解析几何中的直线和圆

龙源期刊网

直线参数方程在解析几何中的应用

作者：王晨曦

来源：《科教导刊·电子版》2020年第02期 龙源期刊网

龙源期刊网 龙源期刊网 龙源期刊网

摘 要 参数是解析几何中常见的元素，参数方程在解决高中数学解析几何题时有着意想不到的效果，例如利用参数方程可以求解轨迹问题、定点定值问题、最值问题等等，这些问题的综合性及应用性都很强，因而参数方程的学习十分必要。

关键词 相交弦长及中点问题 最值问题 共圆问题 轨迹方程

定理：设直线过定点，且倾斜角为、，是上的动点，则直线的一个参数方程为

其中为直线的倾斜角，参数的几何意义是，即有向线段的数量，我们称之为是定点到定点的有向距离，其中，当在点上方时，，当在点下方时，。

那我们来看看直线参数方程中可以解答的几种问题。

1相交弦长及中点问题

例1：（2016年江苏）平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为參数），椭圆的参数方程为（为参数），设直线与椭圆相交于、两点，求线段的长。

解法一：把直线、椭圆参数方程转化为直角坐标方程，联立方程，利用韦达定理求解。

解法二：因为直线参数为标准形式，且过点，设点、对应的参数为，可得椭圆方程为，将直线参数方程代入到椭圆方程，可得，得，，故

一般经过点，倾斜角为直线参数方程为（为参数），若、为直线上两点，对应参数为，线段中点为，所对应参数。

档：　

ｏ数学竞赛初级讲座。　

直　线　和　圆　

陕西省西安市西光中学　广　隶　

（本讲适合高中）　

直线和圆是解析几何中最简单而变化丰富、应用　

广泛的内容之一，同时也是应用解析法解决平面几何　

问题的基础．　

１基础知识　

１．１直线和圆的方程（参见课本）　１．２直线系与圆系的方程　

（１）共点直线系　

（ｉ）过直线ｚｌ、ｆ２的交点的直线方程为　ｌ（Ａｌ　

十Ｂｌｙ十Ｃｘ）十　２（Ａｚｘ十Ｂｚｙ十Ｃｚ）＝０（　ｌ、　２∈Ｒ）．　（ｉｉ）过定点Ｐ（ｘ０，　）的直线系方程为　～　ｏ＝　

ｋ（　—　０）（不包括直线ｚ＝　０）．　

（２）平行直线系　

（ｉ）平行于直线　十Ｂｙ十Ｃ＝０的直线系方程　

为触十　＋Ｃ＝０（ＣＥＲ）．　（２）圆系　

过两圆Ｃｌ、ｃ２的交点Ａ、Ｂ的圆系方程为　ｌ（　

十　十Ｄｌｘ十Ｅｌ　＋Ｆ１）十　２（　十．），　十Ｄ２　十Ｅ２ｙ十　

Ｆ２）＝０（　ｌ　十，ｌｚ　≠０，且　ｌ十　２≠０）．　

特别地，当　１十　２＝０时，圆系方程表示过Ａ、Ｂ　

两点的直线（圆退化为直线），这条直线叫做两圆ｃ　、　

Ｃ２的根轴．　

１．３直线与圆、圆与圆的位置关系　

（１）判断直线与圆的位置关系有两种方法：一是利　

用判别式法；二是利用圆心到直线的距离与圆的半径　的大小关系．　

（２）判断两圆的位置关系，常利用圆心距与两圆半　径的和或差的大小关系．　

１．４圆的切线　

（１）过圆　十　十Ｄｘ十Ｅｙ十Ｆ＝０上一点Ｐ（ｚ０，　

）的切线方程为：　０ｚ十　０　十Ｄ・下ｃｒ＋Ｘ０十Ｅ．　

厶　厶　十Ｆ＝０．　（２）过点Ｐ（　ｏ，Ｙｏ）弓Ｉ圆ｚ　十ｙ２＋Ｄｘ十Ｅｙ十Ｆ＝　

０的切线，则切线长为：、／／ｚ０　十　０　十Ｄｚ０十　０十Ｆ．　

例１过点Ｐ（６，８）作两条互相垂直的直线ＰＡ、　ＰＢ，分别交　轴正半轴于Ａ，ｙ轴正半轴于Ｂ。　

（１）求线段ＡＢ中点的轨迹方程；　

（２）若Ｓ△她＝Ｓ　枷，求ＰＡ与ＰＢ所在直线的　

方程．　（第１０届希望杯数学邀请赛试题）　

导析：对于第（１）小题，常见的思路有两种：一是利　中学教学教学参考　

