【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学选修1-1《函数的单调性与极值》同步练测及解析

学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y ＝f (x )的图像如右图4-1-1所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )图4-1-1【解析】 由函数的图像可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f (x )均为减函数，故在这两个区间上，f ′(x )均小于0.【答案】 D2．函数f (x )＝x 3－8x 2＋13x －6的单调减区间为( ) A ．(－∞，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，133 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫133，＋∞ D ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫133，＋∞【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－16x ＋13，令f ′(x )<0，得1<x <133.∴函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，133.【答案】 B3．y ＝8x 2－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上分别是( )A ．增加的，增加的B ．增加的，减少的C ．减少的，增加的D ．减少的，减少的【解析】 y ′＝16x －1x ＝16x 2－1x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，y ′＜0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上是减少的；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，y ′＞0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增加的．【答案】 C4．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)【解析】 ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝12x＋1x >0，∴f (x )在(0，＋∞)上为增加的， ∴f (2)<f (e)<f (3)． 【答案】 A5．已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．a ≥3B ．a ＞3C ．a ≤3D ．a ＜3【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－a ，由题意f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，∴a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立，又∵0≤3x 2＜3，∴a ≥3，经验证当a ＝3时，f (x )在(－1,1)上单调递减．【答案】 A 二、填空题6．若函数f (x )＝x 3－ax ＋1既有单调增区间，又有减区间，则a 的取值范围是________.【导学号：63470078】【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－a ，由条件知，f ′(x )＝0需有两个不等实根，∴a >0. 【答案】 (0，＋∞)7．函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在R 上单调递减，则实数m 的范围为________．【解析】 g ′(x )＝－3x 2＋4x ＋m ≤0恒成立，则Δ＝16＋4×3m ≤0，∴m ≤－43.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43 8．若函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调减区间为(－5,5)，则a 的值为________． 【解析】 f ′(x )＝3x 2＋a ，∵f ′(x )<0的解为－5<x <5，∴3×52＋a ＝0，∴a ＝－75.【答案】 －75 三、解答题9．求下列函数的单调区间： (1)y ＝x －ln x ；(2)y ＝x ＋9x .【解】 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x ， 由y ′>0，得x >1；由y ′<0，得0<x <1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数y ＝x ＋9x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． ∵y ＝x ＋9x ，∴y ′＝1－9x 2.当y ′>0，即x >3或x <－3时，函数y ＝x ＋9x 单调递增； 当y ′<0，即－3<x <0或0<x <3时，函数y ＝x ＋9x 单调递减．故函数y ＝x ＋9x 的单调递增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－3,0)，(0,3)．10．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增加的，求t 的取值范围．【解】 由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ， ∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . 若f (x )在(－1,1)上是增加的， 则在(－1,1)上f ′(x )≥0恒成立． 即t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立．考虑函数g (x )＝3x 2－2x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132－13，x ∈(－1,1)，显然g (x )<g (－1)，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ＝5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增加的．故t 的取值范围是[5，＋∞)．[能力提升]1．已知函数y ＝f (x )的图像如图4-1-2所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )图4-1-2【解析】对于选项A，y＝f′(x)的符号变化情况为大于0、小于0、大于0、小于0，反映在函数y＝f(x)的图像上，即得y＝f(x)的单调变化情况为增、减、增、减，满足条件．而其他三个选项均不满足条件．【答案】 A2．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是() A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)【解析】由于f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥1x ，而0<1x<1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．【答案】 D3．设命题p：f(x)＝ln x＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)上是增加的，命题q：m≥－5，则p是q的________条件.【导学号：63470079】【解析】对p，f′(x)＝1x＋4x＋m.∵f(x)在(0，＋∞)上是增加的，∴1x＋4x＋m≥0在(0，＋∞)上恒成立．∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1x .∵x >0，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1x ≤－4.∴m ≥－4. 