一元一次方程的解法及应用.学生版

一元一次方程的解法与应用一、一元一次方程的概念1.1 认识一元一次方程：形如ax + b = 0（a、b为常数，a≠0）的方程称为一元一次方程。

1.2 了解一元一次方程的组成：未知数（变量）、系数（a、b）、常数、等号。

1.3 掌握一元一次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解。

二、一元一次方程的解法2.1 公式法：根据一元一次方程的定义，可得方程的解为x = -b/a。

2.2 移项法：将方程中的常数项移到等号另一边，未知数移到等号另一边，得到x = -b/a。

2.3 因式分解法：将方程转化为两个因式的乘积等于0的形式，根据零因子定律求解。

三、一元一次方程的应用3.1 实际问题：将实际问题转化为一元一次方程，求解未知数。

3.2 线性方程组：由多个一元一次方程构成的方程组，可通过消元法、代入法等求解。

3.3 函数图像：一元一次方程对应的函数为直线，了解直线的斜率、截距等性质。

3.4 几何问题：利用一元一次方程描述几何图形的位置关系，如直线与坐标轴的交点、两点间的距离等。

四、一元一次方程的巩固练习4.1 编写练习题：设计具有实际意义的一元一次方程，让学生运用解法求解。

4.2 判断题：判断给定的一元一次方程是否正确，解释原因。

4.3 改写方程：将给定的一元一次方程改写为不同形式，如移项、合并同类项等。

五、一元一次方程的拓展知识5.1 方程的解与不等式的关系：一元一次方程的解集可表示为对应不等式的解集。

5.2 一元一次方程的推广：含有未知数的乘积、商的一元一次方程，以及分式方程等。

5.3 方程的解与函数的关系：一元一次方程的解为对应函数的零点。

总结：通过本知识点的学习，学生应掌握一元一次方程的概念、解法、应用以及拓展知识，能够运用一元一次方程解决实际问题，并为后续学习更复杂的方程打下基础。

习题及方法：1.习题：解方程 2x - 5 = 3。

答案：x = 4解题思路：将常数项移到等号右边，未知数项移到等号左边，得到2x = 8，再将方程两边同时除以2得到x = 4。

第三章 一元一次方程专题复习（学生版）一．知识网络结构二．知识要点剖析知识点一.等式与方程1．等式：表示_____关系的式子.等式的基本性质（方程的同解原理）：等式的性质1：等式两边加（或减）___一个数（或式子），结果仍_____。

即:若a=b ，则a ±c ＝b_____；(c 为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个________的数，结果仍相等。

即:若a=b ，则ac=b___, cbc a （c_____0）其它性质：若a=b ，b=c,则a=c （传递性）．注意：等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意式性质成立的条件． 2.方程：含有______的等式叫方程．方程的解:能使方程左右两边________的未知数的值.注意：等式、方程含有等号, 方程是含有未知数的等式； 代数式不含等号；不等式含不等号. 知识点二.一元一次方程（1）定义：只含有_____未知数，并且未知数的次数是_____（次），系数_________的整式方程．（2）一般形式：______________(其中x 是未知数，a,b 是已知数，且a ≠0). 注意：（1）一元一次方程必须满足的3个条件： 只含有一个未知数； 未知数的次数是1次； 整式方程． （2）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等. 知识点三.一元一次方程的解法思路：通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x ＝a 的形式。

解一元一次方程的一般步骤： 知识点四.列一元一次方程解应用题 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：①审题，②_______，③_________，④解方程，⑤检验，⑥________． 解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答。

注意：(1)在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母x 表示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含x 的代数式表示。

一元一次方程应用题的解法一、直列法。

即由题中的“和”、“少”、“倍”等表示数量关系的字眼，直接列出相关的方程。

例1 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？分析：显然，人员调动完成后，甲处人数＝2×乙处人数。

解：设调x人到甲处，则调（20-x）人到乙处，由题意得：27+x=2(19+20-x)，解之得x＝17∴20-x＝20－17＝3（人）答：应调往甲处17人，乙处3人。

二、公式法。

学生熟识的公式诸如“路程＝速度×时间”、“工作总量＝工作效率×工作时间”、“利润＝售价－进价”、“利润率＝利润/进价”等都是解答相关方程应用题的工具。

例2 商品进价1800元，原价2250元，要求以利润率不低于5%的售价打折出售，则此商品最低可打几折出售？分析：根据利润率公式，列出方程即可。

解：设最低可打x折。

据题意有：5%=（2250x-1800）/1800，解之得x＝0.84答：最低可打8.4折。

三、总分法。

即根据总量等于各分量之和来列出方程，用此法要注意分量不可有所遗漏。

例3 “过路的人！这儿埋葬着丢番图。

请计算下列题目，便可知他一生经过了多少寒暑。

他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。

再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。

五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。

晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。

请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？”分析：本题即是著名的丢番图的“墓志铭”，题中巧妙地把丢番图的总年龄划分为了几个部分，解题时只需运用其总年龄＝各部分年龄的和即可得出解答。

解：设丢番图活了x年。

据题意可得：x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4解之得x＝84答：丢番图共活了84岁。

由此题的解答，我们还可知道古希腊的这位大数学家丢番图33岁结婚，38岁得子，80岁死了儿子，儿子活了42岁等。

一元一次方程解法步骤一元一次方程是初中数学教学中的重点和难点,在教学过程中教师和学生都有有心无力的感觉,如何将一元一次方程与实际应用更好地结合起来是教学一元一次方程中的核心问题，什么是一元一次方程呢？怎么解呢？下面是店铺整理的什么是一元一次方程，欢迎阅读。

什么是一元一次方程只含有一个未知数、未知数的最高次数为1的等式叫做一元一次方程(linear equation in one unknown);使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(solution)一元一次方程基本信息标准形式一元一次方程的标准形式(即所有一元一次方程经整理都能得到的形式)是ax=b( )。

其中是未知数的系数，是常数，是未知数。

未知数一般常设为 , , 。

方程特点(1)该方程为整式方程。

(2)该方程有且只含有一个未知数。

(3)该方程中未知数的最高次数是1。

满足以上三点的方程，就是一元一次方程。

判断方法要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。

若是，再对它进行整理。

如果能整理为的形式，则这个方程就为一元一次方程。

里面要有等号，且分母里不含未知数。

变形公式( ，为常数，为未知数，且 )求根公式一元一次方程的标准形式：ax+b=0 (a≠0)其求根公式为：x=-b/a一元一次方程只有一个根通常解法去分母→去括号→移项→合并同类项→未知项系数化为1(即化为x=a的形式)两种类型(1)总量等于各分量之和。

将未知数放在等号左边，常数放在右边。

如：。

(2)等式两边都含未知数。

如：，。

方程举例3y=-15z+2=52x=15a+4=13×32都是一元一次方程。

一元一次方程起源“方程”一词来源于中国古算术书《九章算术》。

在这本著作中，已经列出了一元一次方程。

法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。

在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。

主要用途一元一次方程通常可用于做应用题，如工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题等。

小学生解一元一次方程的基本方法一、了解一元一次方程的基本概念和性质一元一次方程是小学数学学科中的重要内容，它是解决实际问题的基础。

解一元一次方程的基本方法需要从掌握一元一次方程的概念和性质开始。

一元一次方程的标准形式为ax+b=0，其中a和b为已知数，x为未知数。

这个方程的解是使方程左侧等于右侧的x值。

二、使用逆运算解一元一次方程解一元一次方程的基本方法是使用逆运算。

逆运算是指对方程的每一步操作进行相反的操作。

为了解方程ax+b=0，我们可以按照以下步骤进行。

1. 第一步是将方程中的常数b移到方程的另一侧，变为ax=-b。

2. 第二步是对方程进行乘法逆运算，即乘以a的倒数，得到x=-b/a。

3. 第三步是计算出方程的解x。

三、实例演示解一元一次方程的基本方法让我们通过一个实际问题的例子来演示解一元一次方程的基本方法。

问题：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，已经行驶2小时，求汽车行驶的总路程。

解法：设汽车行驶的总路程为d公里。

根据已知条件，我们可以列出一个一元一次方程来表示问题。

题目中提到汽车的速度是每小时60公里，已经行驶2小时，所以方程可以表示为60*2=d。

步骤如下：1. 将方程改写为标准形式：120=d。

2. 计算方程的解：d=120公里。

因此，汽车行驶的总路程是120公里。

四、注意解一元一次方程的常见错误在解一元一次方程的过程中，需要注意一些常见的错误，以避免得出错误的结果。

1. 在进行步骤1时，应注意将常数项移到方程的另一侧时，符号要取反。

2. 在进行步骤2时，应注意计算乘法逆运算的结果。

3. 在进行步骤3时，应仔细计算得出方程的解。

五、应用解一元一次方程解决实际问题解一元一次方程的基本方法不仅适用于数学题目，还可以应用于解决很多实际问题。

例如，我们可以使用一元一次方程来解决以下问题。

1. 零食店每袋售价3元，小明花了15元购买了几袋零食？2. 已知一张长方形纸片的长度是宽度的2倍，且周长是18厘米，求纸片的长和宽。

一元一次方程的解法及其应用［教学目标］1. 经历从具体问题中的数量相等关系，列出方程的过程，体会并认识到方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

