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质点、刚体的角动量、角动量守恒定律

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第三章 4刚体角动量和守恒

第三章 4刚体角动量和守恒
核融合能量的分界—铁
自转初每秒钟 30 - 40次 4 秒自转一次老化的 磁场地球的108～1015倍 产生脉冲波(波霎)周期 0.03～4.3秒 一亿吨/cm3 表面光滑
▲行星状星云，中间的白点可能是中子星
【例15】 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端点 O的水平轴转动，图示。当棒从水平位置自由释放后，它
【例13】 质量为 m1长为 l 的细杆，静止平放在粗糙的水平面上， 细杆与水平面之间的摩檫系数为 μ ，可绕通过其端点O，且与
平面垂直的固定轴转动。 另有一水平运动的质量为 m2 的滑快， 从侧面垂直与杆的方向，与杆的另一端A 碰撞。已知滑块碰撞
o 前、后的速度分别为
檫力矩。 ：（2）
v1 与 v 2 求：（1）细杆转动时受到的摩 杆从开始转动到停止所需的时间.
●地球的自转角速度变化？ 变慢！
问题2 水平圆盘边上，站有一人质量为m，圆盘半径为R， 转动惯量为J，以角速度ω转动，如果此人从旁边径直走 到圆盘中心，求：角速度的变化和系统动能的变化？
O
A知识点窍:相对运动和L守恒(系统受的合外力矩为零),
L Li 常量C ,转动动能 E转 J 2 2
B逻辑推理:速度对惯性参照系,行走过程中摩擦力过转轴 （Mf=0）,重力矩与L垂直就是对L没有贡献，即M合=0
C解：（1）求摩擦力矩 取微元dx
dm=dx= m1 dx
x
m1 l
l
dx
对o点的力矩元 dM0 dM0 = x dmg
dM0
=
m1 l
g
x
dx
x
M0 =
l m1g x dx
0l
1 2
m1gl
【例13】 质量为 m1长为 l 的细杆，静止平放在粗糙的水平面 上，细杆与水平面之间的摩檫系数为 μ ，可绕通过其端点O，

角动量守恒定律的公式

角动量守恒定律的公式

角动量守恒定律的公式
1. 角动量守恒定律公式。

- 对于质点，角动量L = r× p（其中r是质点相对于某参考点的位矢，p = mv 是质点的动量，×表示矢量叉乘）。

- 在合外力矩M = 0时，角动量守恒，即L_1 = L_2。

- 对于定轴转动的刚体，角动量L = Iω（其中I是刚体对轴的转动惯量，ω是刚体的角速度）。

当合外力矩M = 0时，I_1ω_1=I_2ω_2。

2. 相关知识点（人教版教材相关内容补充）
- 转动惯量。

- 对于离散质点系，I=∑_im_ir_i^2，其中m_i是第i个质点的质量，r_i是该质点到转轴的垂直距离。

- 对于质量连续分布的刚体，I = ∫ r^2dm。

不同形状的刚体转动惯量有不同的计算公式，例如，对于质量为m、半径为R的均匀圆盘绕通过圆心且垂直于盘面的轴转动，其转动惯量I=(1)/(2)mR^2；对于质量为m、长为l的细棒绕通过中心且垂直于棒的轴转动，I=(1)/(12)ml^2。

- 角动量定理。

- 对于质点，M=(dL)/(dt)（M是合外力矩），这表明质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。

