高中数学坐标系

第1讲 坐标系1.在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标. 解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.2.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， ∴ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4. (2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，直线l 的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).3.在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程. 解 以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，且圆心为(1，0).直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心(1，0)关于y ＝x 的对称点为(0，1)，所以圆(x －1)2＋y 2＝1关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1.所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ. 4.在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，半径r ＝3.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ →＝2QP →，求动点P 的轨迹方程.解 (1)设M (ρ，θ)是圆C 上任意一点.在△OCM 中，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π3，由余弦定理得|CM |2＝|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，化简得ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.(2)设点Q (ρ1，θ1)，P (ρ，θ)， 由OQ →＝2QP →，得OQ →＝23OP →， ∴ρ1＝23ρ，θ1＝θ， 代入圆C 的方程，得23ρ＝6cos⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ＝9cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3. 5.(2015·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)， 其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α). 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.6.(2017·唐山质检)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离. 解 (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3. ∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32.曲线C 2化为x 26＋y 22＝1(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6. ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ.(2)∵M (3，0)，N (0，1)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6.把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin2θ，得ρ2＝2，Q⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.。

4.3 空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、空间直角坐标系中点的坐标1．空间中的任意点与有序实数组(),,x y z之间的关系如图所示，设点M为空间直角坐标系中的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R．设点P、Q和R在x轴，y轴和z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就和有序实数组（x，y，z）是一一对应的关系，有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M纵坐标，z叫做点M的竖坐标．2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标 3．空间直角坐标系中的对称点设点P （a ，b ，c ）为空间直角坐标系中的点，则三、空间两点间的距离公式如图，设点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 是空间中任意两点，且点11112222(,,),(,,)P x y z Px y z 在xOy 平面上的射影分别为M ，N ，那么M ，N 的坐标分别为1122(,,0),(,,0)M x y N x y ．在xOy 平面上，||MN = 在平面21MNP P 内，过点1P 作2P N 的垂线，垂足为H ，则11122||||,||||,||||PH MN MP z MP z ===，所以221||||HP z z =-．在12Rt △PHP 中，1||||PH MN == 根据勾股定理，得12||PP ==．因此，空间中点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2）之间的距离是12||PP =特别地，点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离为|OP |空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算． 空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22．1．确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P 的坐标的步骤是：①过P 作PC ⊥z 轴于点C ；②过P 作PM ⊥平面xOy 于点M ，过M 作MA ⊥x 轴于点A ，过M 作MB ⊥y 轴于点B ；③设P （x ，y ，z ），则|x |＝|OA |，|y |＝|OB |，|z |＝|OC |．当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的正半轴上时，则x 、y 、z 的符号为正；当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的负半轴上时，则x 、y 、z 的符号为负；当点A 、B 、C 与原点重合时，则x 、y 、z 的值均为0．空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的．【例1】如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．【名师点睛】空间中点P 坐标的确定方法 （1）由P 点分别作垂直于x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴、z 轴于点P x 、P y ，P z ，这三个点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，那么点P 的坐标就是(x ，y ，z )．（2）若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P 在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．【例2】如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，|AD|=3，|DC|=4，|DD 1|=2，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1，E ，F 的坐标．【例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,BB D B 的中点，棱长为1． 试建立适当的空间直角坐标系，写出点,E F 的坐标．【解析】建立如图所示坐标系．方法一：E 点在xDy 面上的射影为,1,()1,0B B ，竖坐标为12．所以1(1,1,)2E ．F 在xDy 面上的射影为BD 的中点G ，竖坐标为1．所以11(,,1)22F ． 方法二：11,()1,1B ，10,()0,1D ，()1,1,0B ，E 为1B B 的中点，F 为11B D 的中点．故E 点的坐标为111110(,,)222+++即1(1,1,)2，F 点的坐标为101011(,,)222+++，即11(,,1)22． 2．求空间对称点的坐标求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决．如关于横轴（x 轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．【例4】设点是直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为( A )A ．B ．C ．D ． 【例5】空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标为( C ) A ．B ．C ．D ．【名师点睛】（1）求空间对称点的规律方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．