学案7__正弦定理、余弦定理及其应用共54页

《正弦定理和余弦定理的实际运用举例》教学设计正弦定理和余弦定理的实际运用举例教学设计简介本教学设计旨在教授正弦定理和余弦定理的实际运用方法。

通过实例演示和练题的形式，帮助学生理解和掌握这两个几何定理的应用场景。

教学目标- 理解正弦定理和余弦定理的概念和原理- 掌握正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用方法- 进一步发展解决几何问题的能力教学内容正弦定理- 介绍正弦定理的概念和公式（a/sinA = b/sinB = c/sinC）- 解释正弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用正弦定理求解未知变量余弦定理- 介绍余弦定理的概念和公式（c² = a² + b² - 2abcosC）- 解释余弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用余弦定理求解未知变量实际运用举例- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分步引导学生运用正弦定理和余弦定理解决这些问题- 给予学生充足的练机会，以加深对定理应用的理解和熟练度教学步骤1. 引入：复三角形的基本概念和知识点2. 正弦定理：- 介绍正弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用正弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题3. 余弦定理：- 介绍余弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用余弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题4. 实际运用举例：- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分组或个人完成案例分析和解决过程- 学生通过小组或个人报告展示解决思路和结果5. 总结与讨论：- 综合讨论学生的解决思路和方法的优劣- 引导学生总结出正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的重要性和应用价值教学评估1. 参与度评估：观察学生在课堂中的积极参与程度和问题解答能力2. 练成绩评估：通过练题的完成情况和准确度，进行学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用评估3. 案例分析评估：评估学生在实际问题解决中的思考能力和解决方法的合理性参考资源1. 《高中数学教材》2. 互动教学软件和课件3. 个人和小组练习题。

余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是初中数学中非常重要的定理，它们在解决三角形相关问题时起到了至关重要的作用。

在本文中，我将为大家详细介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的实用性和重要性。

一、余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。

它的数学表达式为：c² = a²+ b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角。

1. 求解三角形的边长假设我们已知一个三角形的两边和它们之间的夹角，想要求解第三边的长度。

这时，我们可以利用余弦定理来解决这个问题。

例如，已知一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，夹角为60°，我们可以利用余弦定理来计算第三边的长度。

根据余弦定理，我们可以得到c² = 5² + 8² - 2×5×8×cos60°，即c² = 25 + 64 -80cos60°。

进一步计算可得c² = 89 - 80cos60°，再开方可得c ≈ 2.92cm。

因此，这个三角形的第三边长约为2.92cm。

2. 求解三角形的角度除了求解边长外，余弦定理还可以用来求解三角形的角度。

例如，已知一个三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，我们可以利用余弦定理来计算它的夹角。

根据余弦定理，我们可以得到cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4)，即cosC = (9 + 16 - 25) / 24。

计算可得cosC = 0，因此C的值为90°。

通过以上两个例子，我们可以看到余弦定理在求解三角形边长和角度时的实用性和重要性。

它为我们解决各种三角形相关问题提供了有力的工具。

二、正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。

初中数学教案余弦定理与正弦定理的应用初中数学教案余弦定理与正弦定理的应用一、引言在初中数学学习中，我们经常会遇到利用几何知识解决实际问题的情况。

而余弦定理和正弦定理作为几何知识的重要部分，具有广泛的应用价值。

本教案旨在通过具体的例子，让学生理解并能够熟练应用余弦定理和正弦定理。

二、教学目标1. 掌握余弦定理和正弦定理的概念和公式；2. 理解余弦定理和正弦定理的应用场景；3. 能够灵活运用余弦定理和正弦定理解决实际问题。

三、教学内容1. 余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形边长或角度的定理，其公式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos∠C示例题目1：已知三角形ABC，边长分别为a=5cm，b=7cm，∠C=60°，求边c的长度。

解答思路：根据余弦定理的公式，将已知的数值代入计算，有：c^2 = 5^2 + 7^2 - 2*5*7*cos60°c^2 = 25 + 49 - 70*cos60°c^2 = 74 - 70*0.5c^2 = 74 - 35c^2 = 39因此，c≈6.24cm示例题目2：已知三角形ABC，边长分别为a=8cm，b=9cm，c=10cm，求∠A的大小。

解答思路：根据余弦定理的公式，将已知的数值代入计算，有：8^2 = 9^2 + 10^2 - 2*9*10*cos∠A64 = 81 + 100 - 180*cos∠A180*cos∠A = 181 - 64cos∠A = 117/180∠A ≈ 51.32°2. 正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形边长或角度的定理，其公式为：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C示例题目3：已知三角形ABC，∠A=45°，∠B=60°，AC=8cm，求边AB与BC的长度。

解答思路：根据正弦定理的公式，将已知的数值代入计算，有：AB/sin45° = 8/sin60°AB = 8*sin45°/sin60°AB ≈ 8*0.7071/0.8660 ≈ 6.928cmBC/sin60° = 8/sin45°AB = 8*sin60°/sin45°AB ≈ 8*0.8660/0.7071 ≈ 9.398cm四、教学方法1. 结合实际生活进行示例分析，增加学生的兴趣；2. 组织学生小组合作，共同解决问题，培养合作意识；3. 引导学生总结规律，归纳定理应用方法。