- 对于刚体定轴转动，M = Iα（α是角加速度），结合L = Iω也可推导出
M=(dL)/(dt)。

4-3角动量 角动量守恒定律

4-3角动量 角动量守恒定律
in
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水
跳水运动员
茹可夫斯基凳
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆，可 绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面 内转动．当细杆静止于水平位置时，有一只 小虫以速率 v 0 垂直落在距点O为 l/4 处，并背 离点O 向细杆的端点A 爬行．设小虫与细杆 的质量均为m．问：欲使细杆以恒定的角速 度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
解 设飞船在点 A 的速度 v 0 , 月球质 量 mM ,由万有引力和 牛顿定律
vB
R
B
vA
v0
v
O h A
u
v mM m G m 2 ( R h) Rh mM g G 2 2 R R g
2 0
v0 (
Rh
)
12
1 612 m s
1
质量 m' 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒
d r mv r F dt
所以
dL M＝ dt
dL M dt

t2
t1
M dt L2 L1
冲量矩
t1
t2
M dt
对同一参考点O，质点所受的冲量矩 等于质点角动量的增量．——质点的角动 量定理
3、质点的角动量守恒定律
若质点所受的合外力矩为零，即 M=0，
4－3 角动量 角动量守恒定律
力对时间累积效应： 冲量、动量、动量定理． 力矩对时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．

《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.

《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m

L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。

刚体的角动量和角动量守恒定律

刚体的角动量和角动量守恒定律
2．刚体的角动量
如图所示，刚体绕转轴 Oz 以角速度 ω 转动。 由于刚体上的每个质元都绕转轴 Oz 做圆周运动，因此都具有一定的角动量。 设第 i 个质元的质量为 mi ，它到转轴的垂直位矢为 ri ，线速度为 vi ，则该质元对转轴的角动量 Li 大 小为 Li miviri miri2
刚体的角动量和角动量守恒定律
计转轴处的摩擦力和空气阻力）。
【解】 把人和转台看作一个系统，系统不受外力矩作用，
其角动量守恒，即 mR2 1 MR2 0
2
解得 2 m
M 负号表示转台转动的方向与人跑动的方向相反。
大学物理
大学物理
刚体的角动量和角动量守恒定律 1.1 角动量
1．质点的角动量
如图所示，质量为 m 的质点相对于某一参考点 O 运动，在某一时刻，质点相对于参考点 O 的位矢为 r， 质点的速度为 v，质点的动量为 p mv ，则位矢 r 与动量 p 的矢积称为质点相对于 O 点的角动量（动量矩）， 用 L 表示，即 L r p r mv
m2 Lv0
Байду номын сангаас
m2 Lv
1 3
m1L2
根据线量与角量的关系 v L ，
可解得子弹和杆一起运动时的角速度 ω 为 3m2v0
(3m2 m1)L
刚体的角动量和角动量守恒定律
， ，
，
，
例题讲解 5
如图所示，质量为 M、半径为 R 的转台，可绕过中心的竖直轴转动。质量为 m 的人站在台的边缘。最
初人和台都静止，后来人在台的边缘开始跑动。设人相对地面的角速度为 ω，求转台转动的角速度 （不
刚体的角动量和角动量守恒定律 1.1 角动量
1．质点的角动量

大学物理 第三章 角动量守恒定律 刚体汇总

大学物理 第三章 角动量守恒定律 刚体汇总
求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。在 O
棒上取质元dm,当棒处在下
摆 角时，棒 的重力矩为：
M l d(mg)
l
设 m
L
L
gl sin(
)dl
1
mgL cos
0
2
2
X dm
dmg
J 1 mL2
3
M
1 mgL cos
2
3g cos
J
1 mL2
整个刚体绕轴的角动量为所有质元角动量之和：
L Li ( miri2 )
i
i
令：J miri2 称为刚体对轴的转动惯量。
i
则刚体对轴的角动量为：L J
力对转轴的力矩
f 在转动平面内 Mz r f
Mz fr sin
Z
Mz
Or
d
P
f
转动平面
方向如图
例题P40：3-3
f 不在转动平面内，有时间可以补讲。
（2）通过棒的中点并与棒垂直的转轴的转动惯量。
解：（1） m
l
dm dx
x dx
x l
J x2dm l x2dx 1l3 1 ml2
0
33
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: J R2dm R2 dm mR2
OR dm
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆 盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距
为d，刚体对其转动惯量为J，则有：
l
J＝JC＋md2。
z
刚体的质心： xc

