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平面曲线系方程在求解一般位置圆方程中的应用王永洪1北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081过平面曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程可表示为12(,)(,)(,)0f x y x y f x y λ+=，其中(,)x y λ的函数形式需要根据待求的曲线方程类型和1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的形式联合确定.曲线系方程的上述表示法的本质是集合中的并集概念，通过待定求解(,)x y λ表达式中参数的问题是代数问题，因此，这种求解曲线系方程的方法属于解析法的范畴。
用曲线系方程求解曲线方程的问题多见于二次曲线问题，二次曲线中最特殊的是圆，而对于三类圆锥曲线，这种求曲线的方法很少采用.以下将说明在二次曲线问题中(,)x y λ应具有的形式。
平面二次曲线方程的一般形式是221112*********a x a xy a y a x a y a +++++=，确定椭圆方程和双曲线方程需要5个独立参数，抛物方程需要4个，圆方程需要3个。
为了统一论述，我们将曲线方程所固有的关系式也视为独立方程，则曲线系方程需要有5个独立方程求解这些系数，而交点坐标最多能提供两个方程，其他的3个方程直接反映在曲线系方程的形式上，以给定的二次曲线方程1(,)0f x y =和直线方程2(,)0f x y =为例，这时的曲线系方程为：11232(,)()(,)0f x y x y f x y λλλ+++=，这个方程经过整理后即是二次曲线的一般式，求解方程中的三个参数即可得到曲线方程，最后还要补充一个不等式来确定曲线类型，即判断21112212I a a a =-的符号：10I >，曲线为椭圆或圆，10I =，曲线为抛物线，10I <，曲线为双曲线。
有关如何通过圆锥曲线方程确定其对称中心，对称轴方程，焦点坐标，准线方程的系列理论可参考相关平面解析几何教材，这里不再赘述。
利用曲线系方程解决定点、定值问题陈忠【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2014(000)009【总页数】4页(P63-66)【作者】陈忠【作者单位】江苏省昆山市陆家高级中学 215300【正文语种】中文圆锥曲线中的定点、定值问题是近几年江苏高考中的热点问题，按常规的联立方程组方法解这类问题有时显得非常繁琐，如若能巧妙利用曲线系方程来求解，则可以使问题简单化.本文就此类问题作一些探讨.首先，圆、椭圆、双曲线、抛物线被称为二次曲线，两条相交直线被视为二次曲线的退化形式，二次曲线系的一般形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.同圆系一样，具有某一共同性质的二次曲线也能用二次曲线系表示，以下是常用的几个结论(λ,μ表示参数，fi=Aix+Biy+Ci).结论1 当三角形三边方程为fi=0(i=1,2,3)时，过三角形三个顶点的二次曲线系为f1f2+λf2f3+μf3f1=0.结论2 当四边形四条边方程顺次为fi=0(i=1,2,3,4)时，过四边形四个顶点的二次曲线系为f1f3+λf2f4=0.结论3 与两直线fi=0(i=1,2)相切于点M,N 的二次曲线系为为过M,N的直线方程).结论4 过两直线f1=0,f2=0与二次曲线F(x,y)=0的四个交点的二次曲线系为F(x,y)+λf1f2=0.结论5 过两二次曲线F1(x,y)=0,F2(x,y)=0 的交点的二次曲线系为F1(x,y)+λF2(x,y)=0(F2(x,y)=0除外).利用上述结论，有些问题可以得到更为简洁的求解和证明，举例如下.1 定点问题例1 已知椭圆+y2=1的左顶点为A，过点A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M,综上可知,在几何图形中求函数图象时,若函数解析式不易求,作为选择题,我们可以从几何图形特征定性分析.定性可以从函数值的变化快慢,利用曲线的凹凸性去判断,从而收到化难为易、化复杂为简单的效果.图1N两点，当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.解如图1，设直线MN与x轴的交点为P(m,0)，则可设直线MN的方程为x-ny-m=0.又因为点A处的切线方程为x+2=0，由结论4，设过交点A,M,N的二次曲线系方程为(x+2)(x-ny-m)+λ(x2+4y2-4)=0.①设直线AM方程为y=k(x+2)，即kx-y+2k=0，则直线AN方程为即x+ky+2=0，得(kx-y+2k)(x+ky+2)=0.②①和②应有相同的特征，比较系数得x2,y2系数相反，x系数和常数项相同，则则所以，直线MN的方程为恒过定点点评 (1)此题亦可先由点A和直线AM，AN,设二次曲线系方程为：(kx-y+2k)(x+ky+2)+λ(x2+4y2-4)=0，再由点A的切线方程和直线MN的方程Ax+By+C=0，得(x+2)(Ax+By+C)=0,比较系数得故可得最后的结论.