又∵q ：m ≥－5，∴“m ≥－4”是“m ≥－5”的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要4．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2(m 、n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m 的代数式表示n ； (2)求函数f (x )的单调增区间．【解】 (1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ， 又f ′(2)＝0，∴3m ＋n ＝0，故n ＝－3m . (2)∵n ＝－3m ，∴f (x )＝mx 3－3mx 2， ∴f ′(x )＝3mx 2－6mx .令f ′(x )>0，即3mx 2－6mx >0，当m >0时，解得x <0或x >2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m <0时，解得0<x <2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)．综上，当m >0时，函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，函数f (x )的单调增区间是(0,2).。

第四章导数应用章末复习课【学习目标】1•掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值2会用导数解决一些简单的实际应用问题.H知识梳理---------------------------知识点一函数的单调性、极值与导数1 •函数的单调性与导数在某个区间(a, b)内，如果_____________ ，那么函数y= f(x)在这个区间内是增加的；如果__________ ，那么函数y= f(x)在这个区间内是减少的.2 •函数的极值与导数(1)极大值：在点x= a附近，满足f(a)> f(x),当x<a时，______________ ,当x>a时，___________ ,则点a叫作函数的极大值点，f(a)叫作函数的极大值；⑵极小值：在点x= a附近，满足f(a)w f(x),当x<a时， _____________ ,当x>a时，___________ ,则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值.知识点二求函数y= f(x)在［a, b］上的最大值与最小值的步骤1.求函数y= f(x)在(a, b)内的 ___________ .2 •将函数y= f(x)的各极值与_______________________________________________________比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.题型探究---------------------------类型一导数中的数形结合思想例1已知函数y = xf' (x)的图像如图所示(其中f' (x)是函数f(x)的导函数)，贝U y= f(x)的图像大致是()反思与感悟研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素•对于原函数，要重点考查其图像在哪个区间内单调递增, 与原函数的单调区间是否一致. 在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零, 在哪个区间内小于零，并考查这些区间类型二构造函数求解命题角度1比较函数值的大小 例2已知定义域为 R 的奇函数y = f(x)的导函数为y = f '若 a = ?f (2), b =— ,2f(- 2), c = (In 》f(ln 寸)，则 a , b , A • a<c<b B • b<c<a C . a<b<c D • c<a<b 反思与感悟 本例中根据条件构造函数g(x)= xf(x)，通过g ' (x)确定g(x)的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数.跟踪训练2 设f(x)、g(x)是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ' (x)g(x) — f(x)g ' (x)<0 , 则当a<x<b 时有()A • f(x)g(x)>f(b)g(b)B • f(x)g(a)>f(a)g(x)C . f(x)g(b)>f(b)g(x)D • f(x)g(x)>f(a)g(a) 命题角度2求解不等式例3定义域为R 的可导函数y = f(x)的导函数f ' (x),满足f(x)<f ' (x)，且f(0) = 2,则不等 式f(x)>2e x 的解集为( )A . (— a, 0)B .(―汽 2)C . (0 ,+a )D . (2 ,+a )反思与感悟 根据所求结论与已知条件，构造函数 g(x) =集，通过导函数判断g(x)的单调e性，利用单调性得到 x 的取值范围.跟踪训练3 函数f(x)的定义域为 R , f(— 1) = 2，对任意x € R , f ' (x)>2，贝U f(x)>2x + 4的 解集为( )A . (— 1,1)B . (— 1 ,+a )C . (— a, — 1)D . ( — m,+m )类型三利用导数研究函数的极值与最值 例4 已知函数f(x)= x 3 + ax 2 + b 的图像上一点P(1,0)，且在点P 处的切线与直线 3x + y = 0跟踪训练1函数f(X )= ln x -2x 2的大致图像是(x),当 X M 0 时，f ' (x) + 氏<0,x c 的大小关系平行.(1)求函数f(x)的解析式；⑵求函数f(x)在区间［0, t］(0<t<3)上的最大值和最小值；⑶在(1)的结论下，关于x的方程f(x) = c在区间［1,3］上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.反思与感悟⑴求极值时一般需确定f' (x)= 0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练4已知函数f(x)= ax3+ (a—1)x2+ 48(a—2)x+ b的图像关于原点成中心对称.(1) 求a，b 的值；(2) 求f(x)的单调区间及极值；⑶当x€ [1,5]时，求函数的最值.类型四导数的综合应用例5 已知函数f(x) = x3—ax— 1.(1) 若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；(2) 是否存在实数a,使f(x)在(—1,1)上是减少的，若存在，求出a的取值范围，若不存在, 请说明理由.4 7反思与感悟在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f'(X)》0(或f'(X)w 0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使f' (x)恒等于0,若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f' (x)不能恒等于0, 则由f' (x) >0(或f' (x)< 0)恒成立解出的参数的取值范围来确定.跟踪训练5 (1)若函数f(x)= 4x3—ax+ 3的单调递减区间是—?, * -则实数a的值是多少？⑵若函数f(x)= 4x3—ax+ 3在―2, 1上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？1. 已知函数f(x)= x3+ bx2+ cx的图像如图所示，贝V x1 + x；等于()8 C.32.已知f(x)是定义在(0, )上的非负可导函数，且满足xf ' (x) + f(x )w 0，对任意的正数a , b , 若a<b ,则必有( ) A. bf(b )w af(a) B . bf(a )w af(b) C. af(a )w bf(b)D . af(b) w bf(a)3. 设f ' (x)是函数f(x)的导函数， 将y = f(x)和y = f ' (x)的图像画在同一个直角坐标系中，则 不可能正确的是( )ax +14.已知函数f(x)= 在(一2, +m)内是减少的，则实数a 的取值范围为 _________ .x + 25. 已知函数f(x) = 2ln x +負a>0)，若当x € (0,+^ )时，f(x)>2恒成立，则实数 a 的取值 范围是 _________ .