（2）空间直角坐标系中，任一点P (x ，y ，z )的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P 1（－x ，－y ，－z ）；②关于x 轴（横轴）对称的点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ）；③关于y 轴（纵轴）对称的点的坐标是P 3（－x ，y ，－z ）；④关于z 轴（竖轴）对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，z ）；⑤关于xOy 坐标平面对称的点的坐标是P 5（x ，y ，－z ）；⑥关于yOz 坐标平面对称的点的坐标是P 6（－x ，y ，z ）；⑦关于xOz 坐标平面对称的点的坐标是P 7（x ，－y ，z ）．（3）点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则AB 的中点P 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++．3．空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度．【例6】已知点()3,2,1M ，()1,0,5N ，求：（1）线段MN 的长度；（2）到,M N 两点的距离相等的点(),,P x y z 的坐标满足的条件．【例7】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P 是正方体的体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上．当2|C1Q|=|QC|时，求|PQ|．【例8】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|=|AB|=2，|BC|=2，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．∵|AP|=|AB|=2，|BC|=2，四边形ABCD是矩形，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），∴|PB|==2，∴|PB|=|BC|，又F为PC的中点，∴PC⊥BF．【例9】如图，已知正方体ABCD -A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a . 根据空间两点间的距离公式，可得|MN |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－3a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＝64a . 【名师点睛】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．4．混淆平面与空间直角坐标系【例10】已知空间中两点(3,1,1)(2,2,3)A B ---、，在z 轴上有一点C ，它到A B 、两点的距离相等，求点C 的坐标．【错解】由已知得，AB 的中点坐标为51(,,2)22-，且AB 所在直线的斜率为3，故AB 的垂直平分线的斜率为13-，则垂直平分线的方程为15112()()3232z x y -=-+--， 当0x y ==时，43z =，故点C 的坐标为4(0,0,)3． 【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误．由于点C 到A B 、两点的距离相等，故可求AB 的垂直平分线．以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解．【正解】设点C 的坐标为(0,0,)z ，则=，即2210(1)3()8z z +-=+-，解得32z =，所以点C 的坐标为3(0,0,)2． 基础训练1．在空间直角坐标系中，点P （1，2，3）关于x 轴对称的点的坐标为（ B ）A ．（－1，2，3）B ．（1，－2，－3）C ．（－1，－2，3）D ．（－1，2，－3）2．在空间直角坐标系中，点P （3，4，5）关于yOz 平面对称的点的坐标为（ A ）A ．（－3，4，5）B ．（－3，－4，5）C ．（3，－4，－5）D ．（－3，4，－5）3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为（ D ）A ．（2，2，1）B ．（2，2，23）C ．（2，2，13）D ．（2，2，43） 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D （0，0，0）、A （4，0，0）、B （4，2，0）、A 1（4，0，3），则对角线AC 1的长为（ B ）A ．9B ．29C ．5D ．2 65．已知点A （1，a ，－5），B （2a ，－7，－2）（a ∈R ）则|AB |的最小值是（ B ）A ．3 3B ．3 6C ．2 3D ．2 66．点（2，0，3）在空间直角坐标系中的（ C ）A ．y 轴上B ．xOy 面上C ．xOz 面上D ．第一象限内7．在空间直角坐标系中，已知点P （1，2，3），过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为（ B ）A ．（0，2，0）B ．（0，2，3）C ．（1，0，3）D ．（1，0，0）8．如图所示，在长方体ABCO －A 1B 1C 1O 1中，OA ＝1，OC ＝2，OO 1＝3，A 1C 1与B 1O 1交于P ，分别写出A ，B ，C ，O ，A 1，B 1，C 1，O 1，P 的坐标．9．（1）已知A （1，2，－1），B （2，0，2），①在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |；②在xOz 平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点轨迹．（2）在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小．（1）①设P （a ，0，0），则由已知得222(1)(2)1a -+-+＝2(2)4a -+，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P 点坐标为（1，0，0）．②设M （x ，0，z ），则有222(1)(2)(1)x z -+-++＝22(2)(2)x z -+-，整理得2x ＋6z －2＝0，即x ＋3z －1＝0．故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线．（2）由已知，可设M （x ，1－x ，0），则|MN |＝222(6)(15)(01)x x -+--+-＝22(1)51x -+．所以当x ＝1时，|MN |min ＝51，此时点M （1，0，0）．能力10．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（ A ）A ．62B ． 3C ．32D ．6311．已知A 点坐标为（1，1，1），B （3，3，3），点P 在x 轴上，且|PA |＝|PB |，则P 点坐标为（ A ）A ．（6，0，0）B ．（6，0，1）C ．（0，0，6）D ．（0，6，0）12．已知M （5，3，－2），N （1，－1，0），则点M 关于点N 的对称点P 的坐标为（－3，－5，2）．13．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为（3，－1，2），其中心M的坐标为（0，1，2），则该正方体的棱长等于_2393_． 14．如图所示，正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动．若|CM |＝|BN |＝a （0<a <2）．（1）求MN 的长度；（2）当a 为何值时，MN 的长度最短？因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系．因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上， 所以点M （22a ，0，1－22a ）．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ，所以点N （22a ，22a ，0）． （1（2）由（1），得|当a ＝22（满足0<a 即MN 15．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 在线段BC 1上，且|BM |＝2|MC 1|，N 是线段D 1M 的中点，求点M ，N 的坐标．16．如图所示，V -ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E ，F 分别为BC ，CD 的中点．已知|AB |＝2，|VO |＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．∵底面是边长为2的正方形，∴|CE |＝|CF |＝1．∵O 点是坐标原点，∴C （1，1，0）， 同样的方法可以确定B （1，－1，0），A （－1，－1，0），D （－1，1，0）．∵V 在z 轴上，∴V （0，0，3）．17．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz ．（1）若点P 在线段BD 1上，且满足3|BP |＝|BD 1|，试写出点P 的坐标，并写出P 关于y 轴的对称点P ′的坐标；（2）在线段C 1D 上找一点M ，使点M 到点P 的距离最小，求出点M 的坐标．（1）由题意知P 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，23，13，P 关于y 轴的对称点P ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，23，－13． （2）设线段C 1D 上一点M 的坐标为（0，m ，m ），则有|MP |＝⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫m －232＋⎝⎛⎭⎫m －132＝2m 2－2m ＋1＝2⎝⎛⎭⎫m －122＋12． 当m ＝12时，|MP |取得最小值22，所以点M 为⎝⎛⎭⎫0，12，12． 18．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长都为2，侧棱AA 1⊥底面ABC ，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．19．如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为（4，3，2），则1AC 的坐标是（﹣4，3，2）．。