2. 了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本变形及其在解方程中的作用。

3. 会解一元一次方程，并经历和体会解方程中“转化”的过程和思想，了解一元一次方程解法的一般步骤，并能正确、灵活运用。

4. 会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。

5. 通过实践与探索过程，体会数学建模思想，提高分析和解决实际问题的能力。

【典型例题】例1. 已知()||m x m +=-320032是关于x 的一元一次方程，求m 的值。

解：由一元一次方程的定义可知： ||m m -=+2130，且≠由||||m m m -===2133，得，则± 又由m m +-303≠，得≠ ∴m =3小结：方程ax b a a b +=00()≠，且、为已知数是关于x 的一元一次方程，这里包含有（1）未知数只有一个，且未知数的最高次数是“1”。

（2）未知数的系数合并后不能为零。

（3）它必须是等式。

例2. 已知x =23是一元一次方程334325()m x x m-+=的解，则m 的值是多少？ 解：因为x =23是方程334325()m x x m-+=的解，所以3342332235()m m -+=××即33215m m -+=解得m =-14小结：方程的解是指满足方程两边相等的未知数的值，x =23是原方程的解，则把原方程中的x 换成23后等式仍然成立。

从而可以得到另一个关于m 的方程求解。

例3. 解下列方程：（1）5263x x +=-（2）0408613...x x -=- （3）30%70%(440%x x x ++=-)（4）32234122[()]xx ---= （5）97352775x x +=-（6）21431233436()()()x x x -+-=-+ （7）x x +--=-40230516...解：（1）5263x x +=-移项得： 2365+=-x x 合并同类项得：5=x ∴x =5（2）由方程0408613...x x -=-两边同时乘以10得： 486013x x -=-413608x x +=+ 1768x = x =4（3）30%70%(440%x x x ++=-) 方程两边都乘以100得： 3070440x x x ++=-()3744x x x ++=-() 372840x x x +++= 1428x =- x =-2（4）32234122[()]xx ---=去中括号得：()xx 4132---=xx 4132---= x x --=1648 -=324x x =-8 （5）97352775x x +=-97273575x x -=--x =-2（6）21431233436()()()x x x -+-=-+ 21431233436()()()x x x -----=()()x ---=321412346436()x -=4126x -= 418x =x =92（7）x x +--=-40230516...545022320516().()..x x +--=-××5202616x x +-+=-. 3276x =-. x =-92.例 4. 如果关于x 的方程23523331432x x n x n n -=--=+-与()的解相同，求()n -3582的值。

一元一次方程单元复习与巩固一、知识网络二、知识要点梳理知识点一：一元一次方程及解的概念1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。

要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程．2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果，那么；(c为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果，那么；如果，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

即：（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为：－=1.6。

方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤常用步骤具体做法依据注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2 防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律注意变号，防止漏乘；移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)等式基本性质1 移项要变号，不移不变号；合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式合并同类项法则计算要仔细，不要出差错；系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝等式基本性质2 计算要仔细，分子分母勿颠倒要点诠释：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:①a≠0时，方程有唯一解；②a=0，b=0时，方程有无数个解；③a=0，b≠0时，方程无解。

