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电动力学习题答案第一章 电磁现象的普遍规律

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第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∆的微分性与矢量性，推导下列公式：()()()()()A B B A B A A B A B ∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇21()()2A A A A A⨯∇⨯=∇-⋅∇解：矢量性为()()()a b c b c a c a b ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯ ①()()()c a b b c a c a b ⨯⨯=⋅-⋅ ②()()()a b c c a b c b a ⨯⨯=⋅-⋅⋅③微商性()d d a dba b b a dtdt dt ⋅=⋅+⋅④ 【()d d a db a b b a dt dt dt ⨯=⨯+⨯⑤由②得()()()c c c B A B A B A ⨯∇⨯=∇⋅-⋅∇ ⑥()()()c c c A B A B A B ⨯∇⨯=∇⋅-⋅∇⑦⑥+⑦得()()()()()()c c c c c c B A A B B A A B B A A B ⎡⎤⎡⎤⨯∇⨯+⨯∇⨯=∇⋅+∇⋅-⋅∇+⋅∇⎣⎦⎣⎦()()()c c A B A B A B ∇⋅=∇⋅+∇⋅因为∴上式得()()()()()c c c c A B B A A B B A A B ∇⋅=⨯∇⨯+⨯∇⨯+⋅∇+⋅∇令B A =得）22()2()A A A A A ∇=⨯∇⨯+⋅∇21()()2A A A A A ∴⨯∇⨯=∇-⋅∇2.设μ是空间坐标x ，y ，z 的函数，证明：()()()df f u u dxud AA u u du d AA u u du ∇=∇∇⋅=∇⋅∇⨯=∇⨯解：①()()()()()()()()()()x y z x y zx y z f u f u e f u e f u e x y z f u u f u u f u u e e e u x u y u z f u u u u e e e x x y z df u u du ∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂=∇②()x y z y x z A u A A A x y zdA dA dA u u u du x du y du z d A u du∂∂∂∇⋅=++∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂=∇⋅③，()()()()()()()xy z xyz yy x x z z x y zy y x x z z x y ze e e A u x y z A A A A A A A A A e e e y z z x x ydA dA dA dA dA dA u uu u u u e e e du y du z du z du x du x du y d A u du⎛⎫ ⎪∂∂∂⎪∇⨯= ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂=∇⨯3.设()r y y =+-'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从原点指向场点。

⑴ 证明下列结果，并体会对原变数求微商（''''xy z e e e x y z ∂∂∂∇=++∂∂∂） 与对场变数求微商（xy z e e e x y z ∂∂∂∇=++∂∂∂）的关系'''333311,,0,0,(0)r r r r rr r r r r r r r r r ∇=-∇=∇=-∇=-∇⨯=∇⋅=-∇⋅=≠（最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节）⑵ 求,,(),(),[sin()]r r a r a r E k r ∇⋅∇⨯⋅∇∇⋅∇⋅⋅。

及[sin()]E k r ∇⨯⋅。

，其中,a k 及E 。

均为常矢量。

—解：⑴'''2'2'2'2''2'2'2()()(()()()x y z x yz r r r r e e e x y ze e x x y y z e x x y y z z r r∂∂∂∇=++∂∂∂=+-+-++-+-+-=''''''''2'2'2'2'2'2'2()x y z x yzr r r r e e e x y z e e e x x r r r ∂∂∂∇=++∂∂∂=++-=-=-∇231111()()()1()x y zx y z e e e r x r y r z r r r r e e e r x y z r r ∂∂∂∇=++∂∂∂-∂∂∂=++∂∂∂=-''''2'''31111()()()1()1x y zx y z e e e r x r y r z r r r r e e e r x y z r r r∂∂∂∇=++∂∂∂-∂∂∂=++∂∂∂==-∇33334411()13030r r r r r r r r r r r r r r ∇⨯=∇⨯+∇⨯-=⨯+∇⨯-=⨯=323343431()113131()30r r r r r rr r r r r r r r r r r r ∇⋅=∇⋅=∇⋅+∇⋅-=∇⋅+∇⋅-=⋅+⨯=''3'3'33433'31()1131()(3)00(0)r r r r r rr r r r r r r r r r r r ∇⋅=∇=∇⋅+∇⋅--=⋅+⨯-=∴∇⋅=-∇=≠ ⑵'''()()()3r x x y y z z x y z ∇⋅∂∂∂=-+-+-∂∂∂='''0x y z e e e r x y z x x y y z z ⎛⎫⎪∂∂∂ ⎪∇⨯== ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪---⎝⎭()()x y z xy z x x y y z z a ra a a rx y z r r r a a a x y za e a e a e a⋅∇∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂=++=()()()()()00()()x y z x y z a r a r a r r a r aa r r r a a rx y z r r r a a a x y za∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇∂∂∂=⨯+++++⋅∇∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂=~''''''''''[sin()][sin()]sin()[sin(()()())]cos[()()()]cos[()()()]cos[()(x y z ox x x y z oy y x y z oz z x y E k r k r E k r E k x x k y y k z z E E k k x x k y y k z z E k k x x k y y k z z E k k x x k ∇⋅⋅=∇⋅⋅+⋅∇⋅=∇-+-+-⋅=-+-+-+-+-+-+-+。

