安徽省枞阳县浮山中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学(理)试题 Word版含答案

育才学校2019—2020学年度第二学期4月月考高二数学（理科）试卷一、选择题(共12小题,每小题5 分,共60分)1.已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2.下列命题是真命题的是A. 命题“若8a b +≠，则2a ≠或6b ≠”为真命题B. 命题“若8a b +≠，则2a ≠或6b ≠”的逆命题为真命题C. 命题“若220x x -=，则0x =或2x =”的否命题为“若220x x -≠，则0x ≠或2x ≠”D. 命题“若220x x -=，则0x =或2x =”的否定形式为“若220x x -≠，则0x ≠或2x ≠”3.当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()30Q ，的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是A. ()2234x y ++= B.()222341x y -+=C. ()2231x y -+= D.()222341x y ++=4.已知命题p x R ∀∈： ， 1x+2x ≥；命题0q:x 0,2π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使00sin?x +cos?x 则下列命题中为真命题的是A. ()p q ∨⌝B. p ∧(⌝q ) ()p q ∧⌝C.()()p q ⌝∧⌝ D. ()p q ⌝∧5.已知椭圆1C ：22113x y +=，双曲线2C ： 22221(,0)x y a b a b -=>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率是 A. 3 B. 3 C.5 D. 56.命题“0x ∀≥，有()0f x ≥成立”的否定形式是A. 0x ∃<，有()0f x < 成立B. 0x ∃<，有()0f x ≥成立C. 0x ∀≥，有()0f x <成立D. 0x ∃≥ ，有()0f x <成立 7.已知，则方程是与在同一坐标系内的图形可能是8.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为A. 4B. 5C. 6D. 7 9.已知两点均在焦点为的抛物线上，若，线段的中点到直线的距离为1，则的值为A. 1B. 1或3C. 2D. 2或610.如图所示，点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 分别在抛物线24y x =及圆()2214x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围A.()4,6 B.[]4,6C. ()2,4D. []2,411.已知椭圆22:195x y C +=左右焦点分别为12F F 、，直线():32l y x =+与椭圆C 交于A B 、两点（A 点在x 轴上方），若满足，则λ的值等于A. 23B. 3C. 2D.312.如图，设椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右顶点为A ，右焦点为F ， B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是A.12 B. 13 C. 23 D. 14二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.若“x ∈[2,5]或x ∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x 的范围是____________． 14.命题“对任何x R ∈， 243x x -+->”的否定是__________．15.设圆()22:11C x y -+=，过原点O 作圆的任意弦，则所作弦的中点的轨迹方程为__________． 16.设分别为椭圆的左,右焦点， 是椭圆上一点，点是的内心，线段的延长线交线段于点，则______.三、解答题(共6小题,共70分) 17. （10分）设命题21:01c p c -<-，命题q ：关于x 不等式()221x x c +->的解集为R .（1）若命题q 为真命题，求实数c 的取值范围；（2）若命题p 或q 是真命题， p 且q 是假命题，求实数c 的取值范围. 18. （12分）已知椭圆C 的两焦点为()12,0F -， ()22,0F ， P 为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若已知直线y x m =+，当m 为何值时，直线与椭圆C 有公共点？ （3）若1290F PF ∠=︒，求12PF F ∆的面积．19. （12分）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与x 轴所成的夹角为30︒，且双曲线的焦距为42.(1)求椭圆C 的方程；(2)设12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，过2F 作直线l (与x 轴不重合)交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，记直线1F E 的斜率为k ，求k 的取值范围.20. （12分）已知过抛物线22y px =（0p >）的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()11,A x y ， ()22,B x y （12x x <）两点，且9AB =.（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若，求λ的值.21. （12分）已知()1,0A -， ()2,0B ，动点(),M x y 满足12MA MB=.设动点M 的轨迹为C .（1）求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； （2）求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；（3）设直线:l y x m =+交轨迹C 于,P Q 两点，是否存在以线段PQ 为直径的圆经过A ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由.22. （12分）已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，；(2)为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.参考答案1.B2.A3.B4.D5.A6.D7.A8.C9.B 10.A 11.C 12.B 13.[1,2)14.存在x R ∈， 243x x -+-≤15.2211(01)24x y x ⎛⎫-+=<≤ ⎪⎝⎭ 16.17.（1）当q 为真时， 58c >；（2）c 的取值范围是()15,1,28⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦。

2019-2020学年安徽省合肥市高二下学期开学考试数学试题一、单选题1．直线l 的方程为222y x +=-，则（ ） A ．直线l 过点(2,2)-，斜率为12B ．直线l 过点(1,2)-，斜率为12C ．直线l 过点(1,2)-，斜率为2D ．直线l 过点(2,2)-，斜率为2【答案】C【解析】利用点斜式的方程判定即可. 【详解】由222y x +=-有()221y x +=-,故直线l 过点(1,2)-,斜率为2. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点斜式的运用,属于基础题型.2．双曲线22145x y -=的离心率是（ ）A B ．32C ．2D ．94【答案】B【解析】由双曲线的标准方程求得a 和c ，从而求得离心率ce a=的值. 【详解】由双曲线方程22145x y -=可得2a =，b =∴3c =，∴32c e a ==. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题. 3．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱柱，结合图中数据即可求出体积. 【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是直三棱柱，且直三棱柱的底面是等腰直角三角形，高为3，则该直三棱柱的体积为121332V =⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查空间几何图三视图的应用问题，空间想象能力与计算能力的应用问题，属于基础题.4．已知空间两点(2,1,3),(4,2,3)A B ---,则A B 、间的距离是（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】根据空间中两点之间的距离公式即可得到结论. 【详解】根据空间中两点之间的距离公式得()()()2222412339AB =++--++=.故选：C. 【点睛】本题主要考查空间中两点之间的距离公式的应用，属于基础题. 5．双曲线2294360x y -+=的一条渐近线的方程为( ) A ．940x y -= B ．490x y -=C ．320x y +=D ．230x y -=【答案】C【解析】将双曲线方程化为标准形式，即可得到渐近线方程. 【详解】由双曲线2294360x y -+=，得22149x y -=，所以渐近线的方程为22049x y -=，即320x y ±=.故选：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.6．已知圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称 ，则直线l的方程是（ ） A ．56110x y +-= B ．6510x y --= C ．65110x y +-= D ．5610x y -+=【答案】B【解析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆外离，把两个圆的方程相减可得对称轴l 的方程. 【详解】∵两圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称，且两圆的圆6=>，∴两圆外离，将两个圆的方程相减可得242040x y --=，即6510x y --=. 故直线l 的方程为6510x y --=. 故选：B. 【点睛】本题考查两圆关于直线对称的性质，把两个圆的方程相减可得此直线的方程，属于基础题.7．已知圆221:2310C x y x y ++++=，圆222:43360C x y x y ++--=，则圆1C 和圆2C 的位置关系为（ ） A ．相切 B ．内含C ．外离D ．相交【答案】B【解析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心与半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距12C C 与半径和与差的关系，即可得到结论.【详解】圆221:2310C x y x y ++++=，即()2239124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴131,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，132r =， 圆222:43360C x y x y ++--=，即()223169224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，∴232,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2132r =，∴两圆的圆心距12C C ==12313822r r +=+=，21133522r r -=-=，∴11225r C r C =<-=，故两圆内含. 故选：B. 【点睛】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，属于基础题. 8．“12m =-”是“直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合直线垂直的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】要使直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直，则()()22110m m ---=，即2210m m --=，解得1m =或12m =-， 所以“12m =-”是“直线()2110m x y --+=与直线()2110x m y +--=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及直线垂直的条件应用，属于基础题. 9．下列命题是真命题的是（ ） A ．“若a b >,则22a b >”的逆命题B ．“若αβ=，则sin sin αβ=”的否定C ．“若,a b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题D ．“若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数，则()()f x g x +是R 上的奇函数”的逆否命题 【答案】D【解析】根据命题的定义，写出已知中命题的四种命题或否定命题，再逐一判断真假即可得到答案. 【详解】对于A ：“若a b >,则22a b >”的逆命题为：“若22a b >，则a b >”为假命题，故A 错误；对于B ：“若αβ=，则sin sin αβ=”的否定为：“若αβ=，则sin sin αβ≠”为假命题，故B 错误；对于C ：“若,a b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为：“若,a b 不都是偶数，则+a b 不是偶数”为假命题，故C 错误；对于D ：“若函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数，则()()f x g x +是R 上的奇函数”的逆否命题为：“若()()f x g x +是R 上的奇函数，则函数(),()f x g x 都是R 上的奇函数”为真命题，故D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查的知识点是四种命题，命题的否定，熟练掌握四种命题的定义是解答的关键，属于基础题.10．已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于两点,A B ，与y 轴交于(0,)2pM ,若||8AB =，则抛物线的准线方程为（ ） A ．2y =- B ．1y =-C ．2x =-D ．1x =-【答案】D【解析】设直线l 的方程为2p x ny =+，由直线与y 轴交于0,2p M ⎛⎫⎪⎝⎭，得1n =-，再联立直线与抛物线方程，利用韦达定理列式即可得抛物线的方程，进而可得准线方程.【详解】由抛物线22(0)y px p =>知焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2p x ny =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则12AB x x p =++，∵直线l 与y 轴交于0,2p M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则022p p n =⋅+，得1n =-，∴直线l 的方程为2px y =-+， 联立222p x y y px⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得22304p x px -+=，∴ 123x x p +=∴ 12348AB x x p p p p =++=+==，即2p =， 故抛物线方程为24y x =，所以准线方程为1x =-. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的弦长公式，属于基础题. 11．已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内任一条直线必垂直于另一个平面④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】对于①，由空间中的线线关系可得①错误； 对于②，由面面垂直的性质定理可得②正确； 对于③，由空间中的线面关系可得③错误； 对于④，由面面垂直的性质定理可得④正确，得解. 