1421讲义正比例函数1

正比例函数知识点总结正比例函数是数学中一种重要的函数形式，也是高中数学中常见的函数类型之一。

它是指两个变量之间的关系是成正比的，即当一个变量增大（或减小）时，另一个变量也相应地增大（或减小）。

下面将从定义、性质、图像、应用等方面对正比例函数进行总结。

一、定义正比例函数又称为一次函数，它的数学定义为：如果两个变量x和y之间的比值恒定，即y与x的比值为常数k，则称y是x的正比例函数，记作y=kx。

其中k为比例系数，表示y与x之间的关系。

正比例函数可以看作是一条直线，其斜率为k，过原点(0,0)。

二、性质1. 常数k为正比例函数的比例系数，它决定了函数图像的斜率。

当k>0时，函数图像向上倾斜；当k<0时，函数图像向下倾斜。

2. 正比例函数的定义域为全体实数，值域为全体实数。

因为无论x 取任何实数，对应的y都可以通过比例系数k计算得出。

3. 正比例函数的图像经过原点(0,0)，这是因为当x=0时，根据函数定义，y=k*0=0。

4. 当x>0时，y也大于0；当x<0时，y也小于0。

这是因为正比例函数的比例系数k为正，所以x的增大必然导致y的增大，x的减小必然导致y的减小。

三、图像正比例函数的图像为一条直线，过原点(0,0)，斜率为k。

当k>0时，图像向上倾斜；当k<0时，图像向下倾斜。

当k=0时，函数图像为一条水平直线，即y=0。

四、应用正比例函数在实际生活中有许多应用，例如：1. 速度与时间的关系：当物体的速度恒定时，速度与时间成正比。

速度为正比例函数，时间为自变量，速度为因变量。

2. 成本与产量的关系：在某些生产过程中，成本与产量呈正比例关系。

成本为正比例函数，产量为自变量，成本为因变量。

3. 周长与半径的关系：在一个圆形中，周长与半径成正比。

周长为正比例函数，半径为自变量，周长为因变量。

4. 温度与气压的关系：在恒定的体积下，温度与气压成正比。

温度为正比例函数，气压为自变量，温度为因变量。

正比例函数正比例函数是一类具有特定形式的数学函数，它是数学中重要的概念之一。

正比例函数在各个学科领域都有广泛的应用，无论是自然科学、社会科学还是工程技术等领域，都可以找到正比例函数的身影。

正比例函数的基本形式可以表示为 y = kx，其中 k 是常数，表示比例系数。

可以看出，正比例函数中，自变量 x 和因变量 y 成正比关系，其比例系数 k 则表示了两个变量之间的比例关系。

当 x 变化一倍时，y 也会相应变化一倍，所以正比例函数也被称为直线函数。

正比例函数的图像在数学坐标系中是直线，其斜率就是比例系数 k。

当比例系数为正数时，图像呈斜正直线，斜率表示了函数的走向与增长速度；当比例系数为负数时，图像呈斜负直线，斜率表示了函数的走向与减小速度。

正比例函数可以用来描述各种实际问题中的变化规律。

比如，在物理学中，牛顿的第二定律 F = ma 中，力 F 和加速度 a 的关系可以用正比例函数来表达。

力的大小正比于物体的加速度，比例系数即为物体的质量。

在经济学中，成本和生产量之间的关系也可以用正比例函数来表示。

成本与生产量正好成正比，比例系数则表示单位生产量的成本。

在生物学中，体积和质量之间的关系也可以用正比例函数来描述。

当生物体的体积增加时，质量也会相应增加，比例系数就是体密度。

在工程中，速度和时间的关系也可以用正比例函数来表达。

车辆行驶的速度和行驶的时间成正比，比例系数就是车辆的平均速度。

通过使用正比例函数，我们可以更加深入地理解各种问题中的变化规律，并可以预测未知情况下的数值。

通过观察其图像特征和计算比例系数，可以直观地了解变量之间的关系。

在实际应用中，我们可以通过观察和分析数据，找到合适的比例系数，并运用正比例函数来解决问题。

除了基本形式 y = kx，正比例函数还可以有其他形式。

比如当自变量和因变量都经过了平移或伸缩时，正比例函数可以写成 y = k(x - a) 或者 y = k(x - a)+b 的形式。

什么是正比例函数正比例函数是数学中的一种特殊类型的函数，也是初中数学中的重要内容之一。

本文将以通俗易懂的语言介绍正比例函数的定义、性质、图像和应用等方面的知识。

一、正比例函数的定义正比例函数是指当自变量的值改变时，函数值也按相同比例发生变化的函数。

它的定义可以表示为：如果一个函数y=kx，其中x和y分别是自变量和函数值，而k是一个常数，那么这个函数就是正比例函数。

