江苏省响水中学高考数学一轮复习 第3738课时 椭圆(1)学案 文

１．椭圆的定义（１）平面内与两个定点F１，F２的距离的和等于常数（大于|F１F２|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．（２）集合P＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a，c为常数且a>0，c>0．１当２a>|F１F２|时，M点的轨迹为椭圆；２当２a＝|F１F２|时，M点的轨迹为线段F１F２；３当２a<|F１F２|时，M点的轨迹不存在．２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a>b>0）错误!＋错误!＝１（a>b>0）图形性质范围—a≤x≤a—b≤y≤b—b≤x≤b—a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A１（—a,0），A２（a,0），B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a），B１（—b,0），B２（b,0）离心率e＝错误!，且e∈（0,１）a，b，c的关系c２＝a２—b２错误１．点P（x0，y0）和椭圆的位置关系（１）点P（x0，y0）在椭圆内⇔错误!＋错误!＜１．（２）点P（x0，y0）在椭圆上⇔错误!＋错误!＝１．（３）点P（x0，y0）在椭圆外⇔错误!＋错误!＞１．２．焦点三角形如图，椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF１F２叫做焦点三角形．设r１＝|PF１|，r２＝|PF２|，∠F１PF２＝θ，△PF１F２的面积为S，则在椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）中：（１）当r１＝r２时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；（２）S＝b２tan 错误!＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.（３）a—c≤|PF１|≤a＋c.（４）|PF１|＝a＋ex0，|PF２|＝a—ex0.３．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a２＝b２＋c２.４．已知过焦点F１的弦AB，则△ABF２的周长为４a.５．椭圆中点弦的斜率公式若M（x0，y0）是椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有k AB·k OM ＝—错误!，即k AB＝—错误!.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!＝错误!|y１—y２|＝错误!（k为直线的斜率）．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与两个定点F１，F２的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（）（２）椭圆上一点P与两焦点F１，F２构成△PF１F２的周长为２a＋２c（其中a为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距）．（）（３）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（）（４）关于x，y的方程mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆．（）[答案]（１）×（２）√（３）×（４）√二、教材改编１．若F１（—３,0），F２（３,0），点P到F１，F２距离之和为１0，则P点的轨迹方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１A[设点P的坐标为（x，y），因为|PF１|＋|PF２|＝１0>|F１F２|＝6，所以点P的轨迹是以F１，F２为焦点的椭圆，其中a＝５，c＝３，b＝错误!＝４，故点P的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．故选Ａ．]２．设椭圆的两个焦点分别为F１，F２，过点F２作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F１PF２为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２—错误!Ｄ．错误!—１D[法一：设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），依题意，显然有|PF２|＝|F１F２|，则错误!＝２c，即错误!＝２c，即e２＋２e—１＝0，又0<e<１，解得e＝错误!—１．故选Ｄ．法二：因为△F１PF２为等腰直角三角形，所以|PF２|＝|F１F２|＝２c，|PF１|＝２错误!c.因为|PF１|＋|PF|＝２a，所以２错误!c＋２c＝２a，所以e＝错误!＝错误!＝错误!—１．故选Ｄ．]２３．若方程错误!＋错误!＝１表示椭圆，则k的取值范围是．（３,４）∪（４,５）[由已知得错误!解得３＜k＜５且k≠４．]４．已知椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率为错误!，则椭圆的标准方程为．错误!＋错误!＝１[设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0）．因为椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率e＝错误!，所以错误!解得错误!故椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．]第１课时椭圆及其性质考点１椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．（１）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）Ａ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．抛物线Ｄ．圆（２）F１，F２是椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF１F２＝４５°，则△AF１F２的面积为（）Ａ．7 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）A（２）C[（１）由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|（定值）．又|MO|＞|FO|，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选Ａ．