章末归纳总结1

章末总结一、电场力作用下的平衡和加速问题1．库仑力实质上就是电场力，与重力、弹力一样，它也是一种基本力．带电粒子在电场中的平衡问题实际上属于力学平衡问题，只是多了一个电场力而已．2．电场力作用下带电体的平衡和加速问题的分析步骤是：先进行正确的受力分析，然后利用平衡条件或牛顿第二定律求解，主要方法有合成法、正交分解法等．例1 (多选)如图1所示，在一电场强度沿纸面方向的匀强电场中，用一绝缘细线系一带电小球，小球的质量为m ，电荷量为q .为了保证当细线与竖直方向的夹角为60°时，小球处于平衡状态，则匀强电场的场强大小可能为( )图1 A.3mg q B.mg 2q C.3mg 2q D.mg q答案 ACD解析 取小球为研究对象，它受到重力mg 、细线的拉力T 和电场力Eq 的作用．因小球处于平衡状态，则它受到的合外力等于零，由平衡条件知，T 和Eq 的合力与mg 是一对平衡力．根据力的平行四边形定则可知，当电场力Eq 的方向与细线拉力方向垂直时，电场力最小，如图所示，则Eq ＝mg sin 60°，得最小场强E ＝3mg 2q.所以，选项A 、C 、D 正确．例2 如图2所示，质量为m 的小球A (可视为质点)放在绝缘斜面上，斜面的倾角为α，小球A 带正电，电荷量为q .在斜面底端B 点处固定一个电荷量为Q 的正点电荷，将小球A 由距B 点竖直高度为H 处无初速度释放．小球A 下滑过程中电荷量不变．不计A 与斜面间的摩擦，整个装置处在真空中．已知静电力常量k 和重力加速度g .图2(1)A 球刚释放时的加速度是多大？(2)当A 球的动能最大时，求此时A 球与B 点的距离．答案 (1)g sin α－kQq sin 2αmH 2 (2) kQq mg sin α解析 (1)根据牛顿第二定律mg sin α－F ＝ma根据库仑定律：F ＝k Qq r 2，r ＝H sin α联立以上各式解得a ＝g sin α－kQq sin 2αmH 2. (2)当A 球受到的合力为零、加速度为零时，速度最大，动能最大．设此时A 球与B 点间的距离为d ，则mg sin α＝kQq d 2， 解得d ＝ kQq mg sin α. 二、E －x 、φ－x 图像的分析例3 (多选)在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r 的关系如图3所示．电场中四个点a 、b 、c 和d 的电场强度大小分别为E a 、E b 、E c 和E d .点a 到点电荷的距离r a 与点a 的电势φa 已在图中用坐标(r a ，φa )标出，其余类推．现将一带正电的检验电荷由a 点依次经b 、c 点移动到d 点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为W ab 、W bc 和W cd .下列选项正确的是( )图3A ．E a ∶E b ＝4∶1B ．E c ∶E d ＝2∶1C ．W ab ∶W bc ＝3∶1D ．W bc ∶W cd ＝1∶3答案 AC解析 由题图可知，a 、b 、c 、d 到点电荷的距离分别为1 m 、2 m 、3 m 、6 m ，根据点电荷的场强公式E ＝k Q r 2可知，E a E b ＝r 2b r 2a ＝41，E c E d ＝r 2d r 2c ＝41，故A 正确，B 错误；电场力做功W ＝qU ，a 与b 、b 与c 、c 与d 之间的电势差分别为3 V 、1 V 、1 V ，所以W ab W bc ＝31，W bc W cd ＝11，故C 正确，D 错误．针对训练 (多选)静电场在x 轴上的场强E 随x 的变化关系如图4所示，x 轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x 轴正向运动，则点电荷( )。

章末总结匀变速直线运动的求解方法1．匀变速直线运动的基本公式和推导公式：2.自由落体运动规律：(1)自由落体运动基本规律：初速度为零、加速度为g的匀加速度直线运动．(2)自由落体运动速度公式：v t＝gt.(3)自由落体运动位移公式：h ＝12gt 2(4)自由落体运动速度—位移关系式：v 2＝2gh .3．初速度为零的匀加速直线运动的特点(设T 为等分时间间隔)．(1)1T 末、2T 末、3T 末…瞬时速度的比为v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n ； (2)1T 内、2T 内、3T 内…位移之比为s 1∶s 2∶s 3∶…∶s n ＝1∶22∶32∶…∶n 2；(3)第1个T 内、第2个T 内、第3个T 内…位移之比为：s Ⅰ∶s Ⅱ∶s Ⅲ∶…∶s N ＝1∶3∶5∶…∶(2N －1)；(4)从静止开始通过连续相等的位移所用的时间之比为：t 1∶t 2∶t 3∶…∶t N ＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(N －N －1)．4．逆向思维方法：在处理末速度为零的匀减速直线时，可以采用对称法，即逆向思维法，将该运动对称地看作加速度大小相等的初速度为零的匀加速直线运动，则相应的位移、速度公式以及匀变速直线运动的其他推论均可使用，此种方法可提升解题速度．一辆汽车以72 km/h 的速度在平直的公路上行驶，司机突然发现前方公路上有一只小鹿，于是立即刹车，汽车经过4 s 停下来，使小鹿免受伤害．假设汽车在刹车过程中做匀减速运动，试求：(1)汽车刹车过程中加速度的大小；(2)汽车刹车过程中经过的距离．解析：(1)设初速度方向为正方向，依题意可知：汽车初速度v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，末速度v t ＝0，刹车时间t ＝4 s根据加速度定义有a ＝v t －v 0t ＝0－204m/s 2＝－5 m/s 2所以刹车过程中的加速度大小为5 m/s 2.(2)根据匀变速直线运动位移公式s ＝v 0t ＋12at 2代入数据计算得：s ＝40 m 所以刹车距离为40 m.答案：(1)5 m/s 2；(2)40 m.名师点睛：对于汽车刹车问题，要注意是否有反应时间、反应距离的关系，刹车距离和停车距离等．还要注意刹车后末速度为零，速度不可能为负．在解题过程中要注意用运动规律中的时间、位移关系建立方程，这是处理运动学问题的基本方法．在解题过程中最好能画出物体运动的过程草图或图象，并找到各点及运动量之间的关系．用打点计时器研究物体的运动规律是中学物理常用的方法，要探究物体运动规律，就要分析打出的纸带，纸带分析时要做的工作一般有：1．判定物体是否做匀变速运动．