专题训练(一) 一元一次方程的解法1．解下列方程：(1)(南宁校级月考)2x ＋5＝5x －7； 解：2x －5x ＝－7－5， －3x ＝－12， x ＝4.(2)12x ＋x ＋2x ＝140； 解：72x ＝140，x ＝40.(3)56－8x ＝11＋x ； 解：－8x －x ＝11－56， －9x ＝－45， x ＝5.(4)43x ＋1＝5＋13x. 解：43x －13x ＝5－1，x ＝4.2．解下列方程：(1)(玉林期末)10(x －1)＝5； 解：10x －10＝5， 10x ＝5＋10， 10x ＝15，x ＝32.(2)4x －3(20－2x)＝10； 解：4x －60＋6x ＝10， 4x ＋6x ＝60＋10， 10x ＝70， x ＝7.(3)3(x －2)＋1＝x －(2x －1)； 解：3x －6＋1＝x －2x ＋1， 4x ＝6，x ＝1.5.(4)4(2x －3)－(5x －1)＝7； 解：8x －12－5x ＋1＝7， 8x －5x ＝7＋12－1， 3x ＝18， x ＝6.(5)4y －3(20－y)＝6y －7(9－y)． 解：4y －60＋3y ＝6y －63＋7y. 4y ＋3y －6y －7y ＝60－63， －6y ＝－3， y ＝12.3．解下列方程：(1)2x －13－2x －34＝1；解：4(2x －1)－3(2x －3)＝12， 8x －4－6x ＋9＝12， 8x －6x ＝4－9＋12， 2x ＝7， x ＝72.(2)16(3x －6)＝25x －3； 解：5(3x －6)＝12x －90， 15x －30＝12x －90， 15x －12x ＝－90＋30， 3x ＝－60， x ＝－20.(3)2（x ＋3）5＝32x －2（x －7）3；解：12(x ＋3)＝45x －20(x －7)，12x ＋36＝45x －20x ＋140， 12x －45x ＋20x ＝－36＋140， －13x ＝104， x ＝－8.(4)2x －13－10x ＋16＝2x ＋12－1；解：2(2x －1)－(10x ＋1)＝3(2x ＋1)－6， 4x －2－10x －1＝6x ＋3－6， 4x －10x －6x ＝3－6＋2＋1， －12x ＝0， x ＝0.(5)x ＋45－(x －5)＝x ＋33－x －22.解：6(x ＋4)－30(x －5)＝10(x ＋3)－15(x －2)， 6x ＋24－30x ＋150＝10x ＋30－15x ＋30， 6x －30x －10x ＋15x ＝30＋30－24－150， －19x ＝－114， x ＝6.4．解下列方程：(1)x －40.2－2.5＝x －30.05；解：原方程整理，得5x －20－2.5＝20x －60. 移项，得5x －20x ＝－60＋20＋2.5. 合并同类项，得－15x ＝－37.5. 系数化为1，得x ＝2.5.(2)0.5x ＋0.90.5＋x －53＝0.01＋0.02x 0.03.解：原方程整理，得5x ＋95＋x －53＝1＋2x 3.去分母，得15x ＋27＋5x －25＝5＋10x.移项、合并同类项，得10x ＝3. 系数化为1，得x ＝0.3.5．解方程：3|x|－5＝|x|－22＋1.解：6|x|－10＝|x|－2＋2， 5|x|＝10， |x|＝2， x ＝2或－2.6．解下列方程：(1)119x ＋27＝29x －57；解：119x －29x ＝－57－27，x ＝－1.(2)278(x －3)－463(6－2x)－888(7x －21)＝0.解：278(x －3)＋463×2(x－3)－888×7(x－3)＝0， (278＋463×2－888×7)(x－3)＝0， x ＝3.专题训练(二) 一元一次方程的应用1．某人乘船由A 地顺流而下到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船3 h ，已知船在静水中的速度是8 km /h ，水流速度是2 km /h ，若A 、C 两地距离为2 km (A 、B 、C 三地在一条直线上)，则A 、B 两地间的距离是10或252k m .2．兄弟两人由家里去学校，弟每小时走6里，哥每小时走8里，哥晚出发10分钟，结果两人同时到校，学校离家有多远？解：设学校离家有x 里．由题意，得x 6－1060＝x8.解得x ＝4. 答：学校离家有4里．3．用两台水泵从同一池塘中向外抽水，单开甲泵5小时可抽完，单开乙泵2.5小时便能抽完．(1)如果两台水泵同时抽水，多长时间能把水抽完？(2)如果甲泵先抽2小时，剩下的由乙泵来抽，乙泵用多少时间才能把水抽完？ 解：(1)设两台水泵同时抽水，x 小时能抽完．由题意，得x 5＋x 2.5＝1，解得x ＝53. 答：两台水泵同时抽水，53小时能把水抽完．(2)设乙泵用y 小时才能抽完，由题意，得 15×2＋12.5y ＝1，解得y ＝1.5. 答：乙泵用1.5小时才能把水抽完．4．一辆卡车在公路上匀速行驶，起初看到的里程碑上是一个两位数，过了1小时，里程碑上的数恰好是原来的个位上的数与十位上的数交换位置后所得到的两位数，又过了1小时，里程碑上的数是一个三位数，这个三位数的百位上的数与个位上的数分别是起初看到的两位数的十位上的数与个位上的数，而十位上的数为0，且起初的两位数个位上的数比十位上的数的5倍多1，求卡车的速度．解：设起初看到的两位数十位上的数是x ，则个位上的数是5x ＋1.由题意，得 [10(5x ＋1)＋x]－[10x ＋(5x ＋1)]＝(100x ＋5x ＋1)－[10(5x ＋1)＋x]． 解得x ＝1.则5x ＋1＝6，61－16＝45(千米)． 答：卡车的速度是45千米/时．5．某会议厅主席台上方有一个长12.8 m 的长条形(长方形)会议横标框，铺红色衬底．开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上．但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空∶字宽∶字距＝9∶6∶2，如图所示：根据这个规定，求会议名称的字数为18时，边空、字宽、字距各是多少． 解：设边空、字宽、字距分别为9x cm 、6x cm 、2x cm .由题意，得 9x ×2＋6x×18＋2x(18－1)＝1 280. 解得x ＝8.则9x ＝72，6x ＝48，2x ＝16.答：边空为72 cm ，字宽为48 cm ，字距为16 cm .6．某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下：胜场 12 10 其中一队的胜场总积分能否等于负场总积分？请说明理由． 解：由D 队可知，负一场积分为：16÷16＝1(分)， 则由A 队可知，胜一场积分为：28－4×112＝2(分)．设其中一队的胜场为x 场，则负场为(16－x)场，则 2x ＝16－x ，解得x ＝163.因为场数必须是整数，所以x ＝163不符合实际．所以没有一队的胜场总积分能等于负场总积分．7．某商场在元旦期间搞促销活动，一次性购物不超过2 000元不优惠；超过2 000元，但不超过5 000元，按9折优惠；超过5 000元，超过部分按8折优惠，其中的5 000元仍按9折优惠．某人两次购物分别用了1 340元和4 660元．问：(1)此人的两次购物，若物品不打折，需多少元钱？ (2)此人两次购物共节省多少元钱？(3)若将两次购物的钱合起来，一次购买相同的商品，是否更节省？请说明理由． 解：(1)因为2 000×90%＝1 800(元)＞1 340元，所以购1 340元的商品未优惠． 又因为5 000×90%＝4 500(元)＜4 660元，所以购4 660元的商品有两个等级优惠． 设其售价为x 元，依题意，得5 000×90%＋(x －5 000)×80%＝4 660， 解得x ＝5 200.所以如果不打折，那么分别需1 340元和5 200元，共需6 540元． (2)共节省6 540－(1 340＋4 660)＝540(元)．(3)6 540元的商品优惠价为5 000×90%＋(6 540－5 000)×80%＝5 732(元)， 1 340＋4 660＝6 000(元)， 因为5 732<6 000，所以若一次购买相同的商品，更节省．8．一个车队共有n(n 为正整数)辆小轿车，正以每小时36千米的速度在一条笔直的街道上匀速行驶，行驶时车与车的间隔均为5.4米，甲停在路边等人，他发现该车队从第一辆车的车头到最后一辆的车尾经过自己身边共用了20秒的时间，假设每辆车的车长均为4.87米．(1)求n 的值；(2)若乙在街道一侧的人行道上与车队同向而行，速度为v 米/秒，当车队的第一辆车的车头从他身边经过了15秒钟时，为了躲避一只小狗，他突然以3v 米/秒的速度向前跑，这样从第一辆车的车头到最后一辆车的车尾经过他身边共用了35秒，求v 的值．解：(1)36千米/时＝10米/秒，则4．87n ＋5.4(n －1)＝20×10，解得n ＝20.(2)车队总长度：20×4.87＋5.4×19＝200(米)． 由题意，得(10－v)×15＋(10－3v)×(35－15)＝200， 解得v ＝2.9．一辆汽车从A 地驶往B 地，前三分之一路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km /h ，在高速公路上行驶的速度为100 km /h ，汽车从A 地到B 地一共行驶了2.2 h ．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用一元一次方程解决的问题，并写出解答过程．解：答案不唯一，例如：①问题：普通公路和高速公路各为多少km?解：设普通公路长为x km，根据题意，得x 60＋2x100＝2.2.解得x＝60.则2x＝120.答：普通公路和高速公路各为60 km和120 km.②问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少h?解：设汽车在普通公路上行驶了x h，根据题意，得60x×2＝100(2.2－x)．解得x＝1.则2.2－x＝1.2.答：汽车在普通公路上和高速公路上分别行驶了1 h和1.2 h.。