高中数学中的坐标系与平移变换在高中数学中，坐标系和平移变换是两个非常重要的概念。

坐标系是一种表示点在平面上位置的方式，而平移变换则是一种改变点位置的操作。

本文将对这两个概念进行详细讨论。

一、坐标系的基本概念1. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，由两条垂直的直线（通常称为x轴和y轴）交叉而成。

通过定义一个原点和单位长度，我们可以用有序数对(x, y)来表示平面上的任意一点。

2. 极坐标系极坐标系使用径向距离和极角来描述点的位置。

其中，径向距离表示点到原点的距离，极角则表示点与正向x轴之间的夹角。

3. 其他坐标系此外，还有柱面坐标系、球面坐标系等其他不同形式的坐标系，它们在特定的数学领域和物理领域中具有重要的应用。

二、平移变换的基本原理在数学中，平移是一种将图形沿着指定方向移动的变换方式。

它通过将所有点的坐标值分别增加或减少一个常数来实现。

平移变换的基本原理如下：1. 平移向量平移变换通过一个平移向量来描述移动的方向和距离。

平移向量由两个分量组成，分别表示在x轴和y轴上的移动距离。

2. 平移的公式设点P(x, y)进行平移变换，平移向量为(a, b)，则点P'的坐标可以表示为：P'(x', y') = P(x+a, y+b)三、坐标系与平移变换的关系坐标系与平移变换密切相关，它们之间的关系主要体现在以下几个方面：1. 坐标系对平移变换的作用坐标系为平移变换提供了基础。

在直角坐标系中，通过改变点的坐标值，可以实现平移变换。

而在极坐标系中，则需要通过改变径向距离和极角来实现平移。

2. 平移变换对坐标系的作用平移变换改变了图形中每个点的位置，从而影响了坐标系的布局。

在平移变换之后，原有的坐标系会随之发生改变，因此我们需要根据新的图形位置重新确定坐标系。

3. 坐标系和平移变换的综合应用在几何图形的研究中，我们经常会用到坐标系和平移变换。

通过在坐标系中进行平移变换，我们可以研究图形的性质、计算图形的参数等。

1.坐标系
教学目标班级______姓名_________
1.了解常见的坐标系.
2.了解坐标法，并能运用解决相关问题.
教学过程
一、知识要点.
1.坐标系：坐标系是联系几何与代数的桥梁；是数形结合的有力工具；利用坐标系可以使数与形相互转化.
2.常用坐标系：①数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系；②极坐标系（重点）、柱坐标系、球坐标系.
3.坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的坐标法.
二、例题分析.
1.运用坐标法解决实际问题.
例1：某信息中心O接到位于正西、正北、正东方向三个观测点A、B、C的报告：A、B 两个观测点同时听到一声巨响，C观测点听到巨响声的时间比它们晚4s. 已知各观测点到信息中心的距离都是1020m. 试确定巨响发生的位置.（假设声音传播速度为340m/s，各观测点均在同一平面上）
练1：已知ABC ∆的三边a ，b ，c 满足2225a c b =+，BE ，CF 分别是边AC ，AB 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.
作业：1.两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹.
2.已知点A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，已知4||=BC ，点A 到直线l 的距离为3，求ABC ∆外心的轨迹方程.。

