江苏盐城2012—2013学年高一下学期期末数学

盐城中学高一年级第二次随堂练习数学试题（12月）命题人：柏 群 审题人：张万森试卷说明：本场练习时间120分钟。

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸 的指定位置上.1.cos 480的值为 ▲2.函数()f x 2cos ,,63x x ππ⎡⎫=∈-⎪⎢⎣⎭的值域是 ▲ 3.α是第三象限的角，并且3tan 4α=，则cos α的值是 ▲ 4.如果点()sin ,tan P αα在第四象限，则α是第 ▲ 象限角5.函数sin y x =在区间[]0,t 上恰好取得两个最大值，则实数t 的取值范围是_ ▲ _6.已知函数()()()40.5,,4(1)x x f x x f x ≥⎧⎪=⎨<+⎪⎩； 则2(2log 3)f +＝ ▲ 7.如果1317tan ,tan 45a b ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,a b 的大小关系是 ▲ 8.已知扇形的周长为12cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为__ ▲ __2cm9.函数1()2x f x -+=的值域是 ▲10.不等式tan 1x >-的解集是 ▲11.已知已知定义在R 上的偶函数)(x f 在[)0,+∞上是单调增函数，若(1)(lg )f f x <，则x 的范围为 ▲12.函数()f x ()20.5log 35x mx =-+在()1,-+∞是减函数，则实数m 的取值范围是 ▲13.我们把解析式相同，值域相同但定义域不同的函数称为“友好函数”，那么解析式为2y x =，值域为{}1,9的“友好函数”共有_ ▲ __个.14.已知222sin sin 3sin ,αβα+=则22sin sin αβ+的值域是 ▲二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．(本小题满分14分)求解下列问题（1）已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且求cos sin αα-的值；（2）已知1tan 31tan αα+=-, 求2sin 3cos 4sin 9cos αααα--的值.16. (本小题满分14分)已知函数]2,4[),32sin(21)(πππ∈-+=x x x f ． （1）求)(x f 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在]2,4[ππ∈x 上恒成立，求实数m 的取值范围.17. (本小题满分15分)求解下列问题（1）求函数1lg(cos )2y x =+的定义域； （2）求()sin(2)3f x x π=-的单调增区间；（3）函数2()12xxk f x k -=+⋅为奇函数，求k 的值.18．(本小题满分15分)已知二次函数()f x 满足：11()()22f x f x -=+，其图像与x 轴的两个交点间的距离为3，并且其图像过点()1,2-.（1）求()f x 的表达式；（2）如果方程()f x 3mx =-在区间(0,2)上有解，求实数m 的取值范围.19．(本小题满分16分)设关于x 的函数22()cos 2sin 2f x x m x m m =--++的最小值是m 的函数，记为()g m .（1）求()g m 的解析表达式；（2）当()g m =5时，求m 的值；（3）如果方程()0f x =在()0,x π∈有两不相等的解，求实数m 的取值范围．20. (本小题满分16分) 若函数()f x 在定义域D 内某区间I 上是增函数，而()()f x F x x =在I 上是减函数，则称()y f x =在I 上是“弱增函数”. （1）请分别判断()f x =4x +，2()42g x x x =++在(1,2)x ∈是否是“弱增函数”， 并简要说明理由； （2）若函数21()(sin )2h x x x b θ=+-+( b θ、是常数)在(0 1]，上是“弱增函数”， 请求出θ及正数b 应满足的条件.二、解答题（共90分）题（14分）7分已知,2sin πα< 求cos sin α-7分已知112sin 3cos 4sin 9cos αα--32---------1tan 2α=-----------2题（14分）已知函数]2,1)(π=x f ． ）求)(x f 的最大值和最小值；若不等式(f ]上恒成立，的取值范围 ）4x π≤≤ ∴26π≤ 当23x π-时，max ()f x = 当23x π-min )2x =----）由题设条件可知。

四星高中使用2013/2014学年度第二学期高一年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．直线30x y -+=在y 轴上的截距为 ▲ ． 2．若角α的终边经过点(3,2)P ，则tan α的值为 ▲ ．3．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为 ▲ ． 4．已知点)2,1(A ，)5,3(B ，向量()=,6a x ，若a //AB ，则实数x 的值为 ▲ ． 5．过点(2,1)A ，且与直线230x y -+=平行的直线方程为 ▲ ．6．已知向量与的夹角为120，且||2a =，1||=b ，则=+|2| ▲ ． 7．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141,8a a ==，则5S = ▲ ． 8．若54)6sin(=+πx ，则=-)3cos(πx ▲ ．9．直线+10x =被圆032:22=--+x y x C 截得的弦长为 ▲ ． 10．设,m n 是两条不同的直线，βα,是两个不重合的平面，给定下列四个命题： ①若n m ⊥，α⊂n ，则α⊥m ； ②若m α⊥，m β⊂，则βα⊥； ③若α⊥m ，α⊥n ，则n m //； ④若α⊂m ，β⊂n ，βα//，则n m //. 其中真命题的序号为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴相交于(1,0)A 、(3,0)B 两点，且与直线01=+-y x 相切，则圆C 的标准方程为 ▲ ．12．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若,,a b c 成等差数列，30B ∠=，1b =，则BA BC ⋅=uu r uu u r▲ ．13．已知点()5,0A -，()1,3B --，若圆()2220x y r r +=>上恰有两点M ，N ，使得M AB∆和NAB ∆ 的面积均为5，则r 的取值范围是 ▲ ． 14．若单调递增数列{}n a 满足1236n n n a a a n ++++=-，且2112a a =，则1a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，90ABC ∠=，PA ⊥平面ABC ，E ,F 分别为PB ,PC 的中点.（1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：平面AEF ⊥平面PAB .16．（本小题满分14分）已知函数()2sin cos f x x x x +，x R ∈. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的值域.A17．（本小题满分14分）在四边形ABCD 中，已知9=AB ，6=BC ，PD CP 2=． （1）若四边形ABCD 是矩形，求BP AP ⋅的值；（2）若四边形ABCD 是平行四边形，且6=⋅BP AP ，求AB 与AD 夹角的余弦值．18．（本小题满分16分）为绘制海底地貌图，测量海底两点C ，D 间的距离，海底探测仪沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，C ，D 在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得30,BAC ∠=45,DAC ∠=45,ABD ∠=75,DBC ∠=A ，B 两点的距离为3海里.（1）求ABD ∆的面积； （2）求C ，D 之间的距离. 19．（本小题满分16分）DCBA设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n a S An Bn C +=++. （1）当0A B ==，1C =时，求n a ； （2）若数列{}n a 为等差数列，且1A =，2C =-. ①求n a ；②设n b ，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求60T 的值.20．（本小题满分16分）已知圆O 的方程为1322=+y x ，直线:l 00+13x x y y =，设点00(,)A x y ． （1）若点A 在圆O 外，试判断直线l 与圆O 的位置关系；（2）若点A 在圆O 上，且02x =，00y >，过点A 作直线,AM AN 分别交圆O 于,M N 两点，且直线AM 和AN 的斜率互为相反数； ① 若直线AM 过点O ，求tan MAN ∠的值；② 试问：不论直线AM 的斜率怎样变化，直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．四星高中使用高一数学参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分.1．3 2．233．2π 4．4 5．230x y --= 6．2 7． 31 8．549． 10．②③ 11． 2)1()2(22=-+-y x 12． 13．()15，14．123(,)52-- 二、解答题：本大题共6小题,共计90分.15．证明:（1）在PBC ∆中，F E , 分别为PC PB ,的中点BC EF //∴………………3分 又⊂BC 平面ABC ，⊄EF 平面ABC //EF ∴平面ABC …………………………………7分（2）由条件，⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABCBC PA ⊥∴︒=∠90ABC ，即BC AB ⊥，………………………………………………10分 由//EF BC ，∴EF AB ⊥，EF PA ⊥又A AB PA =⋂，AB PA ,都在平面PAB 内 EF ∴⊥平面PAB又⊂EF 平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAB ………………………………………………14分16．解: （1）由条件可得sin22sin(2)3y x x x π=+=+， (4)分所以该函数的最小正周期22T ππ==………………………………………………………6分 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴65,332πππx ，……………………………………………………8分 当12π=x 时，函数y 取得最大值为2，当4π=x 时，函数y 取得最小值为1∴函数y的值域为[]2,1…………………………………………………………………………14分17．解：（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以0=⋅由PD CP 2=得：DC DP 31=，3232-==．………………………………3分∴ BP AP ⋅)()(CP BC DP AD +⋅+=)32()31(-⋅+= 229231-⋅-=18819236=⨯-=． (7)分（2）由题意，DP AD AP +=AB AD DC AD 3131+=+= AB AD CD BC CP BC BP 3232-=+=+=∴ )32()31(-⋅+=⋅221239AD AB AD AB =-⋅-136183AB AD =-⋅-1183AB AD =-⋅………………………………………………10分 又6=⋅BP AP ，∴ 11863AB AD -⋅=， ∴ 36AB AD ⋅=．又θθθcos 54cos 69cos =⨯⨯==⋅AD AB ∴ 54cos 36θ=，即2cos 3θ=．（利用坐标法求解，同样给分）………………………14分18．解：（1）如图所示,在ABD ∆中︒=︒+︒=∠+∠=∠754530DAC BAC BAD ︒=∠∴60ADB由正弦定理可得，ABD AD ADB AB ∠=∠sin sin ，260sin 45sin 3=︒︒=AD (4)分则ABD ∆的面积113sin 2244S AB AD BAD =⋅∠==（平方海里）…………8分（2）︒=︒+︒=∠+∠=∠1207545DBC ABD ABC ，︒=∠=∠30BCA BAC3==∴AB BC 3=∴AC …………………………………………………………………12分在ACD ∆中，由余弦定理得，5cos 2222=∠⋅-+=DAC AD AC AD AC CD即5=CD （海里） 答：ABD ∆的面积为433+平方海里，C ，D 间的距离为5海里.……………………16分19．解：(1)由题意得，21n n a S +=，∴1121(2)n n a S n --+=≥，两式相减，得123n n a a -=，……………………………………………………………………3分 又当1n =时，有131a =，即113a =，∴数列{}n a 为等比数列，∴112=33n n a -⎛⎫⎪⎝⎭.………………………………………………5分（2）①Q 数列{}n a 为等差数列，由通项公式与求和公式，得2211113222(1)()()222222n n d d d da S a n d n a n n a n a d +=+-++-=+++-， Q 1,2A C ==-，∴12d=，12a d -=-，∴2d =，11a =，∴21n a n =-.………10分②n b=12=…………………………………………………………………………13分则111=+=12122n T n ⎛⎛ -⎝⎝， ∴6011115==1=2121111T ⎛⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝……………………………………………………16分20．解：（1）当点A 在圆O 外时，得132020>+y x ，即132020>+y x∴ 圆心到直线l 的距离r yx d =<+=1313202，∴ 直线l 与圆O 相交．…………………………………………………………………………5分（2）①由点A 在圆O 上，且02x =，00y >，得03y =，即)3,2(A ．记直线AM 的倾斜角为α，则3tan 2α=，…………………………………………………7分 又∵ 0AM AN k k +=， ∴ 直线AN 的倾斜角为πα-，∴22tan 312tan tan(2)tan 291tan 514MAN απααα∠=-=-=-=-=--．…………10分 ②记直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为：32y kx k =+-． 将32y kx k =+-代入圆O 的方程得：22(12)33kx x k +-+=， 化简得：22232(1)2(32)(130)k x k k x k ++-+-=-，∵ 2是方程的一个根， ∴ 2232)2(131M k x k -=+-， ∴226221M x k k k --+=， 由题意知：k k AN-=，同理可得，226221N x k k k +-+=，…………………………………13分∴ 32(32)4M N M N MN MN M N M N M Ny y kx k kx k x x k k x x x x x x -+---+++-===⋅---， ∴ 2222222222228421222362621116262111MN k k k k k k k k k k k k k k k k k k --+-+++---+-=⋅=⋅=--+-+++， ∴ 不论直线AM 的斜率怎样变化，直线MN 的斜率总为定值23．………………………16分。

