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伯努利方程伯努利方程是描述理想流动的基本方程之一，它是在瑞士数学家伯努利(James Bernoulli)在1738年发表的一篇论文中提出的。
该方程对于理解流体力学以及飞行、水力、空气动力学等领域具有重要的应用。
伯努利方程是基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律推导而来的方程。
该方程表达式为：P + ½ρv² + ρgh = 常数其中，P为流体的压力，ρ为流体的密度，v为流体的速度，h为流体的高度，g为重力加速度。
伯努利方程是在假设部分没有粘性损失的情况下成立的，也就是无黏性流动。
在实际的情况下，流体会存在一定的粘性损失，因此伯努利方程只适用于无粘流体，但在低速流动下，伯努利方程可近似地应用于粘性流体。
对于伯努利方程，我们可以从以下角度来解释其中的每个项：① P：压力项，它表示了流体在流动过程中所受到的压力。
当流体速度增加时，压力往往会降低，例如在突缩管中，当管道的截面积变小时，流体的速度会增加，而压力会降低。
②½ρv²：动能项，它表示了流体的动能。
在流体的流动过程中，当速度增加时，动能也会增加，例如在水力发电站中，当水流的速度增加时，水的动能也会增加，从而推动水轮发电。
③ρgh：势能项，它表示了流体的势能。
当流体在重力作用下流动时，流体会从高处向低处移动，势能也随之降低。
例如当我们用pump把水从低处抽到高处时，水的势能就会增加。
由于伯努利方程中的常数在同一条流线上保持不变，因此可以利用伯努利方程来分析流体在不同位置的流速、压力和高度之间的关系。
这在飞行、水利及空气动力学等领域的设计和应用中具有重要的作用。
伯努利方程的应用十分广泛。
例如在空气动力学领域中，伯努利方程被用来解释飞机起飞、飞行、着陆过程中的颤振等现象。
在水利工程领域中，伯努利方程被用来计算水流在不同地方的速度、压力和高度等因素，对于设计水坝、水龙头、流量计等工程设施具有重要的作用。
总之，伯努利方程作为理解流体力学基本方程之一，不仅在理论研究中具有广泛的应用，也在实际的设计和应用中具有十分重要的意义。
关于伯努利方程的知识讲解把一个乒乓球放在倒置的漏斗中间(图8－29)，向漏斗口吹气，会把乒乓球吹跑吗？实际正好相反，乒乓球会贴在漏斗上不掉下来．平行地竖放两张纸，向它们中间吹气，会把两张纸吹开吗？实际正好相反，两张纸会贴近(图8－30)．怎样解释上述现象呢？现象中涉及空气的流动．你可能不会想到，解释上述现象，跟说明飞机能够上天，用的是同一个道理，这就是流动的流体中压强和流速的关系．通常把液体和气体统称流体。
这一节把功能关系应用到流动的流体中，推导压强和流速的关系．研究流体的流动，是一门复杂的学问．初步进行研究，需要作一些限定，采用简单的物理模型，这就是理想流体的定常流动．理想流体液体不容易被压缩，在不十分精确的研究中可以认为液体是不可压缩的．气体容易被压缩，但在研究流动的气体时，如果气体的密度没有发生显著的改变，也可以认为气体是不可压缩的．流体流动时，速度不同的各层流体之间有摩擦力，也就是说，流体具有粘滞性．不同的流体，粘滞性不同．油类的粘滞性较大，水、酒精的粘滞性较小，气体的粘滞性更小．研究粘滞性小的流体，在有些情况下可以认为流体没有粘滞性．不可压缩的、没有粘滞性的流体，称为理想流体．定常流动观察一段河床比较平缓的河水的流动，你可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化．河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变．河水的这种流动就是定常流动．流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动就叫做定常流动．自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看作定常流动．流体的流动可以用流线形象地表示．在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹．图8－31是液体流过圆柱体时流线的分布．AB处液体流过的横截面积大，CD处液体流过的横截面积小，液体在CD处流得急，流速大．AB处的流线疏，CD处的流线密．这样，从流线的分布可以知道流速的大小．流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大．伯努利方程现在研究理想流体做定常流动时，流体中压强和流速的关系．图8－32表示一个细管，其中流体由左向右流动．在管的a1处和a2处用横截面截出一段流体，即a1处和a2处之间的流体，作为研究对象．a1处的横截面积为S1，流速为v1，高度为h1．a1处左边的流体对研究对象的压强为p1，方向垂直于S1向右．a2处的横截面积为S2，流速为v2，高度为h2．a2处右边的流体对研究对象的压强为p2，方向垂直于S2向左．经过很短的时间间隔Δt，这段流体的左端S1由a1移到b1，右端S2由a2移到b2．两端移动的距离分别为Δl1和Δl2．