高中数学中的直角坐标系直角坐标系是高中数学中的基础概念，也是解决复杂几何问题的重要工具。

它由x轴、y轴和原点组成，为我们提供了一种直观的方式来描述和分析二维几何关系。

在本文中，我们将介绍直角坐标系的定义、性质和应用。

一、直角坐标系的定义与构成直角坐标系是由水平的x轴和竖直的y轴共同构成的，它们相交于原点O，如下图所示：（插入直角坐标系示意图）在直角坐标系中，我们可以将平面上的点用有序数对(x, y)来表示。

其中，x表示点在x轴上的水平位置，y表示点在y轴上的竖直位置。

例如，点A的坐标是(3, 2)，表示它距离x轴的水平距离为3个单位，距离y轴的竖直距离为2个单位。

二、直角坐标系的性质直角坐标系具有以下性质：1. 坐标轴的方向：x轴从左到右表示正方向，y轴从下到上表示正方向。

2. 原点：原点O的坐标为(0, 0)。

3. 坐标轴的单位：坐标轴上的单位长度可任意选择，通常以1单位长度来划分坐标轴。

4. 象限：直角坐标系将平面分为4个象限，如下图所示：（插入直角坐标系四个象限示意图）在第一象限中，x和y都是正数；在第二象限中，x为负数，而y为正数；在第三象限中，x和y都是负数；在第四象限中，x为正数，而y为负数。

5. 对称性：关于坐标轴的对称性是直角坐标系的重要特征，例如，点(-3, 4)和点(3, -4)关于x轴对称。

三、直角坐标系的应用直角坐标系在高中数学中被广泛应用于解决几何问题和函数图像的分析。

以下是直角坐标系的几个重要应用：1. 几何问题：通过直角坐标系，我们可以方便地描述和计算几何图形的性质。

例如，我们可以通过计算两点之间的距离和角度来解决线段、三角形和多边形的问题。

2. 坐标表示：在直角坐标系中，每个点都有唯一的坐标表示，这样就能够将几何关系转化为代数问题进行分析和计算。

3. 函数图像：直角坐标系在函数图像的表示和分析中发挥着重要作用。

通过将函数的定义域和值域映射到直角坐标系中，我们可以绘制函数图像，并进一步分析函数的性质。

高中数学坐标系与参数方程数学中的坐标系与参数方程是高中数学中的重要概念和工具。

坐标系是一种用于描述和定位点的系统，而参数方程是一种利用参数来描述曲线和图形的方程。

本文将详细介绍坐标系和参数方程的概念、性质以及在解决实际问题中的应用。

一、坐标系坐标系是一种用于描述和定位点的系统。

常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和空间坐标系等。

其中，直角坐标系是最常用的一种坐标系。

1. 直角坐标系直角坐标系又称笛卡尔坐标系，由两个相互垂直的数轴组成，分别为x轴和y轴。

通过给每个点分配一个唯一的有序数对(x, y)，可以精确定位平面上的任意一点。

2. 极坐标系极坐标系以原点O和极轴作为基准，通过极径r和极角θ来描述平面上的点。

其中，极径r表示原点O到点P的距离，极角θ表示OP 与极轴的正向夹角。

3. 空间坐标系空间坐标系用于描述三维空间中的点。

最常用的空间坐标系是直角坐标系，由三条相互垂直的坐标轴x、y和z组成。

二、参数方程参数方程是一种利用参数来描述曲线、图形或曲面的方程。

通过引入参数，可以更方便地描述和分析不同类型的曲线和图形。

1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，一般使用参数t来描述。

平面曲线的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别是x和y关于参数t的函数。

2. 三维空间曲线的参数方程对于三维空间曲线，常用的参数方程形式为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)。

