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十字相乘法的运算方法

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十字相乘法_非常非常好用

十字相乘法_非常非常好用
a p q,b pq
(3x) (5x) 8x
x2-5x+6 X2+5x-6 x2-5x-6 X2+5x+6
注意：
当常数项是正数时，分解的 两个数必同号，即都为正或都为 负，交叉相乘之和得一次项系数。 当常数项是负数时，分解的两个 数必为异号，交叉相乘之和仍得 一次项系数。因此因式分解时， 不但要注意首尾分解，而且需十 分注意一次项的系数，才能保证 因式分解的正确性。
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
例7、把 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3分解 因式
拓展创新
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
x

7
x 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
顺口溜：
x7x 6x
竖分常数交叉乘， 横写因式不能乱。
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉乘，横写因式不能乱。)
x2 8x 15 (x 5)(x 3) 小结：


用十字相乘法把形如
x
5
x
3
x2 ax b
二次三项式分解因式使
一、计算：
(x p)(x q) x2 (p q)x pq
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq的 反向运算，它适用于分解二次 三项式。

十字相乘公式法

十字相乘公式法

十字相乘法是一种用于解决二次方程的方法，也被称为乘法因式分解法。

它适用于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，其中a、b和c是已知的实数常数。

具体步骤如下：
1. 将二次方程写成标准形式：ax^2 + bx + c = 0。

2. 计算出二次方程的两个根的乘积，记为p = ac。

3. 找出两个数的和等于b的因子对，这两个数记为m和n。

4. 将二次方程按照十字相乘法的形式写成 (x + m)(x + n) = 0。

5. 根据乘法因式分解的原理，展开(x + m)(x + n)并将其化简为ax^2 + bx + c的形式。

6. 通过比较展开后的多项式与原始二次方程的系数，得到m和n的值。

7. 最后，将找到的m和n代入(x + m)(x + n) = 0，得到二次方程的解。

需要注意的是，十字相乘法只适用于可以被因式分解的二次方程。

对于无法被因式分解的二次方程，可以使用其他方法（如配方法或求根公式）来解决。

十字相乘法的运算方法

十字相乘法的运算方法
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
╳
2 6
1X6+2X1=8 8>7不成立继续试
第二次
1 2
╳
2 3
1X3+2X2=7所以分解后为:(x+2)(2x+3)
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
a^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以
上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4)
又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3).

十字相乘法完整版

十字相乘法完整版

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十字相乘法完整版
目录
01
添加目录标题
02
十字相乘法的基本原理
03
十字相乘法的应用
04十字相乘法ຫໍສະໝຸດ 注意事项05十字相乘法的扩展应用
01
添加章节标题
02
十字相乘法的基本原理
定义与公式
定义：十字相乘法是一种解一元二次方程的方法，通过将方程的系数分解为两个因数的乘积，从而找到方程的解。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有括号时。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有分数时。
分解因式时要注意完全平方数的问题
分解因式时要注意完全平方数的问题，避免出现错误的结果。
分解因式时要注意符号问题，确保结果的正确性。
分解因式时要注意因式的分解是否彻底，避免出现不必要的错误。
应用场景：求解一元二次不等式时，当不等式的系数较大或较为复杂时，使用十字相乘法可以简化计算过程
注意事项：在使用十字相乘法时，需要确保分解后的两个一次项的乘积为正，否则会导致不等号方向错误
举例说明：通过具体的一元二次不等式实例，展示十字相乘法的应用和求解过程
求解一元二次函数极值
定义：一元二次函数极值是指函数在某点的导数为零，且该点两侧的函数值异号
代数方程：十字相乘法可用于解二次方程和一元高次方程
矩阵运算：十字相乘法在矩阵的乘法中也有应用
分式化简：十字相乘法可以用于化简分式，简化计算过程
在物理和工程领域的应用
线性代数方程组的求解
工程中的结构分析、流体动力学等领域
物理中的动力学方程求解
矩阵运算中的分块矩阵相乘

相乘法十字相乘法

相乘法十字相乘法

相乘法十字相乘法
（原创实用版）
目录
1.相乘法和十字相乘法的概念
2.相乘法的运算规则
3.十字相乘法的运算规则
4.相乘法和十字相乘法的应用
5.结论
正文
相乘法和十字相乘法是数学中常用的两种乘法方法。