2012-2013学年第二学期期末考试高一数学一、选择题（本题共12小题，每小题 5分，共60分）1.sin 480︒等于 （ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．22.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 （ ） A 43- B 34- C 43 D 343. 下列各式中，其值为23的是 （ ）A ．2sin15cos15B ．22sin 15cos 15+C ．22sin 151-D ．22cos 15sin 15- 4. 把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ为 ( ) A ．34π B.π4 C.-34πD ．－π45.下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A.=a (0,0), =b (1,-2) B.=a (-1,2), =b (2,-4) C.=a (3,5), =b (6,10) D.=a (2,-3), =b (6, 9)6.设βα,为钝角，=+-==βαβα,10103cos ,55sin （ ） A ．π43 B ．π45 C ．π47 D ．π45或π477.将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是 （ ）A.1sin 2y x =B.1sin()26y x π=-C.1sin()22y x π=-D.sin(2)6y x π=-8.已知a = (0,1)，b = (33，x )，向量a 与b 的夹角为π3，则x 的值为 ( )A ．±3B ．± 3C ．±9D ．39.已知向量a ＝(2,sin θ），b ＝（１，θcos ）且a ⊥b ，其中),2(ππθ∈，则θθcos sin -等于 （ ）A ．55-B ．5C ． 5D ．510. 若AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD a = ,BE b = ，则BC为( )A. 2433a b +B. 4233a b +C. 2233a b - D ．2233a b -+11. 已知函数()sin()(f x A x A ωϕωπϕπ=+>0,>0,-<<)的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为 （ ）A ．1()2sin()24f x x π=+B ．13()2sin()24f x x π=+ C ．1()2sin()24f x x π=- D ．13()2sin()24f x x π=-12. 已知||2||,||0a b b =≠ ,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( ) A. [,]3ππ B. [,]6ππ C.2[,]33ππD. [0,6π] 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积是________．14. 设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos ________．15. 上的最小值为 ． 16. 给出下列六个命题，其中正确的命题是______．（填写正确命题前面的序号） ①存在α满足sin α＋cos α＝32. ②y ＝sin(32π－2x)是偶函数.③0,0,0a b a b ≠≠≠ 若则. ④22a b a b = 与是两个单位向量，则.⑤若α、β是第一象限角，且α＞β，则tan α＞tan β. ⑥若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，则12x x k π-=，其中k Z ∈.三、解答题（本题共6小题，共70分） 17．(10分)已知角α的终边与单位圆交于点P （45，35）. （I ）求tan α值； （II ）求sin()2sin()22cos()ππααπα++--的值.18. (12分)已知函数()f x ＝3sin2x －2sin 2x .(1)求函数()f x )的最大值； (2)求函数()f x 的零点的集合．19.设21,e e 是两个不共线的向量，12122,3,AB e ke CB e e =+=+ 122CD e e =-，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值. (12分)20. (12分)的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间21. (12分) 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP OA t AB =+,试问：(1)t 为何值时，P 在x 轴上，P 在y 轴上，P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出t 的值，若不能，请说明理由．22. (12分)已知)3),4((cos 2x -=，)).2214cos(,2(xk -+=π()1f x a b =⋅- 且函数，（,k Z x R ∈∈）.（1）求函数)(x f 在),0(π上的值域； （2）若=+)6(παf 554，)2,0(πα∈，求)42tan(πα+的值.。

2012-2013学年江苏省扬州中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）求值sin75°=．××故答案为：2．（5分）已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a的取值是﹣1．平行得﹣=3．（5分）在△ABC中，若b2+c2﹣a2=bc，则A=60°．==，4．（5分）直线x﹣2y+1=0在两坐标轴上的截距之和为﹣．，令在两坐标轴上的截距之和为+，．5．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d=2．=6．（5分）若x+y=1，则x2+y2的最小值为．=）．故答案为：．7．（5分）若数列{a n}满a1=1，=，a8=．==，故答案为：．8．（5分）设实数x，y满足，则的最大值是．先画出不等式组所表示的平面区域，然后根据的最大值．，画出约束条件，如右图中阴影部分而的几，）时斜率最大，最大值为故答案为：本题主要考查了线性规划为载体考查9．（5分）（2012•海口模拟）设sin（+θ）=，则sin2θ=﹣．，+sin2=（，，+，故答案为﹣．10．（5分）光线从A（1，0）出发经y轴反射后到达x2+y2﹣6x﹣6y+17=0所走过的最短路程为4．的距离为．11．（5分）函y=2sinx+sin（﹣x）的最小值是﹣．（）化简为）﹣=2sinx+﹣sinx=sinx+sin．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若==，△ABC为等边三角形；③必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．其中，结论正确的编号为①④（写出所有正确结论的编号）．由正弦定理条件知，13．（5分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，M是直线l：x=3上的动点，过点F（1，0）作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点P（m，n）．则m，n满足的关系式为m2+n2=3．14．（5分）已知等比数{a n}，a1=1，a4=8，在a n与a n+1两项之间依次插入2n﹣1个正整数，得到数列{b n}，即a1，1，a2，2，3，a3，4，5，6，7，a4，8，9，10，11，12，13，14，15，a5，…则数列{b n}的前2013项之和S2013=2007050（用数字作答）．=2=n++2002==2007二、解答题（本大题共6题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知二次函数y=f（x）图象的顶点是（﹣1，3），又f（0）=4，一次函数y=g （x）的图象过（﹣2，0）和（0，2）．（1）求函数y=f（x）和函数y=g（x）的解析式；（2）求关于x的不等式f（x）＞3g（x）的解集．16．（14分）已知cosβ=﹣，sin（α+β）=，α∈（0，），β∈（，π）．（1）求cos2β的值；（2）求sinα的值．﹣；，，=，（，），∴﹣=（﹣+×=17．（15分）若等比数列{a n}的前n项和S n=a﹣．（1）求实数a的值；（2）求数列{na n}的前n项和R n．．==a，解=+++﹣﹣=a，解得=++=1++，②﹣18．（15分）如图，某海域内的岛屿上有一直立信号塔AB，设AB延长线与海平面交于点O．测量船在点O的正东方向点C处，测得塔顶A的仰角为30°，然后测量船沿CO方向航行至D处，当CD=100（﹣1）米时，测得塔顶A的仰角为45°．（1）求信号塔顶A到海平面的距离AO；（2）已知AB=52米，测量船在沿CO方向航行的过程中，设DO=x，则当x为何值时，使得在点D处观测信号塔AB的视角∠ADB最大．，===，得AD=100，，=ADB=≤=即x=40DO=40时，19．（16分）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）与直线x﹣y+2=0相切．（1）求圆O的方程；（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程；（3）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O 于B，C两点，且k1k2=﹣2，试证明直线BC恒过一个定点，并求出该定点坐标．=0d==2=r，符合题意；=k﹣，y与圆方程联立得：，=，，，用代替（）=（）=x+）定点（﹣20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*都有S n=（）2成立．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）记数列b n=a n+λ，n∈N*，λ∈R，其前n项和为T n．①若数列{T n}的最小值为T6，求实数λ的取值范围；②若数列{b n}中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”{b n}，使得对任意n∈N*，都有T n≠0，且＜+++L+＜．若存在，求实数λ的所有取值；若不存在，请说明理由．）利用＜+++．，化为，即＞，因为（得：，，得到，化为=法二：由时，，，即}∴，得到，∴＜+++．，化为，即＞，因为＜++＜．数列掌握。