左端流入的流体体积为ΔV1=S1Δl1，右端流出的流体体积为ΔV2=S2Δl2，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，ΔV1=ΔV2，记为ΔV．现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功．作用在左端的力F1=p1S1，所做的功W1=F1Δl1=p1S1Δl1=p1ΔV．作用在右端的力F2=p2S2，所做的功W2=-F2Δl2=-p2S2Δl2=-p2ΔV．外力所做的总功W=W1＋W2=(p1-p2)ΔV．(1)外力做功使这段流体的机械能发生改变．初状态的机械能是a1到a2这段流体的机械能E1，末状态的机械能是b1到b2这段流体的机械能E2．由b1到a2这一段，经过时间Δt，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度ρ和各点的流速v没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变．这样，机械能的改变E2-E1就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能．力势能为mgh2=ρgh2ΔV．机械能的改变为右边对这段液体的的作用力向左，而这段液体的位移向右，所以功是负值。
浅析气体动力学原理——伯努利方程例解气体动力学作为一门研究物体运动的科学，是研究物理学的重要组成部分。
在气体动力学中有许多定律，伯努利方程是其中最基础也最重要的定律之一。
本文将对伯努利方程的原理及其在例题中的解法进行浅析。
一、伯努利方程原理伯努利方程（Bernoulli equation），又称为贝纳方程，是气体动力学的基本方程，由拉丁物理学家Daniel Bernoulli于1738年发现，他发现在一个恒定的系统中，当沿着系统上流动的流体（一般情况下是气体）改变速度和高度，其内能总量是不变的，这一定律叫做伯努利定律。
伯努利方程可以概括为：P +γV +gh = k（γ是气体的比容系数，V是气体流速，h是气体高度，P是气体压强，g是重力加速度，k是常数）式中，其中P +γV体现了气体的动能，gh表示气体的位能，两者之和即为气体的总能量，而k则表示该总能量在系统中是恒定的。
二、伯努利方程在例题中的解法1.设有一个气体在一定的容器中，容器的高度是 h1，而此时气体的压强为P1，流速为V1，则由伯努利方程可知：P1 +γV1 +gh1 = k2.气体流出容器时，留下来的气体高度为h2，压强为P2，流速为V2，由伯努利方程可知：P2 +γV2 +gh2 = k3.上面两公式代入可得：P1 +γV1 +gh1 = P2 +γV2 +gh24.两边中的P1,V1,h1分别消去可得：P2 =γ(V2 - V1) +(h2 - h1)5.此可以看出，当流体从一个容器流出到另一容器时，流体的压强受其高度的变化以及流体的流速变化的影响。
三、结论伯努利方程是气体动力学中重要的基础定律，它描述了在一定系统中流体运动时总能量保持不变的定律。
本文通过一个具体的例子，讲解了伯努利方程的原理及其在例题中的解法，从而使我们对伯努利方程有了更深的理解。
指导教师：冯录祥作者简介：朱升军(1986-)，男，陕西商洛人，数学与应用数学专业2006级1班.伯努利（Bernoulli ）方程的求解研究朱升军（宝鸡文理学院 数学系，陕西 宝鸡 721013）摘 要： 通过对伯努利（Bernoulli ）方程的常规的解法进行进一步的探讨，总结出使求解过程简化的具体做法.通过几种不同的解法从而更深了解和掌握伯努利（Bernoulli ）方程.关键词 ：伯努利方程;常数变易法;分离变量法;一阶线性微分方程；恰当方程1 引言形如()()nd y P x y Q x y d x=+(1)的方程，称为伯努利（Bernoulli ）方程.这里()P x 、()Q x 为x 的连续函数，0n ≠、1是常数.它是一个应用较广的微分方程，它的解法也比较多，下面我们介绍它的几种不同的解法.2 常数变易法方程(1)可写成()()nd y P x y Q x yd x-=我们先解出齐次方程()0d y P x y d x-= (2)的解，即()d y P x yd x= (3)对(3)两边同时求积分得1ln ()y P x dx c =+⎰即()P x d xy ce ⎰= (其中c 为常数) (4)把(2)的解(4)中的常数变易为函数()c x ，即()()P x d xy c x e ⎰= (5)假如(5)是(1)的解，则()()()()()()()()()()()P x dxP x dxP x dxn P x dx nc x e c x e P x c x e P x Q x c x e ⎰⎰⎰⎰'+=+,整理得(1)()()()()n P x dxnc x Q x c x e-⎰'=,解得(1)()1()(1)()n P x dx ncx n Q x edx c--⎰=-+⎰,即1(1)()1()[(1)()]n P x dxnc x n Q x ed x c --⎰=-+⎰,伯努利方程(1)的通解为1(1)()()1[(1)()]n P x dxP x dxn y n Q x ed x c e--⎰⎰=-+⎰.此外方程还有解0y=. 