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高考数学专题--正余弦定理及解三角形高考考点：1、利用正、余弦定理解三角形2、解三角形的实际应用3、解三角形与其他知识的交汇问题解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点． 考点1 利用正、余弦定理解三角形 题组一 利用正、余弦定理解三角形调研1 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知3cos sin 3b a C a C =+.(1)求A ; (2)若3a =,2bc =,求ABC △的周长.【解析】(1)3cos sin 3b a C a C =+,3,sin sin cos sin sin 3B A C A C ∴=+由正弦定理得,3sin cos cos sin sin cos sin sin 3A C A C A C A C ∴+=+,tan 3A =即,()0πA ∈又，,∴π3A =.(2)22π,32cos3b c bc =+-由余弦定理得,()233b c bc +-=即, 2bc =又,3b c ∴+=,故33ABC +△的周长为.调研2 如图,ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知3sin cos C cBb =.(1)求角B 的大小;(2)点D 为边AB 上的一点,记BDC θ∠=,若π85π,2,5,25CD AD a θ<<===,求sin θ与b 的值. 【解析】(1)由已知3sin cos C c Bb =,得3sin sin cos sin C CB B =, 因为sin 0C >,所以sin 3tan cos 3B B B==, 因为0πB <<,所以π6B =.(2)在BCD △中,因为sin sin sin CD BC aB BDC θ==∠,所以8525sin sin B BDC=∠,所以25sin 5θ=,因为θ为钝角,所以ADC ∠为锐角,所以()25cos cos π1sin 5ADC θθ∠=-=-=,在ADC △中,由余弦定理,得22252cos(π)5425255b AD CD AD CD θ=+-⨯-=+-⨯⨯=,所以5b =.☆技巧点拨☆利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ”；若想“角”往“边”化，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab等．题组二 与三角形面积有关的问题调研3 如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ．(1)求AD 的长；(2)求ABC △的面积．【解析】(1) 在ABC △中，因为BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，所以BD ＝2x .在BCD △中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CD BD ＝52x.在ACD △中，因为AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53，所以cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝222525x x +-⨯⨯.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ，＝－52x ，解得x ＝5.所以AD 的长为5.(2)由(1)求得AB ＝3x ＝15，BC ＝4x 2－25＝5 3. 所以cos ∠CBD ＝BCBD ＝32，从而sin ∠CBD ＝12. 所以S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin∠CBA ＝12×15×53×12＝7534.题组三 三角形形状的判断调研4 ABC △中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos sin a C C b c +=+. (1)求A ;(2)若2,a ABC =△试判断此三角形的形状.【解析】(1)由正弦定理及cos sin a C C b c =+得,sin cos sin sin sin A C A C B C =+，即()sin cos sin sin sin A C A C A C C =++sin cos sin sin A C A C C ⇒-=,∵sin 0C >,()1cos 1sin 302A A A -=⇒-︒=,∵0180A <<︒︒,∴3030150A ︒-︒<-<︒, ∴303060A A -=︒⇒=︒︒.(2)1sin 42S bc A bc ===,由余弦定理得:2222cos a b cbc A =+-=()23b c bc +-()241242b c b c b c ⇒=+-⇒+=⇒==,∵60A =︒,∴60B C ==︒, 故ABC △是等边三角形. ☆技巧点拨☆判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”； （2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解. 考点2 解三角形的实际应用 题组 解三角形的实际应用调研1 某新建的信号发射塔的高度为AB ,且设计要求为:29米AB <<29.5米.为测量塔高是否符合要求,先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点,C D ,测得60BDC ∠=︒,75BCD ∠=︒,40CD =米,并在点C 处的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°,且1CE =米,则发射塔高AB = A ．()2021+米B ．()2061+米 C ．()4021+米 D ．()4061+米【答案】A【解析】画出草图,如图所示,在BDC △中,45DBC ∠=︒,由正弦定理得sin 206sin BDCBC CD DBC ∠=⨯=∠米;在AEF △中,30AEF ∠=︒,所以tan30202AF EF =︒=米, 所以1(2021)AB AF =+=+米.选A ．☆技巧点拨☆高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度． 调研2 海中一小岛C 的周围()838nmile-内有暗礁,海轮由西向东航行至A 处测得小岛C 位于北偏东75︒,航行8nmile 后,于B 处测得小岛C 在北偏东60︒(如图所示).(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在B 处改变航向为东偏南(0αα>)方向航行,求α的最小值. 附:tan7523︒=+.【解析】(1)如图1,过点作直线AB 的垂线,交直线AB 于点D .由已知得15,30,15A CBD ACB ∠=︒∠=︒∠=︒, 所以8nmile AB BC ==,所以在Rt BCD △中,sin CD AB CBD =⋅∠=184nmile 2⨯=.又4838<,所以海轮有触礁的危险. (2)如图2,延长CD 至E ,使()838nmileCE =,故()8312nmileDE =,由(1)得43nmile tan30CDBD ==︒,所以83tan 2343DE DBE BD ∠===.因为tan7523︒=+所以tan152323︒==-+.即tan tan15DBE ∠=︒,所以15DBE ∠=︒. 故海轮应按东偏南15°的方向航行. ☆技巧点拨☆解决此类问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．解题时应认真审题，结合图形去选择正、余弦定理，这是最重要的一步． 考点3 解三角形与其他知识的交汇问题 题组一 解三角形与三角恒等变换相结合调研1 在ABC △中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,已知7,2c ABC=△的面积为33又tan tan A B +)3tan tan 1.A B =-(1)求角C 的大小; (2)求a b +的值.【解析】(1)因为)tan tan 3tan tan 1,A B A B +=-所以()tan A B +=tan tan 3,1tan tan A BA B +=--又因为,,A B C 为ABC △的内角,所以2π,3A B +=所以π.3C =(2)由133sin 22ABC S ab C ==△及π,3C =得6,ab =又()2222221cos 222a b c ab a b c C ab ab +--+-===,7,2c = 所以11.2a b +=题组二 解三角形与平面向量相结合调研2 如图,在ABC △中,已知点D 在边BC 上,且0AD AC ⋅=,22sin 3BAC ∠=,32AB =,3BD =．(1)求AD 的长; (2)求cos C ．【解析】(1)因为0,AD AC ⋅=所以,AD AC ⊥所以πsin sin cos ,2BAC BAD BAD ⎛⎫∠=+∠=∠ ⎪⎝⎭即22cos BAD ∠=． 在ABD △中,由余弦定理,可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠，即28150,AD AD -+=解得5,AD =或3AD =． 因为,AB AD >所以3AD =．(2)在ABD △中,由正弦定理,可知,sin sin BD ABBAD ADB =∠∠又由2cos 3BAD ∠=可知1sin ,3BAD ∠= 所以sin 6sin AB BAD ADB BD ∠∠==．因为π,2ADB DAC C C ∠=∠+=+所以6cos 3C =.强化训练：1．在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos AA ．31010 B ．1010C ．1010D ．31010【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD =．由余弦定理，知22222225910cos 210225AB AC BC AD AD AD A AB AC AD AD+-+-===-⋅⨯⨯，故选C ． 2．ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知ABC △的面积为315,4a =2,b =3,则sin aA =A ．463B ．161515C ．4153D ．463或161515【答案】D3．已知()cos17,cos73AB =︒︒，()2cos77,2cos13BC =︒︒,则ABC △的面积为__________.【答案】3【解析】由题意得1c AB ==,2a CB ==,·BC BA =2cos77cos172cos13cos73-︒︒-︒︒=()2cos77cos17sin77sin17-︒︒+︒︒=()2cos 7717-︒-︒=1-;而·cos BC BA AB CB B ==2cos B =1-,解得1cos 2B =-,所以3sin B =.所以ABC △的面积13sin 2S ac B ==.4．已知ABC △中,π2A =,角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,点D 在边BC 上,1AD =,且BD =2,DC BAD ∠=2DAC ∠,则sin sin BC =__________． 【答案】325．如图，为了测量河对岸A B 、两点之间的距离,观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A B 、;找到一个点D ,从点D 可以观察到点A C 、;找到一个点E ，从点E 可以观察到点B C 、.