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正余弦定理解三角形

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1 正弦定理和余弦定理

一、基础知识：1、正弦定理： = = =2R(R为外接圆半径)

变式：（1）a=2RsinA, b= , c=

（2）Asin ，Bsin= ，Csin

（3）a:b:c= ，a:b= ，sinsinAB=

2、余弦定理：（1）、2a cosA

（2）、2b cosB

3、三角形面积公式：

二、例题、正弦定理的应用：

题型一、已知两角一边或两边及其中一边的对角解三角形。

例1、 （1）在△ABC中，.,75,60,800bCBa求边长

（2）在△ABC中，若2,3,,4abA解此三角形。

变式练习：1、在△ABC中，若3,1,,3abA求角B和边长c；

2、已知在ΔABC中．A=60o，B=450，b=22,则a为=

3、在△ABC中，若12,,34abAB，求边长a;

余弦定理的应用：

题型三、已知两边夹角求第三边或已知三边求角。

例3、（1）在△ABC中，已知3,3,30,abc则A＝ .

（2）在△ABC中，若7,43,13,abc求最小内角的余弦值。

例4、在△ABC中,已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______.

2 变式：1、在△ABC中,已知Asin：Bsin：Csin5：7：8，求角最大角的余弦值。

2、在△ABC中,CBABA222sinsinsinsinsin,则∠C=

3、在△ABC中,1413cos,8,7Cba，求最大角的余弦值。

4、在△ABC中，若2,8,15,ACBacac求边b.

题型三、判断三角形的形状（边化角，角化边的转化）

例2、 在△ABC中，若coscos,aAbB则三角形的形状是

变式训练1. 在△ABC中，bcosA=acosB，则△ABC的形状是 （ ）

（A）直角三角形 （B）锐角三角形 （C）等腰三角形 （D）等边三角形

2.在ΔABC中，若2cossinsinBAC，则ΔABC的形状为 .

2、在△ABC中，若Babsin2，则A等于（ ）

A．006030或 B．006045或 C．0060120或 D．0015030或

面积公式应用：1．已知a＝33，c＝2，B＝150°，求边b的长及三角形的面积

2、在△ABC中，若8,3,7cba，则其面积等于（ ）

A．12 B．221 C．28 D．36

三、堂上练习：

1.（2008陕西）ABC△，若26120cbB，，，则a等于（ ）

A．6 B．2 C．3 D．2

2.（2007重庆）在ABC△中，3AB，45A，75C，则BC （ ）

Ａ．33 Ｂ．2 Ｃ．2 Ｄ．33 3 3.（2007重庆）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ .

4. 在△ABC中，已知3,3,30,abc则A＝ .

5. 在ABC中，8b，83c，163ABCS，则A=

6、（09广东）已知ABC中，若62ac 且75Ao，则b

7、在△ABC中，若()()()acacbbc，则∠A=

8、在ABC中，CbBcacoscos)2(.则∠B=

9．（07北京) 在ABC△中，若1tan3A，150C，1BC，则AB ．

10、在ABC△中，AB=7，BC=5，CA=6，则BCAB

11．△ABC中ABa，ACb，0ab，154ABCS，3,5ab则BAC

A.． 30 B ．150 C．0150 D． 30或0150

12、在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（ ）

A、0020,45,80bAC B、030,28,60acB

C、014,16,45abA D、012,15,120acA

13、在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ）

A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角 D.等边三角形

14、在△ABC中，若0360,1,,2sinsinsinabcAbABC面积为求的值。

15、在△ABC中，若030,3,1Aba解此三角形。

4 16、在△ABC中，若2,,,2320BCaACbabx是方程x的两个根，且2cos()1AB，求（1）角C的度数；（2）AB的长度；（3）△ABC的面积。

17.（2009湖北卷文） 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且Acasin23

(Ⅰ)确定角C的大小：

（Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为233,求a＋b的值。

18．（08全国）在ABC△中，5cos13B，4cos5C． （Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）设ABC△的面积332ABCS△，求BC的长．

19.（2009浙江）（本题满分14分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．

（I）求ABC的面积； （II）若6bc，求a的值．

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正、余弦定理及其应用

正、余弦定理及其应用

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正、余弦定理及其应用

作者：夏志辉

来源：《数学金刊·高考版》2013年第10期

正、余弦定理及其应用是高中数学的一个重要内容，是高考必考知识点之一，也是解三角形的重要工具，常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查其运用.

重点难点

在高考中，本部分知识所考查的有关试题大多为容易题. 在客观题中，突出考查正、余弦定理及其推论所涉及的运算；在解答题中，通常联系三角恒等变形、三角形内角和定理、三角形面积公式等知识进行综合考查，常见的有证明、判断、求值（求解斜三角形中的基本元素：角、面积等）及解决实际问题等题型.

重点：①正确理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之间的内在联系，掌握公式的一些常用变形；②判断三角形的形状；③解斜三角形；④运用正、余弦定理解决一些实际问题以及与其他知识相互渗透的综合问题.

难点：①解三角形时解的情况的讨论；②正、余弦定理与三角恒等变换等知识相互联系的综合问题.