(2)一般性结论：过椭圆长轴一端点P(a,0)(或P(-a,0)作弦PA,PB,若PA⊥PB,则直线AB必过定点或例2 (2013·陕西理科卷)已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点.解 (1)动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x(过程略).图2(2)如图2，设直线BP的方程为kx-y+k=0，与抛物线交于另一点A,则直线BQ的方程为kx+y+k=0,与抛物线交于另一点C.由结论4知，过直线BP，BQ与椭圆C 交于点A，P，C，Q的二次曲线系方程可以设为：y2-8x+λ(kx-y+k)(kx+y+k)=0.整理得(1-λ)y2+λk2x2+(2λk2-8)x+λk2=0.①根据对称性，可设直线AC和PQ的方程分别为Ax+By+C=0,Ax-By+C=0,因此，(Ax+By+C)(Ax-By+C)=0.②由于①和②有相同特征，比较系数得则C=-A ,所以直线PQ，即l的方程为Ax-By-A=0，恒过定点(1,0).2 定值问题例3 (2013·江西文科卷)如图3，椭圆的离心率(1)求椭圆C的方程；(2)A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值.解 (1)椭圆方程为(过程略).图3(2)如图3，设N(a,0)，直线AD的方程为x-2y+2=0，直线BP的方程为kx-y-2k=0，直线DP的方程为x+ay-a=0，直线AB的方程为y=0.由结论2知，过A,B,P,D四点的二次曲线系方程可以设为(x-2y+2)(kx-y-2k)+λy(x+ay-a)=0.与椭圆x2+4y2-4=0的系数作比较得则又由得点所以图4例4 如图4，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为F(1,0)，离心率为分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E(异于A，C两点)，且OE=EF．(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．解 (1)由题意，得故从而b2=a2-c2=1，所以椭圆的方程为(2)设直线AB的斜率为k，由题意得直线CD的斜率为-k，所以直线AB的方程为kx-y=0，直线CD的方程为kx+y-k=0.设直线AC，BD的方程分别为:A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，由结论2，过A,C,B,D四点的二次曲线系方程可以设为(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)+λ(kx-y)(kx+y-k)=0.若表示椭圆，则A1B2+B1A2=0,所以点评一般性结论：(1)若椭圆的两条相交弦AB,CD的倾斜角互补，即kAB+kCD=0,则kAC+kBD=0,kAD+kAC=0(AD,BC的斜率均存在时)；(2)若椭圆的两条相交弦AB,CD交于点E,在斜率均存在的前提下，kAB+kCD，kAC+kBD和kAD+kAC中，若有一个为0，则其余两个均为0；(3)上述命题对双曲线和椭圆同样成立.图5例5 (2011·四川理科卷)椭圆有两顶点A(-1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．(1)当时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，求证：为定值.解 (1)椭圆方程为直线l的方程为(过程略).(2)设直线CD方程为kx-y+1=0，则直线AC方程为k1x-y+k1=0，直线BD方程为k2x-y-k2=0，联立解得交点故由结论2，可设过A,B,C,D四点的二次曲线系方程为y(kx-y+1)+λ(k1x-y+k1)(k2x-y-k2)=0，与椭圆方程2x2+y2-2=0比较系数得即故为定值.。
平面解析几何中的曲线方程在平面解析几何中，曲线方程是研究曲线形状的重要工具。
通过曲线方程，我们可以了解曲线的特性、性质以及与其他曲线的关系。
本文将介绍平面解析几何中常见的曲线方程及其应用。
一、直线的方程直线是最简单的曲线形式，其方程通常用一次函数表示。
直线的一般方程为：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
该方程也可以写成斜截式方程y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
二、圆的方程圆是由平面上到一定距离的点构成的曲线。
圆的方程为：(x-a)² +(y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径。
三、椭圆的方程椭圆是平面上到两个定点之间的距离之和为常数的点构成的曲线。
椭圆的标准方程为：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a为横轴的半轴长，b为纵轴的半轴长。
