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第二章 控制系统的数学模型演示文稿ppt

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第2章 控制系统的数学模型123页PPT

第2章 控制系统的数学模型123页PPT
1.牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物 体质量与加速度的乘积
2.牛顿第三定律 作用力等于反作用力 单独取出m进行分析。
F1(弹簧的拉力) F(t)外力
m
F2阻尼器的阻力
F1 kx (t ) F2 fx (t )
而 F ma
ax(t) F (t)F 1F 2ma 代入F 上 (t)k(式 x t)fx得 (t)m x(t)
d2 t C
整理成规范形式
即 L u C ( t C ) R u C ( t ) C u C ( t ) u r ( t )
RLC电路与机械平移系统的数学模型很相似， 故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也证 明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统， 具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来 描述。－－相似系统
4.写成标准形式。将与输入有关的项放在等式右端， 与输出有关的项放在等式的左端，且各阶导数项 按降幂排列。
列写元件微分方程的时候要考虑负载效应！
例1.机械平移系统 求在外力F(t)作用下，物 体的运动轨迹。
x(t)
F(t)
m k
阻尼器
阻尼系数f
首先确定：输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据
列写系统（或元件）微分方程的一般步骤:
1.分析系统的工作原理和信号传递变换的过程，确 定系统和各元件的输入、输出量。
2.从系统的输入端开始，按照信号传递变换过程， 依据各变量所遵循的物理或化学规律，依次列写 出各元部件的微分方程。
3.消去中间变量，得到一个描述系统输入、输出变 量之间关系的微分方程。
2-1 引言
数学模型
1.定义：描述控制系统的输入和输出之间动态 关系的数学表达式。数学模型是分析和设计 自动控制系统的基础。

《自动控制原理》第2章控制系统的数学模型精品PPT课件

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FB(t)
f
dy(t) dt
FK (t) 为弹簧的弹性力，它与物体的位移成正比，即
FK(t)ky(t)
d 2 y(t)
a为物体的加速度，即
a dt 2
消除中间变量，将式子标准化可得
mdd 2y2 (tt)fdd(ty)tk(yt)F(t)
2.3用拉普拉斯变换求解线性微 分方程
2.3.1拉普拉斯变换定义 2.3.2常用函数的拉普拉斯变换 2.3.3拉普拉斯变换的几个基本法则 2.3.4拉普拉斯反变换变换 2.3.5用拉普拉斯变换求解微分方程
第2章 控制系统的数学模型
• 本章的主要内容 控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式
2.1系统数学模型概述
数学模型：用数学的方法和形式来表示 和描述系统中各变量间的关系。 三种形式：输入输出描述
状态空间描述 方块图或信号流图描述
对上式取拉氏变换得 c(t)et sint
2.4传递函数
利用拉氏变换的方法可以得到控制系统在 复数域的数学模型——传递函数。 2.4.1 传递函数的定义 2.4.2典型环节的传递函数
2.4.1 传递函数的定义
线性定常系统，当初始条件为零时，输出量拉氏变换与 输入量拉氏变换之比，定义为传递函数。
G (s)C R ((ss))b0 ssnm ab 11 ssnm 1 1 ab n m 1 s1s ab nm
例2-7 求图2-1所示RLC串联电路的传递函数。设输入量 为 u r ，输出量 u c 。
L K(t) fK(s F )
2.微分定理
函数求导的拉氏变换，等于函数拉氏变换乘 以s的求导次幂（这时，初始条件需为零）。 同理，若初始条件 f(0 )f'(0 ) f(n 1 )(0 ) 0

第二章控制系统的数学模型.ppt

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章控制系统的数学模型
数学模型：描述控制系统输入变量、输出变量和内部 变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。 描述控制系统动态特性的数学模型，称为动态模型。 在静态条件下(即变量的各阶导数为零)，描述变量之间 关系的代数方程称为静态模型。
常用数学模型：常用解析形式的动态模型有微分方程、 差分方程、传递函数；常用图形形式的动态模型有动 态结构图、信号流图、频率特性。
讨论：(1) 两个完全不同的系统可能具有相同的传递函数。 (2) 相似系统：物理量不同的两个系统具有相同形式的微 分方程(数学模型)，这种系统称为相似系统。而在微分方 程中占据相同位置的物理量称为相似量。
表:相似量(uc=q/C)
机械系统 F m f k y v
L(ss)IR(sI)C 1Is(s)U r(s)
1
I(s) Cs
Uc(s)
例2-2 设有一质量-弹簧-阻尼器的 机械平移系统，如图2-4所示。外力F(t)
F(t)
k
为输入量， 质量块的位移y(t) 为输出量， 试求系统的传递函数G(s)。
m
解：弹簧的恢复力 F1(t)ky(t)
阻尼器的阻力
F2(t)
设r(t)和c(t)及其各阶系数在0时的值均为零，即零初始条 件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令R(s)＝L[c(t)]， R(s)[r(t)]，可得s的代数方程为：
[ a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n ] C ( s ) [ b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s a m ] R ( s )
LC ，
1 2
RC L则Fra bibliotekG(s)T2s2
1
2Ts1
令T
m ， 1