其中，k称为比例系数或比例常数。

二、正比例函数的性质1. 零点性质：当自变量为0时，正比例函数的函数值为0。

2. 单调性质：当自变量的值增大时，函数值也随之增大；反之，自变量的值减小时，函数值也随之减小。

3. 比例关系：自变量和函数值之间存在着一种恒定的比例关系，当自变量的值成倍增加或成倍减少时，函数值也相应地成倍增加或成倍减少。

三、正比例函数的图像正比例函数的图像通常是通过原点的直线，其斜率就是比例常数k。

当k>0时，函数图像为上斜直线；当k<0时，函数图像为下斜直线；当k=0时，函数图像为水平直线y=0。

四、正比例函数的应用正比例函数在现实生活中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 比例尺：地图上的比例尺就是一个正比例函数，它关系到实际距离和地图上的比例。

2. 聚会费用分摊：当朋友们一起聚会时，费用可以根据每个人的消费金额成比例分摊。

3. 速度和时间关系：在汽车行驶过程中，速度和时间之间存在着一种正比例关系，即速度等于行驶距离除以行驶时间。

综上所述，正比例函数是指当自变量的值改变时，函数值也按相同比例发生变化的函数。

它具有零点性质、单调性质和比例关系等性质。

其图像为直线，斜率为比例系数k。

正比例函数在现实生活中有着广泛的应用，比如比例尺、费用分摊和速度与时间关系等。

通过学习正比例函数，可以帮助我们更好地理解数学知识，并将其应用于实际问题中。

正比例函数学习目标：1能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系，理解正比例函数的概念。

2、根据已知条件写出正比例函数的解析式。

3、能够利用正比例函数解决简单的数学问题学习重点：正比例函数的概念学习难点：根据已知条件写出正比例函数的解析式。

学习过程：一、新课探究1问题：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题：（1 ）乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需要多少小时（结果保留小数点后一位）？（2）京沪高铁列车的行程y （单位：km）与运行时间t （单位：h）之间有何数量关系？并写出自变量的取值范围•（3）京沪高铁列车从北京南站出发 2.5 h后，是否已经过了距始发站 1 100 km的南京站？2、完成书本86--87页思考：观察“思考”中所得的四个函数；（1）观察这些函数关系式，这些函数都是常数与自变量________________ 的形式，（2）一般地，形如___________ （ _________________ ）函数，叫做正比例函数，其中k叫做 _____________ 。

思考：1.为什么强调k是常数，k工0 ?2. x,y 的指数都是多少？x,y可以用其他字母表示吗？3. 解析式是什么式子？二、典型例题例1、下列函数哪些是正比例函数？X 3 1 2 2① y= ② y= ③ y=- +1 ④ y=2x ⑤ y=x +1 ⑥ y=（a +1）x3 x 2x⑦ m = .；2x 6 ⑧ y2= 4x_ 2例2：已知函数y = （m • 1）x • （m -1），当m取什么值时，y是x的正比例函数?三、当堂检测：1汽车以40千米/时的速度行驶，行驶路程y （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数解析式为___________________________ .y是x的 ________ 函数。

2、下列问题中的y与x成正比例函数关系的是（）A. 圆的半径为x,面积为yB. 某地手机月租为10元，通话收费标准为0.1元/min，若某月通话时间为x min，该月通话费用为y元C. 把10本书全部随意放入两个抽屉内，第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本D. 长方形的一边长为4，另一边为x，面积为y3 x3、y=—, y= — , y=3x+9, y=2x 2中，正比例函数是____________________x 44、若函数y r（m_4）x是关于x的正比例函数，贝y m ______5、若y =（n -1）x冋是正比例函数，求n的值。

