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机械动力学 第三章

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第三部分机械系统弹性动力学基础课件

第三部分机械系统弹性动力学基础课件

（3） 两端均固定。边界条件可表示为
U (0) U (l) 0
它相当于（ 4-24 ）中k= ∞的情形。其相应的频率为
从而求的其固有频率
sin n l 0
nk
k
l
k
l
E , k 1,2,3, (4 28)
对应主振型
Uk (x)
C1k
sin
k
l
x, k
1,2,3
(4 29)
所以前三阶的主振型为
k11 k 21
k12 k 22
k13 k 23
y1 y2
0
0 0 m3 y3 k31 k32 k33 y3
其特征方程的代数形式为
8F0 l
A
4
l
2 n
2 n
4F0 l
0
4F0
l
8F0 l
A
4
l
2 n
4F0
l
0
4F0
0
l
8F0 l
A
4
l
2 n
解得固有频率为
n1
3.059 l
2(t ) t 2
a2 Y (x)
2Y (x) x 2
式中x和t两个变量已分离。
(4 3)
两边都必须等于同一个常数。设此常数为- wn2 则可得 两个二阶常微分方程
2(t ) t 2
wn2 (t )
0
2Y (x) x 2
wn2 a2
Y
(x)
0
(4 4)
(4 5)
式 （4-4）形式 与单自由度振动微分方程相同，其必为 简谐振动形式
左右截面的位移分别为u, u u dx
故微分段的应变为 u x

机械动力学演示文稿(第三章)

机械动力学演示文稿(第三章)
r T r
r T r r
{ } {A( ) } [m]{A( ) }
r
T
r
r
r
T
r
r
T
r
2
r
nr
r
T
r
r
2 上式说明，第r阶固有频率平方ω nr 等于第r阶主刚度 K r 与第r阶主质量 M r （与单自由度公式类似）
的比值
{A( ) } [m]{A( ) } = M
s T r
{A } [m]{A( ) } = 0
模态刚度矩阵（主刚度矩阵）
[4-6]
可得
K1 0 [Φ ]T [k ][Φ ] = M 0
0 L K2 L M 0
例：前面求出
{A( ) }
1
1 = 2 ; 1
{A( ) }
2
1 =0 ; − 1
{A( ) }
3
1 = − 1 ; 1
[ ][ ]
“线性独立” 线性独立”
多自由度系统动能T，势能U表达式：
[4-4]
1 T & & {x} [m]{x} (10) 第r阶主振动动能 : Tr 2 1 T (11) 第r阶主振动势能 : U r U = {x} [k ]{x} 2 n 则： U = U 1 + U 2 + L + U n = ∑ U i (各阶主振动单独存在时 势能U i 之和) T=
模态矩阵
[Φ] = [{A(1) } {A(2 ) } {A(3) }]
1 1 1 = 2 0 − 1 1 − 1 1
[4-7]
1 2 1 m 0 0 1 1 1 T 求模态质量矩阵： M p = [Φ ] [m][Φ ] = 1 0 − 1 0 m 0 2 0 1 1 − 1 1 0 0 m 1 − 1 1 0 M 1 0 0 6 m 0 0 = 0 2m 0 = 0 M 2 0 0 3m 0 0 M3

