解析几何专题02直线与圆

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学习目标

（1）正确理解圆的标准方程与一般方程；能规范地运用“待定系数法”求圆的方程；

（2）明确直线与圆的位置关系，并能够熟练地利用几何法判断直线与圆的位置关系；

（3）能够根据具体条件选择适当的方法正确求解圆的弦长、切线以及有关最值问题。

知识回顾及应用

1．圆的方程

(1)圆的标准方程

(2)圆的一般方程

2．直线与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系的判断

(2) 直线与圆相交产生的弦长问题的一般处理思路

(3) 直线与圆相切产生的切线问题的一般处理思路

(4) 直线与圆相离产生的最值问题的一般处理思路

3．应用所学知识解决问题：

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线:Cx2＋y2＝4，直线:l12x－5y＋30＝0，则曲线C与直线l的位置关系是 相离 。

【变式1】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线:Cx2＋y2＝4和直线:l12x－5y＋c＝0有且只有一个公共点，则实数c的值是________．26

【变式2】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线:Cx2＋y2＝4上有且只有四个点到直线:l12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．(－13,13)

【变式3】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线2:4Cyx上有且只有三个点到直线:l12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．[11,13)

问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题）

【类型一】求圆的方程以及圆的弦长问题

例1．根据下列条件，求圆的方程： 三个独立条件确定一个圆。在求圆的方程时，常采用“待定系数法”：根据条件选择适当的圆的方程形式（与圆心有关的问题常常设“圆的标准方程”；三点圆问题常常设“圆的一般方程”），再根据条件列方程（组）并解之。

2 / 11 (1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；

(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．

解 (1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

将P、Q点的坐标分别代入得

 2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10. ①②

又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0. ③

设x1，x2是方程③的两根，

由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36， ④

由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.

故所求圆的方程为

x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.

(2)方法一 如图，设圆心(x0，－4x0)，依题

意得4x0－23－x0＝1，

∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝22，

故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

方法二 设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，

根据已知条件得

 y0＝－4x0，(3－x0)2＋(－2－y0)2＝r2，|x0＋y0－1|2＝r，

解得 x0＝1，y0＝－4，r＝22.

因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

练习：(1)在平面直角坐标系xOy中，曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆C上．则圆C的方程是

．

(2)若圆上一点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是__________________．

答案：(1) 226210xyxy (2) (x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244

【类型二】 圆的切线问题

例2．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4．

(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．

解 (1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，

①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.

由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．

②当直线的斜率存在时，

设方程为y－1＝k(x－3)，

即kx－y＋1－3k＝0. 过圆上一点作圆的切线有且只有一条，常利用“圆心与切点连线垂直于切线”求切线斜率；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，常利用“圆心到切线距离等于半径”求

由题意知|k－2＋1－3k|k2＋1＝2，解得k＝34.

∴方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0.

故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.

(2)由题意有|a－2＋4|a2＋1＝2，

解得a＝0或a＝43.

练习：已知圆C：222440xyxy.

（Ⅰ）设圆C与x轴交于A 、B两个点，求线段AB的长;

(Ⅱ) 过点(4,3)作圆C的切线，求切线的方程.

（Ⅰ）圆C的标准方程为22(1)(2)9xy，设D为AB的中点，则2CD,3AC,

则在直角三角形ACD中，5AD,则225ABAD .

(Ⅱ)易知点(4,3)在圆的外部，故所求切线有两条，画图可知，过(4,3)作圆C的切线一条为4x .

设过(4,3)的圆C的另一条切线方程为3(4)ykx，根据点到直线距离公式，

223431kkk，解得43k，整理得切线方程为43250xy．

【类型三】圆的最值问题

例3已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．

(1)求y－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值．

解 圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝3.

(1)【方法一】y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距， 圆的最值问题主要有两种处理方式：（1）三角代换：

如，根据圆的方程222()()(0)xaybrr可设cos()sinxarybr为参数；

（2）几何转化：转化为“与圆心有关”的问题。

当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，

此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.

所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.

【方法二】设23cos3sinxy，则3sin(23cos)6sin()24yx

所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.

(2)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．

又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，

所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.

练习：已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．

(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．

答案：(1)|MQ|max＝62，|MQ|min＝22

(2)n－3m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3．

检测

1．直线1yx与圆0222ayyx)0(a没有公共点，则a的取值范围是( A )

(A))12,0( (B))12,12( (C))12,12( (D))12,0(

2．若点00(,)Pxy在圆222:Oxyr外，则直线200ryyxx与圆O的位置关系是( B )

（A）相离 （B）相交

（C）相切 （D）不确定

3．过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线方程为( C

)

(A) xy3或xy31 (B)xy3或xy31

(C) xy3或xy31 (D)xy3或xy31

4．（2014东城期末）已知直线3ykx与圆22(2)(3)4xy相交于M，N两点，

若

23MN，则k的取值范围为( A )

（A）33[,]33 （B）11[,]33 （C）3(,]3 （D）3[,)3

5．过点1,1直线l与圆224xy交于,AB两点，若22AB，则直线l的方程为 . 20xy

6．方程x2+y2+4x–2y–4=0，则x2+y2的最大值是 . 1465

7．设Rnm,，若直线02)1()1(ynxm与圆1)1()1(22yx相切，求m+n的取值范围。

【解析】圆心为)1,1(，半径为1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足1)1()1(|2)1()1|22nmnm（，即2)2(1nmmnnm，设znm，即01412zz，解得,222z或,222z

【能力提升】

8．已知圆C：044222yxyx，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由．

解：圆C化成标准方程为:2223)2()1(yx

假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）

由于CM⊥l，∴kCMkl=－1 ∴kCM=112ab，即a+b+1=0，得b= －a－1 ①

直线l的方程为y－b=x－a，即x－y+b－a=0

∴ CM=23ab∵以AB为直径的圆M过原点，

∴OMMBMA

2)3(92222abCMCBMB，222baOM

∴2222)3(9baab ②

把①代入②得 0322aa，∴123aa或

当25,23ba时此时直线l的方程为：x－y－4=0；

当0,1ba时此时直线l的方程为：x－y+1=0

故这样的直线l是存在的，方程为x－y－4=0 或x－y+1=0．