相乘法是指两个数相乘得到一个积，而十字相乘法则是一种特殊的乘法运算，主要用于解线性方程组。

相乘法的运算规则比较简单，就是将两个数相乘得到一个积。

例如，2 乘以 3 等于 6，这就是一个相乘法的运算。

在数学中，相乘法被广泛应用于各种计算和公式中。

十字相乘法则是一种特殊的乘法运算，它主要用于解线性方程组。

十字相乘法的运算规则是，将一个数分成两个数，然后将这两个数分别与另一个数相乘，最后将四个积相加得到一个和。

例如，解方程组 x+3y=6 和2x+4y=10，我们可以使用十字相乘法。

首先，将第一个方程中的 x 分成 2 和 1，然后将 3y 分成 4y 和 y，得到 2y+4y=6，解得 y=1。

接着，将第二个方程中的 2x 分成 x 和 x，将 4y 分成 3y 和 y，得到 x+3y=10，代入 y=1，解得 x=7。

这样，我们就解出了方程组的解。

相乘法和十字相乘法在实际应用中都有广泛的应用。

相乘法被广泛应用于各种计算和公式中，而十字相乘法则主要用于解线性方程组，是数学中的一种重要方法。

十字相乘法的方法

十字相乘法的方法

十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为1 -21 ╳6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。

当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为1 25 ╳-4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。

解：因为1 -31 ╳-5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。

高中十字相乘法

高中十字相乘法摘要：一、引言二、十字相乘法的定义和基本原理三、十字相乘法的运算步骤1.确定两个括号2.找出两个括号内的因数3.计算乘积并相加四、十字相乘法的应用与实例1.多项式乘法2.因式分解五、总结与回顾正文：一、引言在高中数学的学习过程中，我们经常会遇到一些复杂数字运算，而十字相乘法作为一种快速分解因式的方法，可以帮助我们更高效地解决这些问题。

本文将为您详细介绍高中十字相乘法的相关知识。

二、十字相乘法的定义和基本原理十字相乘法是一种因式分解方法，主要针对二次多项式和四次多项式。

它通过将多项式的系数用一个十字形状排列，然后找出合适的因数组合进行相乘，最终得到多项式的因式分解式。

三、十字相乘法的运算步骤1.确定两个括号首先，我们需要找到多项式中次数最高的项，将其作为第一个括号的因数。

例如，在多项式ax^2 + bx + c 中，我们选择x^2 作为第一个括号的因数。

2.找出两个括号内的因数接下来，我们需要在多项式中找出与x^2 相乘能得到一次项和常数项的因数。

例如，在多项式ax^2 + bx + c 中，与x^2 相乘能得到bx 和c 的因数分别为b 和c。

3.计算乘积并相加将两个括号内的因数相乘并相加，得到的结果应该等于原多项式的常数项。

例如，在多项式ax^2 + bx + c 中，(b + c) = c，即b = 0。

四、十字相乘法的应用与实例1.多项式乘法通过十字相乘法，我们可以快速地计算多项式的乘积。

例如，对于多项式(x + 2)(x - 3)，我们可以通过十字相乘法得到：```x -3x| x^2 -3x+| x^2 -3x-|-------x^2 -6x -3```2.因式分解十字相乘法也可以用于多项式的因式分解。

例如，对于多项式x^2 - 6x - 3，我们可以通过十字相乘法得到：```x -3x| x^2 -3x+| x^2 -3x-|-------x^2 -6x -3```从上面的计算过程可以看出，多项式x^2 - 6x - 3 可以因式分解为(x -3)(x + 1)。

十字相乘法_非常非常好用

一、计算：
( x a)(x b) x (a b) x ab
2
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反 向b)x+ab= (x+a)(x+b)
例1、把 x2＋6x－7分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
练习：(2+a)2+5(2+a)-36
2
小结： 用十字相乘法把形如


5 3
x px q
2
二次三项式分解因式使
q ab, p a b
(3x) (5x) 8x
例2、把 解因式
例3、把 分解因式
4 2 y -7y -18
分
2 2 x -9xy+14y
练习：把下列各式分解因式
1. 3. 5.
2 x -11x-12
例一：
步骤：
x
x

x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
2
7

②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
1
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
x 7x 6x
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
x x
x 8x 15 ( x 5)(x 3)
2. 4.
2 x +4x-12
2 x -x-12
2 x -5x-14
2 y -11y+24
2 x -5x+6 2 x -5x-6 2 X +5x-6