机械原理电子教案

机械原理电子教案

机械原理电子教案第一章：机械原理概述1.1 教学目标了解机械原理的基本概念理解机械系统的工作原理掌握机械设计的基本原则1.2 教学内容机械原理的定义与作用机械系统的组成与分类机械设计的基本原则与方法1.3 教学方法采用多媒体演示，介绍机械原理的基本概念和实例通过案例分析，让学生理解机械系统的工作原理小组讨论，探讨机械设计的基本原则及其应用1.4 教学评估课堂问答，检查学生对机械原理基本概念的理解案例分析报告，评估学生对机械系统工作原理的理解程度小组讨论报告，评估学生对机械设计原则的应用能力第二章：机构学基础2.1 教学目标掌握机构的基本概念与分类理解机构学的基本原理学会分析机构的工作过程2.2 教学内容机构的概念与分类机构学的基本原理机构的工作过程分析方法2.3 教学方法采用三维动画演示，介绍机构的基本概念和实例通过实际操作，让学生理解机构学的基本原理案例分析，培养学生分析机构工作过程的能力2.4 教学评估课堂问答，检查学生对机构基本概念的理解实际操作测试，评估学生对机构学原理的应用能力案例分析报告，评估学生对机构工作过程分析的能力第三章：力学基础3.1 教学目标掌握力学的基本概念与原理理解力学在机械原理中的应用学会运用力学原理分析机械系统的工作性能3.2 教学内容力学的基本概念与原理力学在机械原理中的应用机械系统工作性能的力学分析方法3.3 教学方法采用多媒体演示，介绍力学的基本概念和原理通过实验演示，让学生理解力学在机械原理中的应用案例分析，培养学生运用力学原理分析机械系统工作性能的能力3.4 教学评估课堂问答，检查学生对力学基本概念和原理的理解实验报告，评估学生对力学在机械原理中应用的能力案例分析报告，评估学生对机械系统工作性能力学分析的能力第四章：机械动力学4.1 教学目标掌握机械动力学的基本概念与原理理解机械动力学在机械原理中的应用学会运用机械动力学原理分析机械系统的工作性能4.2 教学内容机械动力学的基本概念与原理机械动力学在机械原理中的应用机械系统工作性能的机械动力学分析方法4.3 教学方法采用多媒体演示，介绍机械动力学的基本概念和原理通过实验演示，让学生理解机械动力学在机械原理中的应用案例分析，培养学生运用机械动力学原理分析机械系统工作性能的能力4.4 教学评估课堂问答，检查学生对机械动力学基本概念和原理的理解实验报告，评估学生对机械动力学在机械原理中应用的能力案例分析报告，评估学生对机械系统工作性能机械动力学分析的能力第五章：机械设计方法5.1 教学目标掌握机械设计的基本原理与方法理解机械设计的过程与步骤学会运用机械设计方法解决实际问题5.2 教学内容机械设计的基本原理与方法机械设计的过程与步骤机械设计方法的实践应用5.3 教学方法采用多媒体演示，介绍机械设计的基本原理与方法通过实际案例，让学生理解机械设计的过程与步骤项目实践，培养学生运用机械设计方法解决实际问题的能力5.4 教学评估课堂问答，检查学生对机械设计基本原理与方法的理解案例分析报告，评估学生对机械设计过程与步骤的应用能力项目实践报告，评估学生对机械设计方法解决实际问题的能力第六章：机械零件设计6.1 教学目标掌握机械零件设计的基本原则与方法了解机械零件的分类与功能学会运用设计原理分析机械零件的工作条件6.2 教学内容机械零件设计的基本原则与方法机械零件的分类与功能机械零件工作条件的分析与计算6.3 教学方法采用案例教学，介绍机械零件设计的基本原则与方法通过实物观察，让学生了解机械零件的分类与功能实践操作，培养学生分析机械零件工作条件的能力6.4 教学评估课堂问答，检查学生对机械零件设计基本原则与方法的理解实物观察报告，评估学生对机械零件分类与功能的认知程度实践操作报告，评估学生对机械零件工作条件分析的能力第七章：机械强度计算7.1 教学目标掌握机械强度计算的基本原理与方法了解机械零件的受力分析与应力状态学会运用强度计算解决机械设计中的问题7.2 教学内容机械强度计算的基本原理与方法机械零件的受力分析与应力状态强度计算在机械设计中的应用7.3 教学方法采用理论教学，介绍机械强度计算的基本原理与方法通过动画演示，让学生了解机械零件的受力分析与应力状态案例分析，培养学生运用强度计算解决机械设计问题的能力7.4 教学评估课堂问答，检查学生对机械强度计算基本原理与方法的理解动画演示报告，评估学生对机械零件受力分析与应力状态的认知程度案例分析报告，评估学生对强度计算在机械设计中应用的能力第八章：机械振动与控制8.1 教学目标掌握机械振动的基本概念与分析方法了解机械振动的危害与控制原理学会运用振动分析解决机械设计中的问题8.2 教学内容机械振动的基本概念与分析方法机械振动的危害与控制原理振动分析在机械设计中的应用8.3 教学方法采用理论教学，介绍机械振动的基本概念与分析方法通过实验演示，让学生了解机械振动的危害与控制原理案例分析，培养学生运用振动分析解决机械设计问题的能力8.4 教学评估课堂问答，检查学生对机械振动基本概念与分析方法的理解实验演示报告，评估学生对机械振动危害与控制原理的认知程度案例分析报告，评估学生对振动分析在机械设计中应用的能力第九章：机械可靠性工程9.1 教学目标掌握机械可靠性工程的基本概念与方法了解机械可靠性的度量与改进措施学会运用可靠性工程解决机械设计中的问题9.2 教学内容机械可靠性工程的基本概念与方法机械可靠性的度量与改进措施可靠性工程在机械设计中的应用9.3 教学方法采用理论教学，介绍机械可靠性工程的基本概念与方法通过实例分析，让学生了解机械可靠性的度量与改进措施案例分析，培养学生运用可靠性工程解决机械设计问题的能力9.4 教学评估课堂问答，检查学生对机械可靠性工程基本概念与方法的理解实例分析报告，评估学生对机械可靠性度量与改进措施的认知程度案例分析报告，评估学生对可靠性工程在机械设计中应用的能力第十章：机械创新设计10.1 教学目标掌握机械创新设计的基本原理与方法了解机械创新设计的流程与策略学会运用创新设计解决机械设计中的问题10.2 教学内容机械创新设计的基本原理与方法机械创新设计的流程与策略创新设计在机械设计中的应用10.3 教学方法采用案例教学，介绍机械创新设计的基本原理与方法通过项目实践，让学生了解机械创新设计的流程与策略创新设计竞赛，培养学生运用创新设计解决机械设计问题的能力10.4 教学评估课堂问答，检查学生对机械创新设计基本原理与方法的理解项目实践报告，评估学生对机械创新设计流程与策略的认知程度创新设计竞赛报告，评估学生对创新设计在机械设计中应用的能力重点和难点解析1. 机械原理概述难点解析：理解机械系统的工作原理，掌握机械设计的基本原则及其应用。