并测量得到一些据:2CD =,23CE =,45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,60E ∠=︒,则A B 、两点之间的距离为__________．(其中cos48.19︒取近似值23)10【解析】由题意知,在ACD △中,30A =︒.由正弦定理得sin4522sin 30CD AC ︒==︒在BCE △中,45CBE ∠=︒,由正弦定理得sin603 2.sin 45CE BC ︒==︒在ABC △中,由余弦定理得2222cos 10AB AC BC AC BC ACB =+⋅∠=﹣，∴10.AB = 6．在ABC △中,,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,且()3cos ,sin cos cos sin 05B A B c A B =--⋅=.(1)求边b 的值;(2)求ABC △的周长的最大值. 【答案】(1) 1b =；(2) 51+.7．在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2cos 2c B a b =+.(1)求角C ;(2)若ABC △的面积为32S c=,求ab 的最小值.【答案】(1)2π3；(2) 12.8．在ABC △中，设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量()cos ,sin A A =m ,向量()2sin ,cos ,2A A =-+=n m n . (1)求角A 的大小; (2)若42b =,且2c a =,求ABC △的面积.【答案】(1) π4；(2)16. 【解析】(1)2+m n =()()22cos 2sin sin cos A A A A +-++=()422cos sin 4A A +-=+π4cos 4A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,ππ44cos 4,cos 0,44A A ⎛⎫⎛⎫∴++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又()0,πA ∈,∴ππ42A +=,则π4A =. (2)由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,即()()222π4222422cos 4a a a =+-⨯⨯, 解得42a =,∴8c =, ∴124281622ABC S =⨯⨯⨯=△.9．ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,且sin sin a A b B +=sin 2sin .c C a B +(1)求角C ;(2)求π3sin cos 4A B ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值. 【答案】(1)π4；(2) 2.10．设()f x =π13sin cos sin .22222x x x ⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎭⎝⎭(1)求()f x 的单调递增区间;(2)在ABC △中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知π1,332f A a ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，求ABC △面积的最大值.【答案】(1) 2ππ2π,2π,33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2) 34.11． ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin B C∠∠； (Ⅱ)若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长． 【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1．12．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A .（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【答案】（1）23；（2）3【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A=. 由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A=. 故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =. 由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=.故△ABC的周长为3【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.13．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B A C +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2.。
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合热点题型一 应用正弦、余弦定理解三角形例1、 (1)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b 。
若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π3B.π4C.π6(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。
若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C ＝________。
【答案】（1）A （2）45【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A ·sin B ＝3sin B ， ∵B 为△ABC 的内角，∴sin B ≠0。
∴sin A ＝32.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A ＝π3。
【提分秘籍】解三角形的方法技巧已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。
【举一反三】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A热点题型二 判断三角形的形状例2、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C 。
(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状。
【解析】(1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°。
正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中， C ＝ 90°， AB ＝c ， AC ＝ b ， BC ＝ a 。
（ 1）三边之间的关系： a 2＋ b 2＝ c 2。
（勾股定理） A （ 2）锐角之间的关系： A ＋ B ＝ 90°； c（ 3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）bsin A ＝cos B ＝ a ，cos A ＝ sin B ＝ b ， tan A ＝ a。
CBcc b2.2．斜三角形中各元素间的关系：a如图 6-29 ，在△ ABC 中， A 、 B 、 C 为其内角， a 、 b 、c 分别表示 A 、 B 、C 的对边。
（ 1）三角形内角和： A ＋B ＋ C ＝ _____（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
ab c2R 。
（ R 为外接圆半径）sin A sin Bsin C3.正弦定理：a＝ b ＝ c ＝2R 的常见变形：sin A sin B sin C(1)sinA ∶ sinB ∶ sinC ＝ a ∶ b ∶ c ；(2)a＝ b c＝ a ＋ b ＋ csin＝sin A ＋ sin ＝ 2R ；A sinBC sinB ＋ sin C(3) a ＝2R sin_ A ， b ＝ 2R sin_ B ， c ＝ 2R sin_ C ；A ＝ aB ＝ bC ＝ c(4)sin2R ，sin 2R ， sin 2R .1114. 三角形面积公式： S ＝ 2ab sin C ＝ 2bc sin A ＝ 2ca sin B .5.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
cos A b2c 2 a 2a 22c 22bccos A2bcba2c 2b 2余弦定理的公式：b 2 a 2 c 22accosB 或cos B .c2b2a22ba cosC2accosCb2a2c22ab6. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （ 2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角 .2、已知两边和他们的夹角， 求第三边和其他两角 .7. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 .8. 解题中利用ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： sin( A B) sin C, cos( A B) cosC, tan(A B)tan C,sin A BcosC,cosAB sinC, tanAB cotC. 2222229.解斜三角形的主要依据是：设△ ABC的三边为 a、 b、c，对应的三个角为A、 B、C。
正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。