【详解】解：对于①，一个平面内已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线，即①错误； 对于②，一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的无数条直线，即②正确；对于③，一个平面内任一条直线不一定垂直于另一个平面，即③错误；对于④，在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，即④正确，即正确命题的个数为2， 故选：C. 【点睛】本题考查了空间中线面、线线关系，重点考查了面面垂直的性质定理，属基础题. 12．已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为边,AB BC 上的点，且3AE BF ==.将,AED CFD ∆∆分别沿ED 和FD 折起，使点A 和C 重合于点P ，则三棱锥P EFD -的外接球表面积为（ ） A ．26π B ．13πC ．10426π D ．2626π 【答案】A【解析】用球的内接长方体的性质，得出半径，求解外接球表面积． 【详解】 如图所示：在三棱锥P EFD -中，4DP =，3PE =，1PF =，221310EF +，因222PE PF EF +=，则PE PF ⊥， 由题意知，PE PD ⊥，PF PD ⊥， 所以,,PE PD PF 互相垂直，即三棱锥P EFD -的外接球的半径为2221264312R =++=所以三棱锥P EFD -的外接球的表面积为222644262S R πππ⎛=== ⎝⎭.【点睛】本题考查了空间几何体的性质，运算求解外接球表面积，属于中档题．二、填空题13．命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为：_______________.【答案】2,10x R x x ∀∈-->【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论. 【详解】命题为特称量词，则命题“2000,10x R x x ∃∈--≤”的否定为：“2,10x R x x ∀∈-->”. 故答案为：2,10x R x x ∀∈-->. 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.14．焦点在x 轴上，离心率12e =，且过的椭圆的标准方程为_______. 【答案】221129x y +=【解析】设椭圆方程，利用离心率为12e =，且经过点(，建立方程，从而可求得椭圆方程. 【详解】由题意，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，因椭圆离心率为12e =，且经过点(，则22214a b a -=，22831a b +=， 解得212a =，29b =，故椭圆的标准方程为221129x y +=.故答案为：221129x y +=.本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题.15．已知定点()3,0B ，点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 中点M 的轨迹方程是___________ 【答案】22(1)1x y -+=【解析】设出点M ，根据M 是AB 中点的坐标，利用中点坐标公式求出A 的坐标，再根据A 在圆上，得到轨迹方程. 【详解】设(),M x y ，点A 的坐标为()00,x y ，由定点()3,0B ，且M 是线段AB 的中点，则023x x =+，020y y =+， 即023x x =-，02y y =， ∴()23,2A x y -，又点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，即()()2223124x y -++=，整理得()2211x y -+=，∴线段AB 中点M 的轨迹方程是()2211x y -+=. 故答案为：()2211x y -+=. 【点睛】本题考查中点的坐标公式，求轨迹方程的方法，相关点法，设出动点坐标，求出相关的点的坐标，代入已知曲线方程，属于基础题.16．已知(3,0)A -，(3,0)B ，点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动，则22PA PB +的最小值是________. 【答案】36【解析】由题意设()32cos ,42sin P θθ++，利用两点之间的距离公式表示出22PA PB +，进而可得结论.【详解】由题意得圆的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），设()32cos ,42sin P θθ++，则()()22262cos 42sin 5624cos 16sin PA θθθθ=+++=++，()()2222cos 42sin 2016sin PB θθθ=++=+，∴()227624cos 32sin 7640sin PA PB θθθϕ+=++=++，其中3tan 4ϕ=， 当()sin 1θϕ+=-时， 22PA PB +有最小值为36.故答案为：36. 【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式，圆的参数方程的应用，属于基础题.三、解答题17．如图，正方体1111ABCD A B C D -中(1)求证：1AC DB ⊥ (2)求证：1DB ⊥平面1ACD 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）利用线面垂直的结论，进而可得线线垂直结论； （2）利用线面垂直的判定定理，进而可得结论. 【详解】证明：(1)连结BD 、11B D1DD ⊥Q 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD 1DD ∴⊥AC又AC BD ⊥，1BD DD D =I ，1BD DD ⊂、平面11DBB DAC ∴⊥平面11DBB D ，又1DB ⊂平面11DBB D1AC DB ∴⊥(2)由1AC DB ⊥，即1DB AC ⊥同理可得11DB AD ⊥， 又1AD AC A =I ，1,AD AC ⊂平面1ACD1DB ∴⊥平面1ACD【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直的证明方法，属于基础题.18．设抛物线的顶点为O ，经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点,B C ，经过抛物线上一点P 垂直于对称轴的直线和对称轴交于点M ，设||BC a =，||MP b =，||OM c =，求证：,,a b c 成等比数列.【答案】见解析【解析】设抛物线为22(0)y px p =>，由题意可得||2BC p a ==，由PM ⊥x 轴于点M 可得(,)P c b 或(,)P c b -，进而可得结论. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点O ，对称轴为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为22(0)y px p =>，则焦点(,0)2pF ， ∵BC ⊥x 轴，∴(,),(,)22p pB pC p - ∴||2BC p a ==又∵PM ⊥x 轴于点M ，||MP b =，||OM c =， ∴(,)P c b 或(,)c b -，∵P 在抛物线上， ∴22b pc =，∴2b ac =即,,a b c 成等比数列. 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，以及抛物线的通径公式，考查分析与推理证明的能力，属于基础题.19．已知ABC ∆的顶点(2,8)C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++= （1）求顶点A 和B 的坐标； （2）求ABC ∆外接圆的一般方程.【答案】（1）()5,1和()7,3-；（2）2246120x y x y +-+-=【解析】（1）联立直线AB 与直线BH 的方程可得点B 的坐标，由AC BH ⊥，进而设出直线AC 的方程，将C 的坐标代入得方程，再与直线AB 方程联立即可得点A 的坐标；（2）由（1）知A ，B ，C 的坐标，设ABC ∆外接圆的一般方程，代入求解即可. 【详解】（1）由211320y x x y =-+⎧⎨++=⎩可得顶点(7,3)B -,又因为AC BH ⊥得，13BH k =-所以设AC 的方程为3y x b =+， 将(2,8)C -代入得14b =-由211314y x y x =-+⎧⎨=-⎩可得顶点为(5,1)A所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,3)-（2）设ABC ∆的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将(5,1)A 、(7,3)B -和(2,8)C -三点的坐标分别代入，得52607358028680D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩，解得4612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以ABC ∆的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=. 【点睛】本题主要考查两直线交点的求法，待定系数法求圆的方程，属于基础题.20．已知点1212),(23P P 是椭圆C ：22221x y a b +=上两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 的斜率为1，直线l 与圆221x y +=相切，且与椭圆C 交于点,A B ，求线段AB 的长.【答案】（1）2214x y +=；（2）5【解析】（1）设椭圆方程为221mx ny +=，将两点坐标代入解得即可；（2）设直线方程为y x m =+，由直线l 与圆221x y +=相切，得22m =，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求得线段的长. 【详解】（1）设椭圆C 的方程为：221mx ny +=，点1212),(23P P 是椭圆C ：221mx ny +=上两点，则131448199m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：1,14m n ==， 故椭圆C 的方程为：2214x y +=.（2）∵直线l 的斜率为1，故设直线l 的方程为：y x m =+即0x y m -+=，1122(,),(,)A x y B x y∵直线l 与圆221x y +=相切，∴21211m =⇒=+， 由22225844014y x m x mx m x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，即25840x mx ++= ∴12128545m x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴221244546||1||2m AB k x x -=+-=⋅=. 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，直线与圆相切，直线与椭圆相交等基础知识，属于基础题.21．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点.（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）若PCD V 15P ABCD -的体积P ABCD V -. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】（1）取PA 的中点F ，连FE 、FB ，证明四边形EFBC 是平行四边形，可得//CE BF ，即可证明//CE 平面PAB ；（2）在平面PAB 内作PO AB ⊥于O ，先设122AB BC AD x ===，然后利用PCD V 15x ，再结合三棱锥体积公式求解即可. 【详解】解：（1）取PA 的中点F ，连FE 、FB ， ∵E 是PD 的中点， ∴1//2FE AD ，又1//2BC AD ， ∴//FE BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ∴//CE BF ，又CE ⊄平面PAB ，BF ⊂平面PAB ， ∴//CE 平面PAB .（2）在平面PAB 内作PO AB ⊥于O ， 不妨设122AB BC AD x ===，则4AD x =， 由PAB △是等边三角形，则2PA PB x ==， 又O 为AB 的中点，则3PO x =，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ， 又BC AB ⊥，AD AB ⊥，BC AD ⊂、平面ABCD ；PO AB ⊥，PO ⊂平面PAB . ∴BC AD ⊥、平面PAB ；PO ⊥平面ABCD ， ∴BC PB ⊥，AD PA ⊥， ∴22PC x =，25PD x =，取AD 的中点M ，连CM ，可得CMD △为等腰直角三角形，90CMD ∠=︒， ∴2CM MD x ==，则22CD x =，PC CD =，3CE x =，∴2115152PCD S PD CE x =⋅==△，即1x =， ∴111()332P ABCDABCD V S PO AB BC AD PO -=⋅=⋅⋅+⋅112(24)32332=⋅⋅+⋅=.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了三棱锥的体积公式，属中档题. 22．已知抛物线C ：26y x =，直线l :22330x +-=与x 轴交于点F ，与抛物线C 的准线交于点M ，过点M 作x 轴的平行线交抛物线C 于点N .（1）求FMN ∆的面积；（2）过F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，设AF FB λ=u u u v u u u v，3(,0)2D -，当1[,3]2λ∈时，求DA DB ⋅u u u v u u u v的取值范围. 【答案】（1）3；（2）[0,3]【解析】（1）根据抛物线方程与直线方程求得3(,0)2F ，31(,3),(,3)22M N -，进而可得FMN ∆的面积；（2）设221212(,),(,)66y y A y B y ，由向量关系得21,3y y λλ==-，进而得1233,22x x λλ==，再由向量数量积得919()42DA DB λλ⋅=+-u u u r u u u r ，又1,32λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，运用基本不等式即可得到结论. 【详解】抛物线C ：26y x =的焦点为3(,0)2，准线为直线32x =-， 又直线l :22330x y +-=与x 轴交于点3(,0)2F ，∴26y x =的焦点为3(,0)2F ， 如图所示：由已知和抛物线定义得NM NF =，且30DFM NMF ∠=∠=o ，31(3),(3)22M N -，∴120,2MNF MN ∠==o， ∴FMN ∆的面积1sin12032S MN NF =⋅=o （2）由（1）知，抛物线C 的方程为26y x =，设221212(,),(,)66y y A y B y ，由AF FB λ=uu u r uu r 得12221222121233(,)(,)332662()2662y y y y y y y y λλλ-=⎧⎪--=-⇒⎨-=-⎪⎩， 不妨设20y >，故21y y ==-,∴1233,22x x λλ== ∴11221212123339(,)(,)()2224DA DB x y x y x x x x y y ⋅=+⋅+=++++u u u r u u u r919()42λλ=+-,1[,3]2λ∈∴当1λ=时，DA DB ⋅u u u r u u u r 最小为0；当3λ=时，DA DB ⋅u u u r u u u r最大为3，即DA DB ⋅u u u r u u u r的取值范围是[0,3].【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力，属于中档题．。

