
i =1
n
(2.3 − 99)
式中：Ai为由初始条件确定的系数；λi为系统的特征根。
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
齐次方程的通解表征了系统自由运动的情况，通解收敛则系统稳定。由 式
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
2、S平面到Z平面的映射 复变量z和复变量s的变换关系： 式中T0为采样周期，在S平面有
Z的模与相角： z
z = eT0s (2.3−104)
s =σ + jω 由此可得： z = eσ T0 e jωT0
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
3、Z平面上的稳定条件 （1）当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态响应是收敛的，系统 是稳定的。 （2）当闭环极点位于单位圆外时，其对应的暂态响应是发散的，系统 是不稳定的。 （3）当闭环极点位于单位圆上时，其对应的暂态响应是等幅振荡的， 系统是临界稳定的。 稳定性定理： 稳定性定理：数字控制系统闭环特征方程的根均在Z平面的单位圆内则 系统稳定；系统有位于单位圆上或单位圆外的根，则系统发散（不稳 定）。
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析—S，Z映射关系：
3）、S平面的左半平面和右半平面对应为Z平面的单位圆内部和外部区域； 4）、S左半平面的区域
−ω0 / 2 < ω < ω0 / 2 称为主频区。
z=e
T0 s
=e
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T0 σ 1
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
例题2.3-6 讨论如图所示系统的稳定性，其中T0=1s,K=10。 解：
K s ( s + 1)
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
0.632K 2.736-0.632K 1.264 2.736-0.632K
z 2 + (0.632k − 1.368 ) z + 0.368 = 0
劳斯列表： w2 w1 w0
0.632K > 0 系统稳定则劳斯表的第1列均大于零。即： 2.736 − 0.632K > 0
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
线性定常数字控制系统的差分方程描述为：
y (k ) − ∑ ai y (k − i ) = ∑ bi u (k − i )
i =1 i =1
n
n
(2.3 − 97)
对应的齐次方程为：
y (k ) − ∑ ai y (k − i ) = 0
i =1
n
(2.3 − 98)
K 系统的开环脉冲传递函数：G ( s ) = s ( s + 1) 1 1 z z K (1 − e−T0 ) z G( z) = Z[G(s)] = Z[ K ( − )] = K ( − )= −T0 s s +1 z −1 z − e ( z −1)( z − e−T0 )
K (1 − e−T0 ) z = 2 z − (1 + e−T0 )z + e−T0
y (k ) = ∑ Ai λik
i =1
n
(2.3 − 99)
可得结论：线性定常数字控制系统稳定的充要条件是系统的所有特征根 的模均小于1，即：
| λi |< 1(i = 1,2,3, L)
(2.3 − 100)
系统特征方程有重根时，可以得出相同的稳定条件。 |λi|=1时式(2.3-99)不发散，理论上称为临界稳定状态。但在工程上归于 不稳定之列。
S平面与Z平面之间的映射关系：
1.
s = σ + jω , s = 0(S平面原点) ⇒ σ = 0， = 0 ω 影射到Z平面则有：z =esT0 =e 0T0 e 0j = (1, 0j)
2. s = σ + jω , σ = 0(S平面的虚轴) ⇒ σ = 0， = ∞，+∞） ω （ω 影射到Z平面则有：z =esT0 =e 0T0 e j（单位圆）
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
解：（1）先求系统的开环Z传递函数得：
z −1 Tz z z G(z) = K [ − + ] 2 −T z (z −1) z −1 z − e
T z −1 = K( −1+ ) −T z −1 z −e (T −1+ e−T )z + (1− e−T −Te−T ) =K (z −1)(z − e−T )
w +1 令z = ，则有 w −1
∴0 < K < 2.4
3. s = σ + jω , σ < 0(S平面左半侧) ⇒ σ < 0， = ∞，+∞） ω （ω 影射到S平面则有：z =esT0 =eσ T0 e j（模小于1的单位圆内部）
4. s = σ + jω , σ > 0(S平面右半侧) ⇒ σ > 0， = ∞，+∞） ω （ω 影射到S平面则有：z=esT0 =eσ T0 e j（模大于1的单位圆外部）
稳定：在外部作用恒为零的情况下，如果系统对平衡状态有一个初始偏 稳定
移，此后系统的状态总保持在平衡状态附近，则称这个平衡状态是稳定 的。 渐进稳定：如果系统经过充分长时间仍然返回到平衡状态，则称这个平 渐进稳定 衡状态是渐进稳定。
初始偏移
2
平衡位置
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0 1
e
j ω T0
e
T0 σ 1
<1
σ < 0 ⇒ eT σ < 1
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析—S，Z映射关系：
σ和ω成线性关系
8
模e
T0σ
成指数衰减
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
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2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
4、广义Routh稳定性判据（修正劳斯判据） W变换的定义： z = 变换的定义： 的定义
w +1 (2.3 −106) w −1
z +1 由（2.3-106）可得： w = (2.3 −107) z −1 z = x + jy (2.3 −108) z和w均为复变量，可写为： w = u + jv (2.3 −109)
将(2.3-108)(2.3-109)代入（2.3-107）得：
z +1 x +1+ jy (x2 + y2 ) −1 2y w = u + jv = = = −j (2.3 −110) 2 2 2 2 z −1 x −1+ jy (x −1) + y (x −1) + y
14 Ge Sibo,Department of Automation
15 Ge Sibo,Department of Automation
2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
将式（2.3-106）
w +1 z= (2.3 −106) w −1
代入数字控制系统的特征方程得到以w为变量的特征方程:
1 + GF ( z )
w+1 z= w−1
= 0 (2.3 − 111)
① T=1秒时， G(z) =
0.368Kz + 0.264K (z −1)( z − 0.368)
20
Ge Sibo,Department of Automation
2.3 数字控制系统的性能分析—稳定性分析
系统的闭环Z传递函数为：
D(z) = 1+ G(z) = z2 + (0.368K −1.368)z + (0.264K + 0.368) = 0