哥德巴赫猜想的证明
摘要：文章用两种方法证明“哥德巴赫猜想”。第一种是运用反证法，证明与原命题的逆否命题成立；第二种是通过将偶数分类、依据命题的逻辑关系进行合理推演。两种方法殊途而同归，均成功证明了困扰世界数学界两百多年的“哥德巴赫猜想”。
关键词：哥德巴赫猜想 原命题 逆否命题 反证法 大偶 小偶 奇素数
1、哥德巴赫猜想简介（来自网络）
哥德巴赫猜想是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想(Goldbach
Conjecture)。同年6月30日，欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的，但他无法证明．现在，哥德巴赫猜想的一般提法是：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数都可表示为三个奇素数之和。其实，后一个命题是前一个命题的推论。
1729年--1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了以下的猜想:(a)任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和；(b)任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和.这就是所谓的哥德巴赫猜想。在信中他写道：“我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461：461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于9的奇数都是三个素数之和．但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。”欧拉回信说：“这个命题看来是正确的”。但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了此一猜想可以有另一个等价的版本：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。
观察、实验、归纳、类比、猜想、证明学案
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七年级数学《观察、猜想与证明》
一、【观察与实验】
认识来源于实践，
是我们认识事物的重要方法，通过观察和实验，可以发现许多规律。
是获得感性认识的重要途径，但观察得到的结果是否正确，还需要经过验证； 是人们认识事物的一种有目的的探索过程，一般是为了检验某种猜想或理论而进行的操作或活动 。实验的关键是要具有可重复操作性。
例题：1.下面给出了两个图形，你能分别用一笔画出来吗？（每部分既不能重复，也不能遗漏）？
2.【错觉】
①上图（3）中的两条紫色的线条是平行的吗？图（4）中线段AB与线段CD哪个比较长？用什么办法验证你的观察？
② 下面左边两幅图形中，哪个图形的竖线更长？ 右图中有曲线吗？
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【结论】：观察可能产生错觉；所以观察的结果需要验证。
3. 一个正方体有六个面，分别标上文字“观，察，猜，想，证，明”是从三个不同方向看到的几个汉字 . 观察图形中的汉字特点，那么，“观”相对面上的汉字是
；“察”相对面上的汉字是 ；“猜”相对面上的汉字是 ；
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4. 用锯锯木，锯会发热；用锉锉物，锉会发热；在石头上磨刀，刀会发热，所以物体摩擦会发热．此
结论的得出运用的方法是（ ）
A．观察 B．实验 C．归纳 D．类比
5. 【实验是人们认识事物的一种有目的的探索过程】
①三条线段能组成一个三角形吗？
②用两块形状、大小相同的三角尺，你能拼出多少个形状不同的三角形？能拼出多少个形状不同的四边形？ （摆一摆，试一试）
③如图，OM 为∠AOB 的平分线，点 P是射线 OM 上的一点，PA ⊥ OA 于点 A，PB ⊥ OB 于 点 B，分别度量PA，PB 的长度，并判断它们的数量关系；如果在射线 OM 上再取几个不同位置的点 P，然后向角的两边作垂线段，刚才的数量关系还存在吗？
・３２・ 中学教研（数学） ２Ｏｌ１正
归 纳 、 猜 想 与 证 明
●陆洪良 （嘉兴市第一中学实验学校浙江嘉兴３１４００１）
随着新课程标准的推行和考试观念的转变，以
注重培养学生的发现思维能力与解决问题能力的
新题型越来越多地涌现，其中归纳、猜想与证明等
问题备受青睐．那么，什么是归纳、猜想与证明呢？ 归纳、猜想与证明指的是给出一定的条件（可以是
有规律的算式、图形或图表等），让学生认真分析、 仔细观察、综合归纳、大胆猜想、得出结论，进而加
以验证（或证明）的数学探索问题．其解题思维过 程是：从特殊情况人手一探索发现规律一综合归纳
猜想得出结论一验证（或证明）结论．这类问题 形式多样、方法灵活多变、技巧性强，学生普遍感到
束手无策．本文试图通过数与式、函数、几何图形和
操作性４种类型的问题来阐述这类题型的解题思
想方法． １数与式类型 例１计算：２ 一１＝１，２ 一ｌ＝３，２。一ｌ＝７，
２ 一１＝１５，２ 一１＝３１，…．归纳各计算结果中的个 位数字规律，猜测２ ｍ 一ｌ的个位数字是（ ）
Ａ．１ Ｂ．３ Ｃ．７ Ｄ．５ 解 因为２ 一１＝ｌ，２ 一１＝３，２ 一ｌ＝７，２ 一 ｌ＝ｌ５，２ 一１＝３１，２ 一１＝６３，２’一１＝１２７，２。一ｌ＝
２５５，…，可以发现，个位数字呈１，３，７，５周期性循 环，而２ ｍ ＝２ ”，所以２ ∞’一１的个位数是７．
故选Ｃ．
例２观察下面的几个算式：
１＋２＋１＝４．
１＋２＋３＋２＋１＝９． １＋２＋３＋４＋３＋２＋１＝１６．
１＋２＋３＋４＋５＋４＋３＋２＋１＝２５．… 根据你所发现的规律，请直接写出下面式子的结
果：
１＋２＋３＋…＋２ ０１０＋２ Ｏｌｌ＋２ ０１０＋…＋ ３＋２＋１＝———． 分析这是一道数字类探索性问题．解这一类
型题目要用到归纳推理，经过观察知道：加数排列 成“回文”的形式，依次从小到大，再从大到小的连
续正整数，而所得的和恰好是最大（最中间）数的 平方，因此不难得出结论是２ ０１１ ．
数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明·教案
教学目标
1．对数学归纳法的认识不断深化．
2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法．
3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．
教学重点和难点
用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明．
教学过程设计
（一）复习引入
师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？
生：与连续自然数n有关的命题．
师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？
生：共有两个步骤：
（1）证明当n取第一个值n0时结论正确；
（2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确．
师：这两个步骤的作用是什么？
生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程．
师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？
生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．
师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题．
今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1．
（二）归纳、猜想、证明 1．问题的提出
师：我们一起来看两位同学的解题过程．学生甲的计算结果正确，但没有猜出来．学生乙没有求出f（2），f（3），f（4）的值，但猜出了计算公式，并用数学归纳法给予了证明．题目要求求值，还是应写出结果的，说说你这么写的理由吧．
生乙：其实一开始，我跟学生甲一样，先算出了f（2），f（3），f（4）的值，但从-lg
2，0，2lg 2，5lg 2我除发现了应是多少倍的lg2就再无收获了，这“多少倍的”从-1，0，2，5实在无法断定，于是我就往回找，从计算的过程中，我发现了规律，一高兴就忘了写结果了．