容山中学2019-2020学年第二学期高二年级数学测试试卷一、单项选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的） 1.复数31ii++等于（ ） A. 12i + B. 12i -C. 2i -D. 2i +【★答案★】C 【解析】 试题分析：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-，故选C ． 考点：复数的运算．2.已知随机变量X 服从二项分布()X B 163，，则(2)P X ==（ ）A.80243B. 13243C. 4243D.316【★答案★】A 【解析】 【分析】由二项分布的公式即可求得2X =时概率值.【详解】由二项分布公式：()24261280233243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选A.【点睛】本题考查二项分布的公式，由题意代入公式即可求出. 3.已知函数()ln ,f x x x =-则()f x 的单调减区间是（ ） A. (),1-∞ B. 0,1C. ()(),01,-∞+∞和D. ()1+∞， 【★答案★】D 【解析】试题分析：对函数求导得，单调减区间即，解得．考点：利用导数解决函数的单调性问题．4. 高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（ ）A. 2454C A B. 2456CC. 2454A AD. 2456A【★答案★】D 【解析】试题分析：1班、2班的安排方式有25A 种，剩余4个班的安排方式有46种，所以共有2456A 各安排方式，故选D ． 考点：计数原理．5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ） （附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%【★答案★】B 【解析】 试题分析：由题意13368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59%2P P P （＜＜），（＜＜），（＜＜）（）．ξξξ-=-=∴=-=故选B ． 考点：正态分布6.函数3()xf x x e =-的图象在1x =处的切线斜率为（ ） A. 3B. 3e -C. 3e +D. e【★答案★】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，将1x =代入即可求解切线的斜率． 【详解】2()3xf x x e '=-，所以(1)3f e '=-. 故选：B【点睛】本题考查函数的导数的应用，意在考查求导运算，是基础题．7.在掷一枚图钉的随机试验中，令1,0,X ⎧=⎨⎩针尖向上针尖向下，若随机变量X 的分布列如下：X0 1P0.3p则EX =（ ） A. 0.21 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7【★答案★】D 【解析】 【分析】先由概率和为1，求出p ，然后即可算出EX 【详解】因为0.31p +=，所以0.7p = 所以00.310.70.7EX =⨯+⨯= 故选：D【点睛】本题考查的是离散型随机变量的分布列的性质及求由分布列求期望，较简单. 8.在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（ ） A.542 B.435C.1942D.821【★答案★】A 【解析】分析：根据超几何分布，可知共有410C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可．详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时444101210C P C ==当1个正品3个次品时136441024421035C C P C === 所以正品数比次品数少的概率为1452103542+= 所以选A点睛：本题考查了超几何分布在分布列中的应用，主要区分二项分布和超几何分布的不同．根据不同的情况求出各自的概率，属于简单题． 9.函数f (x )＝21xx -的图象大致是 A. B. C. D.【★答案★】C 【解析】 【分析】先研究1x >时，()f x 的函数值的正负，再研究12f ⎛⎫⎪⎝⎭的正负，从而排除错误选项，得到★答案★.【详解】由x ＞1时f (x )<0，排除B 、D ， 又102f ⎛⎫>⎪⎝⎭，排除A 故选C【点睛】本题考查通过函数的值判断函数的图象，属于简单题.10.已知a 为函数()36f x x x =-的极小值点，则a =（ ） A. -2 B. 2C. 2D. -2【★答案★】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可． 【详解】f ′（x ）＝3x 2﹣6，令f ′（x ）＞0，解得：x ＞2或x ＜﹣2，令f ′（x ）＜0，解得：﹣2＜x ＜2，故f （x ）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，2）递减，在（2，+∞）递增， 故2是极小值点， 故a ＝2， 故选B ．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．二、多选题（本题共2个小题，每小题5分，共10分，每小题的四个选项中，至少有一个是正确的，少答3分，多答错答0分） 11.设离散型随机变量X 的分布列为X0 1 2 3 4 Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y 满足31Y X =+，则下列结果正确的有（ ） A. 0.2q =B. 2EX =， 1.4DX =C. 2EX =， 1.8DX =D. 7EY =，16.2DY =【★答案★】CD 【解析】 【分析】根据概率的性质列方程可得0.1q =，根据期望和方差公式可得2, 1.8EX DX ==，根据31EY EX =+和23DY DX =⨯分别可得EY 和DY ，由此可得★答案★.【详解】由概率的性质可得0.40.10.20.21q ++++=，解得0.1q =，00.110.420.130.240.22EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(02)0.1(12)0.4(22)0.1(32)0.2(42)0.2 1.8DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，313217EY EX =+=⨯+=，239 1.816.2DY DX =⨯=⨯=,故选：CD【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式，属于基础题. 12.下列说法中正确的是（ ）A. 对具有线性相关关系的变量,x y 有一组观测数据()(),1,2,,8i i x y i =⋅⋅⋅，其线性回归方程是13y x a =+，且()1238123826x x x x y y y y +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=，则实数a 的值是18B. 正态分布()1,9N 在区间1,0和()2,3上取值的概率相等C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D. 若一组数据1,,2,3a 的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2 【★答案★】ABD 【解析】 【分析】由已知求出可得,x y ，代入13y x a =+可解得a ，即可判断A ；根据正态分布的对称性，即可判断选项B ；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，可得C ★答案★错误；由一组数据1,,2,3a 的平均数是2算出a ，即可判断D ★答案★正确. 【详解】由()1238123826x x x x y y y y +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=可得633,848x y ===，代入13y x a =+可解得18a =，故A ★答案★正确； 因为区间()1,0-和()2,3关于1x =对称，所以正态分布()1,9N 在区间()1,0-和()2,3上取值的概率相等， 故B ★答案★正确；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1， 故C ★答案★错误；若一组数据1,,2,3a 的平均数是2，即12324a +++=解得2a =，所以这组数的众数和中位数都是2，故D ★答案★正确 故选：ABD【点睛】本题考查的知识点有：线性回归分析、正态分布、平均数、中位数和众数，属于基础题.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分）13.若2213n n A C -=，则n =__________． 【★答案★】6 【解析】 【分析】利用排列数和组合数的计算公式化简已知条件，由此求得n 的值.【详解】由2213n n A C -=得()()()1213212n n n n n ⎧---=⨯⎪⎨⨯⎪≥⎩，解得6n = 故★答案★为：6【点睛】本小题主要考查排列数和组合数的计算，属于基础题. 14.二项式91(2)x x-的展开式中的常数项是__________． 【★答案★】672 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，计算出常数项.【详解】二项式91(2)x x -展开式的通项公式为()()1999 1.5299212rr r rr r r C x x C x ----⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令9 1.50r -=，解得6r =，故常数项为()69663399122672C C --⋅⋅=⋅=故★答案★为：672【点睛】本小题主要考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题. 15.若随机变量ξ的概率分布密度函数是2(2)81()22x x e ϕπ+-=，x ∈R ，则(21)E ξ-=__________．【★答案★】5- 【解析】 【分析】根据密度函数求得μ，也即求得E ξ，由此求得(21)E ξ-.【详解】由2(2)81()2x x eϕπ+-=可知2μ=-，也即2E ξ=-，所以()(21)2215E ξ-=⨯--=-. 故★答案★为：5-【点睛】本小题主要考查正态分布密度函数，属于基础题.16.已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元，每生产1千件，成本再增加3万元．假设该公司年内共生产该零件x 千件并且全部销售完，每1千件的销售收入为()D x 万元，且226.6,(010)30()1951875,(10)x x D x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩ ，为使公司获得最大利润，则应将年产量定为____________千件（注：年利润=年销售收入—年总成本）． 【★答案★】25 【解析】 【分析】求得年利润的解析式，结合导数和基本不等式，求得当x 为何值时，年利润最大.【详解】设年利润为()W x ，则()()()33.65,010303518751903,10x x x W x xD x x x x x ⎧--<≤⎪⎪=-+=⎨⎪-->⎪⎩.当010x <≤时，()()()2'663.61010x x x W x +-=-=， 所以()W x 在()0,6上递增，在(]6,10上递减，最大值为()366 3.6659.430W =⨯--=万元.当10x >时，()187518751875190319031902319027540W x x x x x x x ⎛⎫=--=-+≤-⋅=-⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当1875325x x x=⇒=时，等号成立. 综上所述，当25x =千件时，年利润最大. 故★答案★为：25【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查利用导数求最值，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.四、解析题（共70分．解析须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知827870128(13)x a a x a x a x a x +=+++⋯++，计算：（1）展开式二项式系数之和； （2）展开式各项系数之和；（3）701238a a a a a a -+-+⋯-+； （4）128a a a ++⋯+．【★答案★】（1）256；（2）162；（3）256；（4）1621-. 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和公式，计算出二项式系数和. （2）令1x =，求得展开式各项系数之和. （3）利用赋值法，求得所求表达式的值. （4）利用赋值法，求得所求表达式的值.【详解】（1）二项式展开式二项式系数之和为82256=. （2）令1x =得展开式各项系数之和为()81601278132a a a a a +++++=+=①.（3）令1x =-得()88012378132256a a a a a a -+-+-+=-==.（4）令0x =得801a =，即01a =，由①得16127821a a a a ++++=-.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的二项式系数和、各项系数和，考查利用赋值法进行计算，属于基础题.18.以下问题最终结果用数字表示(1)由0、1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的五位偶数？ (2)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且2、3不相邻的五位数？(3)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数？ 【★答案★】（1）60 （2）72 （3）20 【解析】 【分析】（1）五位偶数，要求末位必须是0，2，4，分类求出满足条件的结果．(2)可以求出一共能组成多少个五位数，然后再求出2、3相邻的五位数的个数，两数相减． （3）确定数字4，5的排法，然后数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入． 【详解】（1）偶数末位必须为0，2，4对此进行以下分类：当末位是0时，剩下1，2，3，4进行全排列，44A =24当末位是2时，注意0不能排在首位，首位从1，3，4选出有13A 种方法排在首位，剩下的三个数可以进行全排列有33A 种排法，所以当末位数字是2时有1333A A =18个数． 同理当末位数字是4时也有18个数，所以由0、1、2、3、4可以组成无重复数字的五位偶数有24+18+18=60个.（2）由1、2、3、4、5组成五位数一共有5554321120A =⨯⨯⨯⨯=个．第一步，把2.3捆定，有122A =种排法；第二步，捆定的2，3与1，4，5一起全排列，共有44432124A =⨯⨯⨯=个数， 根据分步计数原理，2，3相邻的五位数共有12A 44A =48个数，因此由1、2、3、4、5组成无重复数字且2、3不相邻的五位数共有1204872-=个数．（3）把五位数每个数位看成五个空，数字4，5共有255420A =⨯=个，然后把数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入，只有一种方式， 根据分步计数原理，可知由1、2、3、4、5组成无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数为25120A ⨯=个．【点睛】解决此类问题首先要考虑的是分步还是分类问题，是排列还是组合问题． 一般的策略是先考虑没有要求的元素的排法，再考虑特殊元素的要求．19.一台机器每周生产4天，在一天内发生故障的概率为0.1．若这台机器一周内不发生故障，则可获利4万元；发生1次故障仍可获利2万元；发生2次故障的利润为0元，发生3次或4次故障则要亏损1万元；如果请专业人员每天对机器进行维护，则可保证机器正常工作，但每周需增加4千元的维护经费．如果你是老板，你会请专业人员来维护机器吗？请说明理由． 【★答案★】会，理由见解析. 【解析】 【分析】求得一周获利的期望值，由此判断出是否请专业人员来维护机器.【详解】设每周利润为X ，则X 的可能取值为1,0,2,4-，则X 的分布列为：X1-2 4P33144440.10.90.1C C ⋅⋅+⋅ 22240.10.9C ⋅⋅ 1340.10.9C ⋅⋅40.9即X1-2 4P0.0037 0.0486 0.2916 0.6561所以()10.003700.048620.291640.6561 3.2039EX =-⨯+⨯+⨯+⨯=万元.