第2章-控制系统数学模型PPT课件

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2021/3/12
11
2.1 线性定常系统的数学模型——传递函数模型
1. SISO系统的TF数学模型
【调用格式】
sys = tf(num,den) sys = tf(num,den,'Property1',V1,...,'PropertyN',VN)
%初始化TF模型的其他属性
【说明】
✓num和den分别是传递函数的分子多项式系数和分母多项式系数，按s的降 幂排列，是细胞数组。 ✓tf函数的返回值是一个对象，称之为TF对象，num和den是TF对象的属性。
1 5 9 13 12 0 0
13
2.1 线性定常系统的数学模型——传递函数模型
m
G(s)Ksspz11ss zp22 sszpmnK n i1sspzji j1
m
G(z)Kzz1zz2
zp1zp2
zzzpmnKni1zzpzji
j1
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6
2.1 线性定常系统的数学模型——常用的数学模型
控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一 些基本控制单元和的形式，也就是部分分式表示：
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4
2.1 线性定常系统的数学模型——常用的数学模型
离散系统的差分方程为：
a 0 x on a 1 x on 1 a n 1 x o1 a n x o0 b 0 x im b 1 x im 1 b m 1 x i1 b m x i0 n m
系统的脉冲传递函数为：
G (s ) s r 1 p 1 s r 2 p 2 s r n p n k i n 1s r ip i k
2021/3/12
7

控制系统数学模型(PPT)共39页

控制系统数学模型(PPT)共39页


Lc
ost 1Lsn it
1

s
s2
2

s2
s

2
复习拉普拉斯变换有关内容（3）
（3）积分定理 L ftd t1 sF s1 sf-10
零初始条件下有：
Lftd
t1Fs
s
进一步有：
L ftdn t s 1 nF s s 1 nf 1 0 sn 1 1f 2 0 1 sf n 0
复习拉普拉斯变换有关内容（3）
（4）位移定理 L f(t0 ) e τ 0 sF (s)
证明：左0f(t0)etsdt
令 t 0
f( )es(0)d e0s f()esd 右
0
0
0 t 0
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 拉普拉斯变换有关知识 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图及其等效函数 §2-4 典型环节的传递函数 §2-5 自动控制系统的传递函数 §2-6 MATLAB应用
自动控制原理课程的任务与体系结构
自动控制原理
§2 控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程 复域模型 — 传递函数
线性系统
拉氏
傅氏
变换
变换
传递函数
微分方程
频率特性
建立数学模型的一般方法(举例)
例1：如图所示的RLC电路，试建立以电容上 电压uc(t)为输出变量，输入电压ur(t)为输
入变量的运动方程。
R
L
ur(t)
i(t) C
uc(t)
依据：电学中的基尔霍夫定律
ur(t)R i(t)Ldd i(tt)uc(t),(1)