四、双曲线的方程双曲线是平面上到两个定点之间的距离之差为常数的点构成的曲线。
双曲线的标准方程有两种形式：(x/a)² - (y/b)² = 1和(y/a)² - (x/b)² = 1，其中a和b分别为双曲线的半轴长。
五、抛物线的方程抛物线是平面上到定点与定直线的距离相等的点构成的曲线。
抛物线的标准方程为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
六、曲线方程的应用曲线方程在数学和工程学中有着广泛的应用。
在几何学中，曲线方程可以帮助我们确定曲线的形状、位置以及与其他曲线的关系。
在物理学中，曲线方程可以描述物体的运动轨迹，帮助我们研究运动规律。
在工程学中，曲线方程可以用于设计建筑物、绘制道路、计算轨迹等。
总结：平面解析几何中的曲线方程是研究曲线形状的重要工具，包括直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
通过曲线方程，我们可以了解曲线的特性、性质以及与其他曲线的关系。
平面曲线的方程与像绘制平面曲线是几何学中的重要概念，它可以通过方程来描述。
本文将探讨平面曲线的方程的基本形式以及如何利用这些方程绘制曲线的像。
一、直线的方程直线是最简单的平面曲线，可以用一元一次方程来表示。
一元一次方程的一般形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
例如，要绘制直线y = 2x + 1的像，我们可以选择合适的坐标轴范围，假设x的取值范围为[-5, 5]，然后逐个计算相应的y值。
将计算得到的点连接起来，就可以绘制出直线的像。
二、圆的方程圆是一个重要的平面曲线，可以用一元二次方程来表示。
一元二次方程的一般形式为x^2 + y^2 = r^2，其中r为圆的半径。
要绘制圆的像，我们可以选择圆心坐标及半径，然后利用参数方程的方法计算圆上每个点的坐标值，并将这些点连接起来。
例如，假设圆心坐标为(0, 0)，半径为5，我们可以选择相应的参数t的取值范围为[0, 2π]，计算得到每个点的坐标值(x, y)，并连接起来，就可以得到圆的像。
三、椭圆的方程椭圆是一种特殊的平面曲线，可以用一元二次方程来表示。
一元二次方程的一般形式为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
要绘制椭圆的像，我们可以选择椭圆的焦点坐标以及半长轴和半短轴的长度，然后利用参数方程的方法计算椭圆上每个点的坐标值，并将这些点连接起来。
例如，假设焦点坐标为(0, 0)，半长轴的长度为5，半短轴的长度为3，我们可以选择相应的参数t的取值范围为[0, 2π]，计算得到每个点的坐标值(x, y)，并连接起来，就可以得到椭圆的像。
四、抛物线的方程抛物线是一种特殊的平面曲线，可以用一元二次方程来表示。
一元二次方程的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
要绘制抛物线的像，我们可以选择适当的坐标轴范围，然后逐个计算抛物线上的点的坐标值，将这些点连接起来。
例如，假设抛物线方程为y = x^2，我们可以选择x的取值范围为[-5, 5]，然后计算得到每个点的坐标值(x, y)，并连接起来，就可以得到抛物线的像。
曲线系方程及其应用
曲线系方程是数学中基础而重要的研究对象，它以曲线系形式表示对象的形状、定位和关系，是几何研究形体、定位和变化的基础。
使用曲线系方程可以准确地表示复杂几何形状，并且可以用数学知识综合这些系统方程来求解几何问题，这是时间与空间相结合的表达以及描述复杂几何形状的有效方法。
曲线系方程的基本概念
曲线系方程表示的是一个曲线的运动轨迹，以及曲线的形状和构造等元素。
曲线系方程有以下几部分组成：定义域、函数、参数系数和曲线所在的平面。
定义域是曲线系方程的解空间，它由所给函数的参数确定，也是曲线所绘制的范围。
函数是曲线系方程的核心，它由指定参数计算得出。
参数系数是曲线所在的平面，它由数学语言来描述，也就是曲线系方程的参数。
曲线系方程的解法
曲线系方程的解法有分析解法和数值解法两种，分析解法可以直接给出满足曲线系方程的数学解，即曲线系方程的精确表达。
数值解法则是用几何图形、数学表达式及下列解法来近似求解曲线系方程：隐式函数解法、显式函数解法、牛顿切线法、修正牛顿法、最小二乘法。
曲线系方程的应用
曲线系方程的应用非常广泛，它在几何中、学科领域中，以及科
学、技术、工程领域中都有着重要的应用。
在几何学中，曲线系方程能够清楚的描述复杂的几何形状，它有助于几何学问题的定义和分析；在科学技术和工程领域，曲线系方程也可以用来解决各种科学技术和工程问题，比如流体动力学、热力学、振动力学等。
结论
曲线系方程是数学中重要的研究内容，其基本概念、解法以及广泛的应用都可以说明这一点。
曲线系方程不仅可以用来描述几何形状，还能够满足科学技术和工程领域的需求，因此它以其重要的研究地位成为了数学的支柱。
运用曲线系解曲线方程问题张宽锁在《解析几何》中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的应用。