机械动力学第3章

机械动力学第3章
初始条件
（3.1-８）
x(0) x0 , x(0) x0
我们关心的是，系统在受到初始扰动的作用后， 是否和单自由度系统一样发生自由振动？ • • 两个坐标是否有相同的随时间变化规律？ 如果有，那么这一随时间变化的规律是什么， 是否是简谐函数？
8
3.1无阻尼自由振动
21 22
描述了系统发生固有频率为 n 2 的自由振动时 x1 (t ) x2 (t ) 的大小。
u u
16
它们分别反应了系统以某个固有频率作自由振动时 的形状或振型 ，表示为
f.特征向量
u u
u 11 1 u 11 1 r 1 u 21 u 12 1 u 12 2 r 2 u 22
确定u 1 和 u 2
u 21 r1
2 n1 m1 k 11
比较r1和r2的大小？？

u
11
k
12
k k
22

k
12 2 n1
m
2
u 22 r2
2 n 2 m1 k 11
（3.1-21）
u
12
k

12
22

k
12 2 n2
m
2
u u
11
12
描述了系统发生固有频率为 n1 的自由振动时 x1 (t ) x2 (t ) 的大小；
22ຫໍສະໝຸດ （3.1-20）
13
3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
从而得到 n1
n 2 ,且

n1
n2

第3章工业机器人运动学和动力学概要

第3章工业机器人运动学和动力学概要

第3章工业机器人运动学和动力学机器人操作臂可看成一个开式运动链，它是由一系列连杆通过转动或移动关节串联而成。

开链的一端固定在基座上，另一端是自由的，安装着工具，用以操作物体，完成各种作业。

关节由驱动器驱动，关节的相对运动导致连杆的运动，使手爪到达所需的位姿。

在轨迹规划时，最感兴趣的是末端执行器相对于固定参考系的空间描述。

为了研究机器人各连杆之间的位移关系，可在每个连杆上固接一个坐标系，然后描述这些坐标系之间的关系。

Denavit和Hartenberg提出一种通用方法，用一个4*4的齐次变换矩阵描述相邻两连杆的空间关系，从而推导出“手爪坐标系”相对于“参考系”的等价齐次变换矩阵，建立出操作臂的运动方程。