厂规律与方法 --------------------------------- !导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用， 例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方 法.16 D.亍4 7答案精析知识梳理知识点一1. f' (x)>0 f' (x)<02. (1)f' (x)>0 f' (x)<0 (2)f' (x)<0 f' (x)>0知识点二1. 极值2. 端点处函数值f(a), f(b)题型探究例 1 C [当0<x<1 时，xf' (x)<0,••• f' (x)<0，故y= f(x)在(0,1)上为减函数，排除A、B选项.当1<x<2 时，xf' (x)>0 ,• f' (x)>0,故y= f(x)在(1,2)上为增函数,因此排除D.] 跟踪训练1 B [函数f(x)= In x-1-xf' (x)= 1 -x=^x2的定义域为(0, ),=2 X -Xx ■令f' (x)>0，得1+ x 1-x >0.x又因为x>0，所以(1 + x)(1 —x)>0,所以0<x<1.同理，令f' (x)<0,解得x>1.于是当0<x<1时，函数f(x)是增函数；当x>1时，函数f(x)是减函数；1当x= 1时，f(x)=—2<0•结合以上特征可知应选B.]例 2 B [令g(x)= xf(x),则g(- x) = (-x)f(- x)= xf(x),••• g(x)是偶函数.g' (x)=f(x) +xf' (x),•-f' (x)+ 也当x<0 时，xf' (x) + f(x)>0.•g(x)在(0 ,+s)上是减函数.2<1 n2<1<、2,•g( 2)<g(ln 2)<g(》.T g(x)是偶函数，1•g(- 2) = g( 2), g(ln ㊁)=g(ln 2),1 1•g(—2)<g(ln 2)<gg).故选B.]跟踪训练2 C [由条件，得[gx]2(a, b)上是减函数.•但<也<宜g b g• f(x)g(b)>f(b)g(x).]例 3 C [设g(x)= ^4,e则g' (x)= f' X - fxxe••• f(x)<f' (x), • g' (x)>0 ,即函数g(x)单调递增.•-f(0) = 2 ,••• g(0) = f(0)= 2,则不等式等价于g(x)>g(0).•••函数g(x)单调递增，• x>0,即不等式的解集为(0,+^),故选C.］跟踪训练 3 B ［令g(x)= f(x)—2x—4, •/ f' (x)>2,则g' (x) = f' (x) —2>0.又由g( —1) = f( —1) — 2 X (—1) —4= 0,得g(x)>0,即g(x)>g( —1)的解为x>—1,• f(x)>2x+ 4 的解集为(一1,+ a).］例4 解(1)因为f' (x)= 3x2+ 2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f' (1) = 3+ 2a,即3+ 2a=—3, a = — 3.又函数过(1,0)点，即一2+ b = 0, b= 2.3 2所以a=—3, b = 2, f(x)= x —3x + 2.3 2(2) 由f(x) = x —3x + 2,得f' (x)= 3x2—6x.由f' (x)= 0,得x= 0 或x= 2.①当0<t w 2 时，在区间(0, t)上，f' (x)<0, f(x)在［0 , t］上是减函数，所以f(x)max = f(0) = 2,3 2f(x) min =f(t) = t —3t + 2.②当f(x) min =f(2) = -2,f(x) max 为f(0)与f(t)中较大的一个.因为f(t)- f(0) = t3- 3t2= t2(t- 3)<0,所以f(x) max =f(0) = 2.3 2(3) 令g(x)= f(x) —c= x —3x + 2 —c,则g' (x) = 3x2—6x= 3x(x —2).当x€ ［1,2)时，g' (x)<0 ; 当x€ (2,3］时，g' (x)>0.要使g(x) = 0在［1,3］上恰有两个相异的实根，g1》0，则g 2 <0, 解得—2<c w 0.g 3 > 0,即实数c的取值范围为(一2,0］.跟踪训练4解(1) •••函数f(x)的图像关于原点成中心对称, 则f(x)是奇函数，二f(—X)= —f(x),即一ax3+ (a—1)x2—48(a—2)x+ b=—ax3—(a—1)x2—48(a—2)x—b,于是2(a—1)x + 2b = 0恒成立，a —1= 0,解得 a = 1, b = 0.b = 0,3⑵由(1)得f(x) = x —48x,• f' (x)= 3x2—48= 3(x+ 4)(x—4),令f' (x)= 0,得X1 = —4, x2 = 4.令f' (x)<0，得—4<x<4 ;令f' (x)>0 , 得x< － 4 或x>4.f(x)的递减区间为(一4,4)，递增区间为(―g,— 4)和(4,+ a).二f(x)极大值=f (—4) = 128,f(x) 极小值= f(4)=—128.(3)由(2)知,函数在[1,4]上是减少的,在[4,5]上是增加的, f(4)=—128, f(1)=—47, f(5)=—115 ,•函数的最大值为—47,最小值为—128.例 5 解(1)f' (x)= 3x2—a,因为f(x)在R上是增函数，所以f' (x) > 0在R上恒成立，即3x2—a>0在R上恒成立.即a w 3x2，而3x2> 0，所以a< 0.当a= 0 时, f(x)= x3— 1 在R 上单调递增,符合题意.所以 a 的取值范围是(—g, 0].⑵假设存在实数a,使f(x)在(—1,1)上是减少的，则f' (x)w 0在(—1,1)上恒成立.即3x2—a w 0 在(—1,1)上恒成立,即a>3x2,又因为在(—1,1)上, 0<3x2<3,所以a> 3.2当a= 3 时, f' (x)= 3x2—3,在(—1,1)上, f' (x)<0,所以f(x)在(—1,1)上是减少的，即a= 3 符合题意, 所以存在实数a，使f(x)在(—1,1)上是减少的，且a的取值范围是[3,+a).跟踪训练 5 解(l)f ' (x)= 12X 2-a ,••• x=W 为f ' (x)= 0的两个根,a = 3. ⑵若f(x)在一1, 2上为单调增函数，则 f ' (x) >0在即12x 2— a > 0在-2, 1上恒成立，• a < 12x 2在—2, 1上恒成立，2• • a W (12x )min = 0.当 a = 0 时，f ' (x)= 12x 2>0 恒成立(只有 x = 0 时 f ' (x) = 0).• a = 0符合题意.若f(x)在—1, *上为单调减函数，则f ' (x)< 0在一2, 1上恒成立，即12x 2— a < 0在—2, 1上恒成立，• a > 12x 2在—2, 1上恒成立，• a > (12x2)max = 3.当 a = 3 时，f ' (x)= 12x 2 — 3= 3(4x 2— 1)W 0 恒成立(只有 x = g 时 f ' (x)= 0). 综上，a 的取值范围为(一a, 0] U [3 ,+s ).当堂训练1. C2.A3.D4.(—a, 2)5. [e ，+a ) •/f(x)的单调递减区间为 2,12,。

1.2 函数的极值[学习目标] 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点一 函数的极值(1)极大值：在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都不大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值.(2)极小值：在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都不小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值. (3)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 思考 极大值一定大于极小值吗？ 答案 不一定.知识点二 求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值. (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值.题型一 求函数的极值例1 求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值.