引入：高中《数学》第二册（上）P 88第4题是：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），求证：方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。
由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。
利用此结论可得出相关曲线系方程。
一. 直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。
它的方程称直线系方程。
几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程： A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）【例1】已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线L 的方程。
解：设直线L 的方程为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0。
∴（λ＋2）x ＋(λ－3)＋2λ－3＝0。
∵L 与直线3x ＋y －1＝0平行， ∴1321332--λ≠-λ=+λ。
解析几何中的曲线与曲面方程应用解析几何是几何学的一个分支，它通过代数方法来研究图形和几何问题。
在解析几何中，曲线和曲面方程是非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对解析几何中的曲线与曲面方程应用进行解析与探讨。
一、曲线的方程应用在解析几何中，曲线是指由方程所决定的点的集合。
曲线的方程形式多种多样，下面将介绍几种常见的曲线方程及其应用。
1. 直线的方程在解析几何中，直线是最简单的曲线。
直线的方程常见的有斜截式、点斜式和一般式等形式。
其中，斜截式方程为y = kx + b，表示斜率为k，与y轴交点为b的直线方程。
点斜式方程为y - y1 = k(x - x1)，表示已知直线上的一点P(x1, y1)和该直线的斜率k来确定直线方程。
一般式方程为Ax + By + C = 0，通过将直线的斜率截距形式通分化简得到，可以直观地表示一条直线的方程。
直线的方程在几何图形的描述和计算中有广泛的应用。
例如，在平面几何中，直线方程可以用来描述两点之间的连线，以及直线与直线之间的关系。
在工程应用中，直线的方程可用于设计道路、建筑和机械零件等。
2. 圆的方程圆是解析几何中的一个重要曲线，它是由平面上到一个定点距离等于一个定值的点的集合。
圆的方程一般形式为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
在实际应用中，圆的方程被广泛用于计算和几何图形的描述。
例如，在地理学中，圆的方程可以用来表示地球的经纬线以及各个地点之间的距离。
在工程中，圆的方程可以用于设计轮胎、圆形舞台和圆形建筑等。
3. 椭圆的方程椭圆是由平面上到两个定点的距离之和为定值的点的集合。
椭圆的方程一般形式为[(x - h) / a]² + [(y - k) / b]² = 1，其中(h, k)表示椭圆的中心的坐标，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度。
圆系方程及其应用圆系方程是指与圆相关的数学方程，主要用于描述圆的几何特征和性质。
圆系方程的应用十分广泛，涉及到许多领域，如数学、物理、工程等。
本文将围绕圆系方程及其应用展开探讨。
我们来了解一下常见的圆系方程。
在平面直角坐标系中，圆的方程可以有不同的形式。
其中最常见的是标准方程和一般方程。
标准方程是指以圆心为原点的圆方程，形式为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。
标准方程可以直观地描述圆的位置、大小和形状。
通过标准方程，我们可以求出圆心坐标和半径长度，进而确定圆的几何特征。
一般方程是指一般形式的圆方程，形式为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
一般方程可以通过变换和配方的方法化简为标准方程，从而得到圆的几何特征。
一般方程更加灵活，可以描述各种位置和形状的圆。
在实际应用中，圆系方程有着广泛的用途。
首先，圆系方程在几何学中用于解决与圆相关的问题。
例如，我们可以利用圆系方程求解两个圆的交点、切点以及相切、相离等几何关系。
圆系方程也可以用于求解与圆相关的角度、面积和弧长等问题，从而帮助我们更好地理解和应用圆的性质。
圆系方程在物理学中也有重要的应用。
例如，在动力学中，我们可以利用圆系方程描述物体的运动轨迹。
当物体做圆周运动时，其运动轨迹可以表示为一个圆，其方程即为圆系方程。
通过分析圆系方程，我们可以确定物体的运动速度、加速度和运动方向等信息，从而帮助我们研究物体的运动规律。
圆系方程还在工程领域得到广泛应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要绘制圆形结构，如圆形建筑物的平面布局、圆形池塘的设计等。