板块 考试要求 A 级要求B 级要求C 级要求方程 知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程 能运用方程解决有关问题 方程的解 了解方程的解的概念 会用观察、画图等手段估计方程的解一元一次方程 了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数（无需讨论）的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题一、等式的概念和性质1．等式的概念 用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则． 2．等式的类型（1）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．如：数字算式123+=． （2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．方程56x +=需要1x =才成立．（3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．如125+=，11x x +=-． 注意：等式由代数式构成，但不是代数式．代数式没有等号． 3．等式的性质等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b =，则a mb m ±=±；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b =，则am bm =，a bm m=(0)m ≠．注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．知识点睛中考要求一元一次方程的认识及解法（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b=，那么b a=．②等式具有传递性，即：如果a b=，b c=，那么a c=．二、方程的相关概念1．方程含有未知数的等式叫作方程．注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母．二者缺一不可．2．方程的次和元方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元．3．方程的已知数和未知数已知数：一般是具体的数值，如50x+=中（x的系数是1，是已知数．但可以不说）．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a、b、c、m、n等表示．未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示．如：关于x、y的方程2-、ax by c-=中，a、2b c是已知数，x、y是未知数．4．方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．5．解方程求得方程的解的过程．注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程．6．方程解的检验要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是．三、一元一次方程的定义1．一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．一元一次方程的形式标准形式：0a≠，a，b是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．ax b+=（其中0最简形式：方程ax b=（0a≠，a，b为已知数）叫一元一次方程的最简形式．注意：（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x++=-是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．（2）方程ax b=与方程(0)ax b a=≠是不同的，方程ax b=的解需要分类讨论完成．四、一元一次方程的解法1．解一元一次方程的一般步骤（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．注意：①移项要变号；②不要丢项．（4）合并同类项：把方程化成ax b=的形式．注意：字母和其指数不变．（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a（0a≠），得到方程的解bxa=．注意：不要把分子、分母搞颠倒．2．解一元一次方程常用的方法技巧解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等．一、等式的概念和性质【题01】判断题．（1）11123x y++是代数式．（2）12S ah=是等式．（3）等式两边都除以同一个数，等式仍然成立．（4）若x y=，则44x m y m+-=+-．【题02】回答下列问题，并说明理由．（1）由2323a b+=-能不能得到a b=？（2）由56ab b=能不能得到56a=？（3）由7xy=能不能得到7yx =？（4）由0x=能不能得到11xx x+=？【题03】下列说法不正确的是（）例题精讲A ．等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式．B ．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式．C ．等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式．D ．一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式．【题04】下列结论中正确的是（ ）A ．在等式3635a b -=+的两边都除以3，可得等式25a b -=+．B ．如果2x =-，那么2x =-．C ．在等式50.1x =的两边都除以0.1，可得等式0.5x =．D ．在等式753x x =+的两边都减去3x -，可得等式6346x x -=+．【题05】下列变形中，不正确的是（ ） A ．若25x x =，则5x =． B ．若77,x -=则1x =-．C ．若10.2x x -=，则1012x x -=．D ．若x ya a =，则ax ay =．【题06】根据等式的性质填空． （1）4a b =-，则a b =+； （2）359x -=，则39x =+；（3）683x y =+，则x =； （4）122x y =+，则x =．【题07】用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的． （1）如果23x =+，那么x =； （2）如果6x y -=，那么6x =+；（3）如果324x y -=，那么2y -=-；（4）如果324x =，那么x =．二、方程的相关概念 【题08】下列各式中，哪些是等式？哪些是代数式，哪些是方程？①34a +；②28x y +=；③532-=；④1x y ->；⑤61x x --；⑥83x-=；⑦230y y +=；⑧2223a a -；⑨32a a <-．【题09】判断题． （1）所有的方程一定是等式． （ ） （2）所有的等式一定是方程． （ ） （3）241x x -+是方程． （ ） （4）51x -不是方程． （ ） （5）78x x =不是等式，因为7x 与8x 不是相等关系． （ ） （6）55=是等式，也是方程． （ ） （7）“某数的3倍与6的差”的含义是36x -，它是一个代数式，而不是方程． （ ）【题10】下列各式不是方程的是（ ） A ．24y y -= B ．2m n =C ．222p pq q -+D ．0x =【题11】判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由． （1）373x x -=-+； （2）223y -=； （3）2351x x -+；（4）112--=-；（5）42x x -=-；（6）152x y-=．【题12】下列说法不正确的是（ ） A ．解方程指的是求方程解的过程． B ．解方程指的是方程变形的过程． C ．解方程指的是求方程中未知数的值，使方程两边相等的过程． D ．解方程指的是使方程中未知数变成已知数的过程．【题13】检验括号里的数是不是方程的解：()3212y y -=（1y =，32y =）【题14】在1y =、2y =、3y =中，是方程104y y =-的解．【题15】解为2x =-的方程是（ ）三、一元一次方程的定义【题16】下列各式中：①3x +；②2534+=+；③44x x +=+；④12x=；⑤213x x ++=；⑥44x x -=-；⑦23x =；⑧2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程？【题17】下列方程是一元一次方程的是（ ）A ．2237x x x +=+B ．3435322x x -+=+C ．22(2)3y y y y +=-- D ．3813x y -=【题18】下列方程是一元一次方程的是（ ）（多选）A ．1xy =B ．225x+=C ．0x =D ．13ax +=E ．235x +=F ．2π 6.28R =【题19】若关于x 的方程223(4)0n x n -+-=是一元一次方程，求n 的值．【题20】已知方程2(63)70n m x -+=是关于x 的一元一次方程，求m ，n 满足的条件．【题21】已知2(1)(1)30k x k x -+-+=是关于x 的一元一次方程，求k 的值．【题22】方程23350m x --=是一元一次方程，求m 的值．【题23】若2(1)(2)(3)0k x k x k -+-+-=是关于x 的一元一次方程，求k ．【题24】若22(1)(1)20a x a x -+-+=是关于x 的一元一次方程，求a ．【题25】若关于x 的方程2(2||)(2)(52)0m x m x m -+---=是一元一次方程，求m 的解．【题26】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k =．【题27】若关于x 的方程2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x =．【题28】已知2(23)(23)1m x m x ---=是关于x 的一元一次方程，则m =．【题29】求关于x 的一元一次方程21(1)(1)80k k x k x --+--=的解．【题30】2(38)570a b x bx a ++-=是关于x 的一元一次方程，且该方程有惟一解，则x =（ ）A ．2140-B ．2140C ．5615-D ．5615【题31】已知4553a ax a -+=是关于x 的一元一次方程，求这个方程式的解．【题32】已知方程1(2)40a a x --+=是一元一次方程，则a =；x =．【题33】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k =．若关于x 的方程 2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x =．四、一元一次方程的解法 1．基本类型的一元一次方程的解法 【题34】解方程：6(1)5(2)2(23)x x x ---=+【题35】解方程：3(3)52(25)x x -=--【题36】解方程：2(43)56(32)2(1)x x x --=--+【题37】解方程：135(3)3(2)36 524x x---=【题38】解方程：11 (4)(3) 34y y-=+【题39】解方程：12225y yy-+ -=-【题40】解方程：12225y yy-+ -=-【题41】解方程：31 26 x xx+-=-【题42】解方程：253164x x---=【题43】解方程：122233x xx-+ -=-【题44】解方程：2321 64x x++=+【题45】解方程：2135 43x x+--=【题46】解方程：122233x xx-+ -=-【题47】解方程：21511 36x x+--=【题48】解方程：43232.548x x x+-=-＋【题49】解方程：122233x xx-+ -=-【题50】解方程：2352 246x x---=2．分式中含有小数的一元一次方程的解法【题51】方程0251x=．的解是x=．【题52】解方程：7110.251 0.0240.0180.012 x x x--+=-去分母，得．根据等式的性质（）去括号，得．移项，得．根据等式的性质（）合并同类项，得．系数化为1，得．根据等式的性质（）【题53】解方程：1121321 32xx-+-=【题54】解方程：10.50.210.3 0.30.30.02x x x ---=【题55】解方程：0.10.020.10.13 0.0020.05x x-+-=【题56】解方程：0.10.40.2111.20.3x x-+-=【题57】解方程：2 1.21 0.70.3x x--=【题58】解方程：0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x+-+-=【题59】解方程：11(0.170.2)1 0.70.03x x--=【题60】解方程：0.130.4120 0.20.5x x+--=【题61】解方程：0.10.020.10.10.3 0.0020.05x x-+-=【题62】解方程：421.7 30%50%x x-+-=【题63】解方程：1(4)335190.50.125x x x +++=+【题64】解方程：0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x xx ++-=-【题65】解方程：0.10.90.210.030.7x x--=3．含有多层括号的一元一次方程的解法【题66】解方程：11133312242y ⎧⎫⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【题67】解方程：42132[()]3324x x x --=【题68】解方程：1112{[(4)6]8}19753x ++++=【题69】解方程：111[(1)6]20343x --+=【题70】解方程：11111[(1)]3261224x ------=-【题71】解方程：11110721()3(2)33623x x x x x +-⎡⎤⎡⎤--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【题72】解方程：1112(1)(1)223x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦【题73】解方程：111233234324x x x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭【题74】解方程：[]{}234(51)82071x ----=【题75】解方程：11111071233223x x x x x +-⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．一元一次方程的技巧解法【题76】解方程：1123(23)(32)11191313x x x -+-+=【题77】解方程：113(1)(1)2(1)(1)32x x x x +--=--+【题78】解方程：11311377325235x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题79】解方程：31333(()()447167x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦【题80】解方程：2009122320092010x x x+++=⨯⨯⨯【题81】解方程： (200312232002200320032004)x x x x++++=⨯⨯⨯⨯【题82】解方程： (200613352003200520052007)x x x x++++=⨯⨯⨯⨯【题83】解方程：20181614125357911x x x x x -----++++=【题84】解方程：2325118357911x x x x x -----++++=【题85】解方程：1111(1)(2)(3)(2009)20092342010y y y y ++++++++=【题86】解方程：20101309720092007x x x---++=【题87】解方程：3x a b x b c x c a c a b ------++=，（1110a b c++≠）【题88】解方程：4x a b c x b c d x a c d x a b d d a b c ------------+++=（11110a b c d+++≠）【题89】已知1abc =，求关于x 的方程2004111x x xa ab b bc c ca++=++++++的解．【题90】若1abc =，解关于x 的方程：2221111ax bx cx ab a bc b ca c ++=++++++。