若请专业人员来维护机器，则一周获利为40.4 3.6-=万元.3.6 3.2039>，所以会请专业人员来维护机器.【点睛】本小题主要考查数学期望的应用，属于中档题.20.下表为2015年至2018年某百货零售企业的线下销售额（单位：万元），其中年份代码x =年份2014-．年份代码x 1234线下销售额y 95165230310（1）已知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测2019年该百货零售企业的线下销售额；（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？ 参考公式及数据：221221ˆˆ(),,,()ˆ()()()ni ii nii x y nx yn ad bc bay bx K n a b c d a b c d a c b d xnx ==--==-==+++++++-∑∑．20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.0050k2.072 2.7063.8415.0246.6357.879【★答案★】（1）ˆ7122.5y x =+，377.5万元；（2）能.【解析】 【分析】（1）先求出 2.5x =，200y =，利用给出的公式求出ˆb ，ˆa可得线性回归方程.代入5x =可得2019年该百货零售企业的线下销售额.（2）先根据题设中的数据得到列联表，再根据公式算出2K 的值，最后根据表中数据可得在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关.【详解】（1）由题易得 2.5x =，200y =，42130ii x==∑，412355i i i x y ==∑，所以414122242335554 2.5200ˆ3042575.514i i ii ix y x ybxx ==--⨯⨯===-⨯-=∑∑， 所以ˆˆ20071 2.522.5ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ7122.5yx =+． 由于201920145-=，所以当5x =时，ˆ71522.5377.5y=⨯+=， 所以预测2019年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元．（2）由题可得22⨯列联表如下：持乐观态度持不乐观态度总计男顾客 10 45 55 女顾客 2030 50总计 3075105故2K的观测值2105(10304520)555610307590k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈.，由于6.109 5.024>，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关．【点睛】本题考查线性回归方程的计算和独立性检验，此类问题属于基础题，解题时注意公式的正确使用.21.已知函数21()()ax x f x a x+-=∈R .（1）当1a =时，若13x ≤≤，求函数()f x 的最值； （2）若函数()f x 在2x =处取得极值，求实数a 的值. 【★答案★】（1）min ()1f x =，max 11()3f x =（2）14-【解析】 【分析】（1）当1a =时，1()1f x x x=-+，求导得到()f x 的单调性，利用单调性求得最值； （2）由题意'(2)0f =，解方程得到a ，要注意检验.【详解】（1）当1a =时，211()1x x f x x x x+-==-+，'21()1f x x∴=+， ∴当13x ≤≤时，'()0f x >， ∴函数()f x 在区间[1,3]上单调递增，∴当1a =时，min ()(1)1f x f ==，max 11()(3)3f x f ==. （2）21()ax x f x x+-=， ()()'22''211()axx x ax x x f x x+--+-∴=221ax x +=. 又函数()f x 在2x =处取得极值，2'221(2)02a f ⨯+∴==， 14a ∴=-.经验证知，14a =-满足题意. 综上，所求实数a 的值是14-.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值以及已知函数的极值点求参数，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题. 22.()()3231322a f x x x ax a -=--+，0a >.（1）求函数()f x 的极大值和极小值；（2）若函数()f x 在()0,2上有两个零点，求a 的取值范围． 【★答案★】（1）极大值为()71122f a -=+，极小值为()3213222f a a a a =--+；（2）71,5⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）对函数()y f x =求导，令()0f x '=，求得函数()y f x =极值点，并利用导数分析函数()y f x =的单调性，进而可求得函数()y f x =的极大值和极小值；（2）根据（1）的结果得函数()y f x =在()0,a 上的单调性，再结合条件()y f x =在()0,2上有两个零点，判断()f a 和()2f 的符号，得到不等式组，从而解得a 的取值范围.【详解】（1）因为()()3231322a f x x x ax a -=--+，所以()()()()2331331f x x a x a x a x '=---=-+.令()0f x '=，得x a =或1x =-， 因0a >，所以当(),1x ∈-∞-和(),x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增；当()1,x a ∈-时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减. 所以当1x =-时，()y f x =取得极大值()71122f a -=+， 当x a =时，()y f x =取得极小值()3213222f a a a a =--+；（2）由（1）知：函数()y f x =在()0,a 上单调递减，且()y f x =在x a =时取得极小值， 又()020f a =>，所以若函数()y f x =在()0,2上有两个零点，则()()02002f a f a ⎧<⎪>⎨⎪<<⎩ ，即()3213202286162002a a a a a a a ⎧--+<⎪⎪⎨---+>⎪⎪<<⎩，则()()41057002a a a a a ⎧+->⎪-<⎨⎪<<⎩，解得：715a <<，所以a 的取值范围为71,5⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，利用导数解决函数零点问题，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

安徽省铜陵市枞阳县浮山中学2019-2020学年高二下学期开学考试理科数学试题一、单选题(★★) 1. 若复数满足，则复数在复平面上的对应点在第（）象限A．一B．二C．三D．四(★) 2. 我们从这个商标中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是( )A．B．C．D．(★★★) 3. 已知函数，若，则此函数的单调减区间是（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知正实数满足：，则（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知，若的最大值为 M，的最小值为 N，则 M+ N等于（）A．0B．2C．D．(★★★) 6. 己知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是(）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知 y= f( x+2)是奇函数，若函数 g( x)= f( x) 有 k个不同的零点，记为 x 1，x 2，…， x k，则 x 1+ x 2+…+ x k=（）A．0B．k C．2k D．4k(★★★) 8. 已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 9. 已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★★★) 10. 已知函数，若方程有3个不同的实根，，（），则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 11. 函数恰有一个零点，则实数的值为（）A．4B．3C．D．(★★) 12. 设函数是函数的导函数，当时，，则函数的零点个数为（）A．B．2C．1D．0二、填空题(★★) 13. 已知，，若，，则的表达式__________.(★★★)14. 已知奇函数满足：对一切，且时，，则__________.(★★★★) 15. 已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为 __________ .(★★) 16. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______三、解答题(★★) 17. 若在是减函数，求的最大值.(★★★) 18. 设函数= ，．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．(★★★) 19. 已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求的单调区间.（2）若方程在上有两个实数根，求实数的取值范围.(★★★★) 20. 已知函数 .（1）讨论函数在上的单调性；（2）若，当时，，且有唯一零点，证明： .(★★★) 21. 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD的顶点 A ， B以及 CD的中点 P处，已知 AB=20km， CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD内(含边界)，且与A ， B等距离的一点 O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO ， BO ， OP，设排污管道的总长为km．(I)设，将表示成的函数关系式；(II)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短，并求出最短值．(★★★★) 22. 已知函数：(I)当时，求的最小值；(II)对于任意的都存在唯一的使得，求实数 a的取值范围．。

2019-2020年高二下学期入学考试数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p ：“2-=a ”是命题q ：“：1l 01=-+3y ax 与：2l 0346=-+y x 垂直”成立的（ ） A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．既非充分也非必要条件2.射洪中学为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从高中、初中两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ． 按年级分层抽样D ．系统抽样3.圆4)2(22=++y x 与圆91)2(22=+）（-y -x 的位置关系为（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ． 相离4.设射洪中学的学生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（ ）A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该中学某学生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该中学某学生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg5.已知函数]5,5[,2)(2-∈--=x x x x f ，在定义域内任取一点0x ，使0)0≤f(x 的概率是（ ）A ．101B ．32 C.103 D ．54 6.已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-0205202y y x y -x ，则x y z =的取值范围为（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131， C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,31 7.已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；②若α⊂m ，α⊂n ，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③如果α⊂m ，α⊄n ，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交；④若α∩β＝m ，n ∥m ，且α⊄n ，β⊄n ，则n ∥α且n ∥β.其中为真命题的是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8.柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（ ）A ．取出的鞋不成对的概率是54 B ．取出的鞋都是左脚的概率是51 C. 取出的鞋都是同一只脚的概率是52 D ．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是2512 9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．?42≤zB ．?20≤z C. ?50≤z D ．?52≤z10.射洪中学随机抽查了本校20个同学，调查它们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是]40,35[,),10,5[),5,0[⋅⋅⋅，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）A ．B ． C. D ．11.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.2212.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ）A ．43B ．1 C. 32 D ．31第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题0,:<∈∀x R x p 的否定是 ．14. 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．15.在平面直角坐标系xOy 中，曲线y x y x 2222+=+围成的图形的面积为 ．16.已知圆)0()1(:222>=+-r r y x C 与直线3:+=x y l ，且直线l 上有唯一的一个点P ，使得过点P 作圆C 的两条切线互相垂直.设EF 是直线l 上的一条线段，若对于圆C 上的任意一点Q ，0≤⋅的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在)1500,1000[.（1）求居民收入在)3500,3000[的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为)3000,2500[的人中抽取多少人？18.（本小题满分12分）设命题p ：点（1，1）在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部；命题q ：直线mx －y ＋1＋2m ＝0(k ∈R )不经过第四象限，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．19. （本小题满分12分）口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为4,3,2,1，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为c b a ,,.