C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理的公式： 或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，三角形为钝角三角形．( × ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )1．在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝π3，则C 为( )A.π6B.π4C.π2D.2π3答案 C解析 由正弦定理得3sin B ＝33sinπ3，∴sin B ＝12，∵a ＞b,0＜B ＜π3，∴B ＝π6.∴C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝π2.2．(2015·合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3 C ．2 3D ．2答案 B解析 因为S ＝12×AB ×AC sin A＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1， 所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos60°＝3， 所以BC ＝ 3.3．(2015·北京)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2A sin C ＝.答案 1解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin2Asin C ＝2×34×74378＝1.4．(教材改编)△ABC 中，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为． 答案 直角三角形解析 由已知得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ， ∴sin A ＝sin 2A ，又sin A ≠0，∴sin A ＝1，A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0，则角B ＝. 答案 π3解析 由正弦定理知，sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0. ∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 代入上式得3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. ∵sin C ＞0，∴3sin B －cos B －1＝0， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝12. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个D ．无法确定(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是． (3)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝.答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个．(2)由题意知a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 又c 2＝b 2＋2bc ， ∴cos A ＝22，A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°. (3)因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1.思维升华 (1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．(1)(2015·三门峡模拟)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2B ．x ＜2C ．2＜x ＜22D ．2＜x ＜2 3(2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝. 答案 (1)C (2)1解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2， 又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×22＜1，可得x ＜22，∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3， 设AB ＝x ，由余弦定理，得 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ， 化简得x 2－2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1.题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos2B ＝sin 2C .① 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝－cos2⎝⎛⎭⎫34π－C ＝－cos ⎝⎛⎭⎫32π－2C ＝sin2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2. (2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝255，cos C ＝55，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ， 所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解 (1)由题设A 与C 互补及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．② 由①②得cos C ＝12，BD ＝7，因为C 为三角形内角，故C ＝60°. (2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin60° ＝2 3.题型三 正弦、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 (1)A (2)B解析 (1)已知c b <cos A ，由正弦定理，得sin Csin B <cos A ，即sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形． (2)∵cos 2B2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c 2c， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ， ∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形． 命题点2 求解几何计算问题例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin Bsin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ， ∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示． ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为．答案 (1)D (2) 3解析 (1)∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ， ∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形．(2)sin ∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos ∠BAD ，∴cos ∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.二审结论会转换例 (12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值． 审题路线图：规范解答解 (1)△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ，[2分] 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.[7分] (2)在△ABC 中，由cos A ＝64， 可得sin A ＝104.[8分] 于是，cos2A ＝2cos 2A －1＝－14，[9分]sin2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[10分] 所以，cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos2A cos π6＋sin2A sin π6＝⎝⎛⎭⎫－14×32＋154×12＝15－38.[12分] 温馨提醒 (1)本题将正弦定理、余弦定理和和差公式综合进行考查，具有一定的综合性，要求考生对公式要熟练记忆；通过审题理清解题方向；(2)本题还考查考生的基本运算求解能力，要求计算准确无误，尽量简化计算过程，减少错误．[方法与技巧]1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要只含角或只含边．[失误与防范]1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案 C解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin C c ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C 等于( )A.2π3B.π3C.3π4D.5π6答案 A解析 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3. 3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，可设a ＝5x ，b ＝11x ，c ＝13x (x ＞0)．则cos C ＝(5x )2＋(11x )2－(13x )22·5x ·11x ＝－23x 2110x 2＜0， ∴C 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3答案 C解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B，则B 等于( ) A.π6B.π4C.π3D.3π4答案 C 解析 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a c ＋b， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 故B ＝π3，故选C. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为．答案 π3或2π3解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ， 结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32， ∴B ＝π3或2π3. 7．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为． 答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝52－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64， ∴a ＝8.8．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为． 答案 3解析 由正弦定理，可得(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c .∵a ＝2，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∴sin A ＝32. 由b 2＋c 2－bc ＝4，得b 2＋c 2＝4＋bc .∵b 2＋c 2≥2bc ，即4＋bc ≥2bc ，∴bc ≤4.∴S △ABC ＝12bc ·sin A ≤3，即(S △ABC )max ＝ 3. 9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积． 解 (1)由题意得1＋cos2A 2－1＋cos2B 2＝32sin2A －32sin2B ， 即32sin2A －12cos2A ＝32sin2B －12cos2B ， sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6.