刚体角动量和角动量守恒定律

刚体角动量和角动量守恒定律
刚体角动量和角动量守恒 定律
• 刚体角动量介绍 • 角动量守恒定律 • 刚体角动量的应用 • 刚体角动量与现实世界的关系 • 刚体角动量与未来科技的关系
01
刚体角动量介绍
刚体的定义
刚体
在运动过程中，其内பைடு நூலகம்任意两点 间的距离始终保持不变的物体。
刚体的特性
在刚体的运动过程中，其形状和 大小不会发生变化，只改变其位 置和姿态。
刚体的角动量定义
角动量
一个物体绕固定点旋转时所具有的动 量，其大小等于物体质量、速度和旋 转半径的乘积。
刚体的角动量
当刚体绕固定点旋转时，其角动量等 于刚体质量、旋转轴上的速度和旋转 半径的乘积。
刚体的角动量的计算公式
角动量计算公式：L = mvr
其中，L表示角动量，m表示刚体的质量，v表示刚体上任意一点相对于旋转轴的速度，r表示该点到旋转 轴的距离。
证明方法一
证明方法二
证明方法三
03
刚体角动量的应用
在物理实验中的应用
陀螺仪
刚体角动量在陀螺仪中有着重要 的应用，通过测量旋转轴的角速 度，可以确定物体的方向和姿态。
摆锤实验
通过观察摆锤的摆动，可以验证 刚体角动量守恒定律，了解力矩 对刚体角动量的影响。
磁力矩实验
利用磁力矩对刚体角动量的作用， 可以研究刚体的旋转运动和磁场 的相互作用。
角动量守恒定律在设计和优化机械系 统，如电机、陀螺仪和风力发电机等 方面有广泛应用。
对体育运动的影响
在体育运动中，角动量守恒定律有助于理解旋转运动，如滑冰、花样滑冰和乒乓 球等项目的旋转动作和技巧。
运动员通过合理运用角动量守恒定律，可以调整旋转速度、方向和稳定性，提高 运动表现和竞技水平。

大学物理学教程马文蔚43角动量角动量守恒定律

大学物理学教程马文蔚43角动量角动量守恒定律
假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N 可弹起多高?
解: 碰撞前M落在A点的速度
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度
N
u l
B
2
M
h
C
A
l
l/
2
M、N和跷板系统,角动量守恒
mvM
l 2
J
2mu
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
第四章 刚体的转动
得
mvMl 2 ml 2 12 ml2
d
例8: 两只同重量的猴子,一只用力往上爬,另一只不爬,若滑轮重 量忽略不计,问哪一只先到达滑轮顶端?
(同时到达)
第四章 刚体的转动
例9: 如图，一质量为 m的均匀圆盘，半径为 R，放在一粗糙的 水平面上，圆盘可绕通过其中心O 的竖直光滑轴转动，开始时， 圆盘静止，有一质量为m0 的子弹以速度0 垂直打入圆盘边缘并嵌 在盘边上，求(1)子弹击中圆盘后，盘获得的角速度；（2）经多
得 3m
2Ml
m
例5 已知 M , L, m, ,求
解: 子弹与杆碰撞过程,系统角动量守恒
Lm Lm 1 ML2
23
得 3m
2ML
第四章 刚体的转动
O
Ml
ห้องสมุดไป่ตู้
/2
O
L
M
2
m
第四章 刚体的转动
例6: 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动,求远地点的速度与近
地点的速度的比值
.
m1(l1 R) m2 (l2 R)
解：小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动 量守恒

大学物理第5章角动量守恒定律

大学物理第5章角动量守恒定律

1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2

刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律.

刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律.

l 1 l 2 2 mv0 m l m( ) 4 12 4
12 v 0 7 l
12 v 0 7 l
由角动量定理
dL d ( I ) dI M dt dt dt
即
d 1 dr 2 2 mgr cos ( ml mr ) 2mr dt 12 dt
※ 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动对轴上一点的角动量（自学） ：
结 论：
一般情况下，刚体定轴转动对轴上一点的角动 量并不一定沿角速度（即转轴）的方向，而是与其 成一定夹角；但对于质量分布与几何形状有共同对 称轴的刚体，当绕该对称轴转动时，刚体对轴上任 一点的角动量与角速度的方向相同.
4 m 2m M
[讨论] ① M>>m ② M<<m
作 业：
7.4.3. 思 考： 7.4.1.
例:
已知均匀直杆(l ,M),一端挂在光滑水平轴上，开始时静止 在竖直位置，有一子弹（m.vo)水平射入而不复出。求杆与子弹 一起运动时的角速度.
解：
子弹进入到一起运动，瞬间完成.
I
i i
i
const.
但角动量可在内部传递。
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若 M 0 ，则 讨论
守 恒条件:
L I 常量
M 0
若 I 不变， 不变；若 I 变， 也变，但 L I 不变. 内力矩不改变系统的角动量. 在冲击等问题中


M in M ex L 常量
现在讨论力矩对时间的积累效应。
※ 现在讨论力矩对时间的积累效应。 质点系： dL 对点： M 外
dt

5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律

5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
§4-5 刚体的角动量定理和
角动量守恒定律
一．刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分，得 式中 t
t2
1

t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明：刚体所受合外力矩 的冲量矩，等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量，这就是刚体的角动量定理。 在SI制中，冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后， 此系统开始以 n1 15 转/分转动， 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回， 使系统的转动惯量就为 2 时， 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆，可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端，与 杆发生完全非弹性碰撞后，粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此，在此时间内，人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为

T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二．角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出，这个定律不仅对一个刚体有效，对转动 惯量I会变化的物体，或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中，转动惯量保持不变，则物体 以恒定的角速度转动；如果转动惯量发生改变，则物 体的角速度也随之改变，但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时，还应该注意的是，一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。

角动量及其守恒

角动量及其守恒
(A) 角动量守恒, 机械能不守恒; (B) 角动量守恒, 机械能守恒; (C) 角动量不守恒, 机械能守恒; (D) 角动量不守恒, 机械能不守恒.
练习 关于力矩有以下几种说法:
（1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量; （2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零; （3）质量相等, 形状和大小不同的两个刚体, 在相同 力矩的作用下, 他们的角加速度一定相等; 在上述说法中
(A) 只有（2）是正确的;
(B)（1）、（2）是正确的;
(C)（2）、（3）是正确的;
(D)（1）、（2）、（3）都是正确的.
练习
人造地球卫星, 绕地球作椭圆轨道运动, 地球 在椭圆的一个焦点上, 则卫星的：
(A) 动量不守恒, 动能守恒; (B) 动量守恒, 动能不守恒; (C) 角动量守恒, 动能不守恒; (D) 角动量不守恒, 动能守恒.
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、角动量定理.
一. 质点的角动量和刚体的角动量
刚体定质轴点转运动动运状动态状的态描的述描述pLmvJEk
mv2 2
Ek J 2
2
0, p 0
0, p 0
pi
pj
1. 质点角动量
质点在垂直于 z 轴平面上
以角速度 作半径为 的r
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统
动量守恒；
动量不守恒；
角 .
机械能不守恒 .
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
练习 一人握有两只哑铃, 站在一可无摩擦地转动
的水平平台上, 开始时两手平握哑铃, 人、哑铃、平台 组成的系统以一角速度旋转, 后来此人将哑铃下垂于 身体两侧, 在此过程中, 系统