（1）在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；（2）求抽取的编号能使方程62=++c b a 成立的概率.20. （本小题满分12分）已知⊙0204222=---+y x y x C ：，直线0471)12(:=--+++m y m x m l ）（.（1）求证：直线l 与⊙C 恒有两个焦点；（2）若直线l 与⊙C 的两个不同交点分别为B A ，.求线段AB 中点P 的轨迹方程，并求弦AB 的最小值.21. （本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P - ABCD 中，P A ⊥底面ABCD, AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F - AB - P 的余弦值．22. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：9)5(22=-+y x 外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线2-=y 的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值.（1）求曲线C 1的方程；（2）设P(x 0,y 0)（x 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线y=-4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的横坐标之积为定值.射洪中学高2015级高二下期入学考试数学试题（理）答案一、选择题1-5:ACBDC 6-10:DDDAB 11、12：CA二、填空题 13.0,00≥∈∃x R x 14.3315.84+π 16.244+ 16.【解析】根据圆的对称性知直线l 上的唯一点P 与圆心C 所在直线必与直线l 垂直，则PC 所在直线的方程为1=+y x ，与直线3+=x y 联立求得)2,1(-P ，再根据对称性知过点)2,1(-P 的两条切线必与坐标轴垂直，2=r ；由题意，知EF 取得最小值时，一定关于直线1+=x -y 对称，如图所示，因此可设以点)2,1(-P 为圆心，以R 为半径的圆，即222)2()1(R -y x =++与圆C R 2，由相切条件易知222(2R 44)22+=+=.三、解答题17.【解析】（1）居民收入在)3500,3000[的频率为%155000003.0=⨯. （2）中位数为2400545002000=⨯+， 平均数为2400%53750%153250%252750%252250%201750%101250=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，其众数2750,2250.（3）在月收入为)3000,2500[的人中抽取25人.18.【解析】命题p 11m ⇔-<<，…………3分命题q 0m ⇔≥……………6分① p 真q 假时，10m -<<；②p 假q 真时，1m ≥.故m 的取值范围为10m -<<或1m ≥………12分19.【解析】（1）将甲、乙依次取到小球的编号记为),(b a ，则基本事件有)4,4(),3,4(),2,4(),1,4(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1(，共16个.记“甲、乙两人成为好朋友”为事件M ，则M 包含的情况有)4,4(),3,3(),2,2(),1,1(，共4个人，故甲、乙两人成为“好朋友”的概率41164)(==M P . （2）将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为),,(c b a ，则基本事件有64个.记“丙抽取的编号能使方程62=++c b a 成立”为事件N ，当丙抽取的编号1=c 时，4=+b a ，∴),(b a 分别为)1,3(),2,2(),3,1(，当丙抽取的编号2=c 时，2=+b a ，∴),(b a 为)1,1(，当丙抽取的编号3=c 或4=c 时，方程62=++c b a 不成立.综上，事件N 包含的基本事件有4个，∴161644)(==N P .（2）由题意知，设点),(y x P 为弦AB 的中点，由（1）可知0=⋅，点P 的轨迹方程是以CQ 为直径的圆为45)23()2(22=-+-y x ，由圆的几何性质可知，当）（1,3Q 是弦AB 的中点时，AB 最小. 弦心距5==CQ d ，⊙C 的半径为5，∴5455222min =-=AB .21.【解析】(1)证明：向量BE ＝(0，1，1)，DC ＝(2，0，0)，故BE ·DC ＝0，所以BE ⊥DC .(2) 向量BC ＝(1，2，0)，CP ＝(－2，－2，2)，AC ＝(2，2，0)，AB ＝(1，0，0)．由点F 在棱PC 上，设CF ＝λCP →，0≤λ≤1.故BF ＝BC ＋CF ＝BC ＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF ·AC ＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34，即BF ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB ＝0，n 1·BF ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1，0)，则cos 〈，〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010. 易知二面角F - AB - P 是锐角，所以其余弦值为31010. 22.【解析】（1）设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2y =-的上侧.于是20x +>5x =+. 化简得曲线1C 的方程为220y x =. （2）当点P 在直线4-=y 上运动时，P 的坐标为)4,0-x （，又30±≠x ，则过P 且与圆 2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为)(40x x k y -=+，即040=---kx y kx .于是31920=+-k kx 整理得07218)9(0220=++-k x k x ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故 972-,918202120021-=-=+x k k x x k k ②，联立直线与抛物线消去y 得： 0)4(202002=++-kx kx x ③设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为,,,,4321x x x x ，则是方程③的两个实根，所以)4(200121+=x k x x ④；同理可得)4(200243+=x k x x ⑤于是由②，④，⑤三式得)16)(4(40002120214321+++=x k k x k k x x x x 6400)16972972(40020202020=+---=x x x x . 所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的横坐标之积为定值6400.。

安徽省重点中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学试题（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列命题正确的是（）A. 经过三点确定一个平面B. 经过一条直线和一个点确定一个平面C. 四边形确定一个平面D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）A. 若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nC. 若a⊥α，a⊥β，则α//βD. 若m⊂α，m//n，则n//α3.下列命题中，真命题的是（）A. ∃x∈[0,π2],sinx+cosx≥2 B. ∀x∈(π2,π)，tanx>sinxC. ∃x∈R，x2+x=−1D. ∀x∈R，x2+2x>4x−34.圆心在x+y=0上，且与x轴交于点A（-3，0）和B（1，0）的圆的方程为（）A. (x+1)2+(y−1)2=5B. (x−1)2+(y+1)2=√5C. (x−1)2+(y+1)2=5D. (x+1)2+(y−1)2=√55.过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A. x+2y−5=0B. 2x+y−4=0C. x+3y−7=0D. 3x+y−5=06.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：①异面直线C1P与CB1所成的角为定值；②二面角P-BC1-D的大小为定值；③三棱锥D-BPC1的体积为定值；其中真命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 37.已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 20+2√3B. 18+2√3C. 18+√3D. 20+√38.若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A. y =±2xB. y =±√2xC. y =±12xD. y =±√22x 9. 若椭圆x 2m+y 2=1（m ＞1）与双曲线x 2n-y 2=1（n ＞0）有共同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则△F 1PF 2的面积是（ ）A. 3B. 1C. 13D. 1210. 三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ） A. 6π B. 5π C. 4π D. 3π11. 设曲线x =√2y −y 2上的点到直线x -y -2=0的距离的最大值为a ，最小值为b ，则a -b的值为（ ）A. √22B. √2C. √22+1 D. 212. 抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A. √3B. √32 C. √33 D. √34二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线l 经过点A （5，-2），且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为______ 14. 已知（4，2）是直线l 被椭圆x 236+y 29=1所截得的线段的中点，则l 的方程是______．15. 过点P （1，√3）作圆x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．16. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点．下列结论中，正 确结论的序号是______．①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；②B 1D 1∥平面EFG ； ③BD 1⊥平面ACB 1；④异面直线EF 与BD 1所成角的正切值为√22；⑤四面体ACB 1D 1的体积等于12a 3三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设命题p ：（4x -3）2≤1；命题q ：x 2-（2a +1）x +a （a +1）≤0，若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若EF⊥PC，求证：平面PAB⊥平面PCD．19.已知直线l：x-y+5=0，圆A：（x-4）2+（y-3）2=4，点B（-2，-3）（1）求圆上一点到直线的距离的最大值；（2）从点B发出的一条光线经直线l反射后与圆有交点，求反射光线的斜率的取值范围．20.在梯形ABCD中，DC∥AB，DC⊥CB，E是AB的中点，且AB=2BC=2CD=4（如图1所示），将△ADE沿DE翻折，使AB=2（如图2所示），F是线段AD上一点，且AF=2DF．（Ⅰ）求四棱锥A-BCDE的体积；（Ⅱ）在线段BE上是否存在一点G，使EF∥平面ACG？若存在，请指出点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．21. 如图，椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A 、B ，且|AB |=√52|BF |．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若斜率为2的直线l 过点（0，2），且l 交椭圆C 于P 、Q 两点，OP ⊥OQ ．求直线l 的方程及椭圆C 的方程．22. 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线y 2=4x 相交于不同的A 、B 两点．（Ⅰ）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； （Ⅱ）如果OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；B、根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故B不对；C、比如空间四边形则不是平面图形，故C不对；D、两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面，由公理1知三条直线都在此平面内，故D正确．故选：D．根据公理2以及推论判断A、B、D，再根据空间四边形判断C．本题主要考查了确定平面的依据，注意利用公理2的以及推论的作用和条件，可以利用符合题意的几何体来判断，考查了空间想象能力．2.【答案】C【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α与β平行或相交，故A错误；在B中，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故B错误；在C中，若a⊥α，a⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确；在D中，若m⊂α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选：C．在A中，α与β平行或相交；在B中，m与n平行或异面；在C中，由面面平行的判定定理得α∥β；在D中，n∥α或n⊂α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．3.【答案】D【解析】解：由于sinx+cosx=sin（x+），故是假命题，A错；当，tanx＜0，sinx＞0．故，tanx＞sinx是假命题，B错；由于方程x2+x=-1的△＜0，故此方程无实数解，故C错；由于x2+2x-（4x-3）=x2-2x+3=（x-1）2+2≥0．∴x2+2x＞4x-3，故D正确．故选：D．对于A：由于sinx+cosx=sin（x+），即可进行判断；对于B：当，tanx＜0，sinx＞0．从而得出它们的大小关系；对于C：由于方程x2+x=-1的△＜0，故此方程无实数解；对于D：先作差x2+2x-（4x-3）=x2-2x+3=（x-1）2+2≥0，再进行判断即可．本小题主要考查全称命题、特称命题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，∴圆心M的坐标为（-1，1），又A（-3，0），半径|AM|==，则圆的方程为（x+1）2+（y-1）2=5．故选：A．要求圆的标准方程，先求圆心坐标：根据圆心在直线上设出圆心坐标，根据圆的定义可知|OA|=|OB|，然后根据两点间的距离公式列出方程即可求出圆心坐标；再求半径：利用利用两点间的距离公式求出圆心O到圆上的点A之间的距离即为圆的半径．然后根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，两直线的交点坐标，以及垂径定理，根据题意得出圆心在直线x=-1上是解本题的关键．5.【答案】A【解析】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于-，由点斜式求得所求直线的方程为y-2=-（x-1），化简可得x+2y-5=0，故选：A．