解 函数的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可以看出：当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. 反思与感悟 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.跟踪训练1 已知a 是函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A.－4 B.－2C.4D.2答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增；当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2. 题型二 利用函数极值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点，∴x ＝±1是方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0， ①c3a ＝－1 ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.跟踪训练2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝x 0处取得极大值5，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求： (1)x 0的值； (2)a ，b ，c 的值.解 (1)由图像可知，在(－∞，1)上f ′(x )＞0，在(1,2)上f ′(x )＜0，在(2，＋∞)上f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f (x )在x ＝1处取得极大值，所以x 0＝1.(2)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5， 得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12.题型三 函数极值的综合应用 例3 设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围.(1)解 由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，切线斜率k ＝f ′(0)＝b . 又f (0)＝c ，所以切点坐标为(0，c ).所以所求切线方程为y －c ＝b (x －0)，即bx －y ＋c ＝0. (2)解 由a ＝b ＝4得f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ∴f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4＝(3x ＋2)(x ＋2) 令f ′(x )＝0，得(3x ＋2)(x ＋2)＝0，解得x ＝－2或x ＝－23，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：所以，当c ＞0且c －3227＜0时，存在x 1∈(－∞，－2)，x 2∈⎝⎛⎭⎫－2，－23，x 3∈⎝⎛⎭⎫－23，＋∞， 使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝⎛⎭⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点.反思与感悟 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图像与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数. 跟踪训练3 已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1). (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0.(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a （x －1）x ＋1>0，设g (x )＝ln x －a （x －1）x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a（x ＋1）2＝x 2＋2（1－a ）x ＋1x （x ＋1）2，g (1)＝0.(ⅰ)当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增， 因此g (x )>0；(ⅱ)当a >2时，令g ′(x )＝0得，x 1＝a －1－（a －1）2－1，x 2＝a －1＋（a －1）2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0，综上，a 的取值范围是(－∞，2].等价转化思想的应用例4 已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0＜x 1＜1＜x 2＜2. (1)证明：a ＞0；(2)求z ＝a ＋2b 的取值范围.分析 (1)对原函数求导，将导函数问题转化为由二次函数的根的分布探求开口方向的问题，从而证得a ＞0；(2)利用x 1，x 2为导函数的两个根，将0＜x 1＜1＜x 2＜2等价转化为不等式组，利用线性规划求a ＋2b 的最大值与最小值.(1)证明 由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根.由题意，得f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b ， 所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2).由题意，知在x ＝x 1的左侧有f ′(x )＞0. 由x －x 1＜0，x －x 2＜0，得a ＞0.(2)解 由题意，得0＜x 1＜1＜x 2＜2等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)＞0，f ′(1)＜0，f ′(2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －2b ＋2－b ＜0，4a －4b ＋2－b ＞0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －3b ＋2＜0，4a －5b ＋2＞0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，如图所示.△ABC 的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫47，67，B (2,2)，C (4,2).由(1)知a ＞0，则z ＝a ＋2b 分别在A ⎝⎛⎭⎫47，67，C (4,2)处取得最小值167和最大值8.即z ＝a ＋2b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫167，8.1.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图像如图所示，则函数f (x )( )A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点 答案 C解析 f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值，f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图像易知有两个极大值点，两个极小值点.2.已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的极值情况为( ) A.极大值为427，极小值为0B.极大值为0，极小值为427C.极大值为0，极小值为－427D.极大值为－427，极小值为0答案 A解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q ，根据题意，知x ＝1是函数的一个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3－2p －q ＝0，f (1)＝1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，易判断当x ＝13时，f (x )有极大值为427，当x ＝1时，f (x )有极小值为0，故选A.3.