2023-2024学年苏科版数学七年级上册章节知识讲练知识点01：一元一次方程的概念1．方程：叫做方程．2．一元一次方程：只含有（元），未知数的次数都是，这样的方程叫做一元一次方程．知识要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数的次数为；②未知数所在的式子是，即分母中不含未知数．3．方程的解：叫做这个方程的解．4．解方程：叫做解方程．知识点02：等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：，结果仍相等．等式的性质2：，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数 保持不变． 3．去括号法则：（1）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识点03：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的(2)去括号：依据 ，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边， 移到方程另一边．(4)合并：逆用 ，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 (a ≠0)的形式．(5)系数化为1： 得到方程的解bx a=(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若 相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝ ×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×3.利润问题：商品利润＝商品售价－4.工程问题：工作量＝工作效率× ，各部分劳动量之和＝5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金× ×6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）关于x 的方程kx ＝2x +6与2x ﹣1＝5的解相同，则k 的值为（ ） A ．4B ．3C ．5D ．62．（2分）（2022秋•高新区期末）已知等式3a ＝2b +5，则下列等式中不一定成立的是（ ） A ．3a ﹣5＝2bB ．3a +1＝2b +6C ．D ．3ac ＝2bc +53．（2分）（2022秋•玄武区校级期末）小明到某文具店购买铅笔和中性笔．设购买铅笔的金额为x元，根据表格，下列方程错误的是（）商品单价（元/支）购买数量/支购买金额/元铅笔x中性笔总计/ 13 34 A．+＝13 B．x+3.5（13﹣）＝34C．1.2（13﹣）＝x D．3.5（13﹣）＝34﹣x4．（2分）（2022秋•江都区期末）某学校组织师生去中小学素质教育实践基地研学．已知此次共有n名师生乘坐m辆客车前往目的地，若每辆客车坐40人，则还有15人没有上车；若每辆客车坐45人，则刚好空出一辆客车．以下四个方程：①40m+15＝45（m﹣1）；②40m﹣15＝45（m﹣1）；③＝﹣1；④+1．其中正确的是（）A．①④B．①③C．②③D．②④5．（2分）（2022秋•连云港期末）明代的数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之少四两，五两分之多半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有x 两银子，则可列方程为（）A．7x﹣4＝5x+8 B．C．7x+4＝5x﹣8 D．6．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）元旦期间，甲、乙两家水果店对刚到货的橙子搞促销，甲水果店连续两次降价，第一次降价10%，第二次降价20%，乙水果店一次性降价30%，小丽想要购买这种橙子，她应选择（）A．甲水果店B．乙水果店C．甲、乙水果店的价格相同D．不确定7．（2分）（2022秋•南通期末）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（）A．依题意3×120＝x﹣120B．依题意20x+3×120＝（20+1）x+120C．该象的重量是5040斤D．每块条形石的重量是260斤8．（2分）（2022秋•泗洪县期末）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑得快的马每天走240里，跑的慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（）A．240（x+12）＝120x B．240（x﹣12）＝120xC．240x＝120（x+12）D．240x＝120（x﹣12）9．（2分）（2022秋•工业园区校级月考）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝2OA，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（）A．5秒B．5秒或者4秒C．5秒或者秒D．秒10．（2分）（2022秋•江都区月考）观察月历，用形如的框架框住月历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果有45，55，60，75，小华说有结果是错误的．通过计算，可知小明的计算结果中错误的是（）A．45 B．55 C．60 D．75二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•亭湖区期末）若（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则a＝．12．（2分）（2022秋•泗阳县期末）如图，在数轴上，A、B两点同时从原点O出发，分别以每秒2个单位和4个单位的速度向右运动，运动的时间为t，若线段AB上（含线段端点）恰好有4个整数点，则时间t 的最小值是．13．（2分）（2022秋•海门市期末）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊价各是多少？根据题意，可求得合伙买羊的是人．14．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）防范新冠病毒感染要养成戴口罩、勤洗手、多通风、常消毒等卫生习惯，其中对物体表面进行消毒可以采用浓度为75%的酒精．现有一瓶浓度为95%的酒精500mL，需将其加入适量的水，使浓度稀释为75%．设加水量为xmL，可列方程为．15．（2分）（2022秋•江都区期末）一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时，现先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合作．完成整个工程一共需要小时．16．（2分）（2022秋•江阴市期末）某种商品降价10%后的价格恰好比原价的一半多40元，该商品的原价是元．17．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）如图，在数轴上，O为原点，点A对应的数为2，点B对应的数为﹣12．在数轴上有两动点C和D，它们同时向右运动，点C从点A出发，速度为每秒4个单位长度，点D从点B出发，速度为每秒6个单位长度，设运动时间为t秒，当点O，C，D中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为．18．（2分）（2022秋•大丰区期末）京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时，按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多3分钟，求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧道全长为x千米，依题意，可列方程为．19．（2分）（2022秋•句容市校级期末）如图，正方形的边长为6，已知正方形覆盖了三角形面积的，而三角形覆盖了正方形面积的一半，那么三角形的面积是．20．（2分）（2021秋•射阳县校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是AB上的一点，且AE＝2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•仪征市期末）解方程：（1）5（x﹣1）+3＝3x﹣3；（2）+＝1．、22．（6分）（2022秋•仪征市期末）某小组计划做一批“中国结”如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个．该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？小明和小红在认真思考后，根据题意分别列出了以下两个不同的方程：①5x﹣9＝4x+15②＝（1）①中的x表示；②中的y表示．（2）请选择其中一种方法，写出完整的解答过程．23．（8分）（2022秋•丹徒区期末）某商场用2730元购进甲、乙两种商品共60件，这两种商品的进价、标价如表所示：价格\类型甲乙进价（元/件）35 65标价（元/件）50 100（1）这两种商品各购进多少件？（2）若甲种商品按标价的9折出售，乙种商品按标价的8.5折出售，且在运输过程中有2件甲种、1件乙种商品不慎损坏，不能进行销售，请问这批商品全部售出后，该商场共获利多少元？24．（8分）（2022秋•惠山区校级期末）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度为a米/秒．（1）若a＝1，求两人第一次相遇所用的时间；（2）若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值．25．（8分）（2022秋•丹徒区期末）已知关于m的方程的解也是关于x的方程2（x﹣8）﹣n＝6的解．（1）求m、n的值；（2）如图，数轴上，O为原点，点M对应的数为m，点N对应的数为n．①若点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，求线段PQ的长度；②若点P从点N出发以1个单位/秒的速度沿数轴正方向运动，点Q从点M出发以2个单位/秒的速度沿数轴负方向运动，经过秒，P、Q两点相距3个单位．26．（8分）（2022秋•玄武区校级期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如表：户月用水量（m3）收费标准（元/m3）不超过18m3超过18m3，但不超过25m3的部分 5超过25m3的部分7（1）小明家3月份用水量为20m3，应缴纳水费元；（2）设某户某月的用水量为xm3，应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示）（3）小红家6月份和7月份的用水量共50m3，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为m3，m3．27．（8分）（2022秋•太仓市期末）如图1，将一副三角板摆放在直线MN上，在三角板OAB和三角板OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，∠AOB＝45°，∠COD＝30°．（1）保持三角板OCD不动，当三角板OAB旋转至图2位置时，∠BOD与∠AON有怎样的数量关系？请说明理由．（2）如图3，若三角板OAB开始绕点O以每秒6度的速度逆时针旋转的同时、三角板OCD也绕点O以每秒3度的速度逆时针旋转，当OB旋转至射线OM上时，两块三角板同时停止转动．设旋转时间为t秒，则在此过程中，是否存在t，使得∠BOD+∠AON＝60°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28．（8分）（2022秋•广陵区校级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M、点N表示的数分别为m、n，则M、N 两点之间的距离MN＝|m﹣n|，线段MN的中点表示的数为．如图，数轴上点M表示的数为﹣1，点N 表示的数为3．（1）直接写出：线段MN的长度是，线段MN的中点表示的数为；（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：|x+1|+|x﹣3|有最小值是，|x+1|﹣|x﹣3|有最大值是；（3）点S在数轴上对应的数为x，且x是方程2x﹣1＝x+4的解，动点P在数轴上运动，若存在某个位置，使得PM+PN＝PS，则称点P是关于点M、N、S的“麓山幸运点”，请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”？若存在，则求出所有“麓山幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由．。

一元一次方程组的解法一元一次方程组是由多个一元一次方程组成的方程组，每个方程的最高次数是1。

解一元一次方程组的过程可以通过消元法、代入法或矩阵法来实现。

下面将依次介绍这三种解法。

一、消元法消元法是解一元一次方程组常用的方法。

通过对方程组进行适当的加减操作，将未知数的系数逐步消去，从而得到方程组的解。

举例来说，考虑以下一元一次方程组：2x + 3y = 7 (1)4x - 2y = 2 (2)首先，可以通过将第二个方程的两边乘以2来消除方程中的系数4，得到方程组的新形式：2x + 3y = 7 (1)8x - 4y = 4 (3)然后，将第三个方程的两倍加到第一个方程，可以消除x的系数，得到：14y = 18 (4)最后，将方程(4)中的解代入方程(1)或(2)中，即可求得y的值。

通过代入求解，可以得到x的值。

消元法是一种简单而直接的解法，适用于方程组中的系数较小和方程的数目较少的情况。

二、代入法代入法是另一种常用的解一元一次方程组的方法。

该方法的基本思想是将一个方程的解代入到另一个方程中，从而减少方程的数目，使得求解更加简便。

以以下一元一次方程组为例：3x - 2y = 8 (5)2x + y = 5 (6)首先，可以通过方程(6)求解y的值，然后将y的值代入方程(5)，得到一个仅含有x的方程：3x - 2(5 - 2x) = 83x - 10 + 4x = 87x = 18通过求解这个方程，可以得到x的值，再将x的值代入方程(6)，即可求得y的值。