例1 求方程33d y xy x yd x+=的通解.解 方程对应的齐次方程为0d y xy d x+=.当0y ≠时，有变量分离法得通解为212xyce-=,设原方程的通解为212()xyc x e-=,微分得221122()()xxy c x ec x ex--''=-把上式代入原方程并两边微分233()()xc xd x x ed xcx -'=⎰⎰得22211()22xcx x d e---=-⎰,即2222()xxcx x eec---=++,代入所设的通解中得原方程的通解为222(1)1xx cey ++=此外，0y =也是方程的解.上列举出了伯努利方程中存在0y=的解，但有的方程中则不存在.如432d y x y d xxy+=，将其化简在化为齐次方程得d y y d xx=求得通解为y cx =.常数变易为()y c x x=，代入原方程得2()()()()c x x c x c x xcx -'+=+即2()()c x cx -'=，解得3()c x x c=+.所以原方程的通解为33()y x x c =+.此方程得通解中虽然包含有0y =的情况，但代回原式就不成立了，因为原式中就隐含有0y≠的情况.3 转化成一阶线性微分方程在方程(1)中令1ny z-=,从而(1)nd z d y n yd xd x-=-代入(1)得(1)()(1)()d z n P x z n Q x d x=-+- (6)解方程(6)得(1)()(1)()[(1)()]n P x d xn P x d x z e n Q x ed x c ---⎰⎰=-+⎰而1nzy-=，即1()(1)()1[(1)()]P x d xn P x d xny en Q x ed x c --⎰⎰=-+⎰为伯努利方程的通解，此外还有解0y=.例2 求方程26d y y xyd xx =-的通解.解 这是2n=时的伯努利方程，令1z y-=，算得2d z d y yd xd x=-代入原方程得到6d z z xd xx =-+这是线性方程，求得它的通解为268c xz x=+代回原来的变量y ，得到2618c xy x=+或者688xxcy-=这就是原方程的通解，此外方程还有解0y =.4 化为恰当方程在方程(1)两端同时乘以n y -得 1()()nnd y yP x yQ x d x--=+ (7)对(7)式进行整理得 1[()()]0nnP x y Q x dx ydy --+-=(8)其中记1()()nM P x y Q x -=+nN y-=-(1)()(1)()n nM N n yP x yxn P x Ny--∂∂--∂∂==--这样记(1)()1n P x dxeμ-⎰=为(8)的积分因子，把1μ乘以(8)的左右两端得(1)()(1)()(1)()1()()0n P x dxn P x dxn P x dxnnP x ye dx Q x e dx ye dy -----⎰⎰⎰+-=，整理得(1)()(1)()(1)()1()()n P x dx n P x dxn P x dx nn P x ye dx y e dy Q x e dx -------⎰⎰⎰-+=，对左右两端凑微分得(1)()(1)()1(1)()n P x dx n P x dx ndye n Q x e dx----⎰⎰=-，两端同时积分化简得1()(1)()1[(1)()]P x d xn P x d xny en Q x ed x c --⎰⎰=-+⎰，由以上可以看出1μ是(8)的积分因子，而(8)是由(1)两端乘以n y -得到的，所以(1)的积分因子为μ=n y -1μ，即(1)()n P x d xnye μ=--⎰因此，在求(1)的通解时可直接使用积分因子1z μ.例3 求上例的通解解 该方程为伯努利方程，两边同乘以2y -得26d y yxd xxy-=-即26()0x d x yd y xy---= (9)其中26,Mx N yxy-=-=-2266M N yxxyNyx-∂∂--∂∂==-.所以该方程的积分因子为6226d xx y eyxμ--⎰=-=，用μ乘以(9)的两边得5172660x y dx x dx yx dy ----=，凑微分得6181()8d x yd x-=即8618xxyc-=+或者688xxcy=+.此外0y =也是该方程的解.5 微积分法定理〔4〕 设()P x 、()Q x 是两个可积函数，则伯努利方程()()nd y P x y Q x yd x+=的通解是()P x d xye μ-⎰=，其中()x μ是方程(1)()1()n P x d xnd Q x ed xμμ-⎰=⎰⎰的通解.证明 由()P x d xye μ-⎰=得()()''()P x dxP x dx y e P x e μμ--⎰⎰=-代入伯努利方程整理得'(1)()()n P x d xnQ x eμμ-⎰=积分得(1)()1()n P x d xnd u Q x ed xμ-⎰=⎰⎰这就是()x μ所要满足的方程.例4 解微分方程22(ln )d y y x y d xx+=解 原方程中的1()P x x=-则设原方程的解为1d xx y exμμ-⎰==则''2x yxμμ-=代入原方程得'2ln 2x xμμ=积分得21ln c xμ=-从而原方程的解为2(ln )1yx c x -=.