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菱形的定义和性质学习课件PPT

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19.菱形及其性质PPT课件(华师大版)

19.菱形及其性质PPT课件(华师大版)

知4－讲
例4 如图，已知菱形ABCD的边长为 2 cm，∠BAD＝ 120°，对角线AC、BD相交于点O. 试求这 个菱 形的两条对角线AC与BD的长. (结果保留根号)
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AB＝AD(菱形的四条边都相等). 在△ABO和△ADO中， ∵AB＝AD，AO＝AO, OB＝OD, ∴△ABO≌△ADO, ∴∠BAO＝∠DAO ＝ 1 ∠BAD＝60°. 2
19.2.1 菱形及其性质
1 课堂讲授 2 课时流程
菱形的定义 菱形的对称性 菱形的边的性质 菱形的对角线的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
什么是矩形？ 矩形都有哪些性质？
知识点 1 菱形的定义
做一做 将一张矩形的纸对折，再对折， 然后沿着图中的虚线剪下，打开， 你发现这是一个什么样的图形？
①菱形的面积等于底乘高． ②菱形的面积等于对角线乘积的一半，对于对角线互相 垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来 进行计算．
知4－讲
3. 易错警示： 菱形和矩形都是建立在平行四边形的基础上；
矩形是附加一直角；而菱形附加一组邻边相等； 矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的
等腰三角形．而菱形的两条对角线把菱形分割成 四个全等的直角三角形； 菱形的对称轴是两条对角线所在的直线，不要误 认为两条对角线是它的对称轴．
∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平
行四边形是菱形)．
总结
知1－讲
本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可以作 为菱形的判定方法．
知1－练
1 如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需 要添加的条件是( ) A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD

菱形的性质PPT课件

菱形的性质PPT课件
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4.3
上图有你熟悉的图形吗?
一组邻边相等的平形四边形 是菱形。
在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.
(1)图中有哪些线段是相等的?
哪些角是相等的?
(2)图中有哪些等腰三角形、直角三角形？
(3)两条对角线AC，BD有什么特定的
位置关系？
D
A
O
菱形的四条边相等
菱形的对角线互相垂直,并且每 一条对角线平分一组对角
❖
感 谢 阅
读感 谢 阅
读
你知道如何判别菱形吗？
一组邻边相等的平形四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。
例:如图，平行四边形的两条对角线AC， BD相交于点O，AB= 5 ， AO=2，OB=1。
1.AC，BD互相垂直吗？为什么？ 2.四边形是菱形吗？为什么？
A
D
O
B
C
随堂练习
1、四边形ABCD是菱形，O 是两条 对角线的交点。已知AB=5cm， AO=4cm， 求对角线BD的长。
2、如图，△AOD，△AOB，△COB， △COD是四个彼此全等的三角形。 四边形ABCD是菱形吗？为什么？
A
D
O
B
C
Байду номын сангаас
今天你学到了什么
平行四边形
菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形
C
B
想一想
（1）菱形是轴对称图形吗？ 如果是，那么它有几条对称轴？ 对称轴之间有什么关系？
你知道菱形有哪些性质吗？
边:菱形的四条边相等
角：对角相等，邻角互补 对角线：菱形的对角线互 相垂直