''''')()]()cos[()()()]cos()z ox x oy y oz z x y z y y k z z E k E k E k k x x k y y k z z k r E k-+-=++-+-+-=⋅⋅。

[sin()][sin()]sin()[cos()cos()cos()]cos()()cos()()x x y y z z x x y y z z E k r k r E k r E k k r e k k r e k k r e E k r k e k e k e E k r k E ∇⨯⋅=∇⋅⨯+⋅∇⨯=⋅+⋅+⋅⨯=⋅++⨯=⋅⨯。

4. 4.⑴ 应用高斯定理证明VSdV f dS f ∇⨯=⨯⎰⎰⑵ 应用斯托克斯（Stokes ）定理证明SLd S d L φφ⨯∇=⎰⎰解：⑴()()()SSV VdS f cf c d S f c dV dV f c ⨯⋅=⨯⋅=∇⋅⨯=∇⨯⋅⎰⎰⎰⎰ S VdS f dV f∴⨯=∇⨯⎰⎰⑵@()LLS S Sd L cc d L c d S c d S dS cφφφφφ⋅=⋅=∇⨯⋅=∇⨯⋅=⨯∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰L Sd L dS φφ∴=⨯∇⎰⎰5. 5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为'''()(,)VP t x t x dV ρ=⎰利用电荷守恒定律0J t ρ∂∇⋅+=∂证明P 的变化率为''(,)V d PJ x t dV dt =⎰解：''''''''''''[(,)]()()V VVVd Pdtx dV J x t x dV t J x dV J x dV ρ∂==-∇∂=-∇⋅+⋅∇⎰⎰⎰⎰|''''''''()SVSVJ x d S J x dV J x d S JdV =-+⋅∇⋅=-+⎰⎰⎰⎰取被积区域大于电荷系统的区域，即V 的边界S 上的(,)0J x t =，则''''0.(,)SV J x d S d P J x t dV dt =∴=⎰⎰。

6. 若m 是常矢量，证明除R=0点以外矢量3m R A R ⨯=的旋度等于标量3m RR ϕ⋅=的梯度的负值，即(0)A R ϕ∇⨯=-∇≠,其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

解：333333333()()()()()()()0()R m R R R R Rm m m mR R R R R Rm m R R R RRm R ϕ∇=∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+∇=⨯∇⨯+⋅∇∇⨯=∴=⋅∇上式 7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止自由电荷f ρ，求⑴ 空间各点的电场； ⑵ 极化体电荷和极化面电荷分布。

解：⑴对空间Ⅰ做高斯面，由： @E dS Q ⋅=⎰233211444()33I f r E r r πππρε︒∴=- 3321233212()3()3fI fI r r E r r r E rrρερε︒∧︒-∴=-∴=对空间Ⅱ：做高斯面，由D d S σε︒⋅=⎰2331444()33fr D r r πππρ∴=-ⅡD E ε=3312()3f r r E r r ρε∧-∴=对空间Ⅲ:做高斯面，由.240r E π=Ⅲ0E ∴=Ⅲ⑵ 由0D E P ε=+0P D E ε∴=-333310122()()33f fr r r r P r r r ρερε∧⎛⎫--∴=- ⎪ ⎪⎝⎭3013()()3fr r P r r εερε-∴=-301300()()3()(30)(1)3P f ff P r rr r ρεερεεερερεε∴=-∇⋅--=∇⋅-∇⋅--=-=--2r r =时,由边值条件:21n n P P P σ-=-(P 由1指向2)￥1243202132332102233021*********1321()()3()()3(1),()3()0()30()P n nf ff P n n f P P r r r r r r r r r r r r P P r r r r r r σεερεεερεερεσεερε=---=--=-=-==--=--==8. 内外半径分别为 和 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流 ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。