代入法相对于消元法而言，计算过程稍显复杂，但在某些特定的情况下，可以更加高效地解决方程组。

三、矩阵法矩阵法是一种基于线性代数的解法，将一元一次方程组转化为矩阵的形式，通过对矩阵进行运算，求解方程组的解。

考虑以下一元一次方程组：x + 2y + 3z = 5 (7)2x - y + z = 2 (8)3x + y - z = 4 (9)可以将方程组的系数矩阵表示为：A = [1 2 3][2 -1 1][3 1 -1]同时，将方程组的常数向量表示为：C = [5][2][4]然后，通过求解矩阵方程AX = C，可以得到解向量X。

黑体小四板块 考试要求 A 级要求B 级要求C 级要求方程 知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程 能运用方程解决有关问题 方程的解 了解方程的解的概念 会用观察、画图等手段估计方程的解一元一次方程 了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数（无需讨论）的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题黑体小四应用题是中学数学中的一类重要问题，一般通过对问题中的数量关系进行分析，适当的设未知数，找出等量关系列出方程加以解决．很多同学见到应用题就发怵，觉得题目长，文字多，关系复杂，难以把握．其实应用题关键在于读题，弄懂题意．一些常见的问题，比如行程问题、工程问题、利率问题、浓度问题等等，其中的基本关系一定要深刻理解．一、设未知数的三种方法 1．直接设未知数直接设未知数指题目问什么就设什么，它多适用于要求的未知数只有一个的情况． 2．间接设未知数 设间接未知数，是指所设的不是所求的，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用． 3．引入辅助未知数 设辅助未知数，就是为了使题目中的数量关系更加明确，可以引进辅助未知数帮助建立方程．辅助未知数往往不需要求出，可以在解题时消去． 注意：解应用题的方法多种多样，除此之外，还有运用逆推法解应用题、运用整体思想解应用题、运用图形图表法解应用题等等，单纯的背这些方法是没有意义的，关键还在于提高理解能力，大量练习，从而学会快速读懂题意，综合运用各种方法去求解问题．二、列方程解应用题的步骤知识点睛中考要求一元一次方程的应用的相等关系．要注意题中的相等关系有些是明显的，有些是不明显的，需要结合生活实际来发现；2．设：设未知数，一般求什么，就设什么为x，若有几个未知数，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来．有时直接设不容易设得话，可采用间接设；3．找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；4．列：根据这个相等关系列出方程；5．解：解所列出的方程，求出未知数的值；6．验：检验所求得的解是否符合题意；7．答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）．一、列方程【题01】根据条件列出方程（1）某数的10倍比9大1；（2）某数的14比这个数小5；（3）某数的30%比这个数的20%小2【题02】某数的23比这个数的34小5，设某数为x，下面列出的方程正确的是（）A．23534x x=+B．23534x x+=-C．23534x x=-D．23534x x-=【题03】根据条件列方程：某数的3倍减去9，等于该数的13加上6．【题04】某数的70%与这个数的3倍的差等于11，设某数为m，则列出的方程为．【题05】甲队有32人，乙队有28人，现从乙队抽x人到甲队，使甲队是乙队人数的2倍，依题意，列出方程为．【题06】某工程，甲工程队单独做40天完成，乙工程队单独做需要60天完成，若乙工程队单独做30天后，甲、乙两工程队再合作x天完成．列方程为．二、一元一次方程的应用例题精讲1．和差倍分问题【题07】2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米．【题08】北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加．据统计，2008年10月11日到2009 年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次．在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？【题09】在环保竞赛中，某校代表队的平均分是88分，其中女生的平均成绩比男生高10％，而男生的人数比女生多10％．试问男、女生的平均成绩各是多少？【题10】十堰市东方食品厂2003年的利润（总产值-总支出）为200万元，2004年总产值比2003年增加了20％，总支出减少了10％．2004年的利润为780万元．问2003年总产值、总支出各是多少万元？【题11】某商场甲、乙两个柜组12月份营业额共64万元，1月份甲增长了20％，乙增长了15％，营业额共达到75万元．试求两柜组1月份各增长多少万元？【题12】据《衢州日报》2009年5月2日报道：“家电下乡”农民得实惠．村民小郑购买一台双门冰箱，在扣除13%的政府财政补贴后，再减去商场赠送的“家电下乡”消费券100元，实际只花了1726.13元钱，那么他购买这台冰箱节省了元钱．【题13】如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是cm．【题14】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为cm．（保留整数）【题15】汽车若干辆装运货物一批，若每辆汽车装3.5吨货物，这批货物就有2吨运不走；若每辆汽车装4吨货物，那么装完这批货物后，还可以装其他货物1吨，问汽车有多少辆?这批货物有多少吨？【题16】某公司有甲乙两个工程队，甲队人数比乙队人数的23多28人．现因任务需要，从乙队调走20人到甲队，这时甲队人数是乙队人数的2倍，则甲乙两队原来的人数分别是多少人？【题17】甲仓库有粮120吨，乙仓库有粮90吨．从甲仓库调运吨到乙仓库，调剂后甲仓库存粮是乙仓库的一半．【题18】甲乙两个圆柱体容器，底面积比为53∶，甲容器水深20cm，乙容器水深10cm，再往两个容器注入同样多的水，使两个容器的水深相等，这时水深多少厘米？【题19】玻璃缸里养了三个品种的金鱼，分别是“水泡”“朝天龙”“珍珠”．“水泡”的条数是“珍珠”的3倍；“朝天龙”的条数是“珍珠”的2倍，且“朝天龙”比“水泡”少1条，这三种金鱼各有几条呢？【题20】某区中学生足球联赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，在这次足球联赛中，猛虎足球队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分．试问该队胜了几场？【题21】很久很久以前，有一位穷苦的农民，在路上遇见了一个魔鬼．魔鬼拉住农民的衣服说：“嗨，你的钱多得很啊!”农民答道：“不瞒你说，我穷得丁当响，全部家当，就是这口袋里的几个铜板．”魔鬼说：“我有一个主意，可以让你轻轻松松发大财．只要你从我身后这座桥上走过去，你的钱就会增加1倍．你从桥上再走回来，钱数又会增加1倍．每走过一次桥，你的钱都能增加1倍．但你必须保证，每次在你的钱数加倍以后，你都要给我24个铜板．否则，就要你的命!”农民点点头说：“好吧!”农民过了一次桥，确定钱数增加了1倍，就给了魔鬼24个铜板；第二次过桥，口袋的钱数又增加l倍，他又给了魔鬼24个铜板；第三次过桥，口袋里的钱又照例增加了1倍，不过增加以后总共只有24个铜板，统统被魔鬼抢去，分文不剩．那么农民在遇见魔鬼以前有多少钱呢？【题22】牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只．”问牧羊人的这群羊共有多少只？【题23】一个袋中有若干个红色和蓝色的小球，如果从袋中取出一个红色的小球后，袋中剩下的小球数的17是红色的；把这个红色的小球放回袋中，再从袋中取出2个蓝色小球后，袋中剩下的小球数的15是红色的，那么袋中原有多少个小球？【题24】一批树苗按下列方法分给各班：第一班取100棵和余下的110，第二班取200棵和余下的110，……最后树苗全部被取完且各班树苗数都相等．求树苗总数和班级数．2．工程问题【题25】某车间原计划每周装配42台机床，预计若干周完成任务．在装配了三分之一以后，改进操作技术，工效提高了一倍，结果提前一周半完成任务．求这次任务需装配机床总台数．【题26】甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？【题27】某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，则此人此时骑摩托车的速度应为多少？【题28】某人有急事，预定搭乘一辆小货车从A地赶往B地．实际上，他乘小货车行了三分之一路程后改乘一辆小轿车，车速提高了一倍，结果提前一个半小时到达．已知小货车的车速是36千米／小时，求两地间路程．【题29】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？【题30】一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A 港出发顺流行至B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小时后找到救生圈．问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？4．浓度问题【题31】有含盐15%的盐水20千克，要使盐水含盐20%，需要加盐多少千克？【题32】现有浓度为20%的盐水300克需配制成浓度为60%的盐水，问还需加盐多少克？5．数字问题【题33】一个两位数，十位数字是个位数字的3倍，如果把十位数字与各位数字交换，所成的新数比原数少54，求原数．【题34】一个两位数，十位数字比个位数字的4倍多1．将两个数字调换位置后，所得的数比原数小63，求原来的两位数．【题35】一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36，而正确答案的个位数字是十位数字的2倍．正确答案是多少？6．年龄问题【题36】父亲和女儿现在的年龄之和是91岁，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄的13，求女儿现在的年龄．【题37】小明的爸爸前年存了年利率为2.43%的两年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税（利息的20％），所得利息正好为小明买了一只价值48.6元的计算器．问小明爸爸前年存了多少元？８．商品利润问题【题38】学校准备添置一批课桌椅．原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．【题39】某商店将彩电的进价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”结果每台彩电仍获利270元，求彩电的进价．【题40】某商店以每3盒16元钱的价格购进一批录音带，又从另外一处以每4盒21元的价格购进比前一批数量加倍的录音带，如果以每3盒k元的价格出售可得到所投资的20％的收益，求k的值．【题41】“五一”期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的70％销售）和九折（按售价的90％销售），共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元．问：这两种商品原销售价分别为多少元？【题42】对某种商品优惠，按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1400元，商品的原价是多少元？【题43】若进货价降低8％，而售出价不变，那么利润可由目前的p增加到（10%p），求p．【题44】初三（2）班的一个综合实践活动小组去A，B两个超市调查去年和今年“五一节”期间的销售情况，如右图是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请你分别求出A、B两个超市今年“五一节”期间的销售额．【题45】某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：品名西红柿豆角批发价（单位：元/kg）1．2 1．6零售价（单位：元/kg）1．8 2．5问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱?9．方案决策问题对超过限额的部分按2.9元／吨收费．一户三口之家上个月用水12吨，交费22元．求该市对三口之家每月用水所作的限额是多少？【题47】夏季为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施．某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高l℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度．求只将温度调高1℃后，两种空调每天各节电多少度？【题48】某音乐厅五月份初决定在暑假期间举办学生音乐专场音乐会，入场券分为团体票和零售票两种，其中团体票是总票数的23，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份，团体票每张12元，共售出团体票的35，零售票每张16元，共售出零售票的一半，如果在六月份，团体票每张16元出售，并计划在六月份两种票都完全出售，那么，零售票应按每张多少元出售才能使两个月的票款持平？【题49】团体购买公园门票，票价如下：今有甲乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票1314元，若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费1008元，问这两个旅游团各有多少人？【题50】某校科技小组的学生在3名老师带领下，准备前往国家森林公园考察、采集标本．当地有两家旅行社，分别去两个景区．两家旅行社收取的途中费用和相应的景区门票定价都相同，且对师生都有优惠：甲旅行社表示带队老师免费，学生按8折收费；乙旅行社表示师生一律按7折收费．甲景区对师生均收半价，乙景区则规定当人数超过30人时，按4折收费，否则按6折收费．经合算两家旅行社的实际途中收费正好相同．你认为该去何处较合算?若该校在暑假夏令营中，学生数增加了8名，老师不变，则又该去哪个旅行社？【题51】强强在A、B两电子商城发现他看中的4MP的单价相同，U盘的单价也相同．4MP和U盘单价之和是581元，且4MP的单价比U盘单价的5倍少7元．（1）求该同学看中的4MP和U盘的单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，电子商城A所有商品打8折销售，电子商城B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了490元钱，如果他只在一家电子商城购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗?若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？【题52】某超市推出如下优惠方案：①一次性购物不超过100元不享受优惠；②一次性购物超过100元不超过300元一律九折；③一次性购物超过300元一律八折．（1）小新妈妈购物付款99元．那她购买的物品实际价格为多少元？（2）若购物付款259.2元．那她购买的物品实际价格为多少元？【题53】“中国竹乡”安吉县有丰富的毛竹资源，某企业已收购毛竹52.5吨，根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利100元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利1000元；如果进行精加方案一：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利元．方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利元．问：是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由．【题54】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨．但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜销售或加工完毕．为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．你认为选择哪种方案获利最多？为什么？【题55】一牛奶制品厂现有鲜奶9t．若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1t鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售，则加工1t鲜奶可获利2000元．该厂的生产能力是：若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶3t；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1t．由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两产品不可能同时生产（同一天内一段时间生产酸奶，另一段时间生产奶粉），为保证产品的质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部加工完毕．假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大，最大利润是多少？。

