十字相乘法课件

例2：分解因式 ：
1. x − 5 x + 4
2
2. x − 5 xy + 4 y
2
2
3.
2
x − 5x + 4
4 2
4. (2x + y) − 5(2x + y) + 4
x 4 − 5 x 2 − 36 练习： 练习：1.
2. ( x 2 + 3x)2 − 8( x 2 + 3x) − 20
思考2： 思考 ：
思考3： 思考 ：
是不是所有的二次三项式都可以用十 字相乘法进行因式分解呢？如果不是， 字相乘法进行因式分解呢？如果不是，那 满足什么条件的二次三项式可以用十字相 乘法进行因式分解呢？ 乘法进行因式分解呢？
作业： 作业：
1. 练习册 练习册9.15 1——4题， 题 5题（1）——（4） 题 ） （ ） 2.练习纸。 练习纸。 练习纸
2
+ x + 8x +12 = (x ____2)(x _____6) + 2 — x + 4x − 12 = ( x ____ 6)(x ____ 2) + 2 — 12 x −11x −12 = (x ____ )(x _____) + 1
寻找的两数a和b的符号是如何确定的 的符号是如何确定的？ 寻找的两数a和b的符号是如何确定的？
x + px + q = ( x + a)( x + b)
2
），且 、 的符号和 的符号和p 当q>0时，a、b（ 同号 ），且a、b的符号和 时 、 （ 的符号（ 的符号（ 相同 ）. ），且绝对值较大的因 当q<0时，a、b（ 异号 ），且绝对值较大的因 时 、 （ 数与p的符号 的符号（ 数与 的符号（ 相同 ).
(x + a)(x +b) = x + (a + b)x + ab
2
( x + 3)( x + 4) = x + 7x +12 2 ( x + 3)( x − 4) = x − x − 12 2 ( x − 3)( x + 4) = x + x −12 2 ( x − 3)(x − 4) = x − 7x +12 2 (x + a)(x + b) = x + (a + b)x + ab
(m − n) = 0, (m + n) = 14, (m 2 + n 2 ) = 98,
于是便可把“ 作为一个密码， 于是便可把“01498”作为一个密码， 作为一个密码 x 2 + 6 xy + 5 y 2，取 x = 6, y = 8 时， 那么对于 用上述方法产生的密码可以是_________. 用上述方法产生的密码可以是 1446
x + 4x + 3
定义： 定义： 利用十字交叉线来分解系数,把二次三 利用十字交叉线来分解系数 把二次三 项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
十字相乘法进行因式分解的关键: 十字相乘法进行因式分解的关键
（1）列出常数项分解成两个因数的积的 各种可能情况；拆分常数项 （2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等 于一次项系数； 验证一次项
我们现在所研究的都是二次项系数是1的二 我们现在所研究的都是二次项系数是 的二 次三项式用十字相乘法进行因式分解， 次三项式用十字相乘法进行因式分解，那 么当二次项的系数不是1， 么当二次项的系数不是 ，而是其他数字时 又该如何进行分解呢？ 又该如何进行分解呢？ 例如： x 2 − 2 x − 1 例如： 3
2）. ）
x + 7 x = −12
2
想一想： 想一想：
在日常生活中，如取款， 在日常生活中，如取款，上网等都需要密 有一种用因式分解法产生的密码， 码，有一种用因式分解法产生的密码，方 便记忆， 便记忆，原理是如对于多项式 m 4 − n 4 ，因 (m − n)(m + n)(m 2 + n 2 ) ， 式分解的结果是 取m = 7, n = 7 时， 则各个因式的值是
计算下列各题： 计算下列各题：
( x + 3)(x + 4) = x2 + 7x +12 ( x + 3)(x − 4) =
x 2 − x − 12
2
( x − 3)(x + 4) = x + x −12
x2 − 7x +12 ( x − 3)(x − 4) =
问：你有什么快速计算类似多项式的方法吗？ 你有什么快速计算类似多项式的方法吗？
十字相乘法
课前复习：
1.什么是因式分解？ 什么是因式分解？ 什么是因式分解