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A.－1<a <2 B.－3<a <6C.a <－1或a >2D.a <－3或a >6 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0，解得a >6或a <－3.4.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________. 答案 9解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.5.已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，若函数f (x )在x ＝1处取得极值－43，则b ＝________，c ＝________. 答案 －1 3解析 f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取得极值－43，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43.解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3.若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 当－3＜x ＜1时，f ′(x )＞0， 当x ＞1时，f ′(x )＜0.所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43.故b ＝－1，c ＝3.1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题.。

单元优选卷（12）导数的单调性与极值1、已知21()cos 2f x x x =-,[]1,1x ∈- ,则导函数'()f x 是( ) A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值又有最小值的奇函数 2、函数313y x x =+-有( ) A.极小值-1,极大值1 B.极小值-2,极大值3 C.极小值-2,极大值2 D.极小值-1,极大值33、函数3()3f x x ax a =--在()0,1内有最小值,则a 的取值范围是( )A. 01a ≤<B. 01a <<C. 11a -<<D. 102a <<4、函数()2sin f x x x =-在(,)-∞+∞上( )A.是增函数B.是减函数C.有最大值D.有最小值 5、设曲线1cos sin x y x +=在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线10x ay -+=平行,则实数a 等于( )A. 1-B.12C. 2-D. 26、函数()323+3f x x x x a =+-的极值个数是( )A. 2B. 1C. 0D.与a 值有关7、函数()323922y x x x x =---<<有( )A.极大值5,极小值27-B.极大值5,极小值-11C.极大值5,无极小值D.极小值27-,无极大值8、已知函数()(),f x g x 均为[],a b 上的可导函数,在[],a b 上连续且()()''f x g x <,则()()f x g x -的最大值为( )A. ()()f a g a -B. ()()f b g b -C. ()()f a g b -D. ()()f b g a -9、函数32343x y x x =+--在[]0,2上的最小值是( ) A. 173- B. 103-C. 4-D. 643-10、当函数2xy x =⋅取极小值时, x = ( )A. 1ln 2B. 1ln 2-C. ln 2-D. ln 211、若函数2()1x af x x +=+在1x =取极值,则a =__________12、函数()()[]()43401,4f x ax ax b a x =-+>∈的最大值为3,最小值为6-,则ab =__________.13、已知函数()12ax f x x +=+在()2,-+∞上单调递减,则a 的取值范围是__________. 14、函数ln y ax x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增,则a 的取值范围为__________. 15、函数()3f x x x=+在[)2,+∞上的最小值为__________. 16、已知函数()ln a x bf x x+=(其中2a ≤且0a ≠),函数() f x 在点()()1,1f 处的切线过点(3,0).1.求函数() f x 的单调区间2.若函数() f x 与函数()22g x a x x=+--的图像在(]0,2有且只有一个交点,求实数a 的取值范围17、已知函数()322f x x bx cx =+++在2x =-和23x =处取得极值. 1.确定函数()f x 的解析式; 2.求函数()f x 的单调区间.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：求导可得()sin f x x x +'=,显然'()f x 是奇函数,令()()h x f x '=,则()sin h x x x =+,求导得'()1cos h x x =+.当[]1,1x ∈-时,()0h x '>,所以()h x 在[]1,1-上单调递增,有最大值和最小值.所以'()f x 是既有最大值又有最小值的奇函数.2答案及解析： 答案：D解析：2'33y x =-,令0y '=,解得1x =±,由单调性易判断当1x =时,有极大值3y =,当1x =-时,有极小值1y =-.3答案及解析： 答案：B解析：设22()333()f x x a x a ==-'-,若0a =,则2'()3f x x =,当(0,1)x ∈时, '()0f x >,()f x 在(0,1)是增函数,所以无最小值,排除A 、C.当12a =时, 21()32f x x ⎛⎫=- ⎝'⎪⎭,令'()0f x =，2x =±,∴当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时, '()0f x <,()f x 是减函数;当,12x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时, '()0f x >.()f x 时增函数,∴当2x =时, ()f x 有最小值,排除D,故选C.4答案及解析： 答案：A解析：∵()2sin f x x x =-,∴()2cos f x x =-';因为()2cos 0f x x =->'恒成立, 所以()2sin f x x x =-在(,)-∞+∞上是增函数.故选A.5答案及解析： 答案：A 解析：21'cosx y sin x -=,所以在2x π=处的斜率为1-.由条件知11a=-,解得1a =-.6答案及解析： 答案：C解析：本题考查函数的极值.. 由()32+33f x x x x a =+-得()2'363f x x x =++;因为()2'3(21)f x x x =++23(1)0x =+≥恒成立,所以()3233f x x x x a =++-为单调增函数,所以无极值点.7答案及解析： 答案：C解析：3239y x x x =--,∴()()2'369313y x x x x =--=+-令0y '=得1x =-,当()2,1x ∈--时0y '>,当(1,2)x ∈-时0y '<,所以函数在1x =-处取得极大值5,无极小值 考点: 函数极值 点评:求函数极值的步骤:1,求函数定义域,2,求函数导数,3,令导数为零得极值点,4判定极值点分成的若干区间内的导数正负从而确定是极大值还是极小值8答案及解析： 答案：A 解析：令()()()[],,h x f x g x x a b =-∈, 则()()()'''0h x f x g x =-<. ∴()h x 是[],a b 上的减函数.∴()()()()()max max h x f x g x f a g a ⎡⎤⎣=⎦=--.故选A.9答案及解析： 答案：A 解析：2'23y x x =+-,令0y '=,得3x =-或1x =,∵[]0,2x ∈,∴1x =. ∵()()()171004,1,233f f f =-=-=-, ∴min 173y =-,选A.10答案及解析： 答案：B 解析：由2xy x =⋅,得'22ln 2xxy x =+⋅⋅.