角动量 角动量守恒

角动量 角动量守恒

4.8
0–lgsind =vvdv
–v2/2=lg(cosθ–1)
θ
0
R 例6. 半径R, 质量M的均匀水 解: 小车与 M r m 平转台可绕中心轴自由转动, 转盘受重力 开始时静止.今有质量m的玩 与轴的支撑 具汽车静止开始在转台上作 力都平行转 半径r(r<R)的圆运动, 求汽车 轴,力矩在轴方向上无分量, 相对转台走一周时,转台转过 故小车与转盘系统对转轴角 的角度. 动量守恒.用角标0,1,2分别表 示地,转盘和小车,设u=v21,有 ω20=ω21+ω10 mvr+Iω10=0
方向：沿轴向 所有内力矩矢量和为零 所有质元的角动量方向相同 L=∑miri2 刚体所受力矩等于外力矩 L=(∑miri2) =J 的矢量和 M=∑ri×Fi L的方向：沿轴向
3.刚体的角动量定理 第i个质元 Mi=dLi/dt
4.角动量守恒定律
对于刚体定轴转动. 求和 ∑Mi=∑(dLi/dt) 条件: M外=0 结论: L=恒量 讨论: =d(∑Li)/dt (1)内力矩不改变系统的角 得 M =dL/dt 动量，角动量守恒是自然 界的一条基本定律 刚体合外力矩M 等于 (2)当M外<<M内时, L恒量; 刚体角动量L 对时间 的变化率 (3)当J=恒量时, ω=恒量 t L ω大小方向不变(如回转仪); Mdt = dL=L2–L1 t L (4)当J改变时(内力作功使质 =J2ω2–J1ω1 量重新分布),ω大小改变,但 合外力矩的冲量矩等于刚 方向不变;
7.8
L
p
o
m r
质点的角动量定理： (dr / dt ) p r (dp / dt ) 对同一参考点 ，质点 v pr F 所受的冲量矩等于质点

[理学]05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律

[理学]05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律

双旋翼直升机不需要尾桨，它通过一对转向相反的螺 旋桨，保持系统的总角动量仍然为零
并轴双旋翼直升机通过在同轴心的内外两轴上安装 一对对转的螺旋桨来防止机身反向打转
鱼雷在其尾部也装有对转螺旋桨，其目的也是 为了消除单螺旋桨造成鱼雷自身的反转问题
为什么同手同脚地走路或 跑步会使人觉得别扭呢？ 当一侧的腿向前跨出时，另 一侧的臂必须同时向前摆出， 这样躯干的上端（肩）和下 端（髋）彼此向相反方向扭 转，而躯干的中段和头部则 大体保持在原来位置上，才 可以保证整个身体对于竖直 轴的角动量保持为零 腿臂的动作正确、协调配合，对加大步长、提高步频 都有一定作用，因而对提高跑步速度有明显影响
对绕定轴转动的可变形物体而言，在不同状态下
物体对转轴的转动惯量可能不同，但是如果它所 受合外力矩为零，那么它的角动量也将保持不变
花样滑冰运动员利用四肢的伸缩改变自身的 转动惯量，可以改变绕自身竖直轴的角速度
合外力矩为零不仅是绕定轴转动刚体角动量守恒的
条件，也是任何质点系对角动量守恒的条件

l
M
m
v0
系统的角动量守恒
mv0l J
1 2 2 J ? Ml ml 3

l
M
棒的转 子弹的转 动惯量 动惯量
m
v0
mv0 M ( m)l 3
例1 一质量为M，长为l 的均质细棒，可绕过其顶端的 水平轴自由转动。当杆静止时，一质量为m的子弹以 水平速度v0射入细杆底端并穿出，穿出后子弹速度损 失3/4，求子弹穿出后棒的角速度 O 取子弹和细杆作为系统，在子弹射入 棒端并从棒中穿出的过程中，子弹与 M 细杆之间的作用力为内力，转轴上的 l 作用力和重力不产生力矩，系统所受 m 外力矩为零，系统角动量守恒