称之为D-H矩阵法。

3.1 工业机器人的运动学教学时数：4学时教学目标：理解工业机器人的位姿描述和齐次变换；掌握齐次坐标和齐次变换矩阵的运算；理解连杆参数、连杆变换和运动学方程的求解；教学重点：掌握齐次变换及运动学方程的求解教学难点：齐次变换及运算教学方法：讲授教学步骤：齐次变换有较直观的几何意义，而且可描述各杆件之间的关系，所以常用于解决运动学问题。

已知关节运动学参数，求出末端执行器运动学参数是工业机器人正向运动学问题的求解；反之，是工业机器人逆向运动学问题的求解。

3.1.1 工业机器人位姿描述1.点的位置描述在选定的指教坐标系{A}中，空间任一点P的位置可用3*1的位置矢量表示，其左上标代表选定的参考坐标系。

2.点的齐次坐标如果用四个数组成4*1列阵表示三维空间直角坐标系{A}中点P，则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标，如下：必须注意，齐次坐标的表示不是惟一的。

我们将其各元素同乘一个非零因子后，仍然代表同一点P，即其中：，，。

该列阵也表示P点，齐次坐标的表示不是惟一的。

3.坐标轴方向的描述用i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量，用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向，则有，，从上可知，我们规定：4*1列阵中第四个元素为零，且，则表示某轴（某矢量）的方向。

第03章 机器人的运动学和动力学

第03章 机器人的运动学和动力学

教案首页课程名称农业机器人任课教师李玉柱第3章机器人运动学和动力学计划学时 3教学目的和要求：1.概述，齐次坐标与动系位姿矩阵，了解平移和旋转的齐次变换；2.机器人的运动学方程的建立与求解*；3.机器人的动力学*重点：1.机器人操作机运动学方程的建立及求解；2.工业机器人运动学方程3.机器人动力学难点：1. 机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理思考题：1.简述齐次坐标与动系位姿矩阵基本原理。

2.连杆参数及连杆坐标系如何建立？3.机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理是什么？第3章机器人运动学和动力学教学主要内容：3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.3 齐次变换3.4 机器操作机运动学方程的建立与求解3.5 机器人运动学方程3.6 机器人动力学本章将主要讨论机器人运动学和动力学基本问题。

先后引入了齐次坐标与动系位姿矩阵、齐次变换，通过对机器人的位姿分析，介绍了机器人运动学方程；在此基础上有对机器人运动学方程进行了较为深入的探讨。

3.1 概述机器人，尤其是关节型机器人最有代表性。

关节型机器人实质上是由一系列关节连接而成的空间连杆开式链机构，要研究关节型机器人，必须对运动学和动力学知识有一个基本的了解。

分析机器人连杆的位置和姿态与关节角之间的关系，理论称为运动学，而研究机器人运动和受力之间的关系的理论则是动力学。

3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.2.1 点的位置描述在关节型机器人的位姿控制中，首先要精确描述各连杆的位置。

为此，先定义一个固定的坐标系，其原点为机器人处于初始状态的正下方地面上的那个点，如图3-1（a）所示。

记该坐标系为世界坐标系。

在选定的直角坐标系{A}中，空间任一点P的位置可以用3×1的位置向量A P表示，其左上标表示选定的坐标系{A}，此时有A P=XYZ P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中：P X、P Y、P Z—点P在坐标系{A}中的三个位置坐标分量，如图3-1（b）。