因打点计时器每隔相同时间T 打一个点，设物体初速度为v 0，则第一个T 内纸带位移 x 1＝v 0T ＋12aT 2同理可得第二个T 内纸带位移 x 2＝(v 0＋aT )T ＋12aT 2…第n 个T 内纸带位移 x n ＝[v 0＋(n －1)aT ]T ＋12aT 2则相邻相等时间内物体位移差Δx ＝x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1 ＝aT 2如果物体做匀加速直线运动，即a 恒定，则Δx 为一恒量．这一结论反过来也成立，即如果所打纸带在任意两个相邻相等时间内位移差相等，则说明物体做匀变速直线运动．2．逐差法求加速度． 虽然用a ＝ΔxT 2可以从纸带上求得加速度，但利用一个Δx 求得的加速度偶然误差太大，最好多次测量求平均值．求平均值的方法可以有两个，一是求各段Δx 的平均值，用Δx 求加速度，二是对每一个位移差分别求出加速度，再求加速度的平均值，但这两种求平均的实质是相同的，都达不到减小偶然误差的目的．如a －＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1n ＝Δx 1T2＋Δx 2T 2＋…＋Δx n T 2n＝(x 2－x 1)＋(x 3－x 2)＋…＋(x n ＋1－x n )nT 2纸带分析常用方法及规律＝x n＋1－x1 nT2这样求平均的结果仍是由两段T内的位移x n＋1和x1决定，偶然误差相同．怎样就能把纸带上各段位移都利用起来呢？如果纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、…、x6，如下图所示．则x4－x1＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(x2－x1)＝3aT2x5－x2＝(x5－x4)＋(x4－x3)＋(x3－x2)＝3aT2x6－x3＝(x6－x5)＋(x5－x4)＋(x4－x3)＝3aT2所以a＝(x6－x3)＋(x5－x2)＋(x4－x1)9T2就把各段位移都利用上了，有效地减小了仅用两次位移测量带来的偶然误差．这种方法被称为逐差法．如右图所示是某同学测量匀变速直线运动的加速度时，从若干纸带中选中的一条纸带的一部分，他每隔4个点取一个计数点，图上注明了他对各个计数点间距离的测量结果．(单位：cm)(1)为了验证小车的运动是匀变速运动，请进行下列计算，填入表内．(单位：cm)各位移差与平均值最多相差________cm，即各位移差与平均值最多相差________%.由此可得出结论：小车在______________的位移之差在________范围内相等，所以小车的运动是______________．(2)根据a＝x n－x n－33T2，可以求出：a1＝x4－x13T2＝__________m/s2，a2＝x5－x23T2＝__________m/s2，a3＝x6－x33T2＝__________m/s2，所以a＝a1＋a2＋a33＝________m/s2.解析：(1)x2－x1＝1.60 cm；x3－x2＝1.55 cm；x4－x3＝1.62 cm；x5－x4＝1.53 cm；x6－x5＝1.61 cm；Δx＝1.58 cm.各位移差与平均值最多相差0.05 cm，即各位移差与平均值最多相差3.3%.由此可得出结论：小车在任意两个连续相等的时间内的位移之差在误差允许范围内相等，所以小车的运动是匀加速直线运动．(2)采用逐差法，即a1＝x4－x13T2＝1.59 m/s2，a2＝x5－x23T2＝1.59 m/s2，a3＝x6－x33T2＝1.59 m/s2，a＝a1＋a2＋a33＝(x4＋x5＋x6)－(x1＋x2＋x3)9T2＝1.59 m/s2.答案：(1)1.60 1.55 1.62 1.53 1.61 1.580.05 3.3任意两个连续相等的时间内误差允许匀加速直线运动(2)1.59 1.59 1.59 1.59►跟踪训练1．在“探究小车的速度随时间变化的规律”的实验中，用打点计时器记录纸带运动的时间，计时器所用的电源频率为50 Hz，右上图为做匀变速直线运动的小车带动的纸带上记录的一些点，在每相邻两个点中间都有四个点未画出，按时间顺序取0、1、2、3、4、5六个点，后面五个点到0点的距离分别是(单位：cm)8.78、16.08、21.87、26.16、28.94.由此可得小车运动的加速度大小为__________m/s 2，方向为________________________________________________________________________．答案：1.5 与规定的正方向(运动方向)相反2．某同学用下图所示装置测量重力加速度g ，所用交流电频率为50 Hz.在所选纸带上取某点为0计数点，然后每隔3个点取一个计数点，所有测量数据及其标记符号如下图所示．该同学用两种方法处理数据(T 为相邻两计数点的时间间隔)： 方法A ：由g 1＝x 2－x 1T 2，g 2＝x 3－x 2T 2，…，g 5＝x 6－x 5T2，取平均值g ＝8.667 m/s 2； 方法B ：由g 1＝x 4－x 13T 2，g 2＝x 5－x 23T 2，g 3＝x 6－x 33T 2，取平均值g ＝8.673 m/s 2. 从数据处理方法看，在x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6中，对实验结果起作用的，方法A 中有______________；方法B 中有_______________．因此，选择方法__________(填“A ”或填“B ”)更合理，这样可以减少实验的______(填“系统”或“偶然”)误差．本实验误差的主要来源有________________________________(试举出两条)．答案：x 1、x 6或37.5、193.5 x 1、x 2、x 3、x 4、x 5、x 6或37.5、69.0、100.5、131.5、163.0、193.5 B 偶然 阻力(空气阻力，振针的阻力，限位孔的阻力，复写纸的阻力等)、交流电频率波动、长度测量、数据处理方法等1．追及、相遇的特征．追及的主要条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：追及和相遇问题(1)初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，在追上之前两者有最大距离的条件是两物体的速度相等．