第二学期高一年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数()2sin(2)3f x x π=-的最小正周期为 ▲ ．2．已知直线l 过定点(1,0)，且倾斜角为3π，则直线l 的一般式方程为 ▲ ． 3．若2sin()23πα+=，则cos2α= ▲ ． 4．在Rt ABC ∆中，2A π=，4AB =，3AC =，则CA CB ⋅=u u u r u u u r▲ ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若首项13a =-，公差2d =，5k S =，则正整数k = ▲ ．6．设a 、b 表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是 ▲ ．（填写所有正确命题的序号）①若a //b ，a //α，则b //α； ②若a //b ，a α⊂，b β⊥，则αβ⊥； ③若α//β，a α⊥，则a β⊥；④若αβ⊥，a b ⊥，a α⊥，则b β⊥． 7．已知正项等比数列{}n a ，且153537225a a a a a a ++=，则35a a += ▲ ． 8．若圆锥的侧面展开图是半径为5、圆心角为65π的扇形，则该圆锥的体积为 ▲ ． 9．已知向量a 是与向量b ＝(－3,4)同向的单位向量，则向量a 的坐标是 ▲ ． 10．已知函数3cos(2)y x ϕ=+是奇函数，则||ϕ的最小值为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，以点（1,0）为圆心且与直线2410mx y m --+=()m R ∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足1122,211,2n n n a n k a a n k ---=+⎧=⎨+=⎩（*k N ∈），若11a =，则20S = ▲ ．13．如图，点P 是正六边形ABCDEF 的边上的一个动点，设AP xAB y AE =+u u u r u u u r u u u r，则x y +的最大值为 ▲ ．14．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若22a b bc =+，则ab的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G 、H 分别是DF 、BE 的中点． （1）求证：GH ∥平面CDE ；（2）若CD ＝2，DB ＝，求四棱锥F －ABCD 的体积．16．（本小题满分14分）已知向量2x ka b =+r r r 和y a b =-ur r r ，其中(1,2)a =-r ，(4,2)b =r ，k R ∈．（1）当k 为何值时，有x r ∥y ur ；（2）若向量x r 与y u r 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．FABCEDH GA BCDEF（第13题图）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是圆O ：221x y +=与x 轴正半轴的交点，半径OA 在x 轴的上方，现将半径OA 绕原点O 逆时针旋转3π得到半径OB ．设POA x ∠=(0x π<<)，()()f x OA OB OP =+⋅u u u r u u u r u u u r． （1）若2x π=，求点B 的坐标；（2）求函数()f x 的最小值，并求此时x 的值． 18．（本小题满分16分）如图，OA 、OB 是两条公路（近似看成两条直线），3AOB π∠=，在AOB ∠内有一纪念塔P （大小忽略不计），已知P 到直线OA 、OB 的距离分别为PD 、PE ，PD =6千米，PE =12千米．现经过纪念塔P 修建一条直线型小路，与两条公路OA 、OB 分别交于点M 、N ．（1）求纪念塔P 到两条公路交点O 处的距离； （2）若纪念塔P 为小路MN 的中点，求小路MN 的长．x设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，312S =． （1）求24a 与7S 的值；（2）已知m 、n 均为正整数，满足m n a S =.试求所有n 的值构成的集合．20．（本小题满分16分）如图，已知动直线l 过点1(0,)2P ，且与圆22:1O x y +=交于A 、B 两点． （1）若直线l，求OAB ∆的面积；（2）若直线l 的斜率为0，点C 是圆O 上任意一点，求22CA CB +的取值范围； （3）是否存在一个定点Q （不同于点P ），对于任意不与y 轴重合的直线l ，都有PQ 平分AQB ∠，若存在，求出定点Q第二学期高一年级期终考试高一数学参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分. 1、π2、330x y --=3、19- 4、9 5、5 6、②③ 7、58、12π 9、34(,)55- 10、2π11、22(1)2x y -+=12、205613、214、(2,3)二、解答题：本大题共6小题,共计90分.15. 解： (1)证明：连接FC ，∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥BC ． 又EF ＝AD ＝BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ……………2分 又H 为BE 的中点 ∴H 为FC 的中点．又∵G 是FD 的中点，∴HG ∥CD ． ……………4分 ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴GH ∥平面CDE ． ……………6分(2)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ， 且FA ⊥AD ，又FA ⊂平面ADEF∴FA ⊥平面ABCD ． ……………8分 ∵AD ＝BC ＝6，∴FA ＝AD ＝6．又∵CD ＝2，DB ＝42，CD 2＋DB 2＝BC 2，∴BD ⊥CD ． ……………10分 ∵S Y ABCD ＝CD ·BD ＝82，∴V F －ABCD ＝13S Y ABCD ·FA ＝13×82×6＝162． ……………14分16.解：（1）由//x y r u r ，设x t y =r u r，所以2()ka b t a b +=-r r r r ，即()(2)t k a t b -=+r r ， ……………2分又(1,2)a =-r ，(4,2)b =r ，得a r 与b r不共线， ……………4分所以20t k t -=+=，解得2k =-. .……………6分（2）因向量x r 与y ur 的夹角为钝角，所以(2)()0x y ka b a b ⋅=+⋅-<r u r r r r r， ……………8分又(1,2)a =-r ，(4,2)b =r ，得0a b ⋅=r r， ……………10分所以2225400x y ka b k ⋅=-=-<r u r r r ，即8k <， ……………12分又向量x r 与y ur 不共线，由（1）知2k ≠-，所以8k <且2k ≠-. ……………14分 17.解：（1）因点P 是圆O ：221x y +=与x 轴正半轴的交点，又2x π=，且半径OA 绕原点O 逆时针旋转3π得到半径OB ， 所以56POB π∠=， ……………3分 由三角函数的定义，得5cos 16B x π=，5sin 16B y π=，解得2B x =-，12B y =，所以1()22B -. ……………6分（2）依题意，(1,0)OP =u u u r ，(cos ,sin )OA x x =u u u r ，(cos(),sin())33OB x x ππ=++u u u r ，……… 8分所以3()cos()cos cos 32f x x x x x π=++=，所以1()sin ))23f x x x x π=-=-，……… 12分 因0x π<<，2333x πππ-<-<，所以当32x ππ-=时，即56x π=，函数()f x 取最小值 ……… 14分18.解法一：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则直线OB 的方程为y =， ……… 2分 又P 到直线OA 的距离PD =6千米，设(,6)P t ， ……… 4分12=，解得t =-，所以OP ==分 （2）因P 为小路MN 的中点，点M 在x 轴上，即0M y =，所以12N y =， ……… 9分又点N 在OB 上，所以N N y =，所以N x = ……… 10分由（1）知P ，所以M x =24MN ==. ……… 14分答：（1）P 到点O 处的距离为（2）小路MN 的长为24千米. ……… 16分解法二：（1）设POA α∠=，则3POB πα∠=-， ……… 2分因P 到直线OA 、OB 的距离分别为PD 、PE ，PD =6千米，PE =12千米，所以612sin sin()3OP παα==-， ……… 4分 所以2sin sin()3παα=-，化简得tan α=又22sin cos 1αα+=，所以sin α=，6sin OP α==. ……… 7分（2）设PMO θ∠=，则23PMN πθ∠=-， ……… 9分 因P 为小路MN 的中点，即PM PN =，所以6122sin sin()3πθθ=-，即2sin()2sin 3πθθ-=， ……… 12分 解得6πθ=，所以12224sin6MN PM π===. ……… 14分答：（1）P 到点O处的距离为（2）小路MN 的长为24千米. ……… 16分 19. 解：（1）因数列{}n a 是等差数列，所以32312S a ==，所以24a =， ……… 2分 又11a =，所以公差3d =，所以13(1)32n a n n =+-=-，213(132)22n n n S n n -=+-=， ……… 4分所以2470a =，27377702S ⋅-==. ……… 6分（2）由（1）知32m a m =-，由m n a S =，得23322n nm --=， ……… 8分所以2223433442(1)6623n n n n n n n m n -++-++===--， ……… 10分因2(1)n n n n +=+为正偶数，22n n +为正整数， ……… 12分所以只需2(1)3n -为整数即可，即3整除1n -， ……… 14分所以，所有n 的值构成的集合为{}31,A n n k k N ==+∈.……… 16分20. 解：（1）因为直线ll 213:+=x y ，则点O 到直线l 的距离412|21|==d ，……… 2分所以弦AB 的长度2154112||2=⎪⎭⎫⎝⎛-=AB ，所以16152154121=⋅⋅=∆OAB S . ……… 4分（2）因为直线l 的斜率为0，所以可知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21,23A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23B ， ………6分设点),(y x C ，则122=+y x ，又()222222221122222CA CB x y x y x y y ⎛⎛⎛⎫⎛⎫+=++-++-=++- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，… 8分 所以2242CA CB y +=-，又[]1,1-∈y ， 所以22CA CB +的取值范围是[]2,6.……… 9分（3）法一： 若存在，则根据对称性可知，定点Q 在y 轴上，设),0(t Q 、又设),(11y x A 、),(22y x B ，因直线l 不与y 轴重合，设直线l 21:+=kx y ， ……… 10分代入圆O 得043)1(:22=-++kx x k ， 所以221221143,1kx x k kx x +-=+-=+（*） ……… 12分若PQ 平分AQB ∠，则根据角平分线的定义，AQ 与BQ 的斜率互为相反数 有12120y t y t x x --+=，又1112y kx =+，2212y kx =+， 化简可得))(21(2:2121x x t x kx +-=， ……… 14分代入（*）式得k t k )21(23:-=，因为直线l 任意，故2123-=t ，即2=t ， 即(0,2)Q ……… 16分解法二若存在，则根据对称性可知，定点Q 在y 轴上，设),0(t Q 、又设),(11y x A 、),(22y x B ，因直线l 不与y 轴重合，设直线l 21:+=kx y ， ……… 10分代入圆O 得043)1(:22=-++kx x k ， 所以221221143,1k x x k k x x +-=+-=+（*） ……… 12分若PQ 平分AQB ∠，则根据角平分线的几何意义，点A 到y 轴的距离1d ，点B 到y 轴的距离2d 满足21:d QB d QA =，即||)(||)(2222212121x y t x x y t x -+=-+，化简可得))(21(2:2121x x t x kx +-=，……… 14分代入（*）式得k t k )21(23:-=，因为直线l 任意，故2123-=t ， 即2=t ， 即(0,2)Q ……… 16分。

2012/2013学年度第二学期期终调研考试高一数学试题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．4．第19、20题，请四星级高中学生选做（A ），三星级高中与普通高中学生选做（B ），否则不给分.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{}1,2,3P =，{},4Q a =，若{}1P Q =，则a = ▲ ．2．函数13sin()23y x π=-的最小正周期为 ▲ .3．在等比数列{}n a 中，若251,8a a ==，则3a = ▲ ． 460y +-=的倾斜角的大小为 ▲ ．5．在ABC ∆中，若45,60AB B C =∠=︒∠=︒，则AC = ▲ ．6．已知直线1:240l x y +-=与 2:(2)10l mx m y +--=平行，则实数m = ▲ ． 7．已知正四棱锥的底面边长是6，则该正四棱锥的侧面积为 ▲ ． 8．如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则CA CB ⋅= ▲ ． 9．设2()log f x x =，则10(4)f = ▲ ．10．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面． ①若m β⊥，m α⊂，则αβ⊥； ②若αβ⊥， n αβ=，m α⊂，则m n ⊥；③若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ； ④若//m α，m β⊂，n αβ=，则//m n ．上述命题中为真命题的是 ▲ （填写所有真命题的序号）．11．若方程ln 3x x =-的解在区间(1,)()a a a Z -∈内，则a = ▲ ．A B C第8题12．若函数()||f x x x a =+-的最小值为32a +，则实数a 的值为 ▲ ． 13．已知数列{}n a 为等差数列，若9810a a +<，则数列{}||n a 的最小项是第 ▲ 项．14．在平面直角坐标系xOy中，若曲线x =y x b =+的距离为1，则b 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知侧面11ACC A ⊥底面ABC ，11AC C C =，,E F 分别是11AC 11A B 的中点．（1）求证：//EF 平面11BB C C ； （2）求证：平面ECF ⊥平面ABC . 16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(3,1)m =，(1cos ,sin )n A A =+. （1）当3A π=时，求||n 的值；（2）若1,a c ==m n ⋅取最大值时，求b .17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过(2,2)A -，(1,1)B 两点，且圆心在直线220x y --=上．第15题ABCE FA 1B 1C 1（1）求圆C 的标准方程；（2）设直线l 与圆C 相交于,P Q 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为15，且POQ ∆的面积为25，求直线l 的方程.18．