湖北省沙市中学2018届高三上学期1月月考数学(文)试题+Word版含解析
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沙市中学2015级2018年元月考数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，∴故选：C2. 若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值是（）A. B. 或 C. 或 D.【答案】D【解析】，又复数为纯虚数，∴，解得：故选：D3. 从中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】从中任取三个数，取法总数为：这三个数能构成三角形的情况有：∴这三个数能构成三角形的概率为：故选：B4. 在等比数列中是函数的极值点，则=（）A. B. C. 或 D. 或无意义【答案】A【解析】由题意得：又是函数的极值点∴是的两个实数根,∴，又数列为等比数列∴同号，且∴，即故选：A5. 已知函数的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】∵函数的最小正周期是，∴，将其图象向右平移个单位后得到的函数的表达式为，又的图象关于轴对称，∴，∴,当时，，即易得：，∴函数的图象关于点对称故选：D6. 在椭圆中任取一点，则所取的点能使直线与圆恒有公共点的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】椭圆面积为：，圆的面积为：∴所取的点能使直线与圆恒有公共点的概率为故选：B7. 已知实数满足约束条件，若，，设表示向量在方向上的投影，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，z表示向量在方向上的投影，∴z=，即y=3x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=3x﹣，当y=3x﹣，经过点C时直线y=3x﹣的截距最大，此时z最小，当y=3x﹣经过点B（2，0）时，直线的截距最小，此时z最大．由，得，即C（，3），此时最小值z=，此时最大值z=，故z的取值范围是，故选：D．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8. 过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于两点，当轴时，称线段为双曲线的通径．若的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当经过焦点F的直线与双曲线的交点在同一支上，可得双曲线的通径最小，令x=c，可得y=±，即有最小值为；当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为0时，即为实轴，最小为2a．由题意可得2a≥，即为a2≥b2=c2﹣a2，即有c≤a，则离心率e=∈．故选：A．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9. 执行如下左图所示的程序框图，输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知：初始值：∵成立，∴∵成立，∴∵成立，∴∵成立，∴∵成立，∴，∴的值是以5为周期重复出现的，∴成立，∴∵不成立，∴输出a值10故选：C点睛：本题的实质是累加满足条件的数据，可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分以下步骤：（1）观察S的表达式分析，确定循环的初值、终值、步长；（2）观察每次累加的值的通项公式；（3）在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值；（4）在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长；（5）输出累加（乘）值．10. 如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为正方体中的内接正四面体，正四面体的棱长为，设内切球的半径为r，则易得：∴内切球的表面积为故选：B点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.11. 已知偶函数满足且当时，则函数在上的零点个为（）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】C【解析】在R上的函数偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），f（x）关于x=1对称，且周期为2，作出与的图象，易知：二者的交点个数为6个故选：C12. 已知下列命题：①命题“，”的否定是：“，”；②若样本数据的平均值和方差分别为和则数据的平均值和标准差分别为，；③两个事件不是互斥事件的必要不充分条件是两个事件不是对立事件；④在列联表中，若比值与相差越大，则两个分类变量有关系的可能性就越大．⑤已知为两个平面，且，为直线．则命题:“若，则”的逆命题和否命题均为假命题．⑥设定点、，动点满足条件为正常数），则的轨迹是椭圆．其中真命题的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】①命题“，”的否定是：“，”,命题正确;②数据的标准差，平均数为：，命题正确；③其逆否命题是：两事件是对立事件的必要不充分条件是两个事件是互斥事件.命题正确；④﹣=，∵ad﹣bc相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，∴﹣=相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，命题正确；⑤逆命题：已知为两个平面，且，为直线．则命题:“若，则”显然l与平面关系不确定，所以逆命题为假命题，逆命题与否命题同真同假，故二者同为假命题;⑥当时，的轨迹是线段，显然命题是假命题；所以真命题个数为5个故选：A点睛：本题综合考查了特称命题与全称命题、平均数与标准差的运算、对立事件与互斥事件的关系、独立性检验、线面位置关系的判断、椭圆定义的运用，深入浅出的考查了学生对基本知识与基本方法的掌握情况.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知平面向量且，则__________．【答案】【解析】∵∴，又∴，解得：，∴故答案为：114. 已知数列为等差数列，为的边上任意一点，且满足，则的最大值为____________．【答案】【解析】∵为的边上任意一点，且满足，∴，又数列为等差数列，∴∴故答案为：15. 抛物线的焦点为为抛物线上一点，若的外接圆与抛物线的准线相切(为坐标原点)，且外接圆的面积为，则__________．【答案】【解析】∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3，∴p=4．故答案为：4．16. “求方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解.类比上述解题思路，不等式的解集是__________．...........................【答案】【解析】不等式x6﹣（x+2）＞（x+2）3﹣x2变形为，x6+x2＞（x+2）3+（x+2）；令u=x2，v=x+2，则x6+x2＞（x+2）3+（x+2）⇔u3+u＞v3+v；考察函数f（x）=x3+x，知f（x）在R上为增函数，∴f（u）＞f（v），∴u＞v；不等式x6+x2＞（x+2）3+（x+2）可化为x2＞x+2，解得x＜﹣1或x＞2；∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．