5.5 刚体定轴转动的角动量守恒定律

5.5 刚体定轴转动的角动量守恒定律

周期约1.19 s
脉冲星的精确周期性信号
J z const .
星体不被惯性离心力甩散，必须满足条件：
GM 4 2 3 R , ( M R ) 2 3 R
3 2 3 11 3 10 kg / m 4 G GT 2 3 3
恒星 红巨星 中子星 脉冲星是高速旋转的中子星。
5.5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
一、角动量定 理 质点系 对点 对轴 刚体
M外
dL dt
Lz J z
M 外z dLz dt
d ( J z ) Mz dt
刚体的角动量定理
二、刚体定轴转动的角动量守恒定律
d ( J z ) Mz dt
M 外z 0
J z

t2 M 外z t1
d t J z 2 J z 1
——刚体定轴转动的角动量定理
【例题】一质量为 m 的子弹以水平速度射入一静止 悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失 3/4,求子弹穿出后棒的角速度 解：棒对子弹的阻力为 f
M
l
对子弹 fdt m( 0 ) m0 4
Fe 7.8 10 kg / m 白矮星 黑洞
三、角动量定理的另一形式 对点
M外

冲量矩
t2 M外 t1
dL dt
M外 d t d L
d t L2 L1

t2
t1
M 外 d t 力矩对时间的积累效应
刚体定轴转动
d ( J z ) Mz dt
子弹对棒的反作用力
m
f3Leabharlann 对棒的冲量矩0
3 f ldt l f dt l fdt lm0 J 4 9m0 3 lm0 4J 4Ml
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010-质点、刚体的角动量、角动量守恒定律1. 选择题1. 一质点作匀速率圆周运动时，［ ］(A) 它的动量不变，对圆心的角动量也不变． (B) 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变． (C) 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变．(D) 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变． 答案：（C ）2. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是［ ］(A) 刚体不受外力矩的作用． (B) 刚体所受合外力矩为零． (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零．(D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变． 答案：（B ）3. 地球绕太阳作椭圆轨道运动，太阳的中心在椭圆的一个焦点上，把地球看作一个质点，则地球的［ ］(A) 动能守恒． (B) 动量守恒． (C) 对太阳中心的角动量守恒．(D) 对太阳中心的角动量守恒，动能守恒． 答案：（C ）4. 均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？［ ］(A)角动量从小到大，角加速度从大到小． (B)角动量从小到大，角加速度从小到大． (C)角动量从大到小，角加速度从大到小． (D)角动量从大到小，角加速度从小到大． 答案：（A ）5. 人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的［ ］(A)动量不守恒，动能守恒． (B)动量守恒，动能不守恒．(C)对地心的角动量守恒，动能不守恒． (D)对地心的角动量不守恒，动能守恒． 答案：（C ）6. 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B ．用L 和E K 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有［ ］ (A) L A >L B ，E KA >E kB ． (B) L A =L B ，E KA <E KB ． (C) L A =L B ，E KA >E KB ． (D) L A <L B ，E KA <E KB ． 答案：（C ）7. 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统［ ］(A) 只有机械能守恒． (B) 只有动量守恒． (C) 只有对转轴O 的角动量守恒． (D) 机械能、动量和角动量均守恒． 答案：（C ）8. 一块方板，可以绕通过其一个水平边的光滑固定轴自由转动．最初板自由下垂．今有一小团粘土，垂直板面撞击方板，并粘在板上．