由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，所以2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，asin A ＝csin C ，得a ＝85，由a ＜c ，得A ＜C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825. 10.如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD 、AC 的长．解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)因为∠ADB ＋∠ADC ＝π，所以sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ＝437.在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋(2＋3)2－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝c ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B 知7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 12．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝. 答案 210解析 由tan A ＝2得sin A ＝2cos A .又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，B ＝π4， 根据正弦定理，有a sin A ＝b sin B， ∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210. 13．(2015·重庆)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝. 答案 6解析 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin120°，解得sin ∠ADB ＝22，所以∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2×sin120°sin30°＝ 6. 14．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin60°＝BC sin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin120°cos C －2cos120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C ) ＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C 2，BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32， 又0＜A ＜π，∴A ＝π6. 由sin A sin B ＝cos 2C 2， 得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6， 则sin(5π6－C )＝1＋cos C ，化简得cos(C ＋π3)＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6. (2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a 2)2－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2， 故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题4三角函数、解三角形31正弦定理、余弦定理 理亠 sin A cos B cos C 3 .若 ----- =^—= ---------- ，则△ ABC 的形状为 三角形.a b c4.在△ ABC 中, B =n, AB=\匡，BC = 3,贝U sin A =.4、5. _________________________________________________ 在△ ABC 中, a =^3, b =^2, B = 45°,贝V c = ___________________________________________________ . ,2 —J3 T T 16 .已知△ ABC 中，角 A , B, C 的对边分别是 a , b , c ,且 tan B = -2 2 2, BC- BA =-,a 十 c —b 2贝H tan B = _________________.17. 在△ ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a , b , c ,若 S =：(b 2+ c 2— a 2)，则 A = ________ .48. 锐角三角形的内角分别是 ______________________________ A B 、C,并且A >B 下面三个不等式成立的是 __________________________________________________ . ① sin A >sin B; ② cos A <cos B;③ sin A + sin B>cos A + cos B.9 .在锐角厶ABC 中, a , b , c 分别是角 A, B, C 的对边，已知 a , b 是方程x 2— 2 3x + 2 = 0的两个根，且 2sin( A + B —寸3 = 0,贝U c = ___________________ . c10.在厶ABC 中,角A 、B ____________________________________ C2 .在△ ABC 中，已知 b 2— be — 2c 2= 0, a = 6， cos A = 7，则厶ABC 的面积S =8所对的边分别为a、b、c,若-<cos A,则厶ABC勺形状为_______________________________________b三角形.11. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD已知某人从O沿OD走到D用了 2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径为_____________ m.a c12•设△ ABC的三个内角 A B, C的对边分别是a, b, c,且----- =-―，则A= .cos A sin C13 •如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为___________ •1 i 2入14. （2015 •江淮名校联考）已知点ABC的重心，且AGL BG若面一中面一B= 矿C则实数入= __________ .答案解析又由题知BGAB 得A <C 所以A= 45°.22 2解析 由 b - be — 2c = 0 可得(b + c )( b — 2c ) = 0.2 2 2•••b = 26在厶 ABC 中, a = b + c — 2bc cos A, 即 6 = 4c 2+ c 2— 4c 2• 7.二 c = 2，从而 b = 4.81・・ S AAB = 2bC Sin 3 .等腰直角两式相除，得1 — tan B= tan C,所以B — C — 45°,所以A — 90°, △ ABC 为等腰直角三角形.解析 由正弦定理知BCsin AAB sin C，所以 sin A =¥，解析 由正弦定理得 sin Aasin B b=sin C sinA cosB cosC —b — c4. 3 '70 10解析 由题意得 AC — AB + BC — 2AB- BC- cos B= 2 + 9 — 6灵—5,即AC — ,5，则 BC sin A AC sin B' 3 5 /曰 — ，得 sin A 2 sin A — 3 ；10 10 sin Asin 601 A= 2x4X 2X15J 磁+护〉〈述=9+爭2 2 +2 2 4 ,当 A = 120° 时，C = 180°— 45°— 120°= 15°, sin 15 ° = sin(45 ° — 30° ) = sin 45 ° cos 30 ° — cos 45 ° sin 30.6— .2n7. &1且 S = ^bc sin A,所以 sin A = cos A,n所以tan A = 1,所以A =—. 8.①②③解析 A >B ? a >b ? sin A >sin B ,故①成立.函数y = cos x 在区间［0 , n ］上是减函数， ■/ A >B,. cos A <cos B ,故②成立.n n在锐角三角形中，••• A + B>~2，二A >nn— B, 且 A , y — B € (0 ,专),则有 sin A >sin i 亍—B ，即 sin A >cos B ,同理 sin B >cos A ,. sin A + sin B >cos A + cos B,故③成立. 9. .6...c = b ，心―6+ 卫sin B 2=sin 30 ° cos 45 ° + cos 30 ° sin 45解析 由余弦定理得 2 2 2a + c —b = 2ac cosB,再由 B C- BA= 2，得 ac cos B = £ ,二 tanB * 2-护 B =22a + c — b_____ 2 —£ 2J 2= 1 2x22— 3.解析 因为 1 2 2 2 . S= 4(b + c -a)= 4(2bccos1A ) = ^bc cos A ,解析 ••• a , b 是方程x 2— 2 3x + 2= 0的两个根,a +b = 2 3, ab = 2.■/ sin( A + B )=#, 又sin C = sin( A + E ),• sin C=^ C= 2 .'：△ ABC 是锐角二角形，C € (0 , —) , C =—.232 2 2 2•根据余弦定理得： c = a + b -2ab cos C = (a + b ) — 3ab = 6,• c = ■ 6(负值舍去). 10. 钝角 sin C s^<cos A ，sin &sin B^s A ,所以 sin( B + A )<sin B cos 代即 sin B cos A^ cos B sin A — sin B cos A <0, 所以 cos B sin A <0, 又sin A >0,于是有cos B <0, B 为钝角， 故厶ABC 是钝角三角形. 11. 50 7解析 依题意得 OD= 100 m , CD= 150 m ,连结OC 易知/ OD = 180°—/ AOB= 60°，因此由余弦定理有OC = OD+ CD — 2OD- Ct cos / ODC1即 OC = 1002+ 1502— 2X 100X 150X 2，解得 OC 50 7(m).n12.7c解析 令 =k ,由正弦定理，得a = k sin A , c = k sin Csin Csin A sin Cn代入已知条件得 cos A = sin ― ，- tan A = 1 ,v A € (0 , n ) , • A = ~. 解析设顶角为C,因为 1 = 5c ,且 a = b = 2c ,解析 依题意得• C为最小角，由余弦定理得：a +b —c 4c + 4c —c 7cosC= 2ab = 2X2C X2C =14.-解析如图，连结CG并延长，交AB于点D,由ABC的重心，知D为AB的中点, ••• AG BG 二DG= -AB3由重心的性质得，CD= 3DG即CD= 2AB由余弦定理AC=AD+ CD —2AD- CD- cos / ADC B C=B D+ CD—2BD • CD" cos / BDC •••/ ADG-Z BD= n , AD= BD••• AC+ BC= 2AD+ 2CD,又—= —tan A tan B tan C'cos A cos B 2 入cos C+ =sin A sin B sin C 'sin A cos B+ cos A sin B sin C sin 2C AB 入 = = =2sin 佔in B cos C 2sin 佔in B cos C 2BC・ AC* cos CA B_ A B_ IB C+A C—A B = 5AB—A B=4，i即入=4.4 ,...c = b.心 =^^sin B。