（２）由题意得a＝３，b＝错误!，c＝错误!，∴|F１F２|＝２错误!，|AF１|＋|AF２|＝6．∵|AF２|２＝|AF１|２＋|F１F２|２—２|AF１|·|F１F２|cos ４５°＝|AF１|２—４|AF１|＋8，∴（6—|AF１|）２＝|AF１|２—４|AF１|＋8．∴|AF１|＝错误!，∴S△AF１F２＝错误!×错误!×２错误!×错误!＝错误!.]本例（１）应用线段中垂线的性质实现了“|PF|＋|PO|”向定值的转化；本例（２）把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF１|，从而求得△AF１F２的面积．[教师备选例题]设F１，F２分别是椭圆错误!＋错误!＝１的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为（6,４），则|PM|—|PF１|的最小值为．—５[由椭圆的方程可知F２（３,0），由椭圆的定义可得|PF１|＝２a—|PF２|.∴|PM|—|PF１|＝|PM|—（２a—|PF２|）＝|PM|＋|PF２|—２a≥|MF２|—２a，当且仅当M，P，F２三点共线时取得等号，又|MF２|＝错误!＝５,２a＝１0，∴|PM|—|PF１|≥５—１0＝—５，即|PM|—|PF１|的最小值为—５．]已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF１⊥PF２，若△PF１F２的面积为9，则b＝ .３[设|PF１|＝r１，|PF２|＝r２，则错误!所以２r１r２＝（r１＋r２）２—（r错误!＋r错误!）＝４a２—４c２＝４b２，所以S△PF１F２＝错误! r１r２＝b２＝9，所以b＝３．]考点２椭圆的标准方程定义法先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a２，b２的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件２a＞|F１F２|.１．在△ABC中，A（—４,0），B（４,0），△ABC的周长是１8，则顶点C的轨迹方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｂ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｃ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｄ．错误!＋错误!＝１（y≠0）A[由|AC|＋|BC|＝１8—8＝１0＞8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆（A，B，C不共线）．设其方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），则a＝５，c＝４，从而b＝３．由A，B，C不共线知y≠0．故顶点C的轨迹方程是错误!＋错误!＝１（y≠0）．]２．已知两圆C１：（x—４）２＋y２＝１69，C２：（x＋４）２＋y２＝9，动圆在圆C１内部且和圆C１相内切，和圆C２相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１D[设圆M的半径为r，则|MC１|＋|MC２|＝（１３—r）＋（３＋r）＝１6，又|C１C２|＝8＜１6，∴动圆圆心M的轨迹是以C１，C２为焦点的椭圆，且２a＝１6,２c＝8，则a＝8，c＝４，∴b２＝４8，故所求的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．]利用定义法求轨迹方程时，注意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量x或y进行限制．待定系数法利用待定系数法要先定形（焦点位置），再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）的形式．１．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点错误!，（错误!，错误!），则椭圆方程为．错误!＋错误!＝１[设椭圆方程为mx２＋ny２＝１（m，n＞0，m≠n）．由错误!解得m＝错误!，n＝错误!.∴椭圆方程为错误!＋错误!＝１．]２．过点（错误!，—错误!），且与椭圆错误!＋错误!＝１有相同焦点的椭圆的标准方程为．错误!＋错误!＝１[法一：椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（0，—４），（0,４），即c＝４．由椭圆的定义知，２a＝错误!＋错误!，解得a＝２错误!.由c２＝a２—b２可得b２＝４，∴所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．法二：∵所求椭圆与椭圆错误!＋错误!＝１的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c２＝２５—9＝１6．设它的标准方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．∵c２＝１6，且c２＝a２—b２，故a２—b２＝１6．１又点（错误!，—错误!）在所求椭圆上，∴错误!＋错误!＝１，则错误!＋错误!＝１．２由１２得b２＝４，a２＝２0，∴所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．]３．设F１，F２分别是椭圆E：x２＋错误!＝１（0＜b＜１）的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆E 于A，B两点．若|AF１|＝３|F１B|，AF２⊥x轴，则椭圆E的方程为．x２＋错误!y２＝１[不妨设点A在第一象限，如图所示．∵AF２⊥x轴，∴A（c，b２）（其中c２＝１—b２,0＜b＜１，c＞0）．又∵|AF１|＝３|F１B|，∴由错误!＝３错误!得B错误!，代入x２＋错误!＝１得错误!＋错误!＝１．又c２＝１—b２，∴b２＝错误!.故椭圆E的方程为x２＋错误!y２＝１．]（１）已知椭圆上两点，常设方程为mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）；（２）椭圆的通径（过焦点且与长轴垂直的弦）长为错误!.考点３椭圆的几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析．（１）已知椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在x轴上，焦距为４，则m等于（）Ａ．8 Ｂ．7Ｃ．6 Ｄ．５（２）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为．（１）A（２）错误!＋错误!