令0y '=,得()21ln 20xx +⋅=.∵20x >,∴1ln 2x =-.11答案及解析： 答案：3解析：22222(1)()2()(1)(1)x x x a x x a f x x x +-++-'==++,又'(1)0f =,∴304a-=,∴3a =.12答案及解析： 答案：1 解析：13答案及解析： 答案：12a <∵()()2212a f x x -+'=且函数()f x 在()2,-+∞上单调递减,∴()'0f x ≤在()2,-+∞上恒成立.∴12a ≤. 当12a =时, ()'0f x =恒成立,不合题意,应舍去.∴12a <.14答案及解析： 答案：[)2,+∞ 解析： ∵1'y a x =-,∴在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上'0y ≥, 即10a x -≥,∴1a x ≥.由12x >,得12x <. 要使1a x≥恒成立,只需2a ≥.15答案及解析： 答案：72解析：16答案及解析： 答案：1. ()ln a x bf x x +=()()2ln 1,'a b a xf b f x x --∴==()'1f a b ∴=-∴函数() f x 在()()1,1f 处的切线方程为()()1y b a b x -=--, ∵切线过点(3,0),()()031b a b ∴-=--,即2b a =, ()()22ln 12ln 'a x a a a xf x x x ---∴==-令()'0f x =,解得1x e =, ①当(]0,2a ∈时, 10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增, 1,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调递减②当(),0a ∈-∞时, 10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减, 1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调递增 2.原题等价方程ln 222a x a a x x x-=+--在(]0,2只有一个根,即()22ln 220x a x a x a -++++=在(]0,2只有一个根, 令()()22ln 22h x x a x a x a =--+++,等价函数()h x 在(]0,2与轴只有唯一的交点, ()()()21'x a x h x x--∴=①当0a <时, ()h x 在()0,1x ∈递减, (]1,2x ∈递增,当趋近于0,()h x 趋近于正无穷 要是函数()h x 在(]0,2与轴只有唯一的交点需()10h =或()20h <, 所以 1a =-或2ln 2a <-②当()0,2a ∈时, ()h x 在0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭递增, ,12a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭递减, (]1,2x ∈递增, 因为()1102a h h a ⎛⎫>=+> ⎪⎝⎭,当趋近于0,()h x 趋近于负无穷,因为()45420h e e e ---=--<, 所以()h x 在0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭与轴只有唯一的交点 ③当2?a =时, ()h x 在(]0,2的递增, ∵()()45420,22ln20h e e e h ---=--<=+> ,∴函数()h x 在(]0,2与轴只有唯一的交点, 综上所述, a 的取值范围是 1a =-或2ln 2a <-或02a <≤.解析：17答案及解析：答案：1. ()2'32f x x bx c =++.因为在2x =-和23x =处取得极值, 所以22,3-,为2320x bx c ++=的两个根,所以222332233b c⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩所以24b c =⎧⎨=-⎩所以()32242f x x x x =+-+.2. ()2'344f x x x =+-.令()'0f x >,则2x <-或23x >, 所以函数()f x 的单调递增区间为()2,2,,3⎛⎫⎪⎝∞-+∞⎭-; 令()'0f x <,则223x -<<,所以函数()f x 的单调递减区间为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.解析：。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-11函数的单调性与极值建议用时实际用时满分实际得分45分钟一、选择题（每小题5分）1.关于函数的极值，下列说法正确的是（）A.导数为0的点一定是函数的极值点B.函数的极小值一定小于它的极大值C.在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D.若在内有极值，则在内不是单调函数2.函数的极值点个数为( )A．2 B．1C．0 D．由a确定3.已知是R上的单调增函数,则b的取值范围是( )A.{b|b-1或b2}B.{b|b-1或b2}C.{b|-2b1}D.{b|-1b2}4.函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则等于( )A．9B．－9C．1 D．－1二、填空题（每小题5分）5.函数的极值点个数为.6.若函数f(x)＝a －3x 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是.7.已知f(x)＝+1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.三、解答题（共55分）8.(10分)设1x =和2x =是函数3()f x ax =+261bx x ++的两个极值点. (1)求a ，b 的值(2)求()f x 的单调区间.9.(12分)已知函数323()(32af x x x a =-++1)1x +其中a 为实数. （1）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）已知不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.10.(10分)设函数，其中≠0．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．11.（8分）已知函数讨论函数f(x)的单调性12.(15分)已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(2)求()f x 的单调区间；(3)设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围1.D 解析：函数在处取得极值⇔，且，故A 不正确；极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间，一般来说没有大小关系，故B 不正确； 函数在定义域内可能有多个极大值和多个极小值，故C 不正确；若在内有极值，则在内不是单调函数，正确.故选D ．2.C 解析：因为恒成立，所以f(x)无极值.3.D 解析：因为是R 上的单调增函数，所以对x ∈R 恒成立，即解得.4.C 解析：，由，得的两个解，则＝1.5.0解析：因为恒成立，所以f(x)无极值.6.a ≤1 解析：f ′(x)＝3a －3，由题意知f ′(x)≤0在 (－1,1)上恒成立．若a ≤0，显然有f ′(x)＜0；若a ＞0，由f ′(x)≤0，得－≤x ≤，于是≥1，∴ 0＜a ≤1.综上知a ≤1.7.(] 解析：已知当时，f(x)是减函数.所以，(1)当时，由，知在R 上是减函数；(2)当时，，由函数在R 上的单调性，可知当时，在R 上是减函数；(3)当时，在R 上存在一个区间，其上有所以，当时，函数在R 上不是减函数.综上，所求a 的取值范围是.8.解：（1）2()326f x ax bx '=++，由已知可得(1)3260f a b '=++=，2(2)322260f a b '=⨯+⨯+=.解得91,.2a b ==- (2)由（1）知22'()3963(32)3(1)(2).f x x x x x x x =-+=-+=--当(,1)(2,)x ∈-∞+∞∪时，()0f x '>； 当(1,2)x ∈时，()0f x '<. 