三角函数五——正、余弦定理一、知识点 （一）正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径. 变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===a b c3sin B C4（（（解可 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+有关三角形内角的几个常用公式 解三角形常见的四种类型（1）已知两角,A B 与一边a ：由180A B C ++=︒及正弦定理sin sin sin a b cA B B==，可 求出C ∠，再求,b c 。
（2）已知两边,b c 与其夹角A ，由2222cos a b c bc A =+-，求出a ，再由余弦定理， 求出角,B C 。
（3）已知三边a b c 、、，由余弦定理可求出A B C ∠∠∠、、。
（4讲解 （知∆A ∠,A ．由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2a b B A =⋅==,故选A（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，02cos cos 232=+A A ，7=a ，c=6，则=b （ ） A.10B.9C.8D.5【解题指南】由02cos cos 232=+A A ，利用倍角公式求出A cos 的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b 的值.【解析】选D.因为02cos cos 232=+A A ，所以01cos 2cos 2322=-+A A ，解得251cos 2=A ， 方法一:因为△ABC 为锐角三角形，所以51cos =A ,562sin =A . 由正弦定理C cA a sin sin =得，C sin 65627=.6sin =C 所以sin =B5.方法二5∴sin 9、（)0C =，求边又1+即12cos 0A -=，2，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =得sin 2sin 2b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD 752sin(4530)=+在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且 b.(1)求角A 的大小.(2)若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.【解题指南】(1)由正弦定理易求角A 的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.【解析】(1)由及正弦定理sin sin a bA B=,得, 因为(2)b 2+c 26、（3,则c =.4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=,则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、（2011北京）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = .【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==1、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,abc ，3A π=,1a b ==，则c =（ ）A 、1B 、2 C1 D 、32、在△ABC 中，分别为的对边.如果成等差数列，30°，△ABC 的面 A 、3）75213 C D 4B π=，则___________________.3，＝60°AB 的长度等于13（20132012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =(）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【答案】A【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B B C B B ≠∴===-=（2013·湖南高考文科·Ｔ5）在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2asinB=3b ，则角A 等于（ ） A.3π B.4π C.6π D.12π【解题指南】本题先利用正弦定理B bA a sin sin =化简条件等式，注意条件“锐角三角形” .【解析】选A.由2asinB=3b 得2sinAsinB=3sinB,得sinA=23,所以锐角A=3π. （2013·湖南高考理科·Ｔ3）在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A ．12π（2013 A . 3 5,=在△B 0=. (1)(2)若a 【解题指南】(1)借助三角形内角和为π，结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B 的方程，求出B 的三角函数值，进而可求出角B.（2）根据（1）求出的B 与a c 1+=，由余弦定理可得b 2关于a 的函数，注意到a c 1+=可知0a 1<<，进而可求出b 的范围.【解析】（1）由已知得cos(A B)cos A cos B A cos B 0-++-=，即sin Asin B A cos B 0=.因为sin A 0≠，所以sin B B 0=,又cosB 0≠,所以tan B =,又0B <<π，所以B 3π=.（2）由余弦定理，有222b a c 2accos B =+-，因为a c 1+=，1cos B 2=,所以2211b 3(a )24=-+，又因为0a 1<<，所以21b 14≤<，即1b 12≤<.1sin BAM ∠=∠（2013·上海高考文科·T5）已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a +ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是 .【解析】π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a 【答案】π32设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，ac c b a c b a =+-++))((（I ）求B ; （II ）若413sin sin -=C A ,求C . 【解题指南】（I ）由条件ac c b a c b a =+-++))((确定求B 应采用余弦定理. （II ）应用三角恒等变换求出C A +及C A -的值，列出方程组确定C 的值. 【解析】（I ）因为ac c b a c b a -=+-++))((.所以ac b c a -=-+222.222（II 221+=故-C A10、（（I c = 所以A （2012（1（2【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3BC B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 则1cos 3A =. （2）由（1）得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②, ①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=.（I ）求B ； （Ⅱ）若75,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I）由正弦定理得222a cb +=2222cos b a c ac B =+-cos 2B =45B =（II sin30=故6a +=60645c b ==1、∆C 的对边分别为 ）2 A A 、30° B 、30°或150° C 、60° D 、60°或120° 8、已知在△ABC 中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为（ ）A 、14-B 、14C 、23- D 、2310、若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =A B ．34C D ．111611、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．-12 B ．12C ． -1D ．112、已知在△ABC 中，10,a b A ===45°,则B = 。
考点16 正弦定理和余弦定理一、选择题1。
（2017·全国乙卷文科·T11）△ABC 的内角A,B ，C 的对边分别为a,b ，c 。
已知sinB+sinA （sinC-cosC)=0,a=2，，则C= （ ) A.12π B 。
6π C 。
4π D.3π 【命题意图】本题主要考查三角公式的应用,重点考查正弦定理在解决三角形问题中的应用.【解析】选B 。
由题意得sin （A+C)+sinA(sinC —cosC ）=0,sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC —sinAcosC=0,即sinC(sinA+cosA ）sinCsin 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=0,所以A=34π. 由正弦定理sinA a =sinC c 得23sin 4π=sinC ,即sinC=12，得C=6π,故选B 。
【反思总结】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息。
一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。
2.(2017·山东高考理科·T9）在△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC ，则下列等式成立的是 ( ）A.a=2b B 。
b=2a C 。
A=2B D.B=2A【命题意图】本题考查三角恒等变换及正弦定理的应用，意在考查考生对数学式子的变形能力与运算推理能力.【解析】选A 。
2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sinB=sinB+2sinBcosC ，即sinAcosC=2sinBcosC ，由于△ABC 为锐角三角形,所以cosC ≠0,sinA=2sinB ，由正弦定理可得a=2b 。