正弦定理和余弦定理的运用教案正文：正弦定理和余弦定理的运用教案一、教学目标1. 理解正弦定理和余弦定理的含义和基本公式；2. 掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形相关问题中的应用方法；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学重点1. 正弦定理的推导和应用；2. 余弦定理的推导和应用。

三、教学难点1. 正弦定理和余弦定理的理解和记忆；2. 通过具体问题实际运用，使学生深入理解定理的应用方法。

四、教学准备1. 教材：三角函数学科教材；2. 工具：投影仪、黑板、粉笔、直尺、量角器。

五、教学过程Ⅰ. 导入（10分钟）1. 教师简要复习三角比的概念和计算方法；2. 教师引导学生思考：在已知某一角的情况下，如何确定三角形的边长呢？Ⅱ. 正弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示正弦定理的基本公式：a/sinA = b/sinB =c/sinC；2. 教师讲解正弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用正弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。

Ⅲ. 余弦定理的推导和应用（20分钟）1. 教师通过投影仪展示余弦定理的基本公式：c² = a² + b² - 2abcosC；2. 教师讲解余弦定理的推导过程，并与学生一同完成推导；3. 教师给出具体问题，引导学生运用余弦定理解决问题，并逐步引导学生总结出应用方法。

Ⅳ. 正弦定理和余弦定理的综合应用（25分钟）1. 教师给出一些复合问题，要求学生结合正弦定理和余弦定理解决问题；2. 学生分组讨论、解答问题，并在黑板上展示解题过程；3. 教师组织学生展示解题思路和方法，并针对不同解题方法进行及时点评。

Ⅴ. 拓展应用（15分钟）1. 教师布置一些拓展性应用题，要求学生在课后完成；2. 学生自主学习拓展内容，并在下节课讲解时与教师进行互动讨论。

Ⅵ. 总结与作业（10分钟）1. 教师对本节课的要点进行总结，并强调正弦定理和余弦定理的重要性；2. 布置作业：完成课后习题，复习和巩固所学知识。

课题：正弦定理和余弦定理及应用（导学案）学习目标：1、熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用2、探究三角形的面积公式3、能根据条件判断三角形的形状4.能根据条件判断某些三角形解的个数学法指导1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数有关公式，得出角的大小或边的关系。

知识点梳理已知在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边。

则：1.正弦定理：____________________===_______（ ）2.正弦定理的几个变形(1)a =________ ,b=_________ ,c=_________(2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______(3)a:b:c =____________________.3、余弦定理222____________________________________________________________________________________a b c ===推论：cos ____________________________cos ____________________________cos ____________________________A B C === 4.在解三角形时，常用的结论 （1）在ABC ∆中，A>B ⇔______（大边对大角，大角对大边）( 2 ) A+B+C= ；sin sin()C A B =+； cos cos()C A B =-+（3）三角形的面积公式：=∆ABC S=∆ABC S基础练习：1、在ABC ∆中，ο45=A ，ο60=B ，4=b ，求a . 2、已知ο30=A ，4=a ，5=b ，则=B sin .3、已知8=b ，3=c ，ο60=A ，则=a .4、已知5=a ，13=b ，12=c ，求角B .5、在ABC ∆中，1=AB ，4=BC ，ο30=B ，则ABC ∆的面积等于 . 归纳：课堂探究题型一：探究三角形中的边角运算例1 在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ，ο45=B ，求角A .变式：1、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ，ο30=A ，求角B .2、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ，ο150=A ，求角B .题型二：探究三角形的面积求解例2 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且1=a ，3=b ，求ABC S ∆.变式：在ABC ∆中，ο120=A ，5=AB ，7=BC ，求ABC ∆的面积.题型三：探究三角形的形状判断例3 在ABC ∆中，已知A b B a cos cos =，判断ABC ∆的形状.变式：1、已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，而A 、B 、C 三内角的对边a 、b 、c 成等比数列，判断ABC ∆的形状.反思总结高考真题体验：在ABC ∆中，B ∠，C ∠的对边分别为b ，c ，且ο45=∠B ，2=b ，3=c .（1）求C ∠；（2）求ABC S ∆.课后巩固1、 在ABC ∆中，若,60,3︒==A a 那么ABC ∆的外接圆的周长为________ 2、在ABC ∆中,______,cos cos 的形状为则ABC BC b c ∆= 3、ABC ∆中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么ABC ∆一定是_______4、在ABC ∆中，7:5:3sin :sin :sin =C B A ，那么这个三角形的最大角是_____5、已知三角形一个内角为ο60，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。