通过圆系方程，我们可以确定结构的大小和位置，从而满足设计要求。
在电子工程中，圆系方程也常用于分析电路中的环形电感、电容等元件，帮助设计师进行电路布局和优化。
圆系方程是描述圆的重要工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
平面解析几何中的曲线方程与曲面方程的应用在平面解析几何学中，曲线方程与曲面方程是重要的工具和概念，用于描述和解析各种几何形状和图形。
通过对这些方程的研究和应用，我们能够更深入地理解曲线和曲面的性质和特征，以及它们在数学和实际应用中的意义。
一、曲线方程的定义与应用曲线方程是用来描述平面上的曲线的数学表达式。
常见的曲线方程包括直线方程、圆方程、椭圆方程、抛物线方程和双曲线方程等。
这些方程使用了不同的数学形式和参数来描绘不同的几何形状。
1. 直线方程的应用直线方程是最简单的曲线方程形式，可用一般式方程或斜截式方程表示。
直线方程的应用广泛，例如，在工程和建筑领域中，直线方程常被用来设计道路、管道和房屋等结构，计算各种材料的长度和角度。
2. 圆方程的应用圆方程是描述圆形的数学表达式。
圆方程可以通过圆心和半径来定位和刻画一个圆。
在物理学和工程学中，圆方程是用来描述和计算圆形物体的运动轨迹和性质的常见工具。
3. 椭圆方程的应用椭圆方程是描述椭圆的数学表达式。
椭圆方程是众多科学领域中的重要数学工具，如天体力学中的行星运动、电子轨道理论和通信技术中的调制解调等。
椭圆方程还被广泛应用于地理勘测、导航系统和资源开发等领域。
4. 抛物线方程的应用抛物线方程是描述抛物线形状的数学表达式。
抛物线方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如炮弹的轨迹计算、抛物面反射天线的设计和太阳能聚焦器的形状确定等。
5. 双曲线方程的应用双曲线方程用于描述双曲线形态的数学表达式。
双曲线有广泛的应用，例如在电磁学中描述电磁波传播、经济学中的供需曲线和光学中的折射等。
二、曲面方程的定义与应用曲面方程用于描述三维空间中的曲面，常见的曲面方程有平面方程、球面方程、圆柱面方程、圆锥面方程和椭球面方程等。
这些方程通过数学形式和参数来刻画不同形状的几何体。
1. 平面方程的应用平面方程用于描述一个平面的数学表达式。
平面方程在物理学、工程学和计算机图形学中广泛应用，在工程设计中常用于计算平面上的点坐标和计算平面上的距离和角度。
平面曲线系方程在求解一般位置圆方程中的应用王永洪1北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081过平面曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程可表示为12(,)(,)(,)0f x y x y f x y λ+=，其中(,)x y λ的函数形式需要根据待求的曲线方程类型和1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的形式联合确定.曲线系方程的上述表示法的本质是集合中的并集概念，通过待定求解(,)x y λ表达式中参数的问题是代数问题，因此，这种求解曲线系方程的方法属于解析法的范畴。
用曲线系方程求解曲线方程的问题多见于二次曲线问题，二次曲线中最特殊的是圆，而对于三类圆锥曲线，这种求曲线的方法很少采用.以下将说明在二次曲线问题中(,)x y λ应具有的形式。
平面二次曲线方程的一般形式是221112*********a x a xy a y a x a y a +++++=，确定椭圆方程和双曲线方程需要5个独立参数，抛物方程需要4个，圆方程需要3个。
为了统一论述，我们将曲线方程所固有的关系式也视为独立方程，则曲线系方程需要有5个独立方程求解这些系数，而交点坐标最多能提供两个方程，其他的3个方程直接反映在曲线系方程的形式上，以给定的二次曲线方程1(,)0f x y =和直线方程2(,)0f x y =为例，这时的曲线系方程为：11232(,)()(,)0f x y x y f x y λλλ+++=，这个方程经过整理后即是二次曲线的一般式，求解方程中的三个参数即可得到曲线方程，最后还要补充一个不等式来确定曲线类型，即判断21112212I a a a =-的符号：10I >，曲线为椭圆或圆，10I =，曲线为抛物线，10I <，曲线为双曲线。
有关如何通过圆锥曲线方程确定其对称中心，对称轴方程，焦点坐标，准线方程的系列理论可参考相关平面解析几何教材，这里不再赘述。
下面说明如何求解过圆锥曲线与直线交点的圆系的方程。
确定平面上一个圆方程需要有3个独立参数，即需要提供3个关于参数的独立方程，而交点坐标能提供两个方程，如上所述，圆系方程表示为11232(,)()(,)0f x y x y f x y λλλ+++=，其中2(,)0f x y =为直线方程。
尽管根据圆方程中系数的固有的关系提供了两个方程，再根据其他条件补充一个系数方程则圆的方程即可确定，但求解关于系数123,,λλλ的3元一次方程组，还是有很多的不便之处。