把一个多项式分解成几个整式的积的形式， 把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把 这个多项式因式分解 也叫做把这个多项式分解因 因式分解， 这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因 式。 因式分解的实质是（ 和差化积 ） 和差化积” 因式分解的实质是（“和差化积” 与（ 整式乘法 ） 相反 ）。 积化和差”的过程正好（ 是“积化和差”的过程正好（
2
等式左边是两个一次二项式（ 等式左边是两个一次二项式（相乘 ） 右边是（ 右边是（ 二次三项式 ） 这个过程将（ 的形式，转化成（ 这个过程将（ 积 ）的形式，转化成（ 和差 ） 的形式，进行的是（ 运算。 的形式，进行的是（整式乘法 ）运算。
x 2 + px + q =
( x + 3)( x + 4) = x + 7x +12 ( x + 3)( x − 4) = x − x − 12 ( x − 3)( x + 4) = x + x −12 2 ( x − 3)( x − 4) = x − 7x +12 2 ( x + a)(x + b) = x + (a + b)x + ab
2 2 2
等式左边是（ 二次三项式 ），二次项的系数是（ 1 ） ），二次项的系数是 二次项的系数是（ 等式左边是（ 等式右边是两个一次二项式（ ），整个等式从 等式右边是两个一次二项式（ 相乘 ），整个等式从 左到右将（ 的形式转化成（ 的形式， 左到右将（ 和差 ）的形式转化成（ 积 ）的形式， 进行的是（ 进行的是（因式分解 ）。
课外拓展: 课外拓展:
下面两个结论对吗？ 若 A ⋅ B = 0 ，下面两个结论对吗？ （1）A和B同时都为0，即A=0且B=0； （2）A和B中至少有一个为0，即A=0或B=0。
请结合： 下列一元二次方程：
1）. ）
x2 + 7x + 6 = 0
例题1： 例题 ：分解因式
1. x − 7 x + 12 2 3. x + 8 x + 12
2
2. x + 4 x − 12 2 4. x − 11x − 12
2
练一练：在下列各式的横线上填入“ 和 练一练：在下列各式的横线上填入“+”和“—” 号。 2 — —
x − 7 x + 12 = ( x ____ 3)( x ____ 4)
2.之前我们都学习了哪些分解因式的方法？ 之前我们都学习了哪些分解因式的方法？ 之前我们都学习了哪些分解因式的方法
提取公因式法 公式法
想一想： 想一想：
在日常生活中，如取款， 在日常生活中，如取款，上网等都需要密 有一种用因式分解法产生的密码， 码，有一种用因式分解法产生的密码，原 理是如对于多项式 m 4 − n 4 ，因式分解的结 (m − n)(m + n)(m 2 + n 2 )，取 m = 7, n = 7时， 果是 则各个因式的值是
x + px+q = x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2 2
那么a和b如何确定呢？满足什么条件呢 如何确定呢？ 那么 和 如何确定呢 满足什么条件呢?
ab = q
2
a +b = p
分解因式。 分解因式。
它们的乘积等于常数项， 它们的乘积等于常数项，它们的和等于一 次项系数。 次项系数。 试一试： 试一试：将
思考1: 思考
若二次三项式能找到两数a、 使它分解 若二次三项式能找到两数 、b使它分解 x2 + px+ q = (x + a)(x +b) ，则： 为
（1）当 q > 0 , p > 0时，则 a______0, b______0 （2）当 q > 0 , p < 0时，则 a _____ 0 , b ______ 0 （3）当 q < 0 , p > 0时，则 a _____ 0 , b ______ 0 , 且 a _____ b（或 a < 0 , b > 0 , 且 a < b ） ; （4）当 q < 0 , p < 0时，则 a _____ 0 , b ______ 0 , 且 a _____ b（或 a < 0 , b > 0 , 且 a > b ） ;
(m − n) = 0, (m + n) = 14, (m 2 + n 2 ) = 98,
于是便可把“ 作为一个密码， 于是便可把“01498”作为一个密码， 作为一个密码 x 2 + 6 xy + 5 y 2，取 x = 6, y = 8 时， 那么对于 用上述方法产生的密码可以是_________. 用上述方法产生的密码可以是