先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：对于①因为在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，有正方体的及题意易有B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故这两个异面直线所成的角为定值90°，所以①正确；对于②因为二面角P-BC1-D的大小，实质为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角而这两的平面为固定的不变的平面所以夹角也为定值，故②正确；对于③三棱锥D-BPC1的体积还等于三棱锥的体积P-DBC1的体积，而平面DBC1为固定平面且大小一定，又因为P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，所以点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故③正确．故选：D．对于①由题意及图形利用异面直线所成角的概念及求异面直线间的方法及可求解；对于②由题意及平面具有延展性可知实质为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角；对于③由题意及三棱锥的体积的算法中可以进行顶点可以轮换性求解体积，和点P的位置及直线AD1与平面BDC1的位置即可判断正误．对于①重点考查了异面直线所成角的概念及求异面直线间的方法；对于②重点考查了平面具有延展性及二面角的求法及其定义；对于③重点考查了三棱锥的体积的体积计算可以进行顶点轮换及线面平行时，直线上任意一点到平面的距离都行等这一结论．7.【答案】B【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为边长是2的正方体截去三棱锥F-BGE，则该几何体的表面积为=18+．故选：B．三视图还原原几何体如图，该几何体为边长是2的正方体截去三棱锥F-BGE，再由正方形及三角形面积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.【答案】B【解析】解：由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．故选：B．通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．9.【答案】B【解析】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，由它们有相同的焦点，得到m-1=n+1，即m-n=2．不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2，①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2，②①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2（m+n），即有|PF1|•|PF2|=m-n=2，又|F1F2|=2，可得|PF1|2+|PF2|2=4（m-1），|F1F2|2=4（m-1），即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，则△F1PF2的形状是直角三角形即有△PF1F2的面积为|PF1|•|PF2|=×2=1．故选：B．由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，由它们有相同的焦点，得到m-n=2．根据双曲线和椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，△PF1F2 中，由三边的关系得出其为直角三角形，由△PF1F2的面积公式即可运算得到结果．本题考查焦点三角形的面积，注意运用椭圆与双曲线的定义，求焦点三角形三边的关系，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，考查运算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，BC⊥PB，则PC为三棱锥P-ABC外接球的直径，由PA=2，AB=BC=1，得，∴外接球的半径为，则外接球的表面积4πR2=6π．故选：A．由题意可得，PC是三棱锥P-ABC的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据求得PC，得到外接球半径，从而得到所求外接球的表面积．本题考查多面体外接球表面积、体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：将x=化为：x2+（y-1）2=1，∴圆心（0，1），半径r=1，∵圆心到直线x-y-2=0的距离d=，∴圆上的点到直线的最小距离b=-1，最大值为（0，2）到直线的距离，即a==2则a-b=+1．故选：C．利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，由d-r求出最小值，最大值为（0，2）到直线的距离，确定出a与b的值，即可求出a-b的值．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2-ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2-ab≥（a+b）2-（）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：C．设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由余弦定理得|AB|2=a2+b2+ab，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值．本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．13.【答案】x+y-3=0或2x+5y=0【解析】解：根据题意，分两种情况讨论：当直线l在两坐标轴上的截距都等于0时，直线过点（5，-2），则其斜率k=-，直线方程为y=-x，即2x+5y=0；当直线l在两坐标轴上的截距不等于0时，设该直线的方程为+=1，直线过点（5，-2），代入直线方程可得a=5-2=3，则直线方程为x+y-3=0；综上可得：所求的直线方程为2x+5y=0或x+y-3=0．故答案为：x+y-3=0或2x+5y=0．分别求出直线l在两坐标轴上的截距都等于0时和直线l在两坐标轴上的截距不等于0时的直线方程即可．本题考查了直线的截距式方程应用问题，注意理解截距的定义，容易忽略截距为0即直线过原点的情况．14.【答案】x+2y-8=0【解析】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==-=-=-=-．由点斜式可得l的方程为x+2y-8=0．设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），由“点差法”可求出直线l的斜率k==-=-=-=-．再由由点斜式可得l的方程．本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．15.【答案】32【解析】解：连接OA，OB，PO则OA=OB=1，PO=，2，OA⊥PA，OB⊥PB，Rt△PAO中，OA=1，PO=2，PA=∴∠OPA=30°，∠BPA=2∠OPA=60°∴===故答案为：根据直线与圆相切的性质可求PA=PB，及∠APB，然后代入向量数量积的定义可求．本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用，属于基础试题．16.【答案】①③④【解析】解：延长EF分别与B1A1，B1B的延长线交于N，Q，连接GN交A1D1于H，设HG与B1C1的延长线交于P，连接PQ交CC1于I，交BC于M，连FH，HG，GI，IM，ME，则截面六边形EFHGIM为正六边形，故①正确；B1D1与HG相交，故B1D1与平面EFG相交，所以②不正确；∵BD1⊥AC，BD1⊥B1C，且AC与B1C相交，所以BD1⊥平面ACB1，故③正确；以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可得异面直线EF与BD1的夹角的正切值为，故④正确；四面体ACB1D1的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为a3-4××a3=a3，故⑤不正确．故答案为：①③④根据公里3，作截面可知①正确；根据直线与平面的位置关系可知②不正确；根据线面垂直的判定定理可知③正确；根据空间向量夹角的坐标公式可知④正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知⑤不正确．本题考查了命题的真假判断与应用，属难题．17.【答案】解：设A={x|（4x-3）2≤1}，B={x|x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0}，易知A={x|12≤x≤1}，B={x|a≤x≤a+1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即A⊂B，{a≤1 2a+1≥1且两等号不能同时取．故所求实数a的取值范围是[0，12]．【解析】分别解出命题p和命题q中不等式的解集得到集合A和集合B，根据¬p是¬q 的必要不充分条件，得到q是p的必要不充分条件，即q推不出p，而p能推出q．说明P的解集被q的解集包含，即集合A为集合B的真子集，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．此题考查了一元二次不等式的解法，掌握两命题之间的关系，是一道综合题．18.【答案】证明：（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA，∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD．…………（6分）（2）由（1）可得，EF∥PA，又EF⊥PC，∴PA⊥PC∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为正方形∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA ，又CD ∩PC =C ，∴PA ⊥平面PDC ，又PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD ．…………（12分）【解析】（1）连结AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点，从而EF ∥PA ，由此能证明EF ∥平面PAD ．（2）由EF ∥PA ，又EF ⊥PC ，得PA ⊥PC ，从而CD ⊥平面PAD ，进而CD ⊥PA ，PA ⊥平面PDC ，由此能证明平面PAB ⊥平面PCD ．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 19.【答案】解：（1）根据题意，圆A ：（x -4）2+（y -3）2=4，其圆心A 为（4，3），半径r =2则圆心A 到直线的距离 d =|4−3+5|√2=3√2＞r ，直线与圆的位置关系为相离， 所以圆上一点到直线距离最大值为d +r =3√2+2；（2）设点B （-2，-3）关于直线x -y +5=0直的对称点为（m ，n ）由 {m−22−n−32+5=0n+3m+2⋅1=−1⇒{n =3m=−8，即反射直线过点（-8，3） 由题意反射线的斜率k 必存在，设方程为：y -3=k （x +8），即：kx -y +8k +3=0，由d ≤r 得|4k−3+8k+3|√k 2+1≤2⇒35k 2≤1，解得-√3535≤k ≤√3535， 故 k ∈[−√3535，√3535]． 【解析】（1）根据题意，由圆的方程求出圆心的坐标以及半径，求出圆心到直线的距离分析可得直线与圆相离，进而分析可得答案；（2）根据题意，设点B （-2，-3）关于直线x-y+5=0直的对称点为（m ，n ），分析可得m 、n 的值，分析可得反射线的斜率k 必存在，设方程为：y-3=k （x+8），由直线与圆的位置关系由d≤r 得，变形解可得k 的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆方程的应用以及直线与圆的位置关系，涉及关于直线对称的直线的方程，属于基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）∵在梯形ABCD中，DC∥AB，DC⊥CB，E是AB的中点，AB=2BC=2CD=4（如图1所示），将△ADE沿DE翻折，使AB=2（如图2所示），∴平面ABE⊥平面BCDE，四边形BCDE是以2为边长的正方形，取BE中点O，连结AO，则AO⊥BE，且AO=√22−12=√3，∴AO⊥平面BCDE，∴四棱锥A-BCDE的体积V=13×AO×S正方形BCDE=13×√3×2×2=4√33．（Ⅱ）过F作FH∥DC，交AC于H，在EB上取EG=FH，连结GH，∵F是线段AD上一点，且AF=2DF．∴EG=2GB，即G是BE上靠近点B的三等分点，此时，FH−//EG，∴四边形GEFH是平行四边形，∴EF∥GH，∵EF⊄平面ACG，GH⊂平面ACG，∴线段BE上存在一点G，G是BE上靠近点B的三等分点，使EF∥平面ACG．【解析】（Ⅰ）推导出平面ABE⊥平面BCDE，四边形BCDE是以2为边长的正方形，取BE中点O，连结AO，则AO⊥BE，且AO=，从而AO⊥平面BCDE，由此能求出四棱锥A-BCDE的体积．（Ⅱ）过F作FH∥DC，交AC于H，在EB上取EG=FH，连结GH，则EG=2GB，即G是BE上靠近点B的三等分点，此时，FH EG，四边形GEFH是平行四边形，从而EF∥GH，由此能求出线段BE上存在一点G，G是BE上靠近点B 的三等分点，使EF∥平面ACG．本题考查四棱锥的体积的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由已知|AB|=√52|BF|， 即√a 2+b 2=√52a ，4a 2+4b 2=5a 2，4a 2+4（a 2-c 2）=5a 2，∴e =c a =√32．…（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知a 2=4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2+y 2b 2=1．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线l 的方程为y -2=2（x -0），即2x -y +2=0．由{2x −y +2=0x 24b 2+y 2b 2=1⇒x 2+4(2x +2)2−4b 2=0， 即17x 2+32x +16-4b 2=0．△=322+16×17(b 2−4)＞0⇔b ＞2√1717． x 1+x 2=−3217，x 1x 2=16−4b 217．…（9分）∵OP ⊥OQ ，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即x 1x 2+y 1y 2=0，x 1x 2+（2x 1+2）（2x 2+2）=0，5x 1x 2+4（x 1+x 2）+4=0．从而5(16−4b 2)17−12817+4=0，解得b =1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．…（13分） 【解析】（Ⅰ）利用|AB|=|BF|，求出a ，c 的关系，即可求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）直线l 的方程为y-2=2（x-0），即2x-y+2=0与椭圆C ：联立，OP ⊥OQ ，可得，利用韦达定理，即可求出椭圆C 的方程．本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）设l ：x =ty +1代入抛物线y 2=4x 消去x 得，y 2-4ty -4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则y 1+y 2=4t ，y 1y 2=-4∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=（ty 1+1）（ty 2+1）+y 1y 2 =t 2y 1y 2+t （y 1+y 2）+1+y 1y 2=-4t 2+4t 2+1-4=-3．（Ⅱ）设l ：x =ty +b 代入抛物线y 2=4x ，消去x 得y 2-4ty -4b =0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则y 1+y 2=4t ，y 1y 2=-4b∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=（ty 1+b ）（ty 2+b ）+y 1y 2=t2y1y2+bt（y1+y2）+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b令b2-4b=-4，∴b2-4b+4=0∴b=2．∴直线l过定点（2，0）．【解析】（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于-4，做出数量积表示式中的b 的值，即得到定点的坐标．从最近几年命题来看，向量为每年必考考点，都是以选择题呈现，从2006到现在几乎各省都对向量的运算进行了考查，主要考查向量的数量积的运算，结合最近几年的高考题，向量同解析几何，三角函数，立体几何结合起来考的比较多．。