第八讲正余弦定理【知识目标】．1.熟记并能应用正余弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能综合运用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．【知识清单】1．正弦定理和余弦定理2.三角形中常用的面积公式(1)S ＝12 ah(h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bcsin A ＝12acsin_B ＝12absin_C ；(3)S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．【知识运用】【例1】根据下面条件解三角形(1)已知在△ABC 中，a ＝20，A ＝30°，C ＝45°，求B ，b ，c. （2） 在△ABC 中， a ＝1，b ＝3，A ＝30°；(3)已知△ABC 的三边长为a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的各角度数． （4）在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，c ＝4(3＋1)，解此三角形． （5）在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A 、角C 和边a.【变式实践1】1.在△ABC 中，已知a ＝2，c ＝6，C ＝π3，求A ，B ，b.2.在△ABC 中，已知a ＝2，c ＝6，A ＝π4，求C ，B ，b.3．在△ABC ，已知a ＝22，b ＝23，C ＝15°，解此三角形【例2】（1）．（2016•潍坊一模）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a•cosB+b•cosA=3ccosC ，则cosC= ．（2）．（2016•顺义区一模）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=2bsinA ，则B= ．（3）．（2016•抚顺一模）已知△ABC 的周长为+1，且sinA+sinB=sinC ，则边AB 的长为【变式实践2】1．（2016•长沙一模）△ABC 的周长等于2（sinA+sinB+sinC ），则其外接圆半径等于 ． 2．（2016•闵行区二模）已知△ABC 周长为4，sinA+sinB=3sinC ，则AB=3．（2016•延边州模拟）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A=30°，2asinB=3，则b= ．4．（2016•盐城一模）在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，a=5，A=，cosB=，则边c= ．例3（1）在【解题思路分析】1.判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，第一方面为边：是否两边相等，是否三边相等，是否构成勾股定理；第二方面为角：两角是否相等，是否为直角等2.用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．【类型方法总结】判定三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等，要注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别．依据边角关系判断时，主要有两条途径：①利用正弦定理转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A＋B＋C＝π这个结论．②利用余弦定理转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．在两种解法的等式变形中，一般两边不要随意约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解．（2）已知△ABC中，bsin B＝csin C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．【解题基本思路】1.要判断三角形的形状，必须深入研究两方面：（1）边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？ （2）角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？ 2.解此类题的思想方法是：从条件出发，利用正弦定理等进行代换、转化、化简、运算，发现边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断． 3.一般有两种转化方向：①角转化为边，②边转化为角．【变式实践3】 1．在△ABC 中，若cos A ＝sin Bsin C，试判断其形状．2.在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bccos Bcos C ，试判断△ABC 的形状例4 在△【变式实践4】 1.△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．已知△ABC 中，AB ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为________．3．(2013·无锡检测)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，∠A ＝60°，AC ＝23，S △ABC ＝92，则AB ＝________.4. (2015·陕西卷)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m=(a与n=(cos A ，sin B)平行. (1)求角A 的大小；(2)若b=2，求△ABC 的面积.例5a ＝2bsinA ，求cos A ＋sin C 的取值范围．【解题基本思路】在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法： (1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量．(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值的问题．【变式实践5】 1.在△ABC 中，若C ＝2B ，求cb的取值范围．2．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则AC ＋AB 的取值范围是________．3．（2016•朔州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，b=4，则a+c的最大值为．【强化训练】1．（2016•永州三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则∠A=（）A．B．C．D．2．（2016•银川校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则=（）A．B．C．D．3．（2016•福建模拟）在△ABC中，∠A=60°，AC=2，BC=3，则角B等于（）A．30°B．45°C．90°D．135°4．（2016•信阳一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，c=2（b﹣cosC），则△ABC周长的取值范围是（）A．（1，3] B．[2，4] C．（2，3] D．[3，5] 5．（2016•兰州模拟）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（）A．14 B．6 C．D．6．（2016•朝阳二模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若C=30°，b=3，△ABC的面积为，则c=（）A．1 B．2 C．D．7．（2016•哈尔滨校级一模）△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC成等差数列，且，则等于（）A．B．C．D．8．（2016•朔州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，b=4，则△ABC的面积的最大值为（）A．4B．2C．2 D．9．（2016•海南校级一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且，则c的值为（）A．3 B．4 C．5 D．3或5 10．（2016•延边州模拟）在△ABC中，若a2﹣b2=bc，且=2，则角A=（）A．B．C．D．11．（2016•江西模拟）在斜△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，asinB+bcos （B+C）=0，sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，且△ABC的面积为1，则a的值为（）A．2 B．C．D．12．（2016•重庆模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2=ab=，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．13．（2016•温州一模）已知钝角△ABC的面积为，AB=1，BC=，则角B=，AC=．14．（2016•扶沟县一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=2B，则是取值范围为．15．（2016•岳阳二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosB+bcosA=2ccosC，则角C=．16．（2016•闵行区二模）在△ABC中，AB=，A=45°，C=60°，则BC=．17．（2016•揭阳一模）已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，且△ABC的面积为，则AC边的最小值．18．（2016•红桥区模拟）在△ABC中，∠A=30°，∠C=120°，，则AC的长为．19．（2016•淮北一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120°，b=1，且△ABC的面积为，则=．20．（2016•汕头模拟）在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，则A的大小是°．21．（2016•黄山一模）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，且bc=4，则△ABC的面积为．22．（2016•南开区模拟）已知钝角△ABC的面积为2，AB=2，BC=4，则该角形的外接圆半径为．23．（2016•丰台区一模）在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3bsinA=ccosA+acosC，则sinA=．24(2015·全国卷)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b，求cos B的值；(2)若B=90°，且△ABC的面积.25、△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且asin Asin B＋bcos2A＝2a，(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.26．（2016•浙江二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=2，A≠B．（I）求的值（2）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．27．（2016•沈阳一模）在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，C=，且sinB=2sinA•cos （A+B ）．（1）证明：b 2=2a 2；（2）若△ABC 的面积是1，求边c ．