正比例函数学习目标：一、明白得正比例函数的概念，能在用描点法画正比例函数图象过程中发觉正比例函数图象性质；二、通过“燕鸥飞行线路问题”的研究，体会成立函数模型的思想方式，感知数形结合思想；3、结合描点作图，培育认真、细心、严谨的学习态度和适应，熟悉数学是由于生活需要而产生。

学习重点：正比例函数的概念。

学习难点：正比例函数图形的特点。

学习进程：一、导学提纲：（一）温习导入描点法画函数图象的一样步骤：第一步：。

第二步：。

第三步：。

（二）阅读导学：自学讲义P110~112内容，完成以下问题:1、1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上了标志环：大约在128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发觉了它。

（1）这只百余克重的小鸟大约平均天天飞行多少千米？（2）这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时刻x（天）之间的关系如何？（3）这只燕鸥飞行一个半月（15天）的行程大约是多少？2、写出以下问题中的函数表达式：（1）圆周长L随半径R的大小转变而转变；（2）铁的密度为7.8g／3cm）的大小转变而转变；cm，铁块的质量m(g)随它的体积V（3（3）每一个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一路的总厚度h（cm）随练习本的本数n的转变而转变；（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T（℃）随冷冻时刻t（分）的转变而转变。

观看上面四个函数，讨论如下问题：（1）、他们有什么一起特点？（2）四个函数解析式用一个一样形式如何表达呢？（3）一样地，形如 （ ）函数，叫做正比例函数，其中k 叫做 。

3、①用描点法画出以下函数的图像（1） y=2x （2） y=-2x②观看上面两个函数的图像（1）、它们有什么相同点与不同点？（2）、试归纳正比例函数的性质。

①正比例函数是一条 ，它必然通过 。

②因为过 点有且只有一条直线，咱们在画正比例函数图象时，只需确信两点，一般是（ ， ）和（ ， ）③当k > 0时，直线通过 象限，从左到右呈 趋势，即y 随x 的增大而 ；当k<0时，直线通过 象限，从左到右呈 趋势，即y 随x 的减小而 。

初二数学导学案课题：14.2.1正比例函数课型：新课主备人：时间：年月日授课人：班别：姓名：学习目标:1、会说出正比例函数的概念，并根据正比例函数解析式的特征判断相关式子是否为正比例函数。

2、会说出正比例函数的图象性质及特点。

3、培养学生的观察、动手能力,结合描点画图培养学生认真、细心、严谨的学习态度。

学习重点：掌握正比例函数的概念及会画正比例函数的图象学习难点：理解正比例函数的图象性质及特点一、复习引入1、画函数的图象有哪些步骤？二、自学指引：阅读课本P110-112页，回答以下问题：1、正比例函数的概念：一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做。

正比例函数kxy=的特征：（1）自变量x的指数是（2）k（3）y、kx都是。

2、正比例函数kxy=的图象是经过。

3、正比例函数图象的性质：当k＞0时，直线kxy=经过第象限，从左向右上升，即；当k＜0时，直线kxy=经过第象限，从左向右下降，即。

三、讨论：根据正比例函数的图象的特点，怎样画最简单？列表时怎样取点？由于点确定一条直线，因此，画正比例函数kxy=的图象时，取点即可，一般选（ ）和（ ）画直线，简称两点法。

四、堂堂清练习：1、下列函数哪些是正比例函数？①y=2x ② y=3x+9 ③ y=3x ④y=x 3⑤y=3x 2 ⑥ax y =正比例函数是 （填编号）。

2、函数x y 52=中的比例系数是 ，其图像经过第 象限，y 随着x 的增大而3、若y=5x 3m-2是正比例函数，则m=___________。

4、若m x m y )1(-=是正比例函数，则m=____________。

5、在同一坐标系中用两点法画出下列正比例函数的图像。

（1）x y 21= （2）x y 3-= 解：列表：描点、连线得如图：1题）四、能力提升：1、已知y 与x 成正比例，且当1-=x 时，6-=y ，求出 y 与x 之间的函数关系式。

2、已知y 与x+1成正比例，2=x 时，6=y ，求出 y 与x 之间的函数关系式。