点睛：类比题目所提供的方法，合理构造新函数，利用新函数的单调性，把问题转化为自变量的关系问题，解题的关键注意整体思想，从整体上把握结构，找到结构间的相似点，统一问题即可.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在如图四边形中，为的内角的对边，且满足.(Ⅰ)证明：成等差数列；(Ⅱ)已知求四边形的面积.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】试题分析：（1）利用两角和正弦公式及正弦定理易证成等差数列；（2）四边形的面积可视为，其中为，可用正弦面积公式表示.试题解析：(Ⅰ)由题设有即由三角形内角和定理有由正弦定理有成等差数列.(Ⅱ) 在中，由余弦定理有即,即则为.由于.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：①定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.②定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.③求结果.18. 如图，在直三棱柱中，分别是和的中点.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)若上一点满足，求与所成角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】试题分析：（1）取的中点,易证：四边形为平行四边形，∴，即可证得结论；（2）等体积法得到，取中点,连, 则,故与所成角为（或其补角）,在△QNM中求出此角的余弦值即可.试题解析：（Ⅰ）证明：直三棱柱中，,又，，取的中点，连接,为中点，且.又为中点，且,且，故四边形为平行四边形，，，.(Ⅱ)由等体积法有,则为中点,取中点,连, 则,故与所成角为（或其补角）,在中，,由余弦定理有即为所求角的余弦值.19. （某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率=获益÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）试估计平均收益率；（Ⅱ）根据经验若每份保单的保费在元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下组与的对应数据：(元)（万份）（ⅰ）根据数据计算出销量（万份）与（元）的回归方程为；（ⅱ）若把回归方程当作与的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均获益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求出该最大获益.参考公示：【答案】（I）；（II）（ⅰ）,（ⅱ）.【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图计算出平均收益率；（2）利用公式计算出，，从而得到回归直线方程；进一步算出最大获益即可.试题解析：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，平均获益率为（Ⅱ）（i）则即.（ii）设每份保单的保费为元，则销量为，则保费获益为万元，当元时，保费收入最大为万元，保险公司预计获益为万元.点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20. 已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)已知点，求证：若圆与直线相切，则圆与直线也相切.【答案】（I）；（II）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用条件布列的方程组，即可得到椭圆的标准方程；（2）对直线l的斜率分类讨论，若圆与直线相切，则圆与直线也相切等价于，联立方程，借助根与系数关系证明等式即可.试题解析：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c(c>0)，依题意，解得，c=1，故椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，M，N两点关于x轴对称，点P （4,0）在x轴上，所以直线PM与直线PN关于x轴对称，所以点O到直线PM与直线PN的距离相等，故若圆与直线PM相切，则也会与直线PN相切；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，由得：所以，，，，，所以，，于是点O到直线PM与直线的距离PN相等，故若圆与直线PM相切，则也会与直线PN相切；综上所述，若圆与直线PM相切，则圆与直线PN也相切.21. 已知函数，.（Ⅰ）当在处的切线与直线垂直时，方程有两相异实数根，求的取值范围；（Ⅱ）若幂函数的图象关于轴对称，求使不等式在上恒成立的的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（1）方程有两相异实数根等价于有两个零点；（2）令，不等式在上恒成立，即求的最小值，，对a分类讨论研究函数的单调性，从而确定出函数的最值.试题解析：（Ⅰ）由题设可得，令,则令得 ,，且有两个不等实根即.（Ⅱ）由题设有，令，则，令，则又，，在在单调递增，又，当，即时，，所以在内单调递增，，所以．②当，即时，由在内单调递增，且，使得，所以的最小值为，又，所以，因此，要使当时，恒成立，只需，即即可．解得，此时由，可得．以下求出a的取值范围．设，，得，所以在上单调递减，从而，综上①②所述，的取值范围．选修4-4：参数方程与极坐标系22. 在直角坐标系中，曲线（为参数且），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（Ⅰ）求与交点的直角坐标；（Ⅱ）若与相交于点，与相交于点，求当时的值．【答案】（I）和；（II）.【解析】试题分析：I）根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2,曲线可化为直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）可用极坐标表示．试题解析：（Ⅰ）由题设有曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，联立解得或, 即与交点的直角坐标为和.（Ⅱ）曲线的极坐标方程为其中,因此的极坐标为，的极坐标为.所以，当时，.选修4-5：不等式选讲23. 已知，不等式成立.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对于实数满足且不等式恒成立，求的最小值.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（1）不等式成立，即求的最小值即可；（2）不等式恒成立等价于恒成立，从而，结合均值不等式即可求出的最小值.试题解析：（Ⅰ）令，则,，由于,不等式成立，.（Ⅱ）当时，不等式恒成立等价于恒成立，由题意知根据基本不等式有,从而（当且仅当时等号成立）,再由基本不等式（当且仅当时等号成立）的最小值为.点睛：1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a.。