针对上述问题，下文将介绍一种做法：先解出以1(,)0f x y =与2(,)0f x y =交点连线作为直径的圆的方程0(,)0g x y =，则过交点的圆系方程即可表示为02(,)(,)0g x y f x y λ+=，其中λ为待定参数，这种解法显然避免了解多元联立方程的过程，只要解出λ，圆方程即可确定。
例1：设曲线3145y x x =+，过点612,55P ⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 交曲线于两点,A B ，过,A B 作曲线的两条切线，两条切线交于一点N . (Ⅰ)求证：3145y x x=+为双曲线. (Ⅱ)若过,A B 和24,55⎛⎫⎪⎝⎭的圆与N 的轨迹直线相切，求直线l 的斜率.（Ⅰ）证法一：1作者联系信息：北京市海淀区中关村南大街5号北京理工大学机电学院116信箱，100081.E-mail ：mt_xxx2007@ .作正交坐标变换：))2:2x x y y x y σ⎧''=+⎪⎪⎨⎪''=-⎪⎩，得在新的坐标基下的标准的双曲线方程：22145x y ''-=．这说明对于线性变换σ，曲线的类型是不会改变的．证法二： 由于 31345lim 4x x x x →∞+=，031lim 45x x x→+=∞． 即34y x =和0x =是曲线的两条渐进线． 由曲线的两条渐近线位置可以进一步确定曲线的两条对称轴，焦点和准线，然后利用双曲线的第二定义验证．(Ⅱ)解：取正交坐标变换：1(2)5:1(2)5x x y y x y τ****⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，逆变换11(2)5:1(2)5x x y y x y τ*-*⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.曲线方程在新坐标系中为2214x y **-=． 为便于表示，以下取为x oy **坐标系后,x y **用,x y 表示，并且相应坐标也随之取为新坐标系的坐标． (6,0)P ，设过P 直线方程是 (6)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ．1122,,,x y x y 表示的N 坐标为()21012214y y x x y x y -=-，1201221x x y x y x y -=-．因为1221126()x y x y k x x -=--，则023x =，所以N 点轨迹是一条直线． 联立方程： 2214(6)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消去变量y 得：222211236104k x k x k ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭．21221214k x x k +=-，122614k y y k +=-.2222121212122281(1)6()3614k x x y y k x x k x x k k ++=+-++=-．以AB 为直径的圆方程形式是：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=．过,,(2,0)A B 的圆的方程可表示成待定参数λ的形式：222222212328(6)0111444k k k x x y y kx y k k k k λ-+-++--=---.将(2,0)代入圆系方程得 2214k k λ=-．因此，圆心坐标为222552,1144k k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭.该圆与023x =相切，则圆心到切线的距离等于圆的半径，即222222225525221113444k k kk k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 或4228188204k k --=． 解得k =.在原坐标系中，直线的斜率是221kk -+，将以上结果代入可得最后结果．例2：过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 交24y x =于两点A B 、，在抛物线的准线上一点P 使APB ∠最大，已知点P 的纵坐标是52-，求直线l 的斜率.解：首先确定当P 点在什么位置时，APB ∠最大，APB ∆的外接圆显然与抛物线的准线是有交点的，一般交点为两个，当相切时有一个，而APB ∠是一个圆周角，其对应的圆心角是圆周角的两倍，APB ∠时，圆心角也最大，而AB 的长为定值，于是圆心到直线AB 距离最小时圆心角最小，此时也是APB ∆外接圆与准线相切的位置，按照这样的分析可知，当APB ∆的外接圆与准线相切时，APB ∠最大.设直线l 方程为12x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y .显然0m ≠. 联立方程2412y x x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2420y my --=. 