(2)匀速运动的物体甲追赶同方向的匀加速运动的物体乙，此时存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件，即两物体速度相等，此临界条件给出一个此种追赶情形能否追上的方法：若两者速度相等时，甲、乙位移相等，则恰好追上；若两者速度相等时，甲的位移小于乙的位移，则甲永远追不上乙，此时两者间有最小距离；若两者速度相等时，甲的位移大于乙的位移．此时说明甲已超过了乙而在乙的前方，之后便成了乙追甲了，因乙是加速的，故定能追上甲，亦即在这种情况下，甲、乙能相遇两次，此种情况亦可通过比较甲、乙位移相等时速度大小的关系进行判定，请自行分析．(3)匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体，情形跟第二种情形相类似，请自行分析．两物体恰能相遇的临界条件是两物体处于同一位置时速度相等，或两物体速度相等时恰处于同一位置．2．解追及、相遇问题的思路．(1)根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的示意图．(2)根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中．(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是关键．(4)联立方程求解，并对结果进行简单分析．3．分析追及、相遇问题时的注意事项．(1)分析问题时，一定要注意抓住一个条件两个关系，一个条件是两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等．两个关系是时间关系和位移关系，时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有裨益．(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上前该物体是否停止运动．(3)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．4．解决追及相遇问题的方法．大致分为两种方法：一是物理分析法，即通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解；二是数学方法，因为在匀变速运动的位移表达式中由时间的二次方我们可列出位移方程，利用二次函数求极值的方法求解，有时也可借助v t 图象进行分析．汽车正以10 m/s 的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s 的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m/s 2的匀减速直线运动，汽车恰好不碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远？解析：汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车的速度，因此汽车和自行车之间的距离在不断减小，当这个距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则能满足题设中汽车恰好不碰上自行车的条件，所以本题要求汽车关闭油门时离自行车的距离x 应是汽车从关闭油门减速运动直到速度与自行车相等时发生的位移x 汽与自行车在这段时间内发生的位移x 自之差，如下图所示．解法一：汽车减速到4 m/s 时发生的位移和运动的时间分别为：x 汽＝(v 2t －v 20)2a ＝(100－16)12m ＝7 m ，t ＝(v t －v 0)a ＝(10－4)6 s ＝1 s ，这段时间内自行车发生的位移： x 自＝v 自t ＝4×1 m ＝4 m ， 汽车关闭油门时离自行车的距离： x ＝x 汽－x 自＝7 m －4 m ＝3 m.解法二：利用v t 图象进行求解．如右图所示，直线A 、B 分别表示汽车与自行车的v t 图象，其中画斜线部分三角形的面积表示当两车速度相等时汽车比自行车多发生的位移，即为题中所求的汽车关闭油门时离自行车的距离x .由图可知x ＝12×(10－4)×1 m ＝3 m.答案：3 m►跟踪训练1．(双选)如图所示为三个运动物体的v -t 图象，其中A 、B 两物体从不同地点出发，A 、C 两物体从同一地点出发，则以下说法正确的是( )A ．A 、C 两物体的运动方向相同B ．t ＝4 s 时，A 、B 两物体相遇C ．t ＝4 s 时，A 、C 两物体相遇D ．t ＝2 s 时，A 、B 两物体相距最远答案：AC2．一辆摩托车行驶的最大速度为108 km/h.现让摩托车从静止出发，要求在4 min 内追上前方相距为1 km 、正以25 m/s 的速度在平直公路上行驶的汽车．则该摩托车行驶时，至少应具有多大的加速度？答案：2.25 m/s 2。

章末整合一、对电荷守恒定律的理解1.“总量”：指电荷的代数和.2.起电过程的本质：电子发生了转移，也就是说物体所带电荷的重新分配.3.两个完全相同的金属球接触后将平分电荷，即Q1′＝Q2′＝Q1＋Q22，Q1和Q2可以是同种电荷，也可以是异种电荷.【例1】(多选)下面关于电现象的叙述，正确的是()A.玻璃棒无论与什么物体摩擦都带正电，橡胶棒无论与什么物体摩擦都带负电B.摩擦可以起电，是普遍存在的现象，相互摩擦的两个物体总同时带等量的异种电荷C.摩擦带电现象的本质是电子的转移，呈电中性的物体得到电子就一定显负电性，失去电子就一定显正电性D.摩擦起电的过程，是通过摩擦创造了等量异种电荷的过程解析物体间通过摩擦做功，使电子获得能量摆脱原子核的束缚而发生转移，哪个物体失去电子决定于其原子核对电子的束缚程度，因此，对同一物体用不同的物体摩擦，该物体可能带正电，也可能带负电，故A错误；但两物体间摩擦时一个物体得到多少电子对方必定失去多少电子，故B正确；呈电中性的物体得到电子必定带负电，反之带正电，故C正确；摩擦起电并不是创造了电荷，而是电荷的转移，故D错误.答案BC[针对训练1] (多选)原来甲、乙、丙三物体都不带电，今使甲、乙两物体相互摩擦后，乙物体再与丙物体接触，然后，乙、丙分开，最后，得知甲物体带正电1.6×10－15 C，丙物体带电8×10－16 C.则对于最后乙、丙两物体的带电情况下列说法中正确的是()A.乙物体一定带有负电荷8×10－16 CB.乙物体可能带有负电荷2.4×10－15 CC.丙物体一定带有正电荷8×10－16 CD.