浮山中学2019-2020学年第二学期期中测试高二数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A ，B ，C ，D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号填涂到答题卡相应位置.1.若复数z 满足(12)5i z -=，则复数z 在复平面上的对应点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法法则求出复数z ，由此可得复数z 在复平面上的对应点的坐标为()1,2，即可得到答案. 【详解】因为复数z 满足(12)5i z -=，()()()()2251251251212121212i i z i i i i ++∴====+--++， ∴复数z 在复平面上的对应点的坐标为()1,2，此点位于第一象限.故选：A .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 2.我们从这个商标中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是( )A. ()211f x x =-B. ()211f x x =+C. ()11f x x =- D. ()11f x x =- 【答案】D 【解析】 【分析】由图像分析得函数为偶函数，排除法即可.【详解】由图像得函数的定义域为{}1x x ≠±，排除B,C. 由1()02f > 排除A. 故选：D.【点睛】本题考查的是利用函数的图像分析判断出函数是偶函数的问题，属于基础题.3.已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（）A. (,1]-∞-B. [1)-+∞，C. [1,1)-D. (3,1]--【答案】D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知正实数,,a b c 满足：221211()log ,()log ,log 23aba b c c ===，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】先得到满足2211log ,log 23a ba b⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的,a b 在()1,+∞，满足12log c c =的c 在()0,1，再根据12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的交点，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的交点，从而得到,a b 的大小关系，得到答案.【详解】因为221211log ,log ,log 23a ba b c c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在坐标系里画出12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图像，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图像可得(),1,a b ∈+∞，()0,1c ∈再根据12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图像交点得到a 的位置，根据13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图像交点得到b 的位置 从而得到a b > 故c b a <<， 故选B 项.【点睛】本题考查通过指数函数与对数函数的图像的交点，判断数值的大小，属于中档题.5.已知()[]3=sin 1,2,2f x x x x ππ-+∈-，若()f x 的最大值为M ，()f x 的最小值为N ，则M +N 等于（ ）A. 0B. 2C. 4πD. 38π【答案】B 【解析】 【分析】构造奇函数3()sin g x x x =-,利用奇函数的最大值和最小值互为相反数可得.【详解】设3()sin g x x x =-,因为3()sin()()g x x x -=---3sin x x =-+()g x =-, 所以()g x 为[2,2]ππ-上的奇函数.由已知可得()g x ()1f x =-的最大值为1M -,最小值为1N -, 所以110M N -+-=, 所以2M N +=. 故选B.【点睛】本题考查了奇函数的最大值与最小值的和为零这条性质,属于基础题. 6.己知函数()x x f x e=，若关于的方程2[()]()10f x mf x m ++-= 恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( ） A. ()(),22,-∞⋃+∞ B. 11,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 11,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,e【答案】C 【解析】 【分析】先画出函数()f x 的图象，令()f x t =，由题意中的恰有3个不同的实数解，确定方程210t mt m ++-=的根的取值情况，继而求出m 的范围【详解】()x xf x e=Q ，则()()21x xx xe xe xf x e e --='=当()1x ∈-∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增 当()1x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减 如图所示：令()f x t =，则有210t mt m ++-= 即()()110t m t +-+= 解得1211t m t =-=-， 故101m e<-< 即111m e-<< 故选C【点睛】本题考查了复合函数根的情况，在解答此类题目时需要运用换元法，根据原函数图像，结合实数点的个数，确定方程根的取值范围，从而进行转化为方程根的情况，然后求解，本题需要进行转化，有一定难度．7.已知y =f (x +2)是奇函数，若函数g (x )=f (x )12sin x --有k 个不同的零点，记为x 1，x 2，…，x k ，则x 1+x 2+…+x k =（ ） A. 0 B. kC. 2kD. 4k【答案】C 【解析】 【分析】 根据()f x 与sin12y x =-的对称性，判断出()g x 的对称性，由此即可计算出对应的零点之和. 【详解】因为()2y f x =+是奇函数，所以()f x 关于点()2,0成中心对称，又因为函数sin12y x =-也是关于点()2,0成中心对称， 所以()()sin12g x f x x =--的零点即为函数()f x 与sin12y x =-交点的横坐标，且交点关于点()2,0成中心对称，所以12 (422)k kx x x k +++=⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查函数对称性的应用，难度一般.(1)已知函数()y f x a =+是奇函数()y f x ⇔=关于点(),0a 成中心对称；(2)已知函数()y f x a =+是偶函数()y f x ⇔=关于直线x a = 对称.8.已知函数())sin 0f x x x ωωω=>在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是（ ） A. 1014,33⎛⎫⎪⎝⎭B. 1014,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 144,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，根据正弦函数的性质由零点个数，即可求得参数范围. 【详解】因为())sin 0f x x x ωωω=>， 故可得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故可得,3323x ππππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦ 令()0f x =，可得sin 32x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 根据正弦函数的性质，要满足题意， 只需78,2333ππωππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭解得144,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，以及利用正弦函数的性质根据零点个数求参数范围，属综合中档题.9.已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，都有()()12124f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. [4,)+∞ B. (4.?)+∞ C. (,4]-∞D. (,4)-∞【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先确定g （x ）＝f （x ）﹣4x 在（0，+∞）上单增，再利用导数转化，可得24x a x ≥-恒成立，令()24h x x x =-，求得()h x max ，即可求出实数a 的取值范围．【详解】令()()4g x f x x =-，因()()12124f x f x x x ->-，所以()()12120g x g x x x ->-，即()g x 在()0,+∞上单调递增，故()40ag x x x=-'+≥在()0,+∞上恒成立， 即24x a x ≥-，令()()24,0,h x x x x =-∈+∞.则()()2424h x x x h =-≤=，()h x max 4=，即a 的取值范围为[4,+∞）.故选A.【点睛】本题考查了函数单调性的判定及应用，考查了原函数单调与导函数正负的关系，确定g （x ）在（0，+∞）上单增是关键，属于中档题．10.已知函数()()22xf x x x e =-，若方程()f x a =有3个不同的实根1x ，2x ，()3123x x x x <<，则22ax -的取值范围是（ ）A.⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. ⎛ ⎝⎭D. (【答案】B 【解析】 【分析】对()f x 求导，利用()f x 的图像求得2x 的范围，以及a 与2x 的关系，将问题转化为关于2x 的函数值域的问题进行处理即可.【详解】因为()()22xf x x x e =-，故可得()()22xf x ex'=-，令()0f x '=，解得x =故可得()f x 在区间(,-∞单调递增，在(单调递减，在)+∞单调递增.又(f =，(2f=-，且当x 趋近于负无穷时，()f x 趋近于零，故()f x 的图象如下所示：故若方程()f x a =有3个不同的实根，则222a e ⎛∈ ⎝，又因()()222222x f x x x e a =-=，()22,0x ∈故22a x -()222222222x x x x e x e x -==-， 不妨令()(),2,0xh x xe x =∈-，则()()1xh x ex '=+，令()0h x '=，解得1x =-，容易知()h x 在区间()2,1-单调递减，在()1,0-单调递增. 故可得()()11min h x h e =-=-，又(222h e=<()00h = 故可得()0h x <，则()1,0h x e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，即22a x -1,0e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 故选：B.【点睛】本题考查利用导数函数的零点问题，涉及范围的求解，以及构造函数，属压轴题. 11.函数()22ln 3f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则实数a 的值为（ ）A. 4B. 3C.6D.3【答案】A 【解析】 【分析】将函数()22ln 3f x x x x ax =+-+恰有一个零点,转化为22ln 3x x x ax +-+0=,即32ln 0a x x x =++=在(0,)+∞上只有一个根,转化为函数32ln y x x x=++与函数y a =的图象只有一个交点,再利用导数研究函数的最值可得.【详解】因为函数()22ln 3f x x x x ax =+-+恰有一个零点,所以22ln 3x x x ax +-+0=,即32ln 0a x x x=++=在(0,)+∞上只有一个根, 所以函数32ln y x x x=++与函数y a =的图象只有一个交点 因为2231y x x '=+-22223(3)(1)x x x x x x+-+-==, 所以当01x <<时,0y '<, 所以32ln y x x x=++在(0,1)内递减; 当1x >时,0y '>,所以32ln y x x x=++在(1,)+∞内递增, 所以1x =时, 32ln y x x x=++取得最小值4. 所以函数32ln y x x x=++的图象如下:观察图象可知:4a =. 故选A.【点睛】本题考查了已知函数的零点个数,求参数的值,解题关键是将函数零点个数的问题转化为函数图象交点的个数问题处理.本题属于难题.12.设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，()()30f x f x x'+<，则函数()()31g x f x x=-的零点个数为（ ） A. 3 B. 2C. 1D. 0【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()31F x x f x =-，可得出()()3F x g x x=，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数()()3F x g x x=的零点个数.【详解】设()()31F x x f x =-，则()()()()()32333f x F x x f x x f x x f x x ⎡⎤'''=+=+⎢⎥⎣⎦. 当0x ≠时，()()30f x f x x'+<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在()0,∞+上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(),0-∞上单调递增. 所以()()max 010F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点， 故()()()331F x g x f x x x=-=也没有零点. 故选：D.【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1f x xx=+，0x ≥，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=，n ∈+N 则()2014f x 的表达式__________.【答案】12014xx+【解析】 【分析】根据题意，归纳总结即可求得函数表达式.【详解】由题可知()11x f x x =+，()()()2111211xx x f x f f x x x x+===+++，()312,13112xxx f x x x x +==+++L()1n xf x nx=+，故容易得()2014f x =12014xx +. 故答案为：12014xx+. 【点睛】本题考查归纳推理，属基础题.14.已知奇函数()()y f x x R =∈满足：对一切x ∈R ，()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时，()1xf x e =-，则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________. 【答案】31e e -- 【解析】 【分析】根据题意，求得()f x 的周期性，则()2019f 可求，再结合函数解析式，求得函数值即可. 