（本小题满分16分）根据国际公法，外国船只不得进入离我国海岸线12海里以内的区域（此为我国领海，含分界线）. 若外国船只进入我国领海，我方将向其发出警告令其退出. 如图，已知直线AB 为海岸线，,A B 是相距12海里的两个观测站，现发现一外国船只航行于点P 处，此时我方测得α=∠BAP ，β=∠ABP （0απ<<，0βπ<<）. （1）试问当120,30==βα时，我方是否应向该外国船只发出警告？ （2）若1tan 2α=，则当β在什么范围内时，我方应向该外国船只发出警告？ 19．（本小题满分16分） （A ）（四星级高中学生做）已知数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列；数列{}n b 是公比为2的等比数列，且{}n b 的前4项的和为152.ABPαβ 第18题·O xyA B ·第17题（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若3d =，求数列{}n a 中满足*89()i b a b i N ≤≤∈的所有项i a 的和； （3）设数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，若5c 是数列{}n c 中的最大项，求公差d 的取值范围.（B ）（三星级高中及普通高中学生做）已知数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列；数列{}n b 是公比为2的等比数列，且{}n b 的前4项的和为152.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若3d =，求数列{}n a 中满足*89()i b a b i N ≤≤∈的所有项i a 的和；（3）设数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若n T 的最大值为5T ，求公差d 的取值范围.20．（本小题满分16分） （A ）（四星级高中学生做）（1）求证：函数()22xxf x -=+在[0,)+∞上是单调递增函数；（2）求函数()22()xxf x x R -=+∈的值域；（3）设函数1421()421x x k x x g x ++++=++，若对任意的实数123,,x x x ，都有123()()()g x g x g x +≥，求实数k 的取值范围.（B ）（三星级高中及普通高中学生做）（1）求证：函数()22xxf x -=+在[0,)+∞上是单调递增函数；（2）求函数()22()xxf x x R -=+∈的值域；（3）设函数()44(22)()xxx x h x a a R --=+++∈，求()h x 的最小值()a ϕ.2012/2013学年度第二学期期终调研考试高一数学参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分.1．1 2．4π 3．2 4．120°(23π) 5 6．237．488．16 9．20 10．①④ 11．3 12． －1 13．814．(2]二、解答题：本大题共6小题,共计90分.15．证明:（1）在111ABC ∆中，因为,E F 分别是11AC ,11A B 的中点，所以11//EF B C ， ……4分又EF ⊄面11BB C C，11B C ⊂面11BB C C ，所以//EF 平面11BB C C . …………7分（2）因为11AC C C =，且E 是11AC 的中点，所以EC ⊥11AC ，故EC ⊥AC ， 又侧面11ACC A ⊥底面ABC ，且EC ⊂侧面11ACC A ，所以EC ⊥底面ABC . …………11分又EC ⊂面ECF ，所以面ECF ⊥面ABC . …………14分16．解: （1）当3A π=时，33(,2n =，…………3分所以23||()n =+= …………6分（2）因为3(1cos )sin 2sin()3m n A A A π⋅=++=++，所以当m n ⋅取最大值时，6A π=. …………10分又1,a c ==22132cos 336b b b b π=+-=+-，解之得2b =或1b =. …………14分17．解:（1）因为(2,2)A -，(1,1)B ，所以3AB k =-，AB 的中点为31(,)22-，故线段AB 的垂直平分线的方程为113()232y x +=-，即330x y --=，由330220x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得圆心坐标为(0-. …………4分所以半径r 满足221(11)5r =+--=. …………6分故圆C 的标准方程为22(1)5x y ++=. …………7分（2）因为112255OPQ S PQ ∆=⨯⨯=，所以4PQ =.①当直线l 与x 轴垂直时，由坐标原点O 到直线l 的距离为15知，直线l 的方程为15x = 或15x =-，经验证，此时4PQ ≠，不适合题意； …………9分②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx b =+， 由坐标原点到直线l的距离为115d ==，得22125k b += （*）， …………11分又圆心到直线l的距离为2d =，所以4PQ ==，即22(1)1b k +=+（**）， …………13分由（*），（**）解得3414k b ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.综上所述，直线l的方程为3410x y +-=或3410x y -+=. …………14分18．解：（1）如图：过P 作PH 垂直AB 于H ，因为 120,30==βα，所以30=∠APB ，所以AB=PB=12， …………4分 所以PH=AB 123660sin <= ，所以应向该外国船只发出警告. (7)分（2）在ABP ∆中，由正弦定理得：()αβαπsin sin PBAB =--，所以()βαπα--=sin sin 12PB ，所以()()()βαβαβαπβαβπ+=--=-⋅=s s s 12sin sin sin 12sin PB PH ， …………10分令12≤PH ，得()12sin sin sin 12≤+βαβα，即()βαβα+≤sin sin sin ， 所以s αβ≤+， …………12分又因为1tan 2α=，所以α为锐角，且sin αα==，所以25c o s5βββ≤，即s i ββ≥-， …………14分故sin cos 0ββ+≥)04πβ+≥，解得304πβ<≤， ABPαβ H所以当304πβ<≤时，我方应向该外国船只发出警告. …………16分 19．（A ）（四星级高中学生做）解:（1）因为{}n b 是公比为2的等比数列，且其前4项的和为152，所以115(1248)2b +++=，解得112b =， …………2分 所以121222n n n b --=⨯=. …………4分（2）因为数列{}n a 是首项为1，公差3d =的等差数列，所以32n a n =-，由89i b a b ≤≤，得672322i ≤-≤，解得2243i ≤≤， …………6分所以满足89i b a b ≤≤的所有项i a 为222343,,,a a a ⋅⋅⋅，这是首项为2264a =，公差为3的等差数列， 共43－22+1=22项，故其和为22216422321012⨯⨯+⨯=. …………9分 （3）由题意，得2[1(1)]2n n n n c a b n d -=⋅=+-⨯， 因为5c 是{}n c 的最大项，所以首先有54c c ≥且56c c ≥， 即32(14)2(13)2d d +⨯≥+⨯且34(14)2(15)2d d +⨯≥+⨯， 解得1156d -≤≤-. …………12分 ① 当4n ≥时，在1156d -≤≤-的条件下，35[14]20c d =+⨯>，但7n ≥时，2[1(1)]20n n c n d -=+-⨯≤，所以此时5c 是最大的； …………14分②当3n ≤时，由152535,,c c c c c c ≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，得18(14),218(14),2(12)8(14)d d d d d ⎧≤+⎪⎪+≤+⎨⎪+≤+⎪⎩，解得1564731314d d d ⎧≥-⎪⎪⎪≥-⎨⎪⎪≥-⎪⎩.综合①②，所求的公差d 的取值范围是1156d -≤≤-. …………16分（B ）（三星级高中及普通高中学生做） 解：（1）（2）同（A ）（3）因为120n n b -=>，若0d ≥，则0n a >，所以0n n n c a b =⋅>，此时n T 无最大项， 所以0d <， …………12分 此时{}n a 单调递减，欲n T 的最大项为5T ，则必有560,0c c ≥≤，即560,0a a ≥≤，…………14分又1(1)n a n d =+-，所以140,150d d +≥⎧⎨+≤⎩，解得1145d -≤≤-. …………16分20．（A ）（四星级高中学生做）解：（1）证明：设12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，因为112212121211()()(22)(22)(22)()22xx x x x x x x f x f x ---=+-+=-+- 21121212121222(22)(21)(22)22x x x x x x x x x x x x +++---=-+=， …………3分因为12121220,220,210x x x x x x ++>-<->，所以12()()0f x f x -<，所以()2x x f x -=+在[0,)+∞上是单调递增函数. …………5分（2）由（1）知，当[0,)x ∈+∞时，()[(0),)f x f ∈+∞，即()[2,)f x ∈+∞， …………7分又因为()22()x x f x f x --=+=，所以()f x 是偶函数， 所以当x R∈时，()f x 的值域为[2+∞. …………9分（3）因为对任意的实数123,,x x x ，都有123()()()g x g x g x +≥，所以min max [2()][()]g x g x ≥，…………11分由于1421()421x x k x x g x ++++=++222222x x k x x--++=++，令22x xt -+=， 则222()()1(2)22k k t g x r t t t t +-===+++≥， ①当1k =时，()1r t =，适合题意； …………12分②当1k <时，22()14k r t +<≤，由22214k +⨯≥，得1k <； …………14分③当1k >时，221()4k r t +<≤，由22214k +⨯≥，得21log 6k <≤．综上，实数k 的取值范围为2(,log 6]-∞． …………16分 （B ）（三星级高中及普通高中学生做） 解：（1）（2）同（A ）；（3）因为2()(22)(22)2x x x x h x a --=+++-，令22x xt -+=，则2()()2,[2,)h x m t t at t ==+-∈+∞， (11)分因为函数()m t 的对称轴方程为2at =-，所以 ①当22a -≥，即4a ≤-时，2()()224a a a m ϕ=-=--， …………13分 ②当22a-<，即4a >-时，()(2)22a m a ϕ==+， …………15分综上所述，22,4()422,4a a a a a ϕ⎧--≤-⎪=⎨⎪+>-⎩. …………16分。

四星高中使用2013/2014学年度第二学期高一年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．直线30x y -+=在y 轴上的截距为 ▲ ． 2．若角α的终边经过点(3,2)P ，则tan α的值为 ▲ ．3．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为 ▲ ． 4．已知点)2,1(A ，)5,3(B ，向量()=,6a x ，若a //AB ，则实数x 的值为 ▲ ． 5．过点(2,1)A ，且与直线230x y -+=平行的直线方程为 ▲ ．6．已知向量a 与b 的夹角为120，且||2a =，1||=b ，则=+|2|b a ▲ ． 7．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141,8a a ==，则5S = ▲ ． 8．若54)6sin(=+πx ，则=-)3cos(πx ▲ ．9．直线+10x =被圆032:22=--+x y x C 截得的弦长为 ▲ ． 10．设,m n 是两条不同的直线，βα,是两个不重合的平面，给定下列四个命题： ①若n m ⊥，α⊂n ，则α⊥m ； ②若m α⊥，m β⊂，则βα⊥； ③若α⊥m ，α⊥n ，则n m //； ④若α⊂m ，β⊂n ，βα//，则n m //. 其中真命题的序号为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴相交于(1,0)A 、(3,0)B 两点，且与直线01=+-y x 相切，则圆C 的标准方程为 ▲ ．BA BC ⋅= ▲ ．13．已知点()5,0A -，()1,3B --，若圆()2220x y r r +=>上恰有两点M ，N ，使得M AB ∆和NAB ∆ 的面积均为5，则r 的取值范围是 ▲ ．14．若单调递增数列{}n a 满足1236n n n a a a n ++++=-，且2112a a =，则1a 的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，90ABC ∠=，PA ⊥平面ABC ，E ,F 分别为PB ,PC 的中点. （1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：平面AEF ⊥平面PAB .16．（本小题满分14分）已知函数()2sin cos f x x x x +，x R ∈. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的值域. 17．（本小题满分14分）在四边形ABCD 中，已知9=AB ，6=BC ，PD CP 2=． （1）若四边形ABCD 是矩形，求BP AP ⋅的值；（2）若四边形ABCD 是平行四边形，且6=⋅BP AP ，求AB 与AD 夹角的余弦值．