初二数学《菱形的性质》PPT课件

初二数学《菱形的性质》PPT课件
菱形 是轴对称图形,两条对角线所在的直线都是它的对 称轴
�
3.2.1
复习提问
1,什么叫做平行四边形? 1,两组Байду номын сангаас边分别平行的四边形是平行四边形
2,平行四边形有哪些性质? 2
1,平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互 ,平行四边形的对边相等,对角相等, 相平分. 相平分. 2,平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是 ,平行四边形是中心对称图形, 对称中心. 对称中心.
上图有你熟悉的图形吗? 上图有你熟悉的图形吗?
1.菱形定义: 菱形定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做 菱形
.
(1)菱形是平行四边形. 菱形是平行四边形. (2) 一组邻边相等
2.菱形的性质: .菱形的性质:
因为菱形是平行四边形,所以它具有平 行四边形的一切性质
菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心. 菱形 菱形的对边相等,对角相等,对角线互相平分. 菱形
4,菱形具备有轴对称图形性质,对称轴 是两条互相垂直的对角线所在的直线 5,菱形的面积
菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 即:如果菱形的两条对角线长分别为a,b; a b 则菱形的面积:S= 1 ab 2
a
b
的两条对角线AC, 长分别为 长分别为4cm和 例1,已知菱形 ,已知菱形ABCD的两条对角线 ,BD长分别为 的两条对角线 和 3cm,求菱形 求菱形ABCD的周长和面积 的周长和面积. 求菱形 的周长和面积 D A O B 在直角三角形OAB中,OA=4÷2=2 OB=3÷2=1.5 中 在直角三角形 ÷ ÷ AB2=OA2+OB2=22+1.52=6.25(勾股定理 勾股定理) 勾股定理 从而 AB=2.5cm 菱形ABCD的周长为 菱形 的周长为: 的周长为 4×2.5=10cm ×

菱形的性质与判定(第一课时)

菱形的性质与判定(第一课时)
菱形的性质与判定(第一课时)
目
CONTENCT
录
• 菱形的定义与性质 • 菱形的判定方法 • 菱形在几何图形中的应用 • 菱形与其他几何图形的关系
01
菱形的定义与性质
菱形的定义
02
01
03
菱形是一个四边形，其中对角线互相垂直且平分对方 。
菱形是轴对称图形，其对称轴为两条对角线。
菱形也是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的 交点。
02
菱形的判定方法
根据定义判定
菱形的定义是四边相等的平行 四边形，因此可以根据这一性 质判定一个四边形是否为菱形 。
如果一个四边形的四条边都相 等，则它是菱形。
需要注意的是，只有对角线垂 直且平分的平行四边形才是菱 形。
根据对角线判定
菱形的对角线互相垂 直并且平分对方。
这一判定方法也是菱 形的一个重要性质。
在平行四边形中，如果一组邻边相等且一个角为直 角，则该平行四边形为菱形。
菱形在平行四边形中具有更高的对称性，其两组对 边分别平行且等长。
在矩形中的应用
菱形可以作为矩形的子集，即当矩形的一组邻边相等时，该矩形 即为菱形。
在矩形中，如果一个角为直角且一组邻边相等，则该矩形为正方 形，也是菱形的一种特殊形式。
Hale Waihona Puke 如果一个平行四边形 的对角线互相垂直并 且平分对方，则它是 菱形。
根据四边相等判定
如果一个四边形的四条边都相等， 则它是菱形。
需要注意的是，只有对角线垂直 且平分的平行四边形才是菱形。
这一判定方法是最常用的方法之 一，因为它简单易懂，易于操作。
03
菱形在几何图形中的应用
在平行四边形中的应用
菱形是平行四边形的一种特殊形式，具有平行四边 形的性质。

人教版八年级下册18.2.2 菱形 课件(共30张PPT)

人教版八年级下册18.2.2 菱形 课件(共30张PPT)

D
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形， A
O
C
即AC⊥BD，
B
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、 BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
证明：连接AC、BD.
A
E
D
∵四边形ABCD是矩形，
F
H
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点， B
G
C
E F G H 1B D ， F G E H 1A C ,
2
2
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各
边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：连接AC、BD.
E
B
A
∵点E、F、G、H为各边中点，
F
E F G H 1 2 B D ， F G E H 1 2A C , D
小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证一证 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD;
B
∴AB=CD , BC=AD.
A
∴四边形ABCD是平行四边形.
C D
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
归纳总结 菱形的判定定理：
解：四边形EFGH是菱形.

