电动力学讲义 第二章 电磁现象的普遍1

（2）在（1）中令 A B 得：
( A A) 2 A ( A) 2( A ) A ， 所以 A ( A) 1 2 ( A A) ( A ) A
2 A ( A ) 1 2 A ( A ) A 2. 设 u 是空间坐标 x, y, z 的函数，证明： df dA dA f (u ) u ， A(u ) u ， A(u ) u du du du
电动力学习题解答
电பைடு நூலகம்力学答案
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符 的微分性与向量性，推导下列公式：
( A B) B ( A) ( B ) A A ( B ) ( A ) B A ( A) 1 A 2 ( A ) A 2
3.
设r
( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离， r 的方向规定为
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电动力学习题解答
从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r ' r r / r ； (1 / r ) ' (1 / r ) r / r 3 ； (r / r 3 ) 0 ； (r / r 3 ) '(r / r 3 ) 0 ， (r 0) 。 （2）求 r ， r ， (a )r ， (a r ) ， [ E 0 sin( k r )] 及 [ E 0 sin( k r )] ，其中 a 、 k 及 E 0 均为常向量。
所以
c dV f dV [c ( f )] dV ( f c ) ( f c ) dS

Q 2 E dS 4πr E
S
Q 因而 E 4π 0 r 2 Qr 写成矢量式得 E 4π 0 r 3
0
(r a)
若r<a,则球面所围电荷为
4 3 4 3 Q Qr πr πr 3 3 3 4πa / 3 0 a E 3 S a 0 Qr E (r a) 3 4π 0 a
1 1 3 r 3 ( r )dV' V ( x' ) r r
1 4π 0
3r 1 1 ( x ' ) r 0 dV' 0 5 3 4π 0 V r r
静电场性质由下面两个方程来描述:
为电场. 另一电荷处于该电场内，就受到电场的作用力 .
F 1 Q E r 3 q 4π 0 r
Q
由实验知道,电场具有叠加
性,即多个电荷所激发的电场等
于每个电荷所激发的电场的矢量
Ei × P ri Q1 Q2
和.
1 Qi E r, 3 i i 4π 0 ri
连续带电体激发的电场为
第一章
电磁现象的普遍规律
电磁场的描述
电磁现象的描述 电磁场是物质存在的一种形态，有特定的运动规 律和物质形态，与其他带电物质以一定形式发生 作用。由随时空变化的两个矢量函数描述： 电场强度 E( x, y, z, t ) 磁感应强度 B( x, y, z, t ) 电磁场的运动规律
求描述电磁场的物理量( E，B)的时空变化关系； 数学上，就是求( E ， B )所满足的偏微分方程。
由这个例子我们看出散度概念的局域性质. 虽然 对任一个包围着电荷的曲面都有电场强度通量，但是

E2
Qr
4 0 R3
0
1.2 电流连续性方程
一、电流连续性方程
电荷运动形成电流，通常用电流密度描写电流，
它表示单位时间内通过垂直于电流方向单位面积的电 量.对于同一种电荷形成的电流 j v
v 是电荷运动速度
电流连续性方程
稳恒电流方程
S
J
d
V
t
dV
J 0
t
二、欧姆定律 j E
j 0
为电导率
二、毕奥－萨伐尔定律 两电流元之间的作用力
I dl
Idl
dF
0 4
Idl
(I 'dl ' r ) r3
Idl
dB
这里
dB
0 4
(I 'dl ' r ) r3
磁感应强度
B(x) 0
4
Idl r r3
0 4
j (x' ) rdV r3
Idl jdV
二、安培定律
B dl 0I 0 j dS
一般情况下
B 0 j
B 0 ( j jD )
j是自由电流
jD 是假设的位移电流
E 0
j 0
t
j
( 0
E t
)
0
( B) 0[ ( j jD )] 0
( j jD ) 0
jD
0
E t
B
0
j
0 0
E t
三、麦克斯韦方程组
法拉第定律 高斯定理 安培定律 磁场是闭合回路
束缚电荷
P P
P P
2 1
n
P dS P2 n S P1 (n) S pS
P1n P2n P

4. 磁场的散度
磁场的通量
磁场的散度 S 任意
S B dS 0
S B dS V ( B)dV 0
B 0
恒定磁场的另一基本方程。
B 0J
B 0
结论： 恒定磁场 ——无源，有旋
5. 例题（p.13 例）
电流 I 均匀分布于半径为 a 的无穷长直导线内，求空
间各点磁感应强度，并由此计算磁场的旋度。
1. 介质的概念
介质
分子
原子核：正电荷 电子： 负电荷
电中性 分子电流杂乱
宏观物理量 ← 微观量的平均 （宏观无穷小 内包含 大量的微观粒子）
外场
正负电荷相对位移，极性分子取向 —— 极化
分子电流取向规则化
—— 磁化
束缚电荷（极化电荷）→ 附加电场 E’
诱导电流（磁化电流等）→ 附加磁场 B’
2. 介质的极化
r
dV
'
JdV ' JdSdl Idl
B( x)
0 4
Idl
r
r3
3. 磁场的环量和旋度
安培环路定理：
L B dl 0I 0 S J dS
磁场的旋度
L B dl S ( B) dS
S 任意
B 0J
讨论： (1) 安培环路定理的微分形式，恒定磁场的基本方程 (2) 某点磁场的旋度只与该点的电流密度有关
）
t
(1) 法拉第电磁感应定律的微分形式
(2) 感应电场是有旋场
(3) 感应电场是由变化磁场激发的
2. 位移电流
电荷守恒定律
J
0
非恒定电流
磁场旋度
t
B 0J
矛盾！？
B 0 J 0