＝１[（１）因为椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在x轴上，所以错误!解得6<m<１0．因为焦距为４，所以c２＝m—２—１0＋m＝４，解得m＝8．（２）椭圆长轴长为6，即２a＝6，得a＝３，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴２c＝错误!×２a＝２，得c＝１，因此，b２＝a２—c２＝9—１＝8，所以此椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．]求离心率的值（或范围）求椭圆的离心率，常见的有三种方法一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为错误!的直线上，△PF１F２为等腰三角形，∠F１F２P＝１２0°，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）椭圆C的两个焦点分别是F１，F２，若C上的点P满足|PF１|＝错误!|F１F２|，则椭圆C的离心率e的取值范围是．（１）D（２）错误![（１）由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F１F２|＝２c，∵△PF １F２为等腰三角形，且∠F１F２P＝１２0°，∴|PF２|＝|F１F２|＝２c.∵|OF２|＝c，∴点P坐标为（c＋２c cos 60°，２c sin 60°），即点P（２c，错误!c）．∵点P在过点A，且斜率为错误!的直线上，∴错误!＝错误!，解得错误!＝错误!，∴e＝错误!，故选Ｄ．（２）因为椭圆C上的点P满足|PF１|＝错误!|F１F２|，所以|PF１|＝错误!×２c＝３c.由a—c≤|PF１|≤a＋c，解得错误!≤错误!≤错误!. 所以椭圆C的离心率e的取值范围是错误!.]本例（２）在求解时运用了隐含条件“a—c≤|PF１|≤a＋c”．特别地，在求与椭圆的相关量的范围时，要注意经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．１．（２0１9·昌平二模）嫦娥四号月球探测器于１２月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.１２日下午４点４３分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道３所示，其近月点与月球表面距离为１00公里，远月点与月球表面距离为４00公里．已知月球的直径为３４76公里，则该椭圆形轨道的离心率约为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[如图，F为月球的球心，月球半径为：错误!×３４76＝１7３8，依题意，|AF|＝１00＋１7３8＝１8３8，|BF|＝４00＋１7３8＝２１３8．∴２a＝１8３8＋２１３8，即a＝１988，∴a＋c＝２１３8, c＝２１３8—１988＝１５0，故椭圆的离心率为：e＝错误!＝错误!≈错误!，选Ｂ．]２．已知F１，F２是椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF１⊥PF２，则该椭圆的离心率的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[∵F１，F２是椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右两个焦点，∴0<e<１，F１（—c,0），F（c,0），c２＝a２—b２.设点P（x，y），由PF１⊥PF２，得（x＋c，y）·（x—c，y）＝0，化简得x２＋y ２２＝c２.联立方程组错误!整理得，x２＝（２c２—a２）·错误!≥0，解得e≥错误!.又0<e<１，∴错误!≤e<１．]与椭圆性质有关的最值或范围问题与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法（１）利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．（２）利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．（３）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．（１）（２0１7·全国卷Ⅰ）设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝１长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝１２0°，则m的取值范围是（）Ａ．（0,１]∪[9，＋∞）Ｂ．（0，错误!]∪[9，＋∞）Ｃ．（0,１]∪[４，＋∞）Ｄ．（0，错误!]∪[４，＋∞）（２）（２0１9·烟台模拟）若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝１的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则错误!·错误!的最大值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．6 Ｄ．8（１）A（２）C[（１）由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．１如图１，当焦点在x轴，即m＜３时，a＝错误!，b＝错误!，tan α＝错误!≥tan 60°＝错误!，∴0＜m≤１．图１图２２如图２，当焦点在y轴，即m＞３时，a＝错误!，b＝错误!，tan α＝错误!≥tan 60°＝错误!，∴m≥9．综上，m的取值范围（0,１]∪[9，＋∞），故选Ａ．（２）由题意知，O（0,0），F（—１,0），设P（x，y），则错误!＝（x，y），错误!＝（x＋１，y），∴错误!·错误!＝x（x＋１）＋y２＝x２＋y２＋x.又∵错误!＋错误!＝１，∴y２＝３—错误!x２，∴错误!·错误!＝错误!x２＋x＋３＝错误!（x＋２）２＋２．∵—２≤x≤２，∴当x＝２时，错误!·错误!有最大值6．]本例（１）的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点可以迅速求出此种情形下的椭圆离心率，然后数形结合求解；本例（２）的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x（y）的有界性解模的思路．[教师备选例题]１．（２0１9·深圳模拟）设椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，P 是C上的点，PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝３0°，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[法一：（直接法）如图，在Rt△PF２F１中，∠PF１F２＝３0°，|F１F２|＝２c，∴|PF１|＝错误!