丙物体一定带有负电荷8×10－16 C解析由于甲、乙、丙原来都不带电，即都没有净电荷，甲、乙摩擦导致甲失去电子1.6×10－15 C而带正电，乙物体得到电子而带1.6×10－15 C的负电荷；乙物体与不带电的丙物体相接触，从而使一部分负电荷转移到丙物体上，故可知乙、丙两物体都带负电荷，由电荷守恒可知，乙最终所带负电荷为1.6×10－15 C－8×10－16 C＝8×10－16 C，故A、D正确.答案AD二、库仑定律的理解及应用1.大小：依据F＝k Q1Q2r2，Q1、Q2代入绝对值计算.2.方向：沿连线方向，且同种电荷相斥，异种电荷相吸.3.相互性：两个点电荷间的库仑力为相互作用力，满足牛顿第三定律. 【例2】(单选)关于库仑定律的理解，下面说法正确的是()A.对任何带电体之间的静电力计算，都可以使用库仑定律公式B.只要是点电荷之间的静电力计算，都可以使用库仑定律公式C.两个点电荷之间的静电力，无论是在真空中还是在介质中，一定是大小相等、方向相反的D.摩擦过的橡胶棒吸引碎纸屑，说明碎纸屑一定带正电解析 库仑定律的适用条件为真空中的两点电荷，库仑力作用满足牛顿第三定律. 答案 C[针对训练2] (单选)真空中有甲、乙两个点电荷，相距为r ，它们间的静电力为F .若甲的电荷量变为原来的2倍，乙的电荷量变为原来的13，距离变为2r ，则它们之间的静电力变为( )A.3FB.F 6C.8F 3D.2F 3解析 设甲、乙两点电荷原来的电荷量分别为Q 1、Q 2，则F ＝k Q 1Q 2r 2，改变两点电荷位置及电荷量后，设两点电荷电荷量分别为Q 1′、Q 2′，则F ′＝k Q 1′Q 2′r ′2，将Q 1′＝2Q 1，Q 2′＝13Q 2及r ′＝2r 代入有F ′＝16F .答案 B三、对电场强度、电场线的理解1.(1)电场强度E ＝F q 由电场本身决定，与放入其中的检验电荷无关.(2)点电荷的电场强度E ＝kQ r 2，由点电荷的电荷量Q 和距点电荷Q 的距离r 决定.2.电场线是为形象地描述抽象的电场而引入的假想曲线.电场线上每一点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致.3.同一幅图中，电场线的疏密程度可定性地表示电场强度的大小.电场线越密的地方，场强越大；电场线越稀的地方，场强越小.4.电场线任一点顺着电场线的切线方向，就表示该点电场强度的方向，如图1所示.图1【例3】(单选)(2018·宿迁学业水平模拟)一负电荷由电场中的A点静止释放，只受静电力作用，沿电场线运动到B点，它运动的v－t图像如图2所示，则A、B 两点所在区域的电场线分布情况可能是()图2解析由v－t图像可知负电荷做加速运动，故静电力方向指向B，则电场方向应指向A，A、D错误；由v－t图像可知加速度逐渐增大，表示场强越来越大，所以C正确，B错误.答案 C【例4】(2018·宿迁学业水平模拟)在如图3所示的匀强电场中，有一轻质棒AB，A点固定在一个可以转动的轴上，B端固定有一个大小可忽略、质量为m，带电荷量为Q的小球，当棒静止后与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，求匀强电场的场强.图3解析小球受重力mg、棒拉力T，还应受到水平向右的电场力F，故Q为正电荷，由平衡条件：T sin θ－F＝0T cos θ＝mg所以F＝mg tan θ又由F＝QE，得E＝mg tan θQ.答案mg tan θQ章末检测(时间：50分钟) 一、单项选择题1.根据电场强度的定义式E＝Fq，在国际单位制中，电场强度的单位是()A.牛/库B.牛/焦C.焦/库D.库/牛答案 A2.下列与静电有关的图中，属于防范静电的是()解析下雨天，云层带电打雷，往往在屋顶安装避雷针，是导走静电，防止触电，故A属于静电防范.静电喷涂是利用高压静电电场使带负电的涂料微粒沿着电场相反的方向定向运动，并将涂料微粒吸附在工件表面的一种喷涂方法，故B属于静电利用；复印机复印文件资料，就是利用静电墨粉成在鼓上.故C属于静电利用；静电除尘时除尘器中的空气被电离，烟雾颗粒吸附电子而带负电，颗粒向电源正极运动，故D属于静电应用.答案 A3.(2018·盐城学业水平模拟)两个放在绝缘架上的相同金属球相距d，球的半径比d 小得多，分别带q和3q的同种电荷，相互斥力为3F.现将这两个金属球接触.然后分开，仍放回原处，则它们的相互斥力将变为()A.0B.FC.3FD.4F解析由于金属球间的距离远大于其半径.所以可看成点电荷，符合库仑定律，当两球接触时电荷量平分，分别为2q.故由库仑定律得，它们的排斥力变为4F，D 正确.答案 D4.(2018·连云港学业水平模拟)关于电场线，下列说法中正确的是()A.电场线是客观存在的B.电场线与电荷运动的轨迹是一致的C.电场线上某点的切线方向与该点的场强方向一致D.沿电场线方向，场强一定越来越大解析电场线不是客观存在的，是为了形象描述电场的假想线，选项A错误；由静止开始运动的电荷所受静电力方向应是该点切线方向，下一时刻位置可能在电场线上，也可能不在电场线上，轨迹可能与电场线不一致.何况电荷可以有初速度，运动轨迹与初速度的大小、方向均有关，可能轨迹很多，而电场线是一定的，选项B错误；根据电场线的定义，选项C正确；场强大小与场强的方向也无关，与电场线方向无关，选项D错误.答案 C5.关于点电荷的说法，不正确的是()A.体积小的带电体，也不一定能看作点电荷B.体积很大的带电体也可能看作点电荷C.点电荷一定是电荷量很小的电荷D.两个均匀带电的金属小球，在一定条件下可以视为点电荷解析看作点电荷的条件是：当带电体的形状或大小远远小于它们之间的距离时，带电体可看作点电荷，故A、B、D正确，C错误.答案 C6.关于电场强度，下列说法正确的是()A.由E ＝F q 知，若q 减半，则该处电场强度为原来的2倍B.由E ＝k Q r 2知，E 与Q 成正比，而与r 2成反比C.由E ＝k Q r 2知，在以Q 为球心，以r 为半径的球面上，各处场强均相同D.电场中某点场强方向就是该点所放电荷受到的电场力的方向解析 因E ＝F q 为场强定义式，而电场中某点场强E 只由电场本身决定，与是否引入检验电荷及q 的大小、正负无关，故A 错误；E ＝k Q r 2是点电荷Q 的电场中各点场强决定式，故E ∝Q r 2是正确的，即B 正确；因场强为矢量，E 相同意味着大小、方向都相同，而在该球面上各处E 方向不同，故C 错误；因为所放电荷的电性不知，若为正电荷，则E 与电荷受力方向相同，否则相反，故D 错误. 答案 B7.把一个带正电的金属小球A 跟同样的不带电的金属球B 相碰，两球都带等量的正电荷，这从本质上看是因为( )A.A 球的正电荷移到B 球上B.B 球的负电荷移到A 球上C.A 球的负电荷移到B 球上D.B 球的正电荷移到A 球上解析 两导体接触时，是自由电子从一个物体转移到另一物体.B 球的负电荷移到A 球中和掉部分正电荷，而自身剩余与负电荷等量的正电荷.