124y y m +=，122y y =-.21212()141x x m y y m +=++=+，121211()()22x x my my =++.以AB 为直径的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，将上述关系代入整理得2227(41)404x y m x my +-+--=. 于是过A ，B 两点的圆系方程表示为 22271(41)4()042x y m x my my x λ+-+--+-+=，即2227(41)(4)024x y m x my λλλ+-++--+-=.由于P 点在圆上，于是且准线和圆相切于点P ，则5(1,)2P --满足圆方程，且圆心与P 点的纵坐标相等，即有下列方程：225571(41)(4)0;422415(4).22m m m λλλλ⎧+++++-+-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 由以上方程解得m =，544m λ=+=±.直线l 斜率1k m ==.例3：直线y 和过(0,3)的直线与椭圆2214x y +=交于四个点，已知该四点共圆，求该圆的半径.解：设过点(0,3)的直线斜率为k .记直线y 和过(0,3)的直线l 与椭圆2214x y +=的交点分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .联立方程2214x y y ⎧+=⎪⎨⎪⎩，得29104x -=. 以AB 为直径的圆方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，整理之后得：22403x y +-=. 过A ，B 的圆系方程可表示为224()03x y y λ++-=. 将此方程与直线3y kx =+方程联立，消去参数y 得2223(1)(6)303k x k k x λλ+++++=. （3-1）另外，联立方程22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得221()6804k x kx +++=.(3-2).由于（3-1）（3-2）两式具有相同的解，即过(0,3)的直线与椭圆的交点在过A ，B 的圆上，于是有下列方程：22224;14233323.114kk k k λ=+⎪⎨+⎪⎪=++⎩解之得k =1λ=.于是圆的方程为22403x y y ++-=，或22125(()212x y -++=..例4：设抛物线22y x =，在x 轴上有两点()(,0),(,0)0a b ab ≠，过这两个点分别作直线12,l l 交抛物线于A ，B 和C ，D ，已知A 、B 、C 、D 四点共圆，求证：四边形ACDB 外接圆的圆心轨迹是抛物线. 证 设两直线方程分别为：x my a =+，x ny b =+．A ，B 两点得坐标分别是11(,)x y ，22(,)x y ． 联立方程：22y xx my a⎧=⎨=+⎩消去x 得2220y my a --=．以AB 为直径的圆方程是：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=， 或22222()220x m a x y my a a -++-+-=．一般地，我们引入参数λ和μ，使得过A ，B ，C ，D 的圆有以下两种表示形式： 22222()2(1)2(1)0x m a x y m y a a λλλ-+++--++-=22222()2(1)2(1)0x n b x y n y b b μμμ-+++--++-=．以上两个方程描述的是同一个圆，于是其对应参数应该相等，即2222;(1)(1);2(1)2(1).m a n b m n a a b b λμλμλμ⎧++=++⎪-=-⎨⎪+-=+-⎩由以上三式得2222222()()1;2()2()()1.2()b m n a b a b a m n a b a b λμ⎧----=⎪-⎪⎨-+-⎪-=⎪-⎩且 22222212()()12()()b m n a b n a m n a b mλμ----==--+-． 即 22()[()()()]0m n m n mb na a b +----=．m n =-或2()()()0m n mb na a b ----=．事实上，2()()()0m n mb na a b ----≠，若不然，设00(,)x y 是1l ，2l 是交点，则，00x a m y -=，00x bn y -=，代入这个方程得到的结论是2002y x =，这是与题意相悖的．所以，m n =-，1()12a b λ=--+，1()12a b μ=-+．圆心坐标是211,()22a b m m a b +⎛⎫++- ⎪⎝⎭，这样圆心轨迹方程即写为{}2241;()21max 2,2.2y a bx a b a b x a b ⎧+=++⎪⎪-⎨+⎪--≥--⎪⎩. 可见这条轨迹是抛物线，证毕．需要指出的是，由例3和例4可以得到一个结论，若圆锥曲线上的四点共圆，则过其中两个点的直线的斜率与过另外两个点的直线斜率互为相反数，因此，在例4中，还存在另外两组斜率互为相反数的直线。
