解析几何中的直线与圆

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直线参数方程在解析几何中的应用

作者：王晨曦

来源：《科教导刊·电子版》2020年第02期 龙源期刊网

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摘 要 参数是解析几何中常见的元素，参数方程在解决高中数学解析几何题时有着意想不到的效果，例如利用参数方程可以求解轨迹问题、定点定值问题、最值问题等等，这些问题的综合性及应用性都很强，因而参数方程的学习十分必要。

关键词 相交弦长及中点问题 最值问题 共圆问题 轨迹方程

定理：设直线过定点，且倾斜角为、，是上的动点，则直线的一个参数方程为

其中为直线的倾斜角，参数的几何意义是，即有向线段的数量，我们称之为是定点到定点的有向距离，其中，当在点上方时，，当在点下方时，。

那我们来看看直线参数方程中可以解答的几种问题。

1相交弦长及中点问题

例1：（2016年江苏）平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为參数），椭圆的参数方程为（为参数），设直线与椭圆相交于、两点，求线段的长。

解法一：把直线、椭圆参数方程转化为直角坐标方程，联立方程，利用韦达定理求解。

解法二：因为直线参数为标准形式，且过点，设点、对应的参数为，可得椭圆方程为，将直线参数方程代入到椭圆方程，可得，得，，故

一般经过点，倾斜角为直线参数方程为（为参数），若、为直线上两点，对应参数为，线段中点为，所对应参数。

高二《直线与圆》知识点总结

直线与圆是高中数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中具有广泛的应用。掌握了直线与圆的相关知识，对于理解和解决几何和代数问题都有很大的帮助。本文将对高二学生需要掌握的直线与圆的知识点进行总结。

一、直线与圆的基本概念和性质：

1. 直线的定义和性质：直线是一条无限延伸的连续直线，具有无宽度和无端点的特点。直线的特征是经过其中任意两点的直线上的所有点。

2. 圆的定义和性质：圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的集合。圆由圆心和半径唯一确定，其中半径是圆心到圆上任意一点的距离。

3. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。相离表示直线与圆没有任何交点；相切表示直线与圆有且仅有一个交点；相交表示直线与圆有两个交点。

4. 切线的定义和性质：切线是与圆相切且与圆的切点相同的直线，切线与半径垂直。

二、直线与圆的方程和解析几何：

1. 直线的一般方程：直线的一般方程可以写为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

2. 直线的斜截式方程：直线的斜截式方程可以写为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。

3. 圆的方程：圆的方程可以写为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。

4. 直线与圆的位置关系的方程：要判断直线和圆的位置关系，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到判别式。判别式小于0时，直线和圆相离；判别式等于0时，直线和圆相切；判别式大于0时，直线和圆相交。

三、直线与圆的交点和切线：

1. 直线与圆的交点：若要求直线与圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到交点的坐标。

2. 切线的判定和方程：若要确定直线是否为圆的切线，可以计算直线的斜率，然后计算圆心到直线的距离。若斜率与圆心到直线的距离相等，则直线为圆的切线。切线方程可以使用直线方程得出。