十字相乘法的步骤

十字相乘法的步骤
十字相乘法是一种用于解决两个多位数相乘的方法。

它可以帮助我们在不使用计算器的情况下，快速而准确地计算乘积。

下面是十字相乘法的步骤：1. 将两个多位数写在竖式中，使得它们的个位数字对齐。

2. 从右向左，将第二个数的每一位数乘以第一个数的个位数，并将结果写在竖式下方。

3. 接着，将第二个数的每一位数乘以第一个数的十位数，并将结果写在竖式下方，但要将结果向左移一位。

4. 重复步骤3，将第二个数的每一位数乘以第一个数的百位数，并将结果写在竖式下方，但要将结果向左移两位。

5. 将所有下方的数字相加，就得到了两个数的乘积。

十字相乘法不仅快速而准确，而且易于记忆和应用。

它可以帮助我们在数学考试或日常生活中快速计算乘积。

因此，学习和掌握十字相乘法是非常有用的。

十字相乘法的原理

十字相乘法的原理
十字相乘法是一种用于计算两个多位数相乘的方法，它适用于任意位数的数字相乘。

下面将介绍十字相乘法的原理和具体步骤。

首先，我们假设要计算的两个多位数分别为A和B，其中A
的位数为m，B的位数为n。

1. 将A和B分别写成竖式排列的形式，保持从右向左的顺序。

即A的个位数在最右边，B的个位数也在最右边。

2. 根据A和B的位数，我们可以得到一个m×n的表格。

表格
的行数为A的位数m，列数为B的位数n。

3. 将A的个位数与B的每个位数相乘，然后将结果写在表格
的第一行，每个结果对应的列数就是B的位数。

4. 接下来，将A的十位数与B的每个位数相乘，然后将结果
写在表格的第二行，同样每个结果对应的列数就是B的位数。

5. 重复上述步骤，依次将A的百位数、千位数等与B的每个
位数相乘，将结果填写在相应的行上。

6. 当所有的乘法运算都完成后，需要将同一列上的数相加，并将结果填写在竖直相对应的位置上。

7. 最后，将所有竖直相对应位置上的数相加，并得到最终的乘
法结果。

通过以上的步骤，我们可以用十字相乘法来计算任意位数的两个多位数相乘。

这种方法的优点是可以清晰地展示出乘法运算的每一步骤，简化了计算过程，避免了繁琐的手工运算过程。

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上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以
上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4)
又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3).
讲解：
x^2-3x+2=如下：
②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解
如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m时，那么
kx^2＋mx＋n＝(ax+b)(cx+d)
a b
╳
c d
通俗方法
先将二次项分解成（1 X二次项系数），将常数项分解成（1 X常数项）然后以下面的格式写
1 1
╳
二次项系数常数项
若交叉相乘后数值等于一次项系数则成立，不相等就要按照以下的方法进行试验。（一般的题很简单，最多3次就可以算出正确答案。）
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
解(x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
需要多次实验的格式为：（注意：此时的abcd不是指（ax^2+bx+c）里面的系数，而且abcd最好为整数）
a b
╳
c d
第一次a=1 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第二次a=1 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.
问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
a^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=－3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例5
x^2+2x-15
分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)
(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。
=(x-3)(x+5)
总结：①x^2＋（p+q）x＋pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2＋(p+q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)
x 1
╳
x 2
左边x乘x=x^2
右边-1乘-2=2
中间-1乘x+-2乘x（对角）=-3x
上边的【x+（-1）】*下边的【x+（-2）】
就等于（x-1）*（x-2）
x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）例题
例1
把2x^2-7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是
1 -3
╳
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).
例3
把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
╳
2 6
1X6+2X1=8 8>7不成立继续试
第二次
1 2
╳
2 3
1X3+2X2=7所以分解后为:(x+2)(2x+3)
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)
=-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)
=-7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).
一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
......
依此类推
直到（ad+cb=一次项系数）为止。最终的结果格式为(ax+b)(cx+d)
例Hale Waihona Puke ：2x^2+7x+6
第一次：
1 1
例2
把6x^2-7x-5分解因式.
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
2 1
╳
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两
十字相乘法
个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q)x+pq=(x+p)(x+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x*2+7x+12进行因式分解.