＝错误!，|PF２|＝２c·tan ３0°＝错误!.∵|PF１|＋|PF２|＝２a，即错误!＋错误!＝２a，可得错误!c＝a.∴e＝错误!＝错误!.法二：（特殊值法）在Rt△PF２F１中，令|PF２|＝１，∵∠PF１F２＝３0°，∴|PF１|＝２，|F１F２|＝错误!.∴e＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｄ．]２．如图，焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则错误!·错误!的最大值为．４[由题意知a＝２，因为e＝错误!＝错误!，所以c＝１，b２＝a２—c２＝３．故椭圆方程为错误!＋错误!＝１．设P点坐标为（x0，y0）．所以—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.因为F（—１,0），A（２,0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），所以错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２.则当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．]３．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>c>0，a２＝b２＋c２）的左、右焦点分别为F１，F２，若以F为圆心，b—c为半径作圆F２，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于错误!２（a—c），则椭圆的离心率e的取值范围是．错误![因为|PT|＝错误!（b>c），而|PF２|的最小值为a—c，所以|PT|的最小值为错误!.依题意，有错误!≥错误!（a—c），所以（a—c）２≥４（b—c）２，所以a—c≥２（b—c），所以a＋c≥２b，所以（a＋c）２≥４（a２—c２），所以５c２＋２ac—３a２≥0，所以５e２＋２e—３≥0．１又b>c，所以b２>c２，所以a２—c２>c２，所以２e２<１．２联立１２，得错误!≤e<错误!.]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为１，则椭圆长轴长的最小值为（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．２错误!D[设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以错误!×２cb＝１，bc＝１，而２a＝２错误!≥２错误!＝２错误!（当且仅当b＝c＝１时取等号）．即长轴长２a的最小值为２错误!.]。

圆锥曲线与方程椭圆1．椭圆定义：一个动点P ，平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数（21PF PF +=2a （a 为常数）2a ＞21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．⑴若2a ＞21F F ，则动点P 的轨迹是椭圆⑵若2a =21F F ，则动点P 的轨迹是线段F 1F 2 ⑶若2a ＜21F F ，则动点P 无轨迹 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。

常数叫做离心率。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)10(<<e e 的点的轨迹。

2．椭圆的标准方程：焦点在x 轴上时，方程为)0(12222>>=+b a b y a x 焦点)0,(1c F -)0,(2c F焦点在y 轴上时，方程为)0(12222>>=+b a b x a y 焦点),0(1c F -),0(2c F 注:222b a c -=椭圆的一般方程：),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+参数方程 ⎩⎨⎧==θθθ(sin cos b y a x为参数) 3．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的性质：(1)范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤- (2)对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称 (3)顶点坐标、焦点坐标是)0(，c ±(4)长轴长2a 、短轴长2b 、焦距2c 、长半轴a 、短半轴b 、半焦距c(5)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的，准线方程是c a x 2±=，准线到中心的距离为2a c .通径的长是a b 22， 通径的一半(半通径)：2b a， 焦准距（焦点到对应准线的距离）c b 2．(6)离心率O F B ab ac a c e 222222cos 1∠=-===，离心率越大，椭圆越扁 (7)焦半径：若点),(00y x P 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点，21F F 、是其左、右焦点，焦半径的长：0201)(ex a c a x e PF +=+=和0202)(ex a ca x e PF -=-=． 4．椭圆的的内外部：（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+< （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+> 5．椭圆系方程：与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆系方程可设为：是12222=+++λλb y a x （02>+λb ）．与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆系方程可设为：λ=+2222b y a x 或λ=+2222bx a y .补充性质：1.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.2.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.6.AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