故选项B 正确. 答案 B8.(2018·连云港学业水平模拟)下列图中，A 、B 两点电场强度相等的是( )解析 A 图是负点电荷形成的电场，处在同一球面上的A 、B 两点，由E ＝kQ r 2可知，它们场强的大小相等，但方向不同，故E A ≠E B ，A 错误；B 图中E A ≠E B ，B错误；C图中是两块带电平行板间的电场，为匀强电场，故C正确；D图中A、B两点电场线的疏密程度不同，且方向也不同，E A≠E B，故D错误.答案 C9.(2018·盐城学业水平模拟)下列说法正确的是()A.摩擦起电是创造电荷的过程B.接触起电是电荷转移的过程C.玻璃棒无论和什么物体摩擦都会带正电D.带等量异种电荷的两个导体接触后，电荷会消失，这种现象叫做电荷的湮灭解析任何起电过程的本质都是电荷的转移，电荷不会被创造，故A项错误，B 项正确；玻璃棒和其他物体摩擦可能带正电也可能带负电，所以C项错误；D选项中，电荷并没有消失或湮灭，只是正负电荷数目相等，表现为中性，故D项错误.答案 B10.两个点电荷相距r时，相互作用力为F，则()A.电荷量不变距离加倍时，作用力变为F 2B.其中一个电荷的电荷量和两电荷间距都减半时，作用力变为2FC.每个电荷的电荷量和两电荷间距都减半时，作用力为4FD.一个电荷的电荷量和两电荷间距都增加相同倍数时，作用力不变解析本题考查了对库仑定律的应用.真空中两点电荷间的作用力大小与两电荷电荷量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比.A选项中电荷量不变距离加倍时，相互作用力变为原来的14，A错误；B选项中，一个电荷的电荷量和两电荷间距都减半时，则作用力变为原来的2倍，B正确；C选项中，每个电荷的电荷量和两电荷间距都减半时，则相互作用力不变，故C错误；D选项中，一个电荷的电荷量和两电荷间距都增加相同倍数时，由库仑定律可知，作用力变为原来的1 n，D错误.答案 B11.(2018·扬州学业水平模拟)如图1所示a、b为以负点电荷Q为圆心的同一圆周上的两点，a、c两点在同一条电场线上，则以下说法中正确的是()图1A.a、b两点场强相等B.同一检验电荷在a、b两点所受静电力相同C.a、c两点场强大小关系为E a＞E cD.a、c两点场强方向相同解析由点电荷产生的场强的特点知，a、b两点场强大小相等，但方向不同，a、c两点场强方向相同，但大小不等，越靠近点电荷场强越大，故只有D正确.答案 D12.(2018·镇江学业水平模拟)如图2所示，空间有一电场，电场中有两个点a和b.下列表述正确的是()图2A.该电场是匀强电场B.a点的电场强度比b点的大C.b点的电场强度比a点的大D.正电荷在a、b两点所受电场力方向相同解析由图可以看出a处的电场线比b处密，故选项A、C错误，B正确；a点的切线方向与b点不同，故D错误.答案 B二、填空和实验题13.(2018·宿迁学业水平模拟)电荷所带电荷量q ＝3.0×10－10 C ，在电场中的某一点所受的电场力F ＝6.3×10－7 N ，方向竖直向上，则这一点的电场强度为________.若在这一点放一电荷量为q 1＝6.0×10－10 C 的电荷时，那么电荷所受电场力为________________，若在这一点不放电荷时，这一点的场强_____________________________________________________________________. 解析 电场强度是电场本身固有的性质，它不因电场中是否放有检验电荷而改变.电荷在电场中某处所受的电场力是由该处的场强和带电体的电荷量共同决定的. 根据场强的定义式可知：E ＝F q ＝6.3×10－73.0×10－10 N/C ＝2.1×103 N/C ，方向竖直向上 电荷q 1在该点所受的电场力为：F 1＝Eq 1＝2.1×103×6.0×10－10 N ＝1.26×10－6 N若在该点不放电荷，该点的场强的大小仍为E ＝2.1×103 N/C ，方向竖直向上.答案 2.1×103 N/C ，方向竖直向上 1.26×10－6 N2.1×103 N/C ，方向竖直向上14.真空中有两个静止的点电荷A 、B ，其带电荷量 q A ＝2q B ，当两者相距0.01 m 时，相互作用力为1.8×10－2N ，则其带电量分别为q A ＝________C ，q B ＝________C.解析 由库仑定律 k q A q B r 2可得，9×109×2q B q B （0.01）2＝1.8×10－2，解得q B ＝1.0× 10－8C ，q A ＝2q B ＝2.0×10－8C.答案 2.0×10－8 1.0×10－815.如图3所示，A 是一个带正电且电荷量为Q 的带电体，在距它中心L 处的B 点，放一带负电且电荷量为q 的点电荷(q ≪Q )，所受库仑力为F .移去点电荷q 后，B 点的场强大小为________，方向与力F 的方向________.图3解析 由题意可知，放一带负电且电荷量为q 的点电荷(q ≪Q )，所受库仑力为F .根据电场强度的定义可知，E ＝F q ；因此B 点的电场强度的大小为F q ；由于带负电荷，因此负电荷的电场力方向与该点的电场强度的方向相反.答案 F q 相反三、计算题16.(2018·盐城学业水平模拟)如图4所示，A 、B 、C 三点为一直角三角形的三个顶点∠B ＝30°，现在A 、B 两点放置两点电荷q A 、q B ，测得C 点场强的方向与AB 平行，则q A 带什么电，q A ∶q B 是多少？图4解析 放在A 点和B 点的点电荷在C 处产生的场强方向在AC和BC 的连线上，因C 点场强方向与BA 方向平行，故放在A点的点电荷和放在B 点的点电荷产生的场强方向只能如图所示，由C →A 和由B →C .故q A 带负电，q B 带正电，且E B ＝2E A ，即k q B BC 2＝2k q A AC 2，又由几何关系知BC ＝2AC ，所以q A ∶q B ＝1∶8.答案 负电 1∶817. (2018·常州学业水平模拟)如图5所示，在一条直线上有两个相距0.4 m 的点电荷A 、B ，A 带电＋Q ，B 带电－9Q ，现引入第三个点电荷C ，恰好使三个点电荷都处于平衡状态，问：C 应带什么性质的电荷？应处于何处？所带电荷量为多少？图5解析 根据平衡条件判断，C 应带负电，放在A 的左边且和AB 在一条直线上.设C 带电荷量为q ，与A 点相距为x ，则以A 为研究对象，由平衡条件：k qQ A x 2＝k Q A Q B r 2①以C 为研究对象，则k qQ A x 2＝k qQ B （r ＋x ）2② 解①②得x ＝12r ＝0.2 m ，q ＝－94Q故C 应带负电，放在A 的左边0.2 m 处，带电荷量为－94Q .答案 C 应带负电 放在A 的左边0.2 m 处 －94Q18.如图6所示，一个质量为m ，带电量为－q 半径极小的小球，用丝线悬挂在某匀强电场中(电场线与水平面平行)当小球静止时，测得悬线与竖直线夹角为30°，重力加速度为g .求该匀强电场的场强大小及方向.图6解析 小球在电场中受重力、电场力、拉力三个力，合力为零，则知电场力的方向水平向左，而小球带负电，电场强度的方向与负电荷所受电场力方向相反，所以匀强电场场强方向水平向右.由图，根据平衡条件得qE＝mg tan 30°得E＝mg tan 30°q.答案大小为mg tan30°q方向水平向右。