一元一次方程解应用题的思路和解法一元一次方程应用题是初一数学学习的重点，也是一个难点。

主要困难体现在两个方面：一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。

事实上，方程就是一个含未知数的等式。

列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。

而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。

由此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。

所以，我认为解题关键为：先找出等量关系，根据基本量设未知数。

一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。

初中一年级涉及到的一元一次方程应用题主要有以下几类：（1）行程问题；（2）工程问题；（3）溶液配比问题；（4）销售问题；（5）数字问题；（6）比例问题；（7）设中间变量的问题。

不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。

下面针对以上七项分别进行讲解。

1 行程问题行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。

等量关系为：①路程=速度×时间；；②速度=路程时间。

③时间=路程速度特殊情况是航行问题，其是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化。

①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。

由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。

例1：一列火车从甲地开往乙地，每小时行90千米，行到一半时耽误了12分钟，当着列火车每小时加快10千米后，恰好按时到了乙地，求甲、乙两站距离？此题的等量关系是：列车改变速度以后所用的总时间=原计划的时间。

一元一次方程解应用题的思路和解法(全)一元一次方程解应用题的思路和解法一元一次方程应用题是初一数学研究的重点，也是一个难点。

主要困难体现在两个方面：一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。

事实上，方程就是一个含未知数的等式。

列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。

而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。

由此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。

解题关键为：先找出等量关系，根据基本量设未知数。

一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。

初中一年级涉及到的一元一次方程应用题主要有以下几类：行程问题、工程问题、溶液配比问题、销售问题、数字问题、比例问题、设中间变量的问题。

不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。

下面针对以上七项分别进行讲解。

1.行程问题行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。

等量关系为：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度。

特殊情况是航行问题，其是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化。

顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。

由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。

例1：一列火车从甲地开往乙地，每小时行90千米，行到一半时耽误了12分钟，当着列火车每小时加快10千米后，恰好按时到了乙地，求甲、乙两站距离？此题的等量关系是：列车改变速度以后所用的总时间=原计划的时间。

一、概述1. 介绍一元一次方程的定义和基本形式2. 引出本文将要讨论的内容二、一元一次方程的八种类型1. 类型一：简单应用题1）例题：小明买了一些苹果，一共花了20元，每个苹果2元，问他买了多少个苹果？2）解法：设苹果的数量为x，根据题意可列出方程2x=20，解得x=10。

2. 类型二：两个未知数的应用题1）例题：甲乙两地相距180公里，相对而行，甲地的时速是每小时30公里，问几小时能相遇？2）解法：设相遇时间为t小时，甲地行驶的距离为30t，乙地行驶的距离为180-30t，根据题意可列出方程30t+30t=180，解得t=3。

3. 类型三：含有括号的应用题1）例题：一个数比8大，乘以3再减去2的结果是20，问这个数是多少？2）解法：设这个数为x，根据题意可列出方程3(x-8)-2=20，解得x=18。

4. 类型四：含有分数的应用题1）例题：某数的1/3等于它的2/5减去3，问这个数是多少？2）解法：设这个数为x，根据题意可列出方程1/3=2/5-3，解得x=-9。

5. 类型五：含有小数的应用题1）例题：一块钢铁的重量是另一块的3/5，如果重量相差5.2公斤，问两块钢铁的重量各是多少？2）解法：设较重的钢铁重量为x，根据题意可列出方程x-x*3/5=5.2，解得x=13。

6. 类型六：含有分母的应用题1）例题：一个数加上15的4/5等于这个数的3/4，问这个数是多少？2）解法：设这个数为x，根据题意可列出方程x+15=3x/4，解得x=60。

7. 类型七：字母表示未知数的应用题1）例题：甲乙两个数的和是50，甲是乙的2倍，问甲乙两个数各是多少？2）解法：设甲的数为x，乙的数为y，根据题意可列出方程x+y=50和x=2y，解得x=40，y=10。

8. 类型八：几何问题转化为一元一次方程1）例题：一个三角形的底边长度是两腿长度的和的2倍，底边长8米，腿长是多少？2）解法：设腿长为x，根据题意可列出方程2x+x=8，解得x=4。

一元一次方程的概念及解法解一元一次方程的常用方法有以下几种：1.同加同减法：通过将方程两边加上（或减去）相等的实数，将未知数系数的项和常数项相消，从而求得未知数的值。

例如，对于方程2x+3=7，可以通过将方程两边减去3来消去常数项，得到2x=4、然后再将方程两边除以2，得到x=2、因此，方程的解为x=22.消去法：通过变形将方程转化为更简单的形式，再进行求解。

例如，对于方程3x-2=4-x，可以通过将方程两边加上x，得到4x-2=4、然后再将方程两边加上2，得到4x=6、最后再将方程两边除以4，得到x=1.5、因此，方程的解为x=1.53.代入法：通过将已经得到解的方程代入到原方程中，验证解的正确性。

