28 归纳与猜想
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28归纳与猜想
当一个问题涉及到相当多的乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法．
归纳是建立在细致而深刻的观察基础上，发现往往是从观察开始的，观察是解决问题的先导，解题中的观察活动主要有三条途径：
1．数与式的特征观察；
2．几何图形的结构观察；
3．通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况．
需要注意的是，用归纳猜想法得到的结果，常常具有或然性，它可能是成功的发现，也可能是失败的尝试，需用合乎逻辑的推理步骤把它写成无懈可击的证明．
例l下图是飞行棋的一颗骰子，根据图中A、B、C三种状态所显示的数字，推出“?”处的数字是 ．
(东方航空杯——上海市竞赛题)
（A) (B) (C)
解题思路认真观察A、B、C三种状态所显示的数字，从中发现规律，作出推断．
例2有以下两个数串：
l，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999
和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )．
(第九届“希望杯”邀请赛试题)
(A)333 (B)334 ．(C)335 (D)336
解题思路从观察分析归纳每个数串的特征人手．
例3化简个n999×个n999＋1个n999
(西安市竞赛题)
解题思路先考察n=l，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更加明确．
例4平面内的i00条直线至多可把平面分成几部分?
解题思路还是从最简单的情形考察起，关键在于能否发现每添加一条直线与上一次加线可把平面分成几部分的联系．
例5观察按下列规则排成的一列数：
11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,51,42,33,24,15,61……(※)
(1)在(※)中，从左起第m个数记为F(m)，当F(m)=20012时，求m的值和这m个数的积．
(2)在(※)中，未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数f和d，使cd=2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由．
(2002年湖北赛区选拔赛题)
解题思路按分母递减而分子递增的变化规律，对原数列恰当分组，明确每组中数的个数与分母的关系、未经约分且分母为2的数在每组中的位置，这是解本例的关键．
1．研究下列算式，你会发现有什么规律?
1×3+1—4=22
2×4+1—9=32
3×5+1—16=42
4×6+1—25=52
请将你找出的规律用公式表示出来
2．有数组(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，数之和为 ．
(广州市竞赛题)
3．观察下列各式：
12×2=12+2
23×3=23+3
34×4=45＋5
…………
(山东菏泽中考题)
一般地，能否得出“两数之积等于两数之和”的结论？ ，什么样两个数才有这样的性质? ．(用字母表示)
4．按一定规律排列的一串数
11，-31，32，-33，51，-52，53，-54，55，-71，72，- 37，…中，第98个数是 ．
(山东省竞赛题)
5．给出下列两列数
2，4，6，8，10，…，1994
6，13，20，27，34，…，1994
则这两列数中，相同的数的个数是( )．
(浙江省竞赛题)
(A)142 (B)143 (C)284 (D)285
6．有1000个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数等于它前后两个数的和．若第一个数和第二个数都是1，则这1000个数的和等于( )．
(A)1000 (B)1 (C)0 (D)一1
(山东省竞赛题)
7．一条直线分一张平面为两部分，二条直线最多分一张平面为4部分，设五条直线最多分平面为n部分，则n等于( )．
(北京市“迎春杯”竞赛题)
(A)16 (B)18 (C)24 (D)31
8．某中学科技楼窗户设计如图(1)所示，如果每个符号(窗户形状)代表一个阿拉伯数码，每横行三个符号自左至右看成一个三位数，这四层组成四个三位数，它们是837，571，206，439，则按图(1)所示．的规律写出1992应是图(2)中的( )．
(图1) (图2)
9．设n为自然数，证明n11111个n55555个是两个连续奇数的和.
10．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1，l，2，3，5，8，13，21,34,55…
问：这串数的前100个数中(包括第100个数)有多少个偶数?
(“华罗庚金杯”赛试题)
11．将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线?请说明理由．
(“五羊杯”试题)
12．已知ax+by=7，ax2+by2=49，ax3+by3=133，ax4 +by4=406,求1995(x+y)+6xy一172(a+b)的值．
(“希望杯”邀请赛试题)
13．有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，一1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，--10，一1，9，8，继续依次操作下去．问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？