奥术神座章末总结(一)奥术神座章末总结前言本文是对《奥术神座》一书的章末总结，旨在回顾本书内容并提供一些个人观点和感悟。

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章末小结(1)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论，破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；③检验猜想．(2)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质．(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦．(2)与圆心距离相等的两弦相等．(3)圆的周长c＝πd(d为直径)．(4)圆的面积S＝π4d2.解析：圆与球具有下列相似性质．1．圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．2．是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．与圆的有关性质相比较，可以推测球的有关性质：圆球 (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(非轴截面)圆心的连线垂直于截面 (2)与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面圆面积相等 (3)圆的周长c ＝πd球的表面积S ＝πd 2 (4)圆的面积S ＝π4d 2 球的体积V ＝π6d 3 由实数构成的集合A 满足条件：若a ∈A ，a ≠1，则11－a ∈A ，证明：(1)若2∈A ，则集合A 必有另外两个元素，并求出这两个元素；(2)非空集合A 中至少有三个不同元素．分析：从集合中的元素满足的条件“若a ∈A ，则1a －1∈A (a ≠1)”出发；当a ＝2时，依次进行检验，即可得证．证明：(1)∵a ∈A ，a ≠1，则1a －1∈A . ∴2∈A 时，有11－2＝－1∈A . 由于－1≠1，有11－（－1）＝12∈A . 由于12≠1，有11－12＝2∈A .如此循环可知集合A 中的另外两个元素为12，－1. (2)∵集合A 非空，故存在a ∈A ，a ≠1，有11－a∈A ， ∴11－a ∈A 且11－a≠1， 即a ≠0时，有11－11－a ＝a －1a ∈A ，即如此循环出现三个数a ，11－a ，a －1a ∈A .若a ＝11－a，则a 2－a ＋1＝0，方程无实根． 若＝11－a＝a －1a ，则a 2－a ＋1＝0，方程无实根． 若a ＝a －1a，则a 2－a ＋1＝0，方程无实根． ∴a ，11－a，a －1a 互不相等，故集合A 中至少有三个不同元素． 分析法和综合法是对立统一的两种方法，在使用这两种方法解题是，一般步骤是：(1)分析条件和结论之间的联系和区别，选择解题方向．(2)确定恰当的解题方法，若能够结合题设条件，通过相关的公理、定理、公式、结论推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得所求结果，则可以考虑使用分析法．(3)解题反思，回顾解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，确保解题的严谨性和完备性．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明：方法一 综合法因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4， 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4， 所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 分析法因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab≥8. 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab ≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b ≥4. 也就是证a ＋b a ＋a ＋b b≥4. 即证b a ＋a b≥2， 由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2成立， 所以原不等式成立．反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则¬q ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p ，则¬q ”为假，从而可以导出“若p ，则q ”为真，从而达到证明的目的．反证法反映了“正难则反”的解题思想．一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．用反证法证明不等式要把握三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面；②必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，证明：不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .证明：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，则OP ⊥OQ .