因此()f x 的单调增区间是(,1),(2,),-∞+∞()f x 的单调减区间是(1,2).9.解：(1)2()3(1)f x ax x a '=-++.由于函数()f x 在1x =处取得极值，所以有(1)0f '=，即3101a a a -++=⇒=.（2）由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立， 即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立. 于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22202x x x +≤+.20x ∴-≤≤. 从而实数x 的取值范围为20x -≤≤. 10.证明：因为，，所以的定义域为（0，+∞）,．当时，如果＞0，＞0，，在（0，+∞）上单调递增；如果＜0，＜0，＜0，在（0，+∞）上单调递减．所以当＞0，函数没有极值点．当＜0时，.令，得（舍去），，当＞0，＜0时，，随的变化情况如下表：从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为.当＜0，＞0时，，随的变化情况如下表：从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为.综上所述，当＞0时，函数没有极值点；当＜0时，若＞0，＜0时，函数有且只有一个极小值点，极小值为若＜0，＞0时，函数有且只有一个极大值点，极大值为.11.解：当（2）当时，函数上单调递增，最大值为12.解：(1)由已知1()2(0)f x x x'=+>，(1)213f '=+=. 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3.(2)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>.①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >，所以函数()f x 的单调递增区间为.②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-. 在区间1(0,)a -内，()0f x '>；在区间1(,)a -+∞内，()0f x '<，所以函数()f x 的单调递增区间为1(0,-)a ，单调递减区间为1(-,)a+∞.(3)由已知，转化为max max ()()f x g x <，max ()2g x =.由(2)知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.) 当0a <时，函数()f x 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减， 故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， 所以21ln()a >---，解得31e a <-。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1第4章章末质量评估一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A．y＝sin2x B．y＝x e2C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln(1＋x)解析：对于B项，y′＝(x e x)′＝e x＋x e x，当x>0时，y′>0恒成立．答案： B2．如果函数y＝f(x)的图象如右图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是下图中的( )解析：由f(x)的图象可知，函数f(x)从左至右有四个单调区间，依次为递增、递减、递增、递减，故f′(x)的图象从左至右应有四个部分，其函数值依次为正、负、正、负，故选A.答案： A3．设f(x)＝x a－ax(0<a<1)，则f(x)在[0，＋∞)内的极大值点为x0等于( )A．0 B．aC．1 D．1－a解析：令f′(x)＝ax a－1－a＝0(0<a<1)，得x a－1＝1，所以x＝1.答案： C4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在点x＝－3处取得极值，则a等于( ) A．2 B．3C．4 D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在点x＝－3处取得极值，所以f′(－3)＝3×(－3)2－6a＋3＝0，所以a＝5.答案： D5．已知函数f(x)＝x ln x，若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于( )A．1 B．－1C ．±1D ．不存在解析： 因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，于是有x 0ln x 0＋ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1或x 0＝－1(舍去)，故选A.答案： A6．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]解析： f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x≤0.考虑到定义域x ＞0，故x 2－1≤0. 答案： A7．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析： 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x >0)， ∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)，令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值又是函数的最大值点．答案： A8．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析： 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如上图所示，函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．答案： A9．已知函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)<f (1) C ．f (－1)>f (1)D ．无法确定解析： f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f (x )＝x 2－4x . ∴f (1)＝－3，f (－1)＝5. 答案： C10．已知函数f (x )＝13x 3－3x ，则函数f (x )在区间[－2,2]上取得最大值的点是( )A ．0B ．－2C ．2D ．－ 3解析： ∵f ′(x )＝x 2－3，令f ′(x )＝0，则x ＝± 3.又f (－2)＝103，f (－3)＝23，f (3)＝－23，f (2)＝－103.∴f (x )在区间[－2,2]上的最大值为23，其对应点为－ 3. 答案： D11．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13D ．a <－13解析： f ′(x )＝3＋a e ax ，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f ′(x )＝3＋a e ax ＝0有正根．当f ′(x )＝3＋a e ax ＝0成立时， 显然有a <0，此时x ＝1a ln(－3a)，由x >0，得0<－3a<1，所以参数a 的范围为a <－3.答案： B12．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析： y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e x ＋1ex ＋2又e x ＋1ex ≥2∴－1≤y ′<0，即－1≤k <0 ∴34π≤α<π 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝12x 2－1x (x <0)的最小值是________．答案：3214．函数f (x )＝x ln x (x >0)的单调递增区间是________． 