3.2.2 齐次坐标将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即为n维坐标的齐次坐标．．．．。

自由度机械系统动力学


1. 解析法
d
t t0 Je 0 Me()
（3.4.6）
若
Me()ab
则
再求出其 反函数
t
t0
Je b
ln ab ab0
f (t)
（3.4.7）
若
d
tt0Je 0abc2
演讲完毕，感谢观 看
（3.4.8）
一、等效力和等效力矩 二、等效质量和等效转动惯量
等效力学模型
等效原则： 等效构件具有的动能＝各构件动能之和
M e
n j 1
m
j
vSj v
2
J
j
j
v
2
J e
n j 1
m
j
vSj
2
J
j
j
2
（3.3.3）
等效质量和等效转动惯量与传动比有关， 而与机械驱动构件的真实速度无关
2W()
Je()
（3.4.3）
若
是以表达式
给出，且为可积函数时，
（3.4.3）可得到解析解。
但是
常常是以线
图或表格形式给出，则只
能用数值积分法来求解。
常用的数值积分法有梯形
法和辛普生法。
运动方程式的求解方法
一、等效力矩是位置的函数时运动方程的求解
二、等效转动惯量是常数、等效力矩是角速度的函数时运动方程
单自由度机械系统可以采用等效力学模型来进行研究，即系统的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题来研究，可以 使问题得到简化。
当取作定轴转动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力矩，系统的全部 质量和转动惯量折算到该构件上得到等效转动惯量。
当取作直线运动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力，系统的全部质 量和转动惯量折算到该构件上得到等效质量。

E420-理论力学-动力学第三章部分习题解答

动力学第三章部分习题解答3－3 取套筒B 为动点，OA 杆为动系 根据点的复合运动速度合成定理r e a v v v +=可得：l v v ω==e 0a 30cos ，l v v v BC B ω332a === 研究AD 杆，应用速度投影定理有：030cos D A v v =，l v D ω334=再取套筒D 为动点，BC 杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理r D BC D v v v +=将上式在x 轴上投影有：r D BC D v v v +-=-，l v v v BC D D ω332r =+-=3－4 AB 构件（灰色物体）作平面运动， 已知A 点的速度s A O v A /0cm 4510==ωAB 的速度瞬心位于C ，应用速度瞬心法有：rad/s 23==AC v A AB ω BC v AB B ω=，设OB 杆的角速度为ω，则有rad/s 415==OB v B ω 设P 点是AB 构件上与齿轮I 的接触点， 该点的速度：CP v AB P ω=齿轮I 的角速度为：rad/s 61==r v PI ω a v e vr vA vDv rD v A vB P v CAB ωI ω3－6 AB 杆作平面运动，取A 为基点 根据基点法公式有：BA A B v v v +=将上式在AB 连线上投影，可得0,01==B O B v ω因此，041ωω==AB v A AB因为B 点作圆周运动，此时速度为零，因此只有切向加速度（方向如图）。

根据加速度基点法公式n t BA BAA B aaa a ++=将上式在AB 连线上投影，可得n060cos BA A B a a a +=-，r a B 205.2ω-=201231ωα-==B O a B B O （瞬时针）3－7 齿轮II 作平面运动，取A 为基点有nt BA BA A B a a a a ++= n t 1BA BA a a a a ++=将上式在x 投影有：n 1cos BA a a a -=-β由此求得：212n 2cos 2r a a r a BAII βω+==再将基点法公式在y 轴上投影有：2t2sin r a a II BA αβ==，由此求得22sin r a II βα=再研究齿轮II 上的圆心，取A 为基点n t n t2222A O AO A O O aaa aa++=+将上式在y 轴上投影有2sin 2t t 22βαa r a a II AO O ===， B vBAv A vAa Ba t BA an BA atBA anBA axyt2A Oa n 2AO a xyn 2O a t 2Oa由此解得：)(2sin 2121t 221r r a r r a OO O +=+=βα再将基点法公式在x 轴上投影有：n1n22A O O a a a -=- 由此解得：2cos 1n2a a a O -=β，又因为221n 212)(O O O r r a ω+= 由此可得：)(2cos 21121r r a a O O +-±=βω3－9 卷筒作平面运动，C 为速度瞬心， 其上D 点的速度为v ，卷筒的角速度为r R vDC v -==ω 角加速度为rR ar R v -=-== ωα 卷筒O 点的速度为：rR vRR v O -==ω O 点作直线运动，其加速度为 rR aRr R R v va O O -=-==研究卷筒，取O 为基点，求B 点的加速度。