A18．（本小题满分16分）为绘制海底地貌图，测量海底两点C ，D 间的距离，海底探测仪沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，C ，D 在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得30,BAC ∠=45,DAC ∠=45,ABD ∠=75,DBC ∠=A ，B 两点的距离为3海里.（1）求ABD ∆的面积； （2）求C ，D 之间的距离. 19．（本小题满分16分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n a S An Bn C +=++. （1）当0A B ==，1C =时，求n a ； （2）若数列{}n a 为等差数列，且1A =，2C =-. ①求n a ；②设n b ，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求60T 的值.DCBA20．（本小题满分16分）已知圆O 的方程为1322=+y x ，直线:l 00+13x x y y =，设点00(,)A x y ． （1）若点A 在圆O 外，试判断直线l 与圆O 的位置关系；（2）若点A 在圆O 上，且02x =，00y >，过点A 作直线,AM AN 分别交圆O 于,M N 两点，且直线AM 和AN 的斜率互为相反数；① 若直线AM 过点O ，求tan MAN ∠的值；② 试问：不论直线AM 的斜率怎样变化，直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．四星高中使用高一数学参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分. 1．3 2．233．2π 4．4 5．230x y --= 6．2 7． 31 8．549． 10．②③ 11． 2)1()2(22=-+-y x 12． 13．()15， 14．123(,)52-- 二、解答题：本大题共6小题,共计90分.15．证明:（1）在PBC ∆中，F E , 分别为PC PB ,的中点BC EF //∴………………3分又⊂BC 平面ABC ，⊄EF 平面ABC //EF ∴平面ABC …………………………………7分（2）由条件，⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABCBC PA ⊥∴︒=∠90ABC ，即BC AB ⊥，………………………………………………10分 由//EF BC ，∴EF AB ⊥，EF PA ⊥又A AB PA =⋂，AB PA ,都在平面PAB 内 EF ∴⊥平面PAB又⊂EF 平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAB ………………………………………………14分16．解: （1）由条件可得sin22sin(2)3y x x x π+=+，……………………………4分（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴65,332πππx ，……………………………………………………8分 当12π=x 时，函数y 取得最大值为2，当4π=x 时，函数y 取得最小值为1∴函数y 的值域为[]2,1…………………………………………………………………………14分17．解：（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以0=⋅由PD CP 2=得：DC DP 31=，3232-==．………………………………3分 ∴ BP AP ⋅)()(CP BC DP AD +⋅+=)32()31(-⋅+=229231DC DC AD AD -⋅-=18819236=⨯-=．………………………………7分（2）由题意，DP AD AP +=AB AD DC AD 3131+=+=3232-=+=+=∴ )32()31(AB AD AB AD BP AP -⋅+=⋅221239AD AB AD AB =-⋅-136183AB AD =-⋅-1183AB AD =-⋅………………………………………………10分 又6=⋅BP AP ，∴ 11863AB AD -⋅=， ∴ 36AB AD ⋅=．又θθθcos 54cos 69=⨯⨯==⋅AD AB ∴ 54cos 36θ=，即2cos 3θ=．（利用坐标法求解，同样给分）………………………14分 18．解：（1）如图所示,在ABD ∆中︒=︒+︒=∠+∠=∠754530DAC BAC BAD ︒=∠∴60ADB由正弦定理可得，ABD AD ADB AB ∠=∠sin sin ，260sin 45sin 3=︒︒=AD …………………4分则ABD ∆的面积11sin 22S AB AD BAD =⋅∠==（平方海里）…………8分 （2）︒=︒+︒=∠+∠=∠1207545DBC ABD ABC ，︒=∠=∠30BCA BAC3==∴AB BC 3=∴AC …………………………………………………………………12分在ACD ∆中，由余弦定理得，5cos 2222=∠⋅-+=DAC AD AC AD AC CD即5=CD （海里）答：ABD ∆的面积为433+平方海里，C ，D 间的距离为5海里.……………………16分 19．解：(1)由题意得，21n n a S +=，∴1121(2)n n a S n --+=≥，两式相减，得123n n a a -=，……………………………………………………………………3分 又当1n =时，有131a =，即113a =，∴数列{}n a 为等比数列，∴112=33n n a -⎛⎫⎪⎝⎭.………………………………………………5分（2）①Q 数列{}n a 为等差数列，由通项公式与求和公式，得2211113222(1)()()222222n n d d d da S a n d n a n n a n a d +=+-++-=+++-， Q 1,2A C ==-， ∴12d=，12a d -=-，∴2d =，11a =，∴21n a n =-.………10分②n b=12=…………………………………………………………………………13分则111=+=12122n T n ⎛⎛ -⎝⎝， ∴6011115==1=2121111T ⎛⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝……………………………………………………16分20．解：（1）当点A 在圆O 外时，得132020>+y x ，即132020>+y x∴ 圆心到直线l 的距离r yx d =<+=1313202，∴ 直线l 与圆O 相交．…………………………………………………………………………5分 （2）①由点A 在圆O 上，且02x =，00y >，得03y =，即)3,2(A ． 记直线AM 的倾斜角为α，则3tan 2α=，…………………………………………………7分 又∵ 0AM AN k k +=， ∴ 直线AN 的倾斜角为πα-， ∴22tan 312tan tan(2)tan 291tan 514MAN απααα∠=-=-=-=-=--．…………10分 ②记直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为：32y kx k =+-．将32y kx k =+-代入圆O 的方程得：22(12)33kx x k +-+=， 化简得：22232(1)2(32)(130)k x k k x k ++-+-=-，∵ 2是方程的一个根， ∴ 2232)2(131M k x k -=+-， ∴226221M x k k k --+=， 由题意知：k k AN-=，同理可得，226221N x k k k +-+=，…………………………………13分 ∴ 32(32)4M N M N MN MN M N M N M Ny y kx k kx k x x k k x x x x x x -+---+++-===⋅---， ∴ 2222222222228421222362621116262111MN k k k k k k k k k k k k k k k k k k --+-+++---+-=⋅=⋅=--+-+++， ∴ 不论直线AM 的斜率怎样变化，直线MN 的斜率总为定值23．………………………16分。

2012-2013学年江苏省盐城市龙冈中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应的横线上．）1．（5分）（2010•青浦区二模）函数y=sinxcosx+的最小正周期为π．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：把函数y=sinxcosx+化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．解答：解：函数y=sinxcosx+=sin2x+，它的最小正周期是：=π．故答案为π点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．2．（5分）一直线倾斜角的正切值为，且过点P（1，2），则直线方程为3x﹣4y+5=0．考点：直线的一般式方程．专题：计算题；直线与圆．分析：题目给出了直线的斜率和直线经过的定点，直接写出直线方程的点斜式，然后化为一般式．解答：解：因为直线倾斜角的正切值为，即k=3，又直线过点P（1，2），所以直线的点斜式方程为，整理得，3x﹣4y+5=0．故答案为3x﹣4y+5=0．点评：本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题．3．（5分）（2010•上海）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．解答：解：y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+=1+当=2k，有最小值1﹣故答案为1﹣点评：本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式化简三角函数．4．（5分）正方体的全面积是24cm2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是12πcm2．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，正方体的棱长为a，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，依题意知4R2=3a2=12即R2=3，∴S球=4πR2=4π•3=12π（cm2）．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力，是基础题．5．（5分）已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．考点：确定直线位置的几何要素．专题：计算题；探究型．分析：由于给出的直线恒过定点（0，﹣1）所以直线的斜率确定了直线的具体位置，由斜率大于0可求解a的范围．解答：解：因为直线y=（3a﹣1）x﹣1过定点（0，﹣1），若直线y=（3a﹣1）x﹣1经过第一、三、四象限，则其斜率大于0，即3a﹣1＞0，所以a＞．故答案为a．点评：本题考查了确定直线位置的几何要素，平面中，如果直线过定点，且倾斜角一定，则直线唯一确定，是基础题．6．（5分）已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱柱的体积为45．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：直接利用柱体体积公式V=Sh计算即可解答：解：正三棱柱的底面边长为6，底面积S=62=9侧棱长为5，即高h=5，所以体积V=Sh=45故答案为45点评：本题需掌握正三棱柱的结构特征：底面为正三角形，侧棱与底面垂直以及柱体体积公式7．（5分）已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β，l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．其中正确命题的序号是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）考点：空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：对于①，由直线与平面垂直的判定定理能够判断真假；对于②，由直线平行于平面的性质知l与α内的直线平行或异面；对于③，由平面与平面垂直的判定定理知α与β不一定垂直；对于④，由平面与平面垂直的判定定理能够判断真假；对于⑤，由平面与平面平行的性质知m∥l或m与l异面．解答：解：①l垂直于α内的两条相交直线，由直线与平面垂直的判定定理知l⊥α，故①正确；②若l∥α，则l与α内的直线平行或异面，故②不正确；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α与β不一定垂直．故③不正确；④若l⊂β，l⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故④正确；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l或m与l异面，故⑤不正确．故答案为：①④．点评：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的判断，是基础题．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．（5分）（2012•江苏一模）在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：利用面积公式求出AB，通过余弦定理直接求出AC即可．解答：解：因为在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，三角形ABC的面积S===，所以AB=4，由余弦定理可知：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，∴AC2=16+1﹣2×4×1×=13，∴AC=．故答案为：．点评：本题考查三角形中的几何计算，余弦定理的应用，考查计算能力．