【详解】由题可知：因为对一切x R ∈，()()11f x f x +=-， 故()f x 关于1x =对称； 又因为()f x 是奇函数，则可得()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--=-=-， 故可得()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=， 故函数()f x 是周期为4的函数.则()()()201911f f f =-=-，又当[]0,1x ∈，()1xf x e =-，故()()201911f f e =-=-，则()()()()()320191131eff f e f e f e e-=-=--=--=-.故答案为：31e e --.【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，属综合中档题；难点在于求得函数的周期.15.已知1x 是函数()22xf x x =+-的一个零点，2x 是函数()()2log 13g x x x =-+-的一个零点，则12x x +的值为__________.【答案】3 【解析】 【分析】可以将函数零点问题看成两个函数交点问题,结合函数关于y x =对称,计算结果,即可.【详解】()f x 的零点问题可以转化成()21xh x =+与()3m x x =-的交点,而函数()g x 的零点问题可以看成()()2log 1t x x =-与()3m x x =-的交点,结合反函数的求解得出()h x 与()t x 互为反函数,关于y x =对称,绘制函数图像,得到结合对称可知,AE BD =,而045BGD ∠=,所以BD DG =,而12,AE x OD x ==,G 点坐标为()3,0,所以123x x +=【点睛】本道题考查了函数零点问题,关键将零点问题转化成函数交点个数问题,属于较难的题.16.已知函数()()32,1xf x ag x x =-=+，若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a的取值范围是______ 【答案】[]1,1- 【解析】 【分析】先求得函数()(),f x g x 在[]0,1上的值域，使两个值域的交集不为空集的a 的范围即是所求.【详解】函数()f x 和函数()g x 都是[]0,1上的增函数，故值域为()[]()[]1,2,1,2f x a a g x ∈--∈，要使两个值域有交集，则112a a -≤≤-，或者122a a -≤≤-，解得01a ≤≤，或者10a -≤≤，即[]1,1a ∈-.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的值域，考查存在性问题的求解.属于中档题.题目所给的函数一个含有指数，一个含有幂函数.指数函数的单调性要看底数，底数大于1，则为增函数，底数在0和1之间，则为减函数.幂函数的指数大于零时，在第一象限是增函数.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出说明文字、演算式.17.若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，求a 的最大值. 【答案】4π 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简三角函数为标准余弦型函数，根据余弦函数的单调性，求得x 的范围. 结合()f x 的单调区间，列出不等式，则问题得解. 【详解】()cos sin 4πf x x x x =-=+），且函数cos y x =在区间[]0,π上单调递减，则由04x ππ≤+≤，得344x ππ-≤≤. 因为()f x 在[],a a -上是减函数，所以434a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得4a π≤，所以a 的最大值是4π.【点睛】本题考查利用辅助角公式化简三角函数，以及由余弦型三角函数的单调区间求参数范围，属综合基础题.18.设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈．证明： （Ⅰ）()f x 21x x ≥-+； （Ⅱ）34<()f x 32≤． 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析． 【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111x x x-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3x x ≤，进行放缩，得到3()2f x ≤， 再结合第一问的结论，得到3()4f x >， 从而得到结论. 试题解析：（Ⅰ）因为44231()11,1()1x x x x x x x ----+-==--+ 由于[0,1]x ∈，有411,11x x x-≤++即23111x x x x -+-≤+， 所以2()1.f x x x ≥-+（Ⅱ）由01x ≤≤得3x x ≤，故31133(1)(21)33()11222(1)22x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++， 所以3()2f x ≤. 由（Ⅰ）得22133()1()244f x x x x ≥-+=-+≥， 又因为，所以3()4f x >. 综上，33().42f x <≤ 【考点】函数的单调性与最值、分段函数.【思路点睛】（Ⅰ）先用等比数列前n 项和公式计算231x x x -+-，再用放缩法可得23111x x x x-+-≤+，进而可证()21f x x x ≥-+；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论及放缩法可证()3342f x <≤．19.已知函数()ln af x x x=+. （1）若曲线()y f x =在点()(),20m m >处的切线方程为3y x =-+，求()f x 的单调区间. （2）若方程()10f x -=在1,e x e ⎛∈⎤ ⎥⎝⎦上有两个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为()2,+∞，单调递减区间为()0,2.（2）2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义，由切线斜率以及切点在切线上，求得参数，再对函数求导，即可求得单调区间； （2）构造函数()()1ln h x x x =-，利用导数求得其单调性和值域，则问题得解. 【详解】解：（1）()21a f x x x=-+.由题意可得23m =-+，解得1m =， ln121a ∴+=，解得2a =.()2ln f x x x ∴=+，()22212'x f x x x x-=-+=. 当2x >时，()0f x '>，当02x <<时，()0f x '<，()f x ∴的单调递增区间为()2,+∞，单调递减区间为()0,2.（2）方程()10f x -=在x 上有俩个实数根 即方程()1ln a x x =-在x 上有两个实数根，令()()1ln h x x x =-，则()1ln 1ln h x x x '=--=-， 当11x e≤<时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当1x e <≤时，()0h x '<，()h x 单调递减()()max 11h x h ∴==.又12h e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0h e =，21a e ∴<<.即实数a 的取值范围是2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求函数单调区间，以及利用导数由方程根的个数求参数范围，属综合基础题.20.已知函数2()2ln ,()12()f x x ax g x x f x =+=+- . （1）讨论函数()f x 在[4,)+∞上的单调性；（2）若0a >，当(1,)x ∈+∞时，()0g x ≥，且()g x 有唯一零点，证明：1a < .【答案】（1）见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)求导后得22()axf x a x x+'=+=,再对a 分四种情况讨论可得函数的单调性; (2)令()2224()22x ax g x x a x x'--=--==0,可知'g x （）在(1,)+∞上有唯一零点0x =,所以0020x a x -+-= ①, 要使0g x ≥（）在(1,)+∞上恒成立，且0g x =（）有唯一解，只需()00g x =，即()200012ln 102x x ax -++-= ②，再联立①②可知，200152ln 022x x --+=,然后构造函数,利用导数可得. 【详解】（1）依题意，22()axf x a x x+'=+=若0a =，则2()0f x x '=> ，故函数f x （）在[4,)+∞ 上单调递增；若0a ≠，令'0f x =（），解得2x a=- ； 若0a >，则20a-<，则'0f x >（） ， 函数f x （）在[4,)+∞上单调递增；若12-a „，则24a-„，则'0f x ≤（） ， 则函数f x （）在[4,)+∞上单调递减；若102a -<<，则24a ->，则函数f x （）在24,a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上所述，0a ≥时，函数f x （）在[4,)+∞上单调递增，12-a „时，函数f x （）在[4,)+∞上单调递减，102a -<<时，函数f x （）在24,a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）依题意，214ln 20x x ax +--…，而()2224()22x ax g x x a x x'--=--=， 令()0g x '=，解得x =因为0a >，故281a a ++>，故'g x （）在(1,)+∞上有唯一零点2082a a x ++=；又2()2g x x a x ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， 故0020x a x -+-= ①， 要使0g x ≥（）在(1,)+∞上恒成立，且0g x =（）有唯一解， 只需()00g x =，即()200012ln 102x x ax -++-= ②， 由①②可知，200152ln 022x x --+=令()2000152ln 22h x x x =--+显然()0h x 在(1,)+∞上单调递减， 因为1(1)20,(2)2ln 202h h =>=-+<， 故012x <<， 又002a x x =-+在(1,)+∞上单调递增， 故必有1a <【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性,零点存在性定理,属难题.21.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 以及CD 的中点P 处，已知AB =20km ，CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 内(含边界)，且与A ，B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km ．(I)设BAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；(II)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短，并求出最短值．【答案】（I ）2010sin 10,0cos 4y θπθθ-⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭（II ）污水处理厂的位置为点P 位于线段AB 的中垂线上且距离3AB km 边处，)10km + 【解析】 【分析】(I)在直角三角形AOQ 中,利用AQ =10,BAO θ∠=可以求得OA 和OQ ,从而可得OP =10-OQ , 然后可得y OA OB OP =++,并写上θ的范围,即可得到. (II )利用导数得到函数的单调性,根据单调性可求得函数的最值. 【详解】（I ）由条件PQ 垂直平分AB ，若BAO θ∠=，则10cos cos AQ OA θθ==， 故10cos OB θ=，又tan 10tan OQ AQ θθ==,所以1010tan OP θ=-, 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-， 所求函数关系式为2010sin 10,0cos 4y θπθθ-⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭（II ）2210cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)cos cos y θθθθθθθ-----'==, 令0y '=,得1sin 2θ= ,04πθ≤≤Q ,所以6πθ=,当(0,)6πθ∈时,0y '<,y 是θ的减函数,当(,)64ππθ∈时,0y '>, y 是θ的增函数, 所以当6πθ=时,min 120102y -⨯=1010+=+,此时点O 位于线段AB 的中垂线上,且距离ABkm 处.所以三条排污管管道总长最短为)10km +【点睛】本题考查了利用导数求函数的最小值.本题属于中档题. 22.已知函数：()()21ln ,12x f x x a x a g x e x =--=-- (I)当[]1,x e ∈时，求()f x 的最小值；(II)对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）答案不唯一，见解析（II ）2124,24e e ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(I)求导后,通过对a 的讨论,得到函数的单调性,根据单调性可得最小值;(II)对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =,得()g x ([0,1]x ∈的值域是()([1,])f x x e ∈的值域的子集,求出两个函数的值域后列式可求得.，注意2x 的唯一性满足【详解】解：（I ）()2x af x x-'=1.1a ≤时，[]()()1,,0,x e f x f x '∈≥递增，()()min 112f x f a ==-, 022.a e ≥时，[]()()1,,0,x e f x f x '∈≤递减，()()2min22e f x f e a ==-023.1a e <<时，x ⎡∈⎣时()()0,f x f x '<递减，x e ⎤∈⎦时()()0,f x f x '>递增，所以()min ln 22a af x fa ==-- 综上，当()min 112a f x a ≤=-，； 当()2min 1ln 22a a a e f x a <<=--，当()22min 22e a ef x a ≥=-，（II ）因为对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =成立, 所以()g x ([0,1]x ∈的值域是()([1,])f x x e ∈的值域的子集. 因为()1,xg x e '=-[]()()0,10,x g x g x '∈≥，递增，()g x 的值域为()()[]0,10,2g g e =-⎡⎤⎣⎦（i ）当1a ≤时，()f x 在[]1,e 上单调递增，又()()211,222e f a f e a =-=-，所以()f x 在[1,e]上的值域为21[,2]22ea a --,所以2102222a e a e ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩即112a ≤≤ （ii ）当21a e <<时，因为x ⎡∈⎣时，()f x递减，x e ⎤∈⎦时，()f x 递增，且()10,0f f<<，所以只需()2f e e ≥-，即2222e a e -≥-，所以21142e ea <≤-+ （iii ）当2a e ≥时，因为()f x 在[]1e ，上单调递减，且()()1102f x f a ≤=-<， 所以不合题意.综合以上，实数a 的取值范围是2124,24e e ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,分类讨论思想,等价转化思想,本题属于难题. 解题方法总结:像”对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =，”已知条件,一般是转化为两个函数的值域得包含关系,口诀是:任意是存在的子集.。