・　３４　・　中学数学月刊　２００９年第１２期　任一点．　由　．　；＝ｏ，知ＭＦ　上ＭＦ。，所以点Ｍ　在以Ｆ　Ｆ２为直径的圆上，因点Ｍ总在椭圆内部，　所以　Ｆ。ＰＦ。＜９０。恒成立．由性质１知，只需　ＦｌＢＦ２＜９０。．　￣／．ｔａｎ　一詈，ＺＺ￣２ｂ＜ｔａｎ　４５。－１，　ｃ。＜ｂ。一ｎｚ—ｃｚ．故０＜Ｐ一　＜　．故选Ｃ．　评注　由性质１及本例进一步可知：椭圆Ｃ　上存在点Ｐ，使　Ｆ　ＰＦ：为钝角的充要条件是　＜Ｐ＜１．　例２（２００４年湖北卷试题）已知椭圆　＋　＝１的左、右焦点分别为Ｆ　，Ｆｚ，点Ｐ在椭圆　上，若Ｐ，Ｆ，，Ｆ２是一个直角三角形的三个顶点，　则点Ｐ到Ｘ轴的距离为（　）．　（Ａ）詈（Ｂ）３（ｃ）　（Ｄ）　４　ｂ　，　解析　因为口＝４，ｂ一３，所以ｃ一　＜ｂ．　设Ｂ为椭圆短轴顶点，由性质１知　Ｆ　ＰＦ。≤　Ｆ１ＢＦ２．　又ｔａｎ　一寺＜１，故　Ｆ，ＢＦ。＜　９Ｏ。，　Ｆ　ＰＦ：＜９０。，所以直角三角形ＰＦ１Ｆ　的直　角顶点只能是Ｆ　或Ｆ２．　由　＋等＝１，解得ｌ　３，Ｉ一　９，故选Ｄ．　例３　已知Ａ，Ｂ是椭圆ｃ：砉＋　一１（ｎ＞　ｂ＞Ｏ）的长轴两顶点，若椭圆上存在点Ｐ使　ＡＡＰＢ一１２０。，则椭圆Ｃ的离心率　的取值范围　为　．　解　设Ｍ为椭圆Ｃ的上顶点，由性质２，得　ＡＭＢ≥　ＡＰＢ一１２０。，　所以ｔａｎ下ＡＡＭＢ一　≥ｔａｎ　６０。，　所以ｎ　≥３ｂ　一３（日。一ｃ。），所以Ｐ≥　．　又０＜　＜１，所以离心率Ｐ的取值范围是　［　－５－，　）．　例４　已知定点Ａ（２，１），Ｂ（１，一４），点Ｆ（１，　ｏ）是椭圆　＋告一１的一个焦点，Ｐ是椭圆上的　任意一点，则ＰＡ＋ＰＦ的最大值为　；ＰＢ＋　ＰＦ的最小值为　．　解　因为焦点Ｆ（１，０）在　轴上，所以　一８　—１．故　一９，椭圆方程为等＋寺一１．　设椭圆左焦点为Ｆ　（一１，ｏ），则ＡＦ　一、／，＿．　显然Ａ（２，１）在椭圆内，由性质３知，ＰＡ＋　ＰＦ的最大值为６＋　＿．　而Ｂ（１，一４）在椭圆外，由性质４知ＰＢ＋ＰＦ　的最小值为ＢＦ一４．　由以上各例可见，若用有关椭圆最值问题的　性质求解相关选择题、填空题显然非常简捷．当　然，作为解答题，作答时我们虽然不能直接运用这　些性质，但可仿照上面相应性质的证明方法求解．　解析几何中关于圆的解题要点　吴瑞英　（江苏省张家港市教育局教研室　２１５６００）　解析几何是高中数学的重要内容之一，在历年高考　中大多以解答题的形式出现．２００９年《普通高等学校招生　全国统一考试（江苏卷）说明》中对该内容的考查等级属　于Ｃ级要求，要求“系统地掌握知识的内在联系，并能解决　综合性较强的或较为困难的问题”，江苏高考数学试卷中　已有所体现．不难看出，课改后涉及圆的问题是高考解析　几何试题中的热点．笔者在平时的听课、访谈、调研测试　中发现学生在处理有关圆的问题时习惯于利用代数的方　法来处理，不会灵活地应用平面几何中与圆有关的几何　性质，往往出现运算繁琐或错误，导致不能获得正确的解　题结果．因此，在复习解析几何时对“圆”这部分内容要高　度重视，找准学生的薄弱环节和问题所在，对典型例题及　时归纳总结，找出规律．　１　求圆方程　例１（２００８年高考江苏卷第１８题）在平面直角坐标　系ｘＯｙ中，设二次函数，（　）一ｚ。＋２ｘ＋ｂ（ｘ∈Ｒ）的图　象与两坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为Ｃ．（１）求　实数ｂ的取值范围；（２）求圆Ｃ的方程；

1.定义

（1）静态定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

（2）动态定义：平面内线段围绕其一个端点旋转一周，另一个端点所形成的轨迹。

2.方程

（1）标准方程：（x－a）^2＋（y－a）^2＝r^2，圆心（a，b），半径r；

（2）一般方程：x^2＋y^2＋Dx＋Ey＋F＝0（D^2＋E^2－4F＞0），圆心：，半径：； （3）参数方程：。

3.与圆有关的位置关系

（1）点与圆的位置关系

点与圆/

（2）直线与圆的位置关系

设： ，直线， 则圆心O（ab）到直线l的距离公式： 该直线与圆的位置关系： 几何法：

代数法：联立直线与圆 △＜0 △＝0

△＞0

弦长公式：。

（3）圆与圆的位置关系

几何法： 代数法：联立两圆的方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值。

【例题】

在圆x^2＋y^2－2x－6y＝0内，过点（01）的最长弦和最短弦分别为AC，BD，则四边形ABCD的面积为（ ）。

『答案』B

『解析』将圆的方程化为标准形式为， 即圆心坐标为（13），半径为。则过点（01）的最长弦为AC，最短弦为垂直于AC的BD，所以

故四边形ABCD的面积为。