通过给定的参数值t，可以确定空间曲线上的每个点的坐标。

3. 曲面的参数方程曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中u 和v是两个参数。

通过给定不同的参数值，可以得到曲面上的各个点的坐标。

三、坐标系和参数方程的应用坐标系和参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在几何和解析几何中的问题求解过程中起到关键作用。

以下是坐标系和参数方程在实际问题中的应用示例。

1. 几何图形分析通过在直角坐标系或极坐标系中表示几何图形的方程，可以对其进行分析和研究。

高中数学空间坐标系知识点总结高中数学空间坐标系定义：各轴之间的顺序要求符合右手法则，即以右手握住Z轴，让右手的四指从X轴的正向以90度的直角转向Y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是Z轴的正向。

这样的三个坐标轴构成的坐标系称为右手空间直角坐标系。

与之相对应的是左手空间直角坐标系。

一般在数学中更常用右手空间直角坐标系，在其他学科方面因应用方便而异。

三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面，称为坐标面。

它们是：由X轴及Y轴所确定的0Y平面；y轴与z轴所确定的y0z平面；z轴与×轴所确定的y0x平面。

这三个相互垂直的坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限。

位于X，Y，Z轴的正半轴的卦限称为第一卦限，从第一卦限开始，在OY平面上方的卦限，按逆时针方向依次称为第二，三，四卦限；第一，二，三，四卦限下方的卦限依次称为第五，六，七，八卦限。

高中数学空间坐标系具体概念：以空间一点0为原点，建立三条两两垂直的数轴；X轴，y轴，z 轴，这时建立了空间直角坐标系0xyz，其中点0叫做坐标原点，三条轴统称为坐标轴，由坐标轴确定的平面叫坐标平面。

点公式：空间中两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2），中点P坐标（x1+x2）/2，（y1+y2）/2，（z1+z2）/2。

距离公式：在空间中：设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2+（z1-z2）2表示方法：设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于X、y、z轴的平面，依次交X、y、z轴于点P、Q、R设点P、Q、R在X、y、z轴上的坐标分别为X、y、z，那么就得到与点M对应唯一确定的有序实数组（x，y，z），有序实数组（x，y，z）叫做点M的坐标，记作M（x，y，z），这样就确定了M点的空间坐标了，其中X、y、z 分别叫做点M的横坐标、纵坐标、竖坐标。