第一讲菱形的性质与判定

第一讲菱形的性质与判定

第一讲菱形的性质与判定（一）菱形的定义与性质1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:（1）菱形的四条边都相等;（2）菱形的对角线互相垂直平分.并且平分一组对角。

（3）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线。

（4）菱形的面积计算：①菱形的面积等于底乘高②菱形的面积等于对角线乘积的一半；对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来进行计算3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.典例分析：知识点1：利用菱形的性质求角的度数例1：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的度数．知识点2：利用菱形的性质求线段长例2：（1）如图，已知菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6，AC与BD相交于点O，求菱形ABCD 的周长与面积．（2）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于E，AP=5，AE=4，则点P到边AD 的距离等于_________．例2（2）图例2（3）图（3）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．知识点3：利用菱形的对称性求最短距离例3：（1）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD 上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1B．2C．3D．4例3（1）图例3（2）图（2）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E、F 分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．知识点4：利用菱形的性质求面积例4：如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE丄AB，AE=2．求：（1）对角线AC，BD的长；（2）菱形ABCD的面积．知识点5：利用菱形的性质证明例5：（1）已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．①求证：AE=AF；②若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF为等边三角形．（2）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A，B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB．求证：∠APD=∠EBC．（二）菱形的判定判定方法：1、定义法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、对角线：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形②对角线互相平分的平行四边形是菱形3、边：四条边都相等的四边形是菱形注：(1)菱形的判断可以从两个基本图形(四边形或平行四边形)考虑,进行证明.(2)菱形的性质定理和菱形的判定定理是互逆定理图文展示：典例分析：知识点6：利用定义判定菱形例6：已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC 交AC于F．求证：四边形DECF是菱形．知识点7：利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定菱形例7：如图:,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,分别交AD,BC于点E,F,求证四边形BEDF是菱形.知识点8：利用“四边相等的四边形是菱形”判定菱形例8：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点；求证：四边形EGFH是菱形．（三）菱形的性质与判定的综合应用例9：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．例10：将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．例11：如图，两张宽度相等的纸条叠放在一起，重叠部分构成四边形ABCD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若纸条宽3cm，∠ABC=60°，求四边形ABCD的面积．例12：已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．夯实基础：1.下列性质中，菱形对角线不具有的是（）A．对角线互相垂直B．对角线所在直线是对称轴C．对角线相等D．对角线互相平分2.已知▱ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB＝BC;③AC平分∠BAD;④AO＝DO.使得▱ABCD是菱形的条件有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图，菱形ABCD的周长为8，高AE长为，则AC：BD=（）A．1：2B．1：3C．1：D．1：第3题第4题4.菱形0BCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．5.在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，若△AEF是等边三角形，且EF=AB，则∠BAD的度数是（）A．100°B．105° C．110° D．120°6.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3：4，则菱形面积为（）A．12B．24C．48D．967.菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=，BD=2，则菱形ABCD的周长为．第7题第8题第9题8.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（）A．24 cm2B．20 cm2C．16 cm2D．12 cm29.如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，DF⊥AB于点E，且DF=DC，连结PC，则∠DCF的度数为度．10.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知AB=13cm，AC=24cm．（1）求：菱形ABCD的面积；（2）如过点D作DE⊥BC，垂足为E，求DE的长．11.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE，若∠E=50°，求∠BAO的大小．12.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．13.如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．（1）证明：四边形CFAE为菱形；（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．14.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．15.如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．（1）求证：BE=CD；（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．16.已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．。

菱形的性质和判定ppt课件

菱形的性质和判定ppt课件
观察 下面的图形中有你熟悉的吗？
读一读
越王勾践剑，一把在地下埋藏 了2000多年的古剑，出土时依然寒 气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍 一用力，便可将多层白纸划破，剑 身上整齐排列的黑色菱形暗花纹。
平行四边形再认识
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
师生互动
将一张长方形的纸对折、再对折， 然后沿图中的虚线剪下，打开即得一个菱形.
4.对角线互相垂直且平分的四边形是（C）
A.矩形
B.一般的平行四边形
C.菱形
D.以上都不对
5.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（C）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分
B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD
D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
A
D
O
E
B
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN 交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN 于点E，连接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形
证明： ∵四边形ABCD是 B 平行四边形
∴OA=OC
O
D
C
又∵ AC ⊥ BD;
∴BA=BC
∴ ABCD是菱形
探究二 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用