余弦定理及正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

它们被广泛应用于测量、导航、工程等领域。

下面将分别介绍余弦定理和正弦定理，并说明它们在实际应用中的具体运用。

一、余弦定理余弦定理描述了一个三角形的边与夹角之间的关系。

对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。

根据余弦定理，可以得到以下等式：a² = b² + c² - 2bc * cosAb² = a² + c² - 2ac * cosBc² = a² + b² - 2ab * cosC余弦定理可以用于解决以下问题：1. 测量三角形边长：如果已知三角形的两个边长和它们之间的夹角，可以利用余弦定理计算出第三条边的长度。

2. 计算三角形的夹角：如果已知三角形的三条边长，可以利用余弦定理的逆运算求解三个夹角的大小。

3. 解决航海导航问题：根据已知的方位角和航程，可以利用余弦定理计算船只的坐标位置。

二、正弦定理正弦定理描述了三角形边与其对应角的正弦值之间的关系。

对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。

根据正弦定理，可以得到以下等式：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理可以用于解决以下问题：1. 求解三角形的面积：如果已知三角形的两边和它们之间的夹角，可以利用正弦定理求解三角形的面积。

2. 判定三角形类型：根据三边的长度和正弦定理，可以判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。

3. 解决建筑工程问题：在建筑测量中，需利用正弦定理计算高度、距离等未知量。

综上所述，余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

通过运用这些定理，我们可以计算三角形的边长、夹角，求解三角形的面积，判断三角形的类型等。

在测量、导航、工程等领域，都离不开这两个定理的应用。

《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教案第3课时余弦定理、正弦定理应用举例【教材分析】三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.【教学目标与核心素养】课程目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.数学学科素养1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．【教学重点和难点】重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.【教学过程】一、情景导入在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些问题？又怎么解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本48-51页，思考并完成以下问题1、方向角和方位角各是什么样的角？2、怎样测量物体的高度？3、怎样测量物体所在的角度？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、实际测量中的有关名称、术语四、典例分析、举一反三题型一测量高度问题例1 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.【解析】如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD ＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD 中，根据正弦定理，BD sin 60°＝AB sin ∠ADB . ∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·sin 60°sin 20°≈38.5(m)． 在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.解题技巧（测量高度技巧）(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．跟踪训练一1、乙两楼相距200 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？【答案】甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033m. 【解析】如图所示，AD 为乙楼高，BC 为甲楼高．在△ABC 中，BC ＝200×tan 60°＝2003，AC ＝200÷sin 30°＝400，由题意可知∠ACD ＝∠DAC ＝30°，∴△ACD 为等腰三角形．由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos 120°，4002＝AD 2＋AD 2－2AD 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3AD 2，AD 2＝40023，AD ＝40033.故甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033 m. 题型二 测量角度问题例2 如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，则该救援船到达D 点需要多长时间？【答案】 救援船到达D 点需要的时间为1 h. 【解析】由题意，知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得BD sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， 即BD ＝AB sin ∠DAB sin ∠ADB＝＝＝10 3 n mile.又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝20 3 n mile ， 3)sin 45sin1055(33)sin 4545cos 60cos 45sin 60++∴在△DBC 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝ 300＋1 200－2×103×203×12＝30 n mile ， 则救援船到达D 点需要的时间为3030＝1 h. 解题技巧： (测量角度技巧)测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．跟踪训练二1、在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【解析】 设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝ACBC ·sin∠BAC ＝26·32＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向成90°角．∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题型三 测量距离问题例3 如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a 则可求出A ，B 两点间的距离．若测得CA＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．【答案】A ，B 两点间的距离为2007 m.【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB ＝2007 (m)．即A ，B 两点间的距离为2007 m.例4 如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m.【答案】20 6 .【解析】∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B ， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)． 即A ，B 两点间的距离为20 6 m.解题技巧（测量距离技巧）当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝a2＋b2－2ab cos γ.(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC 和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC 中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.跟踪训练三1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【答案】A，B两点间的距离为64km.【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64km. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本51页练习，52页习题6.4中剩余题.【教学反思】对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.学生在这里的数量关系比较模糊，需要强化，三角形相关知识点需要简单回顾。

《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教学设计第3课时余弦定理、正弦定理的应用【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习利用正弦定理、余弦定理来求不能到达的两点之间的距离、底部不能到达的建筑物的高、角度问题。

正弦定理、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。

这是一节关于正、余弦定理应用举例课.利用应用举例培养学生的数学建模能力。

把应用正余弦定理解决有关距离、高度、角度等问题融合起来，让学生经历情景的过程中解决数学问题。

【教学目标与核心素养】A.进一步熟悉余弦定理、正弦定理；B.了解常用的测量相关术语；C.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。

【教学重点】：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；【教学难点】：根据题意建立数学模型，画出示意图。

3.余弦定理：变形：4.三角形中的结论：5.情境引入：（1）现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？ （2）在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？二、探索新知 类型一 距离问题例1 如图， A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A ，B两点间的距离的方法.并求出A ，B 间的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===c b a C B A ::sin :sin :sin =Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=abc b a C ca b a c B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222-+=-+=-+=;π=++C B A C B A C B A cos )cos(,sin )sin(-=+=+2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离思考：在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗？【分析】先求AD，BD的长度，进而在三角形ABD中，求A，B间的距离。