机械动力学 mechanical dynamics-概述说明以及解释

机械动力学mechanical dynamics-概述说明以及解释1.引言1.1 概述机械动力学是研究物体在受到外部力的作用下所产生的运动规律的学科。

它是力学的一个重要分支，涵盖了机械系统的运动学和动力学分析。

在工程领域，机械动力学的研究对于设计和优化机械系统具有重要意义，能够帮助工程师了解和预测物体的运动状态。

本文将从机械动力学的基础概念入手，介绍机械系统的运动学和动力学分析方法。

通过对物体的位置、速度和加速度的研究，我们可以揭示出物体在运动过程中所受到的力和产生的运动状态。

这对于解决工程领域中的实际问题具有重要意义。

在接下来的章节中，我们将详细讨论机械动力学的基础知识，包括运动学分析和动力学分析方法。

通过对这些内容的深入探讨，我们可以更好地理解机械系统的运动规律，从而为工程实践提供有力的支持。

愿本文能对读者加深对机械动力学的理解起到一定的帮助。

1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三部分。

在引言部分，将简要介绍机械动力学的概念和重要性，以及本文的文章结构。

正文部分分为三个小节，分别为机械动力学基础、运动学分析和动力学分析，将详细探讨机械系统的运动规律和力学分析方法。

最后，在结论部分对本文进行总结，展望机械动力学在实际应用中的意义，并得出结论。

通过这样的结构，读者将能够全面了解机械动力学的基础知识和分析方法，帮助他们更好地理解和应用机械动力学理论。

1.3 目的本文旨在深入探讨机械动力学的基础理论和应用，通过对机械系统的运动学和动力学分析，揭示机械系统在不同条件下的运动规律和力学特性。

同时，通过对机械系统的力学性能进行研究，提供解决实际工程问题的有效方法和技术支持。

通过对机械动力学的详细分析，可以帮助工程师和研究人员更好地设计和优化机械系统，提高机械系统的性能和效率。

此外，本文还旨在为读者提供一个全面而系统的机械动力学学习和研究平台，帮助读者深入理解机械系统的工作原理和运行机制，从而促进机械领域的发展和进步。

机械动力学


vSjy aSjy ) J j j j ]
例题P72
§3.4 动力学方程式的求解 注意：关键是确定等效转动惯量和等效力矩的关系式（解析式、图表形式等）
一、等效转动惯量和等效力矩均为位置的函数
（Md=Md()，Mr=Mr()， Me=Me()，Je=Je()）
1. 等效构件的角速度
❖
1 2
式中第二项符号的确定方法为：当Mj与ωj同向时取正号，反向时取负号。
广义力就是作用在广义坐标处的一个力或力矩，它所作的功等于系统中 全部力和力矩在同一时间内所作的功。
广义坐标为一个角位移时，广义力F为一等效力矩Me，它可按下式计算：
F
Me
m ( Fkvk
k 1
cosk
q
)
m
(M j
j 1
j )
q
Me表示式中的广义传动比 j / q、vk / q是由机构的尺度和位置决定的， Me仅仅是机构广义坐标q的函数，与广义速度 q 的变化无关。
单自由度机械系统的动力学方程：
J e q
1 2
J e q
q2
Me
三、等效力学模型
机械系统是复杂多样的，在进行动力学研究时，通常要将复杂 的机械系统，按一定的原则简化为一个便于研究的等效动力学模型。
2、等效条件 (1) 等效构件所具有的动能等于原机械系统的总动能； (2) 等效构件的瞬时功率等于原机械系统的总瞬时功率。
3、等效参数 (1) 等效质量me，等效转动惯量Je； (2) 等效力Fe，等效力矩Me。
等效动力学模型的建立
对于单自由度的机械系统，只要知道其中一个构件的运 动规律其余所有构件的运动规律就可随之求得。因此可把复杂 的机械系统简化成一个构件（称为等效构件),建立最简单的等 效动力学模型，将使研究机械真实运动的问题大为简化。当等 效构件为一个绕机架转动的构件时，模型为图a。当等效构件 为一个移动滑块时，模型为图b 。
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这种方法即为欧拉法 欧拉法. 欧拉法 若t足够小,欧拉法可以得到良好的结果.实际上,理论 分析表明,当t→0时,欧拉法算出的数值解收敛于精确 解. 对于产生的误差可以通过Taylor(泰勒)级数展开加以分析.