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1， 所以(ax 1－1)(ax 2－1)＝－x 1·x 2，即(1＋a 2)x 1·x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0.由题意得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0，所以x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1·x 2＝－31－2a2. 所以(1＋a 2)·－31－2a 2－a ·－4a 1－2a 2＋1＝0， 即a 2＝－2，这是不可能的．所以假设不成立．故不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .数学归纳法的两关关注(1)关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *.(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式；(2)当a 1≥2时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋1.解析：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3.由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4.由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5.由此猜想a n 的一个通项公式为a n ＝n ＋1(n ≥1)．(2)证明：①当n ＝1时，∵a n ＝a 1≥2，n ＋1＝1＋1＝2，∴不等式成立．②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋1.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋1)(k ＋1－k )＋1＝k ＋2.也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1>(k ＋1)＋1.根据①和②，对于所有n ≥1，有a n ≥n ＋1.一、选择题1．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，以上推理的错误的原因是(A )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：推理形式没有错误，而大前提“y ＝a x 是增函数”是不正确的，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数；当a ＞1时，y ＝a x 是增函数．故选A.2．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明： 1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(B )A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立解析：因为n为正偶数，n＝k(k≥2为偶数)，所以下一步要证明的命题也应该是在偶数条件下成立，所以，还需要证明n＝k＋2时等式成立，故选B.3．若m，n是正整数，则m＋n>mn成立的充要条件是(D)A．m，n都等于1B．m，n都不等于2C．m，n都大于1D．m，n至少有一个等于1解析：∵m＋n>mn，∴(m－1)(n－1)<1.∵m，n∈N*，∴(m－1)(n－1)∈Z，∴(m－1)(n－1)＝0.∴m＝1或n＝1，故选D.4．下列结论正确的是(B)A．当x>0且x≠1时，lg x＋1lg x≥2B．当x>0时，x＋1x≥2C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值 解析：A 错在lg x 的正负不清；C 错在等号成立的条件不存在；根据函数f (x )＝x －1x 的单调性，当x ＝2时，f (2)max ＝32，故D 错．故选B.5．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值(D )A ．大于0B ．小于0C ．不小于0D ．不大于0解析：解法一 因为a ＋b ＋c ＝0，所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，所以ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0. 解法二 令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ca ＝0，否则a 、b 异号，所以ab ＋bc ＋ca ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，故选D.6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为(A )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c解析：令n ＝1，得1＝3(a －b )＋c ，令n ＝2，得1＋2×3＝9(2a －b )＋c ，令n ＝3，得1＋2×3＋3×32＝27(3a －b )＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34，∴a ＝12，b ＝c ＝14.故选A. 7．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于(B )A ．f (k )＋π2B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32π D ．f (k )＋2π 解析：由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.故选B.8．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10＝(C )A ．18B ．24C ．60D ．90解析：由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，2a 1＋3d ＝0.