对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力，在碰撞中守恒的量是［ ］(A) 动能． (B) 绕木板转轴的角动量． (C) 机械能． (D) 动量． 答案：（B ）9. 将一质量为m 的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住．先使小球以角速度ω1在桌面上做半径为r 1的圆周运动，然后缓慢将绳下拉，使半径缩小为r 2，在此过程中小球的［ ］(A)速度不变． (B)速度变小． (C)速度变大． (D)速度怎么变，不能确定． 答案：（C ）10. 如图所示，钢球A 和B 质量相等，正被绳牵着以角速度ω绕竖直轴转动，二球与轴的距离都为r 1．现在把轴上环C 下移，使得两球离轴的距离缩减为r 2．则钢球的角速度［ ］ (A)变大． （B ）变小． (C)不变．(D)角速度怎么变，不能确定． 答案：（A ）11. 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动，［ ］ (A)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变． (B)它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小． (C)它受热或遇冷时，角速度均变大． (D)它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大． 答案：（D ）12. 花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J 0，角速度为ω0．然后她将两臂收回，使转动惯量减少为31J 0．这时她转动的角速度变为［ ］ (A)31ω0． (B) ()3/1 ω0． (C) 3 ω0． (D) 3 ω0． 答案：（D ）13. 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台中心．随后人沿半径向外跑去，在人跑向转台边缘的过程中，转台的角速度［ ］(A) 不变． (B) 变小． (C) 变大． (D)不能确定角速度是否变化． 答案：（B ）14. 人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球的中心在椭圆的一个焦点上，设地球的半径为R ，卫星的近地点高度为R ，卫星的远地点高度为2R ，卫星的近地点速度为1v ，则卫星的远地点速度2v 为［ ］ (A)12v ． (B) 121v ． (C) 132v ． (D) 123v ． 答案：（C ）15. 将一质量为m 的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住．先使小球以角速度ω1在桌面上做半径为r 1的圆周运动，然后缓慢将绳放松，使半径扩大为2 r 1 ，此时小球做圆周运动的角速度为［ ］(A)1ω． (B)121ω． (C) 12ω． (D) 141ω． 答案：（D ）16. 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是［ ］(A)甲先到达． (B)乙先到达． (C)同时到达． (D)谁先到达不能确定． 答案：（C ）17. 光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，其转动惯量为31mL 2，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v 相向运动，如图所示．当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为［ ］ (A)L 32v ． (B) L 54v ． (C) L 76v ． (D) L98v ． 答案：（C ）18. 如图所示，一水平刚性轻杆，质量不计，杆长l ＝20 cm ，其上穿有两个小球．初始时，两小球相对杆中心O 对称放置，与O 的距离d ＝5 cm ，二者之间用细线拉紧．现在让细杆绕通过中心O 的竖直固定轴作匀角速的转动，转速为ω 0，再烧断细线让两球向杆的两端滑动．不考虑转轴的和空气的摩擦，当两球都滑至杆端时，杆的角速度为［ ］ (A) 2ω 0． (B)ω 0． (C)21 ω 0． (D)041ω． 答案：（D ）19. 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台边缘．随后人沿半径向转台中心跑去，当人到达转台中心时，转台的角速度为［ ］(A) 02ωmR J J +． (B) 02ωJ mR J +． (C) 02ωmRJ． (D) 0ω． 答案：（B ）2．填空题1. 一个刚体绕轴转动，若刚体所受的合外力矩为零，则刚体的________________守恒． 答案：角动量O v俯视图2. 长为l 的杆如图悬挂．O 为水平光滑固定转轴，平衡时杆竖直下垂，一子弹水平地射入杆中．