一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系,从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的三步骤：第一步：建立适当坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算解决代数问题； 第三步：把代数运算结果翻译成几何结论． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义：设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·x λ＞0y′＝μ·y μ＞0的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换．用坐标法解决几何问题[例1] [思路点拨] 首先在平行四边形ABCD 所在的平面内建立平面直角坐标系,设出点A,B,C,D 的坐标,再依据两点间的距离公式即可证得结论．[证明] 如图,以A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系．设B(a,0),C(b,c),则AC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2,由对称性知D(b －a,c),所以|AB|2＝a 2,|AD|2＝(b －a)2＋c 2,|AC|2＝b2＋c2,|BD|2＝(b－2a)2＋c2,|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab),|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab,所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的规则(1)如果图形有对称中心,选对称中心为原点；(2)如果图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．1．已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,求证：|AC|＝|BD|.证明：取BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立如图所示的直角坐标系．设A(－a,h),B(－b,0),则D(a,h),C(b,0)．∴|AC|＝b＋a2＋h2,|BD|＝a＋b2＋h2.∴|AC|＝|BD|,即等腰梯形ABCD中,|AC|＝|BD|.2．在△ABC中,D是BC边上的任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|,求证：△ABC为等腰三角形．证明：作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示．设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0),因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|,所以由距离公式得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d),即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．因为d－b≠0,所以－b－d＝c－d,即－b＝c,所以O为线段BC的中点．又因为OA ⊥BC,所以|AB|＝|AC|. 所以△ABC 为等腰三角形．用平面直角坐标系解决实际问题[例2] 已知某荒漠上有两个定点A,B,它们相距2 km,现准备在荒漠上围垦一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少；(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A,且与AB 成30°的角,现要对整条水沟进行加固改造,但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造,所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固,问暂不加固的部分有多长．[解] (1)设平行四边形的另两个顶点为C,D,由围墙总长为8 km,得|CA|＋|CB|＝4>|AB|＝2, 由椭圆的定义知,点C 的轨迹是以A,B 为焦点,长轴长2a ＝4,焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点)．以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系(如图所示),则点C 的轨迹方程为x 24＋y23＝1(y≠0)．易知点D 也在此椭圆上,要使平行四边形ACBD 的面积最大,则C,D 为此椭圆短轴的端点,此时,面积S ＝12×23×2＝2 3 km 2.(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y23＝1(y≠0)内,故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长,如图所示． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋1，x 24＋y 23＝1得13x 2＋8x －32＝0,则x 1＋x 2＝－813,x 1x 2＝－3213,那么弦长L ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫332·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8132－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3213＝4813,故暂不加固的部分长为4813km.运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件,使表达式简明,运算简便．因此,要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴．(2)设点——选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程． (3)运算——通过运算,得到所需要的结果．3．已知B 村位于A 村的正西方向1 km 处,原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线l,但在A 村的西北方向400 m 处,发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果,文物管理部门将遗址W 周围100 m 范围划为禁区．试问：埋设地下管线l 的计划需要修改吗？解：建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(－1 000,0),由W 位于A 的西北方向及 |AW|＝400,得W(－2002,2002)．由直线l 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°,得直线l 的方程是x －3y ＋1 000＝0. 于是点W 到直线l 的距离为 |－2002－3×2002＋1 000|2＝100×(5－2－6)≈113.6＞100. 所以埋设地下管线l 的计划可以不修改．4.如图所示,A,B,C 是三个观察站,A 在B 的正东,两地相距6 km,C 在B 的北偏西30°,两地相距4 km,在某一时刻,A 观察站发现某种信号,并知道该信号的传播速度为 1 km/s,4 s 后B,C 两个观察站同时发现这种信号,在以过A,B 两点的直线为x 轴,以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中,指出发出这种信号的P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x,y), 则A(3,0),B(－3,0),C(－5,23)．因为|PB|＝|PC|,所以点P 在BC 的中垂线上． 因为k BC ＝－3,BC 的中点D(－4,3),所以直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．① 又因为|PB|－|PA|＝4,所以点P 必在以A,B 为焦点的双曲线的右支上, 双曲线方程为x 24－y25＝1(x≥2)．②联立①②,解得x ＝8或x ＝－3211(舍去),所以y ＝5 3.所以点P 的坐标为(8,53)．[例3] 伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ，y′＝4y ，曲线C 在此变换下变为椭圆x′2＋y′216＝1,求曲线C的方程．[解] 设P(x,y)为曲线C 上的任意一点．把⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ，y′＝4y代入x′2＋y′216＝1,得x 2＋y 2＝1,故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λxλ＞0，y′＝μyμ＞0注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下,平面直角坐标系保持不变,即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ.5．