1 归纳—猜想—证明
归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。归纳法分为不完全
归纳法与完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽
的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归
纳—猜想—证明”的思想方法，
1．什么是归纳法
在初中学习平面几何时，常会遇到如下推理：三角形内角和为180°，直角
三角形是三角形，所以直角三角形内角和为180°。这种由一般命题推出特殊命
题的推理方法，我们称为演绎法。
但很多时候，往往需要从特殊的事例推出一般的原理，例如，一个人通过若
干天的观察，看到“太阳从东方升起”， 就推出一般结论：“今后的每一天太阳
都从东方升起”，这种推理方法叫做归纳法。归纳法在科学发展和社会生活中起
着重要作用，如气象工作者、水文工作者根据积累的历史资料作气象预测、水文
预测，用的就是归纳法
归纳法有什么特点？来看两个问题。
问题1：这里有一袋球共10个，要判断这袋球的颜色是白色，还是其他颜
色，请问怎么办？
学生：一个个拿出来看一看。
教师：这一袋球都是白色的。
问题2：数列的通项公式2255
nann，计算
1234,,,aaaa的值，可以得到
什么结论？
学生：该数列的前四项都是1，猜测该数列的所有项都是1
教师：这是错误的结论，该数列第五项是25。
解决以上两个问题用的都是归纳法——用一些特殊事例推出一般结论。为什
么问题1的结论正确，问题2的结论错误呢？这是因为问题1中，一共10个球，
全部看了一遍，结论当然正确。问题2中，根据前4 项为1，推测到所有项都是
1，由于自然数有无数多个，因此得出的结论不一定正确。
实际上在这两个问题中运用的归纳法是有区别的，问题1中把研究对象都一 2 一考察到了，这样推出结论的归纳法称为完全归纳法（通过验证一切可能的特殊
事例，从而得出一般性结论，这种归纳推理称为完全归纳法）。问题2中，根据
部分事实推出了更加一般的事实，这种推理方法称为不完全归纳法（通过验证有
1 归纳猜想型专题
第1题：将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）：
第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；
第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形．
按上述分割方法进行下去„„
（1）请你在下图中画出第一次分割的示意图；
（2）若原正六边形的面积为a，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表：
分割次数（n） 1 2 3 „
正六边形的面积S „
（3）观察所填表格，并结合操作，请你猜想：分割后所得的正六边形的面积S与分割次数 n有何关系？（S用含a和n的代数式表示，不需要写出推理过程）．
答案：解：（1）如图：
（2）
分割次数（n） 1 2 3 „
正六边形的面积S 4a 16a 64a „
（3）4naS．
第2题. ：观察下列等式：
22(12)4114
22(22)4224
22(32)4334
„
则第n个等式可以表示为 ．
答案：22(2)44nnn
第3题.：观察下面图形，按规律在两个．．箭头所指的“田”字格内分别画上适当图形．
2
答案：
第5题：按一定规律排列的一列数依次为：
1111112310152635，，，，，……，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是
．
答案：150
第4题.：如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，„．已知正方形ABCD的面积1S为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23nSSS，，，（n为正整数），那么第8个正方形的面积8S ．
1 归纳猜想型问题
1．（2012•沈阳）有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 ．
2. （2012•荆门）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（ ）
A． 8048个 B． 4024个 C． 2012个 D． 1066个
3. （2012•德州）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为 ．
4. （2012•苏州）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
5. （2012•绍兴）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（ ）
2 A． B． C． D．
数式规律中的猜想归纳思想
知识方法精讲
1. 规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
2. 猜想归纳思想
归纳猜想类问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。考查学生的归纳、概括、类比能力。有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
解决归纳猜想类问题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：
（1）认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；
（2）根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；
（3）结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性。
归纳猜想类问题可以分成四大类：
（1）数式归纳猜想题
这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论。找出题目中规律，即不变的和变化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的关键。
（2）图形归纳猜想题
此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系。其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系。
（3）结论归纳猜想题 结论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况。发现或归纳出周期性或规律性变化，是解题的关键。
（4）类比归纳猜想题
类比归纳猜想题通常是指由两类对象的具有某些相同或相似的性质，和其中一类对象的某些已知的性质，推断出另一类对象也具有这些性质的一种题型，有时也指两个对象在研究方法、学习过程上类比，考查类比归纳推理能力。