江苏省响水中学高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》关于椭圆的离心率问题导学案苏教版选修1-1一、直接求出a ，c 或a ，b 从而求出e1、已知矩形AB CD,AB=4，BC=3以A,B 为焦点的椭圆过C,D 两点，则椭圆的离心率为2、若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>短轴端点为P 满足12PF PF ⊥， 则椭圆的离心率为 3、已知121(,0)m n m n +=>，则当mn 取得最小值时， 椭圆22221x y m n +=的离心率为4、椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个顶点A(a ，0)、B （0，b ）若右焦点F 到AB 的距离为12AF 则椭圆的离心率为 5、椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点A,B,C,D 若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点则椭圆的离心率为6、椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2，以O 为圆心a 为半径作圆，过点2(,0)a c 作圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为二、构造a ，c 的齐次式，解出e 1、以椭圆的右焦点2F 为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M,N 两点椭圆的左焦点为1F ，直线1MF 与圆相切，则椭圆的离心率为2、已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若2ABF ∆是正三角形，则椭圆的离心率为3、设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为12,F F ， 若椭圆上存在点Q 使得012120FQF ∠=,则椭圆的离心率为4、在三角形ABC 中AB=BC,7cos 18B =-，若以A,B 为焦点的椭圆过点C ，则该椭圆的离心率为 5、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为12,F F ，若椭圆上存在点P 使得1221sin sin a c PF F PF F =∠∠,则该椭圆的离心率的取值范围是 6、设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为A ，若椭圆上存在点P 使090=∠OPA ,则椭圆的离心率的取值范围是。

高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案学案1椭圆导学目标：1了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理1．椭圆的概念在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{||F1|＋|F2|＝2a}，|F1F2|＝2，其中a&gt;0，&gt;0，且a，为常数：(1)若________，则集合P为椭圆；(2)若________，则集合P为线段；(3)若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋2b2＝1(a&gt;b&gt;0)2a2＋x2b2＝1(a&gt;b&gt;0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤≤b－b≤x≤b－a≤≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2离心率e＝a∈(0,1)a，b，的关系2＝a2－b2自我检测1．已知△AB的顶点B、在椭圆x23＋2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在B边上，则△AB的周长是() A．23 B．6 ．43 D．122．(2011&#8226;揭阳调研)“&gt;n&gt;0”是方程“x2＋n2＝1表示焦点在轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条B．必要而不充分条．充要条D．既不充分也不必要条3．已知椭圆x2sin α－2s α＝1 (0≤α&lt;2π)的焦点在轴上，则α的取值范围是()A3π4，π Bπ4，3π4π2，π Dπ2，3π44．椭圆x212＋23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在轴上，那么|PF1|是|PF2|的()A．7倍B．倍．4倍D．3倍．(2011&#8226;开封模拟)椭圆x2＋2＝的一个焦点是(0,2)，那么等于()A．－1 B．1 D．－探究点一椭圆的定义及应用例1 (教材改编)一动圆与已知圆1：(x＋3)2＋2＝1外切，与圆2：(x－3)2＋2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式迁移1求过点A(2,0)且与圆x2＋4x＋2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．探究点二求椭圆的标准方程例2 求满足下列各条的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；(2)经过两点A(0,2)和B12，3变式迁移2(1)已知椭圆过(3,0)，离心率e＝63，求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)、P2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．探究点三椭圆的几何性质例3 (2011&#8226;安阳模拟)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式迁移3已知椭圆x2a2＋2b2＝1(a&gt;b&gt;0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．