最后指出，一般的一阶微分方程不一定都能用初等解法来解.下面介绍一种方程就是这样，而且是经过证明的.形如2()()()d y P x y Q x y f x d x=++ (10)的方程叫Riccati 方程，右端是y 的二次式，()P x ，()Q x ，()f x 是x 的连续函数.设方程(10)的一个特解为()y x ϕ=，这时利用变换可以求出方程(10)的所有解.令()yu x ϕ=+,于是由方程(10)，有2()[()]()[()]()d u d P x u x Q x u x f x d xd xϕϕϕ+=++++=2()[2()()()]P x u P x x Q x u ϕ++2()()()()()P x x Q x x f x ϕϕ+++因为()yx ϕ=是方程(10)的解，所以有2()()()()()()d x P x x Q x x f x d xϕϕϕ=++代入上式得到2()[2()()()]d u P x u P x x Q x ud xϕ=++这是Bernoulli 方程，可解出该方程的解u ，从而()y u x ϕ=+为方程(10)的所有解.然而求方程(10)的一个特解，并没有一个统一的方法，只能凭观察等方法找到. 致谢：本论文在写作过程中的到冯录祥老师的大力指导，在此表示衷心的感谢.参考文献：［1］ 王高雄，周之铭，朱思铭，王涛松.常微分方程［M ］.北京：高等教育出版社，1983. ［2］ 时空，皇朝炎.微分方程基础及其应用［M ］.北京：科学出版社，2007. ［3］ 蔡燧林. 常微分方程［M ］.武昌：武汉大些出版社，2003.［4］ 樊映川.高等数学讲义(下册)［M ］.北京：高等教育出版社，1975.The research on the solution of Bernoulli equationZHU Sheng-jun(Department of Mathematics, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji 721013, Shannxi, China ）Abstract ： By doing the further research on the routine solution of Bernoulli equation, we cansummarize the specific methord which can make the solution simplify.By discussing several different solutions,we can have a better understanding of Bernoulli equation.Key words: Bernoulli equation;Constant variation;Separation of variables;First order lineardifferential equations;Appropriate equation。
伯努利方程及其特异解分析伯努利方程（Bernoulli's equation）是物理学和工程学中经典的方程之一，用于分析和描述流体的动力学和流体力学。
它的形式如下：$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=C$其中，$p$表示流体的静止压力，$\rho$表示流体密度，$v$表示流体的速度，$h$表示流体的高度，$g$表示重力加速度，$C$为常数。
伯努利方程采用了能量守恒原理，即流体的总能量在管道或介质中的任意两点是相等的。
这意味着，若在某一位置流速增加，则与之相对应的静态压力下降。
这种关系在所谓的伯努利效应中非常明显，它解释了为什么过狭缝流动的液体速度较高，而从狭缝出来时压力较低的现象。
伯努利方程的一般解可以通过积分和代数法求得，但对于一些特殊的情况，我们可以采用特定的技巧找到更简单的解析解，这些特殊解被称为特异解（particular solutions）。
下面，我将介绍几个常见的伯努利方程特异解的情况。
1. 管道水平流动对于管道水平流动的情况，即$h$不变，$g=0$，$p_1=p_2$，我们可以将伯努利方程简化为：$\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1=\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2$其中，$v_1$和$v_2$分别是管道两端的流体速度，$h_1$和$h_2$分别是管道两端的高度。
这个方程告诉我们，即使管道的横截面积不同，流体速度和高度也会自适应的变化，以使得伯努利方程仍然成立。
2. 自由落体式另一种特殊情况是自由落体式，即$h_1=h_2$，$v_1=0$，$p_1=p_2$。
在这个情况下，伯努利方程可以简化为：$\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2=0$我们可以发现，在自由落体的过程中，液体的速度随着高度的减小而增加，最终达到终端速度。
这种情况也可以被称为终端速度受限，即因为液体的粘滞性和摩擦阻力，流体速度最终达到一个稳定值。