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y 后的图形所对应的方程．解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x′，y ＝13y′，将其代入4x 2－9y 2＝1,得4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x′2－9·⎝ ⎛⎭⎪⎫13y′2＝1.整理得x′2－y′2＝1.∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x′2－y′2＝1.6．若函数y ＝f(x)的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x′＋π6,求函数y ＝f(x)的最小正周期．解：由题意,把变换公式代入方程y′＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x′＋π6得3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,故f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f(x)的最小正周期为2π2＝π.一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆D ．双曲线解析：选D 由伸缩变换的意义可得．2．在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝5x ，y′＝3y后,曲线C 变为曲线x′2＋y′2＝1,则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝0 B ．25x 2＋9y 2＝1 C ．9x 2＋25y 2＝0D ．9x 2＋25y 2＝1解析：选B 把⎩⎪⎨⎪⎧x′＝5x ，y′＝3y代入方程x′2＋y′2＝1,得25x 2＋9y 2＝1,∴曲线C 的方程为25x 2＋9y2＝1.3．圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y 后所得图形的焦距为( )A ．4B ．213C ．2 5D ．6解析：选C 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′2，y ＝y′3，代入x 2＋y 2＝1,得x′24＋y′29＝1,该方程表示椭圆,∴椭圆的焦距为29－4＝2 5.4．在同一平面直角坐标系中,将曲线y ＝12sin 3x 变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x′y ＝12y′ B.⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x y′＝12yC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3x′y ＝2y′D.⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x y′＝2y解析：选D 设伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λxλ>0，y′＝μy μ>0，则μy＝ sin λx ,即y ＝1μsin λx ,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝2，∴伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝2y.二、填空题5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y 后,曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x′，y ＝13y′，代入y ＝cos x,得13y′＝cos 12x′,即y′＝3cos x′2. 答案：y′＝3cos x′26．将点P(－2,2)变换为P′(－6,1)的伸缩变换公式为________．解析：设伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λxλ>0，y′＝μy μ>0，则⎩⎪⎨⎪⎧－6＝－2λ，1＝2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝12.所以伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝12y.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝12y7．已知f 1(x)＝cos x,f 2(x)＝cos ωx(ω>0),f 2(x)的图象可以看作是把f 1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)而得到的,则ω为________．解析：函数f 2(x)＝cos ωx ,x ∈R(ω>0,ω≠1)的图象可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω(纵坐标不变)而得到的,所以13＝1ω,即ω＝3.答案：3 三、解答题8．在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y′＝13y 后的图形．(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1. 解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y′＝13y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝3y′.①(1)将①代入5x ＋2y ＝0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′＋3y′＝0,表示一条直线． (2)将①代入x 2＋y 2＝1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是x′214＋y′219＝1,表示焦点在x 轴上的椭圆．9．已知△ABC 是直角三角形,斜边BC 的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明：|AM|＝12|BC|.证明：以Rt △ABC 的直角边AB,AC 所在直线分别为x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．设B(b,0),C(0,c),则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2.由于|BC|＝b 2＋c 2,|AM|＝ b 24＋c 24＝12b 2＋c 2, 故|AM|＝12|BC|.10．在同一平面直角坐标系中,求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换,并叙述变换过程． (1)曲线y ＝2sin x4变换为曲线y ＝sin 2x ；(2)圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y24＝1.解：(1)将变换后的曲线方程 y ＝sin 2x 改写为y′＝sin 2x′,设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λxλ>0，y′＝μy μ>0，代入y′＝sin 2x′得μy＝sin 2λx , 即y ＝1μsin 2λx,与原曲线方程比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝14，1μ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝18，μ＝12，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝18x ，y′＝12y.即先使曲线y ＝2sin x4上的点的纵坐标不变,将曲线上的点的横坐标缩短为原来的18,得到曲线y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤148x ＝2sin 2x,再将其纵坐标缩短到原来的12,得到曲线y ＝sin 2x.(2)将变换后的椭圆方程x 29＋y 24＝1改写为x′29＋y′24＝1,设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λx λ>0，y′＝μy μ>0，代入x′29＋y′24＝1得λ2x 29＋μ2y 24＝1,即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22y 2＝1,与x 2＋y 2＝1比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝2y.即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长为原来的3倍,得到椭圆x 29＋y 2＝1,再将该椭圆的纵坐标伸长为原来的2倍,得到椭圆x 29＋y 24＝1.。