参考答案【例1】(1)∵A ＝30°，C ＝45°；∴B ＝180°－(A ＋C)＝105°，由正弦定理得b ＝asin B sin A ＝20sin 105°sin 30°＝40sin(45°＋60°)＝10(6＋2)；c ＝asin C sin A ＝20sin 45°sin 30°＝202， ∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2.(2)根据正弦定理，sin B ＝bsin A a ＝3sin 30°1＝32. ∵b>a ，∴B>A ＝30°，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c ＝b sin B ＝3sin 60°＝2； 当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°，c ＝bsin C sin B ＝3sin 30°sin 120°＝1. (3)由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(22)2＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(23)2＋(6＋2)2－(22)22×23×(6＋2)＝22，∴B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝75°. 4[解] 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2accos B＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)·cos 60°＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96， ∴b ＝4 6.法一：由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝96＋16 3＋1 2－642×46×4 3＋1 ＝22， ∵0°＜A ＜180°，∴A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.法二：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴8sin A ＝46sin 60°， ∴sin A ＝22，∵b ＞a ，c ＞a ， ∴a 最小，即A 为锐角．因此A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.（5）【解题思路分析】思路一：已知条件给出两边及以对应角用余弦定理 →已知角B 求边长则选择b 2＝a 2＋c 2－2accosB 列等式→解关于a 边的一元二次方程→选择正弦定理或者余弦定理求出其他边或角 思路二：已知条件给出两边及以对应角用正弦定理求出角C →利用三角形内角和求出第三角A →再利用正弦或者余弦定理求出其他边或角[解] 法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理得sin A ＝asin B b ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.法二：由b ＜c ，B ＝30°，b ＞csin 30°＝33×12＝332知本题有两解． 由正弦定理得sin C ＝csin B b ＝33×123＝32， ∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 为直角三角形．由勾股定理得a ＝b 2＋c 2＝32＋ 33 2＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.【变式实践1】1.∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝asin C c ＝22. ∵c>a ，∴C>A.∴A ＝π4. ∴B ＝5π12，b ＝csin B sin C ＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1.2∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝csin A a ＝32. 又∵a<c ，∴C ＝π3或2π3. 当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝asin B sin A＝3＋1. 当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝asin B sin A＝3－1. 3.解：c 2＝a 2＋b 2－2abcos C＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°)＝8－4 3 ＝(6－2) 2∴c ＝6－ 2.法一：由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝ 23 2＋ 6－2 2－ 22 22×23× 6－2＝22.∵0°＜A ＜180°，∴A ＝45°，从而B ＝120°.法二：由正弦定理得sin A ＝asin C c ＝22×6－246－2＝22. ∵a ＜b ，∴A ＜B ，又0°＜A ＜180°，∴A 必为锐角， ∴A ＝45°，从而得B ＝120°.【例2】（1）解：∵a•cosB+b•cosA=3c•cosC ， ∴利用余弦定理可得：a×+b×=3c×，整理可得：a 2+b 2﹣c 2=， ∴由余弦定理可得：cosC===．故答案为：．（2）解：∵a=2bsinA ，由正弦定理可得，sinA=2sinBsinA ， ∵sinA≠0，∴sinB=， ∵0°＜B ＜180°．∴B=或．故答案为：或．（3）解：由题意及正弦定理，得：AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB ， 两式相减，可得AB=1．故答案为：1．【变式实践2】 1.解：设△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，由正弦定理得，∴a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ，∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC ），∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC ），∴R=1．故答案为：1．2解：∵sinA+sinB=3sinC ，∴由正弦定理可得a+b=3c ，又△ABC 的周长为4，∴a+b+c=4c=4，解得c=1，即AB=1．故答案为：1．3.解：∵在△ABC 中A=30°，2asinB=3，∴由正弦定理可得b===3，故答案为：3．4、解：∵cosB=，a=5，A=，∴sinB==，∴由正弦定理可得：b===4，∴由余弦定理可得：b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，即：32=25+c 2﹣6c ，解得：c=7或﹣1（舍去）．故答案为：7．例3：（1）[解] 由余弦定理可得a·b 2＋c 2－a 22bc ＋b·a 2＋c 2－b 22ac＝c·a 2＋b 2－c 22ab等式两边同乘以2abc 得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＝c 2(a 2＋b 2－c 2)，整理化简得a 4＋b 4－2a 2b 2＝c 4，∴(a 2－b 2)2＝c 4.因此有a 2－b 2＝c 2或b 2－a 2＝c 2.即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2故△ABC 为直角三角形．（2）【题意分析】：设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，再利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R，sin C ＝c 2R将角的关系化为边之间的关系． 解：由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ， 从而得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R.∵bsin B ＝csin C ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴b·b 2R ＝c·c 2R ，⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2， ∴b 2＝c 2，a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝c ，A ＝90°.∴△ABC 为等腰直角三角形．【变式实践3】1.解：由cos A ＝sin B sin C 得cos A ＝b c ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝b c， ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，因此△ABC 是以C 为直角的直角三角形．2.分析：思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系．解法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R(R 为△ABC 外接圆的半径)，将原式化为 R 2sin 2Bsin 2C ＝R 2sin Bsin Ccos Bcos C.∵sin Bsin C≠0，∴sin Bsin C ＝cos Bcos C ，∴cos Bcos C －sin Bsin C ＝0，即cos(B ＋C)＝0.∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°. ∴△ABC 为直角三角形．解法二：将已知等式变为b 2(1－cos 2C)＋c 2(1－cos 2B)＝2bccos Bcos C.由余弦定理，得b 2＋c 2－b 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22ac 2 ＝2bc·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac， 即b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2. 整理得b 2＋c 2＝a 2.故△ABC 为直角三角形．【例4】【自主解答】 由正弦定理，得7sin 120°＝5sin C， ∴sin C ＝5314，且C 为锐角，∴cos C ＝1114，∴sin B ＝sin (180°－120°－C)＝sin (60°－C)＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314. ∴S △ABC ＝12AB·BC·sin B ＝12×5×7×3314＝1534. 即△ABC 的面积为1543.【变式实践4】1.【解析】 由正弦定理，得sin C ＝ABsin B AC ＝32. ∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，∴S △ABC ＝12AB·AC·sin A ＝23； 当C ＝120°时，A ＝30°，∴S △ABC ＝12AB·AC·sin A ＝ 3. 故△ABC 的面积是23或 3.【答案】 23或 32、【解析】 由BC sin A ＝AB sin C，得BC ＝6， ∴S △ABC ＝12AB·BC·sin B ＝9 3. 【答案】 9 33.【解析】 ∵S △ABC ＝12AB·ACsin A ＝12AB×23×32＝32AB ， ∴32AB ＝92，∴AB ＝3. 【答案】 34.