t) 由于t→t+t之间速度 x(的值是变化的, t+t时位移的 精确解应为
x(t + t ) = x(t ) + ∫
第一节 欧拉法及其改进
一,欧拉法 对于式(1-16)描述的单自由系统,为了求解振动响应, 首先计算t秒后的状态,这样逐步计算下去,则有
x (t + t ) = x (t ) + x (t ) t x (t + t ) = x (t ) + (t ) t x = { f (t ) kx c x }/ m x (3 - 1)
若采用前面介绍的"直接解法一",计算式如式(3-19)所示
(t +t) = M + t C + β(t)2 K F(t +t) CX(t) + t X(t) KX(t) +tX(t) + 1 β (t)2 X(t) X 2 2 2 t X(t +t) = X + X(t) + X(t + t) (319 ) 2 (t)2 X(t) +β(t)3 X(t +t) X(t) t X(t +t) = X(t) + X(t) + 1 ! 2! t
(t ) = ( f (t ) kx(t ) cx(t )) / m x (t ) = f (t ) kx(t ) c(t ) / m x x
2 x(t + t ) = x(t ) (t )t (t )(t ) x x 2 x(t + t ) = x(t ) x(t )t (t )(t ) x
m(t + t ) + cx(t + t ) + kx(t + t ) = f (t + t ) (3 11) x
另一种方法是显式解法,包括直接法(代入法, 消去法)和迭代法两种.这里主要介绍直接法. 1.直接解法一 将式(3-8),式(3-9)代入运动微分方程(3-11) 中得 (t ) + (t + t ) x x t m (t + t ) + c x (t ) + x
线性加速度法与欧拉法不同,它属于隐式解法类 型.所谓隐式法是不断求出新的时刻满足微分方程的 近似解.虽然计算工作量较大,但因精度和稳定性都 较好,所以常被采用.式(3-8),式(3-9)是当仿 真运行到t时计算t+t状态的公式. x 这时 x(t + t ), x(t + t ) , (t + t )是未知的,三个未 知数只有两个方程,故应联合运动微分方程式求解. 由于问题的性质不同,联合的运动微分方程也 不同,例如对于 m(t ) + cx(t ) + kx(t ) = f (t ) x 式(3-8),式(3-9)可联合
2
式(3-9)是对变量 x(t ) 应用式(3-6)得出的式子. 3-9 3-6
其次改写式(3-8)
(t )2 (t ) + (t )3 (t + t ) (t ) x x x(t + t ) = x(t ) + tx(t ) + x
2! 3! t
(3 10)
此式大致相当于取到Taylor展开式的三次项.它的物 理意义是假定从时刻t到时间t+t的加速度成直线变化.
此方法称为梯形法 梯形法.为了提高精度,还可考虑其他方法. 梯形法 [t,t+t] Simpson 若在区间[t,t+t]采用辛普生(Simpson)公式,则
x(t ) + 4x(t + t / 2) + x(t + t ) x(t + t ) = x(t ) + t 6
(3 7)
第二节 线性加速度法
引言
在第一章中,我们通过求解振动微分方程通解的方法,精 确计算了振动系统的响应,这种方法比较适合求解单自由 度系统.对于多自由度系统,非周期性激励,非线性振动, 我们采用计算机仿真方法,求解振动微分方程的数值解, 以研究振动系统在特定的条件下的振动特性. 下面介绍的方法,既适用于单自由度系统,又适用于多自 由度系统.对于多自由度系统,各变量均用矩阵表示,M, x x x C,K为方阵, (t ) , (t ),(t ) ,f (t ) 均为列阵.
例3-2 图3-1所示的三自由度弹簧-质量系统.试用线性加 速度直接求解法二,求系统的振动响应.