解析： ∵f (x )＝x ln x ， ∴f ′(x )＝ln x ＋1.由f ′(x )≥0，即ln x ＋1≥0，∴x ≥1e.∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞. 答案： ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞15．已知函数f (x )＝103x 3＋3x 2＋2，若f ′(a )＝4且a ∈{a |a 2－2a >0}，则a ＝________.解析： 因为f ′(x )＝10x 2＋6x ，所以f ′(a )＝10a 2＋6a ＝4，所以a ＝－1或a ＝25，又因为a 2－2a >0，所以a <0或a >2，所以a ＝－1.答案： －116．如果函数f (x )＝－x 3＋bx (b 为常数)，且y ＝f (x )在区间(0,1)上单调递增，并且方程f (x )＝0的根在区间[－2,2]内，则b 的取值范围是________．解析： ∵f ′(x )＝－3x 2＋b >0(0<x <1)，b >3x 2(0<x <1)，故b ≥3，又f (x )＝0的根在区间[－2,2]，故有±b ∈[－2,2]，∴b ≤2，b ≤4，∴3≤b ≤4.答案： [3,4]三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)求函数f (x )＝13x 3－x 2－8x ＋1(－6≤x ≤6)的单调区间、极值．解析： ∵f (x )＝13x 3－x 2－8x ＋1，∴f ′(x )＝x 2－2x －8，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝4.当x ∈(－6，－2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2,4)时，f ′(x )<0； 当x ∈(4,6)时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调增区间为[－6，－2]，[4,6]， 单调减区间为[－2,4]．当x ＝－2时，f (x )取得极大值f (－2)＝313；当x ＝4时，f (x )取得极小值f (4)＝－773.18．(12分)将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？解析： 设弯成圆的一段长为x ，另一段长为100－x ，记正方形与圆的面积之 和为S ，则S ＝π(x 22π)2＋(100－x 4)2(0<x <100)．S ′＝x 2π－18(100－x )．令S ′＝0，则x ＝100ππ＋4(cm)．由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100ππ＋4cm 时，面积之和最小．故当截得弯成圆的一段长为100ππ＋4cm 时，两种图形面积之和最小． 19．(12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋2bx 在点x ＝1处有极小值－1.试确定a 、b 的值，并求出f (x )的单调区间．解析： f (1)＝1－3a ＋2b ＝－1，又f ′(x )＝3x 2－6ax ＋2b ， ∴f ′(1)＝3－6a ＋2b ＝0，∴a ＝13，b ＝－12.∴f (x )＝x 3－x 2－x ，∴f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)． 当x <－13或x >1时，f ′(x )>0；当－13<x <1时，f ′(x )<0.∴f (x )的单调增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调减区间为(－13，1)．20．(12分)已知某商品生产成本y 与产量x 的函数关系式为y ＝100＋4x ，价格m 与产量x 的函数关系式为m ＝25－x8.求产量x 为何值时，利润L 最大？ 解析： 总的收入是mx ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫25－x 8＝25x －18x 2， 所以L ＝⎝⎛⎭⎪⎫25x －x 28－(100＋4x )＝－x 28＋21x －100(0<x <200)，所以L ′＝－14x ＋21，由L ′＝0，即－14x ＋21＝0，得x ＝84.当x <84时，L ′>0，当x >84时，L ′<0，所以函数在x ＝84处取得极大值，并且这个极大值就是L 的最大值，即产量为84时，利润最大．21．(12分)设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解析： (1)f ′(x )＝a x＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f ′(2)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，12a ＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝－16.(2)x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) －＋－f (x )极小值极大值∴在x ＝1处，函数f (x )取得极小值56；在x ＝2处，函数f (x )取得极大值43－23ln2.22．(14分)已知f (x )＝x ＋mx(m ∈R)，(1)若m ＝2，求函数g (x )＝f (x )－ln x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上的最大值； (2)若函数y ＝log 12[f (x )＋2]在区间[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解析： (1)当m ＝2时，g (x )＝x ＋2x－ln x (x >0)，则g ′(x )＝1－2x 2－1x ＝x 2－x －2x2，由 g ′(x )＝x 2－x －2x2<0，得x 2－x －2<0. 又x >0，可解得0<x <2，即函数g (x )在(0,2)上单调递减，从而函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减，故g (x )的最大值为g (1)＝3.(2)令h (x )＝f (x )＋2，则由条件得h (x )在区间[1＋∞)上是增函数，且h (x )>0在区间[1，＋∞)恒成立，而h ′(x )＝f ′(x )＝1－mx2≥0，则m ≤x 2在区间[1，＋∞)上恒成立，得m ≤1.又f(x)＋2>0在区间[1，＋∞)恒成立，得f(1)＋2>0，即m>－3，所以实数m的取值范围是(－3,1]．。

27.函数的单调性与导数教学目标 班级____姓名________1.掌握函数单调性与导数的关系.2.能够利用导数研究函数的单调性.3.会求函数的单调区间.教学过程一、函数单调性与导数（正负）的关系.（函数单调性是局部性质）1.（1）函数递增的充分条件：0)('>x f ；（2）函数递减的充分条件：0)('<x f .2.（1）函数递增的充要条件：①0)('≥x f ，②0)('=x f 不连续；（2）函数递减的充要条件：①0)('≤x f ，②0)('=x f 不连续.3.求函数的单调区间.（1）求定义域；（①分式：分母0≠；②偶次根式：被开方数0≥；③对数式：真数0>）（2）求导函数；（3）解不等式；（利用函数递增（递减）的充要条件列不等式）（4）下结论.（若单调区间不止一个，不能用“ ”连接，只能用“逗号”或“和”字连接.）二、函数变化快慢与导数（增减）的关系.1.若)('x f 递增，则函数)(x f y =为凹函数；（“越增越快”或“越减越慢”）2.若)('x f 递减，则函数)(x f y =为凸函数.（“越增越慢”或“越减越快”）三、例题分析.1.求函数单调区间.例1：求下列函数的单调区间：（1）x x x f 3)(3-=； （2）)0(ln )(2>-=a x a x x f .练1：（1）求函数a x x y +-=42的单调区间；（2）求函数)0(ln >-=a ax x y 的单调区间.2.函数的变化快慢与导数的关系.例2：如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．练2：已知)('x f 是)(x f 的导函数，)('x f 的图象如图所示，则)(x f 的图象只可能是( )作业：求函数x x y -=ln 的单调区间.。