9．（5分）（2010•宝山区一模）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18 cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；压轴题．分析：设母线长为l，底面半径为r，利用侧面展开图，求出圆心角，然后求出底面半径，即可求出圆锥母线与底面所成角的余弦值．解答：解：设母线长为l，底面半径为r，则依题意易知l=18cm，由θ=，代入数据即可得r=12cm，因此所求角的余弦值即为==．故答案为：点评：本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，扇形的知识，圆锥的母线与底面所成的角，考查计算能力．10．（5分）△ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为4．考点：直线与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由在Rt△ABC中，∠ABC=90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，能推导出BC⊥平面PAB．由此能求出四面体P﹣ABC中有多少个直角三角形．解答：解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，BC⊥AB，∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．∴四面体P﹣ABC中直角三角形有△PAC，△PAB，△ABC，△PBC．4个．故答案为：4．点评：本题考查直线与平面垂直的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用．11．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a2=b2+c2+bc，且sinB+sinC=1，则角B=30°．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理由a2=b2+c2+bc，可求得A=120°，利用和差化积公式可求得cos=1，从而可求得B=C=30°．解答：解：由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，又a2=b2+c2+bc，∴﹣2cosA=1，∴cosA=﹣．∵A∈（0，180°），∴A=120°，∴B+C=60°，=30°．∵sinB+sinC=1，∴2sin cos=1，即2sin30°cos=1，∴cos=1，B，C∈（0，60°），∴B=C=30°．故答案为：30°．点评：本题考查余弦定理，考查和差化积公式，求得A=120°是关键，属于中档题．12．（5分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，则乙船每小时航行海里？考点：正弦定理；余弦定理．专题：应用题；解三角形．分析：连接A1B2，依题意可知A2B2，求得A1A2的值，推断出△A1A2B2是等边三角形，进而求得∠B1A1B2，在△A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值，进而求得乙船的速度．解答：解：连接A1B2，由题意可得，A2B2=10，A1A2==10△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos45°==200∴B1B2=10因此乙船的速度的大小为=30．故答案为：30点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．要能综合运用余弦定理，正弦定理等基础知识，考查了综合分析问题和解决实际问题的能力．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2=b2+bc，sin C=2sin B，则A=60°．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理化简sinC=2sinB，得到c=2b，代入a2=b2+bc得到a与b的关系，利用余弦定理表示出cosA，将得出的关系代入求出cosA的值，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：由正弦定理化简sinC=2sinB得：c=2b，将c=2b代入a2=b2+bc中，得：a2=b2+2b2=3b2，即a=b，由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=60°．故答案为：60°点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．14．（5分）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心．则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为12．考点：棱柱的结构特征；简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：通过作图，分析出空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形的形状，求出其面积，得到面积的最大值．解答：解：如图，若投影投在AA1D1D或BB1CC1平面上，投影面积由E点确定，最大面积为8，E与A1重合时取最大面积；若投影投在ABCD或A1B1C1D1平面上，投影面积由F点确定，最大面积为8，F与D1重合时取最大面积；若投影投在ABA1B1或DD1CC1平面上，投影面积由E点与F点确定，当E与A1，F 与C1重合时，可得最大面积，G投在BB1的中点，是个直角梯形S==12．故答案为12．点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间几何图形在平面上的正投影，考查了学生观察问题和分析问题的能力，是中档题．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知直线l过点A（﹣2，3）（1）直线l的倾斜角为135°，求直线l的方程；（2）直线l在两坐标轴上的截距之和为2，求直线l的方程．考点：直线的一般式方程；直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：（1）有直线的倾斜角求出其斜率，直接利用直线方程的点斜式写出方程，然后化为一般式；（2）设出直线的斜截式方程，由点A在直线上得到一个关于k，b的方程，求出直线在两坐标轴上的截距，由截距之和等于2得另一方程，联立方程组后求出斜率和截距，则直线方程可求．解答：解：（1）由直线l的倾斜角为135°，所以其斜率为﹣1，又直线l过点A（﹣2，3），所以直线l的方程为y﹣3=﹣（x+2），即x+y﹣1=0；（2）设线方程为：y=kx+b 因为过点A（﹣2，3）所以3=﹣2k+b．当y=0，x=﹣．当x=0，y=b．由题意得，﹣+b=2解方程组，得k1=﹣1，b=1；k2=，b=6．所以直线方程为：y=x+1或3x﹣2y+12=0．点评：本题考查了直线的一般式方程和截距式方程，考查了方程组的解法，需要注意的是截距不是距离，是基础的计算题．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点，AC与BD的交点为O．求证：（1）直线OE∥平面PBC；（2）平面ACE⊥平面PBD．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形的中位线性质可得OE∥PB，再根据直线和平面平行的判定定理证得OE∥平面PBC．（2）证明PD⊥AC，BD⊥AC，再根据直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面PBD，再根据平面和平面垂直的判定定理证得平面ACE⊥平面PBD．解答：证明：（1）在正方形ABCD中，AC与BD的交点O为BD的中点，又因为E为PD 的中点，故OE是三角形DPB的中位线，所以OE∥PB．因为OE⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以OE∥平面PBC．…（7分）（2）因为PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD．又因为BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，且BD∩PD=D，所以AC⊥平面PBD．又因为AC⊂平面ACE，所以，平面ACE⊥平面PBD．…（14分）点评：本题直线和平面平行的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．17．（15分）已知函数f（x）=2cos．（1）设x∈，且f（x）=+1，求x的值；（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，AB=1，f（C）=+1，且△ABC 的面积为，求a+b的值．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（1）函数解析式利用单项式乘多项式法则计算，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据f（x）的值，即可求出x的值；（2）利用三角形的面积公式及余弦定理列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．解答：解：（1）f（x）=2cos2﹣2sin cos=（1+cosx）﹣sinx=2cos（x+）+，由2cos（x+）+=+1，得cos=，于是x+=2kπ±（k∈Z），∵x∈[0，]，∴x=；（2）∵C∈（0，π），∴由（1）知C=，∵△ABC的面积为，∴=absin，即ab=2，①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b，由余弦定理得1=a2+b2﹣2abcos=a2+b2﹣6，∴a2+b2=7，②由①②可得或，则a+b=2+．点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（15分）（2010•石家庄二模）已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边的边长为a 、b 、c ，且bcosC=（2a ﹣c ）cosB ． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若y=cos 2A+cos 2C ，求y 的最小值．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域． 专题：计算题． 分析： （Ⅰ）由正弦定理化简已知的等式，移项后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据A 为三角形的内角，得到sinA 不为0，进而得到cosB 的值，再由B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（Ⅱ）由第一问求出的B 的度数，根据内角和定理得到A+C 的度数，进而得到2A+2C 的度数，用2A 表示出2C ，接着把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，把表示出的2C 代入，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值变形，合并后再利用两角和与差的正弦函数公式把所求式子化为一个角的正弦函数，由2A 的范围，得到这个角的范围，得到正弦函数的值域，即可得到所求式子的范围． 解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理可得：sinBcosC=2sinAcosB ﹣sinCcosB ，（2分） 即sin （B+C ）=2sinAcosB ，因为0＜A ＜π，所以sinA ≠0，∴， ∴；（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则y=cos 2A+cos 2C==∵，∴，则，（8分） 所以y 的取值范围为．（10分）点评： 此题考查了正弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．19．（16分）（2011•南通一模）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2）．赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．（1）求ω的值和∠DOE的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．考点：已知三角函数模型的应用问题；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（1）依题意，得A=2，．根据周期公式T=可得ω，把B的坐标代入结合已知可得φ，从而可求∠DOE的大小；（2）由（1）可知OD=OP，矩形草坪的面积S关于θ的函数，有，结合正弦函数的性质可求S取得最大值．解答：解：（1）由条件，得A=2，．（2分）∵，∴．（4分）∴曲线段FBC的解析式为．当x=0时，．又CD=，∴．（7分）（2）由（1），可知．又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故．（8分）设∠POE=θ，，“矩形草坪”的面积为=．（13分）∵，故取得最大值．（15分）点评：本题主要考查了在实际问题中，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数的解析式，一般步骤是：由函数的最值确定A的值，由函数所过的特殊点确定周期T，利用周期公式求ω，再把函数所给的点（一般用最值点）的坐标代入求φ，从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解．关键是要把实际问题转化为数学问题来求解．20．