方程思想的应用例(12分)(2011&#8226;北京朝阳区模拟)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为12，且经过点(1，32)，过点P(2,1)的直线l 与椭圆相交于不同的两点A，B(1)求椭圆的方程；(2)是否存在直线l，满足PA→&#8226;PB→＝P→2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答题模板】解(1)设椭圆的方程为x2a2＋2b2＝1(a&gt;b&gt;0)，由题意得1a2＋94b2＝1，a＝12，a2＝b2＋2解得a2＝4，b2＝3故椭圆的方程为x24＋23＝1[4分](2)若存在直线l满足条，由题意可设直线l的方程为＝(x－2)＋1，由x24＋23＝1，＝&#61480;x－2&#61481;＋1，得(3＋42)x2－8(2－1)x＋162－16－8＝0[6分]因为直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，1)，(x2，2)，所以Δ＝[－8(2－1)]2－4&#8226;(3＋42)&#8226;(162－16－8)&gt;0 整理得32(6＋3)&gt;0，解得&gt;－12[7分]又x1＋x2＝8&#61480;2－1&#61481;3＋42，x1x2＝162－16－83＋42，且PA→&#8226;PB→＝P→2，即(x1－2)(x2－2)＋(1－1)(2－1)＝4，所以(x1－2)(x2－2)(1＋2)＝4，即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋2)＝4[9分]所以[162－16－83＋42－2×8&#61480;2－1&#61481;3＋42＋4](1＋2)＝4＋423＋42＝4，解得＝±12[11分]所以＝12于是存在直线l满足条，其方程为＝12x[12分]【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条，它可以用检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．1．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x2＋2n＝1 (&gt;0，n&gt;0且≠n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋B2＝1 (A&gt;0，B&gt;0且A≠B)，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．(满分：7分)一、选择题(每小题分，共2分)1．(2011&#8226;温州模拟)若△AB的两个顶点坐标分别为A(－4,0)、B(4,0)，△AB的周长为18，则顶点的轨迹方程为()Ax22＋29＝1 (≠0) B22＋x29＝1 (≠0)x216＋29＝1 (≠0) D216＋x29＝1 (≠0)2．已知椭圆x210－＋2－2＝1，长轴在轴上，若焦距为4，则等于() A．4 B．．7 D．83．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是()A32 B22 2－1 D24．(2011&#8226;天门期末)已知圆(x＋2)2＋2＝36的圆心为，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交A于点P，则动点P 的轨迹是()A．圆B．椭圆．双曲线D．抛物线．椭圆x22＋29＝1上一点到焦点F1的距离为2，N是F1的中点，则|N|等于()A．2 B．4 ．8 D32二、填空题(每小题4分，共12分)6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．7．(2011&#8226;唐调研)椭圆x29＋22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．8如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋2b2＝1 (a&gt;b&gt;0)上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率是______．三、解答题(共38分)9．(12分)已知方向向量为v＝(1，3)的直线l过点(0，－23)和椭圆：x2a2＋2b2＝1(a&gt;b&gt;0)的右焦点，且椭圆的离心率为63(1)求椭圆的方程；(2)若已知点D(3,0)，点，N是椭圆上不重合的两点，且D→＝λDN→，求实数λ的取值范围．10．(12分)(2011&#8226;烟台模拟)椭圆ax2＋b2＝1与直线x＋－1＝0相交于A，B两点，是AB的中点，若|AB|＝22，的斜率为22，求椭圆的方程．11．(14分)(2010&#8226;福建)已知中心在坐标原点的椭圆经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．(1)求椭圆的方程．(2)是否存在平行于A的直线l，使得直线l与椭圆有公共点，且直线A与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．学案1椭圆自主梳理1．椭圆焦点焦距(1)a&gt;(2)a＝(3)a&lt;自我检测1．23D4A B堂活动区例1 解如图所示，设动圆的圆心为，半径为r则由圆相切的性质知，|1|＝1＋r，|2|＝9－r，∴|1|＋|2|＝10，而|12|＝6，∴点的轨迹是以1、2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2＝6，b＝4∴动圆圆心的轨迹方程为x22＋216＝1变式迁移1解将圆的方程化为标准形式为：(x＋2)2＋2＝62，圆心B(－2,0)，r＝6设动圆圆心的坐标为(x，)，动圆与已知圆的切点为则|B|－||＝|B|，而|B|＝6，∴|B|＋||＝6又||＝|A|，∴|B|＋|A|＝6&gt;|AB|＝4∴点的轨迹是以点B(－2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB中点(0,0)为中心的椭圆．a＝3，＝2，b＝∴所求轨迹方程为x29＋2＝1例 2 解题导引确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条(即确定焦点的位置)和两个定形条(即确定a，b的大小)．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x2a2＋2b2＝1 (a&gt;b&gt;0)或2a2＋x2b2＝1 (a&gt;b&gt;0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为x2＋n2＝1 (&gt;0，n&gt;0，且≠n)．解(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋2b2＝1 (a&gt;b&gt;0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，∴a＝3，又2a＝3&#8226;2b，∴b＝1，∴方程为x29＋2＝1若椭圆的焦点在轴上，设方程为2a2＋x2b2＝1 (a&gt;b&gt;0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9b2＝1，∴b＝3，又2a＝3&#8226;2b，∴a＝9，∴方程为281＋x29＝1综上可知椭圆的方程为x29＋2＝1或281＋x29＝1。