菱形的性质与判定分层ppt课件

菱形的性质与判定分层ppt课件

试一试
对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?
已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与
BD交于点O,AC⊥BD.
求证: □ABCD是菱形
证明:
定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形 符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
议一议
已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一 个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?
探索新知
根据菱形的定义,邻边相等的平行四边形是菱形. 除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四 边形是菱形?先想一想,再与同伴交流.
小明的想法
平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆 命题.受此启发,我猜想:
四边相等的四边形是菱形,对角线垂直的平行四边 形是菱形.
你是怎么想的?你认为小明的想法如何?与同伴交 流一下.
第一章 特殊平行四边形
1.1.2菱形的性质与判定
教学目标：1.探索证明菱形的两种判定方法，掌握证明的基本要求、 方法及思路．
2．能利用菱形的判定方法进行证明.
复习旧知
1.菱形的定义?性质?
2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,则只需
补充
就可以判定它是一个菱形.
3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, 并且AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长为_____ 怎么做的?你认为小刚的作法正确吗?与 同伴交流.
请尝试证明下面的定理
四条边相等的四边形是菱形
已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD是菱形 证明:
定理 四条边相等的四边形是菱形
符号语言：
∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形

《菱形》PPT课件

《菱形》PPT课件
阅读课本140---141页内容,自己总结菱形的性质
活动：把下面的图形折一折、转一转，你有什么发现？请总结出来。
元素
平行四边形的性质
菱形的性质
内角
对角相等，邻角互补
对角相等，邻角互补
边
对边平行且相等
对角线
对角线互相平分
对边平行且四条边相等
对角线互相垂直且每一条平分一组对角
已知:如图四边形ABCD是菱形
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
这堂课你学到了什么？
回味无穷
当堂达标：一展身手
二.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=3cm，则对角线AC的长为____,BD的长为_____。
菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
菱形是轴对称图形，有2条对称轴，是两条对角线所在的直线。
1
2
4
3
5
7
6
8
学以致用
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60°，则∠BAC＝_______.
m
60°
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
平行四边形
邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
相信你能解释 !
AB=BC
四边形ABCD是菱形