正弦定理和余弦定理(解三角形)

正弦定理和余弦定理(解三角形)

高中数学

解三角形

1.内角和定理：在ABC中，ABC；sin()ABsinC；cos()ABcosC，cos2ABsin2C

2.面积公式: ①ABCS=21aha＝21bhb＝21chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；

②ABCS＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB； ③ABCS＝2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径）

④ABCS＝Rabc4； ⑤ABCS＝))()((csbsass,)(21cbas；

⑥ABCS＝r·s,( r为△ABC内切圆的半径)

3.三角形中常见的不等式：

①BABAsinsin,则若(任意三角形)

②锐角三角形中，BAcossin

4．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：RCcBbAa2sinsinsin (解三角形的重要工具)

形式二：CRcBRbARasin2sin2sin2 (边角转化的重要工具)

4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..

形式一：2222cosabcbcA

2222cosbcacaB (解三角形的重要工具)

2222coscababC

形式二：cosAbcacb2222 ； cosBcabac2222 ； cosC=abcba2222

考点1: 运用正、余弦定理求角或边

题型1.求三角形中的某些元素

例1.已知：A.B.C是ABC的内角，cba,,分别是其对边长，向量1cos,3Am，1,2cosAn，nm.

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若,33cos,2Ba求b的长.

用正、余弦定理解三角形

用正、余弦定理解三角形

灵活应用正、余弦定理解三角形

利用正余弦定理解三角形在近几年的高考中出现的频率比较频繁，因此，掌握好正、余弦定理在各种题型中的应用就显得尤其重要。下面就正、余弦定理的几种应用作一个归纳，希望能帮助同学们更好地掌握。

一、直接利用定理求边和角。

例1：在△ABC中，0060,30,366BAba，求边c的长。

解：∵ )(1800BAc=090 由正弦定理：CcBbAasinsinsin及等比定理得

0060sin30sin366sinsinsinBAbaCc

∴12)31(21)31(62321366c

二、配凑公式求边和角。

例2：若a，b，c分别表示△ABC的顶点A、B、C所对的边长，且（a+b+c）（a+b－c）=3ab，求cos（A+B）。

解： 由（a+b+c）（a+b－c）=3ab，得abcba3)(22

整理得：abcba222， 故cos（A+B）=－cosC =－2122222abababcba

三、利用定理求边和角的求值范围。

例3：①在锐角△ABC中，a=1，b=2则c的取值范围是多少？

②设a,a+1, a+2为钝角三角形的三边，则a的取值范围是__________.

解:①由余弦定理得: 2cCCabbacos45cos222

由0

②由余弦定理得: 0)1(2)2()1(cos222aaaaaC

30310322aaaa

四、利用定理判断三角形的形状。

例4：在△ABC，已知)sin()()sin()(2222BAbaBAba，判断△ABC的形状。

解：∵)sin()()sin()(2222BAbaBAba

∴)sincoscos)(sin()sincoscossin()(2222BABAbaBABAba

三角形中的正弦定理与余弦定理

三角形中的正弦定理与余弦定理

三角形中的正弦定理与余弦定理

正文：

三角形中的正弦定理与余弦定理

三角形是几何学中最基本的图形之一，它包含了很多重要的定理和公式。在三角形的研究中，正弦定理和余弦定理是两个非常重要且常用的公式。它们可以帮助我们计算三角形的各种属性，如边长、角度等。本文将详细介绍这两个定理的含义、推导过程，并给出实际应用的一些例子。

一、正弦定理

正弦定理是指在一个三角形中，三条边与三个对应的正弦值之间存在一定的关系。设三角形的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理可以表达为：

a/sinA = b/sinB = c/sinC

其中，sinA、sinB、sinC分别为三个角的正弦值。这个定理实际上是在说明了三角形的三个边的长度与对应的角度之间存在一定的比例关系。如果我们已知了三角形的一个角度和两个对应的边长，就可以利用正弦定理来计算第三个边的长度。

例如，已知三角形ABC中，角A的度数为30°，边AB的长度为3，边AC的长度为4，我们可以利用正弦定理求解边BC的长度。根据正弦定理，我们有： BC/sinA = AC/sinC

代入已知条件，得到：

BC/sin30° = 4/sinC

进一步计算可得：

BC = 4*sin30°/sinC ≈ 4*0.5/sinC = 2/sinC

通过这个简单的计算过程，我们可以求解出BC的长度。正弦定理在实际应用中非常有用，可以帮助我们解决各种与三角形边长相关的问题。

二、余弦定理

余弦定理是指在一个三角形中，三条边与一个对应的角度之间存在一定的关系。设三角形的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可以表示为：

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC

这个定理实际上是在说明了三角形的三个边的长度与对应的角度之间存在一定的关系。利用余弦定理，我们可以计算三角形的一个边长，当已知该边的两个对应角度和另一边的长度时。

例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为3，边AC的长度为4，角C的度数为60°，我们可以利用余弦定理来计算边BC的长度。根据余弦定理，我们有：