再由S 8＝8a 1＋562d ＝32，得2a 1＋7d ＝8，则d ＝2，a 1＝－3.所以S 10＝10a 1＋902d ＝60，选C. 二、填空题9．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝2a 2＝4，a 4＝2a 3＝8，a 5＝2a 4＝16，易知S 8＝28－12－1＝255，∴应填255.答案：16 25510．(2014·郑州高二检测)图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是________．解析：分别观察正方体的个数为：1，1＋5，1＋5＋9，… 归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ， 所以S 7＝2×72－7＝91. 答案：9111．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.(这个结论是正确的，证明略)答案：S 2＝S 21＋S 22＋S 2312．(2014·洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n＝________． 解析：由已知中的等式：31×2×12＝1－12231×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…， 所以对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n ＝1－1（n ＋1）2n. 答案：1－1（n ＋1）·2n三、解答题13．证明不等式：12×34×…×2n －12n <12n ＋1(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13，显然12 < 13，不等式成立．(2)假设n ＝k 时，不等式成立， 即12×34×…×2k －12k<12k ＋1，则n ＝k ＋1时，12×34×…×2k －12k ×2k ＋12k ＋2<12k ＋1×2k ＋12k ＋2＝2k ＋12k ＋2，要证n ＝k ＋1时，不等式成立，只要2k ＋12k ＋2<12k ＋3成立． 即证(2k ＋1)(2k ＋3)<(2k ＋2)2， 即证4k 2＋8k ＋3<4k 2＋8k ＋4. 该不等式显然成立．即n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n ，不等式成立．14．如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点．(1)若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，求MN 的长； (2)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线． (1)解析：如下图，取CD 的中点G ，连接MG ，NG ，因为ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2， 所以MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2. 因为平面ABCD ⊥平面DCEF ， 所以MG ⊥平面DCEF . 所以MG ⊥GN .所以MN ＝MG 2＋GN 2＝ 6.(2)证明：假设直线ME 与BN 共面，则AB ⊂平面MBEN ， 且平面MBEN ∩平面DCEF ＝EN .由已知，两正方形ABCD 和DCEF 不共面，故AB ⊄平面DCEF . 又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF . 所以EN ∥AB ，又AB ∥CD ∥EF ， 所以EF ∥NE ，这与EF ∩EN ＝E 矛盾， 故假设不成立．所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线．15．在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A 、B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．解析：类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，A 、B 分别是椭圆长轴的左右端点，点C (x ，y )是椭圆上不同于A 、B 的任意一点，则k AC ·k BC ＝－b 2a2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 2x 2－x 20.由于A 、B 、P 三点在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y 20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 2b2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a 2.故在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A 、B 、P 为异于A 、B 的椭圆上的任意一点，则有k AB ·k BP ＝－b 2a2.16．在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解析：(1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 得a 21＝1，∵a n >0，∴a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2得a 22＋2a 2－1＝0. ∴a 2＝2－1.由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3得a 23＋22a 3－1＝0.∴a 3＝3－ 2.(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0命题成立． ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.∴a k ＋1＝k ＋1－k .即n ＝k ＋1时，命题成立， 由①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.。