（16分）（2012•盐城三模）在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，D为线段BC 的中点，E、F为线段AC的三等分点（如图1）．将△ABD沿着AD折起到△AB'D的位置，连接B'C（如图2）．（1）若平面AB'D⊥平面AD C，求三棱锥B'﹣AD C的体积；（2）记线段B'C的中点为H，平面B'ED与平面HFD的交线为l，求证：HF∥l；（3）求证：AD⊥B'E．考点：直线与平面平行的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．分析：（1）要求三棱锥的体积，关键要确定高与底面，由于平面AB'D⊥平面AD C，则可让△ADC为底，B'到面ADC的距离为高，即要找到过B'点的AD的垂线即可；（2）此问是要证明线线平行，又知l为平面B'ED与平面HFD的交线，故可证HF∥面B'ED，再用线面平行的性质定理即得证；（3）要证AD⊥B'E，可用线面垂直的性质定理，即让AD垂直于B'E所在的其中一个平面即可．解答：解：（1）在直角△ABC中，D为BC的中点，所以AD=BD=CD．又∠B=60°，所以△ABD是等边三角形．取AD中点O，连接B'O，∴B'O⊥AD．∵面AB'D⊥面ADC，面AB'D∩面ADC=AD，B'O⊂面AB'D，∴B'O⊥面ADC．在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，D为BC的中点，∴AC=，B'O=，∴．∴三棱锥B'﹣ADC的体积为V=．（2）∵H为B'C的中点，F为CE的中点，∴HF∥B'E，又HF⊈面B'ED，B'E⊂面B'ED，∴HF∥面B'ED，∵HF⊂面HFD，面B'ED∩面HFD=l，∴HF∥l．（3）由（1）知，B'O⊥AD．∵AE=，，∠DAC=30°，∴=，∴AO2+EO2=AE2，∴AD⊥EO又B'O⊂面B'EO，EO⊂面B'EO，B'O∩EO=O，∴AD⊥面B'EO，又B'E⊂面B'EO，∴AD⊥B'E．点评：本题考查的是立体几何的平行与垂直的关系和空间体的体积；立体几何的平行与垂直的问题是高考的常考必考内容，除了要掌握与平行垂直相关的结论外，理科生还要注意掌握用空间向量的方法解决立体几何中的平行、垂直、空间角的问题．。

2012－2013学年度第二学期期末调研考试高一数学试题（四星）本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知角α的终边过点-(4,3)P ，则2sin cos αα+的值是 ．2．某校高一（1）班共有44人，学号依次为01，02，03，…，44．现用系统抽样的办法抽一个容量为4的样本，已知学号为06，28，39的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ．3．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对100辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有 辆．解：由所给的频率分布的直方图可得，汽车被处罚的频率为 0.02×10=0.2， 故被处罚的汽车大约有100×0.2=20（辆），故答案为 20．4．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 ．5．取一根长度为4m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m 的概率是．6．从｛1，2，3，4，5，6｝中随机选一个数a ，从｛1，2，3｝中随机选一个数b ，则a b > 的概率为 ．解：根据题意，用数组（a ，b ）表示抽取的情况， 则有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3），（6，1）、（6，2）、（6，3），共18种情况，其中a ＞b 的情况有（2，1）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（6，1）、（6，2）、（6，3），共12种情况，7．设x ∈R ，向量a (,1)x =，b (1,2)=-，且a ⊥b ，则|a +b |= ．↓ 开始 结束a ←1a ←a 2+1 a <10 输出a YN ↓ ↓8．如图是某工厂一名工人在六天中上班时间的茎叶图，则该工人在这六天中上班时间的方差为 ．089102259．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,A ωπϕπ>>-<<）在512x π=处取得最大值3，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π，则()f x 的解析式为 ．10．正三棱锥的底面边长为1，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ．11．函数()f x =ax ，x [0,]π∈，且()f x ≤1＋sin x ，则a 的取值范围是 ．12．已知|a |1=，若非零向量b 满足b ⋅(b －a )0=，则|b |的取值范围为 ．13．若A ，B ，C (0,)2π∈，且sin A －sin C =sin B ，cos A ＋cos C =cos B ，则B －A = ．14．已知函数22|log |,04,()2708,4.33x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,,a b c d 互不相同，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a ，b 的夹角为60︒，且|a |1=，|2a －b |=23 （1）求|b |；（2）求b 与2a －b 的夹角．解：（1）将|2a －b |=两边平方得42a +2b -4|a ||b |cos ,a b <>r r=12，…………4分即2b -2|b |-8=0，解得|b |=4． …………7分（2）Q b ⋅（2a －b ）=2ab -r r 2b =12142⨯⨯⨯=12-，又|b ||2a -b |=4⨯ ………10分由夹角公式得b 与2a －b=，∴夹角为150︒．………14分 16．（本小题满分14分）某企业生产A ，B ，C 三种产品，每种产品有M 和N 两个型号．经统计三月下旬该企业的产量如下表（单位：件）．用分层抽样的方法从这月下旬生产的三种产品中抽取50件调查，其中抽到A 种产品10件． （1）求x 的值；（2）用分层抽样方法在C 产品中抽取一个容量为5的样本，将该样本看作一个总体，从中任取两件，求至少有一件是M 型号的概率；（3）用随机抽样的方法从C 产品中抽取8件产品做用户满意度调查，经统计它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把8件产品的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率．解：（1）产品A 的产量为400，从中抽取样本容量为10，故按1∶40的比例抽取， 同理产品B 的产量为1000，按1∶40的比例抽取，从中抽取样本容量为25， 所以产品C 应抽取件数为15，故11540240x=+，解得360x =； …………4分 （2）用分层抽样方法在C 产品中抽取一个容量为5的样本，则M 型号有2件，N 型号有3件，从中任取两件所有的情况有：（M 1，M 2），（N 1，N 2），（N 1，N 3），（N 2，N 3），（M 1，N 1），（M 1，N 2），（M 1，N 3），（M 2，N 1），（M 2，N 2），（M 2，N 3），共10种.故至少有一件是M 型号的有（M 1，M 2），（M 1，N 1），（M 1，N 2），（M 1，N 3），（M 2，N 1），（M 2，N 2），（M 2，N 3），共有7种，所以至少有一件是M 型号的概率1710P =；……9分 （3）9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2这8个数据的平均数为9，则与9差的绝对值超过0.5的有9.6，8.2，所以与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率22184P ==…14分 17．（本小题满分14分）如图，在半径为R 、圆心角为60︒的扇形AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设BOP ∠θ=，矩形PNMQ 的面积记为S ． （1）求S 与θ之间的函数关系式；（2）求矩形PNMQ 面积的最大值及相应的θ值．解：（1）在Rt PON ∆中，sin ,cos .PN R ON R θθ== Q 四边形PNMQ 为矩形，sin MQ PN R θ∴==. …………2分故在Rt OMQ ∆中，sin tan 60MQ OM θ==︒，所以cos sin MN ON OM R θθ=-=. …………4分则sin (cos sin )S PN MN R R θθθ=⋅=. …………6分2221(sin cos )(sin 22R R θθθθ==22sin(230)θ=+︒…11分 （2）因为当23090θ+︒=︒时，max sin(230)1θ+︒=，所以当30θ=︒时，22max S ，所以矩形PNMQ2，30BOP ∠=︒. …………14分 18．（本小题满分16分）已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=． （1）求tan tan AB的值； （2）求tan B 的值． 解：（1）53sin cos cos sin )sin(=+=+B A B A B A Θ① …………2分 51sin cos cos sin )sin(=-=-B A B A B A ② …………4分 ①+②得54cos sin 2=B A ，52cos sin =∴B A ③ 51sin cos =B A ④③/④得：2tan tan =B A． …………7分 APBOQ M N（2）ABC ∆Θ是锐角三角形，又20,ππ<<-=+C C B A ，ππ<+<∴B A 2，53)sin(=+B A ， 43)tan(-=+∴B A ，即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ．…………10分 由（1）B A tan 2tan =，43tan 21tan 32-=-∴BB ， 即01tan 4tan 22=--B B ，4244tan ±=B ． …………14分B Θ是锐角，261tan +=∴B ． …………16分 19．（本小题满分16分）已知函数2()cos 2sin 1f x x a x a =-+-，a ∈R ．（1）当0a =时，求函数()f x 的最小正周期和单调增区间； （2）求()f x 在[,]36x ππ∈-上的最大值()m a ．解：（1）当0a =时，21()cos 1(cos21)2f x x x =-=-．易得周期T π=,单调增区间为[,]()2k k k Z ππππ++∈． …………5分 （2）将函数2()cos 2sin 1f x x a x a =-+-变形为2()sin 2sin f x x a x a =--+，[,]36x ππ∈-．设sin ,t x =则1[]2t ∈，即求函数2()2h t t at a =--+在1[]2t ∈上的最大值()m a ．…………8分①当-≤-2a 时，()h t在-1[,]22上单调递减，∴=-=-++3()(1)24m a h a ． …………10分 ②当-≥12a 时，()h t在-1[,]22上单调增，∴==-11()()24m a h ………12分③当-<-<12a 时，∴=+2()m a a a ． …………14分综上所述，231),,4211(),,421,22a a m a a a a a ⎧-++≥⎪⎪⎪=-≤-⎨⎪⎪+-<<⎪⎩…………16分20．（本小题满分16分）已知圆M 的方程为22(2)1x y -+=，直线l 的方程为2y x =，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ． （1）若60APB ∠=o ，试求点P 的坐标；（2）求PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 解：（1）设(,2)P m m ，由题可知2MP =，所以22(2)(2)4m m +-=， 解之得40,5m m ==．故所求点P 的坐标为(0,0)P 或48(,)55P ． ………4分 （2）设(,2)P m m ，则2||cos PA PB PA PAB ⋅=∠u u u r u u u r u u u r．又22||1PA PM =-u u u r ,222cos 12sin 12PAB PAB PM∠∠=-=-， 2222222||cos (1)(1)3PA PB PA PAB PM PM PM PM ∴⋅=∠=--=+-u u u r u u u r u u u r ．………7分又222216(2)(2)544[,)5PM m m m m =-+=-+∈+∞，2222233||cos 3(1[,)40PA PB PA PAB PM PM PM ∴⋅=∠=+-=-∈+∞u u u r u u u r u u u r ，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的最小值3340． …………10分（3）设(,2)P m m ，MP 的中点(1,)2mQ m +，因为PA 是圆M 的切线， 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为2222(1)()(1)22m mx y m m --+-=+-， 化简得222(22)0x y x m x y +-+--+=， …………13分故2220,220x y x x y ⎧+-=⎨--+=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩或2,54.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(2,0)和24(,)55． …………16分。