则在此过程中，由_____________组成的系统对转轴Ｏ的角动量守恒．答案：杆和子弹3. 质量为m 的质点以速度v ϖ沿一直线运动，则它对该直线上任一点的角动量为________． 答案：零4. 质量为m 的质点以速度v ϖ沿一直线运动，则它对直线外垂直距离为d 的一点的角动量大小是__________． 答案：mvd4. 一杆长l ＝50 cm ，可绕通过其上端的水平光滑固定轴O 在竖直平面内转动，相对于O 轴的转动惯量J ＝5 kg ·m 2．原来杆静止并自然下垂．若在杆的下端水平射入质量m ＝0.01 kg 、速率为v ＝400 m/s 的子弹并嵌入杆内，则杆的角速度为ω ＝__________________． 答案：0.4 rad/s5. 质量为0.05 kg 的小块物体，置于一光滑水平桌面上．有一绳一端连接此物，另一端穿过桌面中心的小孔（如图所示）．该物体原以3 rad/s 的角速度在距孔0.2 m 的圆周上转动．今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物体之转动半径减为0.1 m ．则物体的角速度ω＝_______________．答案：12 rad/s6. 如图所示，钢球A 和B 质量相等，正被绳牵着以ω0=4 rad/s 的角速度绕竖直轴转动，二球与轴的距离都为r 1=15cm ．现在把轴上环C 下移，使得两球离轴的距离缩减为r 2=5 cm ．则钢球的角速度ω =_ _ ． 答案: 36 rad/s7. 哈雷慧星绕太阳的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．它离太阳最近的距离是r 1＝8.75×1010 m ，此时它的速率是v 1＝5.46×104 m/s ．它离太阳最远时的速率是v 2＝9.08×102 m/s ，这时它离太阳的距离是r 2＝ ． 答案：5.26×1012 m8. 一质量为m 的质点沿着一条曲线运动，其位置矢量在空间直角座标系中的表达式为j t b i t a r ϖϖϖωωsin cos +=，其中a 、b 、ω 皆为常量，则此质点对原点的角动量L =________． 答案：m ω ab9. 如图所示，x 轴沿水平方向，y 轴竖直向下，在t ＝0时刻将质量为m 的质点由a 处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t ，质点对原点Ｏ的角动量L ＝__________________． 答案：mgbt10. 一飞轮以角速度ω0绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为J 1；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍．啮合后整个系统的角速度ω＝__________________． 答案：031ω11. 有一半径为R 的匀质圆形水平转台，可绕通过盘心O 且垂直于盘面的竖直固定轴OO ＇转动，转动惯量为J ．台上有一人，质量为m ．当他站在离转轴r 处时(r ＜R )，转台和人一起以ω1的角速度转动，如图．若转轴处摩擦可以忽略，问当人走到转台边缘时，转台和人一起转动的角速度ω2＝__________________________．答案：()212mRJ mr J ++ω12. 一水平的匀质圆盘，可绕通过盘心的竖直光滑固定轴自由转动．圆盘质量为M ，半径为R ，对轴的转动惯量J ＝21MR 2．当圆盘以角速度ω0转动时，有一质量为m 的子弹沿盘的直径方向射入而嵌在盘的边缘上．子弹射入后，圆盘的角速度ω＝______________． 答案：mM M 20+ω13. 在光滑的水平面上，一根长L ＝2 m 的绳子，一端固定于O 点，另一端系一质量m ＝0.5 kg 的物体．开始时，物体位于位置A ，OA 间距离d ＝0.5 m ，绳子处于松弛状态．现在使物体以初速度v A＝4 m ·s -1垂直于OA 向右滑动，如图所示．设以后的运动中物体到达位置B ,此时物体速度的方向与绳垂直．则此时刻物体对Ｏ点的角动量的大小L B ＝_ _ _． 答案：s m N 1⋅⋅14. 在光滑的水平面上，一根长L ＝2 m 的绳子，一端固定于O 点，另一端系一质量m ＝0.5 kg 的物体．开始时，物体位于位置A ，OA 间距离d ＝0.5 m ，绳子处于松弛状态．现在使物体以初速度v A ＝4 m ·s -1垂直于OA 向右滑动，如图所示．设以后的运动中物体到达位置B ,此时物体速度的方向与绳垂直．则此时刻物体速度的大小v ＝_ ． 答案：m/s 115. 一质量均匀分布的圆盘，质量为m ，半径为R ，放在一粗糙水平面上，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动，圆盘和粗糙水平面之间摩擦力矩的大小为M f ．开始时，圆盘的角速度为0ω，经过时间 =∆t 后，圆盘停止转动。