例如，对于方程2x+1=5，我们假设解为x=2、将x=2代入原方程，得到2(2)+1=5，计算得到5=5，等式成立。

因此，x=2是方程的解。

除了上述常用的解一元一次方程的方法外，还可以使用图像法、守恒法等方法进行求解。

图像法是通过将方程转化为y = ax + b的直线方程，在坐标系中绘制出直线和y轴的交点，即为方程的解。

例如，对于方程x - 2 = 0，对应的直线方程为y = x - 2，将其绘制在坐标系中，直线与y轴相交于点(0, -2)，即为方程的解x = 2守恒法是通过记录方程中变量的变化过程，找到变化量为0的时刻，从而求解方程。

例如，对于方程3x+2=2x-3，将方程两边减去2x，并且将x的整数部分和小数部分分别加减到方程两边，得到x+2=-3、然后将方程两边减去2，得到x=-5、再将x=-5代入原方程验证，计算得到左右两边相等。

因此，x=-5是方程的解。

总结来说，解一元一次方程的关键是通过合适的运算将未知数从方程中分离出来，并得到它的具体值。

各种解法都有其适用的场景，具体选择何种解法应根据方程的特点和求解的要求来确定。

通过不断练习和实践，我们能够熟练掌握解一元一次方程的能力。

3.1一元一次方程及其解法（1）
教材分析
本节课是小学与初中知识的衔接点，学生在小学已经初步接触过方程，了解了什么是方程，什么是方程的解，并学会了用等式性质解一些简单的方程。

本节课在描述一元一次方程的概念后，继续学习用等式基本性质解一元一次方程，从而引出用移项法则解一元一次方程，为学生进一步学习一元一次方程的解法和应用起到铺垫作用。

教学目标
（一）知识教学点
1．由实际问题得到的方程抽象出一元一次方程的概念。

2. 理解等式基本性质，并利用等式基本性质解一元一次方程，并学会检验。

3. 理解移项法则，会用移项法则解一元一次方程。

（二）能力训练点
1.通过对多种实际问题的分析,感受方程作为刻画现实世界的有效模型的意义.
2.由移项变形方法的教学，培养学生由算术解法过渡到代数解法的解方程的基本能力．（三）德育渗透点
增强学生用数学的意识，激发学生学数学的热情。

（四）美育渗透点
用移项法解方程明显比用等式性质方法解方程方便，体现了数学的方法美．
教学重点：利用移项法则解一元一次方程
教学难点：移项法则的理解和运用
教学方法：采用引导发现法发现法则，课堂训练体现学生的主体地位，引进竞争机制，调动课堂气氛。

教学准备：多媒体辅助
教学流程：
1.用猜谜引出学生身边的问题，从而引出一元一次方程的概念。

2.复习等式的基本性质。

3.利用等式基本性质解一元一次方程，同时给出检验的过程。

4.通过学生的观察、交流、归纳得到移项法则。

5.用移项法则解一元一次方程。

教学过程：
教学反思：。

高一数学寒假课程一元一次方程解法 （学生版） 1 / 15 初一数学暑假课程高一数学寒假课程一元一次方程解法 （学生版） 2 / 15 初一数学暑假课程 初一数学暑假班（学生版）知识点一解一元一次方程的一般步骤在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程 的解x ＝知识点二理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况 ①0≠a 时，方程有唯一解abx =；高一数学寒假课程一元一次方程解法 （学生版） 3 / 15 初一数学暑假课程 ②0,0==b a 时，方程有无穷解； ③0,0≠=b a 时，方程无解。

【例1】解方程（1）3（x ﹣1）+1=x ﹣3（2x ﹣1） （2）．【例2】解方程：（1）5x+3（2﹣x）=8 （2）=1﹣（3）+=（4）[x﹣（x﹣1）]=（x﹣1）【例3】数学迷小虎在解方程﹣1去分母时，方程右边的﹣1漏乘了3，因而求得方程的解为x=﹣2，请你帮小虎同学求出a 的值，并且正确求出原方程的解．初一数学暑假课程高一数学寒假课程一元一次方程解法（学生版）4/ 15【例4】方程2﹣3（x+1）=0的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．【例5】已知，x=2是方程2﹣（m﹣x）=2x的解，求代数式m2﹣（6m+2）的值．【例6】小明在解方程=﹣1去分母时，方程右边的（﹣1）项没有乘3，因而求得的解是x=2，试求a的值，并求出方程正确的解．初一数学暑假课程高一数学寒假课程一元一次方程解法（学生版）5/ 15【例7】已知关于x的方程2x﹣a=1与方程=﹣a的解的和为，求a的值．【例8】（1）已知式子与式子的值相等，求这个值是多少？（2）已知关于x 的方程4x+2m=3x+1的解与方程3x+2m=6x+1的解相同，求m的值．初一数学暑假课程高一数学寒假课程一元一次方程解法（学生版）6/ 15【例9】阅读理解：在解形如3|x﹣2|=|x﹣2|+4这一类含有绝对值的方程时，我们可以根据绝对值的意义分x＜2和x≥2两种情况讨论：①当x＜2时，原方程可化为﹣3（x﹣2）=﹣（x﹣2）+4，解得：x=0，符合x＜2②当x≥2时，原方程可化为3（x﹣2）=（x﹣2）+4，解得：x=4，符合x≥2∴原方程的解为：x=0，x=4．解题回顾：本题中2为x﹣2的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x＜2和x≥2两部分，所以分x＜2和x≥2两种情况讨论．知识迁移：（1）运用整体思想先求|x﹣3|的值，再去绝对值符号的方法解方程：|x﹣3|+8=3|x﹣3|；知识应用：（2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解类似的方程：|2﹣x|﹣3|x+1|=x﹣9．提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？初一数学暑假课程高一数学寒假课程一元一次方程解法（学生版）7/ 15【例10】阅读下面的解题过程：解方程：|5x|=2．解：（1）当5x≥0时，原方程可化为一元一次方程5x=2，解得x=；（2）当5x＜0时，原方程可化为一元一次方程﹣5x=2，解得x=﹣．请同学们仿照上面例题的解法，解方程3|x﹣1|﹣2=10．初一数学暑假课程高一数学寒假课程一元一次方程解法（学生版）8/ 15【例11】如果方程的解与方程4x﹣（3a+1）=6x+2a﹣1的解相同，求式子的值．【例12】方程和方程的解相同，求a 的值．初一数学暑假课程高一数学寒假课程一元一次方程解法（学生版）9/ 15高一数学寒假课程一元一次方程解法 （学生版） 10 / 15 初一数学暑假课程理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况 ①0≠a 时，方程有唯一解ab x =； ②0,0==b a 时，方程有无穷解； ③0,0≠=b a 时，方程无解。

1课题复习课：一元一次方程及其解法姓 名导学目标1、通过自主学习的形式来对《一元一次方程及其解法》相关知识进 行系统的综合复习；2、以相应的练习来加强对有关概念和法则的理解；3、通过合作交流的形式来对相应的知识点查漏补缺，培养学生细心、严谨的良好习惯。

自我评价 导学效果：满意 一般 还需努力导学重点 结合知识要点，进行基础训练，能熟练掌握一元一次方程的解法。

学生自主 学习空间导学难点 立足基础训练，拓展思维空间，会构造一元一次方程以及运用技巧解决相应的问题。

教 学 流 程复 习 导 航一、知识回顾，自主整理。

1、等式的基本性质 等式的性质 1等式两边同时加上（或减去）同一个 ，所得的结果仍是等式。

即：若a b =，则a m b m ±=±； ※等式的性质 2等式的两边同时乘 （或除以同一个 的数），所得的结果仍是等式。

即：若a b =，则am bm =，a bm m=(0)m ≠． 2、方程：含有未知数的 叫方程。

所有的方程都是等式，但并不是所有的等式都是方程。

3、方程的解：使方程 的未知数的值，叫做方程的解。

只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。

4、解方程：求方程的解的 叫解方程。

※5、一元一次方程：只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 ，系数不等于 的方程叫做一元一次方程。

概念分解：一元一次方程必须满足： （1）是一个等式（2）只含有一个未知数2（3）未知数的指数（最高次数）为1 （4）化简后未知数的系数不为0 （5）分母中不含未知数6、一元一次方程的标准形式： ax+b=0（其中0a ≠，a ，b 是已知数） 最简形式： ax=b （其中0a ≠，a ，b 是已知数）注意：（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．（2）方程ax b =与方程(0)ax b a =≠是不同的，方程ax b =的解需要分类讨论完成．△7、分数的基本的性质： 分数的分子、分母同时乘以或除以 ， 分数的值不变。