【解答】 (1)因为m ∥n ，所以由正弦定理，得，又因为sin B≠0，所以由于0<A <π，所以A=π3.(2)方法一：由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bccos A ，而b=2，A=π3，得7=4+c 2-2c ，即c 2-2c-3=0，因为c>0，所以c=3.故△ABC 的面积S=12bcsinA=.方法二：由正弦定理，得sin 3=2sin B ， 从而sin B=7.又由a>b 知A>B ，所以cos B=，故sin C=sin(A+B)=sin π3B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin Bcos π3+cos Bsin π3=， 故△ABC 的面积S=12absin C=.【例5】解 设R 为△ABC 外接圆的半径．∵a ＝2bsin A ，∴2Rsin A ＝4Rsin Bsin A ，∵sin A ≠0，∴sin B ＝12. ∵B 为锐角，∴B ＝π6. 令y ＝cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin []π－(B ＋A)＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A＝cos A ＋sin π6cos A ＋cos π6sin A ＝32cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. 由锐角△ABC 知，π2－B<A<π2， ∴π3<A<π2. ∵2π3<A ＋π3<5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， ∴32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32，即32<y<32. ∴cos A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，32. 【变式实践5】1.解 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B>0，所以0<B<π3，所以12<cos B<1. 因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ， 所以1<2cos B<2，故1<c b<2. 2.【解析】 根据正弦定理，得 AC ＝BCsin B sin A＝23sin B ， AB ＝BCsin C sin A＝23sin C ， ∴AC ＋AB ＝23(sin B ＋sin C)＝23[sin B ＋sin(2π3－B)] ＝23(sin B ＋32cos B ＋12sin B) ＝6sin(B ＋π6)． ∵0＜B ＜2π3， ∴π6＜B ＋π6＜5π6， ∴12＜sin(B ＋π6)≤1， ∴3＜6sin(B ＋π6)≤6.∴AC＋AB的取值范围是(3,6]．【答案】(3,6]3.解：∵在△ABC中=，∴（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，约掉sinA可得cosB=，即B=，由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，∴16=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，可得：（a+c）2=16+3ac≤64，解得a+c≤8，当且仅当a=c 时取等号．故答案为：8．【强化训练】1.解：在△ABC中，∵==，∴a2﹣b2=bc+c2，即b2+c2﹣a2=﹣bc．∴cosA=．∴A=．故选：D．2、解：在△ABC中，∵sinA=2sinB，∴利用正弦定理可得：a=2b，即：b=a，∵cosC=﹣==，整理可得：c2=a2，∴==．故选：B．3.解：∵∠A=60°，AC=2，BC=3，∴由正弦定理可得：sinB===，∵AC＜BC，∴B＜A，B为锐角．∴B=45°．故选：B．4.解：△ABC中，由余弦定理可得2cosC=，∵a=1，2cosC+c=2b，∴+c=2b，化简可得（b+c）2﹣1=3bc．∵bc≤（）2，∴（b+c）2﹣1≤3×（）2，解得b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．故a+b+c≤3．再由任意两边之和大于第三边可得b+c＞a=1，故有a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，故选：C．5.解：在△ABC中，∵bsinA=3csinB，∴ab=3cb，可得a=3c，∵a=3，∴c=1．∴==，解得b=．故选：D．6.解：在△ABC中，由题意可得：S=absinC，∴=，解得a=．∴c2=a2+b2﹣2abcosC=3+9﹣6×=3，解得c=．故选：D．7.解：∵△ABC中sinA，sinB，sinC成等差数列，∴2sinB=sinA+sinC，由正弦定理2b=a+c，即c=2b﹣a，∵，∴由同角三角函数基本关系可得cosC=，∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，故（2b﹣a）2=a2+b2﹣ab，整理可得3b2=ab，解得=，由正弦定理可得==，故选：A．8.解：∵在△ABC中=，∴（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，约掉sinA可得cosB=，即B=，由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，∴△ABC的面积S=acsinB=ac≤4故选：A．9.解：在△ABC中，由已知条件可知：sinB=sin2A=2sinAcosA；由正弦定理，b=，∴b=2acosAcosA=余弦定理整理可知：c2﹣8c+15=0解得c1=3或c2=5由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，显然成立；故选：D．10.解：∵在△ABC中，==2，由正弦定理可得：=2，即：c=2b，∵a2﹣b2=bc，∴a2﹣b2=b×2，解得：a2=7b2，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．故选：A．11.解：在斜△ABC中，∵asinB+bcos（B+C）=0，∴sinAsinB﹣sinBcosA=0，∵sinB≠0，∴sinA=cosA，A∈（0，π），∴tanA=1，解得A=．∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，∴sinBcosC+cosBsinC+sinBcosC﹣cosBsinC=2sin2C，∴2sinBcosC=4sinCcosC∵cosC≠0，∴sinB=2sinC，∴b=2c．由余弦定理可得：a2=﹣2×c2cos=5c2．∵△ABC的面积为1，∴=1，∴=1，解得c2=1．则a=．故选：B．12、解：在△ABC中，∵a2+b2﹣c2=ab=，∴cosC==，∴sinC==．∴S△ABC=absinC==．故选：B．13.解：∵钝角△ABC的面积为，AB=1，BC=，∴=1××sinB，解得：sinB=，∴B=或，∵当B=时，由余弦定理可得AC===1，此时，AB2+AC2=BC2，可得A=，为直角三角形，矛盾，舍去．∴B=，由余弦定理可得AC===，故答案为：；．14.解：∵在锐角△ABC中C=2B，∴由正弦定理可得：====2cosB，∵A+B+C=π，∴A+3B=π，即A=π﹣3B，由锐角三角形可得0＜π﹣3B＜且0＜2B＜，解得＜B＜，故＜cosB＜，∴＜2cosB＜，故答案为：（，）．15解：∵在△ABC中acosB+bcosA=2ccosC，∴由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，∴sin（A+B）=2sinCcosC，∴sinC=2sinCcosC，约掉sinC可得cosC=，由三角形内角的范围可得角C=，故答案为：．16.解：∵在△ABC中，AB=，A=45°，C=60°，∴由正弦定理可得：BC===1．故答案为：1．17.解：△ABC中，A、B、C成等差数列，故2B=A+C，故B=，A+C=．∵△ABC的面积为•ac•sinB=ac=，∴ac=4，∴AC2=b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，∴AC边的最小值为2．故答案为：2．18解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠C=120°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=30°，∴由正弦定理可得：AC===6．故答案为：6．．19.解：由题意，=×c×1×sin120°∴c=4，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×（﹣）=21．∴a=∴==2．故答案为：2．20.解：由正弦定理可得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵2asinA=（2a+c）sinB+（2C+b）sinC，方程两边同乘以2R，∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，整理得a2=b2+c2+bc，∵由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，故cosA=﹣，A=120°．故答案为：120°．21解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA==．故答案为：22.解：根据面积为2=AB•BCsinB=4sinB，∴sinB=，∴B=60°．或B=120°．当B=60°时，三角形是直角三角形；当B=120°时，三角形的第三边为：=2．所以三角形的外接圆的半径为：×=．故答案为：．23.解：在△ABC中，∵3bsinA=ccosA+acosC，由正弦定理可得：3sinBsinA=sinCcosA+sinAcosC，∴3sinBsinA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=．故答案为：．24.【解答】(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又因为a=b，所以b=2c，a=2c，由余弦定理可得cos B=222-2a c b ac =14.(2)由(1)知b 2=2ac.因为B=90°，由勾股定理得a 2+c 2=b 2. 故a 2+c 2=2ac ，得所以△ABC 的面积为1.25. (1)将a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B 代入已知式得：sin 2Asin B ＋cos 2Asin B ＝2sin A. ∴(sin 2A ＋cos 2A)sin B ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，∴ba ＝ 2.(2)∵c 2＝b 2＋3a 2＝(2＋3)a 2，∴c ＝3＋12a ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ 3＋3 a 2－2a 22×a×3＋12a＝22，∴B ＝45°.26.解：（1）∵c=2， ∴===；（2）∵tanC=，且sin 2C+cos 2C=1，∴，∵，∴ab=，由余弦定理有cosC=，∴a 2+b 2=6．∴，∴a+b=．27.（1）证明：∵sinB=2sinA•cos（A+B），∴b=2a（﹣cosC），∴b=﹣2a×，∴b2=2a2．（2）解：∵S==ab=1，化为ab=2．联立，解得a=，b=2．∴=10，解得c=．。