・　３４　・　中学数学月刊　２００９年第１２期　任一点．　由　．　；＝ｏ，知ＭＦ　上ＭＦ。，所以点Ｍ　在以Ｆ　Ｆ２为直径的圆上，因点Ｍ总在椭圆内部，　所以　Ｆ。ＰＦ。＜９０。恒成立．由性质１知，只需　ＦｌＢＦ２＜９０。．　￣／．ｔａｎ　一詈，ＺＺ￣２ｂ＜ｔａｎ　４５。－１，　ｃ。＜ｂ。一ｎｚ—ｃｚ．故０＜Ｐ一　＜　．故选Ｃ．　评注　由性质１及本例进一步可知：椭圆Ｃ　上存在点Ｐ，使　Ｆ　ＰＦ：为钝角的充要条件是　＜Ｐ＜１．　例２（２００４年湖北卷试题）已知椭圆　＋　＝１的左、右焦点分别为Ｆ　，Ｆｚ，点Ｐ在椭圆　上，若Ｐ，Ｆ，，Ｆ２是一个直角三角形的三个顶点，　则点Ｐ到Ｘ轴的距离为（　）．　（Ａ）詈（Ｂ）３（ｃ）　（Ｄ）　４　ｂ　，　解析　因为口＝４，ｂ一３，所以ｃ一　＜ｂ．　设Ｂ为椭圆短轴顶点，由性质１知　Ｆ　ＰＦ。≤　Ｆ１ＢＦ２．　又ｔａｎ　一寺＜１，故　Ｆ，ＢＦ。＜　９Ｏ。，　Ｆ　ＰＦ：＜９０。，所以直角三角形ＰＦ１Ｆ　的直　角顶点只能是Ｆ　或Ｆ２．　由　＋等＝１，解得ｌ　３，Ｉ一　９，故选Ｄ．　例３　已知Ａ，Ｂ是椭圆ｃ：砉＋　一１（ｎ＞　ｂ＞Ｏ）的长轴两顶点，若椭圆上存在点Ｐ使　ＡＡＰＢ一１２０。，则椭圆Ｃ的离心率　的取值范围　为　．　解　设Ｍ为椭圆Ｃ的上顶点，由性质２，得　ＡＭＢ≥　ＡＰＢ一１２０。，　所以ｔａｎ下ＡＡＭＢ一　≥ｔａｎ　６０。，　所以ｎ　≥３ｂ　一３（日。一ｃ。），所以Ｐ≥　．　又０＜　＜１，所以离心率Ｐ的取值范围是　［　－５－，　）．　例４　已知定点Ａ（２，１），Ｂ（１，一４），点Ｆ（１，　ｏ）是椭圆　＋告一１的一个焦点，Ｐ是椭圆上的　任意一点，则ＰＡ＋ＰＦ的最大值为　；ＰＢ＋　ＰＦ的最小值为　．　解　因为焦点Ｆ（１，０）在　轴上，所以　一８　—１．故　一９，椭圆方程为等＋寺一１．　设椭圆左焦点为Ｆ　（一１，ｏ），则ＡＦ　一、／，＿．　显然Ａ（２，１）在椭圆内，由性质３知，ＰＡ＋　ＰＦ的最大值为６＋　＿．　而Ｂ（１，一４）在椭圆外，由性质４知ＰＢ＋ＰＦ　的最小值为ＢＦ一４．　由以上各例可见，若用有关椭圆最值问题的　性质求解相关选择题、填空题显然非常简捷．当　然，作为解答题，作答时我们虽然不能直接运用这　些性质，但可仿照上面相应性质的证明方法求解．　解析几何中关于圆的解题要点　吴瑞英　（江苏省张家港市教育局教研室　２１５６００）　解析几何是高中数学的重要内容之一，在历年高考　中大多以解答题的形式出现．２００９年《普通高等学校招生　全国统一考试（江苏卷）说明》中对该内容的考查等级属　于Ｃ级要求，要求“系统地掌握知识的内在联系，并能解决　综合性较强的或较为困难的问题”，江苏高考数学试卷中　已有所体现．不难看出，课改后涉及圆的问题是高考解析　几何试题中的热点．笔者在平时的听课、访谈、调研测试　中发现学生在处理有关圆的问题时习惯于利用代数的方　法来处理，不会灵活地应用平面几何中与圆有关的几何　性质，往往出现运算繁琐或错误，导致不能获得正确的解　题结果．因此，在复习解析几何时对“圆”这部分内容要高　度重视，找准学生的薄弱环节和问题所在，对典型例题及　时归纳总结，找出规律．　１　求圆方程　例１（２００８年高考江苏卷第１８题）在平面直角坐标　系ｘＯｙ中，设二次函数，（　）一ｚ。＋２ｘ＋ｂ（ｘ∈Ｒ）的图　象与两坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为Ｃ．（１）求　实数ｂ的取值范围；（２）求圆Ｃ的方程；

直线与圆的方程知识点总结

直线与圆的方程是解析几何中的基本知识点，下面是关于直线与圆的方程的一些重要知识点总结：

直线方程知识点总结：

1. 直线的点斜式方程：y-y0=k(x-x0)，其中 (x0, y0) 为直线上的一点，k 为直线的斜率。

2. 直线的斜截式方程：y=kx+b，其中 k 为直线的斜率，b 为 y 轴上的截距。

3. 直线的两点式方程：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中 (x1, y1) 和

(x2, y2) 为直线上的两点。

4. 直线的截距式方程：x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别为直线在 x 轴和 y

轴上的截距。

5. 直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数，且 A 和

B 不为 0。

圆的方程知识点总结：

1. 圆的标准式方程：(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中 (h, k) 为圆心坐标，r

为半径。 2. 圆的参数式方程：x=h+rcosθ, y=k+rsinθ，其中 (h, k) 为圆心坐标，r

为半径，θ 为参数。

3. 圆的极坐标式方程：ρ=r，其中 r 为半径，θ 为极角。

4. 圆的直径式方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中 D、E、F 为常数。

5. 圆的一般式方程：x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。

在直线与圆的方程中，还有一些重要的知识点和概念，如直线的法线式和参数式，圆的切线和割线等。理解和掌握这些概念和公式对于解决几何问题非常重要。