菱形的定义和性质课件

菱形的定义和性质课件

菱形的面积 A
B
菱形
O E
C
D
S菱形=BC×AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 用对角线能 计算菱形的面积公式吗?
1 ABCD=S△ABD+S△BCD= S菱形 2
AC×BD
S菱形=底×高=对角线乘积的一半
三.典型例题
例1.在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于 点O，∠BAD=60°，BD=6cm，求菱形的 边长AB和对角线AC的长。 B C
O
C
边
菱形的对边平行
D A B O C
角
对角线
菱形的四条边相等 菱形的对角相等
菱形的邻角互补
菱形的两直，并且每 一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形：对称轴是对角线所在的直线
归纳总结：菱形的性质
• ①菱形具有平行四边形的一切性 质； • ②菱形是中心对称图形，也是轴 对称图形； • ③菱形的四边都相等； • ④菱形的对角线互相垂直平分， 并且每条对角线平分一组对角。
1.1菱形的性质
九年级上册
一、学习目标 1.探索菱形的概念和性质. 2.运用菱形的概念和性质来解 决有关问题．
二、学习重点：
1．掌握菱形的概念和性质， 理解菱形与平行四边形的区 别与联系． 2．会初步运用菱形的概念和 性质来解决有关问题．
三、学习难点：
理解菱形与平行四边形的区 别与联系．
学习过程 菱形的性质和判定 一、自主学习 自学课本2页—4页随堂练习前 ， 思考并回答下列问题： （1）菱形的定义 （2）菱形的性质、如何证明
（3）菱形性质的推论、推导
温故而知新
1什么是平行四边形？ 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四 边形。 2平行四边形具有哪些性质？ （1）平行四边形 的对边平行且相等 （2）平行四边形 的对角相等 （3）平行四边形 的对角线互相平分 （4）平行四边形是中心对称图形。
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B
D
3
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm A，4 O 则菱形的边长是（ ）C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
A
C
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD， E、F分别为BC，CD的中点，那么 B ∠EAF的度数是（ ）B
A.75°B.60°C.45°D.30°
E
B
D F
§19.2 .2
菱形的定义、性质
菱形
情 景 创 设
前面我们学习了平行四边形 和矩形，知道了如果平行四边形 有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊的四边形呢?
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅 改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程 中，哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形 邻边相等
菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么 这个平行四边形成为怎样的四边形？
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
AB=BC ABCD
．
四边形ABCD是菱形
菱形的性质
让我们一同走进生活中的菱形
2000多年前……
一把埋藏在地下的古剑，出土时 依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无 比，稍一用力，便可将多层白纸划 破，剑身上整齐排列着黑色菱形暗 花纹——越王勾践剑
⑴求菱形ABCD的对角线的长； ⑵求菱形ABCD的面积．
B C A O D
补充例题：已知如图，菱形ABCD中， E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。
D
O
C
A
E
B
D O
A
C
B
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
A B D
菱形是轴对称图形
(2)从图中你能得到哪些 结论?并说明理由.
提示:从边、角、对角线、 面积等方面来探讨
C
菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形的所有性质.
由于平行四边形的对边相等， 而菱形的邻边相等， 故： 菱形的性质1： 菱形的四条边都相等。 又：
A B
D
菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂 直，并且每一条对角线平 分一组对角。
（1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相 等的？ （2）有哪些特殊的三角形？
已知四边形ABCD是菱形
相等的线段： AB=CD=AD=BC
5
A
1 2
7
D
8
O
6 3 4
OA=OC OB=OD
B
C
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角：
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
?
例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD，求两条小路的长和花 坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m ）
A
B
O
D
C
19
四边形
作
业
P98练习题 习题19.2
1 、 2、 5、11、12
例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2．
B
E
C
课堂反思
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识 吗？
菱形就在我们身边
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？
(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗? 它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
菱形是中心对称图形
C
5、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的 交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角 线BD的长。 D
解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 O C
∴AC⊥BD
2 2 2 2
5
2
3
∴ OB AB OA 5 4 9B ∴OB=3 ∴ BD=2OB=6 cm
有关菱形问题可转化为直角三角 形或等腰三角形的问题来解决
等腰三角形： △ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形： Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
Rt△DOA 全等三角形：Rt△AOB
≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
A
D O C
1.已知菱形的周长是12cm，那 3cm 么它的边长是______. 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， 60度 则∠BAC＝_______.
6 已知：如图，AD平分∠BAC， DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：EF⊥AD；
A E
3 12
F D C
B
7、已知，菱形对角线长分别为12cm和 16cm，求菱形的高。 8、如图，E为菱形ABCD边BC上一点， 且AB=AE，AE交BD于O，且 A ∠DAE=2∠BAE， D 求证：EB=OA； O
C
命题：菱形的对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角；
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
求证：AC⊥BD ；
AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在△ABD中，
A
D
O
C
又∵BO=DO ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B 同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
D
边
菱形的两组对边平行且相等 A
O B 数学语言
C
菱形的四条边Βιβλιοθήκη 等菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴ ∠DAB+∠ABC= 180° 角 ∠DAB=∠DCB 菱形的邻角互补 ∴ AD ∥BC ∴ ∠ ADC=∠ABC ∴ ∠DAC=∠BAC 对角线 ∠DCA=∠BCA 菱形的两条对角线互相垂直平分， ∠ADB=∠CDB 并且每一条对角线平分一组对角。 ∠ABD=∠CBD
AC⊥BD
= ∴ OA=OC;OB=OD AB ∥ CD 菱形的 两条对角线互相平分 = ∴ AB=BC=CD=DA
【菱形的面积公式】
A B 菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗? D
菱形
O E
C
S菱形=BC●AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 为 什 用对角线能 计算菱形的面积公式吗? 么 1 S菱形ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD 2 面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半