解:设m1=m2=m3=2kg,c1=c2=c3=c4=1.5Ns/m, k1=k2=k3=k4=50N/m,f1=2.0sin(3.754t),f2=-2.0cos(2.2t), f3=1.0sin(2.8t). 建立运动微分方程 MX + CX + KX = F ,其中
m+ (t / 2)c + (t) / 6 k
2
{
}
(312)
上式右边均为已知量,将上式代回式(3-8),式(3 x 9),可求 x (t + t ), (t + t ) .
对于多自由度系统
MX + CX + KX = F
则
1 2 2 (t + t ) = M + t C + (t ) K F (t + t ) C X (t ) + t X (t ) K X (t ) + tX (t ) + (t ) X (t ) X 2 6 2 3 X (t ) + X (t + t ) X (t + t ) = X (t ) + t 2 2 2 (t ) X (t ) + (t ) X (t + t ) X (t + t ) = X (t ) + tX (t ) + 3 6 2
因为式中出现的矩阵 M + (t 2)C + {(t ) / 6}K 在各阶段都相 同,可在第一次计算中预先求出逆矩阵.
2.直接解法二
x 在直接解法一中,先消去 x(t + t ) ,(t + t ) ,但也可 ) x 以先消去 x(t + t 和 (t + t )求 x(t + t ) .为此,由式(3-8) x 求 (t + t ) ,将其代入式(3-9),求 x(t + t ) ,最后代 入式(3-11)求 x(t + t ) ,即
式(3-15)是由威尔逊提出,并得到广泛的采用.式中出 现的1/t,1/( t )2等项并不是为了减少误差而采用的特 殊方法而引入的,而是原封不动地保留消去过程中所出现 的各项而已.将上式改写为式(3-16)更为自然.
1 t (t)2 K MX(t) + tX(t) + (t)2 X(t)+Ct X(t) + (t)2 X(t) + (t)2 X(t)+ (t)2 F(t + t) X(t + t) = M + C + 2 6 3 3 12 2 6 2 (t) X(t) 6 X(t + t) = 2 X(t + t) X(t) + tX(t) + (316) 3 (t) X(t) + X(t + t) X(t + t) = X(t) + t 2
对式(3-2)作积分变换
t +t
t
x(t )dt
(3 2)
t +t t x(t + t ) = x(t ) + x(t ) + ∫ (t + t τ )(τ )dτ x t 1 !
(3 3)
最后可得到精确解
(t) (t) + (t) x(t) += ∞ (t) x(k) (t) (34) t x(t +t) = x(t) + x(t) + x ∑ k! 1 ! 2! 3 ! k=0
t 6 6 3 m2(t) + x(t) + 2 x(t)+c (t) +2x(t) + x(t)+ f (t +t) x x t t (t) 2 x(t +t) = (314 ) 2 k +3c/ t +6m (t)
对于多自由度系统,则如式(3-15)
1 t 3 6 6 6 (t ) + 3 X (t ) + F(t + t ) x(t + t ) = K + C + M M 2X (t ) + X (t ) + X (t ) + C X (t ) + 2X t t t (t )2 (t )2 2 t 3 (t + t ) = {X (t + t ) X (t )} 2X (t ) X (t ) X (3 15) t 2 6 6 X (t + t ) = {X (t + t ) X (t )} X (t ) 2X (t ) 2 t (t )
2 ( t )2 (t ) + ( t )2 (t + t ) = f (t + t ) + k x (t ) + t x (t ) + x x 3 6
(t + t) = x
(t)2 (t) t f (t + t) cx(t) + (t) kx(t) + tx(t) + x x 2 3
2 3 k
由此可得出以下结论: (1)欧拉法是取Taylor级数展开式的前两项的解法. (2)每前进一时间步长t引起的误差为