2011/2012学年度第二学期期终调研考试高一数学试题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 4．有些题目是选做的，请看清楚再答题.注意前后选择要一致.参考公式：棱锥的体积公式13V Sh =,其中S 为棱锥的底面积, h 为棱锥的高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合}{4,2,1=A ，}{6,4,2=B ，则A B = ▲ ．2．函数cos 2y x =的最小正周期为 ▲ .3-4．注意：在以下三题中选做两题. （A-必修2）过点（1，1）且与直线230x y -+=垂直的直线方程为 ▲ ． （B-必修3）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取 ▲ 名学生． （C-必修5）在等差数列{}n a 中，已知3136a a +=，则15S = ▲ ． 5-6．注意：在以下三题中选做两题. （A-必修2）已知正四棱锥的底面边长为5，则此四棱锥的体积是 ▲ ． （B-必修3）一位篮球运动员在最近的8场比赛中得分的茎叶图如图 所示，则他在这8场比赛中得分的平均值是 ▲ ． （C-必修5）在ABC ∆中，已知7,a b c ===，则其最小内 角的大小为 ▲ .7-8．注意：在以下三题中选做两题.0 51 12 4 4 6 7 2 3第5-6-B 题（A-必修2）设有直线n 和平面α，不管直线n 和平面α的位置如何，在平面α内总存在直线m ，使得它与直线n ▲ .（在“平行”、“相交”、“异面”、“垂直”中选择一个填空） （B-必修3）执行如图算法框图，若输入10a =，3b =，则输出的值 为 ▲ ． （C-必修5）若不等式220x x k ++≤的解集所对应区间的长度为4， 则实数k 的值为 ▲ . 9-10． 注意：在以下三题中选做两题. （A-必修2）直线10x y ++=被圆()()22219x y -+-=截得的弦长为 ▲ . （B-必修3）取一根长为5分米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么 剪得的两段都不小于2分米的概率为 ▲ . （C-必修5）在公差d 不为0的等差数列{}n a 中，已知11a =，且236,,a a a 恰好构成等比数列，则d 的值为 ▲ .11-12．注意：在以下三题中选做两题. （A-必修2）在平面直角坐标系xOy 中，已知射线 :0(0),:20(0)OA x y x OB x y x -=≥+=≥，过点(2,0)P 作直线分别交射线OA 、OB 于点E 、F ，若EP PF =，则直线EF 的斜率为 ▲ . （B-必修3）抛掷两颗骰子，所得点数,m n 构成向量(,)a m n =，则||5a >的概率为 ▲ . （C-必修5）若函数()ab x x x f ++=22的值域为[)+∞,0 ，其中0,0a b >>，则4a b +的最小值为 ▲ ．13．设(1,1)OA =，(sin ,2cos )OB αα=，且AOB ∆是以OB 为斜边的直角三角形，若20πβα<<<，12cos()13αβ-=，则cos β的值为 ▲ ．第7-8-B 题14．已知函数22||,,2()sin ,0,212,0,33x x f x x x x x x ππππ⎧+<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩若关于x 的方程()=()f x m m ÎR 有且仅有三个不同的实数根，且,αβ分别是三个根中的最小根和最大根，则sin()3πβα⋅+的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 2πx x f ，[]π,0∈x . （1）求)(x f 的最大值，并指出取得该最大值时x 的值； （2）求)(x f 的单调减区间. 16．（本小题满分14分）若函数(0,1)xy a b a a =+>≠的图象过(0,0)P 与(1,9)Q 两点，设函数()log ()a f x x b =+.（1）求()f x 的定义域；（2）判断函数 ()(2)(2)g x f x f x =-++的奇偶性，并说明理由.17-18． 注意：在以下三题中选做两题，每题满分15分. （A-必修2）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中， 已知M 、N 分别为1CC 、B A 1的中点．（1）求证：MN ∥平面ABCD ； （2）求证：BD M A ⊥1.A 1B 1C 1D 1ABCDM N 第17-18-A 图（B-必修3）某县共有960名学生参加了一次数学竞赛，现从 中随机抽出80名学生，将其成绩（满分100分，均为整数）按[)[)[]40,50,,80,90,90,100⋅⋅⋅进行分组，并制作成频率分布直方图如图.（1）试估计本次数学竞赛成绩全县不低于80分的人数；（2）试估计本次数学竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（C-必修5）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且29n n S n -=.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设()n n a n b -=121（n *ÎN ），数列}{n b 的前n 项和为n T ，若对任意的n *ÎN ，均有23720n m m T -+>，求m 的取值范围.19.(本小题满分16分）如图，平面内有三个向量OA OB OC ,,，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为(060)θθ︒<<︒，且1OA OB ==，23OC =()3OA OB OC +⋅=.（1）求θ的度数； （2）设a k OA OC =⋅-.①若a ⊥AB ，试求实数k 的值； ②若a ∥AB ，试求实数k 的值.20．(本小题满分16分）已知25,0,()23,0,xax x x f x b cx x ⎧--<⎪=⎨⋅-+≥⎪⎩若00x >，且点00(,())A x f x 关于坐标原点的对称点也在()f x 的图象上，则称0x 为()f x 的一个“靓点”. （1）当0a b c ===时，求()f x 的“靓点”；（2）当0a =且1b =时，若()f x 在(0,1)上有且只有一个“靓点”，求c 的取值范围； （3）当1c a =+且0b =时，若()f x恒有“靓点”，求a 的取值范围.AOBC第19题405060708090100 0第17-18-B 题高一数学答案一、填空题：每小题5分，共计70分.1．{}2,4 2．π3-4．（A-必修2）230x y +-= （B-必修3）20 （C-必修5）45 5-6．（A-必修2）24 （B-必修3）14 （C-必修5）30°（或6π） 7-8．（A-必修2）垂直 （B-必修3）1 （C-必修5）－39-10．（A-必修2）2 （B-必修3）15 （C-必修5）－2 11-12．（A-必修2）－2 （B-必修3）712 （C-必修5）413．166514．32二、解答题：本大题共6小题,共计90分. 15．解:（1）因为[0,]x π∈时，所以4[,]333x πππ+∈，所以)(x f 的最大值为2………………4分 由32x ππ+=，解得6x π=，所以取最大值时的6x π=………………………………………7分（2）由22232k x k πππππ-≤+≤+，解得522()66k x k k Z ππππ-≤≤+∈………… 10分 又[0,]x π∈，所以)(x f 的单调减区间为[,]6ππ ………………………………………… 14分16．解：（1）由题意得019b a b =+⎧⎨=+⎩，解得101a b =⎧⎨=-⎩……………………………………………………4分所以()lg(1)f x x =-，故()f x 的定义域为(1,)+∞……………………………………………7分（2）因为()(2)(2)lg(1)lg(1)g x f x f x x x =-++=-++……………………………… 10分 该函数的定义域为（－1，1），且()lg(1)lg(1)()g x x x g x -=++-+=，所以函数()g x 是偶函数 ……………………………………………………………………… 14分17-18．（A-必修2）解:（1）取棱AB 的中点为P ，连接PC 、PN ，因为P 、N 分别为AB 、1A B 的中点，所以PN ∥1AA 且PN =112AA ， 所以PN ∥CM 且PN =CM ，故四边形CMNP 为平行四边形， 从而MN ∥CP ………………………………………… 5分A 1B 1C 1D 1 ABCD M N 第17-18-A 图P又因为PC ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD ……………………………………7分 （2）连接AC ，因为1AA ⊥平面ABCD ,平面ABCD ， 所以1AA BD ⊥……………………………………………10分 又BD AC ⊥，且1,AC AA ⊂平面1ACMA ,1ACAA A =,所以BD ⊥平面1ACMA …………………………………………………………………………13分 又1A M ⊂平面1ACMA ，所以1BD A M ⊥……………………………………………………15分 （B-必修3）解：（1）因为样本个体在[)[]80,90,90,100这两个区间上的频率为(0.0250.005)100.3+⨯=…………………………………………………………………… 4分 所以估计全县达到80分以上的人数为9600.3288⨯=人…………………………………… 7分 （2）利用组中值估算抽样学生的平均分为 123456455565758595f f f f f f +++++……11分 =450.05550.15650.20750.30850.25950.0572⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，答：估计这次数学单元测试成绩的平均分是72分……………………………………………15分 （C-必修5）解:（1）当2n ≥时，219n n n a S S n n -=-=-2(1110)210n n n --+-=-+………………5分又118a S ==,适合上式 …………………………………………………………………………6分所以102n a n =-（*n N ∈）……………………………………………………………………7分（2）因为1111()(22)21n b n n n n ==-++……………………………………………………………9分所以11111111(1)(1)2223121n T n n n =-+-++-=-++………………………………………11分又因为对任意的*n N ∈，23720n m m T -+>恒成立，所以2min 37()20n m m T -+>…………12分因为当1n =时，min 1()4n T =,所以2137420m m -+>………………………………………… 13分解之得12m << …………………………………………………………………………………15分19．解：（1）因为3=()OA OB OC OA OC OB OC +⋅=⋅+⋅011)θθ=⨯+⨯-，得0co s c o s (120)θθ+-=……………………3分所以1cos (cos )2θθθ+-=，得1cos 2θθ+=，即cos(60)2θ-︒=，而60600θ-︒<-︒<︒，所以6030θ-︒=-︒，即30θ=︒………6分（2）①因为a AB ⊥,所以AB ·()k OA OC ⋅-=0…………………………………………………8分所以()OB OA -·()k OA OC ⋅-=0，则20kOB OA OB OC kOA OA OC ⋅-⋅-+⋅=，即111()0102k k ⨯⨯⨯---+⨯=，解得2k =…………………………………11分②以OA ，OB 为邻边，OC 为一条对角线作11OA CB，则104sin 30OC OA ===， 11122OB OA ==，所以42OC OA OB =+…………………………………………………13分因为a ∥AB ，所以可设()k OA OC AB R λλ⋅-=∈，则(42)()k OA OA OB OB OA λ⋅-+=-，即(4)(2)0k OA OB λλ+--+=， 所以由40(2)0k λλ+-=⎧⎨-+=⎩，解得62k λ=⎧⎨=-⎩，所以6k =…………………………………………16分（说明：其它解法，仿此给分）20．解: 因为当0x <时，2()5f x a x x=--，其关于坐标原点对称图象的解析式为2()5g x ax x =--+，所以函数()f x 的“靓点”就是2()5(0)g x a x x x =--+>与()23(0)x t x b cx x =⋅-+>这两个函数图象交点的横坐标.（1）当0a b c ===时，()5(0)g x x x =-+>，()3(0)t x x =>………………………………2分由53y x y =-+⎧⎨=⎩，解得2x =，所以函数()f x 的“靓点”为2x = …………………………5分（2）当0a =且1b =时，()5(0)g x x x =-+>，()23(0)xt x cx x =-+>，此时函数()f x 的“靓点”即为方程523xx cx -+=-+的正根 ……………………………7分方程变形为2(1)2xc x =-+，设122,(1)2x y y c x ==-+因为当0x =时，12y y <，结合图象知，要想()f x 在(0,1)上有且只有一个“靓点”，则当1x =时，必须有12y y >，即12(1)2c >-+，解得1c <……………10分（3）当1c a =+且0b =时，2()5(0)g x ax x x =--+>，()(1)3(0)t x a x x =-++>，要想()f x 恒有“靓点”，则方程25(1)3ax x a x --+=-++，即方程220ax ax --=恒有正根 ……………………………………………………………12分 记2()2h x ax ax =--,①当0a =时，方程无解，不适合题意……………………………………………………… 13分 ②当0a >时，因为(0)20h =-<，且()h x 的图象是开口向上的抛物线，所以方程()0h x =一定有正根，所以0a >适合题意…………………………………………………………… 14分③当0a <时，由28002a a aa ⎧∆=+≥⎪⎨-->⎪⎩，解得0a ≥或8a ≤-,所以8a ≤-………………… 15分 综上所述，a 的取值范围是0a >或8a ≤- ……………………………………………… 16分（说明：其它解法，仿此给分）。