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电动力学习题解答1

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电动力学习题解答若干运算公式的证明ϕψψϕϕψψϕϕψψϕϕψ∇+∇=∇+∇=∇+∇=∇c c c c )()()(f f f f f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇ϕϕϕϕϕϕϕ)()()()()(c c c c f f f f f f f ⨯∇+⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇ϕϕϕϕϕϕϕ)()()()()(c c c c )()()(g f g f g f ⨯⋅∇+⨯⋅∇=⨯⋅∇c c )()(g f f g ⨯∇⋅-⨯∇⋅=c c)()(g f g f ⨯∇⋅-⋅⨯∇=)()()(g f g f g f ⨯⨯∇+⨯⨯∇=⨯⨯∇c cg f f g g f f g )()()()(∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=c c c cg f f g g f f g )()()()(∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=)()()(c c g f g f g f ⋅∇+⋅∇=⋅∇)()(c c g f f g ⋅∇+⋅∇=（利用公式b a c b a c c b a )()()(⋅+⨯⨯=⋅得）f g f g g f g f )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cf g f g g f g f )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 A A A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯即 A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )( ， uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明： （1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x zu u f yu u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d du uf zu y u xuu f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e（2）zu A yu A xu A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zu u A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d uu zu yu x u uA uA uA z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (A e e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++=（3）uA uA uA z u y u x u uu z y x zyxd /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e A zx y y z x x y z y u u A x u u A x u u A z u u A z u u A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z yu A xu A xu A zu A zu A yu A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇=3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

(完整版)电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)

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电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。

（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。

4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=V V t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。

郭硕鸿《电动力学》课后答案

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（2）在（1）中令 A B 得：
( A A) 2 A ( A) 2( A ) A ， 所以 A ( A) 1 2 ( A A) ( A ) A
2 A ( A ) 1 2 A ( A ) A 2. 设 u 是空间坐标 x, y, z 的函数，证明： df dA dA f (u ) u ， A(u ) u ， A(u ) u du du du
电动力学习题解答
电பைடு நூலகம்力学答案
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 根据算符 的微分性与向量性，推导下列公式：
( A B) B ( A) ( B ) A A ( B ) ( A ) B A ( A) 1 A 2 ( A ) A 2
3.
设r
( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离， r 的方向规定为
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电动力学习题解答
从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
r ' r r / r ； (1 / r ) ' (1 / r ) r / r 3 ； (r / r 3 ) 0 ； (r / r 3 ) '(r / r 3 ) 0 ， (r 0) 。 （2）求 r ， r ， (a )r ， (a r ) ， [ E 0 sin( k r )] 及 [ E 0 sin( k r )] ，其中 a 、 k 及 E 0 均为常向量。
所以
c dV f dV [c ( f )] dV ( f c ) ( f c ) dS
电动力学_郭硕鸿版_全部答案

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7 有一内外半径分别为 r1 和 r2 的空心介质球 求 介质的电容率为 ε 使介质内均匀带静止自
由电荷 ρ f 1 2 解 1
空间各点的电场 极化体电荷和极化面电荷分布
r r D ∫ ⋅ dS = ∫ ρ f dV ,
S
(r2>r>r1)
即
D ⋅ 4πr 2 =
4π 3 (r − r13 ) ρ f 3
(最后一式在人 r 0 点不成立 见第二章第五节) 2 求
r r r r r r r r r r r r r r r ∇ ⋅ r , ∇ × r , (a ⋅ ∇)r , ∇(a ⋅ r ), ∇ ⋅ [ E 0 sin(k ⋅ r )]及∇ × [ E 0 sin(k ⋅ r )], 其中a , k 及E 0 均为常矢量
证明
r ∂( x − x ' ) ∂( y − y ' ) ∂( z − z ' ) ∇⋅r = + + =3 ∂x ∂y ∂z r ex r ∂ ∇×r = ∂x x − x' r ey ∂ ∂y y − y' r ez ∂ =0 ∂z z − z'
r r ∂ v ∂ v ∂ v v v v v v v (a ⋅ ∇)r = [(a x e x + a y e y + a z e z ) ⋅ ( e x + e y + e z )][( x − x' )e x + ( y − y ' )e y + ( z − z ' )e z ] ∂x ∂y ∂z
而 dl φ = (φ i dl x + φ j dl y + φ k dl z )
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