第2章 控制系统的数学模型演示文稿ppt

第2章 控制系统的数学模型演示文稿ppt
一.传递函数的定义和概念 二.传递函数的性质 三.求系统的传递函数
一. 传递函数的定义和概念
以[例2.3.1] RLC电路的 微分方程为例：
T2dd2u2tc 2Tddcutuc ur
设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：
T 2 s 2 U c ( s ) 2 Tc ( s ) U c ( s ) U r ( s )(T 2s22T 1 s)U c(s) U r(s)
(6)传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的 动态特性就确定了。
传递函数的三种特殊形式
传递函数的多项式形式 G (s)C R ((s s))b a 0 0 ssm n b a 1 1 s sm n 1 1 b a m n 1 1 s s a b m n
传递函数的零极点及根轨迹增益形式
G (s) K G *( ( s s p z 1 1 ) )s s ( (z p 2 2 ) ) ( (s s z p m n ) ) K G * a b 0 0
传递函数的时间常数及开环增益形式
G (s ) K G ( ( T 1 1 s s 1 1 ) )T 2 2 ( ( s s 1 1 ) ) ( ( T m n s 1 1 ) )
4.任何一个复杂系统的传递函数都可以看作典型环节 的组合； K(2s1)
G (s)s(T s1)(2s22s1)
这些常用的典型环节有比例环节、一阶惯 性环节、积分环节、微分环节、振荡环节及延 迟环节等。掌握这几种基本环节的数学模型， 就能为研究自动控制系统的动态特性奠定基础。
(1) 比例环节（又叫放大环节）
【例】积分电路
ic (t) C
i1(t ) R1
-
+K
r (t )
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模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
数学模型的形式
➢时间域： 微分方程 差分方程 状态方程
➢复数域： 传递函数 结构图
➢频率域： 频率特性
2.1.2 建立数学模型的基础
微分方程
（连续系统）
y
(t
)
,
d d
y t
机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理
线性定理 叠加定理
比例定理
微分定理
多重微分
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
积分定理
多重积分
原函数的n重积分像函数中除以sn
位移定理
原函数乘以指数函数e-at像函数d在复数域中作位移a
延时定理
原函数平移 像函数乘以 e-s
终值定理
原函数f(t)的稳态性质
sF(s)在s=0邻域内的性质
中，所有变量与稳态值之间 只会产生足够微小的偏差。
以微小偏差法为基础，运 动方程中各变量就不是它们 的绝对值，而是它们对额定 工作点的偏差。
增量方程
增量方程的数学含义
将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上， 对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始 点，这时，系统所有的初始条件均为零。
初值定理
卷积定理
Lf(t)*g(t) f(t)*g(t)estdt 0
t f(t)g()d estdt t f(t)g()estddt
00
00
f(t)g()estdtd xt g()es f(x)esxdxd
0
0
0
F(s)G(s)
2.3.2.2 拉氏反变换方法 部分分式法的求取拉氏反变换
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；
F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。
拉氏反变换的定义 其中L－1为拉氏反变换的符号。
2.3.2.1 拉氏变换的计算
➢指数函数 ➢三角函数 ➢单位脉冲函数 ➢单位阶跃函数 ➢单位速度函数 ➢单位加速度函数 ➢幂函数
F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)
条件： 分母多项式能分解成因式
F (s)B (s)K (sz1)s(z2).s. .zm () A (s) (sp 1)s(p 2).s. .p n ()
电学：
欧姆定理、基尔霍夫定律
热学：
传热定理、热平衡定律
差分方程 （离散系统） y(kT),y(kTT)
数学模型的 准确性和简化
线性与非线性 分布性与集中性 参数时变性
机械运动系统的三要素
质量 M
弹簧 K
阻尼 B
机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理
实例
机械平移 机械旋转
机械平移系统
！静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响。
注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。
多变量函数泰勒级数法
增量方程 静态方程
单变量函数泰勒级数法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：
略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则： 注：非线性系统的线性化 模型，称为增量方程。 注：y = f (x0)称为系统的 静态方程
✓有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性； ✓非线性系统的分析和综合是非常复杂的。
线性化定义
将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线 性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。
2.2.3 线性化方法
增量 （微小偏差法） 平衡点泰勒展开
非线性方程 局部线性增量方程
假设： 在控制系统整个调节过程
液面系统线性化
常数！
2.3 拉氏变换及其反变换
2.3.1 拉氏变换的定义 2.3.2 拉氏变换的计算 2.3.3 拉氏变换求解方程
2.3.1 拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1)f(t)实函数；
2)当t<0时 ， f(t)=0；
3)当t0时，f(t)的积分
f (t)estdt在s的某一域内收敛 0
第二章 控制系统的 数学模型
2.1 物理系统的数学模型
2.1.1 数学模型的定义 2.1.2 建立数学模型的基础
2.1.1 数学模型的定义
系 统 示 意 图
系 统 框 图
Remember 恒温箱自动控制系统?
2.1.1 数学模型的定义
➢ 由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。 ➢系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用 与相互制约的关系。
1）微分方程的系数取决于系统的结构参数 2）阶次等于独立储能元件的数量
机械旋转系统
电气系统三元件
电阻 电容 电感
电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。
RLC 串联网络电路
相似物理系统
2.2 非线性数学模型的线性化
2.2.1 常见非线性模型 2.2.2 线性化问题的提出 2.2.3 线性化方法
2.2.1 常见非线性模型
➢叠加原理：
可加性 齐次性
f(x1x2)f(x1)f(x2)
f(x)f(x)
不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。
液面系统(非线性)
是未知函数h的非线性函数，所以是非线性模型。
2.2.2 线性化问题的提出 ➢线性系统优点：
✓可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行 分析和设计。
➢线性系统缺点：
t u2 u ua n v u t
物理量的变换， 物理量之间的相互关系 信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存） 由动态到最后的平衡状态--稳定运动
系 统 框 图
2.1.1 数学模型的定义
数学模型：
描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程
建立数学模型的方法： 解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列 写出相应的数学关系式，建立模型。
指数函数的拉氏变换
三角函数的拉氏变换
（Euler公式）
幂函数的拉氏变换
阶跃函数的拉氏变换
单位速度函数的拉氏变换
斜坡函数
单位脉冲函数拉氏变换
洛必达法则
单位加速度函数拉氏变换
抛物线函数
2.3.2.3 拉氏变换的主要运算定理
线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理
F (s)B A ( (s s) ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 ........ b a m n 1 1 s s b b n m ,m n
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t)