高中数学·选修：坐标系与参数方程
在学习高中数学课程时，我们经常会遇到数学中最重要的两个概念：坐标系和参数方程。

下面我们将对这两个概念进行详细介绍。

首先，坐标系是一种两维或三维的笛卡尔坐标系，它将空间中的点标记为坐标（x，y）或（x，y，z）。

坐标系最常用于定位空间中的点，因为它将空间中的概念转换为数学模型。

如果要知道一个点在空间里的位置，只需要计算这个点在坐标系中的坐标即可。

坐标系的方位有四种，分别是极坐标系、直角坐标系、正负坐标系和球面坐标系。

另外，在其他数学科学中，坐标系也经常被使用，比如在动力学中，坐标系更多的是用来跟踪移动物体的位置。

其次，参数方程是指基于参数的一系列数学方程式。

参数方程的格式是：y=f（x），其中x和y是参数，f（x）是x和y的函数关系。

通过参数方程，可以描述一个特定点在空间中的位置，也可以将它们转换为坐标系中的数学模型。

参数方程有很多种，如线性方程，抛物线方程，圆方程，三次方程等。

最后，坐标系和参数方程有着密切的关系，一般来说，坐标系用于定位空间中的点，而参数方程则可以将这些点转换为可视化的数学模型。

换句话说，坐标系可以用来定位空间中的点，而参数方程则可以将这些点转换为可以方便描述空间中点的轨迹。

总之，坐标系和参数方程对学习高中数学有着非常重要的意义。

坐标系可以用来定位空间中的点，而参数方程可以将这些点转换为可以方便描述空间中点的轨迹。

希望本文能够帮助读者更好地理解这两
个概念，从而更好地学习数学。

坐标系与参数方程第一节 坐标系一、基础知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·xλ＞0，y ′＝μ·y μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对ρ，θ叫做点M 的极坐标，记为M ρ，θ.一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数.3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )， 极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0. 4．简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程 圆心为极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆 ρ＝2r cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r 的圆 ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 过点⎝⎛⎭⎫a ，π2，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a (0<θ<π)考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] 求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P (x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程， 可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求． [解题技法] 伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0，y ′＝μy μ>0的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．[提醒] 应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y )与变换后的坐标(x ′，y ′)．[题组训练]1．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得 3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.2．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 225＋y 216＝1的一个伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ，μ>0)，求λ，μ的值．解：将变换后的椭圆x 225＋y 216＝1改写为x ′225＋y ′216＝1，把伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ，μ>0)代入上式得：λ2x 225＋μ2y 216＝1即⎝⎛⎭⎫λ52x 2＋⎝⎛⎭⎫μ42y 2＝1，与x 2＋y 2＝1， 比较系数得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ52＝1，⎝⎛⎭⎫μ42＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，μ＝4.考点二 极坐标与直角坐标的互化[典例] (2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] 因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，化成直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－ θ＝2， 化成直角坐标方程为y ＝33(x －4)， 则直线l 过A (4,0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.如图，连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.所以直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.[解题技法]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角． (1)当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．(2)当x ＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；当x ＝0，y >0时，可取θ＝π2；当x ＝0，y <0时，可取θ＝3π2.[题组训练]1．(2019·郑州质检)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)将两直角坐标方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2即为所求． 2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)求圆O 1和圆O 2的直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 考点三 曲线的极坐标方程的应用[典例] (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． [解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32. 即当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3. [解题技法]1．求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点M (ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解|OM |与θ的关系．(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．2．利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．[提醒] 在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性． [题组训练]1．(2019·青岛质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(其中φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段P Q 的长．解：(1)圆C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)把θ＝π6代入圆的极坐标方程可得ρP ＝1，把θ＝π6代入直线l 的极坐标方程可得ρQ ＝2，所以|P Q|＝|ρP －ρQ |＝1.2．(2018·湖北八校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝9cos 2 θ＋9sin 2 θ，以极点为平面直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)A ，B 为曲线C 上两点，若OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值．解：(1)由ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ得ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ＝9，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得到曲线C 的直角坐标方程是x 29＋y 2＝1.(2)因为ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ，所以1ρ2＝cos 2θ9＋sin 2θ， 由OA ⊥OB ，设A (ρ1，α)，则点B 的坐标可设为⎝⎛⎭⎫ρ2，α±π2， 所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝cos 2α9＋sin 2α＋sin 2α9＋cos 2α＝19＋1＝109.[课时跟踪检测]1．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 解：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2， 即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ， 得4x 2－83x ＋12＝0， 即(x －3)2＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6. 2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径|PC |＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线OP ：θ＝π6(ρ∈R)与圆C 交于点M ，N ，求线段MN 的长．解：(1)(x －3)2＋(y ＋1)2＝9可化为x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0， 故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. (2)将θ＝π6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，得ρ2－2ρ－5＝0，所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5， 所以|MN |＝|ρ1－ρ2|＝4＋20＝2 6.4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．5．(2018·南昌摸底调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4，直线C 2的方程为y ＝33x ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP |·|O Q|的值． 解：(1)∵曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4， 即x 2＋y 2－23x －4y ＋3＝0，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0. ∵直线C 2的方程为y ＝33x ， ∴直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．(2)设P (ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ＝π6(ρ∈R)代入ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0，得ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP |·|O Q|＝ρ1ρ2＝3.6．(2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB的面积．解：(1)∵曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π6，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π3. 把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，∴A ⎝⎛⎭⎫4＋33，π6. 把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，∴B ⎝⎛⎭⎫3＋43，π3. ∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sin ⎝⎛⎭⎫π3－π6 ＝12＋2534.7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.8．(2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＋2x －4＝0，曲线C 2的方程为y 2＝x ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 1与C 2交点的极坐标，其中ρ≥0,0≤θ<2π.解：(1)依题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2x －4＝0可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝x ，得ρsin 2θ＝cos θ. 故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝cos θ. (2)将y 2＝x 代入x 2＋y 2＋2x －4＝0，得x 2＋3x －4＝0，解得x ＝1，x ＝－4(舍去)， 当x ＝1时，y ＝±1，所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1,1)，(1，－1)，记A (1,1)，B (1，－1)，所以ρA ＝1＋1＝2，ρB ＝1＋1＝2，tan θA ＝1，tan θB ＝－1， 因为ρ≥0,0≤θ<2π，点A 在第一象限，点B 在第四象限，所以θA ＝π4，θB ＝7π4，故曲线C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，7π4.。